Semejanza de términos y ecuación de primer grado

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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total, el mismo
signo que se comparten y a continuación se escribe la parte literal.
Reducir: Y 8 + 1 = 9;
1. x + 2x Por lo tanto -8m - m = -9m.
S o l u c i ó n: 5. 4 ax + 5 ax
S o l u c i ó n:
El signo común a todos los términos
es + El signo común a todos los términos
Los coeficientes de los términos son es el +.
1y2 Los coeficientes de los términos son
La parte literal es x. 4 y 5.
Por lo tanto (1 + 2) x = 3x La parte literal en todos los términos
es ax.
2. 8a + 9a Y 4+5=9
S o l u c i ó n:
Por lo tanto 4 ax + 5 a x = 9 a x
El signo común a todos los términos
es el +.
Los coeficientes de los términos son 6. 6ax+ 1 + 8 a x + 1
8 y 9. Solución:
La parte literal en todos los El signo común a todos los términos
términos es a. es el +.
Y 8 + 9 = 17; Los coeficientes de los términos son
Por lo tanto 8a + 9a = 17a. 6 y 8.
La parte literal en todos los términos
3. -b - 5b. es a x+ 1
Solución: Y 6 + 8 = 14
El signo común a todos los términos
es el -. Por lo tanto 6ax+ 1 + 8 a x+1
= 14 a x+ 1
Los coeficientes de los términos son
1 y 5.
La parte literal en todos los términos 7. - 3 ax-2 – ax-2
es b. Solución:
Y 1 + 5 = 6; El signo común a todos los términos
Por lo tanto -b - 5b = -6b. es el -.
Los coeficientes de los términos son
4. -8m - m 3 y 1.
Solución: La parte literal en todos los términos
es a x - 2
El signo común a todos los términos
es el -. Y 3+1=4
Los coeficientes de los términos son
x–2
8 y 1. Por lo tanto -3 ax - 2 - a = -4
La parte literal en todos los términos a x-2
es m.
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO O ECUACIONES
LINEALES
Un a e cu a ci ó n e s un a i g u al d ad q ue se cu mp l e p a r a al g un o s
va l or e s d e la s l e t r a s.
x+1=2 x=1
Los mi e mb r o s de una ecuación son ca d a u n a d e l a s e xp r e si on e s qu e
a p a r e cen a a mb o s l a do s d el si g no i g ua l .
Los t é r mi n o s so n l o s su ma n d o s q u e f or ma n l o s mi e mb r o s.
Las i n có g ni t a s so n l a s l e tr a s q ue a p are ce n e n l a e cu a ci ó n .
Las so l u ci o n e s son los va l o r e s q u e d e b en t o ma r l a s l et r a s p a r a q u e
l a i g ual d a d sea ci e r ta .
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Al resolver una ecuación, es necesario aplicar las propiedades de las
operaciones y algunas de las propiedades de la igualdad en el conjunto de los
números reales (R), entre las que destacamos las siguientes
a) Propiedad aditiva: “ Si a los miembros de una igualdad se suma un
mismo número real, la igualdad se mantiene”
b) Propiedad multiplicativa: “ Si los dos miembros de una igualdad se
multiplican por un mismo número real, la igualdad se mantiene”
Observación: Entre las ecuaciones de primer grado con una incógnita,
podemos distinguir las siguientes:
7
 Con solución : 3x – 7  x 
3
 Sin solución : 0  x  4
 Con infinitas soluciones ( indeterminado): 0  x  0
Ejemplos:
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1. x+ 4 = 7
a) Agrupar las variable y los números separados por el signo “=”
Recuerda que
x=7–4 cualquier número
b) Solucionar: o variable pasa al
x= 3 otro lado del
signo igual con
signo cambiado.
2. 3x – 8 = 16
/ +8 (Sumamos el opuesto aditivo de –8)
3x –8 + 8 = 16 + 8
3x + 0 = 24 (propiedad del neutro aditivo)
1
3x = 24 /  (multiplicamos por el inverso multiplicativo de 3)
3
1 1
 3x   24 (propiedad del elemento inverso)
3 3
1 x  8 (propiedad del elemento neutro multiplicativo)
x=8 La raíz de la ecuación es 8
3. 2x – 8 = x + 6
a) Agrupar las variable y los números separados por el signo “=”
2x – x = 6 + 8
b) Solucionar:
x = 14
4. 7 · (x + 1) – 4 · (x + 3) = x – 9
a) Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes:
7x + 7 – 4x – 12 = x – 9
b) Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los
términos sin la x en el otro (recuerda que al pasar un término de un
miembro a otro de la ecuación cambia su signo):
7x – 4x – x = – 9 – 7 + 12
c) Operar:
2x = –4
d) Despejar la x:
4
x  2
2
e) Comprobar la solución: para lo que se sustituye el valor obtenido en la
ecuación de partida:
7 · (–2 + 1) – 4 · (–2 + 3) = –2 – 9  7 · (–1) – 4 · (1) = –11  –11 = –11
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Aplicaciones de las ecuaciones de primer
grado con una incógnita.
