Matematicas III. Derivadas. Derivada Direccional

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión San Cristóbal, Estado Táchira
“Escuela de Arquitectura”
Docente:
Domingo Méndez
Alumnos:
C.I. 27.285.452 Andrea Vega
Asignatura:
Matemáticas III
San Cristóbal, Enero 2018
LOSAS Y VIGAS

2. Introducción:
A lo largo de la historia hemos considerado la matemática como una ciencia necesaria
para el desarrollo de la sociedad, pero en esta ocasión podríamos afirmar que las ciencias
numéricas son de tal importancia que son las responsables del desarrollo humano, social
e histórico de todas las naciones. Este mundo diverso y espontaneo de la matemática
encontramos las derivadas Los problemas típicos que dieron origen al cálculo
infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo
III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve
siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y W. Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le
dieron origen:
 El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
 El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial.
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
Definición general
La derivada direccional de una función real de N variable:
en la dirección del vector:
es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente

3. Donde denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En
cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de
cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y
dirección dada por en dicho punto.
Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después
de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un
vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de F por unidad de
distancia.int a,b,c; a+b=c
Restricción al vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a
un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se
convierten en una misma.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que existe una función diferenciable . La derivada
direccional según la dirección de un vector unitario es:

4. El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo
cual lleva, por ser diferenciable la función F a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el
vector
Notaciones alternas:
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde V es la parametrización de una curva para la cual V es tangente y la cual
determina su magnitud.
Propiedades:
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de
funciones F y G definidas en la vecindad de un punto P, donde son diferenciables:
 Regla de la suma:
 Regla del factor constante:
Donde C es cualquier constante.

5.  Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
 Regla de la cadena: Si G es diferenciable en el punto P y H es
diferenciable en G (P), entonces:
Campos vectoriales:
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de
en , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable
resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del Jacobiano: