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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
FORMULARIO DE:
CONCRETO
ARMADO I y II
Autor: Johan Solis Pinto
AREQUIPA
ENERO – 2011
El siguiente formulario contiene todas las fórmulas, recomendaciones, procedimientos
para el diseño en concreto Armado dados por la Norma E-060 del Reglamento
Nacional de Edificaciones actualizado al 2009.
Estos fueron todos mis apuntes en clase entre los años 2009 y 2010 cuando lleve el
curso de Concreto Armado I y II pues solo espero que les sea útil tanto en la
universidad como en la vida profesional, no será el formulario más completo pero es
un aporte que quise dejar antes de dejar mi Facultad que se convirtió en mi segunda
casa.
“La imaginación es más importante que el conocimiento”
Albert Einstein
CONCRETO ARMADO I
PROPIEDADES CONCRETO:
)livianoConcreto(3m/tn2.2a0.2γ =
)normalConcreto(3m/kg2400o3m/tn4.2γ =
• Diaframa de esfuerzo - deformación
• Modulo de Elasticidad:
)2cm/kg(c'f15000Ec =
• Modulo de Poison:
17.0a15.0ν
21.0a11.0ν
usado=
=
• Modulo de Corte:
)ν1(2
Ec
Gc
+
=
30.2
Ec
GcnormaPor =
• Esfuerzo a tracción:
)puratracción(c'f%15a%8fr =
)indirectatracción(c'f2fr:normaPor =
2cm/kg47.33fr2cm/kg280c'f
2cm/kg98.28fr2cm/kg210c'f
2cm/kg46.26fr2cm/kg175c'f
=→=
=→=
=→=
PROPIEDADES ACERO:
2cm/kg10x2Es
0021.0yε
60Grado2cm/kg4200fy
6
=
=
=
• Aceros en Arequipa
φ (in) φ (cm) Ab (cm2) Obs
1/4" 0.64 0.32 Liso
3/8" 0.95 0.71 Corrugado
1/2" 1.27 1.27 Corrugado
5/8" 1.59 1.98 Corrugado
3/4" 1.91 2.85 Corrugado
1" 2.54 5.01 Corrugado
1 3/8" 3.49 9.58 Corrugado
6 mm 0.60 0.28 Corrugado
8 mm 0.80 0.50 Corrugado
12 mm 1.20 1.13 Corrugado
• Detalles de refuerzo
a) Barras Longitudinales:
Gancho estándar de 180º (vigas pared)
Gancho estándar de 90º (más usado)
φ (in) φ (cm) Gancho 90 Gancho 180
1/4" 0.64 6.50 7.62
3/8" 0.95 6.50 11.43
1/2" 1.27 6.50 15.24
5/8" 1.59 6.50 19.05
3/4" 1.91 7.62 22.86
1" 2.54 10.16 30.48
1 3/8" 3.49 13.97 41.91
6 mm 0.60 6.50 7.20
8 mm 0.80 6.50 9.60
12 mm 1.20 6.50 14.40
Diametros minimos de giro (2r):
- ¼” a 1” 6db
- 1” a 1 3/8” 8db
b) Estribos:
- Gancho a 90º
¼” a 5/8” 6db
¾” a 1” 12db
- Gancho a 135º 6db
Para zonas con sismo 8db>7.5cm
0.002 0.003
0.5 a
0.45 f'c
0.85 f'c
f'c
m
db
r
m
db
r
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 1
Gancho 135
φ (in) Gancho 90 Sin Sismo Con Sismo
1/4" 3.81 3.81 7.50
3/8" 5.72 5.72 7.62
1/2" 7.62 7.62 10.16
5/8" 9.53 9.53 12.70
3/4" 22.86 11.43 15.24
1" 30.48 15.24 20.32
1 3/8" 41.91 20.96 27.94
6 mm 3.60 3.60 7.50
8 mm 4.80 4.80 7.50
12 mm 7.20 7.20 9.60
• Colocación del acero
o Vigas:
acerodelntoEspaciamie's,s →










≥
TM3.1
cm5.2
d
s
b
Por lo
r = 4cm
o Columnas










≥
TM3.1
cm0.4
d5.1
s
b
RECOMENDACIONES
a) En caso de combinaciones de barras de acero
la diferencia entre barras debe ser menor a
1/8”.
b) Concreto vaciado contra el suelo o en
contacto con agua de mar: cm7r ≥
c) Concreto en contacto con el suelo o expuesto
a ambiente:
a. Barras de 5/8” o menores: 4cm
b. Barras de ¾” o mayores: 5cm
d) Concreto no expuesto al ambiente (protegido
por un revestimiento) ni en contacto con el
suelo (vaciado con encofrado y/o solado).
a. Losas o aligerados: 2cm
b. Muros o muros de corte: 2cm
c. Vigas o columnas; 4cm
d. Estructuras laminares: 2cm
Menores 5/8”: 1.5cm
FACTORES DE AMPLIFICACION (NORMA 2009)
• U= 1.4CM+1.7CV
• U= 1.25(CM+CV)±CS
• U= 1.25(CM+CV+Cviento)
• U= 0.9CM±CS
• U= 0.9CM±1.25Cviento
Recomendación: Realizar la envolvente para carga
muerta y carga viva,luego hacer las combinaciones
COEFICIENTESφ: φFn≥Fu
• Tracción: φ=0.90
• Flexión: φ=0.90
• Compresión pura: φ=0.70
• Flexo compresión: φ=0.70 (estribo)
φ=0.75 (espiral)
• Torsión: φ=0.85
• Cortante: φ=0.85
DISEÑO POR FLEXIÓN
CONDICIONES:
- Las secciones siguen siendo planas luego de
la curvatura.
- Se conocen los diagramas de esfuerzo –
deformación del acero y concreto.
- Despreciar el concreto en tracción.
- Se encuentra en las resistencias últimas.
cka 1=
85.0k1 = si f’c ≤ 280kg/cm2
Si f’c > 280kg/cm2, K1 disminuye 0.05 por cada
70kg/cm2, pero K1 ≥ 0.65.
MnφMu ≤
Mu= Momento último resistente
Mn= Momento nominal
φ=0.90 (factor para el diseño por flexión)
VIGAS
(Hacer el diseño con el momento a la cara)
1. VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA (VSR)
18
11,61
10,78
r
13,05
s
r
s'
h
d
bw
c
a
hec
T
C
es
As
jd
h
d
bw
c
a
hec
T
C
es
As
jd
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 2
Tipos de falla: Buscar falla dúctil εs>εy entonces:
fs=fy y εc= 0.003 entonces: fc= 0.85 f’c.
- Etapa balanceada:
εs=εy  fs=fy y εc= 0.003  fc= 0.85 f’c.
Diagrama de deformaciones:
cd
c
sε
cε
−
= d59.0Cb =
- cuantía de acero:
Aconcreto
As
ρ =
d.bw
As
ρ =
Cuantía balanceada:
fyEs003.0
Es003.0xk
x
fy
c'f85.0
ρ 1
b
+
=
bmax ρ75.0ρ = cuantía máxima
fy
c'f7.0
ρmin = cuantía mínima
f'c K ρb ρmax ρmin
175 0.85 0.0177 0.0133 0.0022
210 0.85 0.0213 0.0159 0.0024
280 0.85 0.0283 0.0213 0.0028
350 0.80 0.0333 0.0250 0.0031
maxρρ ≤ (Falla dúctil)
d.bw.minρminAs = (Acero mínimo)
Peralte efectivo
a) Vigas chatas: d= h-3 (solo una capa de acero)
b) Vigas peraltadas:
1 capa: d= h-6
2 capas: d=h-9
3 capas: d=h-12
- Diseño:
Valores conocidos: “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h”
De las siguientes ecuaciones:
( )
Ku.d.bwMu
ω59.01ω.c'f.φKu
c'f
fy.ρ
ω
2
=
−=⇒=
Procedimiento.
1. Calcular 2
d.bw
Mu
Ku =
2. Obtener ρ (cuantía)
3. Calcular d.bw.ρAs =
4. Definir acero a colocar
- Verificación de diseño: Determinar Mn
fs.Asa.bw.c'f85.0
TC
0Fx
=
=
=∑
)1.......(
bw.c'f85.0
fs.As
a =
Se supone que As fluye, entonces fs=fy, despejando
“a”
Verificando que As fluye, del diagrama de
deformaciones, reemplazando
Es
fssε = , se obtiene:
( )
)2.....(
a
ad.k.Es.003.0
fs 1 −
=
Si fs>4200kg/cm2, el diseño es correcto, caso
contrario si fs<4200, resolver las ecuaciones (1) y (2) y
obtener “a” y “fs”. Finalmente calcular Mn y Mu
)2
ad.(a.bw.c'f85.0Mnó)2
ad.(fs.AsMn −=−=
MnφMu =
fs= fy si fs>4200kg/cm2.
Momento crítico de agrietamiento (instante en el que
aparece la primera fisura) :
6
bw.c'f2
6
bw.fr
Mcr ==
Mcr2.1Mnφ ≥
2. VIGA DOBLEMENTE ARMADA (VDR)
(Con acero en compresión)
Recomendación: Evitar este diseño, por dificultad en
el proceso constructivo
- Etapa balanceada: Igualmente determinada
que en una VSR.
d h
d
M
d
ec=0.003
Cc
Cs
Tfs
0.85f'c
A's
As
bw
es
e's
jd j'd
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 3
- Cuantía Balanceada:
003.0cε
fyfsyεsε
=
=→=
fy
s'f
'ρ
fyEs003.0
Esk003.0
fy
c'f85.0
bρ
fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0
CsCcCTC
0Fx
1
+





+
=
=+
+==
=∑
- Verificación de diseño: Determinar Mn
0Fx =∑
)1......(fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0 =+
Del diagrama de deformaciones:
)3....(
a
'dka
Es003.0s'f
)2.....(
a
adK
.Es003.0fs
1
1





 −
=





 −
=
Suponemos que As y A’s fluyen, entonces: fs=f’s=fy
Calculamos “a” de (1):
bw.c'f85.0
fy)s'AAs(
a
−
=
Verificamos si fs y f’s fluyen en (2) y (3):
Por lo general f’s no fluye, entonces resolver las
ecuaciones (1) y (3) para determinar “a” y “f’s”.
d'j.Csjd.CcMn +=
)'dd.(s'f.s'A)2
ad.(a.bw.c'f85.0Mn −+−=
- Diseño: Se conoce “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h”
1. Diseñar una viga simplemente reforzada:
2
d.bw
Mu
Ku =
Determinar ρ
2. Si maxρρ > , diseñar una viga doblemente
reforzada
Procedimiento:
Empezamos por (a), se calcula la máxima resistencia
de la sección, tenemos:
maxρ,Kuc'f max→
d.bw.maxρmaxAs
d.bw.KumaxMu 2
max
=
=
Del gráfico:
MrmaxMuMu +=
maxMuMuMr −=
'ddd'js'f.s'ACs −==
d'j.CsMr =
)'dd.(fy.s'AMr −=
)'dd.(fy.φ
maxMuMu
s'A
−
−
=
Finalmente, se calcula:
s'AmaxAsAs +=
3. VIGA T o L:
- Verificación: Cálculo de Mn
LL32
L3
L2
1
321
h).bwb(h).mn(AA
h.mA
h.nA
a.bwA
AAAAT
−=+=+
=
=
=
++=
Cálculo de fuerzas:
∑ =
=
−=
=
0Fx
fs.AsT
h).bwb.(c'f85.0Cc
a.bw.c'f85.0Cc
L2
1
)1.....(fs.Ash).bwb.(c'f85.0a.bw.c'f85.0 L =−+
Del diagrama de deformaciones:
)2......(
a
adk
Es003.0fs 1





 −
=
Consideramos que As fluye, entonces fs=fy, de (1)
despejamos “a”:
bw.c'f85.0
h).bwb.(c'f85.0fy.As
a L−−
=
Verificamos si fs fluye:





 −
=
a
adk
Es003.0a 1
h
bw
As
A's
Asmax A's
A's
Mu Mumax Mremanente
= +
(a) (b)
hL
As
bw
n m
b
c
h
a
0.85f'c
C2-3
C1
fs
d
2 1 3
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 4
Caso contrario, resolver (1) y (2).
-Diseño:
1. Diseñar una viga de bxh (rectangular) d
Asρ
d.bw
Mu
Ku 2
⇒⇒=
Verificamos “a”:
b.c'f85.0
fy.As
a =
Si: Lha≤ Viga bxh
Si: Lha > Viga T
2. Entonces si Lha >
2.1. Determinamos Muf:
L32 h).bwb.(c'f85.0C −=−
)2
hd(h).bwb.(c'f85.0Muf L
L −−=
)2
hd.(fy.AsfMuf L−=
2.2. Igualamos, determinamos Asf:
fy.φ
h).bwb.(c'f85.0
Asf L−
=
2.3. Determinamos Asw:
MufMuwMu +=
MufMuMuw −=
wρ
d.b
Muw
Ku 2
⇒=
d.bw.wρAsw =
2.4. Finalmente:
AsfAswAs +=
Recomendaciones (norma 2009):
Condiciones
2
l
h.8
n
2
l
h.8
m
2
L
1
L
<
<
<
<
,
2
l
2
l
bw
h.16bw
4
L
b
21
L
++<
+<
<
Para vigas extremas:
2
l
h.6
12
L
m
1
L
<
<
<
,
2
l
bw
h.6bw
12
Lbw
b
1
L
+<
+<
+<
Para vigas aisladas:
bw.4b
2
bwhL
<
>
4. Predimensionamiento: (bxh=?)
- Cuando hay monolitismo entre la viga y su
apoyo (columna), la luz es de eje a eje.
- Cuando no existe monolitismo entre viga y
apoyo (albañilería) la luz es la luz libre mas el
peralte de la viga.
hL
As
bw
b
h
d = +
a
Cc1
Cc2-3
Mu Muw Muf
Asw Asf
hL
As
bw
b
h
d
n m
l1 l2
L
Columna Columna
l1 l2Viga Viga
As
bw
b
h
d
m
l1
hL
As
bw
b
h
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 5
• Condiciones:
- Cargas uniformemente repartidas.
- 2 o más tramos.
- Luces adyancentes
- 1ii1i LLL +− ≈≈ , Diferencia de solo 20%
- CM ≤ 3CV
Caso especial para 2 tramos:
Tomamos el factor más crítico (1/10):
Ku
Mu
d.bw
d.bw
Mu
Ku
10
L.Wu
Mu
2
2
2
=⇒=
=
No debe de usarse el Kumax para evitar una viga
doblemente armada, entonces:
econecon
económico
kuρ
bρ5.0ρ
⇒
≈
Entonces:
econKu.bw
Mu
d =
Recomendación: bw=30cm
L.
Ku.bw.10
Wu
Ku.bw.10
L.Wu
d
econecon
2
==
Por lo general:
12
L
h
11
L
h
10
L
h
≈
≈
≈
L/11 y L/12 si la estructura no esta sometida a sismo.
LOSAS:
Las losas no trabajan a sismo, solo se usa la PRIMERA
HIPÓTESIS.
Se recomienda hacer los diseños a la cara.
La carga viva y muerta se pueden combinar sin
necesidad de hacer la envolvente
1. LOSAS MACIZAS:
Se toma un metro de ancho,
No existe acero en compresión, sólo se puede cambiar
el peralte o aumentar el f’c.
Mu(+)
Mu(-)
- Diseño:
d= hL-3 (viga chata).
)m/cm(d.100.ρAs
macizalosaparaminρρ
maxKu
d.100
Mu
Ku
2
2
=
≥⇒
≤=
Los aceros se expresan en función de espaciamiento
en los planos:
)requeridoacero(As
)colocaraacero(φAs
)φ(S =
- Acero mínimo para losas macizas:
Barras lisas (1/4”) 0025.0ρmin =
Barras corrugadas:
fy<4200 kg/cm2 0020.0ρmin =
fy≥4200 kg/cm2 0018.0ρmin =
Lmin h.100.ρminAs =
- Acero por temperatura: Se coloca el acero mínimo
para losa maciza, para evitar contracciones por fragua
del concreto. Lmin h.100.ρminAs =
Espaciamiento:
minAs
)mm6,"(φAs
S 8
3
=
cm40S
h.3S L
≤
≤
Se colocan perpendiculares a los aceros principales
L1 L2 L3 L4
1/16 1/10 1/11 1/11 1/11 1/24M(-)
M(+) 1/14 1/16 1/16 1/11
L1 L2
1/16 1/9 1/24M(-)
M(+) 1/14 1/11
1.00m
hL
hL
1.00m
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 6
2. LOSAS NERVADAS:
Losas nervadas mas usadas
h(cm) Peso (kg/m2)
17 280
20 300
25 350
30 420
Tabiques:
Sin Tarrajeo Con Tarrajeo
Soga e=14cm e=15cm
Cabeza e=24cm e=25cm
Peso esp 18kg/m2/cm 19kg/m2/cm
Ladrillo hueco: 13.5kg/m2/cm
El diseño se hace por vigueta.
cm5h;
12
n
h
cm75n
bw5.3h
cm10bw
LL ≥>
≤
≤
≥
n: espaciamiento libre
Por lo general, bw=10cm, n=30cm, hL=5cm, hw es
variable. (*)
El metrado de cargas puede hacer por vigueta, o se
puede hacer por 1m de ancho y se le divide a dicha
carga por el número de viguetas que entra por metro.
b
1
NViguetas =
Para los parámetros dados en (*), Nviguestas=2.5
- Diseño:
* Para M(+), seguir el procedimiento especificado para
las vigas T.
Tvigaescontrariocasoh
b.c'f85.0
fy.As
a
:Verificar
d.b.ρAsρ
d.b
)(Mu
Ku
L
2
≤=
=⇒⇒
+
=
* Para M(-) diseñar una viga rectangular de hxbw.
contínuanbwbw
alterna2
nbwbw
maxKuKu:Si
d.bw.ρAsρmaxKu
d.bw
)(Mu
Ku 2
→+=
→+=
>
=⇒⇒≤
−
=
NOTA: Solo se pueden colocar máximo 2 varillas de
acero en bw de un diámetro máximo de 5/8”.
Para tabiques sobre la losa:
• Si el tabique es perpendicular a la viga, calcular el
peso del tabique que cae sobre la vigueta,
tomando 1m de largo del tabique y luego dividirlo
entre el numero de viguetas, este se transmitirá
como carga puntual
• Si el tabique es paralelo a la vigueta, es
recomendable diseñar una viga chata de bxh o
aumentar el bw, para la carga viva que cae se
toma a criterio el ancho tributario.
minAsAs ≥
Acero mínimo para losas nervadas:
h.bw.ρminAs min=
Acero por temperatura:
Lmin h.100.ρminAs =
cm40S
h.5S L
≤
≤
3. ESCALERAS Y RAMPAS: (Losas inclinadas)
g= garganta
• RAMPAS:
Metrado:
c/s).00.1(
:CV
)00.1.(2m/kg100Pt
3m/kg2400.
αcos
00.1
.gPp
:CM
=
=
• ESCALERAS apoyado en sus extremos
Metrado:
Franja de 1.00 de ancho:
2400.
αcos
00.1
.gm/Pp =
bw
hL
b
hw
h
1.00m
g
a
1.00m
g
a
CP
P
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 7
Peso de los peldaños:
P
00.1
ºN
2400.
2
CP.P
.ºNm/Peso
peldaños
peldaños
=
=
Por lo general:
* Viviendas:
P=0.25m
CP= (0.15 @ 0.19m)= 0.17 ó 0.175m
*Edificios públicos:
P=0.30m
NOTA: Cuando las escaleras son muy largas debe de
tener descansos, esto lo divide en tramos que deben
ser diseñados independientemente.
Para el cálculo rápido de momentos
• ESCALERAS apoyadas en sus lados
Corte longitudinal:
αcos
g
n
αcos
g
CPm
=
+=
d=h-3 (viga chata)
Cuando esta en volado:
- Aplicar el Asmin para losas macizas.
- El acero por temperatura es el Asmin, por lo
general es 3/8” @ 0.25m
CASOS PARTICULARES:
a) Escalera Ortopoligonal:
Armado:
b) Escalera en Caracol o con sección irregular:
Mu(+)=Wu.L/10
Mu(+)=Wu.L/9
Mu(-)=Wu.L/10
L
L
Wu
m
n
P
P
h=(m+n)/2
L
L
Wu
P/2
P
P/2
g
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 8
CONTROL DE DEFORMACIONES:
Momento crítico de agrietamiento:
6
h.bw.c'f2
Mcr
2
=
Si:
M≤Mcr  Usar inercia bruta Ig
M> Mcr  Usar inersia equivalente. Ie
Entonces “Ie” para:
Ec
Es
n =
- VIGA SIMPLEMENTE ARMADA
2
3
2
)cd.(As.n
3
c.bw
Ie
???c)cd.(As.n
2
c.bw
−+=
=⇒−=
- VIGA DOBLEMENTE REFORZADA
22
3
2
)'dc.(s'A).1n2()cd.(As.n
3
c.bw
Ie
???c)cd.(As.n)'dc.(s'A).1n2(
2
c.bw
−−+−+=
=⇒−=−−+
NOTA: En un volado se coloca acero en la parte
inferior, así no lo necesite para disminuir la
deformación.
La máxima deformación se calcula excepto para lo
volados.
Para el cálculo de deformaciones, los momentos o
cargas NO DEBEN DE ESTAR AMPLIFICADOS:
CVCMCV
CMCM
M%Mδ
Mδ
+⇐
⇐
Vigas continuas:
3
Ie.2Ie
Ieδ
4
IeIe.2Ie
Ieδ
43
2
321
1
+
=⇒
++
=⇒
( )( )312
2
max MM1.0M
I.E.48
L.5
δ +−=
Demás valores de deformación, en tablas.
ID
CVCMI
δ.λδDiferida
δδδ:táneatanIns
Deflexión
=
+=
→
DI δδδ +=
'ρ501
α
λ
+
=
ρ’= Cuantía de acero en compresión
α = depende del tiempo.
= 1.0  para 3 meses
= 1.2  para 6 meses
= 1.4  para 12 meses
= 2.0  de 2 a 5 años
CONTRAFLECHA: maxδδ −
CONTROL DE FISURA
Gergeley – Lutz: (tamaño de la fisura)
S:
)mm(10.dc.A.fs.β).1.1(ω 53 −
=
- 1
h
h
β
1
2
>=
)losas(35.1β
)vigas(2.1β
=
=
- fs: esfuerzo de servicio
d.As.9.0
Mservicio
fs =
- A
y2.bwArea =
Cuando los aceros son iguales:
BarrasºN
Area
A =
Cuando los aceros son diferentes:
A
)φ(As
As
N
mayor
Barras ⇒=
Recomendaciones:
• Si el aire es seco o usamos una membrana de
cobertura, el tamaño máximo de fisura
recomendado es 0.41mm.
I1 I3 I5
I2 I4
d1 d2
M1
M2
M3
bw
dc
y
d
h2
c
h1
h
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 9
• Si hay humedad o aire húmedo o está en contacto
con el suelo el tamaño máximo recomendado es
0.30mm.
• Si hemos usado un químico para deshielo, el
tamaño máximo recomendado es 0.18mm.
• Si la estructura está en contacto con agua de mar
o recio marino el tamaño máximo es 0.15mm.
• Si las estructuras son recipientes de líquidos
(tanques, reservorios) el tamaño máximo es
0.10mm.
Si: ORECOMENDADCALCULADA ωω > Se tienen que colocar
mas aceros.
3
5
dc.A.fs
10.β).1.1(
ω
Z == −
cm/kg26000Z ≤
En vigas muy peraltadas h>90cm hay riesgo de fisuras,
se deben colocar aceros en el alma con un
espaciamiento “s” hasta “h/2”.






