El documento presenta información sobre vectores, ángulos entre vectores, planos y puntos coplanarios. Explica cómo calcular los cosenos directores de un vector, el ángulo entre dos rectas, la ecuación general de un plano y cómo determinar si varios puntos son coplanarios. Incluye ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Lara
Integrantes:
Victor Freitez
Andrés García
Karina Parra
Sección: 1T1IS

2.  Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema o de
coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los
ángulos a que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes
coordenados.
 Sus formulas son:

3.  Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la
siguiente fórmula:
 Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en
la formula correspondiente a su eje.
 Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de
cosenos.

4.  Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del
vector (4, 5, 3).

5.  Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos
que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
 Sus vectores:
 Sus pendientes:

6.  Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus
vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3).
 Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo
obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo.

7.  Ecuación general del plano:
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
El sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ. Por
ende, el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los
términos independientes tiene que ser igual a cero.
Se desarrolla el determinante:

8. Se le dan valores:
Se sustituye:
Se le da el valor a D y realizan las operaciones:
Obteniendo como resultado la ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:

9.  Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y
contiene a la recta de ecuación:
De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .

10. Puntos Coplanarios
 Dos o más vectores son coplanarios si:
* Son linealmente dependientes, y por lo tanto sus componentes son
proporcionales y su rango es 2.
* Los vectores determinados por ellos también son coplanarios.
Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y
(7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los
contiene.