Este documento presenta varios conceptos fundamentales de geometría analítica, incluyendo: 1) la distancia entre puntos, pendientes de líneas rectas, ecuaciones de líneas rectas y condiciones de paralelismo y perpendicularidad; 2) ecuaciones y propiedades de secciones cónicas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola; y 3) aplicaciones prácticas como antenas parabólicas, puentes colgantes y túneles parabólicos.

1. Geometría
Analítica.
PM 4001.

2. Geometría Analítica.
 Prof.: Carlos Humberto Vázquez
Castellanos.
 Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM), Campus
Monterrey.
 IEC, ‘01.

3. Plano Cartesiano.
Y
O X

4. Distancia entre dos puntos.
Y
P2 (x2, y2)
y2
d
y2 - y1
y1
P1 (x1, y1)
x1 x2 X
O
x2 - x1

5. Viaje en Baja California.

6. ¿A medio camino?

7. División de un segmento rectilíneo
en una razón dada.
Y
B (x2, y2)
By (0, y2)
P (x, y)
Py (0, y)
A (x1, y1)
Ay (0, y1)
X
O Ax (x1, 0) Px (x, 0) Bx (x2, 0)

8. Vuelo de reconocimiento.
 El último mensaje emitido por un
avión de reconocimiento con quien
se perdió todo contacto indicaba que
se hallaba a 250 km. del punto de
partida y a 350 km. del punto donde
debía llegar. ¿Cuáles son las
coordenadas del sitio desde donde
envió su señal, si el avión se
desplaza en línea recta y los lugares
de partida y llegada se ubican en
A(-2, 4) y B(8, 5)?

9. Flauta indígena.
 La quena es una flauta de 30
cm. de longitud, con 5 o 6
agujeros. Si las coordenadas de
los extremos de la flauta son
A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer
agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es
la razón en que divide este
agujero al instrumento?, a qué
distancia de cada extremo se
halla el agujero? (cada unidad
representa 4 cm. en la realidad.

10. Longitud del brazo de una guitarra.
 Las longitudes del brazo y del cuerpo de una
guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y
32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son
A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas
del extremo final del brazo de la guitarra?

11.  Un punto P(x, y) está sobre la recta que
pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las
coordenadas de P si el segmento AB se
extendió de B a P de manera que P está
alejado de A el doble que de B, y (b) las
coordenadas de P si AB se extiende de A a
P de manera que P se encuentra alejado de
B el triple que de A.
(a) (14, 0) (b) (-8.5, 5)

12.  Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7).
Encuentre (a) el punto P sobre AB
extendido a través de B, de manera que P
está dos veces más lejos de A que de B; (b)
el punto, si P está sobre AB extendido
desde A, de modo que P está dos veces
más lejos de B que de A.
(a) (8, 11) (b) (-1, -1)

13. La pendiente de una línea.
Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal.
B (x2, y2)
Elevación
Elevación
m = Pendiente de AB =
Recorrido
A (x1, y1)
Elevación = y2 – y1
Recorrido
Recorrido = x2 – x1
y2 – y1
m=
x2 – x1

14. Líneas de diversas pendientes.
Y
m = -3 m=3
m = 3/2
m = 1/2
m = -1/2
m=0
X
O

15. Y
y=b
b
x=a
X
O a

16. Ecuación simétrica de la recta.
• Encontrar la ecuación de la recta que intercepta los ejes X y Y
en (3, 0) y (0, 5).
5−0
Y
y−0 = ( x − 3)
0−3
5
(0, 5)
y = − ( x − 3)
3
5
y = − x+5
3
5
x+ y =5
3
x y
+ =1
(3, 0)
X 3 5
O

17. Ecuación simétrica de la recta.
• La recta cuyas intercepciones con los ejes X y
Y son a ≠ 0 y b ≠ 0 , respectivamente, tiene
por ecuación:
x y
+ =1
a b

18. • Hallar el área del triángulo rectángulo
formado por los ejes coordenados y la
recta cuya ecuación es 5 x + 4 y + 20 = 0
5 x + 4 y = −20 Y
[ 5 x + 4 y = −20] ÷ −20 (-4, 0)
x y O X
+ =1
−4 −5
b×h
A=
2
A=
( − 4)( − 5) (0, -5)
2
A = 10u 2

19. Ecuaciones de líneas rectas en el
plano cartesiano.
Suponga que un productor sabe que el costo
total de la manufactura de 1000 unidades de su
producto es de $8500, mientras que el costo
total de la manufactura de 2000 unidades es de
$11500. Suponiendo que esta relación entre el
costo y el número de unidades fabricadas es
lineal, encuentre la relación. ¿Cuál es el costo
total de la producción de 2500 unidades?
Grafique la ecuación.

20. Ecuaciones de líneas rectas en el
plano cartesiano.
Una compañía de renta de autos alquila
automóviles por un cargo de $22 por día
más $0.20 por milla. Escriba una ecuación
para el costo y dólares en términos de la
distancia x millas recorridas si el carro se
alquila por N días. Si N = 3, dibuje una
gráfica de la ecuación.

