Este documento presenta un curso de geometría plana y del espacio dictado en Ríobamba, Ecuador en 2013. El curso cubre cinco unidades sobre conceptos fundamentales de geometría plana como puntos, líneas, ángulos y figuras geométricas planas, así como una introducción a la geometría del espacio con figuras tridimensionales. La instructora fue la ingeniera Leticia Lara.

1. CURSO SENCILLO DE GEOMETRIA
PLANA Y DEL ESPACIO
CURSO PROPEDEUTICO.
RIOBAMBA – 2013.
Ing. Leticia Lara.

2. Geometría Plana
CONTENIDOS.
UNIDAD 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Términos no definidos.
Posición relativa punto – plano.
figuras geométricas.
La línea Recta.
El ángulo.
Ángulos formaos entre rectas paralelas
UNIDAD 2. FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
La circunferencia y el círculo.
El triangulo.
El cuadrado.
El Rectángulo.
El Rombo.
El paralelogramo.
El trapecio.
UNIDAD 3. ELTRIANGULO.
3.1. Clasificación de los triángulos según sus ángulos.
3.2. Desigualdad de triángulos.
3.3. Los ángulos interiores de un triángulo.
3.4. Clasificación de los triángulos según sus lados.
3.5. El teorema de Pitágoras.
3.6. Rectas notables de los triángulos.
3.7. Principales teoremas sobre congruencia de triángulos.
3.8. Propiedades de los triángulos.
3.9. Semejanza de triángulos.
3.10. Relaciones métricas y trigonométricas.
UNIDAD 4. CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS DE FIGURAS PLANAS.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
Cálculo
Cálculo
Cálculo
Cálculo
Cálculo
Cálculo
Cálculo
Cálculo
en Rectángulo.
en el Cuadrado.
en el Paralelogramo.
en el Triángulo.
en el Rombo.
en el Trapecio.
de áreas en polígonos.
en la Circunferencia.
UNIDAD 5. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Conociendo los cuerpos.
El cuerpo geométrico.
El prisma.
La pirámide.
El Cilindro.
El Cono.
- 2-

3. Geometría Plana
5.7. La Esfera.
UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
La geometría, es la ciencia de las formas espaciales del mundo material que nos
rodea, su estudio básicamente esta relacionado con un conjunto de proposiciones
que estudian principalmente la forma, propiedades y medida de las figuras y
cuerpos geométricos; entendiéndose por proposición el o los enunciados de una Ley
o principio. Las proposiciones no deben ser contradictorias al igual que los
resultados que obtengan de ellas.
La Geometría forma uno de los sistemas más perfectos de la lógica, proporciona
disciplina mental y conocimientos fundamentales e indispensables para continuar
con estudios superiores no solo de la matemática.
Aprendemos a comprobar las proposiciones por razonamiento deductivo o
inductivo, analizando los problemas en base a los datos que se den, las leyes y
principios que pueden aceptarse como verdaderos y mediante una reflexión lógica,
cuidadosa y exacta, seleccionar y aplicar una solución a los problemas. Por el hecho
de que una palabra puede tener distintos significados para diferentes personas,
usaremos en las demostraciones términos que tengan el mismo significado para
cada uno de nosotros.
1.1.
TÉRMINOS NO DEFINIDOS.
Si consideramos que los objetos o cuerpos que rodean a los seres humanos, evocan
en su mente los conceptos de rectas y de curvas, de figuras planas y de cuerpos con
formas y volúmenes diferentes. Al observar varios cuerpos geométricos, algunos
tienen la misma forma, ejemplo: el tronco de un árbol, la lata de una conserva, un
tubo de oleoducto, los tubos de conducción de agua, los rodillos; tienen una forma
común, produciendo en nuestra mente una idea abstracta conocidas como
cilíndricas.
De forma similar en la construcción de habitaciones las paredes (verticales) y los
pisos (horizontales) nos dan la idea de perpendicularidad y paralelismo. Por lo tanto
los conceptos geométricos son abstractos y existen en nuestra mente, estos
conocimientos se los obtienen por inducción es decir por observaciones y
experiencias repetidas.
También existen palabras que son difíciles de definir y se procura describirlas en
base a otras palabras igualmente no definidas, tales definiciones se les denomina
TAUTOLOGIAS.
Al utilizar un término no definido, se supone que la palabra es elemental y que
todos conocemos su significado, puesto que no hay palabras más sencillas con las
que podamos definir estos términos. La geometría básicamente utiliza los siguientes
términos no definidos: Punto, Recta, Plano, Espacio y Medida.
La geometría plana estudia las proposiciones que relacionan puntos y rectas, los
puntos serán los elementos de un plano y las rectas también serán parte del plano.
* PLANO.
Un concepto los más abstracto posible de lo que es plano, puede ser una hoja de
papel lo más extenso posible, un mantel extendido, una pizarra, etc.
- 3-

4. Geometría Plana
REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION.
A
C
B
PLANO
C
PLANO
B
PLANO
A
‫ת‬
PLANO
‫ת‬
Generalmente se los denomina a los planos con una letra Mayúscula ubicada en el
interior de su presentación o con la palabra Plano acompañada de la letra
mayúscula (Plano A).
* PUNTO.
Los elementos primitivos de la geometría son llamados puntos. Podemos
representar el punto con una minúscula marca en el pizarrón, pero en la realidad
esta marca no es punto.
Euclides definió el punto como un elemento geométrico que tiene posición pero no
dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no han sido definidas,
por eso que se manifiesta la palabra punto no se define. Lo importante es que todos
tenemos o debemos tener la noción intuitiva bastante buena de lo que es un punto.
REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION DEL PUNTO.
Se representa por medio de una marca como las siguientes:
Se denominan por medio de una letra mayúscula escrita junto a una de las
representaciones gráficas:
C
1.2.
A
B
POSICIÓN RELATIVA PUNTO – PLANO.
Existen dos posiciones principales:
a) COPLANAR: Si el punto es elemento o parte del plano.
- 4-

5. Geometría Plana
b) EXTERNO: Si el punto no es elemento o parte del plano.
B
1.3.
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Al observar los diferentes cuerpos y figuras geométricas, encontraremos que tienen
algo en común que son los puntos. Por lo que podremos concluir que una figura
geométrica es un conjunto no vacío de puntos.
Ejemplos:
1.4. LA LÍNEA RECTA.
En la vida práctica se presentan muchos tipos de líneas. Generalmente los caminos y
carreteras tienen curvas, aunque en ocasiones presentan tramos
rectos.
Observemos las siguientes líneas: ¿Qué características diferentes
vemos en las 5 líneas trazadas? Que independientemente de
su posición, algunas líneas son rectas otras curvas. Así
tenemos que las líneas 1, 3 y 4 son curvas, las rectas están
señaladas con los números 2 y 5. Tanto las rectas como las
curvas son importantes para la geometría, pero en lo sucesivo
nos dedicaremos a estudiar sólo las rectas.
1.4.1. DENOMINACION DE LA RECTA.
Lo haremos con letras minúsculas tal y como se muestra en la
figura ( r, l, s ).
1.
2.
3.
4.
5.
Ya sabemos de la lección anterior que
una recta contiene infinitos puntos, pero
estos puntos cumplen una condición.
- 5-

