El teorema del factor establece que un polinomio P(x) es divisible por (x - a) si y solo si P(a) = 0. Esto significa que a es una raíz del polinomio. Se puede encontrar los factores de un polinomio determinando sus raíces y expresándolo como el producto de factores de la forma (x - a).

1. Teorema del factor
En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es
un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y sólo
si es una raíz de , es decir que .
Ejemplo
Si se desean encontrar los factores de , se tantean las
raíces de para obtener los factores . Si el resultado de sustituir en el
polinomio es igual a 0 (es decir, si es raíz), se sabe que es un factor. Teniendo
en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de son por el
teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.
¿Es un factor de ? Para saberlo, se sustituye en el polinomio:
y se determina que no es un factor de . Se prueba ahora con
de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si
es una raíz del polinomio:
Por tanto, es un factor porque -1 es una raíz de .
Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o
encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener
nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría
Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que no tiene factores
racionales (es decir, no existen más factores de la forma con ), por lo

2. que sólo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del
álgebra, se sabe que tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (
), o ambos complejos no reales ( ).
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 Polinomios
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El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a)
= 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.

4. 3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.
4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.
P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
(x + 2) es un factor.
Calculo las raícesdel polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) =
0 y P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) · (x − 3)
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x =
a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio

5. Son los valores que anulan el polinomio.
Ejemplo
Calcular las raíces del polinomio:
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y
P(3) = 0.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del
polinomio.
2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los
binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
Ejemplo
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que
es lo mismo, admite como factor x.
Ejemplo
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en
factores.
Ejemplo
P(x) = x2 + x + 1
Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

6. Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el
teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.
Ejemplo
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
Las raíces son: x = −2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
Tema
 Exp. algebraicas
 Monomios
 Operaciones
 Polinomios
 Suma
 Producto
 Cociente
 Regla de Ruffini
 Identidades notables
 Teorema del resto
 Teorema del factor
 Factorización
 Frac. algebraicas
 Ccomún denominador
 Suma fracciones
 Producto fracciones
 Cociente fracciones
 Resumen
 Índice

7. Ejercicios
Ejercicios interactivos
 Exp. algebraicas
 Monomios
 Operaciones
 Polinomios
 Suma
 Producto
 Cociente
 Regla de Ruffini
 Identidades notables
 Teorema del resto
 Teorema del factor
 Factorización
 Frac. algebraicas
 Ccomún denominador
 Suma fracciones
 Producto fracciones
 Cociente fracciones
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 Monomios
 Polinomios
 Igualdades notables
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