El documento aborda conceptos fundamentales de funciones de varias variables, incluyendo continuidad, derivadas parciales, gradiente y diferencias totales. También se discuten métodos como los multiplicadores de Lagrange y se introducen aplicaciones en cálculo, integrales dobles y triples, así como leyes físicas asociadas a campos eléctricos y magnéticos. Finalmente, se menciona el teorema de Green y su relación con integrales de línea e integrales dobles.

1. FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
BACHILLER:
EUDIMAR FIGUERA
C. I 30 720 731
ING. INDUSTRIAL

2. LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN EL ESPACIO R
 Intuitivamente, una función es continua si su grafica puede dibujarse en un solo trazo, es
decir, sin levantar el lápiz del papel.
 Función en espacio R
Los espacios de funciones juegan un papel de primera importancia en las aplicaciones de la
matemática. Muchos problemas de optimización, ecuaciones diferenciales y el calculo de
variaciones se resuelven de manera estructura dentro de estos espacios.
Una función f: A R se dice acotadas, si existe un numero real K, tal que
/ f (x) / < k, para todo x en A

3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (EN EL
ESPACIO R)
 Sea una fusión de dos variables z = f(x,y), se define las derivadas parcial
(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una
variables)
Para la derivación de Z «respecto de x» consideramos a la variable «y» como si fuera
una constante, mientras que al hacer la derivada de z «respecto de y» considerada a la
«x» como si fuera una constante

4. DERIVADAS PARCIALES
 El calculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la
derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como
constante. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial, geométricamente
diferencial, funciones analítica, física, matemática etc.
La derivada parcial de una función F respecto a la variable x se representa con
cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes.

5. DIFERENCIA TOTAL
 En análisis matemático, la diferencia total de una función real de diversas
variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos
componentes ( coeficientes ) son los del gradiente de la función.
Fundamentalmente la diferencial total de una función es 1-forma de forma
pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio
vectorial de dimensión n, donde n es el numero de las variables dependientes de la
función. Por ejemplo, si z= z(x,y) una función diferenciable entonces el diferencial
total z es:

6. GRADIANTE
 En matemática, el «gradiente» es una generalización multivariable de la
derivada. Mientras que una derivada se puede definir solo en funciones de una
sola variable, para funciones de varias variables, el gradiente toma su lugar. El
gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es
una función de valor escalar.
Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la línea tangente a
la grafica de una función. La magnitud de la gradiante es la pendiente de la grafica
en esa dirección.

7. DIVERGENCIA Y ROTOR
 La divergencia es un campo vectorial
 En escala

8.  El rotacional de un campo vectorial
 Es el vector

9. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
 Plano tangente a una superficie
Sea z= f(x,y) un función escalar con derivadas parciales continuas en (a.b) del
dominio f. El plano tangente a la superficie en el punto P(a,b,f(a,b) es el plano que
paso por P y contiene a las rectas tangentes a la dos curvas.
Ecuación del plano tangente
Dirección de un vector normal del plano tangente a la superficie P es:

10.  Recta normal
Sea una función escalar con derivadas parciales continuas (a, b) del dominio de . La
recta pasa por punto P ( a, b, f(a, b)) en el vector.
Se conoce como recta normal a la superficie en puntos en el punto P.
 Ecuación de la recta normal

11. REGLA DE LA CADENA
 El calculo, la regla de la cadena es una formula para la derivada de la composición
de dos funciones. Tiene aplicaciones en el calculo algebraico de derivadas cuando
existe composición de funciones.
El termino algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma
que si f es diferenciable en f(x), entonces la función compuesta (g o f) = g(f(x) es
diferenciable en x, y.

12. JACOBIANO
 El calculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al
determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el
determinante jacobiano.
En geometria algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad
jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede
ser cambiada
 Matriz Jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivas parciales de primer
orden de una función.

13. EXTREMOS RELATIVOS
 Si f es derivariable en a, a es un extremo relativo local
 Mínimos locales
Si f y f¨ son derivables en a, a es minimo relativo o local si se cumple

14. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
 Este método dice que los puntos donde la función tiene un extremo
condicionado con K restricciones, son llamadas multiplicadores de Lagrange.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de
varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y
encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las
variables independientes de la función sean igual a cero.

16. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES
 Integrales dobles
Sea una función de dos variables f=f(x,y), definida en un recinto cerrado s de R y
subdividimos este recinto S en pequeños rectángulos de longitudes Dxi, Dyi.
En cada uno de estos trozos de superficie DSj, tomamos unpunto interior Pi( Xi,Yi)
para la integral doble de f(x,y) el reccinto cerrado s.

17. INTEGRALES TRIPLES

18. GAUSS
 En física la ley de Gauss, relacionada con el Teorema de la divergencia o Teorema
de Gauss, establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie
cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en
el interior de la misma superficie. Estos campos son aquellos cuya intensidad
decrece como la distancia a la fuente al cuadrado.
 La constante de proporcionalidad La ley de Stokes puede escribirse como:
 Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga
eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo
magnetos tatico.

19. LEY DE AMPERE
 En física del magnetismo, la ley de Ampère, modelada por el francés André-
Marie Ampère en 1831, relaciona un campo magnético estático con la causa, es
decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió
posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del
electromagnetismo de la física clásica.
 Una corriente eléctrica produce un campo magnético, siguiendo la ley de
Ampère.

20. LEY DE STOKES
 La ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos
esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminarde
bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851por George Gabriel Stokes tras
resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de
Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a
velocidades bajas. La ley de Stokes puede escribirse como:
Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas, la gravitatoria y
la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su aceleración se vuelve nula y su
velocidad constante.

21. TEOREMA DE GREEN
 En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre un integral de
línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la
región plana D limitada por C.
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y
resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sean D una región simple cuya frontera es una curva C suave a trozos orientada en
sentido positivo, si
es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que
contiene contiene a D entonces