6. Geometría Plana
Todos los puntos de una recta están alineados
en la figura, por ejemplo, se dice que
los puntos A, B y C están alineados o son
colineales.
De igual forma:
•
•
C, D y P son colineales
B, D, E y P son colineales pues son
puntos de la misma recta
Ejemplos:
1. ¿Cuántos puntos existen entre los puntos A y
B de la recta r? Observando la parte de la
figura que nos interesa comprobamos que
entre A y B podemos situar tantos puntos
como queramos.
Entre dos puntos diferentes de una recta, por cercanos que se encuentren, pueden
situarse infinitos puntos.
2. ¿Puede situarse un primer punto en la recta?
Para dar respuesta a esta pregunta tracemos una recta s y situemos un punto A al
que consideraremos como primer punto. Como s es una
recta, entonces es ilimitada, por tanto su trazo continúa
hacia la izquierda como muestra la figura. Luego
podemos situar un punto M que es anterior al punto A y
así sucesivamente podemos continuar situando puntos
anteriores.
En una recta no es posible situar un primer punto.
2. ¿Cuantas rectas diferentes determinan dos puntos diferentes del plano?
Situamos dos puntos diferentes M y N. Vemos que usando
la regla es posible trazar sólo una recta que pasa por los
puntos M y N como se muestra en la figura. Luego:
Por dos puntos diferentes pasa solo una recta.
Ejercita
1. ¿Puede situarse un último punto en la recta? Justifica tu respuesta.
a. Sitúa 4 puntos alineados.
b. Ubica 3 puntos no alineados.
2. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar por:
a. Tres puntos alineados
b. Tres puntos no alineados
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7. Geometría Plana
3. Observa los 4 puntos A, B, C, y D de la figura.
a. Traza todas las rectas diferentes que puedas.
b. ¿Cuántas rectas se obtienen en total?
.B
A.
.C
D.
1.4.2. Posiciones relativas de las rectas
Todos hemos visto el Ferrocarril y decimos que las líneas por donde pasan las máquinas
son paralelas. Hoy estudiaremos ese concepto.
¿Cuáles son las posiciones diferentes que pueden ocupar dos rectas r y s en un plano?
Caso 1:
caso P.
Son oblicuas y por tanto se cortan en un punto, en este

El símbolo ∩ en Matemática significa intersección.
r∩s={P}
Caso 2:
Las rectas r y s no tienen puntos comunes, se llaman
paralelas y se escribe r || s

El símbolo Ø significa nulo o vacío.
r∩s=Ø
Caso 3:
Las rectas r y s tienen infinitos puntos comunes y por tanto
coinciden.
En este caso se escribe r = s.
r∩s=s
Dos rectas de un plano se llaman paralelas si no tienen puntos comunes.
Por eso, a las líneas del ferrocarril se les llama también las paralelas del ferrocarril pues no
tienen puntos comunes. La distancia entre ambas líneas es la misma en cualquier tramo de
la vía.
Ejemplo:
En la figura se sabe que: r II s y s II m.
¿Qué puede decirse de las rectas r y m?
Es claro que las rectas r y m son paralelas también, o sea, que:
r II m.
Aprendamos los elementos de la recta
Hasta ahora conocemos un elemento muy
importante de la recta: el punto. Veremos a
continuación otros elementos con los cuales
trabajaremos en lo sucesivo.
- 7-

8. Geometría Plana
1.4.3. La semirrecta
Situemos entonces un punto O en una recta r. De esta manera la recta r queda dividida en
dos partes que se llaman Semirrectas de origen O. Es decir, en toda semirrecta hay un
primer punto, pero no hay último.
Normalmente nombraremos a la semirrecta por dos letras mayúsculas siendo la primera de
ellas el origen y la otra un punto que pertenezca a la misma, así por ejemplo: cuando
decimos la semirrecta OA nos referimos a la que
parte del punto O y va hasta el infinito pasando
por el punto A. De igual forma, la semirrecta OB
pare de O y pasa por el punto B. En este caso,
las
semirrectas OA y OB se llaman
opuestas pues la unión de las dos forma una
recta.
Las semirrectas pueden nombrarse también con
letras minúsculas.
¿Qué es un segmento?
Al situar dos puntos diferentes sobre una recta queda
determinado un segmento que denotamos por sus dos
extremos. Así tenemos que se ha representado el
segmento AB ( AB ), siendo A y B sus extremos.
Dos segmentos son iguales si tienen la misma medida.
Para trazar segmentos iguales usamos la regla o el
compás como se demostró en la lección 4.
Ejemplo:
En la figura señala y nombra:
a.
b.
c.
d.
e.
Una recta: La recta r que pasa por los puntos O y C.
Dos segmentos: Por ejemplo OA y BC .
Una semirrecta: Semirrecta OA .
Dos semirrectas de origen común: OA y OB .
La porción de plano comprendida entre dos semirrectas
de origen común: La comprendida entre las semirrectas
OA y OB cuyo origen común es el punto O
(sombreada en la figura).
Ejercita
4.
a. Traza una semirrecta PM.
b. Dibuja un segmento AB que no tenga puntos
comunes con la semirrecta PM.
c. ¿Puedes afirmar que PM || AB ? ¿Cómo
puedes definir el paralelismo entre un
segmento y una semirrecta?
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9. Geometría Plana
5. En la siguiente figura señala y nombra:
a. Dos rectas.
b. Cuatro segmentos.
c. Una semirrecta.
d. Tres puntos alineados.
e. Tres puntos no alineados.
f. La porción de plano comprendida entre el segmento AC y las semirrectas
AD y CE.
6. ¿Cuántos puntos contiene un segmento?
7. Traza 4 segmentos de forma tal que todos sean iguales y que los 4 tengan un
extremo común.
Ejercita
8. Di si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. Por dos puntos diferentes se pueden trazar dos rectas diferentes.
b. Tres puntos se llaman colineales si están situados sobre una misma recta.
c. Si dos rectas tienen dos puntos comunes, entonces coinciden.
d. Por tres puntos no alineados se pueden trazas se pueden trazar 4 rectas
diferentes
e. Por un punto de! plano se pueden trazar exactamente 3 rectas diferentes.
9. En la figura nombra y señala:
a. Dos rectas paralelas.
b. Dos rectas que se corten.
c. Tres puntos alineados.
d. Tres puntos no alineados.
e. Dos semirrectas de origen común.
f. Dos segmentos paralelos.
g. Una semirrecta que contenga al punto C.
h. La región del plano comprendida entre los
segmentos AP, PB y AB.
10. Las rectas r, I y s de la figura son paralelas y además: r ∩ m = { A }
a. Determina r ∩ s
b. ¿Cómo son las rectas m y s?
¿Por qué?
c. ¿Es la semirrecta AB paralela a la recta s?
¿Por qué?
11. En la figura: M es el punto medio del segmento AB = 12 cm.
a. ¿Cuál es la medida del segmento AM?
b. Sitúa un punto C en el segmento AB tal que
AC = 3 cm. ¿Cuál es la medida del segmento BC?
1.5. EL ANGULO.
En muchas ocasiones escuchamos la palabra ángulo y es que este
- 9-

10. Geometría Plana
concepto es uno de los más importante en toda la geometría. Pero realmente, ¿qué es un
ángulo?
1.5.1. Concepto de ángulo
Situemos un punto O en el plano y tracemos dos semirrectas diferentes de origen O. Al
sombrear la porción de plano comprendida entre las dos semirrectas de origen común OA y
OB hemos obtenido un ÁNGULO y que simplemente, para no tener que sombrear toda la
porción de plano lo graficamos con un arco de la manera que se indica en la figura.
Las semirrectas OA y OB se llaman lados del ángulo y el punto O se
llama vértice.
A los ángulos los denotamos por tres letras mayúsculas: ∠ BOA donde
el símbolo ∠ sustituye a la palabra ángulo. Un requisito indispensable
es que el vértice del ángulo esté situado en el medio de las tres letras.
Esto quiere decir que ∠ AOB y ∠ BOA representan el mismo ángulo,
aunque siempre usaremos el llamado sentido antihorario (en contra
de las manecillas del reloj) para nombrar los ángulos. Por eso, en este
caso, lo correcto será escribir ∠ BOA.
Claro está, que al trazar en un plano dos semirrectas de origen común
se obtienen dos ángulos. En esta ocasión se ha sombreado el ángulo
mayor MSN. Por eso es importante señalar el arco para saber a qué
ángulo nos referimos.
Ejemplo
Trazar un ángulo BOA, el segmento AB y un punto P que
pertenezca al ángulo y al segmento.
Para trazar un ángulo BOA primeramente situamos el
vértice O y a partir de aquí trazamos las semirrectas OA y
OB. Para el trazo del segmento AB basta unir los puntos A y
B. Cualquiera de los infinitos puntos del segmento AB
cumple la condición pedida pues todos están en el interior
del ∠ BOA.
Ejercita
12. ¿Cuántos ángulos se forman en el plano al trazar dos rectas oblicuas?
13. Se ha representado el ∠ MPQ.
a)
b)
Señala y nombra un punto interior al ángulo dado.
Señala y nombra un punto exterior al ∠ MPQ
representado.
14. En la figura se han trazado tres semirrectas de origen
común.
a)
Nombra los ángulos que se han señalado con arcos.
………………………………………..
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11. Geometría Plana
b)
………………………………………..
¿Cuántos ángulos se forman en total?
15. De la siguiente figura:
a)
Nombra los ángulos 1, 2 y 3 señalados en
la misma.
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
b)
Sombrea la porción de plano que pertenece
al mismo tiempo a los ángulos BQA y CPA.
16. Dibuja 4 puntos A, B, C, y D de forma tal que B, C y D sean alineados.
a)
b)
c)
Traza los ángulos ABC y BCD
¿Cuál consideras el mayor de los dos ángulos anteriores? ¿Por qué?
Sombrea la región del plano Siguiente: ∠ CDA ∩ ∠ ACD.
17. Determina, usando el graduador, la amplitud de los siguientes ángulos:
c)
b)
a)
18. Medir los siguientes ángulos
a)
b)
19. En la figura se ha representado el ángulo ABC. Explica cómo
determinas su medida usando el graduador común.
Sugerencia: Como el graduador común sólo abarca medidas
hasta
180°, aquí puedes trazar una semirrecta opuesta a BA y luego
plantear una suma de ángulos
20. En el siguiente ejercicio ejecuta lo solicitado de ser posible en el mismo folleto.
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12. Geometría Plana
a) Mide con el graduador los ángulos MQP y PQL de la figura.
b) Sin usar el graduador determina la amplitud del ángulo LQM y del ángulo
señalado.
α
1.5.2. Clasificación de los ángulos.
En lo sucesivo podremos clasificar los ángulos según su amplitud. Para ello es muy importante que
reconozcamos el ángulo cuya amplitud es de 90°.
•
Ángulo agudo: Es todo ángulo cuya amplitud
menor que 90°.
•
Ángulo recto: Es todo ángulo cuya amplitud sea
igual a 90°.
•
Ángulo obtuso: Es todo ángulo cuya amplitud
sea mayor que 90°.
•
Ángulo Llano: Es el ángulo cuya amplitud
es igual a 180° (igual a 2 ángulos rectos).
sea
Ejemplos sobre la clasificación de los ángulos.
•
37° es un ángulo agudo pues 37° < 90°.
- 12-

