El documento discute la enseñanza de la geometría en los primeros niveles de la enseñanza secundaria. Señala que es importante organizar los contenidos geométricos en una secuencia lógica que considere las capacidades cognitivas de los estudiantes. También destaca la necesidad de hacer un repaso de los conceptos geométricos previos y desarrollar habilidades como el razonamiento lógico-deductivo antes de abordar nuevos contenidos.

2. Es común en la enseñanza de la geometría la
utilización del juego, pero este no lo es todo, es
necesaria la reflexión teórica. Utilizamos el juego
para que la reflexión teórica tenga sentido y le
interese a los alumnos. Aunque hay que tener
cuidado de que el juego no se convierta en una
finalidad en si mismo, debe estar orientado por los
objetivos de aprendizajes.
Esto nos lleva a considerar varios problemas
diferentes, tales como la determinación de los
contenidos geométricos a enseñar; la manera de
enseñarlos, de forma que las situaciones de
aprendizaje sean lo más motivadoras y, por ende, lo
más instructivas posibles; la secuencia lógica de
actividades didácticas a proponer, de acuerdo con
las particularidades intelectuales de los alumnos;
etc., etc. Es decir, nos remite al problema del diseño
curricular.

3.  Es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la
geometría, diseñado por el matrimonio holandés van Hiele.
 El modelo tiene su origen en 1957
 los Van Hiele proponen cinco niveles secuenciales de aprendizaje.
 Estos niveles no van asociados a la edad, y cumplen las siguientes
características:
No se puede alcanzar el nivel n sin haber pasado por el
nivel anterior n-1, o sea, el progreso de los alumnos a través de
los niveles es invariante.
Cada nivel tiene su lenguaje utilizado (símbolos
lingüísticos) y su significatividad de los contenidos (conexión
de estos símbolos dotándolos de significado).
En cada nivel de pensamiento, lo que era implícito, en el
nivel siguiente se vuelve explicito.

4. ELEMENTOS EXPLÍCITOS ELEMENTOS IMPLÍCITOS
NIVEL 1 Figuras y objetos Partes y propiedades de
las figuras y
objetos
NIVEL 2 Partes y propiedades de Implicaciones entre
las propiedades de
figuras y objetos figuras y objetos
NIVEL 3 Implicaciones entre Deducción formal de
propiedades teoremas
de figuras y objetos
NIVEL 4 Deducción formal de Relación entre los
teoremas teoremas (sistemas
Axiomáticos)

5. El
Razonamient razonamiento
o deductivo se hace
Relación rigurosamente
lógica deductivo
Análisis, conoci
miento de los
componentes
de las figuras
Reconocimiento
de las figuras

6. Nivel 1
 Los objetos se perciben en su totalidad
como una unidad, sin diferenciar sus
atributos y componentes.
 Se describen por su apariencia física
mediante descripciones visuales y
asemejándolas a elementos familiares
del entorno. No hay lenguaje geométrico
básico para llamar a las figuras por su
nombre correcto.
 No reconocen de forma explícita
componentes y propiedades de los
objetos

7.  Se aprecian los componentes y propiedades
de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto
desde la observación como de la
experimentación.
 De una manera informal pueden describir las
figuras por sus propiedades pero no de
relacionar unas propiedades con otras o unas
figuras con otras.
 Experimentando con figuras u objetos pueden
establecer nuevas propiedades
 Sin embargo no realizan clasificaciones de
objetos y figuras a partir de sus propiedades.

8. Nivel 3
 Se describen las figuras de manera formal, es
decir, se señalan las condiciones necesarias y
suficientes que deben cumplir. Esto es importante
pues conlleva entender el significado de las
definiciones, su papel dentro de la Geometría y los
requisitos que siempre requieren.
 Realizan clasificaciones lógicas de manera formal
ya que el nivel de su razonamiento matemático ya
está iniciado. Esto significa que reconocen cómo
unas propiedades derivan de otras , estableciendo
relaciones entre propiedades y las consecuencias
de esas relaciones.
 Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de
los casos, no las entienden en cuanto a su
estructura.

9. Nivel 4
 Se realizan deducciones y demostraciones
lógicas y formales, viendo su necesidad
para justificar las proposiciones planteadas.
 Se comprenden y manejan las relaciones
entre propiedades y se formalizan en
sistemas axiomáticos, por lo que ya se
entiende la naturaleza axiomática de las
Matemáticas.
 Entienden que se pueden realizar distintas
forma de demostraciones para obtener un
mismo resultado.