≤
=





−≤
≤
fs
2500
30s
lateralntorecubrimieCcCc5.2
fs
2500
.38s
mm300s
ADHERENCIA:
LONGITUD DE DESARROLLO:
(Norma pasada)
fy.db).006.0(L
c'f
fy.Ab).06.0(
L
db
db
=
=
Se escoge el mayor entre ambos
dbmayorbd d).4.1(L = (Longitud de desarrollo básica)
NORMA ACTUAL
BARRAS A TRACCIÓN
Condiciones 3/4" o menores mayores a 3/4"
*) Espaciamiento libre entre barras o
alambres que estan siendo
empalmados o anclados no menor a
"db" y estribos a lo largo de "ld".
**)Aplicable tambien cuando el
espaciamiento libre entre barras o
alambres que estén siendo
empalmados o anclados no sea menor
que "2db" y el recubrimiento libre no
menor que "db"
db.
c'f2.8
λ.ψ.ψ.fy et






db.
c'f2.8
λ.ψ.ψ.fy et






Otros casos (*) (*)
Factor Condiciones Valor
tψ Barras superiores (*) 1.3
Barras inferiores 1.0
eψ
Barras con tratamiento
superficial epóxico y
recubrimiento libre menor
que 6db
1.5
Otras barras con
tratamiento sup. Epóxico
1.2
Barras sin tratamiento
sup. Epóxico
1.0
sψ
Barras 3/4" o menores 0.8
Barras mayores a 3/4" 1.0
λ
Concreto liviano 1.3
Concreto normal 1.0
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Considerando barras sin tratamiento superficial epóxido, y un concreto normal tenemos los siguientes valores, para
los concretos conocidos con las barras de acero conocidas en el entorno.
Lecho inferior Lecho Superior
ld (cm) ld(cm)
φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2
3/8" 0.95 0.71 36.9 33.7 29.2 47.9 43.8 37.9
1/2" 1.27 1.27 49.2 44.9 38.9 63.9 58.4 50.5
5/8" 1.59 1.98 61.5 56.1 48.6 79.9 72.9 63.2
3/4" 1.91 2.85 73.8 67.3 58.3 95.9 87.5 75.8
1" 2.54 5.07 122.2 111.5 96.6 158.8 145.0 125.6
Para (*): otros casos:
2cm/kg4.26c'f
n.s.10
fy.A
K5.2
db
KCb
db
db
KCb
.c'f5.3
λ.ψψ.ψ.fy
ld
ttr
tr
tr
tr
set
≤
=≤
+

















 +
=
Atr= Área total de acero en “ld”.
fyt= esfuerzo de fluencia del estribo.
s= separación de estribos.
n= número de barras que se quiere anclar.
La norma dice que se puede usar Ktr= 0.
Tenemos los valores: Considerando un Cb = 5
Lecho inferior Lecho Superior
ld (cm) ld(cm)
φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2
3/8" 0.95 0.71 27.6 25.2 21.9 35.9 32.8 28.4
1/2" 1.27 1.27 36.9 33.7 29.1 47.9 43.7 37.9
5/8" 1.59 1.98 46.1 42.1 36.4 59.9 54.7 47.4
3/4" 1.91 2.85 55.3 50.5 43.7 71.9 65.6 56.8
1" 2.54 5.07 117.0 106.8 92.5 152.2 138.9 120.3
BARRAS A COMPRESIÓN:
[ ]
[ ]db.fy0044.0
db.c'f/fy075.0
mayorldc = (Se toma el mayor
φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2
3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9
1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9
5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9
3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9
1" 2.54 60.5 55.2 47.8
Se pueden afectar por un factor de 0.75 si en la columna se va a colocar una espiral con un paso de 10cm o menor y el
diámetro del acero de la espiral es de ¼” o mayor.
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DESARROLLO DE GANCHO ESTANDAR:
Válido sólo para elementos a tracción:
db.8ldcm15ld
db.
c'f
fy.λ.ψ075.0
ld
gg
e
g
≥≥






=
φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2
3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9
1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9
5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9
3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9
1" 2.54 60.5 55.2 47.8
EMPALMES
- Empalmes a tracción:
Tipo A: ld0.1Le =
Tipo B: ld3.1Le =
As Propocionado % max. de As empalmado
As Requerido 50% 100%
Igual o mayor que 2 Tipo A Tipo B
Menor que 2 Tipo B Tipo B
Distancia recomendada entre empalmes 60cm
- Empalmes a compresión:
db).24fy013.0(le
2cm/kg4200fy
)mm(db.fy.071.0le
2cm/kg4200fy
:le
c
c
c
−=
>
=
≤
Si f’c<210kg/cm2, amplificar el “lec” por 1.3.
Para un fy=4200, tenemos los valores, para empalmes a compresión
φ (in) φ (cm) lec
3/8" 0.95 28.40
1/2" 1.27 37.90
5/8" 1.59 47.30
3/4" 1.91 56.80
1" 2.54 75.70
ldldg
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CORTE DE ACERO:
Notas:
- Para elementos con sismo en toda su longitud
debe de tener por lo menos 2 aceros
superiores e inferiores, la cual por lo menos
debe de ser la cuantía mínima,
- Luego colocar el acero faltante.
- Se recomienda hacer correr el acero con
diámetro mayor
• Para Momento negativo:
Por lo menos 1/3 del acero total en tracción debe de
llegar al punto de inflexión para casos generales (c/s
sismo).
• Para Momento positivo:
Debe de llegar 1/3 del acero máximo positivo, para
cualquier caso, en los apoyos.
Cuando hay sismo la resistencia a momento positivo
en la cara del nudo no debe de ser menor que 1/3 de
la resistencia al momento negativo en dicha cara.
)(Mn
3
1
)(Mn −≥+ (*)
Para cualquier sección:
)(Mn
4
1
)(Mn −≥±
ACERO NEGATIVO
Se considera Mu
)'A(corte AsAsAs −=
Se saca el “Mu” del acero que va a llegar al punto de
inflexión.
)As(MuMn )'A(↔
Debe de tener como mínimo la longitud de desarrollo,
que no sea menor a 16ln/,d12,d b
ACERO POSITIVO
Se saca el “Mn” del acero que llega al apoyo
)a(corte AsAsAs −=
)a(As = Acero a llevar al apoyo
Si se quiere cortar en A:
Ld
d12
d
mayor
)A(Vu
Mn
b
≥





+
Si se quiere cortar en B:
Ld
d12
d
mayor
)B(Vu
Mn
b
≥





+
Ya que en una columna se tiene 2 momentos, si la
columna permite usar los aceros de un lado en el otro
solo se diseña para el máximo.
Para losas no se verifica la condición especificada en
(*).
Mu1
d,12db,ln/16
ln
Mu2
As1 As2
Mn(+)
Mn(-)
B B'
Ldmin
Mu(AsA')
Ascorte
A A'
12db,d
B B'A' A
Mu(+)
Mn
Vu(A)
Vu(B)
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DISEÑO POR CORTE
SCρRact VVVVV ++=≤
ρV = Resistencia debido al acero longitudinal.
CV = Resistencia debido al concreto.
SV = Resistencia debido al acero transversal.
α = Angulo de colocación del acero transversal
(Normalmente usado a 90º llamado “estribo).
θ= Angulo de la fisura, normalmente ocurre a 45º.
S= Separación del acero.
La norma nos dice:
s
d).αcosαsen.(fy.Av
Vs
+
= …..(1)
La norma obliga usar estribos.
SCρact VVVV ++≤ (Resistencia nominal)
VuVnφ ≥ 85.0φ →
Vu se determinar delos diagramas de corte
Consideramos que 0Vρ =
a) Flexión + corte (vigas):
d.bw.c'f.λ.53.0VC =
00.1λ = Cº Normal
85.0λ = Cº Ligero
b) Flexión + compresión (columnas):
d.bw.c'f.λ
Ag140
Nu
153.0VC 





+=
Ag= área bruta de la sección dela columna.
bw, d= dependiendo de que eje se este analizando.
Nu= fuerza axial sobre la columna.
c) Flexión + tracción:
0VC =
Entonces se sabe:
SC VVVn +=
(*) Casos:
1. CV
φ
Vu
≤
Usar: minAv
2. CV
φ
Vu
>
Diseñar por corte: Vs
CS V
φ
Vu
V −=
Determinamos “Vs” y procedemos a usar la ecuación
(1) para determinar “S”.
Av= Área de los 2 ramales del estribo
Nota: Limite para Vs,siempre chequear este valor:
dbwcfVS ..'1.2≤
Si Vs es mayor CAMBIAR LA SECCIÓN.
Límites de separación para casos generales, SIN
SISMO:
2/dS ≤
Si: d.bw.c'f1.1Vs >
4/dS ≤
- Diseño:
DFC
No es necesario empezar el diseño por corte a partir
de la cara, sino a una distancia “d” de la cara
encontrando un valor de “Vud” para empezar el
diseño. Se le llama “Sección crítica de Corte”
Pasos para el diseño:
1. Diagrama de Corte
2. Hallar Vud (ambos lados).
3. Hallar Vc.
4. Comparar
φ
Vu
V d
C <> (ambos lados) (*), si
se cumple el 2do caso pasar al punto 5
5. Diseño: CS V
φ
Vu
V −= chequeamos Vs.
6. Elegimos “Av” para encontrar “S”
Se recomienda que, “m” y “n” sean múltiplos de “s”, al
calcular Vu1, y volvemos a seguir los mismos pasos,
pero ya no se chequea “Vs”. Se recomienda que Av sea
constante a lo largo de toda la viga.
Cuando no hay la presencia de sismos, se usa el
“diagrama de corte” que se obtiene del análisis
estructural.
Ahora para cuando existe sismo, se debe de seguir los
siguientes pasos para hallar el diagrama de corte,
existen 2 casos:
d
m n
Vud
Vd1
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DUAL TIPO 1: (predomina los muros de corte)
Cuando los muros de corte reciben mas del 60% y
menos del 80% del fuerza de sismo en su base
DUAL TIPO 2: (predominan pórticos)
Cuando los muros de corte reciben menos del 60% de
la fuerza de sismo en su base.
DUAL TIPO 1:
El momento Positivo en el apoyo no debe ser menor a
1/3 del momento negativo.
Se plantean los siguientes casos, usando la hipótesis 2
para el trazo del diagrama de corte:
Con estos casos determinamos la envolvente de
Cortantes.
Lo= Longitud de confinamiento.
h2Lo =
El primer estribo se coloca a 10cm del apoyo.
Estribos a colocar:
- As longitudinal (3/8”, ½”, 5/8”).
o Estribo de 8mm.
- As longitudinal (3/4”, 1”).
o Estribo de 3/8”.
- As longitudinal (1”).
o Estribo de ½”.
En la zona de confinamiento, la separación debe ser
menor que:
cm30s
φ24s
φ10s
4
ds
Av
menorallongitudinAcero
≤
≤
≤
≤
Fuera de la zona de confinamiento
2
ds ≤
DUAL TIPO 2:
•
cm25bw
4
hbw
h4ln
≥
≥
≥
• El ancho de la viga “bw” no debe exceder al
ancho del elemento de apoyo, para cada lado
en ¾ del peralte de la viga.
h
4
3
n =
Para este tipo en los apoyos el momento positivo no
debe de ser menor a la mitad del momento negativo.
De igual manera para dibujar el diagrama de corte:
3
1
4
2
Wcm Wcv
ln
Mn1 Mn2
Mn3 Mn4
Wu=1.25(Wcm+Wcv)
Mn1
Mn4
Wu=1.25(Wcm+Wcv)
Mn2
Mn3
d
m n
Vud
Vd1
LoLo
10cm
s
n
n
bw
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El primer estribo se coloca a 5cm de la cara.
Lo= 2h
Separación “s”:
En la zona de confinamiento
cm30s
φ24s
φ8s
4
ds
Av
menorallongitudinAcero
≤
≤
≤
≤
Fuera de la zona dela zona de confinamiento:
2
ds ≤
La separación entre ramales del estribo será como
máximo de 30cm.
Sino colocar doble estribo.
Acero Mínimo
Para cuando CV
φ
Vu
≤ , usar Acero mínimo.
Entonces: CC V
φ
Vu
V5.0 ≤≤
Si CV5.0
φ
Vu
< no trabaja a sismos, entonces no usar
estribos.
t
min
fy
s.bw
.c'f2.0Av =
t
min
fy
s.bw.5.3
Av ≥
Elementos donde no se usan estribos:
- Losas macizas y nervadas
- Zapatas
- Muros
- Vigas chatas cm25h≤
Para todos estos casos solo se tiene 2 opciones:
- Cambiar f’c
- Variar dimensiones.
En corte también se puede hacer “ensanche por
corte”.
Hacer el ensanche hasta que CVφVu =
Coeficientes para hacer un diagrama rápido.
21 ll ≅
Wu=1.25(Wcm+Wcv)
1.25Mn1
1.25Mn4
Wu=1.25(Wcm+Wcv)
1.25Mn2
1.25Mn3
LoLo
5cm
s
Vu=F Vc
e
l1 l1
Wul1/2 1.15Wul1/2 Wul2/2 Wul2/2
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DISEÑO POR TORSIÓN
Se puede ignorar el diseño por Torsión si:
- Flexión + Corte (Vigas)






<
Pcp
Acp
c'f.27.0.φTu
2
- Flexo-compresión + Corte:(Columnas)
c'fAg
Nu
1
Pcp
Acp
.c'f.27.0.φTu
2
+





<
Ag= Área bruta de la columna si ubiese orificios
• Acp, Pcp
2
1
hf4n
hf4m
≤
≤
Para que “m” y “n” existan, dichas longitudes deben
de ser de concreto
* Momentos mínimos de Torsión (Compatibilidad)
Usamos esto cuando tenemos Parrillas, es decir, vigas
apoyadas sobre vigas.






=
Pcp
Acp
c'f1.1.φTu
2
min
)(MTu)(M
TuTu)(M
min
minmin
−⇒>−
⇒<−
Diseño:
Determinar los diagramas de momento Torsor, se
asemeja al análisis para el diagrama de corte, fuese
puntual o distribuido, se presenta para el caso que
fuese distribuido, y se toma igualmente un Tud a una
distancia d
- Hacer primero el diseño por flexión, ya hacer
una colocación preliminar de los aceros
longitudinales.
- Torsión:
Chequear:




+≤





+





c'f1.2
d.bw
Vc
φ
Aoh.7.1
Ph.Tu
d.bw
Vu
2
2
2
Aoh= área encerrada por el estribo.
Poh= perímetro del estribo.
Si no cumple dicha desigualdad, cambiar la sección.
Luego:
φ
TuTn =
( ) tfyAoh.85.02
Tn
s
At
=
- Corte:
CS V
φ
Vu
V −=
Chequeamos
s
d.fy.Av
V t
S =
Despejamos:
d.fy
Vφ
Vu
s
A
t
C
t
−
=
Entonces determinamos la separación para
corte+torsión:
s
A2
s
Av
s
A ttorsiónCorte
+=+
Acero Longitudinal:
θcot
fy
fy
P
s
A
A 2t
h
t
L 





≥
At= Area de un ramal del estribo
Ph= Perímetro del estribo
AL= Área de acero longitudinal adicional a colocar,
aparte del acero ya existente por flexión
fy
fy
.P
s
A
fy
A.c'f33.1
A t
h
tCP
minL 





