1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Tr abaj ar en ál gebra consi st e en manej ar rel aci ones numéricas e n
las que una o m ás cant i dades so n desco noci das . Est as cant idade s s e
llam an VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se represent an por
l et r as .
Una expr esi ón al gebrai ca es una combi naci ón de l et ras y n úm er os
l i gadas por l os si gnos de l as operaci ones: a di ci ón, sust racc i ón,
m ul t i pl i caci ón, divi si ón y pot enci aci ón.
Las e xpr esiones algebr a ic as nos p er m it en, por ej em plo, ha lla r ár eas y
volúm en es.
Ej em plos de expr e siones al gebr aica s son:
Longit ud de la ci r cunf er encia: L = 2 r , donde r es el r adio de la
cir cunf er encia.
Ár ea del cuadr ado : S = l 2 , donde l e s el lado del cuadr ado.
Volum en del cubo: V = a 3 , donde a es la ar ist a del cubo.
Val or numéri co de una expresi ón al gebrai ca
El val or numé ri co de una expresi ón al gebrai ca, para un
det er m i nado val o r, es el número que se o bt i ene al sust i t ui r en ést a el
val or num éri co dado y re al i zar l as operac i ones i ndi cadas.
L( r ) = 2 r
r = 5 cm. L (5) = 2 · · 5 = 10 cm
S( l) = l 2
l = 5 cm A( 5) = 5 2 = 25 cm 2
V( a) = a 3
1

2. a = 5 cm V( 5) = 5 3 = 125 cm 3
Cl asi f i caci ón de las expre si ones al gebrai cas
M onomio
Un m on omi o es una e xpr esión algebr a ic a en la que la s únic as
oper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l a
pot enci a de exponent e nat ural .
Bi nomi o
Un bi nomi o es una expr e sión alg e br aica f or m ada por dos monom i os .
Tr i nomi o
Un t ri nomi o es una expr es ió n algeb r aica f or m ada por t r es
m onom i os .
Pol i nomio
Un pol i n omi o es una e xp r esión a l gebr aica f or m ada por má s de un
m onom i o .
M onomios
Un MONOMIO es una ex presi ón al gebrai ca en l a que l as única s
oper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l a
pot enci a de exponent e nat ural .
2x 2 y 3 z
Part es de un monomi o
Coef i ci ent e
El coef i c i ent e del m onom io es el n úm er o que apar ec e m ult ipli cando a
las var ia bles.
2

3. Par t e l i teral
La part e l i t eral est á const ituida por l as let r as y sus exponent es .
G r ado
El gr ado de un m onom io e s la sum a de t od os los e xponent es de las
let r as o var iables.
El gr ado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
M onomios semej ant es
Dos mo nomi os son se mej ant es cuan d o t i enen l a mi sma par t e
l i t er al.
2x 2 y 3 z e s sem ej ant e a 5x 2 y 3 z
Operaciones con monomios
Suma de M onomios
Sólo po d em os sumar monomi os semej ant es .
La suma de l os monomi os es ot ro mono mi o que t i ene l a mi sm a
par t e l iter al y cu yo co ef i ci ent e es l a suma de l os coef i ci ent es.
ax n + bx n = ( a + b) bx n
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
Si los m onom ios no son sem ej ant es se obt iene un pol inom io.
2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z
3

4. Product o de un número por un monomi o
El pr odu ct o de un núm er o por un m o nom io es ot r o monom i o
sem ej ant e cuyo coef i ci ent e es el product o del coef i ci ent e de m onom i o
por el número .
5 · 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z
Product o de monomi os
El pr od u ct o de m onom ios es ot r o monomi o que t i e ne por c oef i ci ente
el pr oduct o de l os coef i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene
m ul t i pl i cando en t re sí la s part es l i t erales t eni endo en cuent a l as
pr opi edades de l as pot enci as .
ax n · bx m = ( a · b)bx n +m
5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3
Coci ent e de monomi os
.
El cocie n t e de m onom ios e s ot r o monomi o que t iene por coefi ci ent e
el coci ent e de l os coe f i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene
di vi di endo ent re sí las part es l i t erales t eni endo en cuent a l as
pr opi edades de l as pot enci as
ax n : bx m = ( a : b)bx n − m
Pot enci a de un monomi o
Par a r eal izar la pot encia d e un m onom io se eleva, cada elem ent o de
ést e, al expo nent e de la pot encia.
4