21. Condiciones de Paralelismo y
Perpendicularidad.
Y Y
l1 l2 l1
l2
X X
O O
1
m1 = m2 m1 = −
m2

22. Ángulo entre dos rectas.
Y l2 l1
α
θ2
θ1
θ1 θ2
X
O

23. Geometría Analítica y las
secciones cónicas.

24. La Circunferencia.
Y
(x, y)
r
k
(h, k)
X
O h

25. La Circunferencia.

26. La circunferencia.
• Expresar x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 en la forma
2 2
estándar.
x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0
2 2
( x + 4x + ) + ( y − 6 y + ) = − 13
2 2
(x 2
) ( )
+ 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = −13 + 4 + 9
( x +2 ) 2
+( y −3) =0
2
(
C − 2, 3 ) r=0 Representa
un punto.

27. La circunferencia.
• Expresar x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 , en la
forma estándar.
x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0
(x 2
+2x + ) +(y 2
+8 y + ) = −19
(x 2
) ( )
+ 2 x +1 + y 2 +8 y +16 = −19 +1 +16
No
( x +1) 2 + ( y + 4) 2 = −2
representa
C ( −1, −4) r = −2 ningún lugar
geométrico.

28. La circunferencia.

29. Condiciones para determinar una
circunferencia.
Y
P2(x2, y2)
X
O
P3(x3, y3)
P1(x1, y1)

30. La parábola.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen.
Y
l
P(x, y)
LR
V(0, 0) F(p, 0)
X
O
x = -p

31. La parábola.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen.
Y
x2 = 4py
X
O

32. La parábola.
Y Y
p>0 p<0
X X
O O
Y Y
O p<0
X
p>0
X
O

33. La parábola.
Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje
paralelo a un eje coordenado.
Y Y
(h, k)
O X O
X
(h, k)
(y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)

34. La parábola.
Y Y
p>0 p<0
X X
O O
Y Y
O p<0
X
p>0
X
O

35. La parábola.
Intersección de una recta y una parábola.
Y
X
O

36. Antenas parabólicas: una
aplicación práctica.
• La antena mostrada en esta fotografía tiene 2 m de
ancho, en la parte donde está situado su aparato
receptor.
¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el
receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a
la sección parabólica de esta antena.

37. Puentes colgantes.
• Si las torres de un puente colgante tienen una
separación de 400 m. y los cables están atados
a ellas a 200 m. arriba del piso del puente, ¿qué
longitud debe tener el puntal que está a 50 m.
de la torre izquierda? Supongamos que el cable
toca el piso en el punto medio, V, del puente.

38. Túnel parabólico.
• Una carretera atraviesa un cerro a través de un
túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4
m de claro y 6 m de altura. ¿Cuál es la altura
máxima que puede tener un vehículo de
transporte de 2 m de ancho, para pasar sin
atorarse dentro de un túnel?

39. Elipse.
Elipse con centro en el origen.
Y
B P(x, y)
b
V’ F’ F V
(a, 0) X
(-a, 0) (-c, 0) c O c (c, 0)
b
B’ x2 y2
+ =1
a2 b2

40. Elipse.
Elipse con centro en el origen.
Y
x2 y2
+ =1
b2 a2
O X

41. Elipse.
Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes
paralelos a los coordenados.
Y Y
O X O X
(x - h)2 (y - k)2 (x - h)2 (y - k)2
+ =1 + =1
a2 b2 b2 a2

42. Elipse.
Intersección de una recta y una elipse.
Y
X
O

43. Elipse.
Desigualdades y la elipse.
(x - h)2 (y - k)2
Y
+ =1
a2 b2
(x - h)2 (y - k)2
+ <1
a2 b2
X
O
(x - h)2 (y - k)2
+ >1
a2 b2

44. Propiedades de la Elipse.
National Statuary Hall Collection

45. Propiedades de la Elipse.

46. La hipérbola.
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.
P(x, y) Y
B(0, b)
b
F’ c c F
X
(-c, 0) V’ O V (c, 0)
(-a, 0) (a, 0)
b
B’(0, -b)

47. La hipérbola.
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.
Y Y
O X O X
x2 y2 y2 x2
=1 =1
a2 b2 a2 b2

48. La hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola con centro en el origen.
Y
Y
X X
b a
y=+ x y=+ x
a b

49. La hipérbola.
Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje
cartesiano.
Y
Y
O X O X
(x - h)2 (y - k)2 (y - k)2 (x - h)2
- =1 - =1
a2 b2 a2 b2

50. La hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola con centro fuera del origen.
b a
(y – k) = + (x – h) (y – k) = + (x – h)
a b