−=
t
t
fy
bw.75.1
s
A
≥
45° 45°
Acp
Pcpm
hf1
n
hf2
Tu=1.4Tcm+1.7Tcv
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El refuerzo debe estar distribuido en todo el Perímetro
del estribo con un espaciamiento máximo de 30cm,
además el acero longitudinal debe colocarse dentro
del estribo.
"8/3
s.042.0
φ
cm30s
L =
≤
Acero transversal mínimo
t
t
fy
s.bw
.c'f2.0)A2Av( =+
t
t
fy
s.bw.35.0
A2Av ≥+
cm30
8
P
S
h
≤
s
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f'c 175
ρb Ku
0.0001 0.377
0.0002 0.754
0.0003 1.129
0.0004 1.503
0.0005 1.877
0.0006 2.249
0.0007 2.620
0.0008 2.990
0.0009 3.359
0.0010 3.726
0.0011 4.093
0.0012 4.459
0.0013 4.824
0.0014 5.187
0.0015 5.550
0.0016 5.911
0.0017 6.271
0.0018 6.631
0.0019 6.989
0.0020 7.346
0.0021 7.702
0.0022 8.057
0.0023 8.411
0.0024 8.764
0.0025 9.115
0.0026 9.466
0.0027 9.816
0.0028 10.164
0.0029 10.512
0.0030 10.858
0.0031 11.204
0.0032 11.548
0.0033 11.891
0.0034 12.233
0.0035 12.574
0.0036 12.914
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0.0036 13.261
0.0037 13.620
0.0038 13.978
0.0039 14.335
0.0040 14.692
0.0041 15.048
0.0042 15.404
0.0043 15.759
0.0044 16.114
0.0045 16.468
0.0046 16.822
0.0047 17.175
0.0048 17.527
0.0049 17.879
0.0050 18.231
0.0051 18.582
0.0052 18.932
0.0053 19.282
0.0054 19.632
0.0055 19.980
0.0056 20.329
0.0057 20.676
0.0058 21.024
0.0059 21.370
0.0060 21.717
0.0061 22.062
0.0062 22.407
0.0063 22.752
0.0064 23.096
0.0065 23.439
0.0066 23.782
0.0067 24.125
0.0068 24.467
0.0069 24.808
0.0070 25.149
0.0071 25.489
0.0072 25.829
0.0073 26.168
0.0074 26.506
0.0075 26.845
0.0076 27.182
0.0077 27.519
0.0078 27.856
0.0079 28.192
0.0080 28.527
0.0081 28.862
0.0082 29.196
0.0083 29.530
0.0084 29.864
0.0085 30.196
0.0086 30.529
0.0087 30.860
0.0088 31.192
0.0089 31.522
0.0090 31.852
0.0091 32.182
0.0092 32.511
0.0093 32.839
0.0094 33.167
0.0095 33.495
0.0096 33.822
0.0097 34.148
0.0098 34.474
0.0099 34.799
0.0100 35.124
0.0101 35.448
0.0102 35.772
0.0103 36.095
0.0104 36.417
0.0105 36.739
0.0106 37.061
0.0107 37.382
0.0108 37.702
0.0109 38.022
0.0110 38.342
0.0111 38.661
0.0112 38.979
0.0113 39.297
0.0114 39.614
0.0115 39.931
0.0116 40.247
0.0117 40.562
0.0118 40.878
0.0119 41.192
0.0120 41.506
0.0121 41.820
0.0122 42.133
0.0123 42.445
0.0124 42.757
0.0125 43.068
0.0126 43.379
0.0127 43.689
0.0128 43.999
0.0129 44.308
0.0130 44.617
0.0131 44.925
0.0132 45.233
0.0133 45.540
0.0134 45.847
0.0135 46.153
0.0136 46.458
0.0137 46.763
0.0138 47.067
0.0139 47.371
0.0140 47.675
0.0141 47.977
0.0142 48.280
0.0143 48.581
0.0144 48.883
0.0145 49.183
0.0146 49.483
0.0147 49.783
0.0148 50.082
0.0149 50.380
0.0150 50.678
0.0151 50.976
0.0152 51.273
0.0153 51.569
0.0154 51.865
0.0155 52.160
0.0156 52.455
0.0157 52.749
0.0158 53.043
0.0159 53.336
0.0160 53.629
0.0161 53.921
0.0162 54.212
0.0163 54.503
0.0164 54.794
0.0165 55.084
0.0166 55.373
0.0167 55.662
0.0168 55.951
0.0169 56.238
0.0170 56.526
0.0171 56.812
0.0172 57.099
0.0173 57.384
0.0174 57.669
0.0175 57.954
0.0176 58.238
0.0177 58.522
0.0178 58.805
0.0179 59.087
0.0180 59.369
0.0181 59.650
0.0182 59.931
0.0183 60.212
0.0184 60.491
0.0185 60.771
0.0186 61.049
0.0187 61.327
0.0188 61.605
0.0189 61.882
0.0190 62.159
0.0191 62.435
0.0192 62.710
0.0193 62.985
0.0194 63.260
0.0195 63.534
0.0196 63.807
0.0197 64.080
0.0198 64.352
0.0199 64.624
0.0200 64.895
0.0201 65.166
0.0202 65.436
0.0203 65.705
0.0204 65.975
0.0205 66.243
0.0206 66.511
0.0207 66.779
0.0208 67.046
0.0209 67.312
0.0210 67.578
0.0211 67.843
0.0212 68.108
0.0213 68.372
0.0214 68.636
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 22
0.0215 68.899
0.0216 69.162
0.0217 69.424
0.0218 69.685
0.0219 69.946
0.0220 70.207
0.0221 70.467
0.0222 70.726
0.0223 70.985
0.0224 71.244
0.0225 71.502
0.0226 71.759
0.0227 72.016
0.0228 72.272
0.0229 72.528
0.0230 72.783
0.0231 73.037
0.0232 73.291
0.0233 73.545
0.0234 73.798
0.0235 74.050
0.0236 74.302
0.0237 74.554
0.0238 74.805
0.0239 75.055
0.0240 75.305
0.0241 75.554
0.0242 75.803
0.0243 76.051
0.0244 76.299
0.0245 76.546
0.0246 76.792
0.0247 77.039
0.0248 77.284
0.0249 77.529
0.0250 77.773
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CONCRETO ARMADO II
Usadas para cubrir grandes luces
LOSAS BIDIRECCIONALES
Cuando:
b ≥ 2a Losas unidireccionales
b < 2a Losas bidirecionales
- Metrado
Pplosita → 2,4. hf
Ppviga hor → bw. hw. 2,4. Nvig
Ppviga vert → bw. hw. 2,4. p. Nvig
Donde: "p" es el largo quitando el
espesor de las viguetas horizontales
Nvig =
1.00
n
Considerando unidades usuales de 30x30, el número
de viguetas por m “n” será de 2.5, y el valor de “p”
igual a 0.75m
Piso terminado de 100kg/m2
- Vigas
Tipos de apoyos:
- Muros de concreto
- Albañilería
- Sólo columnas
Cuando se tenga una losa apoyada en vigas
a,b -> longitud libre (a las caras)
Cuando se tenga una losa apoyada en columnas
“l”= luz libre a ejes de columnas
Nota: cada método indica como hallar la franja central
y la de columna.
Rigidez viga-losa
Para cada paño se calcula el valor de “ α”
α =
Iv
Il
Para losas sin vigas α=0
Iv → inercia de la viga
Il → inercia de la losa
- Calculo de Iv : n ≤ 4. hf
a
b
1.00m
1.00m
A
A'
hf
n
bw
hw
Corte A-A'
b
a
α
α
α
α
αm
Franja de
columna
Franja
central
Franja de
columna
l
Franja de
columna
Franja
central
Franja de
columna
45°
hf
n
45°
hf
n
hf
n
n'
45°
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 40
- Cálculo de Il
αm= promedio de los α’s de cada paño.
Predimensionamiento:
• Si: 0.2 ≤ αm ≤ 2.0
h ≥
ln.�0.8 +
fy
14000
�
36 + 5β(αm − 0.2)
Donde:
β =
Dimensión larga
Dimensión corta
=
b
a
; b ≥ a
ln = Luz libre
h ≥ 12.5
• Si: αm > 2.0
h ≥
ln.�0.8 +
fy
14000
�
36 + 9β
• Si: αm < 0.2
∴ losas sin vigas
ACI – 1960
h=
perímetro
180
- Losas apoyadas en vigas
Método de Coeficientes:
De acuerdo a los cuadros se determina en que caso se
encuentra cada paño, tomando en cuenta los apoyos.
Las franjas de columna y centra se determinan de
acuerdo a la dirección que se esté analizando.
Para el diseño se toma una franja de 1.00m de la
franja central.
Para los momentos extremos negativos, se considera
que es 1/3 del momento positivo.
Se debe de compatibilizar los momentos del paño I y
II.
- Si la diferencia entre dichos momentos de
menor al 20% se trabaja con el mayor.
- Si es mayor al 20%, se calcula las rigideces
para compatibilizar.
RI =
I(I)
A(I)
, RII =
I(II)
A(II)
 △M.
RI
∑ Ri
, para paño I
 △M.
RII
∑ Ri
, para paño II
I: inercia de la losa
Al mayor momento se le resta su correspondiente, y al
menor se le suma el correspondiente.
El diseño se realiza paño por paño, para el cálculo de
los coeficientes se determina el valor “m”.
m=
A
B
A= menor longitud.
B= mayor longitud.
Entonces: M=coef.Wu. l2
Se trabaja con Wu, está dada por m2.
Siempre en la menor longitud se da el mayor
momento.
Para los momentos en la franja de columna, se le
considera que es 1/3 del momento negativo
correspondiente.
l'/2 l''/2
hf
b
a
α
α
α
α
αm
b
a
b/4
b/4
b/4
b/4
Franja de
Columna
Franja de
Columna
Franja
central
b
a
1.00m
1.00m
h
I II
M(+) M(+)
M(-)
M(-)=M(+)/3
M(-) M(-)
I
I II
I
II II
A(I) A(II)
b
a
M(-)
M(-)/3
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 41
- Este método permite el análisis de losas sin
vigas.
Método Directo:
l1= dirección analizada
l2= dirección transversal
Para la franja de columna para cada lado se toma el
25% de la dirección más corta.
Lo que queda entre franja y franja de columna es la
franja central.
En la franja de columna puede como no haber viga.
- Tener como mínimo 3 paños por c/dirección
Restricciones:
- La carga en Fuerza/Área uniformemente
repartida.
- b≤2a
- las longitudes de 2 paños adyacentes no
deben diferir en más de 1/3 de la luz mayor.
- Las columnas deben estar alineadas.
- Se permite un desalineamiento hasta un max.
De 10% del “l” de la longitud transversal a la
analizada. d≤(0.10).m
- Wcv≤3Wcm
- Relación viga-losa relativa en direcciones
perpendiculares, debe de cumplir:
0.2≤
α1 . l2
2
α2 . l1
2 ≤ 5
m,n= franja de columna
p,q= franja central que corresponde a ese paño.
Se halla el Momento Amplificado (Mo):
Mo =
Wu. l′2.ln2
8
Donde:
ln=luz libre entre columnas
l'2=
l2
′′
2
+
l2
′′′
2
Si hubiesen capiteles o ábacos “ln” es la longitud
de columna entre columna quitando el espacio
que ocupan los capiteles y los ábacos, y este debe
de ser mayor al 65% de la luz entre columnas.
a) Paños interiores: M(-), M(+)
M(-)=0.65Mo
M(+)=0.35Mo
b) Paños exteriores:
Tomando en cuenta las variaciones que
puede existir.
l1' l1'' l1'''
l2'
l2''
l2'''
0.25l2''' ó 0.25l1'
0.25l2'' ó 0.25l1'
d
α1
α2
m
Dirección que se está analizando
l1' l1''
l2'
l2''
l2'''
n
m
q
p
l2''/2
l2'''/2
ln
p n m q
P. exteriores P. interiores P. exteriores
Me
Mex(+)
Mi
M(-)
M(+)
M(-)
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 42
Borde exterior
no restringido
Losa con vigasen
todos los apoyos
Losas sinvigasinteriores Borde exterior
totalmente
restringido
Sin vigas de
borde
Con vigas
de borde
Mi 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65
Mex(+) 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35
Me 0.00 0.16 0.26 0.30 0.65
Estos momentos son los totales, entonces se procede a calcular los momentos que se presentan en la franja de
columna para que por diferencia se calculan los momentos en la franja central.
Dentro de la franja de columna hay parte de losa, esto es parte del análisis.
Momentos Franja Columna: (se puede interpolar),
α1=α
a.1) M. interiores: M(-),Mi
l2/l1 0.50 1.00 2.00
α.l2/l1=0 0.75 0.75 0.75
α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45
a.2) M(+)
l2/l1 0.50 1.00 2.00
α.l2/l1=0 0.60 0.60 0.60
α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45
a.3) M(-)ext: “teniendo en cuenta la viga transversal
β=
Ecb.c
2.Ecl.Il
donde:
c= ��1-0,63.
x
y
� .
x3
y
3
x: menor longitud del rectángulo
y: mayor longitud del rectángulo.
Se tienen que hacer varias disposiciones, y escoger el
mayor “c”, como por ejemplo la siguiente disposición:
l2/l1 0.50 1.00 2.00
α.l2/l1=0
Β=0 1.00 1.00 1.00
Β≥2.5 0.75 0.75 0.75
α.l2/l1≥1.00
Β=0 1.00 1.00 1.00
Β≥2.5 0.90 0.75 0.45
Con esto ya se tienen los momentos en la franja de
columna, y se procede al cálculo de los momentos de
la franja central.
Momentos de Franja de columna en Vigas:
α.
l2
l1
≥ 1.0 -> 85% del Mfcol. Directo a la viga
α.
l2
l1
< 1.0 -> interpolar.
Diseño:
- Franja de columna:
a) Sin vigas:
Ku=
M(±)
(m+n)d2 , ρ, As, As/m=As/(m+n), s(φ)
b) Con vigas:
Viga: Mu(±)±Mu(±)pp (aumentar el peso propio)
Losa: igual que es caso anterior solo que a la suma de
“m+n” se resta el espesor de la viga “bw”.
- Franja central:
La distribución es proporcional a la longitud, ejemplo
para el gráfico.
M(±)p =
p
p + q
MF.Central (±)
- Losa con vigas:
Chequeo por cortante
Al igual quelo usual, a una distancia “d” del apoyo,
Entonces: ln=A-2.d, donde A es la luz libre entre
columnas.
Vu =
Wu. ln
2
(medio)
Vu = 1.15
Wu. ln
2
(extremo )
Debe de cumplir: Vu ≤ ϕVc
Vc = 0,53. √f′c.bw. d; φ = 0.85
hf
n≤4hf
1
2
45°
α=0
Μ=0
α=1.0
Μ=85%
%
m+n
hL
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 43
- Losa sin vigas:
El chequeo es por “punzonamiento”
El corte es diagonal pero se considera vertical.
Vu=Wu(A-Ao)
- Si fuese una columna circular se considera un
área de una columna cuadrada equivalente.
- Si fuese una columna en “L”.
Al igual debe de cumplir:Vu ≤ ϕVc
- Cortante de punzonamiento:
Vc = 0,53. �1 +
2
βc
� �f′c.bo.d
Vc = 0,27. �
αs . d
bo
+ 2� √f′c.bo.d
βc =
lado largo columna
lado corto columna
αS = 40 col. interiores
αS = 30 col. borde
αS = 20 col. esquina
Vc = 1,06. √f′c. bo. d
Nota:
Si no cumple se aumenta el peralte de la losa o se usa
ábacos o capiteles, se hace el chequeo a diversas
alturas para determinar el perfil del capitel o ábaco.
Se elige el menor de los 3.
Se tantea una longitud “n” para saber hasta dónde
llevar el ábaco o el capitel.
Pero el cortante en cuanto a “d” se mantiene con el
valor inicial de la losa sin capitel.
Area tributaria
(A)
Area crítica
(Ao)
d/2 d/2
Sección crítica
Ao->Area
bo->Perímetro
d/2
d/2
d/2
d/2
n
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 44
COLUMNAS:
Análisis:
- Flexo-compresión
- Flexo-tracción
- Pandeo (Esbeltez)
Cuantía:
• Flexión:ρ =
As
bw .d
• Flexo-compresión:ρ =
As
Ag
- Espiral:ρ =
4.Ae
dc .s
La norma nos dice, generaliza para un M=0, Po es decir
compresión pura.
- Espiral ϕ = 0,75
ϕPn = 0,85. ϕ�0,85. f ′
c.�Ag − Ast � + Ast . fy�
- Estribos ϕ = 0,70
ϕPn = 0,80. ϕ�0,85. f′c�Ag − Ast � + Ast . fy�
Ast= Acero longitudinal total.
CENTROIDE PLÁSTICO:
Ejm:
(deformaciones uniformes)
- Cuando existe compresión pura
� F = 0
P = Cc + Cs + C′
s
Cc = 0,85. f ′
c.Ag
Cs = As. fy
C′
s = A′
s. fy
Magnitud de “P”:
P = 0,85. f ′
c.Ag + (As + A′
s). fy
Punto de paso de “P”:
� MAs = 0
d′′
=
0,85. f ′
c.Ag. Zc + As. fy. Z′s
0,85. f ′c.Ag + (As + A′s). fy
Para este caso:
Ag = b. t
Zc = d − t
2�
Z′
s = d − d′
- Cuando existe flexión pura, se calcula “Mn”:
Se toma en consideración que P no existe, entonces se
tiene que calcular el valor de “c”.
Falla dúctil: c ≤ d − t
2�
Falla a compresión: c > d − t
2�
- Cuando actúan compresión y flexión
mutuamente, es decir “flexo-compresión”
Etapa balanceada:
C=Cb
a=ab
De acuerdo al diagrama de deformaciones se
determina que:
Cb =
εc .d
εy + εc
Cb = 0,59. d
ab = k1. Cb ; k1 = 0.85 para f ′
c =
210kg
cm2
ab = 0,5. d
- Calcular carga axial (Pb):
Pb = Cc + Cs − T
Pb = 0,85. f ′
c.ab . b + A′
s. f ′
s − As. fy
d
d'
d''
d''
CP
P
t
b
f's fs
0.85f'c
t
b
Mn
t
b
CP
d
ε
ε'
ε
c
0.85f'c
fs
T
a
Cc
Cs
f's
Xt
Xc
Xs
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 45
Por el diagrama de deformaciones se calcula ε′
s → f′s
- Calcular momento (Mb)
� MCP =0
Mb=Cc.Xc+Cs.Xs+T.Xt
Con esto se hace el “diagrama de interacción”, q es el
lugar geométrico de fuerzas y momentos.
P=Po
Mn=Mo
Para determinar más puntos, se tabulan otros valores
de “c”.
Si:
• C1>Cb -> P1, M1
P1>Pb -> Falla por compresión
• C2<Cb -> P2, M2
P2<Pb -> Falla por tensión
Donde: M′
o = 0,9. Mo Para la zona en flexión
M′
o = 0,7. Mo Para la zona en compresión
Si: P<0,1.f’c.Ag
 Diseñar como viga a flexión.
To = Ast. fy
Ast = As + A′s
PREDIMENSIONAMIENTO:
- Con estribos:
Ag ≥
P
0.45f ′c
- Con espirales:
Ag ≥
P
0.55f′c
Ast = ρt .Ag
Se puede colocar las siguientes cuantías.
- Cuantía mínima: 1%
- Cuantía máxima: 6%
- Recomendable: 1.5% a 2.5%
Efecto Local: CM, CV; no hay desplazamiento de
nudos.
Efecto Global: CM, CV y S; hay desplazamiento de
nudos.
• Cuando no existe desplazamiento de nudos
(efecto local)
Usar inercias brutas
• Cuando existe desplazamiento de nudos
(efecto global)
P
M
Po
Mo Mb
Pb
M1 M2
P1
P2
Diagrama Nominal
Diagrama de Diseño
Po
Mo
0.9Mo
0,1f'c.Ag
φPo
0.70
ò
0.75
To
0.9To
Mb
Ma
P
Mb
Ma
P.δ P.δ
Mto. 1er
orden
Mto. 2er
orden o
P-delta
+ =
δ
Elemento de simple curvatura
Mb
Ma
P
Mb
Ma
Mto. 1er
orden
Mto. 2er
orden o
P-delta
+ =
δ
Elemento de doble curvatura
δ
P.δ
P.δ
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 46
Mf = Factor. (Mto 1er orden)
Para este caso usar Inercias reducidas:
Inercia dela viga:IV = 0,35. Ig
Inercia dela columna:IC = 0,70. Ig

M1:menor momento último
M2: mayor momento último
Efecto local:
Si cumple las siguientes condiciones no es necesario
el cálculo para el efecto local en elementos a
compresión.
k. lu
r
≤ 34 − 12. �
M1
M2
�
34 − 12. �
M1
M2
� ≤ 40
Objetivo: Calcular Mc = δus . M2
Radio de giro: r = �
I
A
- Para una circular rectangular.
ry = 0.30t ; rx = 0.30b
- Para una columna circular.
r = 0.25D
• Carga crítica por pandeo (Euler)
Pc =
π2
. EI
(k. lu)2
Norma peruana: k = 1.0
EI =
0,2. Ec.Ig + Es. Ise
1 + βd
Donde:
- Ec: mod. Elast. Concreto
- Ig: Inercia bruta
- Es: mod. Elast. Acero
- Ise: mto. De inercia de la sección equivalente
(recordar concreto I)
EI =
0,4.Ec. Ig
1 + βd
Donde:
βd =
PuCM
Putotal
• Cálculo Pu
Pu = 1,4. Pcm + 1,7. Pcv
Finalmente:
δus =
Cm
1 −
Pu
0,75. Pc
Donde:
Cm = 0,6 + 0,4 �
M1
M2
� ; Cm ≥ 0,4
M1: Será positivo cuando sea curvatura simple, será
negativo cuando se curvatura doble.
M2: siempre será positivo
Si en la columna existe alguna carga a lo largo de su
longitud: Cm=1.00
- Excentricidad mínima:
Momentos Mínimo:
emin = 15 + 0,03. h (mm)
Mmin = Pu. emin
Si: Mmin > M2 → Cm=1.00

