Presentación: https://youtu.be/D6kh7OzJAG0 Funciones de Legendre Polinomios de Legendre Propiedades de los polinomio de Legendre

1. Integrantes:
• Cristina Molina
• Nicole Flores
• Doménica Zhindon

2. 1 − 𝑥2
y’’
)𝑎1
)𝑎2
)𝑎3

3. 𝑎2𝑛+1

5. Con n=k que también satisface la solución Pn(1)=1
Utilizando los resultados de la ecuación 41.16
obtenemos lo siguiente
El polinomio de legendre Pn(x) se define como la solución
polinomica de la ecuación de lengendre.
Obtención de
Polinomios

6. Ecuaciones
01
Con
n=0,1,2,3,4…..
n=0,1,2,3,4…….
En la ecuación 41.23 cambiamos el numerar dos por -(k-n)(k+n+1) y la escribimos como

7. Podemos Realizar algunas
demostraciones
Describe brevemente lo que deseas
exponer.

8. Obtención de
polinomios
Tenemos estas ecuaciones:

9. Ejemplo

10. Para realizar los primeros plinomios de legenndre se debe
tener en cuenta que Pn(1)=1.
Entomces de está forma los primeros polinomios son :

11. Un polinomio de Legendre de grado n tiene exactamente n ceros reales distintos en el
intervalo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Pn(1)=1
 P0(x)=1
 P1(x)=x
 P2(x) =
1
2
(3𝑥2 − 1)
• P3(x) =
1
2
(5𝑥3 − 3x)
 P4(x) =
1
2
(35𝑥4
− 30𝑥2 + 3)

12. P0(x)=1
No tiene ceros reales
P1(x)=x
Tiene un cero real
X=0

13. P2(x) =
1
2
3𝑥2 − 1
Tiene 2 ceros reales
X=-0.577
X=0.577
• P3(x) =
1
2
5𝑥3 − 3x
• Tiene 3 ceros reales
• X=-0.775
• X=0
• X=0.775

14. P4(x) =
1
2
35𝑥4
− 30𝑥2 + 3
Tiene 4 ceros reales
X=-0.861
X=-0.34
X=0.861
X=0.34
Pn(1)=1

15. 41.41 (1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2)
−1
2 = 𝑃0 𝑥 + 𝑃1 𝑥 𝑡 + 𝑃2 𝑥 + ⋯ + 𝑃𝑛(𝑥)𝑡𝑛+…,
si lxl ≤ 1, ltl <1.
El desarrollo en serie de Maclaurin de (1 + 𝑢)𝑘
, llamado una serie binomial, es
(a) (1 + 𝑢)𝑘= 1 + 𝑘𝑢 + 𝑘(𝑘−1)
2! 𝑢2 + ⋯ + 𝑘 𝑘−1 .. 𝑘−𝑛+1
𝑛! 𝑢𝑛 + ⋯
válido para aquellos valores de u y k para los cuales la serie converge. Si k =-1/2
la serie converge para lul < 1. Escribamos ahora el miembro de la mano izquierda
(b) 1 + 𝑡 𝑡 − 2𝑥
−1
2 = 1 +
1
2
𝑡 2𝑥 − 𝑡 +
1
22
3
2
𝑡2
2𝑥 − 𝑡 2
+ ⋯ +
1∗3∗5∗∗∗ 2𝑛−1
2𝑛𝑛!
𝑡𝑛
2𝑥 − 𝑡 𝑛
+ ⋯
= 1 +
1
2
2𝑥𝑡 − 𝑡2
+
3
222
4𝑥2
− 4𝑥𝑡 + 𝑡2
+ ⋯ +
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ 2𝑛 − 1
2𝑛𝑛!
𝑡𝑛
2𝑥 − 𝑡 𝑛
+ ⋯

16. = 1 +
1
2
2𝑥𝑡 − 𝑡2 +
3
222
4𝑥2 − 4𝑥𝑡 + 𝑡2 + ⋯
+
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ 2𝑛 − 1
2𝑛𝑛!
𝑡𝑛 2𝑥 − 𝑡 𝑛 + ⋯
Podemos ver para los coeficientes
 𝑡0
=1
 t=
1
2
2𝑥 = 𝑥
 𝑡2
=
−1
2
+
3
222
(4𝑥2
) =
1
2
(3𝑥2
−1)
Podemos ver que estos coeficientes son:
• P0(x)=1
• P1(x)=x
• P2(x) =
1
2
(3𝑥2
− 1)

