Folleto probabilidades conteo

ESTADÍSTICA UNSCH
1GUÍA DE ESTUDIOS Mg. AGUILAR ALTAMIRANO, Erick

ESTADÍSTICA UNSCH
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
El objetivo general de la teoría de probabilidades consiste en proporcionar un modelo
matemático adecuado a la descripción e interpretación de cierta clase de fenómenos, es
decir que la teoría de probabilidades permite vincular la muestra con la población
siempre que la muestra responda al requisito fundamental de ser aleatoria.
I. DEFINICIONES BÁSICAS:
 Se desea saber en cuanto tiempo el piloto, conduciendo su auto llegará hasta donde
está su amigo?
e
t
v

10
0.5
5
72. /
18
e m
t s
v m s
  
 Se lanza un par de dados sobre una mesa.
01. Experimento (E):
Un experimento (real o hipotético) es un proceso que consiste en la ejecución de un
acto o prueba del cual se obtiene un resultado u observación ya sea cualitativos o
cuantitativos, se dividen en dos clases:
 Experimento determinístico:
Será determinístico cuando los resultados del experimento están completamente
determinados y pueden describirse a través de una fórmula matemática llamado
también modelo determinístico.
72 km/h
10 m

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 Experimento aleatorio o no determinístico:
Es aquel proceso que consiste en la ejecución de un acto o prueba, una o más veces,
siendo estos resultados dependientes del azar los cuales no se pueden predecir con
certeza.
02. Suceso elemental o punto muestral “”: Son cada una de las respuestas
posibles después de la ejecución de un experimento aleatorio y no se pueden
descomponer en otros más simples, en conjunto vienen a ser los elementos del espacio
muestral.
03. Espacio muestral (): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de
un experimento aleatorio.
={/ es un punto muestral}
Clasificación de los espacios muestrales: de acuerdo al número de puntos
muestrales, se pueden clasificar en:
- Espacio muestral discreto finito: Es el conjunto que tiene un número finito de
elementos.
- Espacio muestral discreto infinito: Es el conjunto que tiene un número infinito
numerable de elementos.
- Espacio muestral continuo: Es el conjunto que tiene un número infinito no numerable
de elementos o que sus elementos pertenecen a un intervalo.
04.Eventos: Se llama evento a todo los subconjuntos que se pueden obtener del espacio
muestral ().
Tipos de eventos:
- Evento imposible (): Es el conjunto vacío, que no tiene elementos o que nunca
ocurre.
- Evento unitario: llamado también evento elemental y posee un solo punto muestral.
- Eventos compuestos:
Son los que tienen de dos a más sucesos ocurridos o puntos muestrales.
- Evento seguro: es el mismo espacio muestral (), puesto que contiene a todos los
sucesos posibles que pueda ocurrir.
OBSERVACIÓN:
Supongamos que tenemos un espacio muestral con “n” elementos  1 2 3; ; ;...; nw w w w 
es
decir es numerable, entonces diremos que  tiene 2n
eventos o subconjuntos.
05.Experimentos unidos por la “o” (excluyente).
Un experimento compuesto E, se dice que es una “o-combinación” de los
experimentos simples E1 y E2 si y sólo si el experimento E ocurre, cuando el
experimento E1 ó E2 ocurre (pero no ambos).
Ejemplo:
E1: Lanzar un dado : 1= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

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E2: lanzar una moneda : 2= {C, S }
Ahora si E=E1ó E2
Diremos que = {1, 2, 3, 4, 5, 6,C,S }
06.Experimentos unidos por la “y”.
Un experimento compuesto E, se dice que es una “y-combinación” de los
experimentos simples E1 y E2 si y sólo si el experimento E ocurre, cuando ambos
experimentos E1 y E2 ocurren, donde el espacio muestral asociado será el producto
cartesiano de los espacios cartesianos componentes.
Ejemplo: se lanza una moneda tres veces:
E1: lanzar la primera moneda: 1= {C, S }
E2: lanzar la segunda moneda: 2= {C, S }
E3: lanzar la tercera moneda: 3= {C, S }
Ahora el espacio muestral asociado a E será:
1 2 3
( , , );( , , );( , , );( , , );
( , , );( , , );( , , );( , , )
x x
C C C C C S C S C S C C
C S S S C S S S C S S S
    
 
  
 
TABLA DE DOS ENTRADAS
Se utiliza para determinar los elementos del espacio muestral para un experimento
compuesto de dos experimentos simples.
EJEMPLO:
Se lanza una moneda y un dado determinar el espacio muestral:

