El documento explica conceptos básicos sobre polinomios como su definición, grado, raíces, división y factorización. Describe métodos para factorizar polinomios incluyendo el uso de raíces reales y complejas, y el método de Ruffini para encontrar raíces enteras. Finalmente, indica que no existe una fórmula general para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro.

1. Factorización de polinomios
Polinomios
Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma:
px
a0 a1x a2x2
an 1xn 1 anxn
donde a 0 , a 1 , a 2 , , a n 1 , a n son unos números, llamados coeficientes del polinomio. Si
todos esos coeficientes son números enteros ( 0, 1, 2, ... ) entonces diremos que el
polinomio es un polinomio entero, si son números racionales diremos que es un
polinomio racional, etc. Mientras no se diga lo contrario, en estas notas los coeficientes
del polinomio serán números reales.
El grado del polinomio es el número n : el mayor exponente de la variable x que
aparezca en el polinomio con coeficiente no nulo. Se escribe a menudo p x para
referirse al grado de p x . Cada uno de los sumandos de la forma a i x i que forman el
polinomio se llama monomio o término (de grado i). Un polinomio es mónico si el
coeficiente del monomio de grado más alto es 1.
Usaremos letras como p, q o también subíndices como en p 1 , p 2 , ..., p k para referirnos a
diferentes polinomios. Suponemos conocidas del lector las operaciones de suma y
producto de polinomios.
Raíces de un polinomio
Un número r es una raíz de un polinomio si al sustituir x por r en el polinomio se
obtiene cero.
pa
a0 a1r a2r2
an 1rn 1 anrn 0
Ejemplo:
Si p x
x2
3x
2, los números 1 y 2 son raíces de p, ya que se tiene:
p1
12 3 1 2 0
p2
22
3 2
2
0
División de polinomios
Dados dos polinomios, p x y q x , a los que llamaremos respectivamente
dividendo y divisor, existen dos polinomios únicos r x (llamado resto) y s x (llamado
cociente) tales que:
px
q x s x r x con grado(r x ) grado(q x )
(1)
Método o algoritmo de la división de polinomios
Es muy parecido al método aritmético de división de números enteros que se aprende
en la escuela; al tiempo que lo describimos iremos desarrollando un ejemplo:
1. Se ordenan los términos (monomios) que forman el dividendo y el divisor en orden
descendente según el grado.
1

2. Sea p x
x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 2 6x 3 el dividendo y q x
x 2 x 1 el
divisor. Imitando lo que se hace en la división de enteros los escribimos así:
x6
x5
7x 4
8x 3
9x 2
6x
x2
3
x
1
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y
obtenemos así el primer término del cociente.
Hemos indicado cuales son los términos que se dividen (x 6 entre x 4 ) y colocamos
bajo el divisor el primer
término del cociente:
x6 x5
7x 4
8x 3
9x 2
6x
x2 x
3
1
x4
3. Ese término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta del
dividendo. Para ello es conveniente escribir el resultado debajo del dividendo con el
signo cambiado y ordenado para que coincidan los términos del mismo grado. El
resultado es el primer resto de la división.
En nuestro ejemplo, x 4 multiplicado por x 2 x 1 es x 6 x 5 x 4 . Colocamos este
resultado, cambiado de signo bajo el dividendo y sumamos:
x6
x5
7x 4
6
5
4
x
x
x
6x 4
8x 3
9x 2
6x
x2
3
x
8x 3
9x 2
6x
x
1
4
3
4. Se repite ahora el proceso, empleando el resto obtenido en lugar del dividendo,
hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. Los términos del cociente se
van sumando a continuación del obtenido en el primer paso.
x6
x5
7x 4
x6
x5
8x 3
9x 2
x4
6x
3
x2 x
x4
6x 4 8x 3
9x 2
6x 4
6x 2
1
2x
1
6x 2
6x
3
2x 3 3x 2
6x
3
2x 3
2x
6x 3
2x 2
x 2 4x
x2
3
x
3x
1
2
El resto se ha señalado recuadrándolo doblemente en este ejemplo. Se ha
obtenido entonces la expresión:
x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 2 6x 3
x 2 x 1 x 4 6x 2 2x 1
3x 2
como muestra del esquema general:
dividendo divisor cociente resto
que también puede escribirse así:
dividendo cociente
divisor
resto
divisor
2