13. Geometría Plana
•
•
•
•
•
•
•
165° es un ángulo obtuso pues 165° > 90°.
90° es un ángulo recto.
89° 59' 59", o sea. 89 grados, 59 minutos y 59 segundos es un ángulo agudo
pues no llega a 90° (le falta 1 segundo).
180° es un ángulo llano.
200° es obtuso pues 200° > 90°; aunque en estos casos por ser 200° mayor que
180° también, que es el ángulo llano, se le denomina sobre obtuso.
La suma de dos ángulos llanos es igual a un ángulo llano pues 90° + 90° = 180°.
La suma de dos ángulos llanos es igual al ángulo completo que es 360°.
Ejercita
21. Clasifica los siguientes ángulos:
a) 100°
b)
20°
c)
90°
d)
179°
22. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifica tu respuesta.
a)
b)
c)
d)
e)
Todo ángulo recto es mayor que cualquier ángulo agudo.
Todo ángulo obtuso es menor que cualquier ángulo recto.
Todo ángulo obtuso es mayor que 100°.
La suma de dos ángulos agudos es siempre menor que un ángulo llano.
El doble de un ángulo agudo resulta siempre un ángulo obtuso.
23. ¿Cuánto miden dos ángulos agudos iguales si se conoce que su suma es igual a un
ángulo recto?
24. Ordena de menor a mayor los siguientes ángulos
a) 90°
b) 63°
c) 172°
d) 71°14'
e) 71°18'
25. ¿Cuánto miden tres ángulos agudos iguales si se sabe que su suma es igual a un
ángulo llano?
Ángulos consecutivos
Observemos la siguiente figura: ¿Qué características
presentan los ángulos AOB y BOC?
1)
Tienen un vértice común (O).
2)
Tienen un lado común (OB).
O
Por cumplir las dos propiedades anteriores ∠ AOB y
∠ BOC se llaman ángulos consecutivos.
Los ángulos consecutivos son muy útiles para el cálculo pues para encontrar la amplitud del
ángulo mayor, en este caso ∠ AOC, basta sumar las amplitudes de los ángulos
consecutivos.
Ángulos opuestos por el vértice
Tracemos dos rectas r y s que se cortan en el plano. Es fácil
comprender que se forman dos pares de ángulos. Los ángulos
opuestos que se forman al trazar dos rectas que se cortan en el plano
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14. Geometría Plana
se llaman ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. De esta forma, los ángulos 1 y 2 de la
figura son opuestos por el vértice. De manera idéntica ocurre con los ángulos 3 y 4. Es fácil
también comprobar con el graduador que los ángulos 1 y 2 tienen la misma amplitud. Ocurre
igual para los ángulos 3 y 4, por lo que podemos concluir que:
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.
Ejemplos
1. En la figura se han señalado las amplitudes de los
ángulos AOB y BOC.
a. Determina la amplitud del ∠ AOC.
b. ¿Cuál es la amplitud del ∠ DOA si los puntos C,
O y D son colineales?
Respuestas:
a. AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 60° + 100° = 160°
b. Si los puntos C, O y D son colineales, entonces ∠ COD = 180°, o sea, es un
ángulo llano.
Entonces: ∠ DOA = ∠ COD — ∠ AOC =180° — 160° = ∠ DOA = 20°.
2. Las rectas I y m se cortan en el punto P. Calcula
las amplitudes de los ángulos 1 y 2.
Respuestas:
∠ 1 = 50° por ser opuesto por el vértice con 50°.
∠ 2 = 130° por ser opuesto por e! vértice con 130°.
Ejercita
57. En la figura: ∠ COA = 175° ∠ COB = 35°.
a. Determina la amplitud del
∠ BOA
b. Clasifica los ángulos COA, BOA y COB según su
amplitud.
58. Las rectas r y s se cortan en e! punto O como muestra la
figura. Se sabe además que:
∠ EOA = 60° y ∠ BOC = 90°.
a. Determina la amplitud de los ángulos: AOB , COD y
DOE.
b. Construye y señala un ángulo opuesto por el vértice con
el ∠ BOC realizando un trazo auxiliar.
59. Responde verdadero o falso según corresponda. Justifica tu respuesta.
a. La suma de dos ángulos consecutivos es siempre menor que 180°.
b. Tres rectas diferentes que pasan por un mismo punto P del plano determinan
tres pares de ángulos opuestos por el vértice.
c. Si un ángulo α es consecutivo con un ángulo β y β es consecutivo con
un ángulo γ , α entonces es consecutivo con γ .
d. Si el ángulo α es consecutivo con el ángulo β, entonces β es consecutivo
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15. Geometría Plana
con
α
.
Algo más sobre ángulos
Ya conocemos que dos ángulos se llaman consecutivos si tienen además del vértice un lado
común. Sin embargo existen ángulos que además de ser consecutivos cumplen otras
condiciones.
¿Has visto las carriolas que usan los niños para jugar?
Observa en la figura cómo se forman dos ángulos, en
este caso, α y β que como ya estudiamos son
consecutivos.
¿Qué otra condición cumplen estos ángulos?
Ángulos adyacentes
Ahora tracemos un ángulo llano AOB y a partir de O
una semirrecta OC cualquiera. Así tenemos los ángulos
BOC y COA que como sabemos son consecutivos, pero
además cumplen una condición especial:
∠ BOC + ∠ COA = 180°.
Por eso, por ser consecutivos y sumar 180° se denominan
ADYACENTES. Otros conceptos importantes son los
siguientes:
Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman 90"
Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180°.
¿Cuál es entonces la diferencia entre ángulos adyacentes y ángulos suplementarios?
Ambos suman 180°, pero los adyacentes deben ser además consecutivos, mientras que los
suplementarios sólo tienen que sumar 180°, pero pueden estar ubicados en cualquier
posición del plano.
Ejemplos
1. Los ángulos 40° y 50° son complementarios pues 40° + 50° = 90°. Se dice que 40° es el
complemento de 50° ó que 50° es el complemento de 40°.
2. Los ángulos 120° y 60° son suplementarios pues 120° + 60° = 180°. Entonces decimos
que 120° es e! suplemento de 60° ó que 60° es el suplemento de 120°.
Ejercita
60. Señala el complemento de los siguientes ángulos:
a)
70°
b)
89°
c)
60°34'
c)
1
61. Indica el suplemento de los siguientes ángulos:
a)
100°
b)
90°
62. Señala, para cada una de las siguientes proposiciones, si son verdaderas o
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16. Geometría Plana
falsas. Justifica tu respuesta.
a.
b.
c.
d.
e.
Los ángulos de amplitud 55° y 35° son complementarios.
Dos ángulos adyacentes siempre son suplementarios.
Los ángulos de amplitudes 100° 50' y 79° 50' son suplementarios.
Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios.
Dos ángulos consecutivos son suplementarios si uno de ellos es agudo y el
otro obtuso.
63. En la figura se han representado dos rectas que se cortan en un punto O.
a. ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice con el <
COB?
b. Señala un ángulo adyacente con el < BOD.
c. Indica un ángulo suplementario con el < DOA.
d. Dibuja un ángulo complementario con el < COB.
64. Dado el ángulo X representado en el dibujo.
a. Construye un ángulo y tal que x e y sean
suplementarios.
b. Construye un ángulo z de tai manera que z sea el
complemento de x.
c. Di qué ángulo tiene mayor amplitud, y ó z?
Fundamenta tu respuesta.
Ejercitando
65. Las rectas I, m y n pasan por el punto O de la figura
donde además se han señalado las amplitudes de
dos ángulos.
a. Determina las amplitudes de los ángulos 1, 2, 3
y 4. Justifica tus respuestas.
b. Señala una pareja de ángulos suplementarios.
66. En la figura se ha representado el
∠ DOC = 42°.
∠ DOC.
b. ¿Cuál es la amplitud del ángulo construido?
a. Construye un ángulo adyacente al
67. En la figura se sabe que:
complementarios.
∠ 1 y ∠ 2 son
Los puntos A, O y B son colineales.
a. Señala cuánto mide la suma de las
amplitudes de los ángulos 1 y 2.
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17. Geometría Plana
Fundamenta tu respuesta.
b. ¿Cuál es e! resultado de sumar las amplitudes de los ángulos 1, 2, 3 y 4?
c. Demuestra que ∠ 3 y ∠ 4 son complementarios.
68. El suplemento de un ángulo x es igual a 116°.
a. ¿Cuál es la amplitud del ángulo X?
b. ¿Cuál es el complemento de! ángulo X?
c. Construye el ángulo X.
Bisectriz de un ángulo
En geometría siempre ha sido de gran interés dividir en dos ángulos iguales un ángulo dado.
En niveles posteriores estudiaremos un método para realizar esta operación usando
instrumentos de dibujo.
Hoy diremos que la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama
BISECTRIZ.
Como ∠ BOC = ∠ COA decimos que
semirrecta OC es la bisectriz del ∠ BOA
la
Construcción de la bisectriz de un ángulo.
•
•
•
¿A qué llamamos bisectriz de un
ángulo? Es la semirrecta que tiene
origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.
En muchas ocasiones necesitamos obtener la mitad de un ángulo y para ello
trazamos la bisectriz y no son pocas las construcciones geométricas donde se
necesita el trazado de la bisectriz.
Por ejemplo, para construir un campo de Baseball se
requiere que el puesto del lanzador esté situado sobre la
línea que divide en dos ángulos iguales el campo, tal y
como muestra la figura.
Ejemplos
1. En la figura se tiene que: ∠ TQP = 160°, QR: bisectriz del ∠ TQP.
a.
b.
c.
Determina la amplitud del ∠ TQR.
Señala la medida del complemento
∠ RQP.
¿Cuál es el suplemento del ∠
TQP?
del
Respuestas
- 17-

