La trigonometría plana se refiere al estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos en el plano. Su base son las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas razones son fundamentales para relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos de este triángulo.

1. Algebra, trigonometría y
geometría analítica
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
FASE 3 –TRIGONOMETRIA PLANA
DANILO ANDRES TORRADO GAONA
CODIGO:1005074666
GRUPO:18
TUTOR
OTTO DAVID ALVARADO ESQUIVEL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD
ESCULA DE LA EDUCACIÓN-ECEDU
LICENCIATURA EN MATEMÁICAS
OCAÑA, OCTUBRE- 2023

2. TRIGONOMETRIA PLANA
La trigonometría plana se refiere al estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos en el plano. Su base
son las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas razones son fundamentales
para relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos de este triángulo.
 ¿De qué te ha servido aprender trigonometría plana?
 La trigonometría plana es una herramienta esencial en muchas áreas del conocimiento y aplicaciones prácticas:
 Ciencias Físicas: Se utiliza en física para descomponer fuerzas, estudiar movimientos oscilatorios, ondas, óptica, entre
otros.
 Ingeniería: Para el diseño de estructuras, análisis de circuitos eléctricos, aerodinámica, y muchas otras aplicaciones.
 Matemáticas: Es fundamental para el análisis y resolución de problemas en geometría, cálculo y álgebra.
 Geografía y Astronomía: Para determinar distancias y posiciones en la Tierra o en el espacio.
 Arquitectura: En el diseño y cálculo de estructuras y edificaciones.
 Navegación: Para determinar rumbos y distancias.
 Arte: En ciertas obras, especialmente las que tienen una perspectiva o proporción precisa.
 Vida Cotidiana: Si alguna vez has querido saber la altura de un árbol basado en su sombra y el ángulo del sol, ¡has usado
trigonometría!
 Aprender trigonometría plana te proporciona una base sólida para comprender y analizar una amplia variedad de
fenómenos en el mundo que nos rodea. Además, mejora tu capacidad para resolver problemas y pensar lógicamente sobre
situaciones espaciales.

3. EJERCICIOS DEL TRABAJO
 Tarea 1. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno
y coseno, Los triángulos se deben graficar únicamente con el uso del
programa GeoGebra, en su versión online o descargar el programa:

4.  c). a = 70m b = 50m C = 75,78o Solución A = 64,2° B =40o c = 75,4m
 c2=702+502-2(70)(50) cos75,78°
 c2=4900+2500-140(50) cos75,78°
 c2=4900+2500-7000 cos75,78°
 c2=4900+2500-(7000)(0,24564577°)
 c2=4900+25001719,52039
 c2=74001719,52039c2=5680,47961
 c=75,4m
 702=502+(75,4)2-2(50)(75,4) cosA
 4900=2500+5685,16-2(50)(75,4) cosA
 4900=2500+5685,16-100(75,4) cosA
 4900=8185,16-7540 cosA
 cosA=0,4356976127
 A=cos-1(0,4356976127)=64,2°
 sen B = 0,6430848367
 B = sen -1(0,6430848367)
 B=40°

6. Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente
de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo rectángulo que
aparecen abajo.


7. sen B= sen= sen B = 0,8
sen = 0,6B= sen-1(0,8) =sen -1(0,6)B= 53,13°
=36,87°cos B= cos =cos B=0,6
cos=0,8B=cos-1(0,6) = cos -1(0,8)B=53,13°
= 36,87°tan B= tan=tan B= 1,33
tan = 0,75B= tan -1(1,33) = tan-1 (0,75)B= 53,13°
=36,87°

8. Tarea 3. Realizar las siguientes identidades trigonométricas:

9. c.
sec x
tan x +cot x
= sin x
 Comenzamos trabajando en el lado izquierdo

sec x
tan x +cot x
 usando sec 𝑡 =
1
𝑐𝑜𝑐 𝑡
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛.

1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
tan x +cot x
 usando tan 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑐𝑜𝑠 𝑡
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 𝑥
+cot x
 usando cot 𝑡 =
𝑐𝑜𝑠(𝑡)
𝑠𝑒𝑛 𝑡
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

10. 
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
,

1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
,
 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 Simplificamos la fracción compleja

𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)2+cos(𝑥)2
 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2
+𝑐𝑜𝑠(𝑥)2
= 1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1
 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 1 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑑 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

11. Tarea 4. Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas.

12. c. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑐𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∗ 1 − 2 cos 𝑥 = 0
 Cuando el producto de los factores es igual a 0, al menos un factor es 0
 sin 𝑥 = 0
 1 − 2 cos 𝑥 = 0
 Resolvemos la ecuación para x
 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧
 1 − 2 cos 𝑥 = 0
 Resolvemos la expresión para x
 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧
 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧
 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧
 Encontremos la unión
 𝑥 =
𝜋
3
+
2𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑧
 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧
 Solución
 𝑥 =
𝜋
3
+
2𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑧
 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑧

13. Tarea 5. Aplicaciones trigonométricas.

14. c. And Andrea y Claudia corren juntas un trayecto, llegan a un cruce
de caminos rectos (sin ninguna curva), que forman entre sí un ángulo
de 60º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Andrea
camina a 2 km/h y Claudia a 4km/h ¿A qué distancia estará Andrea de
Claudia al cabo de una hora y media?

15.  Dado que Andrea y Claudia parten de un punto en común y siguen caminos rectos que forman un ángulo de 60° entre sí,
podemos utilizar las propiedades trigonométricas para encontrar la distancia entre ellas después de un cierto tiempo.
 1. Determinar la distancia recorrida por cada una después de 1.5 horas.
 Para Andrea, que camina a 2 km/h:
 Distancia recorrida por Andrea=2 km/h×1.5 horas=3 km
 Para Claudia, que camina a 4 km/h:
 Distancia recorrida por Claudia=4 km/h×1.5 horas=6 km
 2. Usar la ley de cosenos para encontrar la distancia entre Andrea y Claudia (D).
 La fórmula de la ley de cosenos es:
 c2=a2+b2−2ab⋅cos(C)
 Donde: c = distancia entre Andrea y Claudia (lo que queremos encontrar) a = distancia recorrida por Andrea = 3 km b =
distancia recorrida por Claudia = 6 km C = ángulo entre los caminos = 60°
 Sustituimos los valores en la ecuación: D2=32+62−2(3)(6)⋅cos(60∘)
 Usando el hecho de que cos(60∘)=0.5:
 D2=9+36−36(0.5)
 D2=9+36−18
 D2=27
 Ahora, para encontrar D, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:
 𝐷 = √27
 𝐷 = 3√3 km
 Por lo tanto, al cabo de una hora y media, Andrea estará a una distancia de 𝐷 = 3√3 km de Claudia.