3. Es decir,
px
qx
rx
con grado(r x ) grado(q x )
qx
sx
Polinomios de grado 2
Un polinomio de grado dos es de la forma:
px
ax 2 bx c
Sus raíces r se obtienen mediante la conocida fórmula:
b2
2a
b
r
4ac
Se pueden presentar tres casos:
1. b 2 4ac 0
En este caso, el polinomio tiene dos raíces reales distintas, a las que llamaremos r 1
y r 2 . Además se tiene en este caso:
ax 2 bx c a x r 1 x r 2
2. b 2
4ac 0
En este caso, el polinomio una única raíz real r
raíz doble. Además se tiene en este caso:
ax 2
bx
c
b
2a
, de la que diremos que es una
b
2a
a x
2
b
(que es la misma expresión del caso anterior si r 1 r 2
)
2a
2
3. b
4ac 0. En este caso existen dos raíces complejas, a las que llamaremos
r1
i y r2
i. Sería:
b2
b
2a
i
2a
4ac
i
Además se cumple que:
ax 2
bx
c
a x
2
2
Obsérvese que si conocemos y junto con el coeficiente a, entonces con la última
expresión podemos reconstruir ax 2 bx c. En particular, si conocemos
i,
existe un único polinomio (mónico, con a 1) de la forma x 2 bx c cuyas raíces
son esos números complejos
i.
Factorización de polinomios. Polinomios irreducibles.
Al igual que los números naturales se descomponen de forma esencialmente única
en un producto de factores primos, los polinomios también se descomponen de forma
única en un producto de factores irreducibles (que vienen a ser como los ”polinomios
primos”.)
Los polinomios irreducibles (reales) son de dos clases:
1. polinomios de grado uno, de la forma
ax b
2. polinomios de grado dos, con ambas raíces complejas. Es decir
ax 2
bx
c con b 2
4ac
0
3

4. Los siguientes resultados son los que se emplean para tratar de descomponer un
polinomio en un producto de factores irreducibles.
Raíces reales:
Teorema: Si r es una raíz real del polinomio p x , entonces se tiene:
px
x r kq x
(2)
siendo q x un polinomio de grado menor en k unidades al de p x , y que cumple
qr
0. En este caso se dice que r es una raíz de multiplicidad k del polinomio p x .
Notas: (1) Este resultado es cierto para raíces reales y complejas, pero nosotros lo
usaremos sobre todo cuando r sea una raíz real. (2) Una raíz de multiplicidad uno es
una raíz simple, una de multiplicidad dos es una raíz doble, etc.
Raíces complejas:
Teorema: Si el número complejo
i es una raíz de p x , entonces su conjugado
i también es raíz de p x . Además en ese caso se tiene:
px
x 2 bx c k q x
(3)
siendo:
1. x 2 bx c el único polinomio de orden dos cuyas raíces son
i
2. q x un polinomio de grado grado(p x ) 2k con q
i
0.
Se dice entonces que
i son raíces (complejas) de multiplicidad k del polinomio p x .
Descomposición en el caso general:
El resultado que se presenta a continuación describe la forma en la que se descompone
cualquier polinomio:
Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene siempre n raíces,
repartidas entre raíces reales y raíces complejas (que en este caso vienen siempre en
parejas como hemos visto.) En esta cuenta, cada raíz se cuenta un número de veces
igual a su multiplicidad (una raíz doble cuenta como dos raíces, una raíz triple como
tres raíces, etc.)
Supongamos entonces que
an 1xn 1 anxn
px
a0 a1x a2x2
tiene:
1. raíces reales r 1 de multiplicidad m 1 , r 2 de multiplicidad m 2 , ..., r k de multiplicidad
mk.
2. Y raíces complejas 1
1 i de multiplicidad p 1 , 2
2 i de multiplicidad p 2 , ...,
i de multiplicidad p q . Supongamos que x 2 b j x c j p j es el polinomio de
q
q
orden dos cuyas raíces son j
1, ..., q.
j i para cada j
Entonces
px
a n x r1 m1 x r2 m2 x rk mk x 2 b 1 x c 1 p1 x 2 b q x c q pq
Ecuaciones de orden superior: cálculo de raíces
A pesar de que el teorema anterior dice que cualquier polinomio se descompone en
4