18. Geometría Plana
∠ TQP, entonces ∠ RQP = ∠ TQR, o sea que
a.
Como QR es bisectriz del
b.
la medida de ∠ TQR es la mitad del ∠ TQP, es decir:
160°
= 80°
∠ TQR =
2
∠ RQP = 80° por ser igual al ∠ TQR, luego su
complemento es 10°.
∠ TQP = 160°, entonces el suplemento será el ángulo
de 20°.
c.
2. Del siguiente gráfico se sabe que: Los puntos A, O y D son
colineales, ∠ COB = 25° y OB es bisectriz del ∠ COA.
a. ¿Cuál es la amplitud del
∠ AOD? ¿Por qué?
b. Determina la amplitud del
∠ DOC?
c. Señala dos ángulos que sean adyacentes.
Respuestas:
a.
b.
c.
∠ AOD = 180° pues los puntos A, O y D por ser colineales están sobre la
misma recta.
∠ COB = 25° y como OB es bisectriz se tiene que también ∠ BOA = 25°,
luego: ∠ COA = 50°, pero ∠ COA+ ∠ DOC = 180°, entonces 50° + ∠
DOC = 180°, de manera que: ∠ DOC
= 130°.
Por ejemplo ∠ AOB y ∠ BOD son
adyacentes.
Ejercita
69. En el plano se han trazado 3 rectas: I, m y n
obteniéndose los ángulos que muestra la
figura.
a. Determina y justifica la amplitud de los
ángulos señalados con las letras griegas
α, β y γ.
b. ¿Cómo son los ángulos α y 55°? ¿Por qué?
70. La semirrecta OC es bisectriz de los ángulos BOD y
AOE al mismo tiempo.
a. Muestra que ∠ AOB = ∠ DOE.
b. Si ∠ COD = 60° y ∠ AOB = 20°, calcula el
AOE.
71. En la figura se tiene que: ∠ AOC = 140°;
bisectriz de ∠ AOB.
∠
∠ BOF = 50° y ∠ AOE = 20°. OE:
- 18-

19. Geometría Plana
a. Determina la amplitud del ángulo
EOB
b. ¿Cuánto
mide
el
∠ FOC?
Justifica tus pasos
c. Muestra que la semirrecta OF es
bisectriz del ∠ BOC.
72. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo de
90°.
Ejemplo
La recta r es perpendicular a la semirrecta OB y
ángulos AOB y BOC.
∠ COD = 70°. Determina la amplitud de los
Respuesta:
∠ AOB = 90° por estar formado por dos rectas
perpendiculares. Es conveniente aclarar que aunque OB no
es una recta sino una semirrecta el concepto se cumple
igual.
Como ∠ BOD = 90° esto quiere decir que ∠ COD y ∠
BOC son complementarios puesto que su suma es 90°.
De manera que:
∠ BOC = 20° pues ∠ 70° + 20° = 90°
Ejercita
73. En la figura: ∠ BOA = 90° y OC: bisectriz del
∠ BOA.
a. ¿Cómo son las semirrectas OA y OB? ¿Por
qué?
b. ¿Cuál es la amplitud de los
∠ COA y ∠ BOC?
74. Si r ⊥ s y I y m son las rectas bisectrices de los
4 ángulos formados por las rectas r y s, muestra que I y m
son perpendiculares también.
75. Se sabe que las semirrectas AO y OE de la figura son
perpendiculares.
Además:
OC:bisectriz del ∠ AOE
OB:bisectriz del ∠ AOC y ∠ BOD= 45°
a.
Determina la amplitud de los ángulos AOE y COE. Justifica tu respuesta.
b.
¿Cuál es la amplitud del ∠ AOB? ¿Por qué?
c.
Muestra que la semirrecta OD es bisectriz del ∠ COE.
d.
Muestra que la semirrecta OC es también bisectriz del BOD.
- 19-