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DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Se utiliza para determinar los elementos del espacio muestral para un experimento
compuesto de dos a más experimentos simples.
Lanzar una moneda cuatro veces
OPERACIONES CON EVENTOS
1. Inclusión ( )
Se dice que el evento A esta incluido en otro evento B, si todos los elementos de A
pertenecen a B. Se denota A  B, se lee: “A” está contenido en “B”
Ejemplo
A= {p, q} B = {p, q, r, s}
OJO: La relación de pertenencia se dá, de suceso a evento y la relación de inclusión se
da de evento a evento.
2. Igualdad: Dos eventos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin
importar el orden, se denota A = B.
Se define: A = B  A B  B A

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3. Eventos Diferentes: Dos eventos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un
elemento que no posee el otro.
4. Eventos Comparables: Dos eventos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos
está incluido en el otro, es decir:
AB ó BA
5. Eventos Disjuntos:
Llamado también mutuamente excluyentes, Se dice que dos eventos son disjuntos
cuando no poseen elementos comunes
A y B son disjuntos /A  B
En otras palabras AB=
De manera general:
Una colección de n eventos A1, A2, A3…An definidos sobre un mismo espacio muestral
serán mutuamente excluyentes si: ; ; , 1,2,3,...i jA A i j i j n    
6. Eventos colectivamente exhaustivos
Una colección de n eventos A1, A2, A3…An definidos sobre un mismo espacio muestral
serán colectivamente exhaustivos si la unión es igual al espacio muestral:
1 2 3
1
.....
n
n i
i
A A A A A

     
7. Unión de eventos:
AB = {/A B}
Consecuencias:
* AB=A BA
* n(AB)=n(A)+n(B)A y B son disjuntos
8. Intersección: AB =AB= {/A B}
9. Diferencia:
 
 
/
/
A B x U x A x B
B A x U x A x B
     
     

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10. Diferencia Simétrica:
AB={/(A-B)  (B-A)}
11. Complemento de A :
A`=Ac={/U  A}= U-A
12. PRODUCTO CARTESIANO
Sean los eventos A y B: llamaremos producto cartesiano de A por B en ese orden, al
conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) donde la primera componente
“a” pertenece al evento A y la segunda que es “b” pertenece al evento B.
Simbólicamente el producto cartesiano se representa.
AxB={(a,b)/aAbB}
Ejemplo:
Si A = {3,5} y B= {4, 6,8}
AxB={ (3;4),(3;6),(3;8),(5;4),(5;6),(5;8)}
BxA={(4;3),(4;5),(6;3),(6;5),(8;3),(8;5)}
AxA ={(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}
OBSERVACIONES:
(1) AxB ≠ BxA no siempre se cumple.
(2) Si A y B son conjuntos finitos, el número de elementos de AxB es igual al número de
elementos de A por el número de elementos de B;es decir, n(AxB) = n(A) x n(B)
(3) Cuando A = B, el producto AxA se denota por: A2

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
Para el producto cartesiano de conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades:
1. Si A ≠ B → AxB ≠ BxA
2. Ax= x A =
3. Ax(B C) = (AxB)  (AxC)
4. Ax (B  C) = (AxB) (AxC)
5. Ax (B-C) = (AxB) – (AxC)
6. (AxB) x C ≠ A x (BxC)
7. Si A  B → (AxC) (BxC),C
8. Si AC y BD(AxC)  (CxD)
9. (A’ x B’)  (AxB)’
10. AxC =BxC y C → A =B
11. (AxB)  (CxD) = (A C) x (B D)
12. (AxB)(CxD)  (AC) x (BD)
ALGEBRA DE EVENTOS
 
1 2
3 4
5 6
7 8
9 ´ 10 ´
11 ' 12 '
13 14 '
15 16
17 ´ 18 ''
19 20
21 ( )´ ' ' 22 ' ' ´
23 ( ) ( ) ( )
24 ( ) (
B
A A A A A A
A B B A A B B A
A A A
A U U A U A
A A U A A
U U
A B C A A B A B
A A A A
U A A A A
A B B A A
A B A B A B A B
A B A B B A
A B C A
  

 
 
 
   
     
   
   
   
 
    
   
  
    
     
    
  
       
) ( ) ( )
25 ( ) ( ) ( ) ( )
26 ( ) ( ) ( )
27 ( ) ( ) ( )
28 ( ) ( ) ( ) ( )
29 ( ) ( ) ( ) ( )
30 ( ) 31 ( )
32
C B C C A B
A B C A C B C C A B
A B C A C B C
A B C A C B C
A B C A C B C C A B
A B C A C B C C A B
A A B A A A B A
A B B C A B C A B C
     
        
     
     
        
        
     
        