5. ( ax n ) m = a m · bx n · m
( 2x 3 ) 3 = 2 3 ( x 3 ) 3 = 8x 8
( - 3x 2 ) 3 = ( - 3) 3 ( x 3 ) 2 = −27x 6
Concept o de pol inomi o de una sol a vari abl e
Un pol i nomi o de una sola var iable es una e xpr esi ón algebr a ic a de la
f or m a:
P( x) = a n x n + a n - 1 xn - 1
+ an - 2 xn - 2
+ .. . + a 1 x 1 + a 0
Siend o a n , a n -1 . . . a 1 , a o núm er os, llam ados coef i ci ent es .
n un número nat ural .
x l a variabl e o i ndet ermi nada.
a n es el coef i ci ent e pri nci pal .
a o es el térmi no independ i ent e.
G rado de un pol inomi o
El gr ad o de un poli nom i o P( x) e s el ma yor exp onent e al qu e s e
encuent r a elevad a la vari abl e x.
Ti pos de pol i nomi os
Pol i nom io nul o
El pol i nomi o nul o t iene t odos sus coef i ci entes nul os .
Pol i nom io compl et o
Un pol i nomi o compl et o t iene t odo s l o s t érmi nos desde el t ér m ino
indep end ient e has t a el t érm ino de m ayor grado.
5

6. P( x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3
Pol i nom io ordenado
Un pol i nomi o está orden ado si lo s monomi os que lo f or m an est án
escr it os de ma yo r a menor grado .
P( x) = 2x 3 + 5x - 3
Ti pos de pol i nomi os según su grado
Pol i nomio de grado cero
P( x) = 2
Pol i nomio de primer grado
P( x) = 3x + 2
Pol i nomio de segundo grado
P( x) = 2x 2 + 3x + 2
Pol i nomio de t ercer grado
P( x) = x 3 - 2x 2 + 3x + 2
Pol i nomio de cuart o grado
P( x) = x 4 + x 3 - 2x 2 + 3x + 2
Val or numéri co de un pol inomi o
El val or numéri co de un pol i nomio es el r esult ado que obt e nem os al
sust it uir la var iabl e x por un núm er o cualqui e r a.
P( x) = 2x 3 + 5x - 3 ; x = 1
6

7. P( 1) = 2 · 1 3 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Suma de pol i nomi os
Par a su mar dos pol i no mi os se suman l os coef i ci ent es de l os
t ér m i nos del mi smo grado.
P( x) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x 2 + 2 x 3
1O r denam os los poli nom i os, si no lo est án.
Q ( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x
P( x) + Q( x) = ( 2x 3 + 5x - 3) + ( 2x 3 - 3x 2 + 4 x)
2Agr upa m os los m onom io s del m ism o gr ado.
P( x) + Q( x) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x 2 + 5x + 4x - 3
3Sum am os los m onom ios sem ej antes.
P( x) + Q( x) = 4x 3 - 3x 2 + 9x - 3
Rest a de pol i nomi os
La r est a de p olin om io s consi st e en sumar el op uest o d el
sust r aen do .
P( x) − Q (x) = ( 2x 3 + 5x - 3) − ( 2x 3 - 3x 2 + 4x)
P( x) − Q( x) = 2x 3 + 5x - 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x
P( x) − Q( x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x - 3
P( x) − Q( x) = 3 x 2 + x - 3
7

