Este documento describe los espacios de Hilbert y L2, bases ortogonales en estos espacios, y series de Fourier. Introduce conceptos como normas en espacios vectoriales de funciones, productos internos, y cómo usar bases ortogonales para expresar funciones arbitrarias como combinaciones lineales de funciones de la base.

1. Espacios de dimensión infinita El espacio de Hilbert Espacios de Funciones Espacios L 2 Bases de espacios L 2 Bases ortogonales Series de Fourier Aproximación de Funciones Polinomios de Legendre Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIE M. C. José Juan Rincón Pasaye

2. El Espacio de Hilbert El espacio R  contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x 1 ,x 2 ,x 3 ,...], por ejemplo: [0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética) [1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica) [1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica) [1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci) [0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc.. Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.

3. El Espacio de Hilbert Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l 2 . Así, un vector [x 1 ,x 2 ,x 3 ,...] está en el espacio de Hilbert si ||x|| 2 =x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 ,+... Es un número finito.

4. El Espacio de Hilbert Ejemplo : Averiguar si la sucesión geométrica de razón q: [q 0 ,q 1 ,q 2 ,q 3 ,...,] pertenece al espacio de Hilbert: Solución : Sea S = 1+q 2 +q 4 +q 6 +...+q 2n Es fácil ver que q 2 S = S-1+q 2n+2 , despejando S Tomando el límite cuando n  , la suma es finita si y sólo si |q|<1.

5. El Espacio de Hilbert Tarea : Averiguar si la sucesión siguiente: [p,  2p,  3p,  4p,...] pertenece al espacio de Hilbert. Para ello, Sea S = p 2 +2p 2 +3p 2 +...+np 2 . Encontrar una expresión compacta para S. Tomar el límite de S cuando n  . Concluir para diferentes casos de p.

6. El Espacio de Hilbert El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito). Así, para dos vectores arbitrarios x= [x 1 ,x 2 ,x 3 ,...], y= [y 1 ,y 2 ,y 3 ,...] en este espacio: <x,y>= x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 ... < 

7. El Espacio de Hilbert De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy : |<x,y>|  ||x|| ||y|| Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.

8. El Espacio de Hilbert Ejemplo : ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R 3 ? Solución . Sean dos vectores arbitrarios en R 3 , x=[x 1 ,x 2 ,x 3 ], y= [y 1 ,y 2 ,y 3 ], la desigualdad de Schwartz garantiza que: |x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 | 2  (x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024  (14)(77)=1078

9. El Espacio de Hilbert Tarea : Usando la desigualdad de Schwartz en R n , demostrar que para cualesqiera n números x 1 ,x 2 ,...,x n , se cumple que: |x 1 +x 2 +...+x n | 2  n (x 1 2 +x 2 2 +...+x n 2 ) Dar un ejemplo en R 3 . 2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se convierte en igualdad cuando los vectores son Linealmente Dependientes en R n . Dar un ejemplo en R 3 .

10. Espacios de Funciones Los vectores en el espacio R  se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica [1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2) x , valuada en x=0,1,2,3,... En forma similar, la sucesión aritmética [2, 4, 6, 8, 10,...] Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,... ¿y qué pasa si x toma valores continuos?

11. Espacios de Funciones Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo. Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita . ¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

12. Espacios de Funciones La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]: De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

13. Espacios de Funciones Ejemplo : Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2  ] Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales. Normas: =  =  Normalización: las siguientes funciones son ortonormales:

14. Espacios de Funciones Ejemplo : ¿Cuál es el ángulo  entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir,  =90° ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+  ) sobre sin(x)? =cos(  ) sin(x) Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

15. Espacios de Funciones Tarea : ¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+  ), respecto a f(x)=sin(x)? ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f? ¿y sobre g(x)=cos(x)? ¿Cuál es la norma de h(x)?

16. Espacios L 2 Las Normas l p definidas para vectores en R  se transforman en las normas L p que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue Así, las funciones de norma L 2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L 2 .

17. Espacios L 2 Ejemplo : ¿Para que valores de r la siguiente función está en L 2 considerando el intervalo [0,1]? f(x) = x r Solución : como Entonces la función x r pertenece a L 2 si y sólo si r > -1/2

18. Espacios L 2 La siguiente gráfica representa la función f(x)=x r para diferentes valores de r 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r=-1 r=-1/2 r=-1/5

19. Bases de Espacios L 2 Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base. Algunas bases comúnmente utilizadas son: {1,x,x 2 ,x 3 ,...}  Series de Taylor {1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}  Series de Fourier {1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}  Series de Hartley

20. Bases Ortogonales Dada una base {f 1 ,f 2 ,f 3 ,...} de L 2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c 1 ,c 2 ,... de dicha serie: f= c 1 f 1 +c 2 f 2 +c 3 f 3 +... Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple. De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

21. Bases Ortogonales Sea por ejemplo {b 1 ,b 2 ,b 3 ,...b n } una base de R n , y sea x=[x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ] un vector arbitrario en R n , entonces: x= c 1 b 1 +c 2 b 2 +c 3 b 3 +...+c n b n Si la base no es ortogonal , esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal , tomando el producto interno con b 1 tenemos <x,b 1 > = c 1 <b 1 ,b 1 >+c 2 <b 1 ,b 2 >+...+c n <b 1 ,b n > De donde

22. Bases Ortogonales En forma similar: Y si la base es ortonormal : las expresiones se reducen a:

23. Bases Ortogonales Ejemplo : En R 2 , sea la base Verificar que es una base ortonormal Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x 1 ,x 2 ] en esta base. Solución : En efecto, <b 1 ,b 1 >=<b 2 ,b 2 >=1 y <b 1 ,b 2 >=0. c 1 = <x,b 1 > = (x 1 -x 2 )/  2 c 2 = <x,b 2 > = (x 1 +x 2 )/  2