Si:
k.lu
r
< 22 → δs = 1.00 se acaban los chequeos
Efecto global:
M1 = M1n + δs.M1s
M2 = M2n + ds. M2s
M1n → Debido a 1.25(CM+CV)
M2n → DMF debido a sismo
Calcular el valor de “k” usando los monogramas
Mb
Ma
P
Mb
Ma
Mto. 1er
orden
Mto. 2er
orden o
P-delta
+ =
δb
Elemento de doble curvatura
δa P.δa
P.δb
t
b
y
x
φB
φA
kv1 kv2
kv3 kv4
kc3
kc1
kc2
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 47
Donde:
ϕ =
∑Rc
∑ Rv
,R =
I
L
Considerar las inercias reducidas.
Para una estructura:
Q =
(∑Pu). Δo
Vus. he
Q ≤ 0.06 → Arriostrado , no se mueve δs = 1
Q > 0.06 → calcular δs
Donde:
∑ Pu : Suma de las cargas amplificadas muertas y
vivas, acumuladas desde el extremo superior hasta el
entrepiso en estudio
� Pu = 1.25(CM + CV)
∆o: Deformación relativa entre el niel superior y el
nivel inferior del entre piso considerado.
∆o = 0.75R(δi − δi−1
)
R: factor de reducción sísmica (8 para Pórticos)
Vus: Cortante del entrepiso considerado
he: Altura del entrepiso medida de piso a piso
La norma nos da la siguiente fórmula:
δs =
1
1 − Q
Q → � Pu debido 1.4CM + 1.7CV
Si: δs > 1.5, el edificio se mueve demasiado,
recalcular δs
δs =
1
1 −
∑Pu
0,75. ∑Pc
≤ 2.5
Si:
k.lu
r
> 100, hacer análisis de segundo orden.
Posibilidades:
1. No hay sismo:
a. Cuando un momento es mas grande
que el otro la tendencia es que la
columna trabaje unidireccional, caso
para losa unidireccional.
b. Cuando ambos momentos son
parecidos, la tendencia es que la
columna trabaje bidireccional, caso
losa bidireccional
2. Cuando hay sismo
a. Se coloca acero en todas la caras ya
que el sismo viene por todo lado
b. Se tiene que hacer un diagrama para
cada dirección
i. Cuando “ex” existe y “ey=0”
ii. Cuando “ey” existe y “ex=0”
Si cumple ambos diagramas, el diseño se acaba.
Cuando no existe momento.
Pon = 0,85. f ′
c.�Ag − Ast � + fy. Ast
Verificación del Efecto Biaxial:
a) Pu ≥ 0,1. ϕ. Pon
Predomina el efecto a COMPRESIÓN
1
Pn
=
1
Pnx
+
1
Pny
−
1
Pon
Pnx= carga nominal (ey=0)
Pny= carga nominal (ex=0)
Pn= carga nominal por efecto biaxial.
Se chequea para las hipótesis
1era hipótesis Pu ≤ ϕ. Pn
2da hipótesis Pu ≤ ϕ. Pn
ϕ = 0.75 Espiral
ϕ = 0.70 Estribos
b) Pu < 0,1. ϕ. Pon
Predomina el efecto a FLEXIÓN.
Mux
ϕ. Mnx
+
Muy
ϕ. Mny
≤ 1.0 ; ϕ = 0,9
y
x
Mcm,Mcv
Msy, Psy
Mcm,Mcv
Msx, Psx
y
x
ex
ey
M
P
Mux
Pnx
Mnx
Pux
ey=0
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 48
1) Pn = 0,85. f ′
c.a. bw + A′
s.f ′
s − As. fs
2) Mn = Pn. e = 0,85. f ′
c.a. bw.�y − a
2� � +
A′
s. f ′
s.(y − d′) + As. fs.(d − y)
3) As y A’s fluyen fs=f’s=fy
4) Recomendable As=A’s
Entonces:
y = h
2�
Pn = 0,85. f ′
c.a. bw
Mn = 0,85. f ′
c.a. bw. �h
2� − a
2� � + As.fy(d − d′)
Pn. e = Pn. �h
2� − a
2� � + As. fy. (d − d′)
Pero:
a =
Pn
0,85. f ′c.bw
e =
Mu
Pu
Reemplazando:
Pn. e = 0,5. Pn �h −
Pn
0,85. f ′c.bw
� + As. fy. (d − d′)
Resolver y encontrar Pn.
Finalmente chequear ϕPn ≥ Pu
Diseño por Corte:
Sección crítica de corte a una distancia “d”
Vc = 0,53. √f′c. �1 +
Nu
140. Ag
� . bw. d
Vu
ϕ
= Vc + Vs
Vs =
Ax . fy. d
s
s(ϕ) =
Ax . fy.d
Vu
ϕ
− Vc
Nu: Carga axial última
“Nu” puede variar debido a que en la parte inferior
aumenta por el peso propio de la columna, si no es
considerable el aumento se puede despreciar.
Estribos:
- 8mm -> hasta ∅L = 5/8"
- De 3/8” -> hasta ∅L=1”
- De ½” -> ∅L >1”
• Lo: longitud de confinamiento, máximo de
- Ln/6
- t (t>b)
- 50cm
• So: separación entre estribos, menor de
- 8db (el de menor diámetro)
- b/2 (b<t)
- 10cm
Tipo 2: Pórticos
• Lo: longitud de confinamiento, máximo de
o Ln/6
o t (t>b)
o 50cm
• So: separación entre estribos, menor de
o 6db (el de menor diámetro)
o b/3 (b<t)
o 10cm
S: separación de estribos en la zona fuera de la zona
longitud de confinamiento
S →
≤ 10db
25cm
bw
h
y
d'
d
As'
As
CP
ε's
c a f's
fs
εs
0,85.f'c
Cs
Cc
T
Zc
Zs
ZT
M
CIMENTACIONES
S
So
10cm
t
b
Lo
Lo
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 49
- Cimentaciones Superficiales
Df ≤ 3m
- Cimentaciones Profundas
Df > 3𝑚𝑚
- Datos conocidos para diseño de
cimentaciones
o Df: profundidad de desplante
o σt : Capacidad portante del suelo
• Zapatas Aisladas:
- Esfuerzo a compresión:σ =
P
A
- Esfuerzo a flexión: σ =
M.v
I
Existen 2 casos:
σ1 =
P
A
+
M. v
I
σ2 =
P
A
−
M. v
I
e =
M
P
Caso 1: Si e >
L
6
(Recordar que el suelo no admite tracciones)
σ1 =
2. P
3. B.�
L
2
− e�
Donde: P = R = p + Ppzap
Se estima para Ppzap:
σt ≤ 2
kg
cm 2
→ Ppzap ≅ 10%p
σt > 2
kg
cm 2
→ Ppzap ≅ 5%p
Queda claro que al determinar las dimensiones de la
Zapata se tiene que recalcular el Ppzap.
Recomendación:
Para el peralte de la zapata hz, este sea igual o mayor
a la
Hacer que m=n.
longitud de desarrollo de los aceros que llegan de
la columna mas 10cm.
Caso 2: Si e ≤
L
6
σ1 =
P
A
�1 +
6. e
L
�
PREDIMENSIONAMIENTO:
Ojo:
Tener cuidado con el momento y cargas debido al
Sismo ya que estas al aplicarse la formula dada por la
Norma E-030 Sismoresistente ya se encuentra
amplificada (se debe de especificar si lo está o no), si
es el caso dividir por 1.25.
El predimensionamiento se realiza con “Cargas de
Servicio” (Sin amplificar).
-
Procedimiento:
Calcular p = ∑ p
Chequeo por estado Estático (no incluir
cargas y momentos debido al sismo)
Calcular M = ∑M
R = p + %p ; %p = Ppzap
A =
R
σt
Conocido “A”, dimensionar la Zapata
Recalcular:R = p + PpzapReal
e =
M
R
<>
L
6
Ir a los casos 1 o 2 dependiendo del valor que tome
“e”
Calcular σ1 ≤ σt ; debe de ser menor a la capacidad
del suelo.
-
Calcular p = ∑ p
Chequeo por estado Dinámico o Sismo (incluir
cargas y momentos debido al sismo)
Calcular M = ∑M
R = p + Ppzap
e =
M
R
<>
L
6
Calcular σ1 ≤ σst = 1.33σt
Con todo esto, ya se tendrían las dimensiones de la
Zapata, ahora se procede a los chequeos para verificar
si son correctas nuestras dimensiones.
CHEQUEOS:
Se usan las hipótesis para hacer una envolvente de
esfuerzos
σ2
σ1
σ2
σ1
L
x
e
σ1
P
B
L
n
m
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 50
Se escoge el Esf. Promedio o el Máximo para distribuir
un Diagrama uniforme de Esfuerzos: 𝜎𝜎𝑢𝑢
a) Punzonamiento:
𝐴𝐴 = 𝐵𝐵. 𝐿𝐿
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝑋𝑋. 𝑌𝑌𝑌𝑌
𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑏𝑏 = Perímetro
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢
(𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴)
b)
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐵𝐵. ( 𝑚𝑚 − 𝑑𝑑)
Corte por Flexión:
En la otra dirección:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐿𝐿. (𝑛𝑛 − 𝑑𝑑)
c)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐵𝐵.
𝑚𝑚2
2
Flexión:
En la otra dirección:
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐿𝐿.
𝑛𝑛2
2
Si m=n, entonces se puede analizar por 1m de ancho,
en decir L=B=1m, en tal caso solo se analiza una sola
dirección.
 Casos Especiales
- Columna metálica:
- Mampostería:
- Columna Circular y poligonal:
Tomar un área equivalente a una columna
Cuadrada
- Columna en L:
Existe el diseño para Zapatas de Concreto Armado y de
Concreto Simple.
 Para Zapatas de Concreto Armado:
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙
≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ; 𝜙𝜙 = 0.85
a) Punzonamiento: usar el menor de:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �1 +
2
𝛽𝛽
� � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,27. �
𝛼𝛼𝑠𝑠 . 𝑑𝑑
𝑏𝑏𝑏𝑏
+ 2� � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 1,06. � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
Donde:
𝛽𝛽 =
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
• 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 40; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
• 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 30; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
• 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 20; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
σmax
σprom
d/2
d/2
Xo
Yo
B
L
B
d
m
σu
B
σu
Mu
m
n
n/2
X
Sección crítica por Flexión
t
t/4
X
d/2
d/2
d/2
d/2
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 51
b) Corte por Flexión:
𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53. � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
Si m=n, entonces bw=100cm=1m
c) Flexión:
𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐾𝐾𝐾𝐾 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐴𝐴𝐴𝐴/𝑚𝑚
Donde 𝜌𝜌 sigue las reglas para la cuantía en Losas, es
decir:
Si:
𝜌𝜌 < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙)
𝜌𝜌′
= 𝜌𝜌 +
1
3
𝜌𝜌
𝜌𝜌′
< 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜌𝜌′
𝜌𝜌′
≥ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
 Para Zapatas de Concreto Simple:
Para todos los casos 𝜙𝜙 = 0.65
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙
≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉
ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑐𝑐
a) Punzonamiento: Tomar el menor de:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35 �1 +
2
𝛽𝛽
� � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,70.� 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ
b) Corte por flexión:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35. �𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ
𝑏𝑏𝑏𝑏 = 100𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛
c) Flexión: 𝜙𝜙𝑀𝑀𝑀𝑀 ≥ 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 1,33. �𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆 → 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇ó 𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,85. 𝑓𝑓′
𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆 → 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛
Donde:
Sm: Módulo de sección.
𝑆𝑆𝑆𝑆 =
𝐼𝐼
𝑣𝑣
Para Concreto Simple: 𝑓𝑓′
𝑐𝑐 = 145 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑐𝑐𝑐𝑐 2
Para Concreto Ciclópeo: 𝑓𝑓′
𝑐𝑐 = 100 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑐𝑐𝑐𝑐 2
Si existiese momentos en ambas direcciones se tiene
que hacer un diagrama de esfuerzos en el espacio
(Resistencia de materiales I), para poder determinar el
esfuerzo último.
•
Se da por superposición de Zapatas Aisladas
Zapatas Combinadas
R= resultante de la fuerzas actuantes en las columnas
𝐴𝐴 =
𝑅𝑅 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑡𝑡
Para el Ppzap:
𝜎𝜎𝑡𝑡 ≤ 2
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑐𝑐𝑐𝑐2
→ 20% @ 15% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅
𝜎𝜎𝑡𝑡 > 2
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑐𝑐𝑐𝑐2
→ 10% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅
Recomendación: Hacer coincidir el C.G. de la Zapata
con el punto de aplicación de la fuerza R
Ojo:
𝑛𝑛 ≤ 2𝑚𝑚
Con la presencia de Momento
𝑅𝑅𝑇𝑇 = 𝑅𝑅 + %𝑅𝑅
𝑒𝑒 =
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑅𝑅𝑇𝑇
<>
𝐿𝐿
6
PROCEDIMIENTO:
1. Dimensionar las zapatas de cada columna
como si fueran aisladas.
2. Si las zapatas de superponen, hacerla
combinada.
Idealización:
- Para el sentido Longitudinal
100cm
hz
B
R
L/2 L/2
B
R
n
L/2 L/2
R
Mi
σ1
Wu=σu.B
P1
M1
P2
M2
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- Para el sentido transversal
Los aceros resultantes colocarlos en el ancho “2h+b” el
resto colocarlo al doble de separación o colocar la
cuantía mínima de losas (0.0018).
Corte a -a
CHEQUEOS:
- Corte:
Igual que el caso anterior
- Punzonamiento:
Para el chequeo por punzonamiento, se debe de hacer
lo siguiente:
A partir de la idealización realizada para el sentido
longitudinal, trazar el diagrama de fuerzas cortantes.
En el punto donde el cortante es CERO, separarlos
como zapatas aisladas
Finalmente aplicar la fórmula ya conocida para Vu
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢
(𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴)
Y aplicar las mismas formulas dadas para Zapatas de
concreto Armado
Nota:
Se recomienda que las Zapatas Combinadas tengan un
peralte de 0.70m, excepcionalmente 0.60m
Todas las Zapatas Combinadas son ARMADAS.
• Zapatas Conectadas
Esto se da cuando existe un Límite de Propiedad y se
quiere salvar el Momento generado.
𝑒𝑒𝑔𝑔 = Excentricidad Geométrica
𝑒𝑒 =
𝑀𝑀
𝑃𝑃
; 𝑒𝑒: 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
Finalmente se tiene:
𝑒𝑒𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒𝑔𝑔 <>
𝐿𝐿
6
Generalmente; 𝑒𝑒𝑡𝑡 > 𝐿𝐿
6� → 𝜎𝜎1
𝑅𝑅1 = 𝑃𝑃1 +
𝑃𝑃1 . 𝑒𝑒𝑔𝑔
𝐿𝐿
, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴1 =
𝑅𝑅1 + %𝑅𝑅1
𝜎𝜎𝑡𝑡
𝑅𝑅2 = 𝑃𝑃2 −
𝑃𝑃1 . 𝑒𝑒𝑔𝑔
𝐿𝐿
, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴2 =
𝑅𝑅2 + %𝑅𝑅2
𝜎𝜎𝑡𝑡
- Las zapatas se diseñan como zapatas aisladas
- La viga cimentación es como una viga simple,
dibujar los DMF y DFC y hacer el diseño por
flexión y corte
- Recordar que para el dimensionamiento se
trabajan con CARGAS DE SERVICIO Y al
diseñar se trabajan con CARGAS ÚLTIMAS
Wu=σu
a
a
b
2h+b
h
45°
45°
Viga de Cimentación
eg
L.P.
P
M
P1 P2
eg L
R1 R2
Pu1 Pu2+Ppzu2
eg L
Ru1 Ru2
Ppzu1
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AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 53
Es recomendable que el “bw” de la viga de
cimentación sea del mismo ancho que el de la
columna
Para corte siempre chequear
𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 2,1�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
Generalmente el corte no es influyente, entonces
colocar el estribaje mínimo: 3/8” (1@0.05, 4@0.10,
rsto @ 0.25)
Aparte del los aceros que se le coloca al la viga,
colocar en el medio 0.1As por contracción del acero
separado un máximo de 30cm
Si la zapata a conectar está muy lejana de las demás se
puede dimensionar un cubo de Cº Simple para
equilibrar, pero siempre colocarle una malla de 3/8”
@30cm.
• Cimientos
Se analiza por 1m de ancho
- Cargas Distribuidas
Resultante de la carga distribuida w = P
𝐴𝐴 =
𝑃𝑃 + %𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑡𝑡
Generalmente
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1.5@2.2𝑡𝑡𝑡𝑡
Entonces:
𝑏𝑏 =
𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
100𝜎𝜎𝑡𝑡
- Cargas Puntuales:
CHEQUEOS
- No hay chequeo por corte
- Flexión:
Para todo Cº Ciclopeo: 𝜙𝜙 = 0.50
𝜎𝜎 =
𝑀𝑀
𝑆𝑆
=
𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝑛𝑛2
2
.100
𝑆𝑆
𝑆𝑆 =
ℎ2
6
ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑐𝑐
Usar las mismas expresiones de los chequeos para
Concreto Simple antes dadas
𝑓𝑓′𝑐𝑐 ≤ 100
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑐𝑐𝑐𝑐2
CHEQUEOS PARA TODAS LOS TIPOS DE ZAPATAS
- Corte Fricción:
𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝜇𝜇. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠
𝜙𝜙𝑉𝑉𝑅𝑅 ≥ 𝑉𝑉𝑢𝑢
𝜇𝜇 = 0,6𝜆𝜆
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 : Acero proveniente de la Columna
Si es menor ser usan Dowels y se encuentra As por
simple diferencia
- Aplastamiento:
𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 𝜙𝜙. 0,85. 𝑓𝑓′
𝑐𝑐. 𝐴𝐴1 ; 𝜙𝜙 = 0,70 𝐶𝐶º𝐴𝐴º
O si no cumple usar:
𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 𝜙𝜙. 0,85. 𝑓𝑓′
𝑐𝑐. 𝐴𝐴1. �
𝐴𝐴2
𝐴𝐴1
�
𝐴𝐴2
𝐴𝐴1
≤ 2.0
𝑃𝑃𝑅𝑅 = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − 𝑃𝑃𝑛𝑛
𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝑃𝑃𝑅𝑅
𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓
; 𝜙𝜙 = 0,70
0.1As
As/3
2As/3
As/3
3/8"@30cm
1m
P
w
b
1m
P
bw
t
bw+4t=L
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 54
Donde
MUROS DE CONCRETO ARMADO
•
Solo actúa a cargas de Gravedad
Muros de Gravedad:
𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 0,55. 𝜙𝜙. 𝑓𝑓′
𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴. �1 − �
𝑘𝑘. 𝑙𝑙𝑙𝑙
32. 𝑡𝑡
�
2
�
𝜙𝜙 = 0,70
Valores de “k”:
 K=0.80 (Restringido en uno o ambos apoyos)
Es decir: Empotrado-Articulado ó Empotrado-
Empotrado
 K=1.00 (no hay restricción en los apoyos)
Es decir: Articulado-Articulado
 K=2.00 (muro en volado)
PREDIMENSIONAMIENTO:
𝑡𝑡 ≥
𝑙𝑙𝑙𝑙
25
𝑦𝑦 𝑡𝑡 ≥ 10𝑐𝑐𝑐𝑐
Para muros en Sótanos 𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 ≥ 𝑃𝑃𝑃𝑃
- Para Cargas Distribuidas:
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑡𝑡. 1𝑚𝑚. 2.4𝑡𝑡𝑡𝑡/𝑚𝑚3
No olvidar que para calcular Pu, aumentar el peso
propio del muro Wpp.
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 100. 𝑡𝑡
- Para Cargas Distribuidas + Cargas Puntuales:
Si se superponen las proyecciones para las cargas
tomar la mitad de la izquierda y la mitad de la
derecha.
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑡𝑡. ( 𝑏𝑏𝑖𝑖 + 4𝑡𝑡). 𝑙𝑙𝑙𝑙. 2,4
Hay que colocar acero debido a las contracciones del
concreto:
𝜌𝜌ℎ 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ≥ 0.002
𝜌𝜌𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ≥ 0.0015
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜌𝜌. 100. 𝑡𝑡
Separación:
𝑆𝑆 ≤ 3𝑡𝑡
𝑆𝑆 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐
Si 𝑡𝑡 ≥ 20c𝑚𝑚, colocar 2 capas de acero
• Muros de contención:
E= Empuje Activo
𝐸𝐸 =
1
2
. 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾. ℎ2
𝐾𝐾𝐾𝐾 =
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 �45 −
𝜑𝜑
2
�
Ep= Empuje Pasivo
Si:
- 𝐷𝐷𝐷𝐷 ≥ 1.00𝑚𝑚 -> Considerar Ep
- 𝐷𝐷𝐷𝐷 < 1.00𝑚𝑚 -> Despreciar Ep
A1
A2
1
2
lc
t
lc
tWcm,Wcv
Wpp
Pu
lc
1m
Pi-1 Pi
bi-1 bi
bi+4t
FR
W2
W1
W3
y
Df
E
o
Ep
yp
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 55
PROCEDIMIENTO:
1. Predimensionamiento
2. Chequeo por Volteo, Deslizamiento y
Presiones
3. Diseño Estructural
CHEQUEAR:
a) Deslizamiento:
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝜇𝜇 ∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊 + 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐸𝐸
≥ 1,5
𝜇𝜇 = 0,5 − 0,6
Tomar generalmente: 𝜇𝜇 = 0,55
b) Volteo:
- 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐸𝐸. 𝑦𝑦
- 𝑀𝑀𝑅𝑅 = ∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊 . 𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐸𝐸𝐸𝐸. 𝑦𝑦𝑝𝑝
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑀𝑀𝑅𝑅
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
≥ 2,0
c) Presiones:
𝑥𝑥 =
𝑀𝑀𝑅𝑅 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊
𝑒𝑒 =
𝐿𝐿
2
− 𝑥𝑥 <>
𝐿𝐿
6
Calcular: 𝜎𝜎1 ≤ 𝜎𝜎𝑡𝑡
PREDIMENSIONAMIENTO:
𝐿𝐿 ≈
𝐻𝐻
2
ℎ𝑧𝑧 ≈ 0,10𝐻𝐻 ;ℎ𝑧𝑧 ≥ 0.50𝑚𝑚 𝑑𝑑e𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑛𝑛 ≈ 0.10𝐻𝐻
𝑒𝑒 ≥ 15𝑐𝑐𝑐𝑐
Se recomienda: 15cm para Concreto Armado y 20cm
para Concreto Simple y Ciclópeo
- ℎ𝑝𝑝 ≤ 3.00𝑚𝑚 : Muro de C.A., C.S., C.C.
Recomendaciones:
- 3.00𝑚𝑚 < ℎ𝑝𝑝 ≤ 8.00𝑚𝑚 : Muro de C.A.
- ℎ𝑝𝑝 > 8.00𝑚𝑚 : C.A. Contrafuerte
Considerar: Empuje del Suelo es CV en la Pantalla y
Peso Propio del Suelo es CM para la Zapata
 MUROS EN VOLADIZO
 Diseño de la Pantalla:
- El diseño por Corte: normalmente se chequea
a una distancia “d”, pero en este caso como
no se conoce “t” se chequea con el valor
“Vu”.
- Diseño por Flexión:
Para C.A, C.S o C.C.
𝑀𝑀𝑀𝑀 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙
 Para Concreto Armado
o Corte
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑
Hacemos: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 → 𝑑𝑑 → 𝑡𝑡
Entonces tenemos el valor de “t”:
o Flexión
𝐾𝐾𝐾𝐾 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴
Pero 𝜌𝜌 ≤ 𝜌𝜌1 = 0.18.
𝑓𝑓′𝑐𝑐
𝑓𝑓𝑓𝑓
Con esto se tiene el “Acero Vertical Principal”.
También se colocar acero en forma horizontal,
tomando la cuantía mínima dada en muros, teniendo
con esto el “Acero Horizontal Principal”.
Adicionalmente se coloca otra capa de acero, con las
cuantías mínimas dadas en muros.
 Para Concreto Simple y Ciclópeo
o Corte:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35. � 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 → ℎ → 𝑡𝑡 ;
𝐶𝐶𝐶𝐶 𝜙𝜙 = 0,65
𝐶𝐶𝐶𝐶 𝜙𝜙 = 0,50
o Flexión:
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 1,33� 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆
𝑀𝑀𝑀𝑀 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙
∑W
FH
R
o
x
L
CRESTA
PANTALLA
PUNTATALÓN
hp
H
e
t
n
L
hz
Mu Vu
Ep
yp
Mp
Wp
hp
Mu
d
100cm
Acero Vertical
Principal
Acero Horizontal
Principal
Acero
mínimo
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 56
 Diseño de la Zapata:
 En la Punta:
 En el Talón:
 MUROS CON CONTRAFUERTE
𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐
S= Longitud libre entre Contrafuertes
𝑆𝑆 = 2,5 @ 3,5𝑚𝑚
𝑒𝑒 ≥ 30𝑐𝑐𝑐𝑐
Para los CHEQUEOS por Deslizamiento, Volteo y
Presiones, tomar una franja de la siguiente manera:
 Diseño de la Pantalla
 Diseño por Flexión:
o Para el acero Horizontal
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛾𝛾𝛾𝛾. 𝐾𝐾𝐾𝐾. ℎ(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
No olvidar amplificarlo por 1.7, el diseño se hace por
metro.
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 1,7. 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑀𝑀(+) =
𝑊𝑊𝑊𝑊. 𝑆𝑆2
16
𝑀𝑀(−) =
𝑊𝑊𝑊𝑊. 𝑆𝑆2
11
𝐾𝐾𝐾𝐾 =
𝑀𝑀(±)
100. 𝑑𝑑2
→ 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,0018.100. 𝑒𝑒 <> 𝐴𝐴𝐴𝐴
En la franja (P4) el acero resultando se repite en la en
la última franja (3/8S).
o Para el acero Vertical
𝑀𝑀4 (−) = 0.03. 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝3
. 𝑠𝑠 ; 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 s = 100𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀5(+) =
𝑀𝑀4(−)
4
 Diseño por Corte:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 =
𝑊𝑊𝑊𝑊(𝑠𝑠′
− 2𝑑𝑑)
2
Donde: s’ es la distancia a ejes delos contrafuertes
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53�𝑓𝑓′𝑐𝑐. 100. 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙
Ws1
Ws2
Ws2
Se toma el mayor
Se puede despreciar
si no es significativo
Ws1
Se toma el promedio
ó se puede despreciar
S
e
t
S
hp
hp
S S
S+e
hz
S
hp
M(+)
3/8S
h
h
h
hP1
P2
P3
P4
En esta sección tiene un
comportamiento como losa
bidireccional
1/16 1/11 1/16
M(-)
M4
M5
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 57
 Diseño del Contrafuerte
𝑛𝑛′
→ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑚𝑚′
→
6𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
9𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑚𝑚 = 𝑚𝑚′
+ 𝑛𝑛′
→ 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
o Diseño por Flexión:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1,7. �
1
2
. 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝2
. (𝑆𝑆 + 𝑒𝑒)�
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸.
ℎ𝑝𝑝
3
𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑛𝑛′
𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓
; 𝜙𝜙 = 0,90
Calculando el empuje más hacia arriba, se puede
realizar corte de Acero.
o Diseño por Corte:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑇𝑇𝑇𝑇. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑒𝑒. 𝑛𝑛′
𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙
𝑉𝑉𝑉𝑉 =
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙
− 𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑆𝑆(𝜑𝜑) =
𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝑛𝑛′
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙
− 𝑉𝑉𝑉𝑉
Se puede aumentar el espaciamiento conforme se
sube
- Verificación del acero horizontal (caso si la
pantalla tienda a arrancarse del contrafuerte)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝.(1𝑚𝑚)(𝑆𝑆 + 𝑒𝑒)
𝑇𝑇𝑇𝑇1 = 1,7. 𝑇𝑇𝑇𝑇
𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ =
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓
<> 𝐴𝐴𝐴𝐴
Si:
𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ; El arrancamiento está controlado
𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ; Colocar DOWELS
- Si el Contrafuerte tiende a arrancarse de la
Zapata
𝑊𝑊 = 𝑛𝑛. ℎ𝑝𝑝. (𝑆𝑆 + 𝑒𝑒). 𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑇𝑇𝑇𝑇2 = 1.4. 𝑊𝑊
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝑇𝑇𝑇𝑇2
𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓
O colocar el 10% del acero diseñado por Flexión
 Diseño de la Zapata
La zapata se asemeja a una losa bidireccional
restringida en 3 de sus 4 lados, sometida a la carga
distribuida uniforme (Pp del suelo y Pp dela zapata)
Recordar que el Pp del suelo es CM.
• Muros de corte o Placas
 FLEXOCOMPRESIÓN:
Aplicar las hipótesis
- Para los aceros extremos
θ
n
m
m'
n'
C
hi
Tu1
n
Lm
hm
t
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 58
𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑧𝑧. 𝑓𝑓𝑓𝑓
; 𝑧𝑧 = 0,60. 𝐿𝐿𝐿𝐿
1@5 pisos -> colocar 5/8”
5@8 pisos -> colocar ¾”
Más de 8 pisos -> 1”
Distribuir 4@6 aceros con una separación de 5@10cm
- 𝑡𝑡 ≥ 15𝑐𝑐𝑐𝑐
- 𝑡𝑡 < 15𝑐𝑐𝑐𝑐; Muros de Ductilidad Limitada
Si: 𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐 , colocar doble malla
Además, colocar doble malla si:
𝑉𝑉𝑉𝑉 ≥ 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
Donde: “Acw” es el área del alma.
Resistencia al corte del Concreto:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝛼𝛼𝑐𝑐 � 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐�
𝛼𝛼𝑐𝑐
ℎ𝑚𝑚
𝐿𝐿𝐿𝐿
0,80 ≤ 1.50
0,53 ≥ 2.0
Se puede interpolar si se tiene un valor diferente de
hm/Lm
- Para los aceros intermedios
Si:
 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 0,27. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝜌𝜌ℎ ≥ 0,002
𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0015
Separación:
𝑠𝑠 ≤ 3𝑡𝑡
𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐
 𝑉𝑉𝑉𝑉 > 0,27. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝜌𝜌ℎ ≥ 0,0025
𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0025+ 0,5.�2,5 −
ℎ𝑚𝑚
𝐿𝐿𝐿𝐿
� .(𝜌𝜌ℎ − 0,0025)
≥ 0,0025
Separación:
𝑠𝑠 ≤ 3𝑡𝑡
𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐
 CORTANTE:
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�
Vua: Resultado del análisis
Mua: Resultado del análisis
Mn: Momento nominal relacionado con la carga axial
Se tienen que hacer 2 diagramas de interacción
𝑛𝑛 ≤
0,10. ℎ𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑙𝑙/2
Para empezar el análisis
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉. 𝑅𝑅
𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 ≥ 𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜌𝜌ℎ . 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝜌𝜌ℎ =
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑉𝑉
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓
Comparar: 𝜌𝜌ℎ <> 𝜌𝜌ℎ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑠𝑠 =
𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑉𝑉
 Momento Crítico de Agrietamiento
𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝐼𝐼 𝐼𝐼
𝑉𝑉
. �2�𝑓𝑓′𝑐𝑐 +
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐴𝐴
�
𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
 Chequeo de los núcleos
Problema: Calcular “c”:
- Calcular iterando
Mu
Pu
Mn
n
n
li
hi
hi
Mu
Pu
Mn
Mun
Elemento de borde
c
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 59
La norma nos dice si:
𝑐𝑐 ≥
𝐿𝐿𝐿𝐿
600� 𝛿𝛿𝛿𝛿
ℎ𝑚𝑚� �
; 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒t𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝛿𝛿𝛿𝛿
ℎ𝑚𝑚
≤ 0,005
 Forma simplificada de calcular “c”
𝑧𝑧 =
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓
→ 𝑎𝑎 → 𝑐𝑐
Para tener una idea si la placa necesita elementos de
borde, es aplicar la siguiente fórmula
𝐿𝐿𝐿𝐿
(600)(0,005)
<> 𝑐𝑐
Se usa elemento de borde hasta una altura “h”:
h ≥
Lm
Mu
4. Vu
; se toma el mayor
σ(+) =
Mua. v
Ig
+
Pu
Acw
Si:
- σ(+) ≤ 0,2f′c; no usar elementos de borde
- σ(+) ≤ 0,2f′c; usar elementos de borde
Si: σ(+) ≤ 0,15f′c; dejar de usar el elemento de
borde.
Para cuando la placa tiene alas, el núcleo será:
Se usa un m=30cm, sea donde sea que caiga el bloque
a compresión
Ojo: Siempre colocar el acero en todo el núcleo
- Estribos o grapas
3/8” @ 1” -> Colocar estribo o grapa de 3/8”
Mayores a 1” -> Colocar estribo o grapa de ½”
La separación de los estribos no será mayor que:
- s ≤ 10dbmayor
- s ≤ la menor dimensión de la sección
transversal
- s ≤ 25cm
 CORTE FRICCIÓN:
Se da debido a posible presencia de juntas
ϕVn = μ. ϕ(Nu + Av.fy)
Vu ≤ ϕVn
Donde:
- Av: Acero vertical
- ϕ = 0,85
- μ = 0,6 (Generalmente)
- Nu = 0,90PCM
Si: Vu > 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙; se tiene que colocar dowels
Nota: No se chequea por cargas perpendiculares a su
plano, generalmente.
hm
δ.R=δu
a
Ts
Cc
z
n
min
15cm
m
CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 60