20. Geometría Plana
e.
Muestra que
∠ AOC = 2 * ∠ COD.
Ejercitando
76. Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu
respuesta. SON PERPENDICULARES:
a. Dos lados consecutivos de un rectángulo.
b. Dos lados opuestos de un cuadrado.
c. Dos lados consecutivos de un rombo.
d. Los marcos de la ventana.
e. Las diagonales del rombo.
77. En la figura se sabe que: ∠ AOD = 90°.
a. Señala dos segmentos perpendiculares.
b. ¿Cuál es el ángulo complementario con el ∠
COD?
c. ¿Cuál es el complemento del ∠ BOC?
78. Se sabe que las diagonales de un cuadrado como
el que aparece dibujado son bisectrices de los
ángulos opuestos.
a. ¿Qué amplitud tienen los ángulos BAC y
ACB? Fundamenta tu respuesta.
b. ¿Cuánto suman los tres ángulos interiores del
∆ABC?
79. En la Figura aparecen dos ángulos opuestos
por el vértice. Uno tiene una amplitud igual a 2x
y el otro 3y.
a. Expresa la amplitud del ángulo
α
en
función del valor x y en función del valor y.
b. Señala qué cantidad es mayor: x ó y ? Explica tu respuesta.
1.6. Ángulos formados entre rectas paralelas
El cruce del ferrocarril
Cuando una carretera atraviesa las líneas paralelas del
Ferrocarril se produce una figura como la que se muestra.
¿Cuántos ángulos se forman en esta figura? Se forman 8
ángulos. Estudiaremos los nombres que reciben los ángulos
cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta la
cual llamaremos secante.
Sean las rectas m, n y s tales que: m II n; s: secante.
- 20-

21. Geometría Plana
Aquí podemos señalar ángulos adyacentes, por ejemplo, ∠ 1 y ∠ 2; ∠ 5 y ∠ 7. También
existen ángulos opuestos por e! vértice como por ejemplo ∠ 2 y ∠ 3; ∠ 5 y ∠ 8. Sin
embargo hay otras parejas interesantes que estudiaremos a continuación:
Ángulos alternos internos
Son ángulos que se encuentran a ambos lados de la
secante y dentro de las paralelas.
Ejemplos: ∠ 3 y ∠ 6, ∠ 4 y ∠ 5.
Ángulos alternos externos
Son ángulos que se encuentran a ambos lados de la
secante y fuera de los paralelas.
Ejemplos: ∠ 2 y ∠ 7; ∠ 1 y ∠ 8.
Ángulos correspondientes
Se encuentran a un mismo lado de la secante; uno
dentro y otro fuera de las paralelas.
Ejemplos: ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 8; ∠ 1 y ∠ 5; ∠ 3 y
∠ 7.
Ángulos conjugados
Se encuentran a un mismo lado de la secante y ambos
están dentro o ambos están fuera de las paralelas.
Ejemplos:
y ∠ 6.
∠ 1 y ∠ 7; ∠ 3 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 8; ∠ 4
Ejercita
80. En la figura se sabe que; m || n y s es una recta secante.
a. Di cómo se nombran las siguientes parejas de ángulos:





∠3 y
∠3 y
∠2 y
∠1 y
∠2 y
∠ 5________________
∠ 7________________
∠ 8________________
∠ 8________________
∠ 3________________
- 21-

22. Geometría Plana

∠ 2 y ∠ 4________________
b. Cuál es el ángulo correspondiente con el ángulo ∠ 5?
c. Di una pareja de ángulos conjugados.
81. Las rectas r y s son paralelas y la recta
m es secante.
En la figura señala y nombra:
a. El ángulo opuesto por el vértice con
el ángulo a dado.
b. Un ángulo adyacente con α.
c. El ángulo correspondiente con α.
d. El ángulo alterno interno con α.
82. Traza dos rectas paralelas y una
secante. Señala en el dibujo todas las parejas de ángulos que sean
correspondientes.
¿Cómo son los ángulos entre paralelas?
Ya sabemos cómo se nombran los ángulos que se forman entre paralelas. Ahora veremos
qué propiedades cumplen.
Desarrolla
Propiedades de los ángulos entre paralelas
Sean m II n y s una recta secante. Usando el graduador
medimos las amplitudes de los ángulos 1 y 2 comprobando
que son iguales, por tanto decimos:
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Esta propiedad también la cumplen los ángulos alternos
externos y los correspondientes. Entonces;
Los ángulos alternos externos entre paralelas son iguales.
Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
¿Cómo son los ángulos conjugados entre paralelas? Ya
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
sabemos que 1 y 2 son conjugados, pero 2 y 3 son
adyacentes, luego: 2 + 3 = 180°. Pero, ¿qué relación existe
entre los ángulos 1 y 3?
Es claro que son alternos externos, por tanto son iguales, de
manera que:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 y 3 , esto quiere decir que
= 180° y
2 +3
ˆ
ˆ
2 +1 = 180° de lo que se deduce:
Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios, es decir suman 180°.
- 22-

23. Geometría Plana
Ejemplo
ˆ
En la figura: r II p y m: secante; 1 = 70°. Calcula los restantes ángulos enumerados en la
figura.
Respuesta:
ˆ
Sabemos que 1 = 70°, luego:
ˆ
ˆ
4 = 70° por ser opuesto por el vértice con 1 .
ˆ
ˆ = 70° por ser alterno interno con 1 .
7
ˆ
ˆ
5 = 70° por ser correspondiente con 1 .
ˆ
ˆ
2 + 1 = 180° pues son ángulos adyacentes,
ˆ
luego 2 = 110° pues es el suplemento de 70°.
ˆ = 110 por ser opuesto por el vértice con 2.
3
ˆ
6 = 110° por ser correspondiente con 2.
ˆ
ˆ
8 = 110° por ser alterno externo con 2 .
*
*
*
*
*
*
*
Ejercita
83. De la figura se sabe que: a II b y c: secante.
ˆ
ˆ
Además 1 + 2 = 100°. Calcula los restantes
ángulos enumerados en la figura.
84. En la circunferencia de centro O, las
cuerdas AB y CD son paralelas. Se sabe
además que ∠ ABC = 40°. Determina la
amplitud del ángulo o = ∠ DCB. Justifica
respuesta.
Ejercitando
tu
O
Ejemplo
En el siguiente gráfico se tiene que: a II b y m, n son rectas
secantes que se cortan en el punto O. OA: bisectriz del ∠
BOC.
Calcula la amplitud de los ángulos señalados con los
números 1, 2, 3, 4, Y 5.
0
Solución:
•
•
∠ 1 = 35° por ser opuesto por el vértice con el
ángulo dado de esta amplitud.
∠ 1 + ∠ 2 = 100° por ser correspondiente con el ángulo dado que tiene vértice
en C. Luego, como ya sabemos que ∠ 1 = 35º se tiene que: 35° - ∠ 2 = 100° =
=> ∠ 2 = 100° - 35° = => ∠ 2 = 65°
- 23-

24. Geometría Plana
Determinemos ahora la amplitud del ∠ 4. Para ello sabemos que: 100° - ∠ BOC
= 180° por ser conjugados internos, entonces ∠ BOC = 180° y como OA es
bisectriz se obtiene que ∠ 4 = 40°.
Por otra parte: ∠ 3 = ∠ BOC + 35° por ser alternos internos; luego; ∠ 3 = 80° 35° => ∠ 3 = 115°.
Por último, como los ángulos 4 y 5 son alternos internos (la bisectriz opera como
secante) se tiene que: ∠ 5 = 40°.
•
•
•
Ejercita
85. En la figura se tiene que: r II s y m II n
a. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero que se ha
formado en la figura? ¿Por qué?
b. Demuestra que los ángulos 1 y 2 son iguales.
86. Las rectas p, r y t son paralelas y. la recta s
es secante.
a. Determina la amplitud de los ángulos 1 y
2.
b. Señala en la figura todos los ángulos cuya
amplitud sea de 65°.
Ejercitando
87. La amplitud de los ángulos α, β es de 60° y 40°
respectivamente.
Calcula la amplitud de los ángulos y y 6 si se conoce
que r || s.
88. En la figura se tiene que: r II s y las rectas a y b se
cortan en un punto de la recta r. Además: 1 = 54° y
2 = 106°.
ˆ ˆ ˆ
ˆ
Calcula la amplitud de los ángulos 3,4,5 y 6
enumerados en la figura.
ˆ
89. Las rectas m y n son paralelas y se sabe que: 1 =
ˆ
35°; 2 = 140°.
ˆ
ˆ
Calcula la amplitud de los ángulos 3 y 4 .
- 24-