24. Bases Ortogonales Tarea : En R 2 , proponer una base ortonormal diferente a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x 1 ,x 2 ] en dicha base. Sea {b 1 ,b 2 ,...b n } una base no ortogonal de R n , y sea x=[x 1 ,x 2 ,...,x n ] un vector arbitrario en R n , usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c 1 ,c 2 ,...,c n de x la base dada

25. Series de Fourier Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L 2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario. Una base ortogonal en el intervalo [0,2  ] para L 2 es la siguiente {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...} Ya que:

26. Series de Fourier Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2  ], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal ( Serie de Fourier ) de las funciones de la base anterior, como: f(x)=a 0 +a 1 cos(x)+a 2 cos(2x)+a 3 cos(3x)+... +b 1 sen(x)+b 2 sen(2x)+b 3 sen(3x)+... Donde los coeficientes a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,b 1 ,b 2 ,b 3 ,... Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

27. Series de Fourier Para k=0,1,2,3,4,... La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2  ] si f(x) está en L 2 . Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

28. Series de Fourier Ejemplo : Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

29. Series de Fourier Solución : Calculamos los coeficientes a k : en forma similar para los coeficientes b k : Por lo cual, la serie de fourier queda:

30. Series de Fourier En la siguiente figura se muestran la primera y la quinta componentes de la serie:

31. Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

32. Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

33. Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

34. Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

35. Series de Fourier Tarea : 1) Obtener la serie de Fourier para la siguiente función: 2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el fenómeno de Gibbs para la función del inciso anterior

36. Series de Fourier Funciones Pares e Impares: Una función par es una función simétrica respecto al eje vertical, es decir, f(x) es par si f(x) = f(-x)

37. Series de Fourier En forma similar, una función f(x) se dice función impar si es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente -f(x) = f(-x)

38. Series de Fourier Ejemplo : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x 2 +1), h(x)=i(x 2 ) donde i es una función arbitraria. Solución : Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar. Como g(-x)=1/((-x) 2 +1)=1/(x 2 +1)=g(x), g es función par. Como h(-x) = i((-x) 2 ) = i(x), h es función par.

39. Series de Fourier Tarea : ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x 3 -1/x, g(x)=x 2 /(x 2 +1), h(x)=i(x 2 +1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar.

40. Series de Fourier Como la función sen(kx) es una función impar para todo k  0 y la función cos(kx) es una función par para todo k, es de esperar que: Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto b k =0 para todo k Si f(x) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto a k =0 para todo k

41. Aproximación de Funciones En ocasiones se busca expresar una función f(x) en términos de otra función, o funciones más sencillas, esto es especialmente útil para simplificar cálculos o modelar comportamientos en forma aproximada. En este caso es posible simplemente truncar una serie a partir de algún término, o bien, obtener la aproximación mediante proyección ortogonal .

42. Aproximación de Funciones Sea una función f que se desea aproximar como la C. L. finita siguiente: f =c 1 g 1 +c 2 g 2 +...+c n g n Donde g 1 ,g 2 ,...,g n son n funciones arbitrarias, mediante las cuales se desea expresar f. Tomando el producto interno con cada función g, obtenemos: <f,g 1 > = c 1 <g 1 ,g 1 >+c 2 <g 2 ,g 1 >+...+c n <g n ,g 1 > <f,g 2 > = c 1 <g 1 ,g 2 >+c 2 <g 2 ,g 2 >+...+c n <g n ,g 2 > . . . <f,g n > = c 1 <g 1 ,g n >+c 2 <g 2 ,g n >+...+c n <g n ,g n >

43. Aproximación de Funciones Lo cual puede ser expresado en forma matricial como:

44. Aproximación de Funciones Ejemplo : ¿cómo aproximar la función f(x) =  x mediante una recta que pasa por el origen en el intervalo [0,1]? Solución : sea g(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=cg(x), donde c=<f,g>/<g,g>, es decir:

45. Aproximación de Funciones Ejemplo : ¿cómo aproximar la función f(x) =  x mediante una recta que no pasa por el origen en el intervalo [0,1]? Solución : sea g 1 (x)=1, g 2 (x)=x, buscamos la aproximación f(x)=c 1 g 1 (x)+c 2 g 2 (x), resolvemos el sistema de ecuaciones: Es decir, De donde c 1 =4/15 c 2 =4/5

46. Aproximación de Funciones Con lo cual, la recta obtenida es f(x)=0.26666 +0.8x

47. Aproximación de Funciones Tarea : Obtener el polinomio de grado 2 que aproxima a f(x)=  x en el intervalo [0,1] y dibujar las dos gráficas juntas

48. Polinomios de Legendre Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente: La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.

49. Polinomios de Legendre Por ello, los polinomios {1, x, x 2 , x 3 ,...,x n } no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1] Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1] Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

50. Polinomios de Legendre Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre 1 / 8 (63x 5 -70x 3 +15) 5 1 / 8 (35x 4 -30x 2 +3) 4 ½(5x 3 -3x) 3 ½(3x 2 -1) 2 x 1 1 0 P n (x) n

51. Polinomios de Legendre Tarea : Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales. ½(5x 3 -3x) 3 ½(3x 2 -1) 2 x 1 1 0 P n (x) n

52. Polinomios de Legendre Ejemplo : Expresar la función h(x)=cos(    x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre. Solución : obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(    x)  c 0 P 0 (x)+c 1 P 1 (x)+C 2 P 2 (x):

53. Polinomios de Legendre Con lo cual, la aproximación obtenida es cos(    x)  f(x) = 2 /  + 10 /   P 2 (x)

54. Polinomios de Legendre Tarea : Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(    x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre. Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.