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL FORMULARIO DE: CONCRETO ARMADO I y II Autor: Johan Solis Pinto AREQUIPA ENERO – 2011
  • 2. El siguiente formulario contiene todas las fórmulas, recomendaciones, procedimientos para el diseño en concreto Armado dados por la Norma E-060 del Reglamento Nacional de Edificaciones actualizado al 2009. Estos fueron todos mis apuntes en clase entre los años 2009 y 2010 cuando lleve el curso de Concreto Armado I y II pues solo espero que les sea útil tanto en la universidad como en la vida profesional, no será el formulario más completo pero es un aporte que quise dejar antes de dejar mi Facultad que se convirtió en mi segunda casa. “La imaginación es más importante que el conocimiento” Albert Einstein
  • 3. CONCRETO ARMADO I PROPIEDADES CONCRETO: )livianoConcreto(3m/tn2.2a0.2γ = )normalConcreto(3m/kg2400o3m/tn4.2γ = • Diaframa de esfuerzo - deformación • Modulo de Elasticidad: )2cm/kg(c'f15000Ec = • Modulo de Poison: 17.0a15.0ν 21.0a11.0ν usado= = • Modulo de Corte: )ν1(2 Ec Gc + = 30.2 Ec GcnormaPor = • Esfuerzo a tracción: )puratracción(c'f%15a%8fr = )indirectatracción(c'f2fr:normaPor = 2cm/kg47.33fr2cm/kg280c'f 2cm/kg98.28fr2cm/kg210c'f 2cm/kg46.26fr2cm/kg175c'f =→= =→= =→= PROPIEDADES ACERO: 2cm/kg10x2Es 0021.0yε 60Grado2cm/kg4200fy 6 = = = • Aceros en Arequipa φ (in) φ (cm) Ab (cm2) Obs 1/4" 0.64 0.32 Liso 3/8" 0.95 0.71 Corrugado 1/2" 1.27 1.27 Corrugado 5/8" 1.59 1.98 Corrugado 3/4" 1.91 2.85 Corrugado 1" 2.54 5.01 Corrugado 1 3/8" 3.49 9.58 Corrugado 6 mm 0.60 0.28 Corrugado 8 mm 0.80 0.50 Corrugado 12 mm 1.20 1.13 Corrugado • Detalles de refuerzo a) Barras Longitudinales: Gancho estándar de 180º (vigas pared) Gancho estándar de 90º (más usado) φ (in) φ (cm) Gancho 90 Gancho 180 1/4" 0.64 6.50 7.62 3/8" 0.95 6.50 11.43 1/2" 1.27 6.50 15.24 5/8" 1.59 6.50 19.05 3/4" 1.91 7.62 22.86 1" 2.54 10.16 30.48 1 3/8" 3.49 13.97 41.91 6 mm 0.60 6.50 7.20 8 mm 0.80 6.50 9.60 12 mm 1.20 6.50 14.40 Diametros minimos de giro (2r): - ¼” a 1” 6db - 1” a 1 3/8” 8db b) Estribos: - Gancho a 90º ¼” a 5/8” 6db ¾” a 1” 12db - Gancho a 135º 6db Para zonas con sismo 8db>7.5cm 0.002 0.003 0.5 a 0.45 f'c 0.85 f'c f'c m db r m db r CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 1
  • 4. Gancho 135 φ (in) Gancho 90 Sin Sismo Con Sismo 1/4" 3.81 3.81 7.50 3/8" 5.72 5.72 7.62 1/2" 7.62 7.62 10.16 5/8" 9.53 9.53 12.70 3/4" 22.86 11.43 15.24 1" 30.48 15.24 20.32 1 3/8" 41.91 20.96 27.94 6 mm 3.60 3.60 7.50 8 mm 4.80 4.80 7.50 12 mm 7.20 7.20 9.60 • Colocación del acero o Vigas: acerodelntoEspaciamie's,s →           ≥ TM3.1 cm5.2 d s b Por lo r = 4cm o Columnas           ≥ TM3.1 cm0.4 d5.1 s b RECOMENDACIONES a) En caso de combinaciones de barras de acero la diferencia entre barras debe ser menor a 1/8”. b) Concreto vaciado contra el suelo o en contacto con agua de mar: cm7r ≥ c) Concreto en contacto con el suelo o expuesto a ambiente: a. Barras de 5/8” o menores: 4cm b. Barras de ¾” o mayores: 5cm d) Concreto no expuesto al ambiente (protegido por un revestimiento) ni en contacto con el suelo (vaciado con encofrado y/o solado). a. Losas o aligerados: 2cm b. Muros o muros de corte: 2cm c. Vigas o columnas; 4cm d. Estructuras laminares: 2cm Menores 5/8”: 1.5cm FACTORES DE AMPLIFICACION (NORMA 2009) • U= 1.4CM+1.7CV • U= 1.25(CM+CV)±CS • U= 1.25(CM+CV+Cviento) • U= 0.9CM±CS • U= 0.9CM±1.25Cviento Recomendación: Realizar la envolvente para carga muerta y carga viva,luego hacer las combinaciones COEFICIENTESφ: φFn≥Fu • Tracción: φ=0.90 • Flexión: φ=0.90 • Compresión pura: φ=0.70 • Flexo compresión: φ=0.70 (estribo) φ=0.75 (espiral) • Torsión: φ=0.85 • Cortante: φ=0.85 DISEÑO POR FLEXIÓN CONDICIONES: - Las secciones siguen siendo planas luego de la curvatura. - Se conocen los diagramas de esfuerzo – deformación del acero y concreto. - Despreciar el concreto en tracción. - Se encuentra en las resistencias últimas. cka 1= 85.0k1 = si f’c ≤ 280kg/cm2 Si f’c > 280kg/cm2, K1 disminuye 0.05 por cada 70kg/cm2, pero K1 ≥ 0.65. MnφMu ≤ Mu= Momento último resistente Mn= Momento nominal φ=0.90 (factor para el diseño por flexión) VIGAS (Hacer el diseño con el momento a la cara) 1. VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA (VSR) 18 11,61 10,78 r 13,05 s r s' h d bw c a hec T C es As jd h d bw c a hec T C es As jd CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 2
  • 5. Tipos de falla: Buscar falla dúctil εs>εy entonces: fs=fy y εc= 0.003 entonces: fc= 0.85 f’c. - Etapa balanceada: εs=εy  fs=fy y εc= 0.003  fc= 0.85 f’c. Diagrama de deformaciones: cd c sε cε − = d59.0Cb = - cuantía de acero: Aconcreto As ρ = d.bw As ρ = Cuantía balanceada: fyEs003.0 Es003.0xk x fy c'f85.0 ρ 1 b + = bmax ρ75.0ρ = cuantía máxima fy c'f7.0 ρmin = cuantía mínima f'c K ρb ρmax ρmin 175 0.85 0.0177 0.0133 0.0022 210 0.85 0.0213 0.0159 0.0024 280 0.85 0.0283 0.0213 0.0028 350 0.80 0.0333 0.0250 0.0031 maxρρ ≤ (Falla dúctil) d.bw.minρminAs = (Acero mínimo) Peralte efectivo a) Vigas chatas: d= h-3 (solo una capa de acero) b) Vigas peraltadas: 1 capa: d= h-6 2 capas: d=h-9 3 capas: d=h-12 - Diseño: Valores conocidos: “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h” De las siguientes ecuaciones: ( ) Ku.d.bwMu ω59.01ω.c'f.φKu c'f fy.ρ ω 2 = −=⇒= Procedimiento. 1. Calcular 2 d.bw Mu Ku = 2. Obtener ρ (cuantía) 3. Calcular d.bw.ρAs = 4. Definir acero a colocar - Verificación de diseño: Determinar Mn fs.Asa.bw.c'f85.0 TC 0Fx = = =∑ )1.......( bw.c'f85.0 fs.As a = Se supone que As fluye, entonces fs=fy, despejando “a” Verificando que As fluye, del diagrama de deformaciones, reemplazando Es fssε = , se obtiene: ( ) )2.....( a ad.k.Es.003.0 fs 1 − = Si fs>4200kg/cm2, el diseño es correcto, caso contrario si fs<4200, resolver las ecuaciones (1) y (2) y obtener “a” y “fs”. Finalmente calcular Mn y Mu )2 ad.(a.bw.c'f85.0Mnó)2 ad.(fs.AsMn −=−= MnφMu = fs= fy si fs>4200kg/cm2. Momento crítico de agrietamiento (instante en el que aparece la primera fisura) : 6 bw.c'f2 6 bw.fr Mcr == Mcr2.1Mnφ ≥ 2. VIGA DOBLEMENTE ARMADA (VDR) (Con acero en compresión) Recomendación: Evitar este diseño, por dificultad en el proceso constructivo - Etapa balanceada: Igualmente determinada que en una VSR. d h d M d ec=0.003 Cc Cs Tfs 0.85f'c A's As bw es e's jd j'd CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 3
  • 6. - Cuantía Balanceada: 003.0cε fyfsyεsε = =→= fy s'f 'ρ fyEs003.0 Esk003.0 fy c'f85.0 bρ fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0 CsCcCTC 0Fx 1 +      + = =+ +== =∑ - Verificación de diseño: Determinar Mn 0Fx =∑ )1......(fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0 =+ Del diagrama de deformaciones: )3....( a 'dka Es003.0s'f )2.....( a adK .Es003.0fs 1 1       − =       − = Suponemos que As y A’s fluyen, entonces: fs=f’s=fy Calculamos “a” de (1): bw.c'f85.0 fy)s'AAs( a − = Verificamos si fs y f’s fluyen en (2) y (3): Por lo general f’s no fluye, entonces resolver las ecuaciones (1) y (3) para determinar “a” y “f’s”. d'j.Csjd.CcMn += )'dd.(s'f.s'A)2 ad.(a.bw.c'f85.0Mn −+−= - Diseño: Se conoce “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h” 1. Diseñar una viga simplemente reforzada: 2 d.bw Mu Ku = Determinar ρ 2. Si maxρρ > , diseñar una viga doblemente reforzada Procedimiento: Empezamos por (a), se calcula la máxima resistencia de la sección, tenemos: maxρ,Kuc'f max→ d.bw.maxρmaxAs d.bw.KumaxMu 2 max = = Del gráfico: MrmaxMuMu += maxMuMuMr −= 'ddd'js'f.s'ACs −== d'j.CsMr = )'dd.(fy.s'AMr −= )'dd.(fy.φ maxMuMu s'A − − = Finalmente, se calcula: s'AmaxAsAs += 3. VIGA T o L: - Verificación: Cálculo de Mn LL32 L3 L2 1 321 h).bwb(h).mn(AA h.mA h.nA a.bwA AAAAT −=+=+ = = = ++= Cálculo de fuerzas: ∑ = = −= = 0Fx fs.AsT h).bwb.(c'f85.0Cc a.bw.c'f85.0Cc L2 1 )1.....(fs.Ash).bwb.(c'f85.0a.bw.c'f85.0 L =−+ Del diagrama de deformaciones: )2......( a adk Es003.0fs 1       − = Consideramos que As fluye, entonces fs=fy, de (1) despejamos “a”: bw.c'f85.0 h).bwb.(c'f85.0fy.As a L−− = Verificamos si fs fluye:       − = a adk Es003.0a 1 h bw As A's Asmax A's A's Mu Mumax Mremanente = + (a) (b) hL As bw n m b c h a 0.85f'c C2-3 C1 fs d 2 1 3 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 4
  • 7. Caso contrario, resolver (1) y (2). -Diseño: 1. Diseñar una viga de bxh (rectangular) d Asρ d.bw Mu Ku 2 ⇒⇒= Verificamos “a”: b.c'f85.0 fy.As a = Si: Lha≤ Viga bxh Si: Lha > Viga T 2. Entonces si Lha > 2.1. Determinamos Muf: L32 h).bwb.(c'f85.0C −=− )2 hd(h).bwb.(c'f85.0Muf L L −−= )2 hd.(fy.AsfMuf L−= 2.2. Igualamos, determinamos Asf: fy.φ h).bwb.(c'f85.0 Asf L− = 2.3. Determinamos Asw: MufMuwMu += MufMuMuw −= wρ d.b Muw Ku 2 ⇒= d.bw.wρAsw = 2.4. Finalmente: AsfAswAs += Recomendaciones (norma 2009): Condiciones 2 l h.8 n 2 l h.8 m 2 L 1 L < < < < , 2 l 2 l bw h.16bw 4 L b 21 L ++< +< < Para vigas extremas: 2 l h.6 12 L m 1 L < < < , 2 l bw h.6bw 12 Lbw b 1 L +< +< +< Para vigas aisladas: bw.4b 2 bwhL < > 4. Predimensionamiento: (bxh=?) - Cuando hay monolitismo entre la viga y su apoyo (columna), la luz es de eje a eje. - Cuando no existe monolitismo entre viga y apoyo (albañilería) la luz es la luz libre mas el peralte de la viga. hL As bw b h d = + a Cc1 Cc2-3 Mu Muw Muf Asw Asf hL As bw b h d n m l1 l2 L Columna Columna l1 l2Viga Viga As bw b h d m l1 hL As bw b h CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 5
  • 8. • Condiciones: - Cargas uniformemente repartidas. - 2 o más tramos. - Luces adyancentes - 1ii1i LLL +− ≈≈ , Diferencia de solo 20% - CM ≤ 3CV Caso especial para 2 tramos: Tomamos el factor más crítico (1/10): Ku Mu d.bw d.bw Mu Ku 10 L.Wu Mu 2 2 2 =⇒= = No debe de usarse el Kumax para evitar una viga doblemente armada, entonces: econecon económico kuρ bρ5.0ρ ⇒ ≈ Entonces: econKu.bw Mu d = Recomendación: bw=30cm L. Ku.bw.10 Wu Ku.bw.10 L.Wu d econecon 2 == Por lo general: 12 L h 11 L h 10 L h ≈ ≈ ≈ L/11 y L/12 si la estructura no esta sometida a sismo. LOSAS: Las losas no trabajan a sismo, solo se usa la PRIMERA HIPÓTESIS. Se recomienda hacer los diseños a la cara. La carga viva y muerta se pueden combinar sin necesidad de hacer la envolvente 1. LOSAS MACIZAS: Se toma un metro de ancho, No existe acero en compresión, sólo se puede cambiar el peralte o aumentar el f’c. Mu(+) Mu(-) - Diseño: d= hL-3 (viga chata). )m/cm(d.100.ρAs macizalosaparaminρρ maxKu d.100 Mu Ku 2 2 = ≥⇒ ≤= Los aceros se expresan en función de espaciamiento en los planos: )requeridoacero(As )colocaraacero(φAs )φ(S = - Acero mínimo para losas macizas: Barras lisas (1/4”) 0025.0ρmin = Barras corrugadas: fy<4200 kg/cm2 0020.0ρmin = fy≥4200 kg/cm2 0018.0ρmin = Lmin h.100.ρminAs = - Acero por temperatura: Se coloca el acero mínimo para losa maciza, para evitar contracciones por fragua del concreto. Lmin h.100.ρminAs = Espaciamiento: minAs )mm6,"(φAs S 8 3 = cm40S h.3S L ≤ ≤ Se colocan perpendiculares a los aceros principales L1 L2 L3 L4 1/16 1/10 1/11 1/11 1/11 1/24M(-) M(+) 1/14 1/16 1/16 1/11 L1 L2 1/16 1/9 1/24M(-) M(+) 1/14 1/11 1.00m hL hL 1.00m CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 6
  • 9. 2. LOSAS NERVADAS: Losas nervadas mas usadas h(cm) Peso (kg/m2) 17 280 20 300 25 350 30 420 Tabiques: Sin Tarrajeo Con Tarrajeo Soga e=14cm e=15cm Cabeza e=24cm e=25cm Peso esp 18kg/m2/cm 19kg/m2/cm Ladrillo hueco: 13.5kg/m2/cm El diseño se hace por vigueta. cm5h; 12 n h cm75n bw5.3h cm10bw LL ≥> ≤ ≤ ≥ n: espaciamiento libre Por lo general, bw=10cm, n=30cm, hL=5cm, hw es variable. (*) El metrado de cargas puede hacer por vigueta, o se puede hacer por 1m de ancho y se le divide a dicha carga por el número de viguetas que entra por metro. b 1 NViguetas = Para los parámetros dados en (*), Nviguestas=2.5 - Diseño: * Para M(+), seguir el procedimiento especificado para las vigas T. Tvigaescontrariocasoh b.c'f85.0 fy.As a :Verificar d.b.ρAsρ d.b )(Mu Ku L 2 ≤= =⇒⇒ + = * Para M(-) diseñar una viga rectangular de hxbw. contínuanbwbw alterna2 nbwbw maxKuKu:Si d.bw.ρAsρmaxKu d.bw )(Mu Ku 2 →+= →+= > =⇒⇒≤ − = NOTA: Solo se pueden colocar máximo 2 varillas de acero en bw de un diámetro máximo de 5/8”. Para tabiques sobre la losa: • Si el tabique es perpendicular a la viga, calcular el peso del tabique que cae sobre la vigueta, tomando 1m de largo del tabique y luego dividirlo entre el numero de viguetas, este se transmitirá como carga puntual • Si el tabique es paralelo a la vigueta, es recomendable diseñar una viga chata de bxh o aumentar el bw, para la carga viva que cae se toma a criterio el ancho tributario. minAsAs ≥ Acero mínimo para losas nervadas: h.bw.ρminAs min= Acero por temperatura: Lmin h.100.ρminAs = cm40S h.5S L ≤ ≤ 3. ESCALERAS Y RAMPAS: (Losas inclinadas) g= garganta • RAMPAS: Metrado: c/s).00.1( :CV )00.1.(2m/kg100Pt 3m/kg2400. αcos 00.1 .gPp :CM = = • ESCALERAS apoyado en sus extremos Metrado: Franja de 1.00 de ancho: 2400. αcos 00.1 .gm/Pp = bw hL b hw h 1.00m g a 1.00m g a CP P CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 7
  • 10. Peso de los peldaños: P 00.1 ºN 2400. 2 CP.P .ºNm/Peso peldaños peldaños = = Por lo general: * Viviendas: P=0.25m CP= (0.15 @ 0.19m)= 0.17 ó 0.175m *Edificios públicos: P=0.30m NOTA: Cuando las escaleras son muy largas debe de tener descansos, esto lo divide en tramos que deben ser diseñados independientemente. Para el cálculo rápido de momentos • ESCALERAS apoyadas en sus lados Corte longitudinal: αcos g n αcos g CPm = += d=h-3 (viga chata) Cuando esta en volado: - Aplicar el Asmin para losas macizas. - El acero por temperatura es el Asmin, por lo general es 3/8” @ 0.25m CASOS PARTICULARES: a) Escalera Ortopoligonal: Armado: b) Escalera en Caracol o con sección irregular: Mu(+)=Wu.L/10 Mu(+)=Wu.L/9 Mu(-)=Wu.L/10 L L Wu m n P P h=(m+n)/2 L L Wu P/2 P P/2 g CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 8
  • 11. CONTROL DE DEFORMACIONES: Momento crítico de agrietamiento: 6 h.bw.c'f2 Mcr 2 = Si: M≤Mcr  Usar inercia bruta Ig M> Mcr  Usar inersia equivalente. Ie Entonces “Ie” para: Ec Es n = - VIGA SIMPLEMENTE ARMADA 2 3 2 )cd.(As.n 3 c.bw Ie ???c)cd.(As.n 2 c.bw −+= =⇒−= - VIGA DOBLEMENTE REFORZADA 22 3 2 )'dc.(s'A).1n2()cd.(As.n 3 c.bw Ie ???c)cd.(As.n)'dc.(s'A).1n2( 2 c.bw −−+−+= =⇒−=−−+ NOTA: En un volado se coloca acero en la parte inferior, así no lo necesite para disminuir la deformación. La máxima deformación se calcula excepto para lo volados. Para el cálculo de deformaciones, los momentos o cargas NO DEBEN DE ESTAR AMPLIFICADOS: CVCMCV CMCM M%Mδ Mδ +⇐ ⇐ Vigas continuas: 3 Ie.2Ie Ieδ 4 IeIe.2Ie Ieδ 43 2 321 1 + =⇒ ++ =⇒ ( )( )312 2 max MM1.0M I.E.48 L.5 δ +−= Demás valores de deformación, en tablas. ID CVCMI δ.λδDiferida δδδ:táneatanIns Deflexión = += → DI δδδ += 'ρ501 α λ + = ρ’= Cuantía de acero en compresión α = depende del tiempo. = 1.0  para 3 meses = 1.2  para 6 meses = 1.4  para 12 meses = 2.0  de 2 a 5 años CONTRAFLECHA: maxδδ − CONTROL DE FISURA Gergeley – Lutz: (tamaño de la fisura) S: )mm(10.dc.A.fs.β).1.1(ω 53 − = - 1 h h β 1 2 >= )losas(35.1β )vigas(2.1β = = - fs: esfuerzo de servicio d.As.9.0 Mservicio fs = - A y2.bwArea = Cuando los aceros son iguales: BarrasºN Area A = Cuando los aceros son diferentes: A )φ(As As N mayor Barras ⇒= Recomendaciones: • Si el aire es seco o usamos una membrana de cobertura, el tamaño máximo de fisura recomendado es 0.41mm. I1 I3 I5 I2 I4 d1 d2 M1 M2 M3 bw dc y d h2 c h1 h CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 9
  • 12. • Si hay humedad o aire húmedo o está en contacto con el suelo el tamaño máximo recomendado es 0.30mm. • Si hemos usado un químico para deshielo, el tamaño máximo recomendado es 0.18mm. • Si la estructura está en contacto con agua de mar o recio marino el tamaño máximo es 0.15mm. • Si las estructuras son recipientes de líquidos (tanques, reservorios) el tamaño máximo es 0.10mm. Si: ORECOMENDADCALCULADA ωω > Se tienen que colocar mas aceros. 3 5 dc.A.fs 10.β).1.1( ω Z == − cm/kg26000Z ≤ En vigas muy peraltadas h>90cm hay riesgo de fisuras, se deben colocar aceros en el alma con un espaciamiento “s” hasta “h/2”.       ≤ =      −≤ ≤ fs 2500 30s lateralntorecubrimieCcCc5.2 fs 2500 .38s mm300s ADHERENCIA: LONGITUD DE DESARROLLO: (Norma pasada) fy.db).006.0(L c'f fy.Ab).06.0( L db db = = Se escoge el mayor entre ambos dbmayorbd d).4.1(L = (Longitud de desarrollo básica) NORMA ACTUAL BARRAS A TRACCIÓN Condiciones 3/4" o menores mayores a 3/4" *) Espaciamiento libre entre barras o alambres que estan siendo empalmados o anclados no menor a "db" y estribos a lo largo de "ld". **)Aplicable tambien cuando el espaciamiento libre entre barras o alambres que estén siendo empalmados o anclados no sea menor que "2db" y el recubrimiento libre no menor que "db" db. c'f2.8 λ.ψ.ψ.fy et       db. c'f2.8 λ.ψ.ψ.fy et       Otros casos (*) (*) Factor Condiciones Valor tψ Barras superiores (*) 1.3 Barras inferiores 1.0 eψ Barras con tratamiento superficial epóxico y recubrimiento libre menor que 6db 1.5 Otras barras con tratamiento sup. Epóxico 1.2 Barras sin tratamiento sup. Epóxico 1.0 sψ Barras 3/4" o menores 0.8 Barras mayores a 3/4" 1.0 λ Concreto liviano 1.3 Concreto normal 1.0 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 10
  • 13. Considerando barras sin tratamiento superficial epóxido, y un concreto normal tenemos los siguientes valores, para los concretos conocidos con las barras de acero conocidas en el entorno. Lecho inferior Lecho Superior ld (cm) ld(cm) φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 0.71 36.9 33.7 29.2 47.9 43.8 37.9 1/2" 1.27 1.27 49.2 44.9 38.9 63.9 58.4 50.5 5/8" 1.59 1.98 61.5 56.1 48.6 79.9 72.9 63.2 3/4" 1.91 2.85 73.8 67.3 58.3 95.9 87.5 75.8 1" 2.54 5.07 122.2 111.5 96.6 158.8 145.0 125.6 Para (*): otros casos: 2cm/kg4.26c'f n.s.10 fy.A K5.2 db KCb db db KCb .c'f5.3 λ.ψψ.ψ.fy ld ttr tr tr tr set ≤ =≤ +                   + = Atr= Área total de acero en “ld”. fyt= esfuerzo de fluencia del estribo. s= separación de estribos. n= número de barras que se quiere anclar. La norma dice que se puede usar Ktr= 0. Tenemos los valores: Considerando un Cb = 5 Lecho inferior Lecho Superior ld (cm) ld(cm) φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 0.71 27.6 25.2 21.9 35.9 32.8 28.4 1/2" 1.27 1.27 36.9 33.7 29.1 47.9 43.7 37.9 5/8" 1.59 1.98 46.1 42.1 36.4 59.9 54.7 47.4 3/4" 1.91 2.85 55.3 50.5 43.7 71.9 65.6 56.8 1" 2.54 5.07 117.0 106.8 92.5 152.2 138.9 120.3 BARRAS A COMPRESIÓN: [ ] [ ]db.fy0044.0 db.c'f/fy075.0 mayorldc = (Se toma el mayor φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9 1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9 5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9 3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9 1" 2.54 60.5 55.2 47.8 Se pueden afectar por un factor de 0.75 si en la columna se va a colocar una espiral con un paso de 10cm o menor y el diámetro del acero de la espiral es de ¼” o mayor. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 11
  • 14. DESARROLLO DE GANCHO ESTANDAR: Válido sólo para elementos a tracción: db.8ldcm15ld db. c'f fy.λ.ψ075.0 ld gg e g ≥≥       = φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9 1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9 5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9 3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9 1" 2.54 60.5 55.2 47.8 EMPALMES - Empalmes a tracción: Tipo A: ld0.1Le = Tipo B: ld3.1Le = As Propocionado % max. de As empalmado As Requerido 50% 100% Igual o mayor que 2 Tipo A Tipo B Menor que 2 Tipo B Tipo B Distancia recomendada entre empalmes 60cm - Empalmes a compresión: db).24fy013.0(le 2cm/kg4200fy )mm(db.fy.071.0le 2cm/kg4200fy :le c c c −= > = ≤ Si f’c<210kg/cm2, amplificar el “lec” por 1.3. Para un fy=4200, tenemos los valores, para empalmes a compresión φ (in) φ (cm) lec 3/8" 0.95 28.40 1/2" 1.27 37.90 5/8" 1.59 47.30 3/4" 1.91 56.80 1" 2.54 75.70 ldldg CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 12
