La derivada se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. La recta tangente solo intersecta la curva en un punto, mientras que la recta secante intersecta en dos o más puntos. Cuando el cambio en el eje x (Δx) tiende a cero, la recta secante se aproxima a la tangente. El cálculo del límite de la pendiente de la recta secante equivale al cálculo de la pendiente de la tangente y es equivalente a la definición geométrica de la derivada.

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2. “Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la
recta tangente a la curva en un punto previamente establecido”
Confuso ?

3. Recta tangente: Es una recta que tiene solo un punto común con
una curva o función.
En la grafica se muestra
como ejemplo la recta
tangente a una
circunferencia (nótese que
solo existe un punto de
intersección entre los
objetos matemáticos).

4. Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia
en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el
eje horizontal (relación de cambio).
Notación:
y
m
x
y2 y1
m
x2 x1

5. Recta secante: Es una recta que interseca dos o más puntos de una
curva.

6. Si tenemos claros los conceptos en
los cuales se fundamenta la
definición su comprensión será muy
sencilla

7. Tenemos una recta tangente
y una secante con un punto
(a, f(a)) (a+∆x, f(a+ ∆x))
común P. Por otra parte la
secante pasa por los puntos P
y Q y la distancia entre ellos
sobre el eje x esta dada por
∆x. cada cuadro en la grafica
equivale a la unidad.
La pendiente de la recta secante esta dada por la relación:
f (a x) f (a ) f (a x) f (a )
m
a x a x

8. Analiza la siguiente secuencia de graficas y observa
como cambia la recta secante y el parámetro Δx.

12. • Que pasa con el valor de ∆x?
• Que pasa entre las rectas tangente y
secante?
• Para que la recta tangente y la recta secante
sean iguales como debería ser el valor de
∆x?
• Un limite podría ayudarnos con el análisis
de esta situación?

13. A partir de el análisis de la situación planteada podemos
determinar que la derivada esta dada por la siguiente
expresión:
Se lee derivada de d ( f ( x)) f (a x) f (a)
f(x) evaluada en lim
términos de x. dx x 0 x
A medida que ∆x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta
tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y la
relación planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la recta
tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definición geométrica de la
derivada).

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