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Geometría
Analítica.
  PM 4001.
Geometría Analítica.

 Prof.: Carlos Humberto Vázquez
  Castellanos.
 Instituto Tecnológico y de Estudios
  Superiores de Monterrey (ITESM), Campus
  Monterrey.
 IEC, ‘01.
Plano Cartesiano.
        Y




       O            X
Distancia entre dos puntos.
Y
                                      P2 (x2, y2)
y2

                            d
                                               y2 - y1



y1
       P1        (x1, y1)




            x1                        x2                 X
O

                            x2 - x1
Viaje en Baja California.
¿A medio camino?
División de un segmento rectilíneo
        en una razón dada.
        Y
                                          B (x2, y2)
By (0, y2)


                           P (x, y)
Py (0, y)
             A (x1, y1)

Ay (0, y1)




                                                       X
        O     Ax (x1, 0)     Px (x, 0)   Bx (x2, 0)
Vuelo de reconocimiento.
 El último mensaje emitido por un
  avión de reconocimiento con quien
  se perdió todo contacto indicaba que
  se hallaba a 250 km. del punto de
  partida y a 350 km. del punto donde
  debía llegar. ¿Cuáles son las
  coordenadas del sitio desde donde
  envió su señal, si el avión se
  desplaza en línea recta y los lugares
  de partida y llegada se ubican en
  A(-2, 4) y B(8, 5)?
Flauta indígena.
 La quena es una flauta de 30
  cm. de longitud, con 5 o 6
  agujeros. Si las coordenadas de
  los extremos de la flauta son
  A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer
  agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es
  la razón en que divide este
  agujero al instrumento?, a qué
  distancia de cada extremo se
  halla el agujero? (cada unidad
  representa 4 cm. en la realidad.
Longitud del brazo de una guitarra.
 Las longitudes del brazo y del cuerpo de una
  guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y
  32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son
  A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas
  del extremo final del brazo de la guitarra?
 Un punto P(x, y) está sobre la recta que
  pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las
  coordenadas de P si el segmento AB se
  extendió de B a P de manera que P está
  alejado de A el doble que de B, y (b) las
  coordenadas de P si AB se extiende de A a
  P de manera que P se encuentra alejado de
  B el triple que de A.


        (a) (14, 0)      (b) (-8.5, 5)
 Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7).
  Encuentre (a) el punto P sobre AB
  extendido a través de B, de manera que P
  está dos veces más lejos de A que de B; (b)
  el punto, si P está sobre AB extendido
  desde A, de modo que P está dos veces
  más lejos de B que de A.


         (a) (8, 11)   (b) (-1, -1)
La pendiente de una línea.
Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal.
                         B (x2, y2)

                                                                      Elevación




                               Elevación
                                           m = Pendiente de AB =
                                                                      Recorrido
A (x1, y1)
                                                Elevación = y2 – y1
             Recorrido
                                                Recorrido =   x2 – x1

                                           y2 – y1
                         m=
                                           x2 – x1
Líneas de diversas pendientes.
 Y
                  m = -3   m=3
                                 m = 3/2


                                             m = 1/2
       m = -1/2


                                           m=0



                                                 X
 O
Y




              y=b
b



        x=a



                    X
O   a
Ecuación simétrica de la recta.
• Encontrar la ecuación de la recta que intercepta los ejes X y Y
  en (3, 0) y (0, 5).
                                                5−0
   Y
                                         y−0 =       ( x − 3)
                                                0−3
                                                 5
 (0, 5)
                                           y = − ( x − 3)
                                                 3
                                                 5
                                           y = − x+5
                                                 3
                                            5
                                              x+ y =5
                                            3
                                             x y
                                              + =1
            (3, 0)
                                 X           3 5
    O
Ecuación simétrica de la recta.
• La recta cuyas intercepciones con los ejes X y
  Y son a ≠ 0 y b ≠ 0 , respectivamente, tiene
  por ecuación:


                x y
                 + =1
                a b
• Hallar el área del triángulo rectángulo
  formado por los ejes coordenados y la
  recta cuya ecuación es 5 x + 4 y + 20 = 0
      5 x + 4 y = −20                Y
[ 5 x + 4 y = −20] ÷ −20   (-4, 0)
        x      y                     O             X
           +      =1
       −4 −5

         b×h
    A=
           2

  A=
     ( − 4)( − 5)                        (0, -5)