  • 15. CORTE DE ACERO: Notas: - Para elementos con sismo en toda su longitud debe de tener por lo menos 2 aceros superiores e inferiores, la cual por lo menos debe de ser la cuantía mínima, - Luego colocar el acero faltante. - Se recomienda hacer correr el acero con diámetro mayor • Para Momento negativo: Por lo menos 1/3 del acero total en tracción debe de llegar al punto de inflexión para casos generales (c/s sismo). • Para Momento positivo: Debe de llegar 1/3 del acero máximo positivo, para cualquier caso, en los apoyos. Cuando hay sismo la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe de ser menor que 1/3 de la resistencia al momento negativo en dicha cara. )(Mn 3 1 )(Mn −≥+ (*) Para cualquier sección: )(Mn 4 1 )(Mn −≥± ACERO NEGATIVO Se considera Mu )'A(corte AsAsAs −= Se saca el “Mu” del acero que va a llegar al punto de inflexión. )As(MuMn )'A(↔ Debe de tener como mínimo la longitud de desarrollo, que no sea menor a 16ln/,d12,d b ACERO POSITIVO Se saca el “Mn” del acero que llega al apoyo )a(corte AsAsAs −= )a(As = Acero a llevar al apoyo Si se quiere cortar en A: Ld d12 d mayor )A(Vu Mn b ≥      + Si se quiere cortar en B: Ld d12 d mayor )B(Vu Mn b ≥      + Ya que en una columna se tiene 2 momentos, si la columna permite usar los aceros de un lado en el otro solo se diseña para el máximo. Para losas no se verifica la condición especificada en (*). Mu1 d,12db,ln/16 ln Mu2 As1 As2 Mn(+) Mn(-) B B' Ldmin Mu(AsA') Ascorte A A' 12db,d B B'A' A Mu(+) Mn Vu(A) Vu(B) CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 13
  • 16. DISEÑO POR CORTE SCρRact VVVVV ++=≤ ρV = Resistencia debido al acero longitudinal. CV = Resistencia debido al concreto. SV = Resistencia debido al acero transversal. α = Angulo de colocación del acero transversal (Normalmente usado a 90º llamado “estribo). θ= Angulo de la fisura, normalmente ocurre a 45º. S= Separación del acero. La norma nos dice: s d).αcosαsen.(fy.Av Vs + = …..(1) La norma obliga usar estribos. SCρact VVVV ++≤ (Resistencia nominal) VuVnφ ≥ 85.0φ → Vu se determinar delos diagramas de corte Consideramos que 0Vρ = a) Flexión + corte (vigas): d.bw.c'f.λ.53.0VC = 00.1λ = Cº Normal 85.0λ = Cº Ligero b) Flexión + compresión (columnas): d.bw.c'f.λ Ag140 Nu 153.0VC       += Ag= área bruta de la sección dela columna. bw, d= dependiendo de que eje se este analizando. Nu= fuerza axial sobre la columna. c) Flexión + tracción: 0VC = Entonces se sabe: SC VVVn += (*) Casos: 1. CV φ Vu ≤ Usar: minAv 2. CV φ Vu > Diseñar por corte: Vs CS V φ Vu V −= Determinamos “Vs” y procedemos a usar la ecuación (1) para determinar “S”. Av= Área de los 2 ramales del estribo Nota: Limite para Vs,siempre chequear este valor: dbwcfVS ..'1.2≤ Si Vs es mayor CAMBIAR LA SECCIÓN. Límites de separación para casos generales, SIN SISMO: 2/dS ≤ Si: d.bw.c'f1.1Vs > 4/dS ≤ - Diseño: DFC No es necesario empezar el diseño por corte a partir de la cara, sino a una distancia “d” de la cara encontrando un valor de “Vud” para empezar el diseño. Se le llama “Sección crítica de Corte” Pasos para el diseño: 1. Diagrama de Corte 2. Hallar Vud (ambos lados). 3. Hallar Vc. 4. Comparar φ Vu V d C <> (ambos lados) (*), si se cumple el 2do caso pasar al punto 5 5. Diseño: CS V φ Vu V −= chequeamos Vs. 6. Elegimos “Av” para encontrar “S” Se recomienda que, “m” y “n” sean múltiplos de “s”, al calcular Vu1, y volvemos a seguir los mismos pasos, pero ya no se chequea “Vs”. Se recomienda que Av sea constante a lo largo de toda la viga. Cuando no hay la presencia de sismos, se usa el “diagrama de corte” que se obtiene del análisis estructural. Ahora para cuando existe sismo, se debe de seguir los siguientes pasos para hallar el diagrama de corte, existen 2 casos: d m n Vud Vd1 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 14
  • 17. DUAL TIPO 1: (predomina los muros de corte) Cuando los muros de corte reciben mas del 60% y menos del 80% del fuerza de sismo en su base DUAL TIPO 2: (predominan pórticos) Cuando los muros de corte reciben menos del 60% de la fuerza de sismo en su base. DUAL TIPO 1: El momento Positivo en el apoyo no debe ser menor a 1/3 del momento negativo. Se plantean los siguientes casos, usando la hipótesis 2 para el trazo del diagrama de corte: Con estos casos determinamos la envolvente de Cortantes. Lo= Longitud de confinamiento. h2Lo = El primer estribo se coloca a 10cm del apoyo. Estribos a colocar: - As longitudinal (3/8”, ½”, 5/8”). o Estribo de 8mm. - As longitudinal (3/4”, 1”). o Estribo de 3/8”. - As longitudinal (1”). o Estribo de ½”. En la zona de confinamiento, la separación debe ser menor que: cm30s φ24s φ10s 4 ds Av menorallongitudinAcero ≤ ≤ ≤ ≤ Fuera de la zona de confinamiento 2 ds ≤ DUAL TIPO 2: • cm25bw 4 hbw h4ln ≥ ≥ ≥ • El ancho de la viga “bw” no debe exceder al ancho del elemento de apoyo, para cada lado en ¾ del peralte de la viga. h 4 3 n = Para este tipo en los apoyos el momento positivo no debe de ser menor a la mitad del momento negativo. De igual manera para dibujar el diagrama de corte: 3 1 4 2 Wcm Wcv ln Mn1 Mn2 Mn3 Mn4 Wu=1.25(Wcm+Wcv) Mn1 Mn4 Wu=1.25(Wcm+Wcv) Mn2 Mn3 d m n Vud Vd1 LoLo 10cm s n n bw CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 15
  • 18. El primer estribo se coloca a 5cm de la cara. Lo= 2h Separación “s”: En la zona de confinamiento cm30s φ24s φ8s 4 ds Av menorallongitudinAcero ≤ ≤ ≤ ≤ Fuera de la zona dela zona de confinamiento: 2 ds ≤ La separación entre ramales del estribo será como máximo de 30cm. Sino colocar doble estribo. Acero Mínimo Para cuando CV φ Vu ≤ , usar Acero mínimo. Entonces: CC V φ Vu V5.0 ≤≤ Si CV5.0 φ Vu < no trabaja a sismos, entonces no usar estribos. t min fy s.bw .c'f2.0Av = t min fy s.bw.5.3 Av ≥ Elementos donde no se usan estribos: - Losas macizas y nervadas - Zapatas - Muros - Vigas chatas cm25h≤ Para todos estos casos solo se tiene 2 opciones: - Cambiar f’c - Variar dimensiones. En corte también se puede hacer “ensanche por corte”. Hacer el ensanche hasta que CVφVu = Coeficientes para hacer un diagrama rápido. 21 ll ≅ Wu=1.25(Wcm+Wcv) 1.25Mn1 1.25Mn4 Wu=1.25(Wcm+Wcv) 1.25Mn2 1.25Mn3 LoLo 5cm s Vu=F Vc e l1 l1 Wul1/2 1.15Wul1/2 Wul2/2 Wul2/2 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 16
  • 19. DISEÑO POR TORSIÓN Se puede ignorar el diseño por Torsión si: - Flexión + Corte (Vigas)       < Pcp Acp c'f.27.0.φTu 2 - Flexo-compresión + Corte:(Columnas) c'fAg Nu 1 Pcp Acp .c'f.27.0.φTu 2 +      < Ag= Área bruta de la columna si ubiese orificios • Acp, Pcp 2 1 hf4n hf4m ≤ ≤ Para que “m” y “n” existan, dichas longitudes deben de ser de concreto * Momentos mínimos de Torsión (Compatibilidad) Usamos esto cuando tenemos Parrillas, es decir, vigas apoyadas sobre vigas.       = Pcp Acp c'f1.1.φTu 2 min )(MTu)(M TuTu)(M min minmin −⇒>− ⇒<− Diseño: Determinar los diagramas de momento Torsor, se asemeja al análisis para el diagrama de corte, fuese puntual o distribuido, se presenta para el caso que fuese distribuido, y se toma igualmente un Tud a una distancia d - Hacer primero el diseño por flexión, ya hacer una colocación preliminar de los aceros longitudinales. - Torsión: Chequear:     +≤      +      c'f1.2 d.bw Vc φ Aoh.7.1 Ph.Tu d.bw Vu 2 2 2 Aoh= área encerrada por el estribo. Poh= perímetro del estribo. Si no cumple dicha desigualdad, cambiar la sección. Luego: φ TuTn = ( ) tfyAoh.85.02 Tn s At = - Corte: CS V φ Vu V −= Chequeamos s d.fy.Av V t S = Despejamos: d.fy Vφ Vu s A t C t − = Entonces determinamos la separación para corte+torsión: s A2 s Av s A ttorsiónCorte +=+ Acero Longitudinal: θcot fy fy P s A A 2t h t L       ≥ At= Area de un ramal del estribo Ph= Perímetro del estribo AL= Área de acero longitudinal adicional a colocar, aparte del acero ya existente por flexión fy fy .P s A fy A.c'f33.1 A t h tCP minL       −= t t fy bw.75.1 s A ≥ 45° 45° Acp Pcpm hf1 n hf2 Tu=1.4Tcm+1.7Tcv CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 17
  • 20. El refuerzo debe estar distribuido en todo el Perímetro del estribo con un espaciamiento máximo de 30cm, además el acero longitudinal debe colocarse dentro del estribo. "8/3 s.042.0 φ cm30s L = ≤ Acero transversal mínimo t t fy s.bw .c'f2.0)A2Av( =+ t t fy s.bw.35.0 A2Av ≥+ cm30 8 P S h ≤ s CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 18
  • 21. f'c 175 ρb Ku 0.0001 0.377 0.0002 0.754 0.0003 1.129 0.0004 1.503 0.0005 1.877 0.0006 2.249 0.0007 2.620 0.0008 2.990 0.0009 3.359 0.0010 3.726 0.0011 4.093 0.0012 4.459 0.0013 4.824 0.0014 5.187 0.0015 5.550 0.0016 5.911 0.0017 6.271 0.0018 6.631 0.0019 6.989 0.0020 7.346 0.0021 7.702 0.0022 8.057 0.0023 8.411 0.0024 8.764 0.0025 9.115 0.0026 9.466 0.0027 9.816 0.0028 10.164 0.0029 10.512 0.0030 10.858 0.0031 11.204 0.0032 11.548 0.0033 11.891 0.0034 12.233 0.0035 12.574 0.0036 12.914 0.0037 13.253 0.0038 13.591 0.0039 13.928 0.0040 14.264 0.0041 14.598 0.0042 14.932 0.0043 15.264 0.0044 15.596 0.0045 15.926 0.0046 16.255 0.0047 16.584 0.0048 16.911 0.0049 17.237 0.0050 17.562 0.0051 17.886 0.0052 18.209 0.0053 18.530 0.0054 18.851 0.0055 19.171 0.0056 19.489 0.0057 19.807 0.0058 20.123 0.0059 20.439 0.0060 20.753 0.0061 21.066 0.0062 21.379 0.0063 21.690 0.0064 22.000 0.0065 22.309 0.0066 22.616 0.0067 22.923 0.0068 23.229 0.0069 23.534 0.0070 23.837 0.0071 24.140 0.0072 24.441 0.0073 24.742 0.0074 25.041 0.0075 25.339 0.0076 25.636 0.0077 25.933 0.0078 26.228 0.0079 26.522 0.0080 26.814 0.0081 27.106 0.0082 27.397 0.0083 27.687 0.0084 27.975 0.0085 28.263 0.0086 28.549 0.0087 28.835 0.0088 29.119 0.0089 29.402 0.0090 29.684 0.0091 29.966 0.0092 30.246 0.0093 30.525 0.0094 30.803 0.0095 31.079 0.0096 31.355 0.0097 31.630 0.0098 31.903 0.0099 32.176 0.0100 32.448 0.0101 32.718 0.0102 32.987 0.0103 33.256 0.0104 33.523 0.0105 33.789 0.0106 34.054 0.0107 34.318 0.0108 34.581 0.0109 34.843 0.0110 35.103 0.0111 35.363 0.0112 35.622 0.0113 35.879 0.0114 36.136 0.0115 36.391 0.0116 36.646 0.0117 36.899 0.0118 37.151 0.0119 37.402 0.0120 37.652 0.0121 37.901 0.0122 38.149 0.0123 38.396 0.0124 38.642 0.0125 38.887 0.0126 39.130 0.0127 39.373 0.0128 39.614 0.0129 39.855 0.0130 40.094 0.0131 40.333 0.0132 40.570 0.0133 40.806 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 19
  • 22. f'c 210 ρb Ku 0.0001 0.378 0.0002 0.754 0.0003 1.130 0.0004 1.505 0.0005 1.879 0.0006 2.252 0.0007 2.624 0.0008 2.995 0.0009 3.366 0.0010 3.735 0.0011 4.104 0.0012 4.472 0.0013 4.839 0.0014 5.205 0.0015 5.570 0.0016 5.934 0.0017 6.297 0.0018 6.659 0.0019 7.021 0.0020 7.382 0.0021 7.741 0.0022 8.100 0.0023 8.458 0.0024 8.815 0.0025 9.171 0.0026 9.526 0.0027 9.881 0.0028 10.234 0.0029 10.587 0.0030 10.939 0.0031 11.289 0.0032 11.639 0.0033 11.988 0.0034 12.336 0.0035 12.684 0.0036 13.030 0.0037 13.375 0.0038 13.720 0.0039 14.064 0.0040 14.406 0.0041 14.748 0.0042 15.089 0.0043 15.429 0.0044 15.768 0.0045 16.107 0.0046 16.444 0.0047 16.781 0.0048 17.116 0.0049 17.451 0.0050 17.785 0.0051 18.118 0.0052 18.450 0.0053 18.781 0.0054 19.111 0.0055 19.441 0.0056 19.769 0.0057 20.097 0.0058 20.424 0.0059 20.749 0.0060 21.074 0.0061 21.398 0.0062 21.721 0.0063 22.044 0.0064 22.365 0.0065 22.685 0.0066 23.005 0.0067 23.324 0.0068 23.642 0.0069 23.958 0.0070 24.274 0.0071 24.590 0.0072 24.904 0.0073 25.217 0.0074 25.529 0.0075 25.841 0.0076 26.152 0.0077 26.461 0.0078 26.770 0.0079 27.078 0.0080 27.385 0.0081 27.692 0.0082 27.997 0.0083 28.301 0.0084 28.605 0.0085 28.907 0.0086 29.209 0.0087 29.510 0.0088 29.810 0.0089 30.109 0.0090 30.407 0.0091 30.704 0.0092 31.001 0.0093 31.296 0.0094 31.591 0.0095 31.884 0.0096 32.177 0.0097 32.469 0.0098 32.760 0.0099 33.050 0.0100 33.340 0.0101 33.628 0.0102 33.915 0.0103 34.202 0.0104 34.488 0.0105 34.772 0.0106 35.056 0.0107 35.339 0.0108 35.621 0.0109 35.903 0.0110 36.183 0.0111 36.462 0.0112 36.741 0.0113 37.019 0.0114 37.295 0.0115 37.571 0.0116 37.846 0.0117 38.120 0.0118 38.393 0.0119 38.666 0.0120 38.937 0.0121 39.208 0.0122 39.477 0.0123 39.746 0.0124 40.014 0.0125 40.281 0.0126 40.547 0.0127 40.812 0.0128 41.076 0.0129 41.339 0.0130 41.602 0.0131 41.864 0.0132 42.124 0.0133 42.384 0.0134 42.643 0.0135 42.901 0.0136 43.158 0.0137 43.414 0.0138 43.670 0.0139 43.924 0.0140 44.178 0.0141 44.430 0.0142 44.682 0.0143 44.933 0.0144 45.183 0.0145 45.432 0.0146 45.680 0.0147 45.928 0.0148 46.174 0.0149 46.419 0.0150 46.664 0.0151 46.908 0.0152 47.151 0.0153 47.393 0.0154 47.634 0.0155 47.874 0.0156 48.113 0.0157 48.352 0.0158 48.589 0.0159 48.826 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 20
  • 23. f'c 280 ρb Ku 0.0001 0.378 0.0002 0.755 0.0003 1.131 0.0004 1.507 0.0005 1.882 0.0006 2.256 0.0007 2.630 0.0008 3.003 0.0009 3.375 0.0010 3.747 0.0011 4.118 0.0012 4.488 0.0013 4.857 0.0014 5.226 0.0015 5.595 0.0016 5.962 0.0017 6.329 0.0018 6.696 0.0019 7.061 0.0020 7.426 0.0021 7.790 0.0022 8.154 0.0023 8.517 0.0024 8.879 0.0025 9.241 0.0026 9.602 0.0027 9.962 0.0028 10.322 0.0029 10.681 0.0030 11.039 0.0031 11.397 0.0032 11.753 0.0033 12.110 0.0034 12.465 0.0035 12.820 0.0036 13.174 0.0037 13.528 0.0038 13.881 0.0039 14.233 0.0040 14.585 0.0041 14.936 0.0042 15.286 0.0043 15.635 0.0044 15.984 0.0045 16.333 0.0046 16.680 0.0047 17.027 0.0048 17.373 0.0049 17.719 0.0050 18.064 0.0051 18.408 0.0052 18.751 0.0053 19.094 0.0054 19.437 0.0055 19.778 0.0056 20.119 0.0057 20.459 0.0058 20.799 0.0059 21.138 0.0060 21.476 0.0061 21.813 0.0062 22.150 0.0063 22.486 0.0064 22.822 0.0065 23.157 0.0066 23.491 0.0067 23.824 0.0068 24.157 0.0069 24.489 0.0070 24.821 0.0071 25.152 0.0072 25.482 0.0073 25.811 0.0074 26.140 0.0075 26.468 0.0076 26.796 0.0077 27.123 0.0078 27.449 0.0079 27.774 0.0080 28.099 0.0081 28.423 0.0082 28.747 0.0083 29.069 0.0084 29.392 0.0085 29.713 0.0086 30.034 0.0087 30.354 0.0088 30.673 0.0089 30.992 0.0090 31.310 0.0091 31.628 0.0092 31.945 0.0093 32.261 0.0094 32.576 0.0095 32.891 0.0096 33.205 0.0097 33.518 0.0098 33.831 0.0099 34.143 0.0100 34.455 0.0101 34.765 0.0102 35.076 0.0103 35.385 0.0104 35.694 0.0105 36.002 0.0106 36.309 0.0107 36.616 0.0108 36.922 0.0109 37.227 0.0110 37.532 0.0111 37.836 0.0112 38.140 0.0113 38.442 0.0114 38.744 0.0115 39.046 0.0116 39.347 0.0117 39.647 0.0118 39.946 0.0119 40.245 0.0120 40.543 0.0121 40.840 0.0122 41.137 0.0123 41.433 0.0124 41.728 0.0125 42.023 0.0126 42.317 0.0127 42.610 0.0128 42.903 0.0129 43.195 0.0130 43.486 0.0131 43.777 0.0132 44.067 0.0133 44.356 0.0134 44.645 0.0135 44.933 0.0136 45.221 0.0137 45.507 0.0138 45.793 0.0139 46.079 0.0140 46.363 0.0141 46.647 0.0142 46.931 0.0143 47.213 0.0144 47.495 0.0145 47.777 0.0146 48.057 0.0147 48.337 0.0148 48.616 0.0149 48.895 0.0150 49.173 0.0151 49.450 0.0152 49.727 0.0153 50.003 0.0154 50.278 0.0155 50.553 0.0156 50.827 0.0157 51.100 0.0158 51.373 0.0159 51.645 0.0160 51.916 0.0161 52.187 0.0162 52.457 0.0163 52.726 0.0164 52.994 0.0165 53.262 0.0166 53.530 0.0167 53.796 0.0168 54.062 0.0169 54.327 0.0170 54.592 0.0171 54.856 0.0172 55.119 0.0173 55.382 0.0174 55.644 0.0175 55.905 0.0176 56.166 0.0177 56.426 0.0178 56.685 0.0179 56.943 0.0180 57.201 0.0181 57.458 0.0182 57.715 0.0183 57.971 0.0184 58.226 0.0185 58.481 0.0186 58.735 0.0187 58.988 0.0188 59.240 0.0189 59.492 0.0190 59.743 0.0191 59.994 0.0192 60.244 0.0193 60.493 0.0194 60.742 0.0195 60.989 0.0196 61.237 0.0197 61.483 0.0198 61.729 0.0199 61.974 0.0200 62.219 0.0201 62.463 0.0202 62.706 0.0203 62.948 0.0204 63.190 0.0205 63.431 0.0206 63.672 0.0207 63.912 0.0208 64.151 0.0209 64.389 0.0210 64.627 0.0211 64.864 0.0212 65.101 0.0213 65.337 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 21
  • 24. f'c 350 ρb Ku 0.0001 0.378 0.0002 0.755 0.0003 1.132 0.0004 1.508 0.0005 1.883 0.0006 2.258 0.0007 2.633 0.0008 3.007 0.0009 3.380 0.0010 3.753 0.0011 4.126 0.0012 4.497 0.0013 4.869 0.0014 5.240 0.0015 5.610 0.0016 5.979 0.0017 6.349 0.0018 6.717 0.0019 7.085 0.0020 7.453 0.0021 7.820 0.0022 8.186 0.0023 8.552 0.0024 8.918 0.0025 9.283 0.0026 9.647 0.0027 10.011 0.0028 10.374 0.0029 10.737 0.0030 11.099 0.0031 11.461 0.0032 11.822 0.0033 12.183 0.0034 12.543 0.0035 12.902 0.0036 13.261 0.0037 13.620 0.0038 13.978 0.0039 14.335 0.0040 14.692 0.0041 15.048 0.0042 15.404 0.0043 15.759 0.0044 16.114 0.0045 16.468 0.0046 16.822 0.0047 17.175 0.0048 17.527 0.0049 17.879 0.0050 18.231 0.0051 18.582 0.0052 18.932 0.0053 19.282 0.0054 19.632 0.0055 19.980 0.0056 20.329 0.0057 20.676 0.0058 21.024 0.0059 21.370 0.0060 21.717 0.0061 22.062 0.0062 22.407 0.0063 22.752 0.0064 23.096 0.0065 23.439 0.0066 23.782 0.0067 24.125 0.0068 24.467 0.0069 24.808 0.0070 25.149 0.0071 25.489 0.0072 25.829 0.0073 26.168 0.0074 26.506 0.0075 26.845 0.0076 27.182 0.0077 27.519 0.0078 27.856 0.0079 28.192 0.0080 28.527 0.0081 28.862 0.0082 29.196 0.0083 29.530 0.0084 29.864 0.0085 30.196 0.0086 30.529 0.0087 30.860 0.0088 31.192 0.0089 31.522 0.0090 31.852 0.0091 32.182 0.0092 32.511 0.0093 32.839 0.0094 33.167 0.0095 33.495 0.0096 33.822 0.0097 34.148 0.0098 34.474 0.0099 34.799 0.0100 35.124 0.0101 35.448 0.0102 35.772 0.0103 36.095 0.0104 36.417 0.0105 36.739 0.0106 37.061 0.0107 37.382 0.0108 37.702 0.0109 38.022 0.0110 38.342 0.0111 38.661 0.0112 38.979 0.0113 39.297 0.0114 39.614 0.0115 39.931 0.0116 40.247 0.0117 40.562 0.0118 40.878 0.0119 41.192 0.0120 41.506 0.0121 41.820 0.0122 42.133 0.0123 42.445 0.0124 42.757 0.0125 43.068 0.0126 43.379 0.0127 43.689 0.0128 43.999 0.0129 44.308 0.0130 44.617 0.0131 44.925 0.0132 45.233 0.0133 45.540 0.0134 45.847 0.0135 46.153 0.0136 46.458 0.0137 46.763 0.0138 47.067 0.0139 47.371 0.0140 47.675 0.0141 47.977 0.0142 48.280 0.0143 48.581 0.0144 48.883 0.0145 49.183 0.0146 49.483 0.0147 49.783 0.0148 50.082 0.0149 50.380 0.0150 50.678 0.0151 50.976 0.0152 51.273 0.0153 51.569 0.0154 51.865 0.0155 52.160 0.0156 52.455 0.0157 52.749 0.0158 53.043 0.0159 53.336 0.0160 53.629 0.0161 53.921 0.0162 54.212 0.0163 54.503 0.0164 54.794 0.0165 55.084 0.0166 55.373 0.0167 55.662 0.0168 55.951 0.0169 56.238 0.0170 56.526 0.0171 56.812 0.0172 57.099 0.0173 57.384 0.0174 57.669 0.0175 57.954 0.0176 58.238 0.0177 58.522 0.0178 58.805 0.0179 59.087 0.0180 59.369 0.0181 59.650 0.0182 59.931 0.0183 60.212 0.0184 60.491 0.0185 60.771 0.0186 61.049 0.0187 61.327 0.0188 61.605 0.0189 61.882 0.0190 62.159 0.0191 62.435 0.0192 62.710 0.0193 62.985 0.0194 63.260 0.0195 63.534 0.0196 63.807 0.0197 64.080 0.0198 64.352 0.0199 64.624 0.0200 64.895 0.0201 65.166 0.0202 65.436 0.0203 65.705 0.0204 65.975 0.0205 66.243 0.0206 66.511 0.0207 66.779 0.0208 67.046 0.0209 67.312 0.0210 67.578 0.0211 67.843 0.0212 68.108 0.0213 68.372 0.0214 68.636 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 22
  • 25. 0.0215 68.899 0.0216 69.162 0.0217 69.424 0.0218 69.685 0.0219 69.946 0.0220 70.207 0.0221 70.467 0.0222 70.726 0.0223 70.985 0.0224 71.244 0.0225 71.502 0.0226 71.759 0.0227 72.016 0.0228 72.272 0.0229 72.528 0.0230 72.783 0.0231 73.037 0.0232 73.291 0.0233 73.545 0.0234 73.798 0.0235 74.050 0.0236 74.302 0.0237 74.554 0.0238 74.805 0.0239 75.055 0.0240 75.305 0.0241 75.554 0.0242 75.803 0.0243 76.051 0.0244 76.299 0.0245 76.546 0.0246 76.792 0.0247 77.039 0.0248 77.284 0.0249 77.529 0.0250 77.773 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 23
  • 26. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 24
  • 27. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 25
  • 28. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 26
  • 29. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 27
  • 30. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 28
  • 31. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 29
  • 32. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 30
  • 33. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 31
  • 34. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 32
  • 35. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 33
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  • 38. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 36
  • 39. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 37
  • 40. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 38
  • 41. CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 39
