Los fractales son entidades matemáticas que se caracterizan por su autosimilitud y se encuentran en muchos fenómenos naturales. Son el resultado de procesos geométricos repetitivos que generan estructuras complejas a diferentes escalas. Aunque no todos los fractales comparten las mismas propiedades, suelen exhibir autosimilitud estadística, cuasiautosimilitud o autosimilitud exacta. Los fractales se utilizan para modelar diversos sistemas como montañas, árboles, costas, crecimiento celular, tráfico

3. Los fractales son entidades matemáticas
que están por todas partes.
Y, precisamente, por su variedad, son
difíciles de definir porque no todos
cumplen las mismas
características, aunque hay algo en
común: son el producto de la repetición de
un proceso geométrico elemental que da
lugar a una estructura final de una
complicación extraordinaria. Es decir, da
como resultado un conjunto cuya frontera
es imposible dibujar a pulso(por ser de

4. naturaleza que, debido a su estructura o
comportamiento, son considerados fractales
naturales aunque no lo parezcan: las
nubes, las montañas, las costas, los árboles y
los ríos. En lo que se diferencian de los
fractales matemáticos es que éstos son
entidades infinitas.
Características:
Autosimilitud
Según B. Mandelbrot, un objeto
es autosimilar o autosemejante si sus partes
tienen la misma forma o estructura que el

5. Todo, aunque pueden presentarse a diferente
escala y puede estar ligeramente
deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos
de autosimilitud :
* Autosimilitud exacta: este es el tipo más
restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal
parezca idéntico a diferentes escalas. A
menudo la encontramos en fractales definidos
por sistemas de funciones iteradas.
* Cuasiautosimilitud: exige que el fractal
parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo

6. contienen copias menores y distorsionadas de
sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió
el concepto de conjunto cuasiauto-similar a
partir del concepto de cuasi-isometría. Los
fractales definidos por relaciones de
recurrencia son normalmente de este tipo.
*Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil
de autosimilitud: se exige que el fractal tenga
medidas numéricas o estadísticas que se
preserven con el cambio de escala. Los
fractales aleatorios son ejemplos de fractales
de este tipo.

7. Tipos:
*De acuerdo a la linealidad, se describen
dos tipos de fractales:
-Fractales lineales: Los fractales lineales son
aquellos que se construyen con un cambio
en la variación de sus escalas. Esto implica
algo muy importante, los fractales lineales
son exactamente idénticos en todas sus
escalas hasta el infinito. Es decir si vemos
una parte específica muy pequeña de una
forma fractal la veremos igual o similar a la
forma original del fractal, solamente que
más pequeña.

8. -Fractales no lineales: Los fractales no lineales
se generan creando distorsiones no lineales o
complejas. Es decir son fractales que
presentan una estructura similar, pero no son
exactamente igual a su original. Si vemos de
cerca una parte específica de un fractal se
parecerá al original pero tendrá unas
pequeñas variaciones.
Dimensiones:
La geometría tradicional o euclidiana
distingue las siguientes dimensiones: 1, 0, 1, 2, 3.

9. *Dimensión -1: Realmente esta dimensión
representa el vacío.
*Dimensión 0: Un punto no tiene dimensión
alguna porque no tiene longitud, anchura o
profundidad.
*Dimensión 1: Una línea (formada por
infinitos puntos) es unidimensional ya que
sólo tiene longitud. Si dividimos por la mitad
la medida de la longitud de un objeto
unidimensional, obtenemos dos objetos
pequeños de idéntica apariencia al objeto
original.
*Dimensión 2: Un plano es bidimensional
porque tiene longitud y anchura. Si lo

10. dividimos por su longitud y su anchura
obtenemos 4 planos.
*Dimensión 3: Un cubo es tridimensional ya que
tiene longitud, anchura y profundidad. Si
dividimos exactamente por la longitud, la
anchura y la profundidad obtenemos 8 cubos
más pequeños.
Historia:
Los fractales fueron concebidos
aproximadamente en 1980 por el francés Henri
Poincare. Sus ideas fueron extendidas mas tarde
fundamentalmente por dos matemáticos

11. también franceses, Gaston Julia y Pierre
Fatou, hacia 1918. Se trabajo mucho en este
campo durante varios años, pero el estudio
quedo congelado en los años 20.
El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y
fue fuertemente impulsado por el desarrollo de
la computadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la
Universidad de Yale, con sus experimentos de
computadora, es considerado como el padre de
la geometría fractal. En honor a él, uno de los
conjuntos que el investigo fue nombrado en su
nombre.
Otros matemáticos, como Douady, Hubbard y
Sullivan trabajaron también en esta área

12. explorando mas las matemáticas que sus
aplicaciones.
Desde la década del 70 este campo ha estado
en la vanguardia de los matemáticos
contemporáneos. Investigadores como el Dr.
Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston
ha estado explorando esta rama de la
matemática con la ayuda de las computadoras
modernas.
Benoit Mandelbrot (1924-2010) :
Principal creador de la Geometría Fractal
(término que él mismo acuñó), al referirse al
impacto de esta disciplina en la concepción e

13. Interpretación de los objetos que se encuentran
en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal
Geometry of Nature en el que explicaba sus
investigaciones en este campo. Supo utilizar la
herramienta que se estaba popularizando en
ésta época, el ordenador, para trazar los más
conocidos ejemplos de geometría fractal: el
conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como
los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston
Julia quien inventó las matemáticas de los
fractales, desarrollados luego por Mandelbrot.

14. Convergencia de métodos numéricos, también se utilizan
para estudiar los resultados de resolver ecuaciones de grado
superior a dos.

15. Las nubes, las montañas, los árboles, las líneas
costeras, paisajes fractales o los copos de nieve son fractales

16. Crecimiento de tejidos, sistema nervioso, organización
celular, evolución de las poblaciones, etc.

17. Se utiliza en pinturas artísticas, como paisajes
fractales, árboles, hojas, flores y otros objetos.

18. Composición musical. Ciertas músicas, incluyendo las de
Bach, Beethoven y las de Mozart, cumplen con las propiedades fractales.

19. Modelado de tráfico en redes.

20. Técnicas de compresión (imágenes, audio y video).

21. Transiciones en fase de magnetismo, modelado en sistemas
dinámicos.