Este documento presenta un ensayo sobre los límites de una función. Explica que los límites son uno de los conceptos más utilizados en análisis matemático y otras ciencias. Define formalmente el límite de una función como el valor al que se acerca la función cuando la variable tiende a cierto valor. También presenta propiedades de límites, diferentes tipos de indeterminaciones y la regla de l'Hôpital para calcular límites indeterminados. Finalmente incluye tablas de derivadas e integrales de funciones elementales.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
TRABAJO DE CALCULO DIFERENCIAL
NOMBRES: Guamialamá Henry Jonathan
CARRERA: Ingeniería Civil
DOCENTE: Dr. Vinicio Jaramillo, PhD
TEMA: Ensayo sobre Límites
FECHA: 27 de mayo de 2013

2. Límites de una Función
Los límites de una función son uno de los conceptos más utilizados
en análisis matemáticos y otras ciencias exactas. Esto se debe a sus
grandes aplicaciones y los beneficios que tiene el calcular el límite de
una función. Calcular el límite de una función en un punto x significa
acercarse a x por derecha y por izquierda tan cerca como uno desea y ver
qué sucede. Si luego de acercarme por derecha y por izquierda vemos que el
valor es el mismo, podemos decir que el límite en ese punto es ese valor.
La definición formal del límite de una función cuando x se aproxima a a es
que para todo ε>0, por más pequeño que sea, existe un δ>0 que cumple que si
0<Ix-aI<δ entonces If(x)-LI<ε.

3. Funciones de variable real
Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la
función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer
que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté
suficientemente cerca de siendo distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco
precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa
estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo
si para todo existe un tal que para todo número
real x en el dominio de la función
.
Esto, escrito en notación formal:
Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos
matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de
límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si
el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee.
Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección
del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe,
entonces es posible encontrar tal δ.

4. No obstante, hay casos como por ejemplo la función de
Dirichlet definida como:
Donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto,
para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho
de que cada intervalo contiene tanto números
racionales como irracionales.
Propiedades generales
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se
cumplen las siguientes propiedades:
Límite de Expresión
Una constante
La función identidad
El producto de una
función y una constante
Una suma
Una resta
Un producto
Un cociente

5. Una potencia
Un logaritmo
El número e
Función f(x) acotada y
g(x) infinitesimal .
Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes
(considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende
a 0; y no al número 0):
Operación Indeterminación
Sustracción
Multiplicación
División
Elevación a potencia

6. Regla de l'Hôpital
Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo
puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞.
Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por
lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo
natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

Por ejemplo:
Correlación Infinito Finito
LO FINITO.
Lo "finito" es lo finitado, lo limitado. Decir que algo es finito equivale a
afirmar que tal realidad está afectada por otra que funciona como límite,
pero nada esencial a la finitada ni a la finitante. Por tanto, sería más
correcto decir de una realidad que está finitada.
LO INFINITO.
Recordemos: "El infinito no es un tipo superior a transfinito, sino lo más
allá de finito y transfinito".
Pues bien, de dos formas aparece el Infinito en los escritos de García
Bacca: como Absoluto y como Dios. Dos formas de trascendencia, de estar
"más allá de finito y transfinito".

7. Tabla de Derivadas e Integrales
Función Derivada Integral
y = c y´ = 0 c.x
y = c.x y´ = c c.x ²/2
y = x
n
y´ = n.x
n-1
x
(n + 1)
/(n + 1)
y = x
-n
y´ = -n/x
(x + 1)
-x
-(n + 1)
/(n + 1)
y = x
½
y´ = 1/(2.√x) x
3/2
/(3/2)
y = x
a/b
y´ = x
(a/b - 1)
/(b/a)
y = 1/x y´ = -1/x ² log x
y = sin x y´ = cos x -cos x
y = cos x y´ = -sin x sin x
y = tan x y´ = 1/cos ² x -log cos x
y = cotan x y´ = -1/sin ² x log sin x
y = sec x y´ = sin x/cos ² x y´ = log (tg x/2)
y = cosec x y´ = -cos x/sin ² x y´ = log [cos x/(1 - sen x)]
y = arcsen x
y = arccos x
y = arctg x y´ = 1/(1 + x ²) x.arctg x - [log (1 + x ²)}/2
y = arccotan x y´ = -1/(1 + x ²) x.arccotg x + [log (1 + x ²)}/2
y = arcsec x
y = arccosec x

8. y = sh x y´ = ch x ch x
y = ch x y´ = sh x sh x
y = th x y´ = sech ²x log ch x
y = coth x y´ = -cosech ²x log sh x
y = sech x y´ = -sech x.th x
y = cosech x y´ = -cosech x.coth x
y = log x y´ = 1/x x.(log x - 1)
y = logax y´ = 1/x.log a x.(log a x - 1/log a)
y = e
x
y´ = e
x
e
x
y = a
x
y´ = a
x
.log a a
x
/log a
y = x
x
y´ = x
x
.(log x + 1)
y = e
u
y´ = e
u
.u´
y = u.v y´ = u´.v + v´.u ∫u.dv + ∫v.du
y = u/v y´ = (u´.v - u.v´)/v ²
y = u
v
y = loguv