  • 42. CONCRETO ARMADO II Usadas para cubrir grandes luces LOSAS BIDIRECCIONALES Cuando: b ≥ 2a Losas unidireccionales b < 2a Losas bidirecionales - Metrado Pplosita → 2,4. hf Ppviga hor → bw. hw. 2,4. Nvig Ppviga vert → bw. hw. 2,4. p. Nvig Donde: "p" es el largo quitando el espesor de las viguetas horizontales Nvig = 1.00 n Considerando unidades usuales de 30x30, el número de viguetas por m “n” será de 2.5, y el valor de “p” igual a 0.75m Piso terminado de 100kg/m2 - Vigas Tipos de apoyos: - Muros de concreto - Albañilería - Sólo columnas Cuando se tenga una losa apoyada en vigas a,b -> longitud libre (a las caras) Cuando se tenga una losa apoyada en columnas “l”= luz libre a ejes de columnas Nota: cada método indica como hallar la franja central y la de columna. Rigidez viga-losa Para cada paño se calcula el valor de “ α” α = Iv Il Para losas sin vigas α=0 Iv → inercia de la viga Il → inercia de la losa - Calculo de Iv : n ≤ 4. hf a b 1.00m 1.00m A A' hf n bw hw Corte A-A' b a α α α α αm Franja de columna Franja central Franja de columna l Franja de columna Franja central Franja de columna 45° hf n 45° hf n hf n n' 45° CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 40
  • 43. - Cálculo de Il αm= promedio de los α’s de cada paño. Predimensionamiento: • Si: 0.2 ≤ αm ≤ 2.0 h ≥ ln.�0.8 + fy 14000 � 36 + 5β(αm − 0.2) Donde: β = Dimensión larga Dimensión corta = b a ; b ≥ a ln = Luz libre h ≥ 12.5 • Si: αm > 2.0 h ≥ ln.�0.8 + fy 14000 � 36 + 9β • Si: αm < 0.2 ∴ losas sin vigas ACI – 1960 h= perímetro 180 - Losas apoyadas en vigas Método de Coeficientes: De acuerdo a los cuadros se determina en que caso se encuentra cada paño, tomando en cuenta los apoyos. Las franjas de columna y centra se determinan de acuerdo a la dirección que se esté analizando. Para el diseño se toma una franja de 1.00m de la franja central. Para los momentos extremos negativos, se considera que es 1/3 del momento positivo. Se debe de compatibilizar los momentos del paño I y II. - Si la diferencia entre dichos momentos de menor al 20% se trabaja con el mayor. - Si es mayor al 20%, se calcula las rigideces para compatibilizar. RI = I(I) A(I) , RII = I(II) A(II)  △M. RI ∑ Ri , para paño I  △M. RII ∑ Ri , para paño II I: inercia de la losa Al mayor momento se le resta su correspondiente, y al menor se le suma el correspondiente. El diseño se realiza paño por paño, para el cálculo de los coeficientes se determina el valor “m”. m= A B A= menor longitud. B= mayor longitud. Entonces: M=coef.Wu. l2 Se trabaja con Wu, está dada por m2. Siempre en la menor longitud se da el mayor momento. Para los momentos en la franja de columna, se le considera que es 1/3 del momento negativo correspondiente. l'/2 l''/2 hf b a α α α α αm b a b/4 b/4 b/4 b/4 Franja de Columna Franja de Columna Franja central b a 1.00m 1.00m h I II M(+) M(+) M(-) M(-)=M(+)/3 M(-) M(-) I I II I II II A(I) A(II) b a M(-) M(-)/3 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 41
  • 44. - Este método permite el análisis de losas sin vigas. Método Directo: l1= dirección analizada l2= dirección transversal Para la franja de columna para cada lado se toma el 25% de la dirección más corta. Lo que queda entre franja y franja de columna es la franja central. En la franja de columna puede como no haber viga. - Tener como mínimo 3 paños por c/dirección Restricciones: - La carga en Fuerza/Área uniformemente repartida. - b≤2a - las longitudes de 2 paños adyacentes no deben diferir en más de 1/3 de la luz mayor. - Las columnas deben estar alineadas. - Se permite un desalineamiento hasta un max. De 10% del “l” de la longitud transversal a la analizada. d≤(0.10).m - Wcv≤3Wcm - Relación viga-losa relativa en direcciones perpendiculares, debe de cumplir: 0.2≤ α1 . l2 2 α2 . l1 2 ≤ 5 m,n= franja de columna p,q= franja central que corresponde a ese paño. Se halla el Momento Amplificado (Mo): Mo = Wu. l′2.ln2 8 Donde: ln=luz libre entre columnas l'2= l2 ′′ 2 + l2 ′′′ 2 Si hubiesen capiteles o ábacos “ln” es la longitud de columna entre columna quitando el espacio que ocupan los capiteles y los ábacos, y este debe de ser mayor al 65% de la luz entre columnas. a) Paños interiores: M(-), M(+) M(-)=0.65Mo M(+)=0.35Mo b) Paños exteriores: Tomando en cuenta las variaciones que puede existir. l1' l1'' l1''' l2' l2'' l2''' 0.25l2''' ó 0.25l1' 0.25l2'' ó 0.25l1' d α1 α2 m Dirección que se está analizando l1' l1'' l2' l2'' l2''' n m q p l2''/2 l2'''/2 ln p n m q P. exteriores P. interiores P. exteriores Me Mex(+) Mi M(-) M(+) M(-) CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 42
  • 45. Borde exterior no restringido Losa con vigasen todos los apoyos Losas sinvigasinteriores Borde exterior totalmente restringido Sin vigas de borde Con vigas de borde Mi 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65 Mex(+) 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35 Me 0.00 0.16 0.26 0.30 0.65 Estos momentos son los totales, entonces se procede a calcular los momentos que se presentan en la franja de columna para que por diferencia se calculan los momentos en la franja central. Dentro de la franja de columna hay parte de losa, esto es parte del análisis. Momentos Franja Columna: (se puede interpolar), α1=α a.1) M. interiores: M(-),Mi l2/l1 0.50 1.00 2.00 α.l2/l1=0 0.75 0.75 0.75 α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45 a.2) M(+) l2/l1 0.50 1.00 2.00 α.l2/l1=0 0.60 0.60 0.60 α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45 a.3) M(-)ext: “teniendo en cuenta la viga transversal β= Ecb.c 2.Ecl.Il donde: c= ��1-0,63. x y � . x3 y 3 x: menor longitud del rectángulo y: mayor longitud del rectángulo. Se tienen que hacer varias disposiciones, y escoger el mayor “c”, como por ejemplo la siguiente disposición: l2/l1 0.50 1.00 2.00 α.l2/l1=0 Β=0 1.00 1.00 1.00 Β≥2.5 0.75 0.75 0.75 α.l2/l1≥1.00 Β=0 1.00 1.00 1.00 Β≥2.5 0.90 0.75 0.45 Con esto ya se tienen los momentos en la franja de columna, y se procede al cálculo de los momentos de la franja central. Momentos de Franja de columna en Vigas: α. l2 l1 ≥ 1.0 -> 85% del Mfcol. Directo a la viga α. l2 l1 < 1.0 -> interpolar. Diseño: - Franja de columna: a) Sin vigas: Ku= M(±) (m+n)d2 , ρ, As, As/m=As/(m+n), s(φ) b) Con vigas: Viga: Mu(±)±Mu(±)pp (aumentar el peso propio) Losa: igual que es caso anterior solo que a la suma de “m+n” se resta el espesor de la viga “bw”. - Franja central: La distribución es proporcional a la longitud, ejemplo para el gráfico. M(±)p = p p + q MF.Central (±) - Losa con vigas: Chequeo por cortante Al igual quelo usual, a una distancia “d” del apoyo, Entonces: ln=A-2.d, donde A es la luz libre entre columnas. Vu = Wu. ln 2 (medio) Vu = 1.15 Wu. ln 2 (extremo ) Debe de cumplir: Vu ≤ ϕVc Vc = 0,53. √f′c.bw. d; φ = 0.85 hf n≤4hf 1 2 45° α=0 Μ=0 α=1.0 Μ=85% % m+n hL CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 43
  • 46. - Losa sin vigas: El chequeo es por “punzonamiento” El corte es diagonal pero se considera vertical. Vu=Wu(A-Ao) - Si fuese una columna circular se considera un área de una columna cuadrada equivalente. - Si fuese una columna en “L”. Al igual debe de cumplir:Vu ≤ ϕVc - Cortante de punzonamiento: Vc = 0,53. �1 + 2 βc � �f′c.bo.d Vc = 0,27. � αs . d bo + 2� √f′c.bo.d βc = lado largo columna lado corto columna αS = 40 col. interiores αS = 30 col. borde αS = 20 col. esquina Vc = 1,06. √f′c. bo. d Nota: Si no cumple se aumenta el peralte de la losa o se usa ábacos o capiteles, se hace el chequeo a diversas alturas para determinar el perfil del capitel o ábaco. Se elige el menor de los 3. Se tantea una longitud “n” para saber hasta dónde llevar el ábaco o el capitel. Pero el cortante en cuanto a “d” se mantiene con el valor inicial de la losa sin capitel. Area tributaria (A) Area crítica (Ao) d/2 d/2 Sección crítica Ao->Area bo->Perímetro d/2 d/2 d/2 d/2 n CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 44
  • 47. COLUMNAS: Análisis: - Flexo-compresión - Flexo-tracción - Pandeo (Esbeltez) Cuantía: • Flexión:ρ = As bw .d • Flexo-compresión:ρ = As Ag - Espiral:ρ = 4.Ae dc .s La norma nos dice, generaliza para un M=0, Po es decir compresión pura. - Espiral ϕ = 0,75 ϕPn = 0,85. ϕ�0,85. f ′ c.�Ag − Ast � + Ast . fy� - Estribos ϕ = 0,70 ϕPn = 0,80. ϕ�0,85. f′c�Ag − Ast � + Ast . fy� Ast= Acero longitudinal total. CENTROIDE PLÁSTICO: Ejm: (deformaciones uniformes) - Cuando existe compresión pura � F = 0 P = Cc + Cs + C′ s Cc = 0,85. f ′ c.Ag Cs = As. fy C′ s = A′ s. fy Magnitud de “P”: P = 0,85. f ′ c.Ag + (As + A′ s). fy Punto de paso de “P”: � MAs = 0 d′′ = 0,85. f ′ c.Ag. Zc + As. fy. Z′s 0,85. f ′c.Ag + (As + A′s). fy Para este caso: Ag = b. t Zc = d − t 2� Z′ s = d − d′ - Cuando existe flexión pura, se calcula “Mn”: Se toma en consideración que P no existe, entonces se tiene que calcular el valor de “c”. Falla dúctil: c ≤ d − t 2� Falla a compresión: c > d − t 2� - Cuando actúan compresión y flexión mutuamente, es decir “flexo-compresión” Etapa balanceada: C=Cb a=ab De acuerdo al diagrama de deformaciones se determina que: Cb = εc .d εy + εc Cb = 0,59. d ab = k1. Cb ; k1 = 0.85 para f ′ c = 210kg cm2 ab = 0,5. d - Calcular carga axial (Pb): Pb = Cc + Cs − T Pb = 0,85. f ′ c.ab . b + A′ s. f ′ s − As. fy d d' d'' d'' CP P t b f's fs 0.85f'c t b Mn t b CP d ε ε' ε c 0.85f'c fs T a Cc Cs f's Xt Xc Xs CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 45
  • 48. Por el diagrama de deformaciones se calcula ε′ s → f′s - Calcular momento (Mb) � MCP =0 Mb=Cc.Xc+Cs.Xs+T.Xt Con esto se hace el “diagrama de interacción”, q es el lugar geométrico de fuerzas y momentos. P=Po Mn=Mo Para determinar más puntos, se tabulan otros valores de “c”. Si: • C1>Cb -> P1, M1 P1>Pb -> Falla por compresión • C2<Cb -> P2, M2 P2<Pb -> Falla por tensión Donde: M′ o = 0,9. Mo Para la zona en flexión M′ o = 0,7. Mo Para la zona en compresión Si: P<0,1.f’c.Ag  Diseñar como viga a flexión. To = Ast. fy Ast = As + A′s PREDIMENSIONAMIENTO: - Con estribos: Ag ≥ P 0.45f ′c - Con espirales: Ag ≥ P 0.55f′c Ast = ρt .Ag Se puede colocar las siguientes cuantías. - Cuantía mínima: 1% - Cuantía máxima: 6% - Recomendable: 1.5% a 2.5% Efecto Local: CM, CV; no hay desplazamiento de nudos. Efecto Global: CM, CV y S; hay desplazamiento de nudos. • Cuando no existe desplazamiento de nudos (efecto local) Usar inercias brutas • Cuando existe desplazamiento de nudos (efecto global) P M Po Mo Mb Pb M1 M2 P1 P2 Diagrama Nominal Diagrama de Diseño Po Mo 0.9Mo 0,1f'c.Ag φPo 0.70 ò 0.75 To 0.9To Mb Ma P Mb Ma P.δ P.δ Mto. 1er orden Mto. 2er orden o P-delta + = δ Elemento de simple curvatura Mb Ma P Mb Ma Mto. 1er orden Mto. 2er orden o P-delta + = δ Elemento de doble curvatura δ P.δ P.δ CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 46
  • 49. Mf = Factor. (Mto 1er orden) Para este caso usar Inercias reducidas: Inercia dela viga:IV = 0,35. Ig Inercia dela columna:IC = 0,70. Ig  M1:menor momento último M2: mayor momento último Efecto local: Si cumple las siguientes condiciones no es necesario el cálculo para el efecto local en elementos a compresión. k. lu r ≤ 34 − 12. � M1 M2 � 34 − 12. � M1 M2 � ≤ 40 Objetivo: Calcular Mc = δus . M2 Radio de giro: r = � I A - Para una circular rectangular. ry = 0.30t ; rx = 0.30b - Para una columna circular. r = 0.25D • Carga crítica por pandeo (Euler) Pc = π2 . EI (k. lu)2 Norma peruana: k = 1.0 EI = 0,2. Ec.Ig + Es. Ise 1 + βd Donde: - Ec: mod. Elast. Concreto - Ig: Inercia bruta - Es: mod. Elast. Acero - Ise: mto. De inercia de la sección equivalente (recordar concreto I) EI = 0,4.Ec. Ig 1 + βd Donde: βd = PuCM Putotal • Cálculo Pu Pu = 1,4. Pcm + 1,7. Pcv Finalmente: δus = Cm 1 − Pu 0,75. Pc Donde: Cm = 0,6 + 0,4 � M1 M2 � ; Cm ≥ 0,4 M1: Será positivo cuando sea curvatura simple, será negativo cuando se curvatura doble. M2: siempre será positivo Si en la columna existe alguna carga a lo largo de su longitud: Cm=1.00 - Excentricidad mínima: Momentos Mínimo: emin = 15 + 0,03. h (mm) Mmin = Pu. emin Si: Mmin > M2 → Cm=1.00  Si: k.lu r < 22 → δs = 1.00 se acaban los chequeos Efecto global: M1 = M1n + δs.M1s M2 = M2n + ds. M2s M1n → Debido a 1.25(CM+CV) M2n → DMF debido a sismo Calcular el valor de “k” usando los monogramas Mb Ma P Mb Ma Mto. 1er orden Mto. 2er orden o P-delta + = δb Elemento de doble curvatura δa P.δa P.δb t b y x φB φA kv1 kv2 kv3 kv4 kc3 kc1 kc2 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 47
  • 50. Donde: ϕ = ∑Rc ∑ Rv ,R = I L Considerar las inercias reducidas. Para una estructura: Q = (∑Pu). Δo Vus. he Q ≤ 0.06 → Arriostrado , no se mueve δs = 1 Q > 0.06 → calcular δs Donde: ∑ Pu : Suma de las cargas amplificadas muertas y vivas, acumuladas desde el extremo superior hasta el entrepiso en estudio � Pu = 1.25(CM + CV) ∆o: Deformación relativa entre el niel superior y el nivel inferior del entre piso considerado. ∆o = 0.75R(δi − δi−1 ) R: factor de reducción sísmica (8 para Pórticos) Vus: Cortante del entrepiso considerado he: Altura del entrepiso medida de piso a piso La norma nos da la siguiente fórmula: δs = 1 1 − Q Q → � Pu debido 1.4CM + 1.7CV Si: δs > 1.5, el edificio se mueve demasiado, recalcular δs δs = 1 1 − ∑Pu 0,75. ∑Pc ≤ 2.5 Si: k.lu r > 100, hacer análisis de segundo orden. Posibilidades: 1. No hay sismo: a. Cuando un momento es mas grande que el otro la tendencia es que la columna trabaje unidireccional, caso para losa unidireccional. b. Cuando ambos momentos son parecidos, la tendencia es que la columna trabaje bidireccional, caso losa bidireccional 2. Cuando hay sismo a. Se coloca acero en todas la caras ya que el sismo viene por todo lado b. Se tiene que hacer un diagrama para cada dirección i. Cuando “ex” existe y “ey=0” ii. Cuando “ey” existe y “ex=0” Si cumple ambos diagramas, el diseño se acaba. Cuando no existe momento. Pon = 0,85. f ′ c.�Ag − Ast � + fy. Ast Verificación del Efecto Biaxial: a) Pu ≥ 0,1. ϕ. Pon Predomina el efecto a COMPRESIÓN 1 Pn = 1 Pnx + 1 Pny − 1 Pon Pnx= carga nominal (ey=0) Pny= carga nominal (ex=0) Pn= carga nominal por efecto biaxial. Se chequea para las hipótesis 1era hipótesis Pu ≤ ϕ. Pn 2da hipótesis Pu ≤ ϕ. Pn ϕ = 0.75 Espiral ϕ = 0.70 Estribos b) Pu < 0,1. ϕ. Pon Predomina el efecto a FLEXIÓN. Mux ϕ. Mnx + Muy ϕ. Mny ≤ 1.0 ; ϕ = 0,9 y x Mcm,Mcv Msy, Psy Mcm,Mcv Msx, Psx y x ex ey M P Mux Pnx Mnx Pux ey=0 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 48
  • 51. 1) Pn = 0,85. f ′ c.a. bw + A′ s.f ′ s − As. fs 2) Mn = Pn. e = 0,85. f ′ c.a. bw.�y − a 2� � + A′ s. f ′ s.(y − d′) + As. fs.(d − y) 3) As y A’s fluyen fs=f’s=fy 4) Recomendable As=A’s Entonces: y = h 2� Pn = 0,85. f ′ c.a. bw Mn = 0,85. f ′ c.a. bw. �h 2� − a 2� � + As.fy(d − d′) Pn. e = Pn. �h 2� − a 2� � + As. fy. (d − d′) Pero: a = Pn 0,85. f ′c.bw e = Mu Pu Reemplazando: Pn. e = 0,5. Pn �h − Pn 0,85. f ′c.bw � + As. fy. (d − d′) Resolver y encontrar Pn. Finalmente chequear ϕPn ≥ Pu Diseño por Corte: Sección crítica de corte a una distancia “d” Vc = 0,53. √f′c. �1 + Nu 140. Ag � . bw. d Vu ϕ = Vc + Vs Vs = Ax . fy. d s s(ϕ) = Ax . fy.d Vu ϕ − Vc Nu: Carga axial última “Nu” puede variar debido a que en la parte inferior aumenta por el peso propio de la columna, si no es considerable el aumento se puede despreciar. Estribos: - 8mm -> hasta ∅L = 5/8" - De 3/8” -> hasta ∅L=1” - De ½” -> ∅L >1” • Lo: longitud de confinamiento, máximo de - Ln/6 - t (t>b) - 50cm • So: separación entre estribos, menor de - 8db (el de menor diámetro) - b/2 (b<t) - 10cm Tipo 2: Pórticos • Lo: longitud de confinamiento, máximo de o Ln/6 o t (t>b) o 50cm • So: separación entre estribos, menor de o 6db (el de menor diámetro) o b/3 (b<t) o 10cm S: separación de estribos en la zona fuera de la zona longitud de confinamiento S → ≤ 10db 25cm bw h y d' d As' As CP ε's c a f's fs εs 0,85.f'c Cs Cc T Zc Zs ZT M CIMENTACIONES S So 10cm t b Lo Lo CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 49
  • 52. - Cimentaciones Superficiales Df ≤ 3m - Cimentaciones Profundas Df > 3𝑚𝑚 - Datos conocidos para diseño de cimentaciones o Df: profundidad de desplante o σt : Capacidad portante del suelo • Zapatas Aisladas: - Esfuerzo a compresión:σ = P A - Esfuerzo a flexión: σ = M.v I Existen 2 casos: σ1 = P A + M. v I σ2 = P A − M. v I e = M P Caso 1: Si e > L 6 (Recordar que el suelo no admite tracciones) σ1 = 2. P 3. B.� L 2 − e� Donde: P = R = p + Ppzap Se estima para Ppzap: σt ≤ 2 kg cm 2 → Ppzap ≅ 10%p σt > 2 kg cm 2 → Ppzap ≅ 5%p Queda claro que al determinar las dimensiones de la Zapata se tiene que recalcular el Ppzap. Recomendación: Para el peralte de la zapata hz, este sea igual o mayor a la Hacer que m=n. longitud de desarrollo de los aceros que llegan de la columna mas 10cm. Caso 2: Si e ≤ L 6 σ1 = P A �1 + 6. e L � PREDIMENSIONAMIENTO: Ojo: Tener cuidado con el momento y cargas debido al Sismo ya que estas al aplicarse la formula dada por la Norma E-030 Sismoresistente ya se encuentra amplificada (se debe de especificar si lo está o no), si es el caso dividir por 1.25. El predimensionamiento se realiza con “Cargas de Servicio” (Sin amplificar). - Procedimiento: Calcular p = ∑ p Chequeo por estado Estático (no incluir cargas y momentos debido al sismo) Calcular M = ∑M R = p + %p ; %p = Ppzap A = R σt Conocido “A”, dimensionar la Zapata Recalcular:R = p + PpzapReal e = M R <> L 6 Ir a los casos 1 o 2 dependiendo del valor que tome “e” Calcular σ1 ≤ σt ; debe de ser menor a la capacidad del suelo. - Calcular p = ∑ p Chequeo por estado Dinámico o Sismo (incluir cargas y momentos debido al sismo) Calcular M = ∑M R = p + Ppzap e = M R <> L 6 Calcular σ1 ≤ σst = 1.33σt Con todo esto, ya se tendrían las dimensiones de la Zapata, ahora se procede a los chequeos para verificar si son correctas nuestras dimensiones. CHEQUEOS: Se usan las hipótesis para hacer una envolvente de esfuerzos σ2 σ1 σ2 σ1 L x e σ1 P B L n m CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 50
  • 53. Se escoge el Esf. Promedio o el Máximo para distribuir un Diagrama uniforme de Esfuerzos: 𝜎𝜎𝑢𝑢 a) Punzonamiento: 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵. 𝐿𝐿 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝑋𝑋. 𝑌𝑌𝑌𝑌 𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑏𝑏𝑏𝑏 = Perímetro 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 (𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴) b) 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐵𝐵. ( 𝑚𝑚 − 𝑑𝑑) Corte por Flexión: En la otra dirección: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐿𝐿. (𝑛𝑛 − 𝑑𝑑) c) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐵𝐵. 𝑚𝑚2 2 Flexión: En la otra dirección: 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝐿𝐿. 𝑛𝑛2 2 Si m=n, entonces se puede analizar por 1m de ancho, en decir L=B=1m, en tal caso solo se analiza una sola dirección.  Casos Especiales - Columna metálica: - Mampostería: - Columna Circular y poligonal: Tomar un área equivalente a una columna Cuadrada - Columna en L: Existe el diseño para Zapatas de Concreto Armado y de Concreto Simple.  Para Zapatas de Concreto Armado: 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙 ≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ; 𝜙𝜙 = 0.85 a) Punzonamiento: usar el menor de: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �1 + 2 𝛽𝛽 � � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,27. � 𝛼𝛼𝑠𝑠 . 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 2� � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 1,06. � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 Donde: 𝛽𝛽 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 • 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 40; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 • 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 30; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 • 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 20; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 σmax σprom d/2 d/2 Xo Yo B L B d m σu B σu Mu m n n/2 X Sección crítica por Flexión t t/4 X d/2 d/2 d/2 d/2 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 51