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II. CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES
En este punto se dará una noción de la cantidad de elementos que puede tener un
espacio muestral tras la realizacón de un experimento aleatorio.
01. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un experimento puede realizarse de n1 formas y por cada una de estas, un segundo
experimento puede realizarse de n2; un Tercer experimento puede realizarse de n3;…. y
así sucesivamente hasta el experimento k que se puede efectuar de nk maneras entonces,
los k experimentos pueden realizarse de n1 x n2 x n2x …x n2
Ejemplo:
Se desea escoger “k” objetos de una urna que contiene “n” objetos numeradas de 1 a n
donde:
A1=extraer el primer objeto
A2=extraer el segundo objeto
A3=extraer el tercer objeto
…………………
Ak=extraer el k-ésimo objeto
Entonces:
a. Para el caso de un experimento con reposición
Cada evento tendrá n oportunidades de ser escogido por tanto:
n(A1)x n(A2)xn(A3)x …n(Ak)= nxnxnx...n (k veces)
b. Para el caso de un experimento sin reposición
Cada evento tendrá una oportunidad menos de ser escogido por tanto:
n(A1)x n(A2)xn(A3)x …n(Ak)= (n)x(n-1)x(n-2)x ....x(n-k) (k veces)
APLICACIONES:
1. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden esperar al lanzar una moneda y un dado
simultáneamente?
2. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también distintas. ¿De cuántas maneras se
puede vestir Ana?
3. Una persona puede viajar de una ciudad “A” a otra “B” por 2 caminos y de “B” a “C” por
5 caminos diferentes. ¿Por cuántos caminos diferentes puede ir dicha persona de “A” a
“C” y regresa a “A”, siempre pasando por “B”, si:
Puede volver por cualquier camino.
No puede volver por un camino ya recorrido.
4. ¿Cuántos números de 2 cifras existen en el sistema quinario?
5. ¿Cuántos números de 2 cifras diferentes existen en el sistema quinario?
6. ¿Cuántos números de 3 cifras existen?
7. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes existen?

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8. ¿Cuántos números impares de 4 cifras existen, tales que empiecen en cifra par?
9. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen?
02. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
Si los n eventos A1; A2;A3; …;Ak son disjuntos o mutuamente excluyentes tenemos:
1 2 3
1
( ... ) ( )
k
k i
i
n A A A A n A

   
 Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:
n(AB)=n(A)+n(B)- n(AB)
 Si A , B y C son tres eventos cualesquiera, entonces:
n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(BC)-n(AC)+n(ABC)
APLICACIONES:
1. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden esperar al lanzar un dado ó una moneda?
2. Una persona puede viajar en forma directa de Lima a Arequipa por vía aérea ó por vía
terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas
maneras puede realizar el viaje directo?
3. Un producto se vende en 3 mercados: en el 1º se tiene disponible en 6 tiendas, en el 2º
en 5 tiendas y en el 3º en 4 tiendas. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona
un artículo de dicho producto?

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03. VARIACIONES
A. VARIACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN O PERMUTACIÓN LINEAL:
Llamado también variaciones de k objetos tomados de n objetos diferentes, a cada uno
de los arreglos u órdenes que se hagan con los k objetos, de manera, que estos
arreglos difieran en algún elemento o en el orden de colocación.
Si A= {a, b, c, d} entonces los arreglos de dos elementos será:
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc
El número de variaciones diferentes:
!
( 1)( 2)...( 1)
( )!
n
k
n
V n n n n k
n k
     

Representa el número de k objetos tomados de n objetos distintos.
Esta fórmula nos dice que:
Existe n posibilidades para la primera posición.
Existen (n-1) posibilidades para la Segunda posición.
………
Existen (n-k+1) posibilidades para la k-ésima posición.
Para el ejemplo anterior
4
2
4!
4 3 12
(4 2)!
V x  

B. VARIACIONES CON REPETICIÓN
Es la variación de k objetos tomados de n objetos diferentes, donde en cada uno de los
arreglos un elemento puede repetirse una o más veces en los arreglos.
Si A= {a, b, c, d} entonces los arreglos de dos elementos será:
aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd,
ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd.
Número de variaciones con reposición:
. ....n k
k
k veces
VR n n n n

 
Para el ejemplo anterior

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4 4
2 2 2 2 2 2 16VR x x x  
APLICACIONES:
1. En una carrera participan 4 atletas. ¿De cuántas maneras distintas puede llegar a la
meta; si llegan uno a continuación de otro?
2. Un grupo está formado por 6 personas y desean formar una comisión integrada por un
presidente y un secretario. ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión?
3. ¿De cuántas maneras se puede representar el número 9 como suma indicada de tres
sumandos positivos y diferentes?
4. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos en una misma fila donde
desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las tres
chicas no quieren estar una al costado de la otra?
04.PERMUTACIONES
Permutaciones simples:
Son variaciones de n objetos en n objetos distintos.
Si A= {a, b, c } entonces los arreglos de dos elementos será:
abc, acb, cab, cba, bca, bac.
NOTACIONES:
( , )
( , )
n n
k k n k n k
n
n n n
V P P P
P P P
  
 
Número de Permutaciones:
.( 1)( 2)....2.1 !n n
nP V n n n n    
Número de formas diferentes de ordenar n objetos de manera que k (k<n) de ellos no
estén juntos es:
! !( 1)!n k n k  
PERMUTACIÓN CIRCULAR:
Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas
ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada
imaginaria.
Ejemplo: Permutar A; B y C en forma circular.