17.  El coeficiente del termino general 𝑡𝑛 es la suma de los coeficientes de 𝑡𝑛 . Por lo
tanto, el coeficiente total de es
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ (2𝑛 − 5)(2𝑛 − 3)(2𝑛 − 1)
2𝑛−2 (2𝑛 − 3)(2𝑛 − 1)
∗
𝑛
𝑛
𝑛 − 1
𝑛 − 1 𝑛 − 2 !
∗
(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
2!
2𝑛−4𝑥𝑛−4
=
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ (2𝑛 − 1)
𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
2 ∗ 4(2𝑛 − 1)(2𝑛 − 3)
𝑥𝑛−4

18.  El ultimo termino puede ser escrito como:
 (f)
1.3.5…(2𝑛−1)
𝑛!
∗ 𝑥𝑛 −
𝑛 𝑛−1
2 2𝑛−1
𝑥𝑛−2 +
𝑛 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3
2∗4 2𝑛−1 2𝑛−3
𝑥𝑛−4 + ⋯
Una comparación de (f), que es el coeficiente Pn(x) de 𝑡𝑛
de (41.41), con
el polinomio Pk(X) de (41.31) muestra que con k reemplazada por n, la primera
tres términos de cada uno son iguales. Si hubiéramos usado más términos de la serie del
binomio , habríamos obtenido términos adicionales en (f). Nótese también la similitud del
coeficiente en (f) con el valor de 𝑎𝑘 como se da en (41.3). De hecho, este valor se le dio a 𝑎𝑘
para mantener la identidad (41.41).
Pk(x)=
1.3.5…(2𝑘−1)
𝑘!
∗ 𝑥𝑘 −
𝑘 𝑘−1
𝑘 2𝑘−1
𝑥𝑛−2 +
𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑘−3
2∗4 2𝑘−1 2𝑘−3
𝑥𝑘−4 + ⋯

19. Si x =1, el lado izquierdo de (41.41) se simplifica a, simplificando
obtenemos:
1 − 2𝑡 + 𝑡2 −1/2
= (1 − 𝑡)−1
cuya expansión en serie es
1 + 𝑡 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛 … , 𝑡 < 1.
Comparando coeficientes podemos observar para x=1
Po(1)=1, P1(1)=1, P2(1)=1, Pn(1)=1

20.  Si x=0 en el lado izquierdo de la ecuación obtenemos.
(1 + 𝑡2)−1/2
1 −
1
2
𝑡2
+
1
2
∗
3
4
𝑡4
− ⋯ + −1 𝑛
1 ∗ 1 … 2𝑛 − 1
2 ∗ 4 … 2𝑛
𝑡2𝑛
… , 𝑡 < 1
Comparando coeficientes podemos observar para x=0
𝑃1 0 = 0, 𝑃3 0 = 0, … , 𝑃2𝑛−1 0 = 0
𝑃0 0 = 1, 𝑃2 0 = −
1
2
𝑃4 0 =
1
2
∗
3
4
, . . ,
𝑃2𝑛 0 = −1𝑛 1∗3…(2𝑛−1)
2∗4…(2𝑛)

21.  Si x=-1
 1 − 2𝑡 + 𝑡2 −1/2 = (1 − 𝑡)−1= 1 − 𝑡 + 𝑡2 − 𝑡3 + 𝑡4 − ⋯ , 𝑡 < 1
 Comparando coeficientes podemos observar para x=-1
𝑃0 −1 = 1, 𝑃1 −1 = −1 𝑃2 −1 = 1
𝑃3 −1 = 1, 𝑃𝑛 −1 = −1𝑛

22. Derivamos con respecto a t (41.41) , obtenemos

−1
2
1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2
−3
2 (−2𝑥 + 2𝑡) = 𝑃1 + 2𝑃2𝑡 + ⋯ + 𝑃𝑛𝑡𝑛−1+…,
Multiplicamos por 1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2
, obtenemos:
 (𝑥 − 1) 1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2
−1
2 = 1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2 ∗ 𝑃1 + 2𝑃2𝑡 + ⋯ +