10. NIVEL 5
 Se conoce la existencia de diferentes
sistemas axiomáticos y se pueden analizar y
comparar permitiendo comparar diferentes
geometrías.
 Se puede trabajar la Geometría de manera
abstracta sin necesidad de ejemplos
concretos, alcanzándose el más alto nivel de
rigor matemático.

11. FASES DE
APRENDIZAJE
DEL MODELO DE
VAN HIELE

12.  Fase 1: discernimiento. Se presentan a
los estudiantes situaciones de aprendizajes
dando el vocabulario y las observaciones
necesarias para el trabajo.
 Fase 2: orientación dirigida. El
profesor propone una secuencia graduada
de actividades a realizar y explorar. La
ejecución y reflexión propuesta servirá de
motor para propiciar el avance en los
niveles de conocimiento

13.  Fase 3: explicitación. Los estudiantes una
vez realizadas las experiencias, expresan
sus resultados y comentarios
 Fase 4: orientación libre. Con los
conocimientos adquiridos los estudiantes
aplican sus conocimientos a otras situaciones
distintas de las presentadas.
 Fase 5: integración. Los objetos y las
relaciones son unificadas e interiorizadas.
Obtienen una visión generalizada de los
contenidos y métodos

14. La enseñanza de la
geometría en los
primeros niveles de la
enseñanza secundaria

15.  Unade las tareas más complejas es la de
organizar los contenidos en propuestas de
trabajo concretas. Determinar que
cuestiones han de ser estudiadas antes que
otras, justificar ese orden
secuencial, establecer que otras cuestiones
tienen menor entidad y, en
consecuencia, podrían ser suprimidas en caso
de necesidad, etc., son una misma parte del
conjunto de decisiones que hemos de
adoptar.

16. Los alumnos de estas edades
En este ciclo los alumnos culminan el desarrollo de sus
capacidades lógico concretas, es decir, quedan en condiciones de
aplicar las mismas funciones lógicas que disponemos los
adultos, pero en contextos concretos, inmediatos a su experiencia.
Lograda la madurez lógico-concreta comienzan a desarrollarse
unas nuevas capacidades de rango superior, que conducirán
finalmente, hasta las capacidades lógico-abstractas propias de los
individuos adultos.
Las capacidades de abstracción, razonamiento lógico-deductivo.
Generalización, son distintos aspectos parciales de los que
configuran el pensamiento de los individuos adultos, y pueden ser
descritas en términos de capacidades más elementales y de las
interrelaciones que se establecen entre ellas.
Reconocer que capacidades elementales, atómicas están
apareciendo en los niños, observar su desarrollo e incidir en el
mismo, en la medida de nuestras posibilidades, es una cuestión
crucial para el éxito del proceso educativo.

17. Ignorar esta situación puede conducir a excesos como el
de plantear el proceso de aprendizaje en base a la
asimilación de un discurso lógico-deductivo
inaprehensible aun para los alumnos. Y también a
actuaciones por defecto, como es el caso en que no se
ofrece la oportunidad de adquirir nuevos conocimientos a
partir de la reflexión sobre experiencias concretas e
inmediatas a los propios alumnos.
La identificación de estas capacidades elementales nos
posibilitara realizar una planificación educativa en la que
se unen el desarrollo del potencial cognitivo de los
alumnos y el proceso de adquisición de los aprendizajes
que pretendemos generar.

18. Primer contacto con la geometría
en la educación secundaria

19. El paso de los alumnos desde la educación primaria a la
secundaria es de gran complejidad. Por ello, conviene hacer un
amplio repaso de los contenidos previos necesarios para
abordar esta nueva etapa. Ese repaso serviría, entre otras
cuestiones, como elemento diagnostico del nivel alcanzado
por los alumnos en el desarrollo de los conceptos geométricos.
Esas actividades de refuerzo se organizaran de acuerdo a las
siguientes pautas:
En primer lugar, deben posibilitar una descripción fácil del
entorno objeto de estudio, y crear, de este modo, el hábito de
introducir y utilizar sistemas de referencias geométricas
En segundo lugar, debemos de huir de la tendencia a estudiar
objetos y hechos geométricos
(figuras, cuerpos, transformaciones, teoremas,…) como
elementos de un puzle.
En tercer lugar las experiencias deberán posibilitar de un
modo natural, la aparición de acción cuantitativa y propiciar
los procesos de recuento y cuantificación, como pasos previos
a la introducción de criterios métricos.