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Para determinar el número de permutaciones circulares de “n” elementos distintos (Pc),
basta fijar la posición de uno de ellos, los (n –1) restantes podrán ordenarse de (n –1) !
maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de las restantes serán
seguro uno de los ya considerados.
Luego:
 1 !n
cP n 
APLICACIONES:
1. En un campamento 5 amigos conversan alrededor de una fogata. ¿De cuántas
maneras se pueden ordenar alrededor de dicha fogata?
2. En una mesa circular se encuentran servidos 5 copas con bebida, entre ellos hay uno
con sangría. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse 6 personas en sus
asientos, si entre ellos hay 4 personas que no les gusta la sangría?
3. Cuatro parejas de enamorados. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar
alrededor de una fogata? de modo que:
4. Los hombres y las mujeres queden alternados.
5. Cada pareja no se separe.
PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS
Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes.
Se tienen 3 bolas blancas y 2 negras, todas enumeradas del 1 al 5. ¿De cuántas maneras
se pueden ordenar en fila:
a. Según la enumeración.
b. Según el color.
Luego:
Si se tienen “n” elementos donde hay:
r1 elementos de la primera clase.
r2 elementos de una segunda clase.

rk elementos de una k-ésima clase.
El número de permutaciones diferentes con “n” elementos con repetición, se calcula como
sigue:
       ; ;....;1 2; ; ;....;1 2 1 2
!
! ! .... !
n
r r rkn r r rk kx x
n
PR PR
r r x r
 
Dónde: r1+ r2+ ... +: r k  n
APLICACIONES:
1. Un estante tiene capacidad para 8 libros de Teoría de Conjuntos de pasta azul; 5 de
Estadística de pasta roja y 4 de Probabilidades de pasta amarilla. ¿De cuántas
maneras pueden ordenarse los libros según los colores?.

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2. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas; 3 blancas y 5 son azules. ¿De cuántas
maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila?
3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra ANALISIS?
COMBINACIONES:
Son los diferentes grupos que se pueden formar con parte o con todos los elementos
diferentes de un conjunto.
NOTA: En una combinación no interesa el orden de sus elementos.
Ejemplo: Si tenemos un conjunto de 4 elementos: A = a; b; c; d tenemos los siguientes
subconjuntos no vacíos:
Luego: el número de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “r” en “r”
se calcula como sigue:
 
!
; 0
! !
n
r
n
C r n
r n r
  

OBSERVACIONES:
1. 0 1n
C  ; 1
n
C n ; 1n
nC 
2. -
n n
r n rC C
3. 0 1 2 ........ 2n n n n n
nC C C C   
APLICACIONES:
01. ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar de un grupo de 6 personas?
02. ¿De cuántas maneras se puede extraer un as de una baraja de 52 cartas?
03. En una reunión hay 10 hombres y 5 mujeres; se van ha formar grupos de 3 personas.
¿Cuántos grupos diferentes se formarán si siempre debe haber 2 mujeres en el grupo?
Ejemplos prácticos:
Para todas las preguntas, responda como corresponde a lo siguiente:
a. Qué tipo de experimento se realiza?
b. Qué clase de espacio muestral es?
c. Escriba el espacio muestral con sus respectivos sucesos.
01. Se va a lanzar 4 monedas al aire.
02. Se lanza dos dados al mismo tiempo.
03. Se desea extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos “D” y no
defectuosos “ND”
04. Designar a un delegado de un salón de 40 personas.
05. Se desea controlar la caída de una piedra desde el cuarto piso de un edificio.
06. Contar el número de carros que pasa por una calle hasta que pase un accidente