23.  Podemos escribir como:
𝑥 𝑃0 + 𝑃1𝑡 + ⋯ + 𝑃𝑛𝑡𝑛 + ⋯ , − 𝑃0𝑡 + 𝑃1𝑡2 + ⋯ + 𝑃𝑛−1𝑡𝑛 + ⋯ ,
= 𝑃1 + 2𝑃2𝑡 + ⋯ + n + 1 𝑃𝑛+1𝑡𝑛 + ⋯
− 2𝑥 𝑃1𝑡 + ⋯ + n𝑃𝑛+1𝑡𝑛 + ⋯
+ 𝑃1𝑡2
+ ⋯ + (𝑛 − 1)𝑃𝑛−1𝑡𝑛
+ ⋯ ,
Igualando el coeficiente de 𝑡𝑛
a ambos lados del signo igual,
obtenemos
𝑥𝑃𝑛 − 𝑃𝑛−1 = 𝑛 + 1 𝑃𝑛+1 − 2𝑥𝑛𝑃𝑛 + (𝑛 − 1)𝑃𝑛−1
Vamos a simplificar con la fórmula de recursión:
 𝑛 + 1 𝑃𝑛+1 𝑥 − 2𝑛 + 1 𝑥𝑃𝑛 𝑥 + 𝑛𝑃𝑛−1 𝑥 = 0
𝑛 = 1,2, …

24. Verificamos
𝑃1 𝑥 − 𝑥𝑃0 𝑥 = 0
Cuando
𝑛 = 1: 2𝑃2 𝑥 − 3𝑃1 𝑥 + 𝑃0 𝑥 = 0
𝑛 = 2: 3𝑃3 𝑥 − 5𝑃2 𝑥 + 2𝑃1 𝑥 = 0
 P0(x)=1
 P1(x)=x
 P2(x) =
1
2
(3𝑥2
− 1)
• P3(x) =
1
2
(5𝑥3
− 3x)
 P4(x) =
1
2
(35𝑥4
− 30𝑥2
+ 3)

25. 𝑃𝑛 𝑥 =
1
𝑛! 2𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2
− 1 𝑛
• Prueba de la formula
La serie binomial de expansión 𝑥 − 1 𝑛 puede ser escrita como:
𝑥 − 1 𝑛
=
𝑘=0
𝑛
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑥𝑛−𝑘
𝑥2 − 1 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
(𝑥2)𝑛−𝑘

26. Tomando n sucesivas derivadas de 𝑥2𝑛−2𝑘
obtenemos para
nth derivadas
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2𝑛−2𝑘
= 2𝑛 − 2𝑘 2𝑛 − 2𝑘 − 1 … (𝑛 − 2𝑘 + 1)𝑥𝑛−2𝑘
2𝑘 ≤ 𝑛
𝑛 < 2𝑘
Por la definición de una función factorial, podemos escribir
como:
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛 𝑥2𝑛−2𝑘
=
2𝑛−2𝑘 !
𝑛−2𝑘 !
𝑥𝑛−2𝑘
, 2𝑘 ≤ 𝑛, =0,𝑛 < 2𝑘

27. 𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2
− 1 𝑛
=
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
2𝑛 − 2𝑘 !
(𝑛 − 2𝑘)"
𝑥𝑛−2𝑘
𝑃𝑛 𝑥 =
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
1
𝑛! 2𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
2𝑛 − 2𝑘 !
(𝑛 − 2𝑘)"
𝑥𝑛−2𝑘
=
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
2𝑛 − 2𝑘 !
2𝑛𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑛 − 2𝑘 !
𝑥𝑛−2𝑘
Una comparación de con la muestra que son similares. (intercambio n y k en
cualquiera de las ecuaciones.)
𝑃𝑘(𝑥) =
𝑛=0
𝑘/2
1
2𝑘
(−1)
𝑛
2𝑘 − 2𝑛 !
𝑛! 𝑘 − 2𝑛 ! 𝑘 − 2𝑛 !
𝑥𝑘−2𝑛

33. • P0(x)=1
• P1(x)=x
• P2(x) =
1
2
(3𝑥2 − 1)
• P3(x) =
1
2
(5𝑥3 − 3x)
• P4(x) =
1
2
(35𝑥4
− 30𝑥2 + 3)
Y que queremos expresar 𝑥3como una combinacion lineal de los polinomios de
Legendre, en este caso vamos a trabajar con el P3(x)

34. 𝑃3(𝑥) =
1
2
(5𝑥3 − 3x)
5
2
𝑥3 = 𝑃3(𝑥)
3
2
𝑥
𝑥3 =
2
5
𝑃3(𝑥)
2
5
3
2
𝑥
𝑥3 =
2
5
𝑃3(𝑥)
3
5
𝑥
Aquí tenemos expresado 𝑥3en terminos de 𝑃3 𝑥 :
𝑥3 =
2
5
𝑃3(𝑥)
3
5
𝑃1(𝑥)