5. producto de factores irreducibles, en la práctica esa descomposición tropieza con una
dificultad formidable: para descomponer el polinomio tenemos que conocer todas sus
raíces. En el caso de polinomios de grado dos la situación es sencilla, como hemos
visto. Las fórmulas para la resolución de ecuaciones de grado dos eran bien conocidas
en el siglo noveno de nuestra era. Para polinomios de grado 3 y 4 existen también
fórmulas, que fueron obtenidas por los matemáticos italianos Tartaglia, del Ferro,
Cardano y Ferrari en el siglo XVI. Son similares a las que hemos visto para le ecuación
de orden dos, aunque más complicadas. Nadie consiguió encontrar una fórmula
semejante para las ecuaciones de orden cinco, hasta que en 1826 Abel demostró que
no podía existir ninguna fórmula semejante para resolver todas las ecuaciones de orden
cinco (y lo mismo ocurre con todos los grados superiores). Así pues, en general no
podremos descomponer polinomios de grado superior a cuatro.
A continuación vamos a ver métodos que nos permiten descomponer algunos
polinomios. Lo habitual de estos métodos es que funcionen cuando las raíces de los
polinomios son especialmente sencillas (es el caso del método de Ruffini), o cuando los
polinomios son de alguna forma especial.
Raíz cero
Cuando el número cero es una raíz del polinomio, como hemos visto el polinomio se
factoriza en la forma:
px
xkq x
xk b1 b2x2 b3x3
bmxm
y el número k es la multiplicidad del cero como raíz. Obsérvese que en este caso el
término independiente a 0 del polinomio original ha de ser cero. Así pues, antes de
empezar a factorizar el polinomio debemos sacar factor común la potencia de x más
alta posible. Si es posible, el cero es una raíz del polinomio (y esa potencia nos indica la
multiplicidad), mientras que si no es posible, el cero no es raíz del polinomio.
Método de Ruffini
El método de Ruffini sirve para buscar raíces enteras 1, 2, .... de un polinomio.
Para ello, se buscan todos los divisores del término independiente a 0 del polinomio. Una
vez hecho esto se realiza la división del polinomio entre x a. Se puede llevar a cabo
por el método visto antes, pero es más rápido emplear el método abreviado, conocido
como método de Ruffini. En este método se escriben los coeficientes del polinomio, en
orden decreciente de grado:
an an
1
an
2
a2 a1 a0
a
A continuación se escribe en la siguiente línea a a la izquierda y se traza una línea
horizontal. Bajo esta línea se escribe el primer coeficiente a n , para a continuación
multiplicarlo por a y colocar el resultado bajo el segundo coeficiente a n 1 y sumar ambos
números. El resultado b 1 se coloca bajo la línea horizontal. Y se repite el proceso como
indica este esquema. En cada paso el resultado obtenido se multiplica por a y se coloca
bajo el siguiente a i , sumando ambos números para obtener el siguiente b.
5

6. an
a
an
an
1
a an
an
b1
an
a2
2
a b1
1
a an
b2
an
a1
a bn
2
a b1
bn
2
3
a0
a bn
bn
a bn
2
q
1
La clave es el número q. Si ese número es cero, entonces a es una raíz del polinomio y
podemos además afirmar que:
bn 2x bn 1
px
x a anxn 1 b1xn 2 b2xn 3
Obsérvese que los números b i obtenidos debajo de la línea horizontal sirven para
escribir el cociente de esta división.
Eso permite, en caso de que el método funcione, reiterarlo, aplicándolo ahora al
polinomio
bn 2x bn 1
anxn 1 b1xn 2 b2xn 3
para continuar con la factorización del polinomio p x . La repetición del método se ve
facilitada por la colocación de los coeficientes, ya que basta con dibujar una nueva raya
horizontal bajo los términos recién obtenidos y repetir el esquema, como veremos en
los ejemplos.
En esas repeticiones del método se deben considerar de nuevo como posibles
raíces todos los divisores de a 0 , salvo aquellos que ya se han ensayado y no han
funcionado; es decir, que si ya hemos encontrado una raíz a del polinomio, debemos
volver a comprobar si a es una raíz del nuevo polinomio.
Ejemplos:
1. Factorizar el polinomio
px
x2
5x
6
Formamos para ello el esquema:
1
5 6
a
en el que como número a debemos tomar uno de los divisores de 6, que son, por
orden: 1, 2, 3, 6. Probando con a 1 se obtiene:
1
1
5 6
1
1
a
El valor 2 que hemos obtenido al final indica que
4
4
2
1 no es una raíz del polinomio p x . Probamos a continuación con a
1
5 6
1
El valor 12 indica que a
1 6
1
6
1
2.
5 6
2
1
1 no es raíz del
12
polinomio. Probamos con a
2
1.
6
3
Ese cero significa que a
2 es una raíz de p x . Es
0
6
1