          2
     A = 10u 2
Ecuaciones de líneas rectas en el
       plano cartesiano.

 Suponga que un productor sabe que el costo
total de la manufactura de 1000 unidades de su
producto es de $8500, mientras que el costo
total de la manufactura de 2000 unidades es de
$11500. Suponiendo que esta relación entre el
costo y el número de unidades fabricadas es
lineal, encuentre la relación. ¿Cuál es el costo
total de la producción de 2500 unidades?
Grafique la ecuación.
Ecuaciones de líneas rectas en el
       plano cartesiano.

Una compañía de renta de autos alquila
automóviles por un cargo de $22 por día
más $0.20 por milla. Escriba una ecuación
para el costo y dólares en términos de la
distancia x millas recorridas si el carro se
alquila por N días. Si N = 3, dibuje una
gráfica de la ecuación.
Condiciones de Paralelismo y
        Perpendicularidad.
Y                        Y
           l1                l2          l1
                l2




                     X                    X
O                        O
                                    1
    m1 = m2                  m1 = −
                                    m2
Ángulo entre dos rectas.
Y                       l2        l1

                   α
                             θ2
                       θ1




       θ1     θ2
                                       X
O
Geometría Analítica y las
  secciones cónicas.
La Circunferencia.
Y
                        (x, y)

               r

k
               (h, k)




                                 X
O          h
La Circunferencia.
La circunferencia.
• Expresar x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 en la forma
                   2        2

  estándar.
                  x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0
                       2    2



                 ( x + 4x + ) + ( y − 6 y + ) = − 13
                   2                   2



      (x   2
                           ) (             )
               + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = −13 + 4 + 9
                  ( x +2 )       2
                                     +( y −3) =0
                                               2




                   (
                 C − 2, 3        )         r=0         Representa
                                                       un punto.
La circunferencia.
• Expresar x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 , en la
  forma estándar.
                      x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0
             (x   2
                      +2x +    ) +(y   2
                                           +8 y +   ) = −19
   (x   2
                        ) (                    )
            + 2 x +1 + y 2 +8 y +16 = −19 +1 +16
                                                      No
                      ( x +1) 2 + ( y + 4) 2   = −2
                                                      representa
                  C ( −1, −4)              r = −2     ningún lugar
                                                      geométrico.
La circunferencia.
Condiciones para determinar una
        circunferencia.
 Y
                  P2(x2, y2)




                                            X
 O
                               P3(x3, y3)

     P1(x1, y1)
La parábola.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen.
                  Y
l
                        P(x, y)
                                     LR


              V(0, 0)                F(p, 0)
                                               X
                  O




    x = -p
La parábola.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen.

                 Y


                                    x2 = 4py


                                         X
                 O
La parábola.
Y                      Y

              p>0          p<0


          X                      X
O                      O



    Y                  Y
                       O   p<0
                                     X
        p>0



          X
    O
La parábola.
 Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje
 paralelo a un eje coordenado.


         Y                              Y


(h, k)


         O                X            O
                                                      X


                                   (h, k)

   (y – k)2 = 4p(x – h)        (x – h)2 = 4p(y – k)
La parábola.
Y                      Y

              p>0          p<0


          X                      X
O                      O



    Y                  Y
                       O   p<0
                                     X
        p>0



          X
    O
La parábola.
Intersección de una recta y una parábola.

       Y




                                            X
       O
Antenas parabólicas: una
           aplicación práctica.
• La antena mostrada en esta fotografía tiene 2 m de
  ancho, en la parte donde está situado su aparato
  receptor.
¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el
  receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a
  la sección parabólica de esta antena.
Puentes colgantes.
• Si las torres de un puente colgante tienen una
  separación de 400 m. y los cables están atados
  a ellas a 200 m. arriba del piso del puente, ¿qué
  longitud debe tener el puntal que está a 50 m.
  de la torre izquierda? Supongamos que el cable
  toca el piso en el punto medio, V, del puente.
Túnel parabólico.
• Una carretera atraviesa un cerro a través de un
  túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4
  m de claro y 6 m de altura. ¿Cuál es la altura
  máxima que puede tener un vehículo de
  transporte de 2 m de ancho, para pasar sin
  atorarse dentro de un túnel?
Elipse.
Elipse con centro en el origen.
                              Y