  • 54. b) Corte por Flexión: 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53. � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 Si m=n, entonces bw=100cm=1m c) Flexión: 𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐾𝐾𝐾𝐾 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐴𝐴𝐴𝐴/𝑚𝑚 Donde 𝜌𝜌 sigue las reglas para la cuantía en Losas, es decir: Si: 𝜌𝜌 < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙) 𝜌𝜌′ = 𝜌𝜌 + 1 3 𝜌𝜌 𝜌𝜌′ < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜌𝜌′ 𝜌𝜌′ ≥ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚  Para Zapatas de Concreto Simple: Para todos los casos 𝜙𝜙 = 0.65 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙 ≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑐𝑐 a) Punzonamiento: Tomar el menor de: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35 �1 + 2 𝛽𝛽 � � 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,70.� 𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ b) Corte por flexión: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35. �𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 100𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 c) Flexión: 𝜙𝜙𝑀𝑀𝑀𝑀 ≥ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 1,33. �𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆 → 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇ó 𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,85. 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆 → 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛 Donde: Sm: Módulo de sección. 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝐼𝐼 𝑣𝑣 Para Concreto Simple: 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 = 145 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐 2 Para Concreto Ciclópeo: 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 = 100 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐 2 Si existiese momentos en ambas direcciones se tiene que hacer un diagrama de esfuerzos en el espacio (Resistencia de materiales I), para poder determinar el esfuerzo último. • Se da por superposición de Zapatas Aisladas Zapatas Combinadas R= resultante de la fuerzas actuantes en las columnas 𝐴𝐴 = 𝑅𝑅 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑡𝑡 Para el Ppzap: 𝜎𝜎𝑡𝑡 ≤ 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑐𝑐𝑐𝑐2 → 20% @ 15% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 𝜎𝜎𝑡𝑡 > 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑐𝑐𝑐𝑐2 → 10% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 Recomendación: Hacer coincidir el C.G. de la Zapata con el punto de aplicación de la fuerza R Ojo: 𝑛𝑛 ≤ 2𝑚𝑚 Con la presencia de Momento 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 𝑅𝑅 + %𝑅𝑅 𝑒𝑒 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑅𝑅𝑇𝑇 <> 𝐿𝐿 6 PROCEDIMIENTO: 1. Dimensionar las zapatas de cada columna como si fueran aisladas. 2. Si las zapatas de superponen, hacerla combinada. Idealización: - Para el sentido Longitudinal 100cm hz B R L/2 L/2 B R n L/2 L/2 R Mi σ1 Wu=σu.B P1 M1 P2 M2 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 52
  • 55. - Para el sentido transversal Los aceros resultantes colocarlos en el ancho “2h+b” el resto colocarlo al doble de separación o colocar la cuantía mínima de losas (0.0018). Corte a -a CHEQUEOS: - Corte: Igual que el caso anterior - Punzonamiento: Para el chequeo por punzonamiento, se debe de hacer lo siguiente: A partir de la idealización realizada para el sentido longitudinal, trazar el diagrama de fuerzas cortantes. En el punto donde el cortante es CERO, separarlos como zapatas aisladas Finalmente aplicar la fórmula ya conocida para Vu 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 (𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴) Y aplicar las mismas formulas dadas para Zapatas de concreto Armado Nota: Se recomienda que las Zapatas Combinadas tengan un peralte de 0.70m, excepcionalmente 0.60m Todas las Zapatas Combinadas son ARMADAS. • Zapatas Conectadas Esto se da cuando existe un Límite de Propiedad y se quiere salvar el Momento generado. 𝑒𝑒𝑔𝑔 = Excentricidad Geométrica 𝑒𝑒 = 𝑀𝑀 𝑃𝑃 ; 𝑒𝑒: 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Finalmente se tiene: 𝑒𝑒𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒𝑔𝑔 <> 𝐿𝐿 6 Generalmente; 𝑒𝑒𝑡𝑡 > 𝐿𝐿 6� → 𝜎𝜎1 𝑅𝑅1 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃1 . 𝑒𝑒𝑔𝑔 𝐿𝐿 , 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴1 = 𝑅𝑅1 + %𝑅𝑅1 𝜎𝜎𝑡𝑡 𝑅𝑅2 = 𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1 . 𝑒𝑒𝑔𝑔 𝐿𝐿 , 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴2 = 𝑅𝑅2 + %𝑅𝑅2 𝜎𝜎𝑡𝑡 - Las zapatas se diseñan como zapatas aisladas - La viga cimentación es como una viga simple, dibujar los DMF y DFC y hacer el diseño por flexión y corte - Recordar que para el dimensionamiento se trabajan con CARGAS DE SERVICIO Y al diseñar se trabajan con CARGAS ÚLTIMAS Wu=σu a a b 2h+b h 45° 45° Viga de Cimentación eg L.P. P M P1 P2 eg L R1 R2 Pu1 Pu2+Ppzu2 eg L Ru1 Ru2 Ppzu1 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 53
  • 56. Es recomendable que el “bw” de la viga de cimentación sea del mismo ancho que el de la columna Para corte siempre chequear 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 2,1�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 Generalmente el corte no es influyente, entonces colocar el estribaje mínimo: 3/8” (1@0.05, 4@0.10, rsto @ 0.25) Aparte del los aceros que se le coloca al la viga, colocar en el medio 0.1As por contracción del acero separado un máximo de 30cm Si la zapata a conectar está muy lejana de las demás se puede dimensionar un cubo de Cº Simple para equilibrar, pero siempre colocarle una malla de 3/8” @30cm. • Cimientos Se analiza por 1m de ancho - Cargas Distribuidas Resultante de la carga distribuida w = P 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 + %𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑡𝑡 Generalmente 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1.5@2.2𝑡𝑡𝑡𝑡 Entonces: 𝑏𝑏 = 𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 100𝜎𝜎𝑡𝑡 - Cargas Puntuales: CHEQUEOS - No hay chequeo por corte - Flexión: Para todo Cº Ciclopeo: 𝜙𝜙 = 0.50 𝜎𝜎 = 𝑀𝑀 𝑆𝑆 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 . 𝑛𝑛2 2 .100 𝑆𝑆 𝑆𝑆 = ℎ2 6 ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑐𝑐 Usar las mismas expresiones de los chequeos para Concreto Simple antes dadas 𝑓𝑓′𝑐𝑐 ≤ 100 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐2 CHEQUEOS PARA TODAS LOS TIPOS DE ZAPATAS - Corte Fricción: 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝜇𝜇. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑅𝑅 ≥ 𝑉𝑉𝑢𝑢 𝜇𝜇 = 0,6𝜆𝜆 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 : Acero proveniente de la Columna Si es menor ser usan Dowels y se encuentra As por simple diferencia - Aplastamiento: 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 𝜙𝜙. 0,85. 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝐴𝐴1 ; 𝜙𝜙 = 0,70 𝐶𝐶º𝐴𝐴º O si no cumple usar: 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 𝜙𝜙. 0,85. 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝐴𝐴1. � 𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 � 𝐴𝐴2 𝐴𝐴1 ≤ 2.0 𝑃𝑃𝑅𝑅 = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑅𝑅 𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓 ; 𝜙𝜙 = 0,70 0.1As As/3 2As/3 As/3 3/8"@30cm 1m P w b 1m P bw t bw+4t=L CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 54
  • 57. Donde MUROS DE CONCRETO ARMADO • Solo actúa a cargas de Gravedad Muros de Gravedad: 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 = 0,55. 𝜙𝜙. 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴. �1 − � 𝑘𝑘. 𝑙𝑙𝑙𝑙 32. 𝑡𝑡 � 2 � 𝜙𝜙 = 0,70 Valores de “k”:  K=0.80 (Restringido en uno o ambos apoyos) Es decir: Empotrado-Articulado ó Empotrado- Empotrado  K=1.00 (no hay restricción en los apoyos) Es decir: Articulado-Articulado  K=2.00 (muro en volado) PREDIMENSIONAMIENTO: 𝑡𝑡 ≥ 𝑙𝑙𝑙𝑙 25 𝑦𝑦 𝑡𝑡 ≥ 10𝑐𝑐𝑐𝑐 Para muros en Sótanos 𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 ≥ 𝑃𝑃𝑃𝑃 - Para Cargas Distribuidas: 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑙𝑙𝑙𝑙. 𝑡𝑡. 1𝑚𝑚. 2.4𝑡𝑡𝑡𝑡/𝑚𝑚3 No olvidar que para calcular Pu, aumentar el peso propio del muro Wpp. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 100. 𝑡𝑡 - Para Cargas Distribuidas + Cargas Puntuales: Si se superponen las proyecciones para las cargas tomar la mitad de la izquierda y la mitad de la derecha. 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝑡𝑡. ( 𝑏𝑏𝑖𝑖 + 4𝑡𝑡). 𝑙𝑙𝑙𝑙. 2,4 Hay que colocar acero debido a las contracciones del concreto: 𝜌𝜌ℎ 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ≥ 0.002 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ≥ 0.0015 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜌𝜌. 100. 𝑡𝑡 Separación: 𝑆𝑆 ≤ 3𝑡𝑡 𝑆𝑆 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐 Si 𝑡𝑡 ≥ 20c𝑚𝑚, colocar 2 capas de acero • Muros de contención: E= Empuje Activo 𝐸𝐸 = 1 2 . 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾. ℎ2 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 �45 − 𝜑𝜑 2 � Ep= Empuje Pasivo Si: - 𝐷𝐷𝐷𝐷 ≥ 1.00𝑚𝑚 -> Considerar Ep - 𝐷𝐷𝐷𝐷 < 1.00𝑚𝑚 -> Despreciar Ep A1 A2 1 2 lc t lc tWcm,Wcv Wpp Pu lc 1m Pi-1 Pi bi-1 bi bi+4t FR W2 W1 W3 y Df E o Ep yp CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 55
  • 58. PROCEDIMIENTO: 1. Predimensionamiento 2. Chequeo por Volteo, Deslizamiento y Presiones 3. Diseño Estructural CHEQUEAR: a) Deslizamiento: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝜇𝜇 ∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊 + 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸 ≥ 1,5 𝜇𝜇 = 0,5 − 0,6 Tomar generalmente: 𝜇𝜇 = 0,55 b) Volteo: - 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐸𝐸. 𝑦𝑦 - 𝑀𝑀𝑅𝑅 = ∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊 . 𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐸𝐸𝐸𝐸. 𝑦𝑦𝑝𝑝 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝑅𝑅 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ≥ 2,0 c) Presiones: 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑅𝑅 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∑ 𝑊𝑊𝑊𝑊 𝑒𝑒 = 𝐿𝐿 2 − 𝑥𝑥 <> 𝐿𝐿 6 Calcular: 𝜎𝜎1 ≤ 𝜎𝜎𝑡𝑡 PREDIMENSIONAMIENTO: 𝐿𝐿 ≈ 𝐻𝐻 2 ℎ𝑧𝑧 ≈ 0,10𝐻𝐻 ;ℎ𝑧𝑧 ≥ 0.50𝑚𝑚 𝑑𝑑e𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 ≈ 0.10𝐻𝐻 𝑒𝑒 ≥ 15𝑐𝑐𝑐𝑐 Se recomienda: 15cm para Concreto Armado y 20cm para Concreto Simple y Ciclópeo - ℎ𝑝𝑝 ≤ 3.00𝑚𝑚 : Muro de C.A., C.S., C.C. Recomendaciones: - 3.00𝑚𝑚 < ℎ𝑝𝑝 ≤ 8.00𝑚𝑚 : Muro de C.A. - ℎ𝑝𝑝 > 8.00𝑚𝑚 : C.A. Contrafuerte Considerar: Empuje del Suelo es CV en la Pantalla y Peso Propio del Suelo es CM para la Zapata  MUROS EN VOLADIZO  Diseño de la Pantalla: - El diseño por Corte: normalmente se chequea a una distancia “d”, pero en este caso como no se conoce “t” se chequea con el valor “Vu”. - Diseño por Flexión: Para C.A, C.S o C.C. 𝑀𝑀𝑀𝑀 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙  Para Concreto Armado o Corte 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑 Hacemos: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 → 𝑑𝑑 → 𝑡𝑡 Entonces tenemos el valor de “t”: o Flexión 𝐾𝐾𝐾𝐾 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 Pero 𝜌𝜌 ≤ 𝜌𝜌1 = 0.18. 𝑓𝑓′𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑓𝑓 Con esto se tiene el “Acero Vertical Principal”. También se colocar acero en forma horizontal, tomando la cuantía mínima dada en muros, teniendo con esto el “Acero Horizontal Principal”. Adicionalmente se coloca otra capa de acero, con las cuantías mínimas dadas en muros.  Para Concreto Simple y Ciclópeo o Corte: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,35. � 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 → ℎ → 𝑡𝑡 ; 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝜙𝜙 = 0,65 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝜙𝜙 = 0,50 o Flexión: 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 1,33� 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑀𝑀𝑀𝑀 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 ∑W FH R o x L CRESTA PANTALLA PUNTATALÓN hp H e t n L hz Mu Vu Ep yp Mp Wp hp Mu d 100cm Acero Vertical Principal Acero Horizontal Principal Acero mínimo CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 56
  • 59.  Diseño de la Zapata:  En la Punta:  En el Talón:  MUROS CON CONTRAFUERTE 𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐 S= Longitud libre entre Contrafuertes 𝑆𝑆 = 2,5 @ 3,5𝑚𝑚 𝑒𝑒 ≥ 30𝑐𝑐𝑐𝑐 Para los CHEQUEOS por Deslizamiento, Volteo y Presiones, tomar una franja de la siguiente manera:  Diseño de la Pantalla  Diseño por Flexión: o Para el acero Horizontal 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛾𝛾𝛾𝛾. 𝐾𝐾𝐾𝐾. ℎ(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) No olvidar amplificarlo por 1.7, el diseño se hace por metro. 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 1,7. 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑀𝑀(+) = 𝑊𝑊𝑊𝑊. 𝑆𝑆2 16 𝑀𝑀(−) = 𝑊𝑊𝑊𝑊. 𝑆𝑆2 11 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑀𝑀(±) 100. 𝑑𝑑2 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,0018.100. 𝑒𝑒 <> 𝐴𝐴𝐴𝐴 En la franja (P4) el acero resultando se repite en la en la última franja (3/8S). o Para el acero Vertical 𝑀𝑀4 (−) = 0.03. 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝3 . 𝑠𝑠 ; 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 s = 100𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀5(+) = 𝑀𝑀4(−) 4  Diseño por Corte: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑊𝑊𝑊𝑊(𝑠𝑠′ − 2𝑑𝑑) 2 Donde: s’ es la distancia a ejes delos contrafuertes 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53�𝑓𝑓′𝑐𝑐. 100. 𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 Ws1 Ws2 Ws2 Se toma el mayor Se puede despreciar si no es significativo Ws1 Se toma el promedio ó se puede despreciar S e t S hp hp S S S+e hz S hp M(+) 3/8S h h h hP1 P2 P3 P4 En esta sección tiene un comportamiento como losa bidireccional 1/16 1/11 1/16 M(-) M4 M5 CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 57
  • 60.  Diseño del Contrafuerte 𝑛𝑛′ → 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚′ → 6𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 9𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚′ + 𝑛𝑛′ → 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 o Diseño por Flexión: 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1,7. � 1 2 . 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝2 . (𝑆𝑆 + 𝑒𝑒)� 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸. ℎ𝑝𝑝 3 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑛𝑛′ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓 ; 𝜙𝜙 = 0,90 Calculando el empuje más hacia arriba, se puede realizar corte de Acero. o Diseño por Corte: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑇𝑇𝑇𝑇. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑒𝑒. 𝑛𝑛′ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙 − 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑆𝑆(𝜑𝜑) = 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝑛𝑛′ 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙 − 𝑉𝑉𝑉𝑉 Se puede aumentar el espaciamiento conforme se sube - Verificación del acero horizontal (caso si la pantalla tienda a arrancarse del contrafuerte) 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝛾𝛾𝛾𝛾. ℎ𝑝𝑝.(1𝑚𝑚)(𝑆𝑆 + 𝑒𝑒) 𝑇𝑇𝑇𝑇1 = 1,7. 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓 <> 𝐴𝐴𝐴𝐴 Si: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ; El arrancamiento está controlado 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ; Colocar DOWELS - Si el Contrafuerte tiende a arrancarse de la Zapata 𝑊𝑊 = 𝑛𝑛. ℎ𝑝𝑝. (𝑆𝑆 + 𝑒𝑒). 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑇𝑇𝑇𝑇2 = 1.4. 𝑊𝑊 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑓𝑓 O colocar el 10% del acero diseñado por Flexión  Diseño de la Zapata La zapata se asemeja a una losa bidireccional restringida en 3 de sus 4 lados, sometida a la carga distribuida uniforme (Pp del suelo y Pp dela zapata) Recordar que el Pp del suelo es CM. • Muros de corte o Placas  FLEXOCOMPRESIÓN: Aplicar las hipótesis - Para los aceros extremos θ n m m' n' C hi Tu1 n Lm hm t CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 58
  • 61. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑧𝑧. 𝑓𝑓𝑓𝑓 ; 𝑧𝑧 = 0,60. 𝐿𝐿𝐿𝐿 1@5 pisos -> colocar 5/8” 5@8 pisos -> colocar ¾” Más de 8 pisos -> 1” Distribuir 4@6 aceros con una separación de 5@10cm - 𝑡𝑡 ≥ 15𝑐𝑐𝑐𝑐 - 𝑡𝑡 < 15𝑐𝑐𝑐𝑐; Muros de Ductilidad Limitada Si: 𝑡𝑡 ≥ 20𝑐𝑐𝑐𝑐 , colocar doble malla Además, colocar doble malla si: 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≥ 0,53. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Donde: “Acw” es el área del alma. Resistencia al corte del Concreto: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� 𝛼𝛼𝑐𝑐 � 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐� 𝛼𝛼𝑐𝑐 ℎ𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 0,80 ≤ 1.50 0,53 ≥ 2.0 Se puede interpolar si se tiene un valor diferente de hm/Lm - Para los aceros intermedios Si:  𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 0,27. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜌𝜌ℎ ≥ 0,002 𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0015 Separación: 𝑠𝑠 ≤ 3𝑡𝑡 𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐  𝑉𝑉𝑉𝑉 > 0,27. �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜌𝜌ℎ ≥ 0,0025 𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0025+ 0,5.�2,5 − ℎ𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿 � .(𝜌𝜌ℎ − 0,0025) ≥ 0,0025 Separación: 𝑠𝑠 ≤ 3𝑡𝑡 𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑐𝑐  CORTANTE: 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 � 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � Vua: Resultado del análisis Mua: Resultado del análisis Mn: Momento nominal relacionado con la carga axial Se tienen que hacer 2 diagramas de interacción 𝑛𝑛 ≤ 0,10. ℎ𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙/2 Para empezar el análisis 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉. 𝑅𝑅 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙 ≥ 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝜌𝜌ℎ . 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜌𝜌ℎ = 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓 Comparar: 𝜌𝜌ℎ <> 𝜌𝜌ℎ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓. 𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑉𝑉  Momento Crítico de Agrietamiento 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑉𝑉 . �2�𝑓𝑓′𝑐𝑐 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐴𝐴 � 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀  Chequeo de los núcleos Problema: Calcular “c”: - Calcular iterando Mu Pu Mn n n li hi hi Mu Pu Mn Mun Elemento de borde c CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 59
  • 62. La norma nos dice si: 𝑐𝑐 ≥ 𝐿𝐿𝐿𝐿 600� 𝛿𝛿𝛿𝛿 ℎ𝑚𝑚� � ; 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒t𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝛿𝛿𝛿𝛿 ℎ𝑚𝑚 ≤ 0,005  Forma simplificada de calcular “c” 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑓𝑓𝑓𝑓 → 𝑎𝑎 → 𝑐𝑐 Para tener una idea si la placa necesita elementos de borde, es aplicar la siguiente fórmula 𝐿𝐿𝐿𝐿 (600)(0,005) <> 𝑐𝑐 Se usa elemento de borde hasta una altura “h”: h ≥ Lm Mu 4. Vu ; se toma el mayor σ(+) = Mua. v Ig + Pu Acw Si: - σ(+) ≤ 0,2f′c; no usar elementos de borde - σ(+) ≤ 0,2f′c; usar elementos de borde Si: σ(+) ≤ 0,15f′c; dejar de usar el elemento de borde. Para cuando la placa tiene alas, el núcleo será: Se usa un m=30cm, sea donde sea que caiga el bloque a compresión Ojo: Siempre colocar el acero en todo el núcleo - Estribos o grapas 3/8” @ 1” -> Colocar estribo o grapa de 3/8” Mayores a 1” -> Colocar estribo o grapa de ½” La separación de los estribos no será mayor que: - s ≤ 10dbmayor - s ≤ la menor dimensión de la sección transversal - s ≤ 25cm  CORTE FRICCIÓN: Se da debido a posible presencia de juntas ϕVn = μ. ϕ(Nu + Av.fy) Vu ≤ ϕVn Donde: - Av: Acero vertical - ϕ = 0,85 - μ = 0,6 (Generalmente) - Nu = 0,90PCM Si: Vu > 𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙; se tiene que colocar dowels Nota: No se chequea por cargas perpendiculares a su plano, generalmente. hm δ.R=δu a Ts Cc z n min 15cm m CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 60