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07. Controlar la presión que ejerce una fuerza sobre una determinada área.
08. Contar el número de automóviles que llegan a una estación de servicios en un día.
09. Escoger un punto del intervalo <3,5>.
10. Verificar el estado de un transitor (0= apagado, 1= encendido)
EJERCICIOS PROPUESTOS (1.2 RUFINO MOYA C, GREGORIO SARAVIA A)
01. Dé un ejemplo de experimento aleatorio que es de interés para (a) un ingeniero
electricista, (b) un economista, (c) el gerente de una compañía de automóviles, (d)
un ingeniero de comunicaciones, (e) un médico, (f) -un especialista en genética, (g)
un biólogo, (h) un gerente de ventas.
02. Construir el espacio muestra] apropiado para los siguientes experimentos aleatorios.
(a) Elegir una carta de una baraja de 52 cartas.
(b) Verificar el estado de dos transistores (apagado o prendido),
(c) Verificar el estado de 10 transistores iguales (apagado o prendido).
(d) Se lanzan n monedas y se observa el número de caras,
(e) Se pregunta a una persona por la fecha de su nacimiento (día del año).
(f) Inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fábrica.
(g) Se pregunta a n personas por la fecha de su nacimiento (día del año).
(h) Un dardo se lanza en un blanco circular de radio r.
(i) Extraer una muestra de 5 bolas con reemplazamiento de una urna que con-
tiene 12 bolas diferentes (esto es, las bolas se devuelven a la urna antes de
extraer por segunda vez).
03. Un inversionista planea escoger dos de las cinco oportunidades de inversión que le
han recomendado. Describa el espacio muestral que representa las opciones posibles.
04. Tres artículos son extraídos con reposición, de un lote de mercancías; -cada artículo
ha de ser identificado como defectuosos "D" y no defectuoso "N".
(a) Describa todos los puntos posibles del espacio muestral para este experimento.
(b) describir los siguientes eventos:,
A: "Ocurre al menos 2 artículos no defectuosos".
B : "Ocurre exactamente 2 artículos no defectuosos.
05. Dos personas A y B se distribuyen al azar en tres Oficinas numerada 1, 2 y 3. Si las
dos personas pueden estar en la misma oficina, defina un espacio muestral adecuado.
06. Tres personas A B y C se distribuyen al azar en dos oficinas numeradas con 1 y 2.
Describa un espacio muestral adecuado a este experimento, (a) si los tres pueden estar
en una misma oficina; (b) sí sólo se puede asignar una persona a cada oficina.
07. Durante el día, una máquina produce tres artículos cuya calidad individual, definida
como defectuoso o no defectuoso, se determina al final del día. Describa el espacio
muestra] generado por la producción diaria.
08. El ala de un avión se ensambla con un número grande de remaches. Se
inspecciona una sola unidad y el factor de importancia es el número de remaches
defectuosos. Describa el espacio muestral.

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09. Suponga que la demanda diaria de gasolina en una estación de servicio está
acotada por 1,000 galones, que se lleva a un registro diario de venta. Describa el
espacio muestral.
10. Se desea medir la resistencia al corte de dos puntos de soldadura, Suponiendo que
el límite superior está dado por U, describa el espacio muestral.
11. De un grupo de transistores producidos bajo condiciones similares, se escoge una
sola unidad, se coloca bajo prueba en un ambiente similar a su uso diseñado y luego se
prueba hasta que falla.
(a) Describir el espacio muestral.
(b) Suponga que el experimento consiste en extraer dos transistores y se prueba hasta
que fallan. Describir el espacio muestral
(c) suponga que el experimento consiste en escoger 5 transistores y se prueba hasta
que fallan. Describir el espacio muestral.
(d) Describir los siguientes eventos.
(1) en la parte (b).
* "Los dos transistores duran a lo más 2,000 horas".
* "El primero dura más de 2,000 horas, el otro menos de 3,000 horas''.
(2) de la parte (c).
* "Los cinco duran por lo menos 1,000 horas pero menos de 2,000 horas".
* "El primero dura más de 2,000 horas, los demás a lo más 2,500 horas".
12. Una urna contiene cuatro fichas numerada 2,4,6, y 8; una segunda urna contiene
cinco fichas numeradas: 1,3,5,7, y 9. Sea un experimento aleatorio que consiste en
extraer una ficha de la primera urna y luego una ficha de la segunda urna, describir el
espacio muestral.
13. Una urna contiene tres fichas numeradas: 1, 2, 3; un experimento consiste en lanzar
un dado y luego extraer una ficha de la urna, Describir el espacio muestral.
14. Una línea de producción clasifica sus productos en defectuosos no defectuosos "N".
De un almacén donde guardan la producción diaria de esta línea, se extraen artículos
hasta observar tres defectuosos consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco
artículos. Construir el espacio muestral.
15. Lanzar un dado hasta que ocurra el número 4. (a) Hallar el espacio muestral
asociado a este experimento.
(b) Describir el evento, "se necesitan por lo menos 5 lanzamientos.
16. Una moneda se lanza tres veces. Describa los siguientes eventos.
A: "ocurre por lo menos 2 caras".
B: "ocurre sello en el tercer lanzamiento".
C: "ocurre a lo más una cara".
17. En cierto sector de Lima, hay cuatro supermercados (numeradas 1,2,3,4). Seis
damas que viven en ese sector seleccionan al azar y en forma independiente, un