                                  B        P(x, y)


                                  b
         V’     F’                                F          V
                                                            (a, 0)   X
      (-a, 0)   (-c, 0)   c   O        c      (c, 0)
                                  b


                                  B’                   x2       y2
                                                            +        =1
                                                       a2       b2
Elipse.
Elipse con centro en el origen.
              Y

                                  x2       y2
                                       +        =1
                                  b2       a2

                  O                        X
Elipse.
Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes
paralelos a los coordenados.
   Y                             Y




   O                       X     O                             X


 (x - h)2       (y - k)2        (x - h)2       (y - k)2
            +              =1              +              =1
    a2            b2               b2            a2
Elipse.
Intersección de una recta y una elipse.
      Y




                                          X
       O
Elipse.
Desigualdades y la elipse.
                                             (x - h)2       (y - k)2
     Y
                                                        +              =1
                                                  a2          b2

                (x - h)2         (y - k)2
                             +               <1
                    a2             b2

                                                              X
      O
            (x - h)2       (y - k)2
                       +                >1
               a2            b2
Propiedades de la Elipse.




National Statuary Hall Collection
Propiedades de la Elipse.
La hipérbola.
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.
                       P(x, y) Y

                                      B(0, b)


                                b
              F’        c                         c     F
                                                               X
             (-c, 0)          V’ O        V           (c, 0)
                            (-a, 0)    (a, 0)
                                 b
                                      B’(0, -b)
La hipérbola.
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.

             Y                    Y




         O                 X      O             X




        x2       y2              y2   x2
                      =1                   =1
        a2       b2              a2   b2
La hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola con centro en el origen.
           Y

                                   Y




                       X                         X




               b                         a
        y=+        x               y=+       x
               a                         b
La hipérbola.
Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje
cartesiano.
                                 Y
  Y




  O                         X    O                          X




  (x - h)2       (y - k)2        (y - k)2       (x - h)2
             -              =1              -              =1
      a2           b2                a2           b2
La hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola con centro fuera del origen.




                   b                             a
   (y – k) =   +       (x – h)   (y – k) =   +       (x – h)
                   a                             b
Forma general de la ecuación de la
                     Hipérbola.
   • Ejemplo: Encontrar las coordenadas del centro,
     los vértices, los focos y el bosquejo de
                     3x 2 − 2 y 2 + 12 x + 2 y − 14 = 0
(3 x 2 + 12 x) − (2 y 2 − 2 y ) = 14
3( x 2 + 4 x) − 2( y 2 − y ) = 14
3( x 2 + 4 x + 4) − 2( y 2 − y + 1 / 4) = 14 + 12 − 1 / 2
3( x + 2) 2 − 2( y − 1 / 2) 2 = 51 / 2
3( x + 2) 2 2( y − 1 / 2) 2 51 / 2              ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2
           −               =                              −               =1
  51 / 2        51 / 2       51 / 2               51 / 6      51 / 4
Forma general de la ecuación de la
                     Hipérbola.
                         ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2
                                   −               =1
                           51 / 6      51 / 4
   C (−2, 1 / 2)                c2 = a2 + b2
       51                             51 51
   a =
     2
                               c = +
                                 2

       6                               6 4
    51                                   85
a=     = 2.91                      c =
                                    2

     6                                    4
                                      85                        85
                               c=         = 4. 6        F (−2 ±    , 1 / 2)
                                       4                         4
           51
V (−2 ±       , 1 / 2)
           6
Forma general de la ecuación de la
               Hipérbola.
• Ejercicio:         x2 − y 2 + 4x + 6 y − 5 = 0
               ( x 2 + 4 x) − ( y 2 − 6 y ) = 5
       ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 − 6 y + 9) = 5 + 4 − 9
                 ( x + 2) 2 − ( y − 3) 2 = 0
        a 2 − b2 = 0                 (a + b)(a − b) = 0

                                 a+b = 0       y   a −b = 0

        a = x+2                          b = y −3
Forma general de la ecuación de la
             Hipérbola.

