EXPLICACIÓN SOBRE ANALISIS DIMENSIONAL Y VECTORES

1. FÍSICA
01
Ing. Jairo Herrera Maldonado
SEMESTRAL UNI 2022 - 2

2. “La mente es igual que un
paracaídas, solo funciona si
se abre.
Albert Einstein

3. Análisis dimensional

4. El análisis dimensional es un procedimiento que nos
permite:
1) Verificar la consistencia dimensional de una
ecuación:
𝐴 = 𝐵 + 𝐷
Si A es tiempo
B es tiempo
D es tiempo
2) Deducir nuevas relaciones entre cantidades
físicas:
𝑔
T: Período
Depende de:
L g
Aplicando el análisis dimensional:
𝑇 = 𝑘𝐿𝑥 ∙ 𝑔𝑦 𝑘: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 numérica
Después de aplicar reglas y principios se tiene lo
siguiente:
𝑇 = 𝑘
𝐿
𝑔

5. CANTIDAD
FÍSICA:
Es una característica o propiedad de un cuerpo
o fenómeno físico que se puede medir
Medir es comparar cuantitativamente una
cantidad dada con otra de la misma especie y
como resultado es un numero, una unidad de
medida y tal vez de una orientación.
La unidad de medida es una porción de
una cantidad física que se utiliza como
referencia para una medición.

6. Observaciones
:
 Toda cantidad física posee unidad
 No son cantidades físicas:
10 kg
5 m/s
200 Pa
𝑓𝑠𝑚á𝑥 = 𝜇𝑠 ∙ 𝐹𝑁
Coeficiente de fricción
𝜇𝑠 =
𝑓𝑠𝑚á𝑥
𝐹𝑁
=
200 𝑁
800 𝑁
= 0,25
No es una cantidad física
(no tiene unidad de medida)
Es una constante numérica
Cuerpos u objetos: Como personas,
manzanas, mesas, libros, entre otros.
Fenómenos físicos: Como el sonido,
la gravedad, la luz, colores.
Hay características que no se pueden
medir, tales como: el sabor, el olor, la
ductibilidad, la maleabilidad, la dureza.
También tenemos:
La belleza
El amor
La ira
La alegría
La tristeza, entre otros.
Cantidades
físicas

7. CLASIFICACIÓN DE LAS CANTIDADES FÍSICAS
1 Por su origen:
CANTIDADES FUNDAMENTALES
CANTIDADES DERIVADAS
CANTIDADES SUPLEMENTARIAS
O COMPLEMENTARIAS
2 Por su naturaleza:
CANTIDADES ESCALARES
CANTIDADES VECTORIALES
Hoy
estudiamos las
dos
clasificaciones

8. CANTIDADES FUNDAMENTALES
Son aquellas que se definen indicando el
procedimiento para medirlas.
Ejemplo: La longitud se define midiendo
la distancia entre dos puntos
Son aquellas que han sido elegidas en forma
arbitraria por el Sistema Internacional de
unidades (SI)
Convencionalmente son elementales e
independientes entre sí.
Poseen unidad patrón:
Estas cantidades no pueden expresarse en
función de otras ni entre ellas.
1 m
C :Rapidez de la Luz
1
299792458
𝑠

10. CANTIDADES DERIVADAS
CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
ACELERACIÓN
POTENCIA
FRECUENCIA
Son aquellas que se definen describiendo
la forma de calcularlas a partir de otras
cantidades físicas.
ejemplos:
𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 =
𝑚𝑎𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
CANTIDAD
FUNDAMENTAL
CANTIDAD
DERIVADA CANTIDAD
DERIVADA
CANTIDAD
DERIVADA