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supermercado para hacer sus compras sin salir de su sector.
(a) Dar un espacio muestral adecuado para este experimento.
(b) Describir los siguientes eventos:
A:"Todas las damas escogen uno de los tres primeros supermercados"
B:"Dos escogen el supermercado N' 2 , dos el supermercado N" 3 y las otras dos el No
4".
C: "Dos escogen el supermercado No 2 y las otras diferentes supermercados".
18. Tres máquinas idénticas que funcionan independientemente se mantienen
funcionando hasta darle de baja y se anota el tiempo que duran, Suponer que ninguno
dura más de 10 años.
(a) Definir un espacio muestral adecuado para este experimento.
(b) Describir los siguientes eventos.
A: "Las tres máquinas duran más de 8 años".
B: "El menor tiempo de duración de los tres es de 7 años".
C: "Ninguna es dada de baja antes de los 9 años".
D: "El mayor tiempo de duración de los tres es de 9 años".
19. El gerente general de una firma comercial, entrevista a 10 aspirantes a un puesto.
Cada uno de los aspirantes es calificado como: Deficiente, Re guiar, Bueno, Excelente.
Dar un espacio muestral adecuado para este experimento
Describir los siguientes eventos.
A: "Todos los aspirantes son calificados como deficientes o excelentes".
B: "Sólo la última persona entrevistada es calificado como excelente'.
20. Considere el experimento de contar el número de carros que ue pasan por un punto
de una autopista. Describa los siguientes eventos:
A "Pasan un número par de carros".
B "El número de carros que pasan es múltiplo de 6;'.
C "Pasan por lo menos 20 carros".
D "Pasan a lo más 15 carros".
1. Sean A , B y C tres eventos cualesquiera en el espacio muestral . Exprese cada uno
de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre A, B y C.
(a) Ocurren exactamente dos de los eventos.
(b) Ocurren por lo menos uno de los eventos.
(c) Ocurren a lo más dos de los eventos.
(d) Ocurren todos los eventos.
(e) No ocurre ninguno de los eventos.
(f)No ocurre A, o no ocurre B o no ocurre C.
(g) Ocurre exactamente uno de los eventos.
(h) No ocurre más de uno de los eventos.
(i)Ocurre por lo menos uno de los tres eventos.
2. Determine el complemento para cada uno de los siguientes eventos:

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(a) En el problema 1.23: "la demanda en un día determinado fue más de 8,000 galones"
(b) En el problema 1.2.11: "E] transistor duró menos de2000 horas`.
(c) En él problema 1.2.12b: "El primer transistor duró menos de 1,000 horas; el
segundo, menos de 1,500 horas; y todos los demás más de 1,600 horas”.
3. Verificar que :
(a) A(B U C) = AB U AC;
(b) A U BC = (A U B) (A U C)
(c) AB - ABC = ABC .
4. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderos para todos los eventos A,B,C y
cuáles no?
(a) (A’  B’)C=(AB)’ AC (b) AAC= (c) (A-C)(B-C) = AB(C’);
(d) A(B-C)=AB-AC
(e) (A’ B’) ( AB)’ =
(f) (A’  B’)(AB)’
5. Sean A y B dos eventos de , tales que no son mutuamente excluyentes:
Exprese A(B) como la unión de dos eventos mutuamente excluyentes.
Exprese A’ (B’) como la unión de dos eventos mutuamente excluyentes.
6. La tasa de desempleo para el siguiente período está pronosticado por un modelo
económico. El pronóstico del modelo puede describirse como uno de los cinco eventos :
Al: "El desempleo será del 10% o más".
A2: "El desempleo será del 8% o más, pero menos del 10%
A3: "El desempleo será del 6 % o más, pero menos del 8%
A4: "El desempleo será del 4 % o más, pero menos del 6%
A5:"El desempleo será menos del 4 %".
Tome Bi para representar el desempleo actual de acuerdo a las mismas cinco
clasificaciones (por. ejemplo B1= El desempleo será del 10% o más).
(a)¿Son mutuamente excluyentes los eventos Al,.,..,A5?
¿Son colectivamente exhaustivos?
(b) ¿Qué indica los siguientes eventos, en palabras?
A2  B3; A3  A4 , Ai  Bi ; Ai  Bj donde i >j
7. Un portafolio de acciones contiene cuatro acciones Comunes. Durante un determinado
día de negocios, tome:
A: "más de la mitad de las acciones subirán de precio".
B: "más de la mitad de las acciones bajarán de precio",
C: "más, dela mitad de las acciones no cambiarán de precio`.
(a) ¿Qué indican los siguientes eventos en palabras?
(b)¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes?

