Este documento presenta información sobre funciones de Bessel, la regla de Carson y modulación exponencial. En particular, describe: 1) Las funciones de Bessel son soluciones de ecuaciones diferenciales que surgen en problemas de propagación de ondas en coordenadas cilíndricas o esféricas. 2) La regla de Carson establece que casi toda la potencia de una señal modulada en frecuencia se encuentra dentro de un ancho de banda determinado por la desviación máxima de frecuencia y el ancho de banda de la

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armadas
Bolivariana
U.N.E.F.A.
NÚCLEO GUACARA
Función Bessel, regla de Carson y modulación
Exponencial.
Alumna:
Mendoza Luz Marbeliz
Sección: G-004-N
Profesor:
Carlos Vicuña
Guacara, 27/01/2010

2. Función de Bessel
Son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:
Donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un
entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se
denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de
Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en
coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son
especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas. se
obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en
coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α =
n + 1 / 2), por ejemplo:
• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.
• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.
• Conducción del calor en objetos cilíndricos.
• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de
anillo).
• Difusión en una red.
Funciones de Bessel ordinarias
Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones
de Bessel de orden α son soluciones de la ecuación de Bessel. Existen dos
formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de
Bessel con parámetro α, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias
de primera y de segunda especie.

3. Funciones de Bessel de primera especie: Jα
Las funciones de Bessel de primera especie y orden α son las soluciones de la
ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no
negativos α y divergen en el límite para α negativo no entero.
Estas funciones cumplen que:
• Si , entonces Jα(x) y J (x) son linealmente independientes, y por
− α
tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.
• Si , entonces J − α(x) no está definida en x = 0.
• Si , entonces se cumple: J −n(x) = (− 1)nJn(x), por lo que las dos
soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la
segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de
segunda especie.
Las gráficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias
(como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a
(como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo),
aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de
forma asintótica para grandes x.

4. Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1,2.
Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:
Propiedades de las funciones de Bessel ordinarias
Integrales de Bessel
Otra definición de las funciones de Bessel para valores enteros de n es la
siguiente representación integral de la función de Bessel:
Esta fue la forma con la que Bessel definió a estas funciones y de esta definición
obtuvo distintas propiedades de la función. Otra representación integral es la
siguiente:
Relación con las series hipergeométricas
Las funciones de Bessel se pueden expresar en función de las funciones
hipergeométricas como:

5. Solución general de la ecuación de Bessel
La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α viene
dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de
Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:
Donde A y B son dos constantes arbitrarias.
Funciones de Bessel modificadas
Las funciones de Bessel modificadas son similares a las funciones de Bessel
ordinarias pero están relacionadas con la solución general de la ecuación de
Bessel modificada:
(3)
Funciones de Bessel modificadas de primera especie: Iα
Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden α vienen dadas
por:

6. Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente
igualdad:
.
• Si entonces Iα(x) y I − α(x) son linealmente independientes, y por tanto
dan una solución general de la ecuación de Bessel.
• Si entonces J − α(x) no está definida en x = 0.
Casos particulares:
Funciones de Bessel modificadas de segunda especie: Kα
Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden α se definen a
partir de las funciones modificadas de primera especie para órdenes no enteros
mediante las siguientes fórmulas:
Para los casos en los que α sea entero ( ), tenemos que tomar el límite
del orden no entero al entero así:

7. Además se puede escribir esta función a partir de la función de Hankel de primera
especie así:
Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie han sido también
llamadas:
• Funciones de Basset
• Funciones de Bessel modificadas de tercera especie
• Funciones de MacDonald
Las funciones de Bessel modificadas, al contrario que las usuales, no tienen un
comportamiento oscilante pseudo-aleatorio, sino que las de primera especie
presentan un crecimiento exponencial y las de segunda especie una atenuación
también exponencial:
Solución general de la ecuación de Bessel modificada.
La solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro
α viene dada por:
Donde A y B son dos constantes arbitrarias.
Regla de Carson

8. La regla de Carson es conocida en telecomunicaciones referente al ancho de
banda, y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98%) de una
señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está
comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora)
de BT = 2(fΔ + fm)
donde fΔ es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un
efecto de modular en frecuencia, al igual que en Amplitud Modulada (AM) se
define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc
(asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y donde fm es el ancho de
banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para
la señal modulada).
Modulación Exponencial
La modulación exponencial no es un proceso lineal, por lo tanto no existirá una
relación lineal entre el espectro de la señal moduladora (datos) y el espectro de la
señal modulada.
También en este caso es necesario un ancho de banda mayor que el necesario en
modulación de amplitud, pero tiene el beneficio de permitir incrementar la relación
señal/ruido sin que se tenga que incrementar la potencia transmitida. Además este
tipo de señales son más robustas frente al ruido y a la interferencia.
Consideremos tener una señal portadora expresada de la siguiente manera:
vp(t) = Vp sen θp(t)
donde θp(t) es el ángulo en función del tiempo. Por lo tanto podemos decir que
θp(t) está dado por la siguiente expresión
θp(t) = 2π fp t + Φ(t)
y reemplazando obtenemos

9. vp(t) = Vp sen [2π fp t + Φ(t)]
Si en esta última expresión consideramos que la modulación hace variar la
frecuencia fp, se tendrá modulación de frecuencia; mientras que si consideramos
que la modulación hace variar Φ, tendremos modulación de fase.
Función de Bessel modira especie, Iα(1,2,3
Función de Bessel modificada de segunda especie, Kα(x), para α=0,1,2,3