( x + 2) + ( y − 3) = 0   ( x + 2) − ( y − 3) = 0
x+ 2+ y −3 = 0             x+2− y +3= 0
 x + y −1 = 0               x− y+5= 0
La hipérbola.
 Desigualdades y la hipérbola.
                               (x - h)2       (y - k)2
                                          -              =1
                           Y      a2            b2

                                                          (x - h)2       (y - k)2
                                                                     -                  >1
                                                              a2           b2
                          O’                                                        X

(x - h)2       (y - k)2
           -              >1
   a2            b2
                               (x - h)2       (y - k)2
                                          -              <1
                                  a2            b2
Ecuación General de Segundo
          Grado.

       4 y − x + 2x −1 = 0
         2      2

   Representa una hipérbola o un par
   de rectas que se cortan.



  x + y + 14 x − 10 y + 26 = 0
   2     2


   Representa una circunferencia, un
   punto o el conjunto vacío.
Ecuación General de Segundo
          Grado.

         y + 8 x − 2 y − 15 = 0
          2

   • Puede representar una parábola.



   x + 4 y − 2x − 8 y + 5 = 0
     2        2


   • Puede representar una elipse, un
     punto o el conjunto vacío.
Ecuación General de Segundo
          Grado.

        x − 120 y − 40 = 0
          2


   • Puede representar una parábola.


   x + y − 6 x + 10 y + 34 = 0
    2         2


   • Representa una circunferencia, un
     punto o el conjunto vacío.
Ecuación General de Segundo
          Grado.

16 x − 9 y + 64 x + 18 y − 89 = 0
     2       2


  • Representa una hipérbola o un par de
    rectas que se cortan.


 9 x + 4 y − 36 x − 8 y + 76 = 0
     2       2


  • Puede representar una elipse, un punto
    o el conjunto vacío.
Ecuación General de Segundo
          Grado.


25 x + 9 y + 150 x − 36 y + 36 = 0
     2        2




• Puede representar una elipse, un punto o el
  conjunto vacío.
Traslación de ejes.
Y            Y’
                   P (x, y)
                     (x’, y’)


            O’
         (h, k)                 X’




                                     X
O
Transformación de la ecuación
  general por rotación de los ejes
           coordenados.
La ecuación general de segundo grado
             Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
en donde B ≠0, puede transformarse siempre en
  otra de la forma
            A' ( x' ) 2 + C ' ( y ' ) 2 + D' x'+ E ' y '+ F ' = 0
sin término en x’y’, haciendo girar los ejes
  coordenados un ángulo positivo agudo α.
Rotación de los ejes coordenados.
         Y

 Y’
                      P



                               X’
               r
                          A’
                  α

              θ
                                    X
         O            A
Rotación de ejes coordenados.
              Rotación de ejes.
Reemplazando respectivamente x y y en la
 ecuación de una curva por
              x' cos α − y ' sin α
              y ' cos α + x' sin α
se obtiene la nueva ecuación de la misma curva,
  referida a los ejes x’y’.
Rotación de ejes coordenados.

Ejemplo 1. Escribir la nueva ecuación de la
  curva

         41x2 – 18xy + 41y2 = 800,

cuando los ejes coordenados se giran 45º.
Rotación de ejes coordenados.
Rotación de ejes coordenados.
Ejemplo 2. Determinar una nueva representación
  de

               x2 + 4xy – 2y2 – 6 = 0,

después de hacer girar los ejes el ángulo
α = arctan 1 / 2 . Trazar la curva y mostrar los
  sistemas de coordenadas anterior y nuevo.
Rotación de ejes coordenados.
             Eliminación del término Bxy

Para eliminar el término Bxy de la ecuación de una cónica,
  el ángulo de giro se escoge así

             si A = C,              α = 45   0



             si A       C,                B
                    ≠           tan 2α =
                                         A−C
Rotación de ejes coordenados.
    Eliminación del término Bxy



        1 − cos 2α           1 + cos 2α
sin α =              cos α =
             2                    2
Geometría Analítica