7. decir, que
px
x 2 q x para un polinomio q x de grado uno
Además los resultados parciales 1 y 3 permiten obtener q x :
px
x 2 x 3
2. Factorizar el polinomio
px
Formamos para ello el esquema:
6
22
6x 3
22x 2
4x
48
4 48
a
en el que, como número a debemos tomar uno de los divisores de 48, que son:
a
1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Probando con a 1 se obtiene:
6
1
22
4
6
6
Probando con a
48
20 En conclusión,a
16
16
1 no es raíz.
20 28
1 se obtiene:
6
22
1
6
6
Probando con a
4 48
28
26 En conclusión,a
1 no es raíz.
28 26 22
2 se obtiene:
6
2
22
4
20
10
48 Luego a
24
12
6
48
2 es raíz.
0
Los coeficientes que han quedado por debajo de la raya horizontal nos permiten
asegurar que:
6x 3 22x 2 4x 48
x 2 6x 2 10x 24
Obsérvese que esos coeficientes corresponden a un polinomio de grado dos,
menor en una unidad al grado de p x . Para continuar con la factorización,
probamos de nuevo el valor a 2 con esos coeficientes:
6
2
10
12
6
2
24
4
20
Así que, como no ha funcionado, seguimos probando con a
2. (Ya no es
necesario probar con los valores a 1, 1 que se comprobó previamente que no
eran raíces.)
6
2
24
12 44
6
Probamos con a
10
No funciona. a
2 no es raíz.
22 20
3:
7

8. 6
10
18
24
8
3
24
0
6
Luego a
Además tenemos la descomposición:
6x 2 10x 24
x 3 6x
3 es raíz.
8
que combinada con la anterior produce
3
2
6x 22x 4x 48
x 2 x 3 6x 8
2 x 2 x 3 3x
que es la descomposición final de p x . Las raíces son por tanto 2, 3 y
3. Descomponer en factores el polinomio
4
.
4
3
px
2x 5 18x 4 60x 3 92x 2 66x 18
Los divisores del término independiente 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18. Escribiremos
consecutivamente los cálculos realizados, omitiendo las pruebas con valores que
no son raíces:
2
60
92
66
18
16
44
48
18
16
44
48
18
2
14
30
18
14
30
18
0
2
12
18
12
18
0
6
1
18
18
2
2
1
2
1
2
3
2
6
3
6
2
0
El valor a
1 es una raíz.
0
El valor a
El valor a
El valor a
0
El valor a
1 funciona otra vez.
1 funciona otra vez
3 funciona una vez ( 2 y 2 no)
3 funciona otra vez
Así pues, hemos obtenido la descomposición:
2x 5 18x 4 60x 3 92x 2 66x 18 2 x 3 2 x 1 3
que nos dice que 3 es una raíz doble, y 1 una raíz simple del polinomio.
4. Descomponer en factores el polinomio
px
x 4 5x 2 6
Se obtiene:
1
1
1
0
6
1 1
1
0 5
6
6 ¡Atención a los coeficientes nulos!
1 6
6
0
1 0
1
6
0 6
0
El valor a
1 funciona otra vez.
A continuación, al probar con los divisores de 6, se comprueba que ninguno de
ellos funciona. Por lo tanto, del método de Ruffini obtenemos:
x 1 x 1 x2 6
px
x 4 5x 2 6
8

