El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.

1. Algebra, trigonometría y geometría analítica
Fase 3
trigonometría plana
Estudiante: Alexander Vasquez Jaimes
Grupo 16
Tutor: Otto David Alvarado Esquivel
UNIVERSIDADNACIONALABIERTAY A DISTANCIAUNAD
ESCUELADECIENCIASDELAEDUCACIÓN– ECEDU
Licenciaturaenmatemáticas
2023

2. Trigonometría plana
La trigonometría fue desarrollada hace más de 2.000 años, siendo los Griegos sus gestores y
el Matemático y Astrónomo Hiparco de Nicea (190-120 a d C) uno de sus representantes.
Sus inicios fueron motivados por la necesidad de predecir rutas y posiciones de cuerpos
celestes, para mejorar la navegación, el cálculo de tiempos y posiciones de los planetas. La
trigonometría se centra en el estudio de los Triángulos, la palabra se deriva del griego
Trigonom que significa Triángulo y metres de medición. En esta lección solo nos
centraremos en el estudio de las funciones trigonométricas, sus principios, características y
aplicaciones. En la lección de Trigonometría se analizarán aspectos de trigonometría
analítica.

3. Tarea 1. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los triángulos se deben graficar únicamente
con el uso del programa GeoGebra, en su versión online o descargar el programa:
b). a = 10 m b = 6 m A = 120° Solución c = 5,5 m B =31, 3o C = 28,7°
Ley de seno y coseno
Se aplica cuando no son triángulos rectángulos
No tienen ninguna Angulo recto
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
Ley coseno
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 cos 𝐶

4. a
b
=
sen A
sen B
10
6
=
sen 120°
sen B
1.666 =
0.8660254038
1.666666667
sen B = 0.5196152412
𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1 − 1(0.5196152412)
𝐵 = 3103°
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
120° + 31.3° + 𝐶 = 180°
𝐶 = 180° − 120° − 31.3°

5. 𝐶 = 28.7°
𝑐2
= 102
+ 62
− 2 10 6 𝑐𝑜𝑠28.7°
𝑐2 = 100 + 36 − 120 0.8771461637
𝑐2
= 136 − 105.2575396447
𝑐2 = 30.7424603553
𝑐 = √30.7424603553
𝑐 = 5.5𝑚

7. Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A
y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.

8. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶.𝑜
ℎ
= 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
3𝑐𝑚
5𝑐𝑚
= 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
3
5
= 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0.6
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝐶.𝑎
ℎ
= 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
4𝑐𝑚
5𝑐𝑚
= 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
4
5
= 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0.8
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝐶.𝑜
𝐶.𝑎
= 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
3𝑐𝑚
4𝑐𝑚
= 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
3
4
= 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 0.75
𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
ℎ
𝐶.𝑜
= 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
5𝑐𝑚
3𝑐𝑚
= 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
5
3
= 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1.66
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝐶.𝑜
ℎ
= 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛽 =
4𝑐𝑚
5𝑐𝑚
= 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
4
5
= 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0.8
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
𝐶.𝑎
ℎ
= 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
3𝑐𝑚
5𝑐𝑚
= 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
3
5
= 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 0.6
𝑡𝑎𝑛 𝛽 =
𝐶.𝑜
𝐶.𝑎
= 𝑡𝑎𝑛 𝛽 =
3𝑐𝑚
4𝑐𝑚
= 𝑡𝑎𝑛 𝛽 =
3
4
= 𝑡𝑎𝑛 𝛽 = 0.75
𝑐𝑠𝑐 𝛽 =
ℎ
𝐶.𝑜
= 𝑐𝑠𝑐 𝛽 =
5𝑐𝑚
4𝑐𝑚
= 𝑐𝑠𝑐 𝛽 =
5
4
= 𝑐𝑠𝑐 𝛽 = 1.25
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
ℎ
𝐶.𝑎
= 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
5𝑐𝑚
3𝑐𝑚
= 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
5
3
= 𝑠𝑒𝑐 𝛽 = 1.66
cot 𝛽 =
𝐶.𝑎
𝐶.𝑜
= cot 𝛽 =
4𝑐𝑚
3𝑐𝑚
= cot 𝛽 =
4
3
= cot 𝛽 = 1.33
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
ℎ
𝐶.𝑎
= 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
5𝑐𝑚
4𝑐𝑚
= 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
5
4
= 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1.25
cot 𝛼 =
𝐶.𝑎
𝐶.𝑜
= cot 𝛼 =
4𝑐𝑚
3𝑐𝑚
= cot 𝛼 =
4
3
= cot 𝛼 = 1.33