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Geometría Analítica

  • 2. Geometría Analítica.  Prof.: Carlos Humberto Vázquez Castellanos.  Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Monterrey.  IEC, ‘01.
  • 4. Distancia entre dos puntos. Y P2 (x2, y2) y2 d y2 - y1 y1 P1 (x1, y1) x1 x2 X O x2 - x1
  • 5. Viaje en Baja California.
  • 7. División de un segmento rectilíneo en una razón dada. Y B (x2, y2) By (0, y2) P (x, y) Py (0, y) A (x1, y1) Ay (0, y1) X O Ax (x1, 0) Px (x, 0) Bx (x2, 0)
  • 8. Vuelo de reconocimiento.  El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quien se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 250 km. del punto de partida y a 350 km. del punto donde debía llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde envió su señal, si el avión se desplaza en línea recta y los lugares de partida y llegada se ubican en A(-2, 4) y B(8, 5)?
  • 9. Flauta indígena.  La quena es una flauta de 30 cm. de longitud, con 5 o 6 agujeros. Si las coordenadas de los extremos de la flauta son A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es la razón en que divide este agujero al instrumento?, a qué distancia de cada extremo se halla el agujero? (cada unidad representa 4 cm. en la realidad.
  • 10. Longitud del brazo de una guitarra.  Las longitudes del brazo y del cuerpo de una guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y 32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas del extremo final del brazo de la guitarra?
  • 11.  Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las coordenadas de P si el segmento AB se extendió de B a P de manera que P está alejado de A el doble que de B, y (b) las coordenadas de P si AB se extiende de A a P de manera que P se encuentra alejado de B el triple que de A. (a) (14, 0) (b) (-8.5, 5)
  • 12.  Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Encuentre (a) el punto P sobre AB extendido a través de B, de manera que P está dos veces más lejos de A que de B; (b) el punto, si P está sobre AB extendido desde A, de modo que P está dos veces más lejos de B que de A. (a) (8, 11) (b) (-1, -1)
  • 13. La pendiente de una línea. Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal. B (x2, y2) Elevación Elevación m = Pendiente de AB = Recorrido A (x1, y1) Elevación = y2 – y1 Recorrido Recorrido = x2 – x1 y2 – y1 m= x2 – x1
  • 14. Líneas de diversas pendientes. Y m = -3 m=3 m = 3/2 m = 1/2 m = -1/2 m=0 X O
  • 15. Y y=b b x=a X O a
  • 16. Ecuación simétrica de la recta. • Encontrar la ecuación de la recta que intercepta los ejes X y Y en (3, 0) y (0, 5). 5−0 Y y−0 = ( x − 3) 0−3 5 (0, 5) y = − ( x − 3) 3 5 y = − x+5 3 5 x+ y =5 3 x y + =1 (3, 0) X 3 5 O
  • 17. Ecuación simétrica de la recta. • La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a ≠ 0 y b ≠ 0 , respectivamente, tiene por ecuación: x y + =1 a b
  • 18. • Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5 x + 4 y + 20 = 0 5 x + 4 y = −20 Y [ 5 x + 4 y = −20] ÷ −20 (-4, 0) x y O X + =1 −4 −5 b×h A= 2 A= ( − 4)( − 5) (0, -5) 2 A = 10u 2
  • 19. Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano. Suponga que un productor sabe que el costo total de la manufactura de 1000 unidades de su producto es de $8500, mientras que el costo total de la manufactura de 2000 unidades es de $11500. Suponiendo que esta relación entre el costo y el número de unidades fabricadas es lineal, encuentre la relación. ¿Cuál es el costo total de la producción de 2500 unidades? Grafique la ecuación.
  • 20. Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano. Una compañía de renta de autos alquila automóviles por un cargo de $22 por día más $0.20 por milla. Escriba una ecuación para el costo y dólares en términos de la distancia x millas recorridas si el carro se alquila por N días. Si N = 3, dibuje una gráfica de la ecuación.