9. El último factor es un polinomio de grado dos irreducible, con raíces complejas
6 i. Así que la anterior expresión es la descomposición de p x usando
coeficientes reales. Si se desea su descomposición usando coeficientes complejos,
sería
px
x4
5x 2
6
x
1 x
1 x
6i x
6i
Ecuaciones bicuadradas
Una ecuación de la forma
ax 4 bx 2 c 0
se conoce como ecuación bicuadrada. Estas ecuaciones se pueden resolver
introduciendo un cambio de variable z x 2 , que las reduce a ecuaciones de segundo
grado:
az 4 bz 2 c 0
de las que sabemos encontrar las raíces. Una vez localizadas sus raíces z 1 y z 2 ,
podemos encontrar las (cuatro) raíces de la ecuación original usando que ha de ser
z 1 x 2 (de aquí se obtienen dos raíces) y también z 2 x 2 (que produce las dos
restantes raíces.)
Esta observación permite descomponer un polinomio de la forma
px
ax 4 bx 2 c en factores, ya que sabemos calcular sus raíces.
Ejemplo:
Descomponer en factores el polinomio
px
x 4 8x 2 9
Haciendo el cambio z x 2 se obtiene x 4 8x 2 9 z 2
ecuación
z 2 8z 9 0
se obtienen de
z
8
8
2
2
4
9
8
2
8z
9. Las raíces de la
10 Luego
z1
z2
9
1
De donde se deduce que x 2 9 y x 2
1 producen las cuatro raíces del polinomio p x .
Esas raíces son x 1 3, x 2
3, x 3 i, x 4
i. Por tanto:
4
2
px
x 8x 9
x 1 x 1 x i x i
x 1 x 1 x2 1
Hemos indicado también en este caso las descomposiciones real y compleja.
Fracciones racionales
Una fracción racional es un cociente:
px
qx
en el que p x y q x son polinomios. Supondremos además en lo que sigue que p x es
de grado menor al de q x . Si no fuera así se puede emplear el algoritmo de la división
que hemos visto para obtener una descomposición.
fx
9

10. px
qx
sx
rx
con grado(r x ) grado(q x )
qx
Así que supondremos que el polinomio del numerador es de grado menor que el
denominador.
Fracciones simples
Cualquier fracción racional se puede descomponer en la suma de unos cuantos
términos, siendo esos términos de una de estas dos clases:
A
Clase 1 :
k
x
Bx C
Clase 2 :
p
x
x2
Estas fracciones se conocen como fracciones simples.
Es decir que tendremos una descomposición como:
px
A1
Ar
B1x C1
Bsx Cs
p1
k1
kr
qx
x2
x
x2
x
x
1
1
sx
s
1
r
ps
Estas descomposiciones son esenciales para el cálculo de primitivas de las fracciones
racionales.
Ejemplos:
Dejamos que el lector compruebe que:
10
15
1. 2 5x
x 2
x 3
x 5x 6
A
Como puede verse, los dos términos obtenidos son de la forma
. En el
k
x
primero A
10,
2, k 1. En el segundo A 15,
3, k 1
7x 3 30x 2 40x 3
2
3
1 5x
2. 4
x 3
x 5x 3 5x 2 3x 18
x2 x 2
x 3 2
4
3
2
1
3 2x
3 2x .
3. x 6 2x 4 x 24x 1
x 3x 3x 1
x2 1
x2 1 2
x2 1 3
En este ejemplo, todos los términos son de clase 2.
¿Cómo se obtiene esa descomposición?
1. En primer lugar, debemos factorizar el polinomio del denominador q x . Sea pues:
p1
ps
k1
k2
kr 2
qx
an x
x
x
x
x2
1
2
r
1x
1
qx
s
Esta descomposición se obtiene por los métodos que hemos expuesto en los
párrafos precedentes.
2. Para saber cuales son las fracciones simples que componen la descomposición de
px
debemos considerar la descomposición del primer paso, como se indica a
qx
continuación:
k
a. Cada factor de q x de la forma x
produce k fracciones simples, con
potencias crecientes de x
en el denominador:
A1
A2
A3
Ak
2
3
k
x
x
x
x
Los coeficientes A k en este paso se dejan indeterminados, y se calcularán en el
próximo paso.
p
b. Cada factor de q x de la forma x 2
x
produce p fracciones simples, con
2
potencias crecientes de x
x
en el denominador:
10