11. Cantidad Física
CANTIDADES AUXILIARES O SUPLEMENTARIAS
Unidad de
medida
Ángulo Plano o
bidimensional
radián (rad)
Ángulo Sólido o
Tridimensional
estereorradián (sr)
Observación:
30 m =
10 m
𝐿 = 𝜃 ∙ 𝑅
𝜃 =
𝐿
𝑅
=
30 𝑚
10 𝑚
𝜃 = 3
(El ángulo no
es cantidad
física)
Pero:
𝜃 = 3 𝑟𝑎𝑑
artificial
Convencional
mente es una
cantidad física
MÚLTIPLOS SUB MÚLTIPLOS

12. Ejemplos:
6 ms : seis milisegundos
15 m . s : quince metro segundos
10 m/s : diez metros por segundo
TU TURNO
𝐾 ∙ 𝑇𝑠2
𝑐𝑑 ∙ 𝑚𝐴2 ∙ 𝑁3
kelvin terasegundo
cuadrado por candela
miliampere cuadrado
newton cubo.
El sistema Legal de Unidades de Medida del Perú, Ley
23560, está constituido básicamente por:
1) El sistema internacional de unidades cuyas siglas son
SI.
2) Las unidades fuera del SI, que se consideran
necesarias y convenientes en el país, en concordancia
con las resoluciones de la XI Conferencia General de
Pesas y Medidas (CGPM), realizada en París (Octubre de
1960)
SLUMP
Sistema Legal de Unidades de Medidas del Perú
Ejemplo:
centímetros, pulgadas, toneladas

13. DIMENSIÓN DE UNA CANTIDAD
FÍSICA
Expresa o denota la naturaleza física de una cantidad.
𝑚
𝑠
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛
𝑎ñ𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧
𝑠𝑖𝑔𝑙𝑜
Dimensión de
velocidad
Unidades de
velocidad
Se le expresa mediante símbolos establecidos
por el SI.
Ejemplo: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 → 𝐿𝑇−1
Notación:
𝐴 : 𝑆𝑒 𝑙𝑒𝑒 dimension de A o expression dimensional
de A
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐿
𝑀𝑎𝑠𝑎 = 𝑀
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑇
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜃
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
= 𝐼
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑎
= 𝐽
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
= 𝑁

14. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Son aquellas que carecen de dimensión
 Números reales
 Cantidad de objetos o cuerpos
 Razones trigonométricas
 Ángulos
 Logaritmos
 Argumento de los logaritmos:
𝐿𝑜𝑔 𝑥
𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Notación:
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
= ∗
No tiene dimensión
Ejemplo:
5 =∗ 172020
=∗
𝑆𝑒𝑛 300
= ∗
∗ <> 1 (Operacionalmente)
300
= ∗
𝐿𝑜𝑔(𝑥) = ∗ 𝑥 = ∗

15. DIMENSIÓN DE ALGUNAS CANTIDADES
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐿2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝐿3
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑚𝑎𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
=
𝑀
𝐿3
= 𝑀𝐿−3
𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 =
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐿3
𝑇
= 𝐿3
𝑇−1
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑉𝑓 − 𝑉0
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐿𝑇−1
𝑇
= 𝐿𝑇−2
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 ∙ 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑀𝐿𝑇−2
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
𝑀𝐿𝑇−2
𝐿2 = 𝑀𝐿−1
𝑇−2
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 ∙ 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑀𝐿𝑇−2
. L
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑀𝐿𝑇−2
. L = M𝐿2
𝑇−2
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 𝑀𝐿2
𝑇−2

16. 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑀𝐿2𝑇−2
𝑇
= 𝑀𝐿2
𝑇−3
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
= 𝑀𝑎𝑠𝑎 ∙ 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑀𝐿𝑇−1
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
= 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 𝑀𝐿𝑇−1
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
∗
𝑇
= 𝑇−1
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
=
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
∗
𝑇
= 𝑇−1
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
=
𝜔𝑓 − 𝜔0
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑇−1
𝑇
= 𝑇−2
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
=
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∙ 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝐼𝑇

17. CONSTANTES EN LA
FÍSICA
1 Constante Numérica: 2 Constante Física:
Carece de dimensiones
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
Constante numérica
d =
1
2
𝑎 𝑡2
Constante numérica
Presenta dimensiones
ℎ = 6,63 ∙ 10−31
𝐽. 𝑠
Constante de Planck
𝑅 = 8,31
𝐽
𝑚𝑜𝑙 . 𝐾
Constante
Universal de
los gases

18. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
DIMENSIONAL
Para que una ecuación sea dimensionalmente
homogénea se debe de cumplir que cada uno de sus
términos deben de tener la misma dimensión
Sea la siguiente ecuación dimensionalmente
homogénea:
𝑃 +
𝑄
𝑅
= 𝐵 − 𝐶𝐷
Se cumple lo siguiente:
𝑃 =
𝑄
𝑅
= 𝐵 = 𝐶𝐷
Los términos tienen la misma dimensión
Comprobando la consistencia dimensional
de la ecuación:

27. VECTORES

28. CANTIDADES ESCALARES
Valor numérico Unidad de Medida
+
 Positivo
 Negativo
 Cero
CANTIDADES ESCALARES
La Temperatura
La Masa

29. CANTIDADES
VECTORIALES
Magnitud o Módulo Dirección
+
No negativo
CANTIDADES VECTORIALES
Sentido
+
Valor
Numérico
Unidad
de
medida
+ ORIENTACIÓN
Positivo o cero
Velocidad Angular
Vector Posición
Velocidad
𝑭
Fuerza
𝑉0 = 0

30. VECTO
R
Es un ente matemático que nos da la
información de cantidad y orientación.
Gráficamente se le representa mediante un
segmento de recta orientado
Pero también hay otra forma de
representar un vector
FORMA ANALÍTICA
𝑉 = 20 𝑖
𝑚
𝑠
𝑎 = 2𝑖 − 5𝑗
𝑚
𝑠2
𝐹 = 10𝑖 + 40𝑗 − 50𝑘 𝑁
Se utiliza para representar a las cantidades
vectoriales.

31. ELEMENTOS DE UN VECTOR DIRECCIÓN: Gráficamente la
dirección es la recta en
donde esta contenido el
vector, o también se puede
entender como el conjunto
de rectas paralelas donde
puede estar el vector.
Nos indica como es que está
ubicado el vector.
SENTIDO: Nos indica
hacia donde señala o
apunta el vector.
FINAL O EXTREMO
ORIGEN
𝐴
𝐴 : Se lee vector A
𝐴 : Se lee módulo o magnitud del vector A
MÓDULO O MAGNITUD:
Gráficamente seria la
longitud o tamaño del
vector.

32. VECTORES COLINEALES
Dos vectores son colineales si un vector es igual a
otro vector multiplicado por un escalar.
Sean 𝐴 y 𝐵 dos vectores colineales:
𝐵 = 𝑛𝐴 n: escalar
¿Vectores
colineales son
aquellos que
siempre van a
estar en la misma
recta?
No
necesariamente
……..eso te pasa
por no estar en
IMPULSO UNI
desde hace 3
años

33. VECTORES
PARALELOS
𝐵 = 𝑛𝐴 𝑛 > 0
VECTORES ANTIPARALELOS
𝐵 = 𝑛𝐴 𝑛 < 0
 Misma dirección
 Mismo sentido
 Misma dirección
 Sentidos contrarios

34. VECTORES IGUALES
𝐵 = 𝐴 𝑛 = 1
VECTORES
OPUESTOS
𝐵 = −𝐴 𝑛 = −1
𝐴
𝐵
𝐴 = 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴 = 𝐵
 Misma dirección
 Mismo sentido
 Misma dirección
 Sentidos contrarios
 Mismo módulo
o magnitud
 Mismo módulo o
magnitud

35. ADICIÓN DE
VECTORES
Consiste en reemplazar dos o más vectores por uno solo, denominado Vector Suma o Resultante
MÉTODO DEL POLÍGONO:
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
Vector Resultante o Suma
𝑅 Reemplaza a todos los vectores
5
8
10
ERROR EN
COMUN
𝑅 = 5 + 8 + 10 = 23