  • 21. Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad. Y Y l1 l2 l1 l2 X X O O 1 m1 = m2 m1 = − m2
  • 22. Ángulo entre dos rectas. Y l2 l1 α θ2 θ1 θ1 θ2 X O
  • 23. Geometría Analítica y las secciones cónicas.
  • 24. La Circunferencia. Y (x, y) r k (h, k) X O h
  • 26. La circunferencia. • Expresar x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 en la forma 2 2 estándar. x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 2 2 ( x + 4x + ) + ( y − 6 y + ) = − 13 2 2 (x 2 ) ( ) + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = −13 + 4 + 9 ( x +2 ) 2 +( y −3) =0 2 ( C − 2, 3 ) r=0 Representa un punto.
  • 27. La circunferencia. • Expresar x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 , en la forma estándar. x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 (x 2 +2x + ) +(y 2 +8 y + ) = −19 (x 2 ) ( ) + 2 x +1 + y 2 +8 y +16 = −19 +1 +16 No ( x +1) 2 + ( y + 4) 2 = −2 representa C ( −1, −4) r = −2 ningún lugar geométrico.
  • 29. Condiciones para determinar una circunferencia. Y P2(x2, y2) X O P3(x3, y3) P1(x1, y1)
  • 30. La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen. Y l P(x, y) LR V(0, 0) F(p, 0) X O x = -p
  • 31. La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen. Y x2 = 4py X O
  • 32. La parábola. Y Y p>0 p<0 X X O O Y Y O p<0 X p>0 X O
  • 33. La parábola. Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado. Y Y (h, k) O X O X (h, k) (y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)
  • 34. La parábola. Y Y p>0 p<0 X X O O Y Y O p<0 X p>0 X O
  • 35. La parábola. Intersección de una recta y una parábola. Y X O
  • 36. Antenas parabólicas: una aplicación práctica. • La antena mostrada en esta fotografía tiene 2 m de ancho, en la parte donde está situado su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a la sección parabólica de esta antena.
  • 37. Puentes colgantes. • Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 m. y los cables están atados a ellas a 200 m. arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 m. de la torre izquierda? Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio, V, del puente.
  • 38. Túnel parabólico. • Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4 m de claro y 6 m de altura. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2 m de ancho, para pasar sin atorarse dentro de un túnel?
  • 39. Elipse. Elipse con centro en el origen. Y B P(x, y) b V’ F’ F V (a, 0) X (-a, 0) (-c, 0) c O c (c, 0) b B’ x2 y2 + =1 a2 b2
  • 40. Elipse. Elipse con centro en el origen. Y x2 y2 + =1 b2 a2 O X
  • 41. Elipse. Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes paralelos a los coordenados. Y Y O X O X (x - h)2 (y - k)2 (x - h)2 (y - k)2 + =1 + =1 a2 b2 b2 a2
  • 42. Elipse. Intersección de una recta y una elipse. Y X O
  • 43. Elipse. Desigualdades y la elipse. (x - h)2 (y - k)2 Y + =1 a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 + <1 a2 b2 X O (x - h)2 (y - k)2 + >1 a2 b2
  • 44. Propiedades de la Elipse. National Statuary Hall Collection
  • 45. Propiedades de la Elipse.
  • 46. La hipérbola. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen. P(x, y) Y B(0, b) b F’ c c F X (-c, 0) V’ O V (c, 0) (-a, 0) (a, 0) b B’(0, -b)
  • 47. La hipérbola. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen. Y Y O X O X x2 y2 y2 x2 =1 =1 a2 b2 a2 b2
  • 48. La hipérbola. Asíntotas de la hipérbola con centro en el origen. Y Y X X b a y=+ x y=+ x a b
  • 49. La hipérbola. Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje cartesiano. Y Y O X O X (x - h)2 (y - k)2 (y - k)2 (x - h)2 - =1 - =1 a2 b2 a2 b2
  • 50. La hipérbola. Asíntotas de la hipérbola con centro fuera del origen. b a (y – k) = + (x – h) (y – k) = + (x – h) a b