25. Geometría Plana
90. En la figura: r II s; < CAB = 80° CB: bisectriz del Z ACD.
Calcula la amplitud del < ECB.
91. El segmento AC es una diagonal del rectángulo
ABCD representado en el gráfico. Señala y nombra
todos los ángulos que sean iguales.
92. De las 4 rectas que aparecen en la figura
conocemos que: r— s; a II b; r y s se cortan en un
punto de la recta a.
ˆ
Además 1 = 30°.
a.
la
ˆ ˆ
2, 3
b.
Calcula
y
amplitud de los ángulos
señalados en la figura.
ˆ
ˆ
¿Cómo se nombran los ángulos 1 y 3
¿Porqué?
ˆ
4
93. En la figura: r II s y las rectas a, b y c se cortan en un punto
de la recta s.
ˆ
ˆ
ˆ
∠ 1 = 75°; ∠ 2 = 110°; ∠ 3 = 155°.
Calcula
las
amplitudes
de
los
ángulos
ˆ
4,
ˆ
ˆ
5, 6
y
ˆ
7
94. Los segmentos AB y AC son perpendiculares.
∠ CBA = 60°; además ∠ CBA y ∠ AFG son
complementarios y
BC || DE II FG.
a. Halla la amplitud del ∠ AFG.
b. Señala y nombra todos los ángulos de la figura que
tienen la misma amplitud que el ∠ AFG. Explica tu
respuesta.
c. ¿Qué ángulos de la figura miden 60°? ¿Por qué?
95. En la figura: a || b y los ángulos con vértice en C y D miden 120º y 40º
respectivamente. Además se sabe que: ∠ 3 = ∠ 4 = ∠ 5.
a. Determina la amplitud de los ángulos
1 y 2.
b. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos 3,
o
- 25-

26. Geometría Plana
4 y 5?
c. Muestra que ∠ 7 = 2 + ∠ 6
UNIDAD 2. FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS.
2.1. La circunferencia y el círculo
Estudiemos esta explicación: ''En un radio de acción de 10 metros
alrededor del pozo se deben sembrar rosas". ¿Qué significa esto
realmente? En palabras cotidianas decimos: "10 metros a la redonda del
pozo debemos sembrar rosas". En realidad, se ha establecido un círculo
alrededor del pozo y en todo su interior sembraremos rosas.
2.1.1. Circunferencia
Los conceptos de círculo y circunferencia están muy relacionados, pero tienen una gran
diferencia que veremos a continuación.
Circunferencia: Es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a una misma
distancia de un punto llamado centro. A esa distancia la llamamos radio, o sea, que el radio
es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; en el caso de
la figura, radio = r = OP .
De manera que la circunferencia sólo está formada por los
puntos que pertenecen al arco, como por ejemplo los puntos P
y Q.
O
Observa que por estar P y Q a la misma distancia del centro O
se cumple que:
OP = OQ
Los radios de una misma circunferencia son iguales.
2.1.2. Círculo
Círculo: Es el conjunto de todos los puntos interiores y fronteras de una circunferencia. Lo
anterior quiere decir que al círculo pertenecen, además del arco, todos tos puntos interiores
incluido el centro, tal y como se muestra en la figura.
Ejemplo
Una moneda representa un círculo por ser totalmente cerrada en
tanto que un anillo de bodas asemeja una circunferencia.
- 26-

27. Geometría Plana
Elementos principales del círculo.
Cuerda y diámetro
Además de! centro y el radio estudiaremos otro elemento
importante de la circunferencia.
O
Cuerda: Es todo segmento que une dos puntos cualesquiera de
una circunferencia. En la circunferencia de centro O de la figura MN es una cuerda.
En particular, si una cuerda pasa por el centro de la circunferencia entonces se llama
diámetro. Observemos que el diámetro es la mayor de todas las cuerdas y su longitud será:
AB = AO + OB , pero AO = OB = r = radio, entonces,
AB = 2r.
En toda circunferencia, el diámetro es la mayor de tas cuerdas y
su longitud es el doble del radio.
O
Ejercita
30.
¿Cuáles de los
circunferencias?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
31.
siguientes
ejemplos
representan
círculos
y
cuáles
La tapa de un tanque
El aro de una bailarina
El fondo de una botella
La llanta de una bicicleta
El brocal de un pozo
Una pelota de fútbol
Responde falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta.
a.
b.
c.
d.
Una circunferencia tiene infinitos puntos.
Todas las cuerdas de una circunferencia son iguales.
Todos los diámetros de una circunferencia son iguales.
Una circunferencia queda determinada de manera única por dos puntos que
pertenecen a la misma.
e. Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces estas cuerdas
son diámetros.
f. Todos los puntos de una cuerda pertenecen a la
circunferencia.
32.
En la figura se tiene una circunferencia de centro O y
radio r = 2 cm
a. Clasifica los puntos A, B, C y D en interior, frontera
y exterior a la circunferencia.
b. Traza el ∠ BOA.
c. Compara los segmentos OD y OC con el radio
r. ¿A qué conclusión puedes llegar?
O
- 27-

28. Geometría Plana
33.
En una plantación de naranjas se necesita hacer un ruedo de 1 metro de radio a
cada planta para preservar el tronco de las malas yerbas. Explica cómo harías
para marcar el terreno.
34.
En la figura realiza las siguientes actividades.
a. Traza una circunferencia cuyo centro sea el punto P y que pase por Q.
b. Traza la circunferencia que tiene centro en Q y que pasa por P.
c. ¿Cómo construyes la circunferencia que tiene por diámetro el segmento PQ?
P
Q
35.
Construye dos circunferencias. La primera tiene centro en el punto O y su radio
es igual a 2 cm. La segunda tiene como centro un punto H y su diámetro es igual
a 10 cm, de forma tal que:
a. OH = 8 cm
b. OH = 5 cm
c. OH = 2 cm
36.
Utilizando una piola y dos estacas dibuja en el patio de tu casa una circunferencia
para jugar bolas (canicas) con tus hijos.
2.2. El triángulo
Es muy frecuente escuchar a las personas decir la palabra triángulo. Por ejemplo, se habla
en un terreno de! triángulo que forman una colina, un árbol y una casa; se habla del
triángulo que forman las ciudades de Máchala, Cuenca y Guayaquil y hasta se habla de un
triángulo amoroso. Y efectivamente es que la palabra triángulo significa algo de tres puntas.
2.2.1. El triángulo y sus elementos
En la palabra triángulo, TRI significa 3; lo que quiere decir que el triángulo será una figura
geométrica cerrada que tiene 3 ángulos. Podemos añadir que tiene 3 puntas, que por ser los
vértices de los ángulos interiores se llaman
vértices del triángulo y los segmentos que
forman el triángulo se llaman lados.
Construir un triángulo es muy sencillo. Basta
situar 3 puntos no alineados en el plano y
unirlos mediante trazos con una regla.
¿Cómo nombramos a los triángulos?
Sin embargo como podemos trazar muchos triángulos, es necesario dar nombres a sus
elementos (ángulos, vértices y lados).
•
A los vértices, por ser puntos los denotamos
por letras mayúsculas y escribimos:
- 28-

29. Geometría Plana
•
•
Δ ABC : significa triángulo ABC
El ángulo señalado en la figura ya sabemos que se escribe ∠ BAC. Nótese que
la letra A siempre estará en el centro por tratarse del vértice del ángulo.
Al lado opuesto al vértice A, que en este caso es el segmento BC , para
abreviar lo denotamos por la letra a minúscula. De igual forma los demás
vértices.
Ejemplo
En la figura se ha dibujado el Δ MNP.
• el ángulo señalado es el ∠ MPN.
• MP = n; NP = m; MN = p.
2.3. El cuadrado
Vamos a conocer una figura geométrica que es muy usada fundamentalmente en la
construcción y que tiene una gran importancia para muchas cosas de nuestra vida cotidiana.
El cuadrado es una figura geométrica cerrada de 4 lados que cumple las siguientes
propiedades:
1. Sus cuatro lados son iguales.
2. Sus cuatro ángulos interiores son rectos.
Al cuadrado normalmente lo nombramos por sus cuatro vértices,
entonces en el caso de la figura escribimos cuadrado ABCD.
2.3.1. Elementos y propiedades del cuadrado
En todo cuadrado hay un elemento muy importante llamado diagonal que es el segmento
que une dos vértices opuestos. Por tanto todo cuadrado tendrá dos diagonales.
En este caso las diagonales son MP y QN . Si medimos
con una regla estas diagonales comprobamos que son
iguales y lo más impresionante es que
el punto O se
encuentra a la misma distancia de los puntos M, N, P y Q,
lo que quiere decir que O es también el punto medio de
las diagonales.
0
Las diagonales de un cuadrado son iguales y se cortan en
su punto medio.
Observa que por encontrarse O (intersección de las diagonales) a la misma distancia de los
puntos M, N, P y Q se cumple que:
OM = OP = ON = OQ de lo que se deduce que el punto O es el centro de la
circunferencia que pasa por los vértices del cuadrado. En otras palabras: "para cada
cuadrado existirá una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices y cuyo centro será el
- 29-