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(c)¿Son los eventos A,B y C colectivamente exhaustivos?
8. En la definición de los eventos A,B y C del problema 7, si se cambiara "más de la
mitad", por la mitad o más, entonces:
a) ¿Serían A y B mutuamente excluyentes? ¿A y C? ¿y B y C?
b) ¿Son eventos A,B y C colectivamente exhaustivos?
9. Un blanco consiste de 10 círculos concéntricos de radio rk (k = 1,2,...,10). El evento Ak
significa acertar en el interior del círculo de radio rk (k = 1,2,..., 10).¿Qué indica cada uno
de los siguientes eventos?
a) 6
1
k
k
B A

 (b) 10
5
k
k
C A


10. Simplificar la expresión A = (B  C)  (B  C’)  (B’  C)
11. En que caso son verdaderas las siguientes igualdades:
(a) AU B=A’ (b) AB = A’ (c) A B = AB
12. De la siguiente igualdad, hallar el evento X.
(X  A)’  (X A’)’=B
13. ¿Son los eventos A, A’B y (A  B)’ colectivamente exhaustivos.
14. Dos jugadores de ajedrez, juegan una partida. Sea A el evento, "el primer jugador
gana" y B, "el segundo jugador gana". ¿Qué evento agregaría ud. a estos eventos para
obtener una colección de eventos colectivamente exhaustivos?
15. Una instalación consiste de dos calderos y un motor. Sea el evento A, "el motor está en
buenas condiciones"; sea Bk (k =1,2) el evento “el k-ésimo caldero está en buenas
condiciones", y sea C, "la instalación puede funcionar, si el motor y al menos uno de los
calderos estén en buenas condiciones". Exprese el evento C y C' en términos de A y Bk.
16. Considere el experimento de verificar la vida útil de dos tubos eléctricos iguales. Sea
A1, el evento "los dos tubos duran más de 10 años"; A2 -el evento "el primer tubo
observado dura más de 10 años y el segundo a lo más 15 años"; y A3 el evento ''ambos
tubos duran a lo más 10 años"
(a) Escriba los elementos de , Al, A2 , A3.
(b) ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes Al, A2; Al,
A3; A2, A3?
17. Considere el sistema en serie mostrado en la figura
Suponga que las componentes C1, C2 y C3 pueden estar funcionando o descompuesto.
Verifique el estado de cada Ci, i=1,2,3.
(a) Considerando 1 = "Funcionado" y 0 = "descompuesto", escriba el espacio muestral.
Defina los siguientes eventos
El: "todo el sistema está funcionando".
E2: "por lo menos dos pelas componentes estas funcionando".
(b) ¿Son los eventos El y E2 mutuamente excluyentes?

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(c) Interprete El’ y E2’.
(d) ¿Cuál es la relación entre El’ y E2’?
1. ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos {1,2,3,4,5}. Suponiendo que no
pueden repetirse estos?
2. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos {0,1,2,3, 4}, si no
pueden repetirse estos?
3. ¿Cuántos números de tres cifras distintos existen?
4. ¿De cuántas formas posibles pueden salir de una aula los 25 alumnos que - estan en
ella?. (Se sobreentiende que salen de uno por uno).
5. En un salón, de clase se quiere sentar a 6 jóvenes y 5 chicas en una sóla fila, de manera
que las chicas ocupen los lugares pares. ¿De cuántas mane ras se puede hacer?
6. (a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 0,1, 2,3,4 y 5, si
cada dígito se utiliza una sóla vez?
(b)¿Cuántos de ellos son impares?
(c)¿Cuántos de ellos son mayores de 330?
7. Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. ¿De
cuántas maneras pueden colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal
manera que no se separen los volúmenes de la misma obra?
8. ¿Cuántas palabras distinguibles se pueden hacer con las letras de la pala bra
MISSISSIPPI?
9. ¿Cuántos números diferentes de 12 cifras pueden formarse si se dispone de los dígitos:
2,2,2,2,4,4,4,5,5,5,5,5?
10. Dada una caja con los siguientes focos: 2 de 25 vatios, 3 de 50 vatios 4 de 100
vatios.
¿De cuántas maneras pueden escogerse 3 de ellos?
¿Cuántas de estas selecciones de tres incluirán a los 2 de 25 vatios?, ¿Cuántos no
contendrán los de 25 vatios?
¿Cuántas selecciones de tres focos incluirán exactamente uno de cada uno de las
potencias?
11. ¿Cuántas cantidades diferentes de dinero pueden formarse con las monedas,
siguientes, 1 de 50 centavos, 1 de un sol, 1 de 5 soles, 1 de 10 soles, 1 de 50 soles y 1
de 100 soles?
12. ¿Cuántos equipos de fútbol pueden formarse con 12 hombres que puedan ocupar
cualquier posición delantera y 10 hombres que puedan ocupar cualquiera de las demás
posiciones?
13. En cada caso determine el valor de n. Si,
(a)
2 6
n nC C
(b)
11 7
n nC C
(c)
2
18 18
n n
C C 

14. Si C(18,4)- C(18,n + 2) = 0, determine el valor de
5
nC
15. ¿De cuántas formas diferentes pueden arreglarse tres focos rojos, cuatro amarillos y
tres azules en una serie navideña que contiene 10 portafocos?

