El documento presenta definiciones y propiedades de las funciones continuas. Introduce la definición de continuidad en un punto y en todo el dominio. Luego demuestra que si una función continua está definida en un conjunto cerrado y acotado, entonces es acotada y alcanza su máximo y mínimo. Finalmente, introduce la noción de continuidad uniforme.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Funciones Continuas
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Funciones Continuas by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed under a Creative Commons
ıa
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Consideremos una funci´n f a valor real cuyo dominio de definici´n sea
o o
un conjunto E.
Definici´n: Diremos que f es continua en un punto x ∈ E si:
o
∀ > 0, ∃δx > 0 : ∀y ∈ E, (|x − y| < δx → |f (x) − f (y)| < ).
Definici´n: Diremos que f es continua si lo es en todo punto de su
o
dominio.
Proposici´n 1 Sea f una funci´n a valor real definida y continua en un
o o
conjunto F cerrado y acotado. Entonces f es acotada en F y asume su
m´ximo y su m´
a ınimo en F ; esto es,
∃ x1 , x2 ∈ F : ∀x ∈ F, f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ).
Dem: Veamos primero que f est´ acotada en F .
a
Sean = 1 y x ∈ F . Como f es continua en F , lo es en x ∈ F .
As´
ı,
∃δx > 0 : ∀y ∈ F, (|x − y| < δx → |f (x) − f (y)| < 1),
esto es,
∃δx > 0 : y ∈ F ∩ (x − δx , x + δx ) → |f (x) − f (y)| < 1.

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Sea Ix = (x − δx , x + δx ). Entonces
|f (y)| − |f (x)| ≤ |f (x) − f (y)| < 1, ∀y ∈ F ∩ Ix .
As´
ı,
|f (y)| < 1 + |f (x)| , ∀y ∈ F ∩ Ix ,
y resulta que f est´ acotada en F ∩ Ix .
a
Consideremos ahora la colecci´n de intervalos abiertos {Ix :
o
x ∈ F }. Como F ⊂ x∈F Ix , esta colecci´n es un cubrimiento
o
abierto de F , cerrado y acotado, entonces, por el Teorema de
Heine Borel, existe un subcubrimiento abierto finito de F , diga-
mos
{Ix1 , Ix2 , . . . , Ixn }.
n
As´ F ⊂
ı, k=1 Ixk . Sea M = max {|f (x1 )| , . . . , |f (xn )|} + 1.
Luego
y∈F → ∃ k ∈ [1, n] ∩ N : y ∈ Ixk
→ y ∈ F ∩ Ixk
→ |f (y)| < 1 + |f (xk )| ≤ 1 + (M − 1)
→ |f (y)| < M
Por lo tanto, f es acotada en F .
Veamos ahora que f alcanza su m´ximo en F ; esto es,
a
∃ x2 ∈ F : ∀x ∈ F, f (x) ≤ f (x2 ).
De lo anterior resulta que el conjunto
f (F ) = {f (x) : x ∈ F }
es acotado y no vac´ (pues f es funci´n), entonces por el Axioma
ıo o
de Completitud posee supremo.
Sea m = sup {f (x)}. As´ m ≥ f (x), ∀x ∈ F . Probaremos
ı,
x∈F
que ∃ x2 ∈ F : f (x2 ) = m.
Supongamos que f (x) < m, ∀x ∈ F . As´ resulta claro que
ı
m − f (x) > 0, ∀x ∈ F . Sea
m − f (x)
= > 0.
2
Como f es continua en x, ∀x ∈ F , existe Ix (abierto) tal que
m − f (x)
|f (x) − f (y)| < = , ∀y ∈ F ∩ Ix , ∀x ∈ F.
2