  • 51. Forma general de la ecuación de la Hipérbola. • Ejemplo: Encontrar las coordenadas del centro, los vértices, los focos y el bosquejo de 3x 2 − 2 y 2 + 12 x + 2 y − 14 = 0 (3 x 2 + 12 x) − (2 y 2 − 2 y ) = 14 3( x 2 + 4 x) − 2( y 2 − y ) = 14 3( x 2 + 4 x + 4) − 2( y 2 − y + 1 / 4) = 14 + 12 − 1 / 2 3( x + 2) 2 − 2( y − 1 / 2) 2 = 51 / 2 3( x + 2) 2 2( y − 1 / 2) 2 51 / 2 ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2 − = − =1 51 / 2 51 / 2 51 / 2 51 / 6 51 / 4
  • 52. Forma general de la ecuación de la Hipérbola. ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2 − =1 51 / 6 51 / 4 C (−2, 1 / 2) c2 = a2 + b2 51 51 51 a = 2 c = + 2 6 6 4 51 85 a= = 2.91 c = 2 6 4 85 85 c= = 4. 6 F (−2 ± , 1 / 2) 4 4 51 V (−2 ± , 1 / 2) 6
  • 53. Forma general de la ecuación de la Hipérbola. • Ejercicio: x2 − y 2 + 4x + 6 y − 5 = 0 ( x 2 + 4 x) − ( y 2 − 6 y ) = 5 ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 − 6 y + 9) = 5 + 4 − 9 ( x + 2) 2 − ( y − 3) 2 = 0 a 2 − b2 = 0 (a + b)(a − b) = 0 a+b = 0 y a −b = 0 a = x+2 b = y −3
  • 54. Forma general de la ecuación de la Hipérbola. ( x + 2) + ( y − 3) = 0 ( x + 2) − ( y − 3) = 0 x+ 2+ y −3 = 0 x+2− y +3= 0 x + y −1 = 0 x− y+5= 0
  • 55. La hipérbola. Desigualdades y la hipérbola. (x - h)2 (y - k)2 - =1 Y a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 - >1 a2 b2 O’ X (x - h)2 (y - k)2 - >1 a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 - <1 a2 b2
  • 56. Ecuación General de Segundo Grado. 4 y − x + 2x −1 = 0 2 2 Representa una hipérbola o un par de rectas que se cortan. x + y + 14 x − 10 y + 26 = 0 2 2 Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.
  • 57. Ecuación General de Segundo Grado. y + 8 x − 2 y − 15 = 0 2 • Puede representar una parábola. x + 4 y − 2x − 8 y + 5 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • 58. Ecuación General de Segundo Grado. x − 120 y − 40 = 0 2 • Puede representar una parábola. x + y − 6 x + 10 y + 34 = 0 2 2 • Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.
  • 59. Ecuación General de Segundo Grado. 16 x − 9 y + 64 x + 18 y − 89 = 0 2 2 • Representa una hipérbola o un par de rectas que se cortan. 9 x + 4 y − 36 x − 8 y + 76 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • 60. Ecuación General de Segundo Grado. 25 x + 9 y + 150 x − 36 y + 36 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • 61. Traslación de ejes. Y Y’ P (x, y) (x’, y’) O’ (h, k) X’ X O
  • 62. Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados. La ecuación general de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 en donde B ≠0, puede transformarse siempre en otra de la forma A' ( x' ) 2 + C ' ( y ' ) 2 + D' x'+ E ' y '+ F ' = 0 sin término en x’y’, haciendo girar los ejes coordenados un ángulo positivo agudo α.
  • 63. Rotación de los ejes coordenados. Y Y’ P X’ r A’ α θ X O A
  • 64. Rotación de ejes coordenados. Rotación de ejes. Reemplazando respectivamente x y y en la ecuación de una curva por x' cos α − y ' sin α y ' cos α + x' sin α se obtiene la nueva ecuación de la misma curva, referida a los ejes x’y’.
  • 65. Rotación de ejes coordenados. Ejemplo 1. Escribir la nueva ecuación de la curva 41x2 – 18xy + 41y2 = 800, cuando los ejes coordenados se giran 45º.
  • 66. Rotación de ejes coordenados.
  • 67. Rotación de ejes coordenados. Ejemplo 2. Determinar una nueva representación de x2 + 4xy – 2y2 – 6 = 0, después de hacer girar los ejes el ángulo α = arctan 1 / 2 . Trazar la curva y mostrar los sistemas de coordenadas anterior y nuevo.
  • 68. Rotación de ejes coordenados. Eliminación del término Bxy Para eliminar el término Bxy de la ecuación de una cónica, el ángulo de giro se escoge así si A = C, α = 45 0 si A C, B ≠ tan 2α = A−C
  • 69. Rotación de ejes coordenados. Eliminación del término Bxy 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin α = cos α = 2 2