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16. Un estudiante del primer año debe llenar un programa que consiste en un -curso de
idioma extranjero, uno de ciencias naturales, uno de ciencias so siales y uno de
español-. Si hay cuatro posibilidades para escoger el idioma extranjero, seis para el
curso de ciencias naturales, tres para el curso de ciencias sociales y dos para el curso
de español, ¿De cuántas maneras puede llenar su programa el estudiante?
17. En una Biblioteca hay 8 libros de geometría, 14 de álgebra, 10 de física y 5 de
química. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar cuatro libros, de
manera que sea uno de cada curso mencionado?
18. Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5 mujeres, ¿cuántos comités de 8
miembros se pueden formar:
(a) Si cada uno de ellos debe contener por lo menos 3 mujeres?
(b) Si en cada uno de ellos debe estar el presidente y la secretaria del club?
19. En 10 tubos de prueba se cultivan tres tipos de bacterias, tres tubos con tienen
bacterias del primer tipo, cuatro contienen bacterias del segundo, tipo y tres bacterias
del tercer tipo. De cuántas maneras distintas pueden ponerse en un porta-tubos,
teniendo en cuenta solamente el orden del tipo de bacterias.
20. Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibición 12 corbatas diferentes, a
saber: 5 de tipo italiano, 4 de tipo inglés y 3 de tipo nacional ¿Cuántas compras
diferentes puede hacer, si desea llevar cono mínimo una corbata del tipo italiano y una
del tipo inglés?
21. Un grupo de 14 viajeros, de los cuales 6 son mujeres y 8 son varones, deben ser
alojado en un hotel que posee 7 habitaciones tales que puedan ser instalados dos
viajeros en cada una de ellas.
(a) ¿De cuántas formas posibles se pueden ubicar?
(b) ¿De cuántas formas posibles se pueden ubicar, si en cada habitación debe estar
personas de igual sexo?. Si en el grupo hay dos matrimonios. ¿De cuántas formas se
pueden ubicar, si se desea que cada matri monio ocupe una habitación y el resto de
las habitaciones no sea ocupado por personas de distinto sexo?
22. En una clínica trabajan 18 enfermeras.
(a) ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras pueden formarse?
(b) ¿En cuántas guardias de las formadas en (a) estará una enfermera determinada?
23. ¿Cuántas manos de poker de cinco cartas consisten de
(a) Dos pares (dos cartas iguales)?
(b)Cuatro de la misma clase (iguales)?
(c) Full (3 cartas de la misma denominación y 2 de otra)?
24. Cinco amigos se encuentran en una fiesta, ¿Cuántos saludos de mano se in-
tercambian si cada amigo estrecha la mano de todos los demás sólo una vez?
25. Un biólogo intenta clasificar 46,200 especies de insectos asignando a cada especie
tres iniciales del alfabeto. ¿Será la clasificación completa? ¿sino, cuál es el número de
iniciales que debería ser usado.
26. La mesa de sesiones del rectorado de cierta Universidad es rectangular; en una
sesión ordinaria, asiste el Rector, el secretario, nueve directores de programas
académicos y dieciocho jefes de departamentos. El Rector y -el secretario ocupan
permanentemente la cabecera y al frente de ellos están también permanentemente los
dos directores más antiguos; el resto de los asistentes se sientan en las partes laterales

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de la mesa. Se pregunta ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en la mesa
los asistentes (todos los asistentes) a la seción mencionada?
27. Para transmitir señales de día, se dispone de cuatro banderas triangulares distintas, y
de tres juegos iguales, compuestos cada uno por nueve -banderas rectangulares,
distintas entre sí. Cada señal debe consistir en una bandera triangular, seguida de tres,
dos, una o ninguna rectangular se desea saber qué número de señales distintas pueden
hacerse y qué sería más perjudicial en cuanto a dicho número se refiere, si perder tres
banderas rectangulares iguales o dos juegos de esta clase de banderas.
28. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces 4010 blancas y 6
rojas, colocados en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber
encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es
tres. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.
29. Una firma comercial tiene 10 vendedores. ¿De cuántas formas puede asignar se los
vendedores en dos escritorios con cinco vendedores en cada escrito rio? ¿Con siete en
un escritorio y tres en la otra?.
30. Una firma comercial tiene diez vendedores. ¿De cuántas forjas pueden los
vendedores ser asignados a tres escritorios con tres en el primer escrito rio, tres en el
segundo y cuatro en el tercer escritorio?.
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