51. Forma general de la ecuación de la
Hipérbola.
• Ejemplo: Encontrar las coordenadas del centro,
los vértices, los focos y el bosquejo de
3x 2 − 2 y 2 + 12 x + 2 y − 14 = 0
(3 x 2 + 12 x) − (2 y 2 − 2 y ) = 14
3( x 2 + 4 x) − 2( y 2 − y ) = 14
3( x 2 + 4 x + 4) − 2( y 2 − y + 1 / 4) = 14 + 12 − 1 / 2
3( x + 2) 2 − 2( y − 1 / 2) 2 = 51 / 2
3( x + 2) 2 2( y − 1 / 2) 2 51 / 2 ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2
− = − =1
51 / 2 51 / 2 51 / 2 51 / 6 51 / 4

52. Forma general de la ecuación de la
Hipérbola.
( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2
− =1
51 / 6 51 / 4
C (−2, 1 / 2) c2 = a2 + b2
51 51 51
a =
2
c = +
2
6 6 4
51 85
a= = 2.91 c =
2
6 4
85 85
c= = 4. 6 F (−2 ± , 1 / 2)
4 4
51
V (−2 ± , 1 / 2)
6

53. Forma general de la ecuación de la
Hipérbola.
• Ejercicio: x2 − y 2 + 4x + 6 y − 5 = 0
( x 2 + 4 x) − ( y 2 − 6 y ) = 5
( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 − 6 y + 9) = 5 + 4 − 9
( x + 2) 2 − ( y − 3) 2 = 0
a 2 − b2 = 0 (a + b)(a − b) = 0
a+b = 0 y a −b = 0
a = x+2 b = y −3

54. Forma general de la ecuación de la
Hipérbola.
( x + 2) + ( y − 3) = 0 ( x + 2) − ( y − 3) = 0
x+ 2+ y −3 = 0 x+2− y +3= 0
x + y −1 = 0 x− y+5= 0

55. La hipérbola.
Desigualdades y la hipérbola.
(x - h)2 (y - k)2
- =1
Y a2 b2
(x - h)2 (y - k)2
- >1
a2 b2
O’ X
(x - h)2 (y - k)2
- >1
a2 b2
(x - h)2 (y - k)2
- <1
a2 b2

56. Ecuación General de Segundo
Grado.
4 y − x + 2x −1 = 0
2 2
Representa una hipérbola o un par
de rectas que se cortan.
x + y + 14 x − 10 y + 26 = 0
2 2
Representa una circunferencia, un
punto o el conjunto vacío.

57. Ecuación General de Segundo
Grado.
y + 8 x − 2 y − 15 = 0
2
• Puede representar una parábola.
x + 4 y − 2x − 8 y + 5 = 0
2 2
• Puede representar una elipse, un
punto o el conjunto vacío.

58. Ecuación General de Segundo
Grado.
x − 120 y − 40 = 0
2
• Puede representar una parábola.
x + y − 6 x + 10 y + 34 = 0
2 2
• Representa una circunferencia, un
punto o el conjunto vacío.

59. Ecuación General de Segundo
Grado.
16 x − 9 y + 64 x + 18 y − 89 = 0
2 2
• Representa una hipérbola o un par de
rectas que se cortan.
9 x + 4 y − 36 x − 8 y + 76 = 0
2 2
• Puede representar una elipse, un punto
o el conjunto vacío.

60. Ecuación General de Segundo
Grado.
25 x + 9 y + 150 x − 36 y + 36 = 0
2 2
• Puede representar una elipse, un punto o el
conjunto vacío.

61. Traslación de ejes.
Y Y’
P (x, y)
(x’, y’)
O’
(h, k) X’
X
O

62. Transformación de la ecuación
general por rotación de los ejes
coordenados.
La ecuación general de segundo grado
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
en donde B ≠0, puede transformarse siempre en
otra de la forma
A' ( x' ) 2 + C ' ( y ' ) 2 + D' x'+ E ' y '+ F ' = 0
sin término en x’y’, haciendo girar los ejes
coordenados un ángulo positivo agudo α.

63. Rotación de los ejes coordenados.
Y
Y’
P
X’
r
A’
α
θ
X
O A

64. Rotación de ejes coordenados.
Rotación de ejes.
Reemplazando respectivamente x y y en la
ecuación de una curva por
x' cos α − y ' sin α
y ' cos α + x' sin α
se obtiene la nueva ecuación de la misma curva,
referida a los ejes x’y’.

65. Rotación de ejes coordenados.
Ejemplo 1. Escribir la nueva ecuación de la
curva
41x2 – 18xy + 41y2 = 800,
cuando los ejes coordenados se giran 45º.

66. Rotación de ejes coordenados.

67. Rotación de ejes coordenados.
Ejemplo 2. Determinar una nueva representación
de
x2 + 4xy – 2y2 – 6 = 0,
después de hacer girar los ejes el ángulo
α = arctan 1 / 2 . Trazar la curva y mostrar los
sistemas de coordenadas anterior y nuevo.

68. Rotación de ejes coordenados.
Eliminación del término Bxy
Para eliminar el término Bxy de la ecuación de una cónica,
el ángulo de giro se escoge así
si A = C, α = 45 0
si A C, B
≠ tan 2α =
A−C

69. Rotación de ejes coordenados.
Eliminación del término Bxy
1 − cos 2α 1 + cos 2α
sin α = cos α =
2 2