11. B1x
2
C1
B2x
2
C2
B3x
2
2
C3
Bpx
3
Cp
2
p
x
x
x
x
x
x
x
x
Como en el caso anterior, los coeficientes B k , C k quedan indeterminados, y se
calcularán en el próximo paso. Obsérvese que la diferencia fundamental entre
este caso y el anterior es que los polinomios indeterminados del numerador
son de grado uno.
Ejemplo.
Vamos a empezar la descomposición en fracciones simples de la fracción racional:
7x 3 30x 2 40x 3
4
x 5x 3 5x 2 3x 18
Empezamos por descomponer el denominador. Dejamos como ejercicio que el
lector compruebe (usar Ruffini mientras sea posible) que:
x 3 2 x2 x 2
x 4 5x 3 5x 2 3x 18
El factor x 3 2 produce dos fracciones simples:
A1
A2
x 3
x 3 2
mientras que el factor x 2 x 2 produce una fracción simple:
B1x C1
x2 x 2
Combinando ambos resultados se tiene, como descomposición:
A1
A2
B1x C1
7x 3 30x 2 40x 3
4
3
2
2
x 3
x 5x 5x 3x 18
x 3
x2 x 2
Los coeficientes A 1 , A 2 , B 1 y C 1 se determinarán en el siguiente paso.
3. Ahora se deben buscar los valores de los coeficientes que han quedado
indeterminados en el paso anterior. Para ello se agrupan los fracciones simples del
miembro derecho, escribiéndolas con un denominador común que, por supuesto,
será el mismo que le del miembro izquierdo. Entonces se comparan los
numeradores de las dos fracciones y se identifican los coeficientes de las potencias
de x. Se obtiene así un sistema de ecuaciones, que permite calcular los valores de
esos coeficientes.
Ejemplo.
Retomamos el ejemplo anterior. Teníamos:
A1
A2
B1x C1
7x 3 30x 2 40x 3
4
3
2
2
x 3
x 5x 5x 3x 18
x 3
x2 x 2
Agrupando los términos del miembro izquierdo:
A1
A2
B1x C1
7x 3 30x 2 40x 3
4
3
2
2
x 3
x 5x 5x 3x 18
x 3
x2 x 2
A1 x 3 x2 x 2 A2 x2 x 2
B1x C1 x 3 2
2 2
x 3 x x 2
3
B1 A1 x
A 2 6B 1 2A 1 C 1 x 2 A 2 9B 1 A 1 6C 1 x 9C 1 2A 2 6A 1
x 3 2 x2 x 2
Como se ve, hemos agrupado los términos del numerador según las potencias de
x. De aquí, comparando los numeradores del principio y final se deduce que:
7x 3 30x 2 40x 3
B 1 A 1 x 3 A 2 6B 1 2A 1 C 1 x 2
Y por lo tanto se tiene el sistema:
A2
9B 1
A1
6C 1 x
9C 1
2A 2
6A 1
11

12. 7
A 1 (términos en x 3 )
B1
30
A2
6B 1
C 1 (términos en x 2 )
2A 1
6C 1 (términos en x)
40
A2
9B 1
A1
3
9C 1
2A 2
6A 1 (términos independientes)
Que una vez resuelto produce A 1 2, A 2 3, B 1 5, C 1 1. Esto permite escribir
finalmente
2
3
5x 1
7x 3 30x 2 40x 3
4
3
2
2
2
x 3
x 5x 5x 3x 18
x 3
x x 2
que es la descomposición en fracciones simples deseada.
Completando cuadrados
Un trinomio cuadrático de la forma
ax 2
bx
c
puede escribirse siempre en la forma:
2
x
si a es positivo o en la forma
x
2
si a es negativo.
A esta operación, que es necesaria muchas veces, se la describe diciendo que se ha
”completado el cuadrado”. Para llevarla a cabo empezamos por suponer que a es
2
positivo, de manera que podemos escribir a
para algún número . Entonces:
2 2
2 2
ax 2 bx c
x bx c
x 2 b x c
2
2 2
x
2
b x
2
b2
b2
c
x
b
2
2
c
b2
b y
c b 2 , conduce al resultado deseado. En el caso en que a
2
2
es negativo se escribe a
y se repite el esquema anterior. Dejamos los detalles
para el lector.
Ejemplos.
1. x 2 6x 1 x 2 2 3 x 1 x 2 2 3 x 3 2 3 2 1
x 3 2 9 1
2
x 3
8 que es el cuadrado completado.
1 2
1 2 1
2
2. x
x 1 x2 2 1 x 1 x2 2 1 x
2
2
2
2
1 2 1 1
1 2
1 2 3
x
x
2
4
2
2
4
3 x 2 x2 2 3 x
3 2
3 2 2
2
2
3. x
3x 2 x 2
2
2
2
2
3 2 9 2
3 2 1
x
x
2
4
2
4
9
9 5
4. 4x 2 6x 5 2 2 x 2 6x 5 2 2 x 2 2 2x 3 5 2 2 x 2 2 2x 3
2
2
4
4
que haciendo
12

13. 2x
5x
5. 2
3
2
2x 2
2
5
2 2
2
5
2 2
2
5
2
2
2
9
4
3
2
2x
5x
2x
5
2 2
5
2 2
2
2
2
2
11
4
2
5
2 2
2
5
2 2
2x
2x
2x
2x
2
2
2
2x
13