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ıa 3
Luego,
f (x) − m m − f (x)
< f (y) − f (x) < , ∀y ∈ F ∩ Ix , ∀x ∈ F.
2 2
Concentr´monos en la desigualdad de la derecha.
e
m − f (x)
f (y) < + f (x), ∀y ∈ F ∩ Ix , ∀x ∈ F.
2
m + f (x)
f (y) < , ∀y ∈ F ∩ Ix , ∀x ∈ F.
2
Como F ⊂ Ix , nuevamente la colecci´n {Ix : x ∈ F } es
o
x∈F
un cubrimiento abierto de F , cerrado y acotado, entonces (por
el Teorema de Heine Borel) F posee un subcubrimiento abierto
finito:
n
F ⊂ I xk .
k=1
Sea a = max {f (xk )}. Luego
1≤k≤n
y∈F → ∃ k ∈ [1, n] ∩ N : y ∈ Ixk
→ y ∈ F ∩ Ixk
m+f (xk ) m+a
→ f (y) < 2 ≤ 2
m+a
Entonces, es cota superior del conjunto f (F ). Pero
2
m+a
a ≤ m → m + a ≤ 2m → ≤m
2
lo cual es un absurdo.
ınimo en F . ♦
An´logamente se prueba que f alcanza su m´
a
Proposici´n 2 Sea f una funci´n a valor real definida en (−∞, ∞). En-
o o
tonces f es continua si y s´lo si para cada conjunto abierto O de n´meros
o u
reales, f −1 (O) es un conjunto abierto.
Dem: Sea f : R → R.
(→) f es continua, por hip´tesis. Sea O un conjunto abierto.
o
Debemos probar que f −1 (O) es abierto; esto es, que
∀x ∈ f −1 (O), ∃ Ix (abierto) : x ∈ Ix ⊂ f −1 (O).

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Sea x ∈ f −1 (O). Entonces f (x) ∈ O. Como O es abierto,
∃ > 0 : (f (x) − , f (x) + ) ⊂ O. Como f es continua en x, dado
el > 0,
∃ δx > 0 : ∀y, (|x − y| < δx → |f (x) − f (y)| < ).
As´
ı,
∃ δx > 0 : ∀y, (y ∈ (x − δx , x + δx ) → |f (x) − f (y)| < ),
o bien, haciendo Ix = (x − δx , x + δx ),
y ∈ Ix → f (y) ∈ (f (x) − , f (x) + );
pero (f (x) − , f (x) + ) ⊂ O, entonces
y ∈ Ix → f (y) ∈ O;
o bien
y ∈ Ix → y ∈ f −1 (O).
As´ existe Ix (abierto) tal que Ix ⊂ f −1 (O). Por lo tanto f −1 (O)
ı,
es abierto.
(←) Por hip´tesis, ∀ O abierto, f −1 (O) es abierto.
o
Sean > 0 y x ∈ R. Sea I = (f (x) − , f (x) + ). Como I es
abierto, f −1 (I) es abierto. As´
ı,
∃ δx > 0 : (x − δx , x + δx ) ⊂ f −1 (I).
Luego, con ese δx > 0,
|x − y| < δx → y ∈ (x − δx , x + δx )
→ y ∈ f −1 (I)
→ f (y) ∈ I = (f (x) − , f (x) + )
→ |f (x) − f (y)| < .
Por lo tanto, f es continua en x, ∀x ∈ R. Luego, f es continua
en R. ♦
Definici´n: Una funci´n f a valor real definida en un conjunto E se
o o
dice uniformemente continua (en E) si:
∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ E, (|x − y| < δ → |f (x) − f (y)| < ).

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Proposici´n 3 Si una funci´n f a valor real est´ definida y es continua en
o o a
un conjunto F cerrado y acotado de n´meros reales entonces es uniforme-
u
mente continua.
Dem: Sea f : F → R, con F cerrado y acotado. Por hip´tesis
o
f es continua en x, ∀x ∈ F . As´
ı,
δx
∀ > 0, ∃δx > 0 : ∀y ∈ F, (|x − y| < → |f (x) − f (y)| < ).
2 2
δx δx
As´ existe Ix =
ı, x− ,x + tal que
2 2
y ∈ F ∩ Ix → |f (x) − f (y)| < .
2
F es cerrado y acotado, con F ⊂ Ix , entonces {Ix : x ∈ F } es
x∈F
un cubrimiento abierto de F . Luego, por el Teorema de Heine-
n
Borel, F posee un subcubrimiento finito, digamos F ⊂ I xk .
k=1
Sea
1
δ= min {δx }.
2 1≤k≤n k
δxk
Entonces δ ≤ 2 ,k = 1, 2, . . . , n.
Sean y, z ∈ F . Si |y − z| < δ resulta:
y∈F → ∃ k ∈ [1, n] ∩ N : y ∈ Ixk
→ y ∈ F ∩ Ixk
→ |f (xk ) − f (y)| < 2 .
Por otro lado,
δxk
|z − xk | ≤ |z − y|+|y − xk | < δ+ ≤ δxk → |f (z) − f (xk )| < .
2 2
As´
ı,
|f (y) − f (z)| ≤ |f (y) − f (xk )| + |f (xk + f (z))| < .
Por lo tanto, f es uniformemente continua. ♦
Bibliograf´
ıa:
• Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.