36. EJEMPLO A: EJEMPLO B:
Ordenando, juntando el final de un vector con el origen del
otro vector:
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅
𝐵
𝐶
𝐴
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅
𝐷
DE LA COLA DEL
PRIMERO A LA
CABEZA DEL
ÚLTIMO

37. CASO
PARTICULAR:
No se puede trazar
un vector que
reemplace a todo el
conjunto de vectores
mostrados
𝑅 = 0
POLÍGONO VECTORIAL CERRADO
UNA CABEZA CON
UNA COLA
UNA CABEZA CON
UNA COLA
UNA CABEZA CON
UNA COLA
𝐴
𝐵
𝐶

38. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO:
𝐴
𝐵
𝑅
𝐴 𝑅
𝐵
= 𝐴 + 𝐵
𝜃
CALCULANDO LA MAGNITUD DE LA RESULTANTE:
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
Demostración:
𝐴
𝑅
𝐵
𝜃 𝜃
𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃
𝐴
𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃

39. 𝐴
𝑅
𝐵
𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃
𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃
𝜃
𝐵 + 𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃
Aplicando el teorema de Pitágoras en
el triángulo sombreado:
𝑅2 = 𝐵 + 𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃 2 + 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃 2
𝑅2 = 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝐴2𝐶𝑜𝑠2𝜃 + 𝐴2𝑆𝑒𝑛2𝜃
𝐴2
𝐶𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑆𝑒𝑛2
𝜃
1
𝑅2 = 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝐴2
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

40. CASOS PARTICULARES
𝜃 = 00
𝐴
𝐵
𝑅𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵
Demostración:
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠00
1
𝑅𝑚á𝑥 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵
𝑅𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵 2
Magnitud máxima
𝑅𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵
𝜃 = 1800
𝐴 𝑅𝑚í𝑛 = 𝐴 − 𝐵
Demostración:
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠1800
𝑅𝑚í𝑛 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵
𝑅𝑚í𝑛 = 𝐴 − 𝐵 2
Magnitud mínima
𝑅𝑚í𝑛 = 𝐴 − 𝐵
𝐵
- 1

41. 𝜃 = 900
𝐴
𝐵
𝑅
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠900
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2
IMPORTANTE!!!
600
K
K
𝐾 3
1200
600
600
K
K
K
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE VECTORES
 Propiedad Conmutativa:
 Propiedad Asociativa:
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
= 𝐴 + 𝐶 + 𝐵
= 𝐵 + 𝐶 + 𝐴

49. RESTA DE VECTORES
 Es una operación que se basa en la adición de
vectores.
 Consiste en sumar un vector con el negativo de
otro vector.
𝜃
𝐴
𝐵
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵
𝜃
𝐴
−𝐵
−𝐵 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐵
𝐵 − 𝐴
Volviendo al gráfico original:
𝜃
𝐴
𝐵
𝐴 − 𝐵
𝐴 − 𝐵 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

51. 15
20
600
X
X
𝑋 = 5 32 + 42 − 2 3 4 𝐶𝑜𝑠600
𝑋 = 5 9 + 16 − 24
1
2
𝑋 = 5 13 CLAVE: D

55. Importante:
𝑏
𝑎
𝑥
m n
+
𝑥 =
𝑛𝑎 + 𝑚𝑏
𝑚 + 𝑛

57. Descomposición
Vectorial
Es una operación contraria a la adición de
vectores.
Consiste reemplazar un vector por dos o
más vectores, denominados Vectores
Componentes.
La suma de los vectores componentes nos
debe dar como resultado el vector original.
𝑚
𝑛
𝑝
𝑞
𝐴 = 𝑥 + 𝑦
𝐴 = 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 + 𝑞

60. COMPONENTES RECTANGULARES
y
x
𝐴
𝜃
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃
𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃
Componentes Rectangulares
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥
2
+ 𝐴𝑦
2