30. Geometría Plana
punto donde se intersecan sus diagonales".
Ejercita
37.
En la figura se ha dibujado el cuadrado STRK y se
sabe que TR = 3 cm.
a. ¿Cuánto mide el lado KR ? ¿Por qué?
b. ¿Qué amplitud tiene el ∠ TSK? ¿Por qué?
38.
Del cuadrado ABCD se sabe que: OB = 2 cm.
a. ¿Cuál es la longitud del segmento OD
Fundamenta tu respuesta.
________________________________
b. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC ?
¿Por qué?
________________________________
0
Usando el graduador mide el ∠ AOB y di
cuál es su amplitud.
________________________________
c.
d. Si trazas una circunferencia con centro en O y radio r = OA verás que pasa
por los puntos B, C y D. Explica por qué ocurre esto.
________________________________
39.
¿Qué procedimiento harías para construir un cuadrado usando una escuadra?
40.
En la figura aparece el cuadrado ABCD
lado mide 4 cm. Este cuadrado a su vez
dividido en 16 cuadraditos iguales.
a. ¿Cuánto mide el lado de cada
cuadradito?
b. Señala un cuadrado cuyo lado sea
a 3 cm .
c. ¿Cuántos cuadrados hay en total en
figura?
cuyo
se ha
igual
la
2.4. El Rectángulo
Todos hemos asistido a un campo de fútbol y hemos observado cómo la cancha tiene más
de largo que de ancho y oímos a los locutores decir: "Ya se encuentran los árbitros en el
rectángulo de juego".
¿Qué es en realidad un rectángulo? Es interesante conocerlo porque hay muchas cosas en
- 30-

31. Geometría Plana
la vida que asemejan rectángulos como por ejemplo las puertas y ventanas de la casa, las
hojas de nuestro cuaderno, etc.
Es una figura geométrica cerrada de 4 lados cuyos ángulos interiores son todos iguales a
90°.
En el caso de la figura escribimos rectángulo ABCD.

¿Cuál será entonces la diferencia esencial entre el cuadrado y el rectángulo?
Pues que el cuadrado presenta sus cuatro lados iguales y el rectángulo
no.
Pero una simple observación nos lleva a la conclusión de que los lados
opuestos de un rectángulo son iguales.
En efecto: AB y CD son lados opuestos y se
tiene que:
AB = CD y de igual forma BC = AD
Los lados opuestos de un rectángulo son iguales.
2.4.1. Elementos y propiedades del rectángulo
Al igual que el cuadrado, el rectángulo tiene dos diagonales; en
este caso MP y QN y para mayor similitud las diagonales en el
rectángulo también son iguales y se cortan en su punto medio.
¿En qué se diferencian las diagonales de un cuadrado de las
diagonales de un rectángulo? En que las diagonales del cuadrado
al cortarse siempre forman ángulos de 90°, mientras que en el
rectángulo no ocurre esto.
O
Ejercita
41.
Escribe ejemplos de la vida real que te den la idea de un rectángulo.
42.
En el rectángulo EFGH se tiene que:
EF = 5 cm; FG = 12 cm y HF = 13 cm.
¿Qué longitud tienen los segmentos HG y EH ?
qué?
b)
Determina la longitud del segmento PG .
c)
¿Cuál es la amplitud del ∠ EHG?
¿Por
a)
P
- 31-

32. Geometría Plana
43.
Dentro de la circunferencia de centro O y radio r = 3 cm se ha dibujado el
rectángulo OABC.
Calcula la longitud de la diagonal AC .
Fundamenta tu respuesta.
O
44.
Dibuja un rectángulo MNPQ cuyo largo sea igual al
doble del ancho.
¿Cuántos cuadrados puedes obtener de un
rectángulo como este? Fundamenta tu respuesta.
45.
Fundamenta por qué para cada rectángulo existe también una circunferencia que
pasa por sus 4 vértices. ¿Cuál será el centro de esta circunferencia?
46.
Comprueba con tus compañeros/as si las figuras geométricas del campo de fútbol
o de alguna otra cancha, están trazados correctamente de acuerdo a lo que
hemos estudiado.
2.5. El rombo
La figura geométrica que vamos a estudiar el ROMBO por ser muy bonita los ingenieros la
usan mucho para decorar ventanas de los edificios y otras
cosas. También se usa en otros lugares para dar estética y
belleza. Las cometas que vuelan los niños en sus juegos
asemejan este tipo de figura.
Es una figura geométrica cerrada de 4 lados iguales. Es decir,
que la característica principal del rombo es que sus 4 lados
tienen la misma longitud. O sea, se tendrá que:
AB = BC = CD = AD . También lo llamaremos por sus vértices
y escribimos rombo ABCD.
Propiedades del rombo
O
Al igual que las otras figuras estudiadas el rombo cumple ciertas
propiedades. Como observamos, las diagonales del rombo
también se cortan en su punto medio, es decir: MO =OP y
ON =OQ y se cortan formando ángulos de 90°, pero no es
necesario que estas diagonales sean iguales tal y
como se muestra en la figura.
Ejercita
O
- 32-

33. Geometría Plana
47.
En la figura se ha representado el rombo EFGH. Se sabe que EH = 5 cm.
a. ¿Cuál es la longitud de los segmentos EF y FG? ¿Por qué?
b. ¿Cómo son los segmentos OH y OF? ¿Por qué?
c. ¿Cuál es la amplitud del ∠ EOF?
48.
Explica qué procedimiento emplearías para construir una cometa y que
materiales utilizarías. Ahora construye cometas con tus compañeros y tus hijos y
prueben a jugar con ellas.
2.6. El paralelogramo
Aunque el nombre es difícil de decir, se trata de una figura fácil de reconocer. Por tener
también 4 lados es un cuadrilátero, pero como su nombre lo indica se caracteriza por el
paralelismo de sus lados.
Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Esto quiere decir que en el
paralelogramo ABCD tendremos que: AB II CD y BC || AD.
Como consecuencia inmediata de este paralelismo se tiene que además de ser paralelos,
los lados opuestos también son iguales, o
sea que: AB = CD y BC = AD .
Como se observa, sus diagonales no tienen
que ser iguales, pero si se cortan en su punto
medio, de manera que: AO =OC y
BO =OD .
o
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos
Ejercita
49.
En la figura: MN II PQ
y
MQ || NP * MQ = 6 cm.
a. ¿Qué nombre recibe el
cuadrilátero
MNPQ?
Fundamenta.
b. ¿Qué longitud tiene el
segmento
¿Por
NP ?
qué?
c. ¿Cómo
se
puede
determinar exactamente,
medir, el punto medio de la
diagonal MP ?
sin
50.
Si a un paralelogramo le agregamos la condición de que sus cuatro lados sean
iguales, ¿qué figura geométrica se obtiene?
51.
Si a un paralelogramo le agregamos la condición de que sus cuatro ángulos
interiores sean rectos, ¿qué figura geométrica se obtiene?
- 33-

34. Geometría Plana
52.
Explica por qué el cuadrado, el rectángulo y el rombo son paralelogramos.
2.7. El Trapecio
¿Alguna vez asististe a un circo? Bueno, uno de los números más apreciados es el de los
trapecistas, que son esos increíbles artistas que caminan por encima de una cuerda. El
nombre de trapecista viene dado por la forma de la estructura que sostiene la cuerda.
Es todo cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos. Aquí tenemos el trapecio
ABCD pues AB ⊥⊥CD . También son trapecios los cuadriláteros MNPQ y EFGH debido a
⊥
que cada uno de ellos tiene un par de lados paralelos: MN ⊥ PQ y EF ⊥ GH .
⊥
A estos lados que son paralelos se les denomina
también bases del trapecio.
A diferencia de las restantes figuras estudiadas, el
trapecio no cumple otras propiedades especiales ni
con sus lados ni con sus diagonales.
Ejercita
53.
Las rectas r y s representadas en la figura son
paralelas. Se sabe que: AB =CE y CD = EF .
Di qué nombre recibe cada uno de los
siguientes cuadriláteros:
a) ABEC
54.
b)ABED
c)ABFD
El cuadrilátero MNPQ es un cuadrado. E: punto
de NP y PQ = 6 cm.
a. Explica por qué MEPQ es un trapecio.
b. Determina la longitud de sus bases.
Ejercitando y repasando
1.
medio
O
En la figura se muestra una pieza
ornamental donde se sabe que:
AB || CD || EF; AD || CF y BC || CE
- 34-

