Factorizacion

1. CORPORACION UNIFICADA NACIONAL
DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N.
ESCUELA DE INGENIERIAS
AREA DE CIENCIAS BASICAS
LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO
FACTORIZACION
La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el
caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el termino original. Por
ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factoriza a x a.
Cuando se factoriza un polinomio como 652
 xx su resultado es
  23  xx .
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
FACTOR COMUN
Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor
exponente común de un polinomio.
Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el
polinomio dado por el factor común.
Ejemplos
)2(4
comunFactor
48 22
baab
abba



)3(3
comunFactor
93
aby
yaby



TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 222
2 yxyxyx 
Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización.
Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble
producto figura en el trinomio dado,
Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y
luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del
Binomio tendrán las dos el mismo signo.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del
Binomio tendrán signos opuestos.

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Ejemplos:
1.
222
2
2
22
)3+2(=9124:Entonces
PerfectoCuadradoTrinomiounEs
123.2.2
39
24
9124
zxzxzx
xzzx
zz
xx
zxzx













2.
2336
33
36
36
)
4
1
+2(=
16
1
4:Entonces
PerfectoCuadradoTrinomiounEs
4
1
.2.2
4
1
16
1
24
16
1
4
xxx
xx
xx
xx















CUBO PERFECTO
 33223
33 yxyxyyxx 
Se identifican los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.
Luego calculo:
El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.
El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,
Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo Perfecto; y luego lo factorizo
como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.
Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.

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Ejemplos:
1.
33223
22
22
3 3
3 3
3223
3b)-2(=2754368:Entonces
PerfectoCubounEs
54)3).(2.(3
36)3.()2.(3
327
28
2754368
ababbaa
abba
baba
bb
aa
babbaa














2.
323
2
22
3
3 3
23
)1-
2
1
(=1
2
3
4
3
8
1
:Entonces
PerfectoCubounEs
2
3
)1.(
2
1
.3
4
3
)1.()
2
1
.(3
11
2
1
8
1
1
2
3
4
3
8
1
xxxx
xx
xx
xx
xxx


















DIFERENCIA DE CUADRADOS
))((22
yxyxyx 
Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.
Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos.
Ejemplos:
1.
9 25
9 3
25 5
9 25 3 5 3 5
2 2
2
2
2 2
x y
x x
y y
x y x y x y







   Entonces: ( )( )
2.
4
9
4
9
2
3
4
9
2
3
2
3
6 4 2
6 3
4 2 2
6 4 2 3 2 3 2
x z y
x x
z y z y
Entonces x z y x z y x z y








  





 





:

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TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA
baxx 2
Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.
Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término y sumados el segundo término del trinomio
    bxaxabxbaxdcxx  22
Ejemplos:
    656.5653011 22
 xxxxxx
          23232365 22
 xxxxxx
          45454520 22
 xxxxxx
  573522
 xxxx
SUMA DE CUBOS
  2233
babababa 
El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer
término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del
segundo término.
Ejemplo:
Factorizar 13
x
Aplicando el caso de factorización
        223
1111  xxxx
Se obtiene como resultado:
  111 23
 xxxx
RESTA DE CUBOS
  2233
babababa 
El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer
término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo
término.

5. CORPORACION UNIFICADA NACIONAL
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AREA DE CIENCIAS BASICAS
LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO
Ejemplo:
Factorizar 13
x
Aplicando el caso de factorización         223
1111  xxxx
Se obtiene como resultado:
  111 23
 xxxx
TRINOMIO DE LA FORMA
cbxax 2
Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de
1.
Se factoriza de la siguiente manera:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto en el segundo
término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma: baxx 2
Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.
Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma baxx 2
Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.
Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.
Ejemplo:
Factorizar 26 2
 xx 26 2
 xx
Se obtiene como resultado:
  )12(2326 2
 xxxx