8. Product o
Product o de un número por un pol i nomi o
Es ot r o p ol i nomi o que t i en e de gr a do el mi smo del poli nom i o y com o
coef i ci ent es el product o de l os coef i ci ent es del pol i nomi o por el
núm er o .
3 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3 - 9x 2 + 12x - 6
Product o de un monomi o por un pol i nomi o
Se m ul t ipl i ca el monomi o por t odos y ca da uno d e los mo nom i os
que f or m an el poli nomi o .
3 x 2 · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x 5 - 9x 4 + 12x 3 - 6x 2
Product o de pol inomi os
P( x) = 2x 2 - 3 Q( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x
Se m ul t ipl i ca cada monomi o del pri mer pol i nomi o por t odos l os
el em ent os segu ndo pol inomi o.
P( x) · Q (x) = ( 2x 2 - 3) · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x) =
= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12 x =
Se suma n l os monomi os del mi smo grado.
= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x
Se obt i e ne ot ro pol i nomio cu yo g rado es l a suma de l os gr ados de
l os pol i nomi os que se mul t i pli can.
8

9. Coci ent e de pol i nomi os
Resol ver el coci e nt e:
P( x) = 2x 5 + 2x 3 −x - 8 Q( x) = 3x 2 −2 x + 1
P( x) : Q( x)
A l a i zqui erda si t uamos el d i vi dendo . Si e l poli nom i o no e s
com pl et o dej am os huecos en los lugar es que cor r espondan.
A l a derecha si t uamos el di vi sor dent ro de una caj a.
Real i zamos el coci ent e ent re el pri mer monomi o del di vi dendo y
el pr i m er monomi o del divi sor.
x5 : x2 = x3
M ul ti pl i camos ca da t érmino del pol i nomi o di vi sor por el resul t ado
ant er i or y l o rest amos del pol i nomi o di videndo:
Volvem o s a divid ir el pr im er m onom io del dividen d o ent r e el pr im er
m onom io del divi sor . Y el r esult ad o lo m u l t ip licam o s por el divis or y lo
r est am os al divide ndo.
2x 4 : x 2 = 2 x 2
9

10. Pr ocede m os igual que ant es.
5x 3 : x 2 = 5 x
Volvem o s a hacer las m ism as oper aciones.
8x 2 : x 2 = 8
10x − 6 es el res t o , por que su gra do es m enor que el del d i vi sor y
por t ant o no se puede cont i nuar divi diend o.
x 3 + 2x 2 +5x+8 es el cocien t e.
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11. I de nt i dades not abl es
Bi nom i o al cuadrado
( a - b) 2 = a 2 - 2 · a · b + b 2
( x + 3) 2 = x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
( 2x − 3) 2 = ( 2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x 2 − 12 x + 9
Un bi nomi o al cuadrado es i gual es i gual al cuadrado del pri m er
t ér m i no m ás, o menos, el dob l e product o del primero por el segundo
m ás el cuadrado segundo
Sum a por di f erenci a
Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados.
( a + b) · ( a − b) = a 2 − b 2
Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados.
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12. ( 2x + 5) · ( 2x - 5) = ( 2 x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Fracci on es al gebrai cas
Una f rac ci ón al gebrai ca es el co ci ent e de dos p ol i nomi os y se
r epr esent a por :
P( x) es el num er ador y Q( x) el denom inad or .
Fracci on es al gebrai cas equi val ent es
Dos f racci ones al gebrai cas
son equi val ent es , y lo r epr esent am os por :
si se veri f i ca que P( x) · S(x) = Q ( x) · R( x).
son equi val ent es por que:
( x+ 2) · ( x+2) = x 2 − 4
Dada un a f r acción algebr aica, si mul t i pl i camos el numerador y el
denom i nador de dicha f r acción p or un mi smo pol i nomi o di st i nt o d e
cer o, l a fr acci ón al gebrai ca resul t ant e es equi val ent e a l a dada.
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13. Si mpl i fi caci ón de f racci ones al gebrai cas
Par a si mpl i fi car una f racci ón al gebrai ca se di vi de el numerador y
el deno m i nador de l a f racci ón po r un pol i nomi o que sea f act or co m ún
de am bos.
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