9. Tarea 3. Realizar las siguientes identidades trigonométrica
cos 𝑥 tan 𝑥 +𝑠𝑒𝑛(𝑥)
tan(𝑥)
=
2
sec(𝑥)
cos 𝑥 tan 𝑥 +𝑠𝑒𝑛(𝑥)
tan(𝑥)
=
2
sec(𝑥)
, 𝒙 ≠
𝒌𝝅
𝟐
, 𝒌𝝐𝒛
cos 𝑥 tan 𝑥 +𝑠𝑒𝑛(𝑥)
tan(𝑥)
=
2
sec(𝑥)
, x ≠
kπ
2
, kϵz
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 tan 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
cos(𝑡)
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
cos 𝑥 +
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
=
2
sec(𝑥)
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 sec 𝑡 =
1
cos 𝑡
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
cos 𝑥 +
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
=
2
1
cos 𝑡
cos 𝑥 +
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
=
2
1
cos 𝑡

10. Eliminamos las (x)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
=
2
1
cos 𝑡
Simplificamos la fracción compleja
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
= 2cos(𝑥)
Agrupamos los terminos semejantes
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
= 2cos(𝑥)
Simplificamos la fracción compleja
2𝑐𝑜𝑛(𝑥) = 2cos(𝑥)
El enunciado es verdadero para cualquier valor de x, ya q ambos son idénticos
𝒙 ∈ 𝑹, 𝒙 ≠
𝒌𝝅
𝟐
, 𝒌𝝐𝒛

11. Solución
x ∈ R,
𝒌𝝅
𝟐
, 𝒌𝝐𝒛
Tarea 4. Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas.
2𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 3
Sacamos el factor común x de la expresión
(2𝑠𝑒𝑐2
− 𝑡𝑎𝑛2
) = 3
Dividimos ambos lados de la ecuación entre
2𝑠𝑒𝑐2
− 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 =
3
2𝑠𝑒𝑐2−𝑡𝑎𝑛2
Usamos la propiedad conmutativa para reorganizar los términos
𝑥 =
3
2𝑒𝑐2s−𝑎𝑛2𝑡
Solución:
𝑥 =
3
2𝑒𝑐2s−𝑎𝑛2𝑡

12. Tarea 5. Aplicaciones trigonométricas.
a. b) Si vemos una casa bajo un ángulo de 60º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la distancia a la que nos encontramos de la misma
fuese el doble? ¿Y si fuese el triple?
tan 60° =
ℎ
𝑥
tan ∝
ℎ
2𝑥
ℎ = 𝑥 tan 60° ℎ = 2𝑥 tan ∝
𝑥 tan 60° = 2𝑥 tan ∝
tan ∝=
𝑥 tan 60°
2𝑥
tan ∝=
1,7320
2
tan ∝= 0,8660
∝= 41°
tan 60° =
ℎ
𝑥
tan 𝜃
ℎ
3𝑥
𝜃 = 30

13. ℎ = 𝑥 tan 60°
ℎ = 3𝑥 tan 𝜃
𝑥 tan 60° = 3𝑥 tan 𝜃
tan 𝜃 =
𝑥 tan 60°
3𝑥
tan 𝜃 =
tan 60°
3
tan𝜃 = 0,5773