sobre geometría

1. Conceptos claves de trigonometría
Liceo Bicentenario Mary Graham
Nivel IV°Medio Electivo
Profesores: Robinson Peretti Pizarro;
María José Berger

2. CONCEPTOS GENERALES DE
TRIGONOMETRÍA(parte a)
1. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
2. CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL
TEOREMA DE PÍTAGORAS
3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BASICAS
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN
POSICIÓN NORMAL
5. RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS
6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO
RELACIONADO
7. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOS
8. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS DE 30,60 Y 45
9. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTE
10. CONCEPTO DE ÁNGULO COTERMINAL

3. SISTEMAS DE COORDENADAS
RECTANGULARES
Abscisa positiva
Ordenada positiva
origen
Ordenada negativa
Abscisa negativa
I
II
III IV
Todo sistema
cartesiano esta
compuesto por dos
ejes que se cortan
perpendicularmente
en un punto
Llamado origen. Al
eje horizontal se le
conoce como
abscisa o eje de las
“x”Al eje vertical se
le conoce como
ordenada o eje de
las “y” . Existe un
semi eje positivo y
negativo para
ambos ejes.

4. Localización de puntos en el plano
Las coordenadas o puntos se
escriben como pares ordenados
(X, Y). Donde se escribe primero la
abscisa y segundo la ordenada
Ejemplos
a.(-3,2)
b.(-1,-2)
C. (0,3)
d.(4,0)
a.(-3,2)
b.(-1,-2)
C. (0,3)
d.(4,0)

5. CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL
TEOREMA DE PÍTAGORAS
2
2
2
2
2
Y
R
X
Y
R
X




2
2
2
2
2
X
R
Y
X
R
Y




Radio Vector: Es el segmento que une el origen con un
punto en el plano
Considerando que el radio vector junto a las coordenadas
del punto forman un triángulo rectángulo. Podemos aplicar
el Teorema de Pitágoras para calcular uno de los valores
faltantes de la terna Pitagórica
2
2
2
2
2
Y
X
R
Y
X
R




Dado X, Y, para encontrar R
Dado R, Y para encontrar X
Dado R, X para encontrar Y
(X,Y)
Radio Vector
R
El signo de la “X” o “Y” dependerá del
Cuadrante donde se ubique el punto

6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Las funciones trigonométricas
básicas se definen como las
razones trigonométricas para
un triángulo rectángulo,según
coincida su lado terminal con
el eje “x” o Eje “y”.
c
a
opuesto
lado
A
sen 

hipotenusa
a
b
c
C
A
B
Principales
Recíprocas
Funciones trigonométricas
respecto al ángulo A del triángulo
c
b
hipotenusa
adyacente
lado
A 

cos
a
b
opuesto
Lado
a
Lado
A
Cot 

dyacente
a
c
hipotenusa
A 

opuesto
lado
Csc
b
a
adyacente
lado
opuesto
Lado
A
Tan 

b
c
adyacente
lado
hipotenusa
A
Sec 


7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN
POSICIÓN NORMAL
Definiciones de ángulo:
Según el sentido de giro:
positivo: Gira en contra de las
manecillas del reloj
negativo: gira a favor de las
manecillas del reloj
Ángulo en posición normal:
Es aquel que tiene su vértice en el origen y su
lado inicial coincide con el eje positivo de las
abscisas o “x”

8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN
POSICIÓN NORMAL
1

2

1

270
0
360
90
180
x1
y1
x2
y2
2

1

(X1,Y1)
(x2,Y2)
Un ángulo en posición
normal puede estar
entre o y 360
El signo de las funciones
depende del cuadrante
Funciones trigonométricas de 2

2
2
2
r
y
sen 

2
2
2
cos
r
x



2
2
2
tan
x
y




9. Signo de las funciones
trigonométricas según cuadrante
(+ X ,+ Y)
(+ X ,- Y)
(- X ,- Y)
(- X ,+ Y)
Todas las funciones
son positivas
Sólo el sen y Csc
son positivas
Sólo la Tan y Cot son
positivas
Cos y sec son positivas

10. RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS
Los ángulos pueden medirse en grados io radianes.
Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas
unidas de medida.
Transformación de Grados a Radianes. Para
transformar de grados a radianes se debe multiplicar
por
Transformación de radianes a grados: Para
transformar de radianes a grados se debe multiplicar
por:
o
rad
r
180

rad
rad
Ejemplo
3
180
60
60
:
0
0
0 









rad
1800
 0
0
0
0
0
30
180
6
6
229
14
.
3
180
4
180
4
4
:























rrad
rad
rad
rad
rad
rrad
rad
rad
Ejemplos




Si el ángulo en grados tiene minutos y segundos
debe transformar los minutos y segundos a
grados

11. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90
EN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADO
Definición de ángulo relacionado:
Todos los ángulos mayores de 90 se pueden
expresar en términos de ángulos agudos
positivos. Esto se hace mediante la
utilización de ángulo de referencia o
relacionado.
El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su
lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier
ángulo, que no sea multiplo de 90 y se encuentre en posición
normal.

