Este documento trata sobre ecuaciones dimensionales y el análisis dimensional. Explica que las ecuaciones dimensionales expresan la relación entre magnitudes derivadas y fundamentales usando exponentes. También describe que el análisis dimensional se usa para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos obteniendo grupos adimensionales. Finalmente, presenta ejemplos de cómo aplicar el método de Buckingham para resolver problemas físicos relacionando variables a través de grupos adimensionales.
2. ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas que expresan la
relación existen entre la magnitud
derivada y las magnitudes
fundamentales
Las ecuaciones dimensionales se
usan los símbolos de las
magnitudes fundamentales .Cada
símbolo está afectado de un
exponente que indica las veces
que dicha dimensión interviene en
la magnitud derivada.
3. El análisis dimensional es un método para verificar
ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir
del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos
adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados
experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a
situaciones en que se tengan diferentes dimensiones
geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en
casos en que las propiedades del fluido y del flujo son
distintas de las que se tuvieron durante los experimentos
4. UTILIDAD DEL ANALISIS
DIMENSIONAL
Para determinar las dimensiones
de coeficientes empíricos.
Para establecer y realizar
experimentos, descubriendo
aspectos desconocidos del
problema.
Para formular leyes de similitud de
considerable importancia en la
investigación experimental.
Para determinar la forma de
ecuaciones físicas a partir de las
variables principales y de sus
dimensiones. Para comprobar
cualitativamente ecuaciones.
5. MAGNITUDES FISICAS
En nuestra vida cotidiana todos
tenemos la necesidad de medir
longitudes , contar el tiempo o
pesar cuerpos, por ejemplo
podemos medir la longitud de
una tubería, el volumen de un
barril , la temperatura del
cuerpo humano, la velocidad del
bus, etc. todas estas son
magnitudes o cantidades físicas
Magnitud es todo aquello
que podemos medir directa
o indirectamente y
asignarle un numero y
unidad .
6. Las magnitudes fundamentales son aquellas magnitudes físicas que, gracias a
su combinación, dan origen a las magnitudes derivadas. Tres de las
magnitudes fundamentales más importantes son la masa, la longitud y
el tiempo, pero en ocasiones en la física también se agrega la temperatura,
la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia y la intensidad de corriente.
MAGNITUDES FUNDAMENTALES
La siguiente
tabla muestra
las
unidades del
sistema
internacional (
SI).
Magnitud Unidad Símbol
o
DIM.
Longitud Metro m L
Masa Kilogramo Kg M
Tiempo Segundo s T
Temperatura Kelvin K 𝜃
Int.corriente Ampere Amp. I
Int.luminosa Candela cd J
7. Magnitud Dimensiones
Longitud (L) [L] = 𝐿
superficie(A) [A] = 𝐿2
Volumen(V) [V] = 𝐿3
Momento de inercia(I) [I] = 𝐿4
Velocidad(v) [v] =L𝑇−1
Aceleración(a) [a] = 𝐿 𝑇−2
Velocidad angular(𝜔) [𝜔] =T−1
Aceleración angular(𝛼) [𝛼] =T−2
Densidad(𝜌) [𝜌] =ML−3
Caudal volumétrico(Q) [Q] =L3
T−1
Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo :
Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes
fundamentales
Demostrar la validez de una formula
Determinar formulas empíricas.
9. Método de Buckingham (Π)
Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que
intervienen en el problema, se debe tener una
función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si
G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos
adimensionales que representan a las variables
∏1, ∏2, ..., ∏n; el teorema de BUCKINGHAM
también establece que existe una función de la
forma:
El teorema Π de BUCKINGHAM establece
que en un problema físico en que se
tengan “n” variables que incluyan “m”
dimensiones distintas; las variables se
pueden agrupar en “n-m” grupos
adimensionales independientes.
Edgar Buckingham
Φ(∏1,∏2,..., ∏n-m) = 0
10. EJEMPLO 01:
Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal 𝑄 a través de un orificio en
función de la densidad del líquido, el diámetro del orificio y la diferencia de presiones.
SOLUCIÓN:
𝑄 = 𝑓(𝜌, 𝑃, 𝑑)
𝑄 = 𝐾 𝜌 𝑎, 𝑃 𝑏 , 𝑑 𝑐
𝐹0
𝐿3
𝑇−1
= (𝐹 𝑛
𝑇2𝑎
𝐿−4𝑎
)(𝐹 𝑏
𝐿−2𝑏
)(𝐿𝑐
)
Matemáticamente:
Dimensionalmente:
0 = 𝑎 + 𝑏−1 = 2𝑎 3 = −4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐,
En donde
igualamos:
"𝑇” “𝐹" "𝐿”
11. 𝑎 = −
1
2
, 𝑏 =
1
2
, 𝑐 = 2
Despejamos y nos
sale:
𝑄 = 𝐾 𝜌−
1
2, 𝑃
1
2 , 𝑑2
Sustituyendo:
𝑄 = 𝐾 𝑑2 𝑃/𝜌 (Fluido Ideal)
El coeficiente K ha de obtenerse mediante
el análisis físico o por experimento.
12. EJEMPLO 02:
Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso
específico del fluido del caudal en 𝑚3
/𝑠𝑒𝑔 y de la altura comunicada a la
corriente, resolver aplicando el teorema de Buckingham
𝑓 𝑃, 𝑤, 𝑄, 𝐻 = 0
SOLUCIÓN:
Matemáticamente:
Dimensionalmente: Potencia 𝑃 = 𝐹𝐿 𝑇−1
Peso Especifico 𝑤 = 𝐹𝐿−3
Caudal 𝑄 = 𝐿3 𝑇−1
Carga 𝐻 = 𝐿
13. Usando el Teorema de Buckingham tenemos que existen 4 magnitudes
físicas y de ellas 3 son fundamentales, de donde (4-3)=1 (un grupo) 𝜋
Donde escogemos 𝑄, 𝑤 𝑦 𝐻 como magnitudes con los
exponentes desconocidos:
𝜋1 = (𝑄 𝑥1) 𝑤 𝑦1 𝐻 𝑧1 𝑃
𝜋1 = (𝐿3𝑥1 𝑇−𝑥1) 𝐹 𝑦1 𝐿−3𝑦1 𝐿 𝑧1 (𝐹 𝐿 𝑇−1
)
Igualando los exponentes:
0 = 𝑦1 + 1 0 = 3𝑥1 − 3𝑦1 + 𝑧1 + 1
"𝐹” "𝐿” "𝐹”
0 = −𝑥1 − 1