Ejemplo: traje. ¿Cuánto pague por cada
artículo?
La suma de las edades de A y B es
84 años, y B es 8 años menos que Solución:
A. Hallar ambas edades. No está de más decir que la
asignación de la letra “x” tiene
Solución: mucho que ver en la simplicidad de
 Sea x = edad de A. la resolución del problema.
 Como B tiene 8 años menos  Sea x=precio del libro. Como el
que A; x – 8 = edad de B. sombrero costo $5 más que el
 La suma de ambas edades es libro:
84 años; luego tenemos la  x + 5 = precio del sombrero
ecuación:  El sombrero costo $20 menos
 x + x − 8 = 84 que el traje; luego, el traje costo
 Resolviendo esta ecuación con $20 más que el sombrero;
la calculadora, tenemos x = 46, x + 5 + 20 = x + 25 = precio del
la cual representa la edad de A. traje.
 La edad de B será x − 8 = 46 −  Como todo costo $87; la suma
8 = 38 años. de los precios del libro, del
Nota la verificación de los sombrero y el traje tiene que ser
resultados es importante, porque igual a $87: de aquí tenemos la
permite percatarse si se satisfacen ecuación,
las condiciones iniciales del x + x + 5 + x + 25 = 87
problema.  Usando cualquier método para
En este caso las condiciones encontrar el valor buscado,
iniciales será que la suma de las tenemos que x=19, $19 precio
edades de A y B son 84, como del libro.
efectivamente es, pues; X+5=19+5=24, $24 precio del
46 + 38 = 84. sombrero y
Ejemplo: x+25=19+25=44, $44 precio del
traje.
Pague $87 por un libro, un traje y un Chequeando el resultado con las
sombrero. El sombrero costo $5 condiciones iniciales; 19+24+44=87.
más que el libro y $20 menos que el
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REFUERZO ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.- Indica el número que falta en estas expresiones:
a) 24 + __ = 36 b) 15 – __ = 9 c) 12: ___ = 4
d) __ · 4 = 35
2.- Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:
a) x + 2 = 6 b) a – 2 = 8 c) 5 + x = 7 d) 4 + x = 10 – 2
3.- Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:
a) x – 5 = 4 b) 2 – x = – 4 c) x + 10 = 0 d) t – 3 = 1
4.- Resuelve la siguiente ecuación.
2x + 8 = x + 25 + 8
5.- Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:
a) 3x + 23 = 2x + 59
b) x + 12 = 17
c) 2x – 4 = x + 9
d) 5x – 10 = 4x – 12
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
2x 5x
a)  10 b) 3x – 4 = 24 – x c)  2  20  2
3 2
7.- Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones:
a) El doble de x es cuatro
b) El triple de x es 3
c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6
8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 2 = x + 10
b) 1 + 3x = 2x + 7
c) 2 + 7x = 4 – 3x
d) x – 18 = 2x – 3
e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2
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9.- Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:
a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4
b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)
c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x
d) 10(x – 2) = 1
10.- Si x es un número expresa simbólicamente:
a) Su doble.
b) Su mitad mas su doble.
c) Su cuádruplo.
d) El siguiente a x.
e) El número anterior a x.
f) Los dos números que le siguen a x.
g) El doble del siguiente de x.
11.- Resuelve estas otras ecuaciones:
x
a)  2x  4
2
b) 2(x – 5) –10 = x – 5
c) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4
d) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)
12.-Resuelve estas ecuaciones pequeñas con denominadores:
2x x x
a)  4  1 b)  5  3
4 2 4
13.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es
51 años. ¿Qué edad tiene Lucía?
14.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen expresados en metros. Si su
perímetro es 27 metros, halla la longitud de cada lado.
15.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de
Javier. Averigua la edad de cada uno.
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