12. Ejemplos de ángulos relacionados
Ø=135
A = 45
A = 45
225
A = 180-Ø
A = 180-135
A = 45
A = Ø-180
A = 225-180
A = 45
Sen135= sen45
Cos135=-cos45
Tan135=-tan45
Caso: 90<Ø<180
Caso: 180<Ø<270
Sen225= -sen45
Cos225=-cos45
Tan225= tan45

13. A = 30
330
A = 60
420
Caso: 270<Ø<360
A=360-Ø
A=360-330
A=30
Sen330= -sen30
Cos330= cos30
Tan330= -tan30
Caso:360<Ø<450
A = Ø-360
A = 420-360
A = 60
Sen420= sen60
Cos420= cos60
Tan420= tan60

14. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45
GRADOS
Para determinar las funciones de
los ángulos de 30 y 60 basta
dibujar un triángulo equilátero y
trazar la bisectriz a uno de sus
ángulos. Considerando que los
lados son iguales, tendremos la
hipotenusa y uno de los catetos
para un triángulo con ángulos
agudos de 60 y 30 grados
Procedimiento para determinar
las Funciones de ángulos de 30 y 60:

15. 60 60
1/2 1/2
1 1
 
2
3
4
3
4
1
1
2
1
1
2
2
2
2














Y
Y
Y
X
R
Y
3
3
3
3
*
3
1
60
ot
2
60
sec
3
3
2
3
3
*
3
2
60
sc
3
60
tan
2
1
60
cos
2
3
60
o
o








c
c
sen
o
o
o
o
3
30
ot
3
3
2
3
3
*
3
2
30
sec
2
30
sc
3
3
3
3
*
3
1
30
tan
2
3
30
cos
2
1
30
o
o








c
c
sen
o
o
o
o
2
3
Y 

16. Procedimiento para determinar
las Funciones de ángulos de 45
grados
Para determinar las funciones de
los ángulo de 45 grados se debe
dibujar un cuadrado y trazar su
diagonal. Como el cuadrado tiene
sus lados iguales , al trazar la
diagonal la misma representa la
hipotenusa de los dos triángulos
formados. Calculando la
hipotenusa y teniendo los catetos
que son los lados del triangulo
podemos calcular las funciones
trigonométricas del ángulo de 45
dado que la diagonal divide el
ángulo de 90 en dos ángulos de
45 grados

17. 45
45
45
45
1
1
1
1
 
2
1
1
1
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2









R
R
R
Y
X
R
Y
X
R
2

R
1
1
1
45
ot
2
1
2
45
sec
2
1
2
sc45
1
1
1
45
tan
2
2
2
2
*
2
1
45
cos
2
2
2
2
*
2
1
45
o
o












c
c
sen
o
o
o
o

18. Procedimiento para determinar
las Funciones de ángulos de
cuadrante
Para determinar las funciones de
los ángulo de cuadrante se debe
dibujar un circulo trigonométrico
de radio uno. Ubicando el radio
vector en cada uno de los ejes o
ángulo de cuadrante, podemos
determinar las funciones de cada
uno de estos ángulos
considerando. que en cada eje
el radio vector será igual al
mismo cateto, siendo cero el
cateto restante.
FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTE

19. (1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
0
0
0
90
0
180
0
270
0
360
X = 0, y = 1, R = 1 X = 1, y = 0, R =1
X =-1, y = 0, R = 1 X = 0, y = -1 , R = 1




















0
1
0
ot
1
1
1
0
sec
0
1
0
sc
0
1
0
0
tan
1
1
1
0
cos
0
1
0
0
o
o
Y
X
c
X
R
Y
R
c
X
Y
R
X
R
Y
sen
o
o
o
o
0
1
0
270
ot
0
1
270
sec
1
1
1
0
27
sc
0
1
270
tan
0
1
0
270
cos
1
1
1
0
27
o
o


























Y
X
c
X
R
Y
R
c
X
Y
R
X
R
Y
sen
o
o
o
o



























0
1
180
ot
1
1
1
180
sec
0
1
0
18
sc
0
1
0
180
tan
1
1
1
180
cos
0
1
0
0
18
o
o
Y
X
c
X
R
Y
R
c
X
Y
R
X
R
Y
sen
o
o
o
o
0
1
0
90
ot
0
1
90
sec
1
1
1
0
9
sc
0
1
90
tan
0
1
0
90
cos
1
1
1
0
9
o
o




















Y
X
c
X
R
Y
R
c
X
Y
R
X
R
Y
sen
o
o
o
o

20. Tabla : Funciones de ángulos
especiales
Ø 30 60 45 0 90 180 270
Sen 1/2 √3/2 1/√2 0/1=0 1/1=1 0/1=0 -1/1=-1
Cos √3/2 1/2 1/√2 1/1=1 0/1=0 -1/1=-1 0/1=0
Tan 1/√3 √3 1 0/1= 1/0=∞ 0/-1=0 -1/0=∞
Cot √3 1/√3 1 1/0=∞ 0/1=0 -1/0=∞ 0/-1=0
Sec 2/√3 2 √2 1/1=1 1/0=∞ 1/-1=-1 1/0=∞
csc 2 2/√3 √2 1/0=∞ 1/1=1 1/0=∞ 1/-1=1