Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas de manera que se ve igual independientemente de la distancia desde la que se observe. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza y fueron definidos formalmente por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Se construyen mediante la repetición recursiva de una forma geométrica a escalas decrecientes.

1. ¿Qué son los fractales?
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es
decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto,
observaremos siempre la
misma estructura. De
hecho, somos incapaces de
afirmar a qué distancia nos
encontramos del objeto, ya
que siempre lo veremos de
la misma forma.
El termino fractal (del Latín
fractus) fue propuesto por el
matemático Benoît
Mandelbrot en 1975. En la
naturaleza encontramos
muchas estructuras con
geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu
Características
Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven
a tener el mismo aspecto independientemente de cuál sea la escala que
utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos
mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica
recursiva.
Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación
práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el
propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los
fractales para construir modelos que explicasen la realidad, desde un
inicio Mandelbrot, se dedicó al problema de medir la costa de gran
Bretaña usándolos.

2. ¿Cómo se construyen?
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de
construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el
triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla:
dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su
interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.
Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:
Como puede verse, la estrategia más
sencilla para conseguir un fractal, es coger una
figura y reproducirla en versiones más pequeñas.
Sin embargo, se pueden conseguir objetos
muchos más complejos.
El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los
años setenta, pero no fue hasta una década
más tarde cuando pudo representarse
gráficamente con un ordenador. Este conjunto
se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente
sucesión:

3. Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la
sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no,
queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677,
etc.(0, 1=02+1,2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -
0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al
conjunto y c=1 no.
Si además consideramos números complejos,
obtenemos la siguiente figura:
Clasificación de los Fractales
Existen diferentes formas de clasificar los fractales de acuerdo a las
propiedades que los describen.
Autosimilitud exacta: Este es el tipo más
restrictivo de autosimilitud; exige que el fractal
parezca idéntico a diferentes escalas. Estos
tienen una regla de punto fijo geométrico.
Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca
aproximadamente idéntico a diferentes escalas.
Los fractales de este tipo contienen copias
menores y distorsionadas de sí mismos.
Matemáticamente D.Sullivan definió el
concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir
del concepto de cuasi-isometría.
Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de
autosimilitud, se exige que el fractal tenga
medidas numéricas o estadísticas que se
preserven con el cambio de escala. Los fractales
aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

4.  De acuerdo a la linealidad, se describen dos tipos de fractales:
Fractales lineales: Los fractales lineales son aquellos que se construyen
con un cambio en la variación de sus escalas. Es decir si vemosuna parte
específica muy pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a
la forma original del fractal, solamente que más pequeña.
Fractales no lineales: Los fractales no lineales se generan creando
distorsiones no lineales o complejas. Es decir son fractales que presentan
una estructura similar, pero no son exactamente igual a su original.