35. Geometría Plana
2.
Señala todos los ángulos que sean iguales al
tu respuesta.
3.
Si
∠ OAB = 45º, ¿cuál es la amplitud del ∠ DCP?
d.
¿Qué relación existe entre las rectas r
la figura?
Explica tu respuesta.
e.
∠ PEF de la figura. Fundamenta
y s de
En la figura se tiene que: a || b
II c || d; además las rectas r y s
son secantes que se cortan en
el punto P de la recta c.
Los ángulos señalados en P y Q miden
60° y 40° respectivamente.
Halla la amplitud de los ángulos 1, 2, 3,
4, 5 y 6 señalados en el gráfico.
f.
1.
2.
Las rectas m y n son paralelas
y s es una recta secante.
¿Qué posición ocupan los ángulos x
y 2y señalados en la figura?
Compara los valores de x e y. Di cuál
es mayor
g.
En la figura: AF || DF y además ∠
BED + ∠ CBA= 180°. Demuestra que:
BF es bisectriz del ∠ EBC.
h.
1.
2.
Se pretende hacer una bandera para
identificar un Parque como muestra la A
figura, pero se requiere que AE y DE
sean bisectrices de los ángulos rectos
de las esquinas.
¿Cuánto mide el ∠ DAE?
¿Cuál es la amplitud del ∠ AED?
- 35-

36. Geometría Plana
En el ∆ ABC de la figura se sabe que:
Además AC || DE .
Hallar la amplitud de los ángulos CDA y ACD.
i.
∠ BAC = 40° y ∠ EDC = 25°.
La amplitud del ∠ AOB es de 80°. Halla
la medida del ángulo representado por
x.
j.
¿Cuánto hemos aprendido?
k.
1.
2.
3.
4.
5.
Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.
Al trazar 3 rectas diferentes en el piano se forman 12 ángulos
Dos ángulos se llaman adyacentes si son suplementarios.
Si dos ángulos adyacentes son iguales, entonces las rectas que lo forman son
perpendiculares.
Si dos ángulos son iguales entonces se llaman opuestos por el vértice.
l.
a)
m.
Usando el graduador, determina la amplitud de los siguientes ángulos:
b)
Construye,
usando
el
graduador,
ángulo
de
que
tenga
vértice
al
O y que uno de sus lados pase por el punto A.
n.
Las rectas r y s se cortan en el punto O y
además:
OC: bisectriz de ∠ AOD
OB: bisectriz de ∠ AOC.
a)
¿Cuántas veces es el ángulo α de la
figura mayor que el ∠ AOB?
b)
Si ∠ BOC = 20°, calcula la amplitud
del ∠ AOD.
o.
un
65º
por
punto
En la figura: m II n y s: secante. Además:
- 36-

37. Geometría Plana
∠ 1=155°; ∠ 2= 115°.Determina la amplitud del ángulo 3.
UNIDAD 3. EL TRIANGULO.
3.1. Clasificación de los triángulos.
Los triángulos se clasifican y nombran según la forma y
tamaño de sus ángulos y lados.
Según la medida de sus lados pueden ser:
ESCALENOS:
Cuando los tres lados tienen medidas diferentes.
- 37-

38. Geometría Plana
EQUILÁTEROS:
Cuando sus tres lados son iguales.
ISÓSCELES:
Cuando de los tres lados dos son iguales.
Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
ACUTÁNGULOS:
Cuando sus tres ángulos interiores son agudos, o sea, cada uno de
ellos mide menos de 90°.
α <90º; β<90º y γ <90º
RECTÁNGULOS:
Cuando presenta un ángulo recto, es decir, un ángulo de
90°.
∠ BCA = 90º
OBTUSÁNGULOS:
Cuando tiene un ángulo obtuso, o lo que es lo mismo, un
ángulo mayor de 90°.
∠ CBA > 90º
Ejemplos:
1)
A continuación se ofrecen triángulos en los cuales se han establecido algunos datos
sobre sus elementos principales. Clasifícalos, siempre que sea posible, según sus
lados y ángulos.
Respuestas:
a)
∆ABC es rectángulo pues tiene un ángulo
recto. No podemos clasificarlo según sus lados
pues no tenemos datos.
∠ ABC = 90º
- 38-

39. Geometría Plana
b)
∆PMN es isósceles pues tiene dos lados iguales. No podemos clasificarlo según sus
ángulos pues no tenemos la amplitud de sus ángulos interiores.
m = p = 5cm
c)
∆PQR es obtusángulo pues tiene un ángulo
mayor que 90°.
∠ PQR = 140º
d)
∆STH es escaleno pues sus tres lados son
desiguales.
h = 3cm; t = 4cm; s= 6cm
e)
∆ABC es equilátero por tener sus tres lados
iguales.
a=b=c
f) ∆DEF es rectángulo e isósceles al misma tiempo
pues presenta un ángulo recto y dos de sus lados son
iguales.
∠ DEF = 90º; DE = 4cm; EF = 4cm
Ejercita
p.
a)
b)
c)
d)
Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Explica cada
caso.
Un triángulo equilátero tiene dos lados iguales.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
Un triángulo acutángulo puede tener un ángulo de 95°.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
Un triángulo puede ser rectángulo y obtusángulo al mismo tiempo.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
Si un ∆ABC es tal que a = 3cm, b = 4cm y c = 5cm, entonces se puede decir que
es isósceles.
- 39-

40. Geometría Plana
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
Un triángulo puede ser al mismo tiempo escaleno y obtusángulo.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
e)
q.
¿Dónde estará el ángulo obtuso de un triángulo para que al mismo tiempo
sea obtusángulo e isósceles?
En la figura: m || n y CD ⊥
∠ 1 = 120°
Clasifica los triángulos ABC y
ACD atendiendo a la amplitud de sus
ángulos.
r.
s.
n,
Del cuadrilátero ABCD de la
figura se sabe que: ∠ ADC =
100°;
AB ⊥ BC y AD = CD
1.
2.
Clasifica el ∆ACD según sus lados y
ángulos.
Clasifica el ∆ABC según sus ángulos
interiores.
t.
Explica mediante un esquema por qué un triángulo no puede tener dos
ángulos rectos.
3.2. Desigualdad triangular
Uno de los problemas más antiguos que conoce la humanidad es el de la determinación del
camino más corto entre dos puntos. Y no es para menos pues muchas veces realizamos
viajes innecesarios gastando tiempo, energía y recursos.
Este camino más corto en una hoja de papel es sencillo determinarlo, más en la realidad es
en ocasiones difícil debido a la gran variedad de obstáculos que se presentan por e! camino
recto. No obstante, fortalecernos en la teoría constituye un paso esencial para resolver los
problemas cotidianos de la vida real.
En la siguiente figura aparecen varios caminos para dirigirse
desde el punto A hasta el punto B. ¿Cuál de los caminos
representados es el más corto?. Evidentemente es el
camino 2. Por tanto podemos concluir que:
El camino más corto entre dos puntos diferentes es el
segmento de recta que los une.
- 40-

41. Geometría Plana
Esta situación geométrica la podemos observar en un triángulo. En este caso, para dirigirse
desde A hasta B, el camino más corto es la longitud c, es decir: a + b > c, de igual forma
podemos escribir: a + c > b y b + c > a. En general decimos:
La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es siempre mayor que el tercero.
A esta importante relación en geometría se le denomina desigualdad triangular.
Ejemplos
1) Establecer la desigualdad triangular en los
triángulos representados en la figura.
Respuestas:
a)
Ante todo debemos dar nombres a los
lados del triángulo. Según hemos
acordado al lado opuesto del vértice M
le llamará m y así sucesivamente,
entonces:
m+p>n
m+n>p
p + n > m.
b)
a)
se
b)
De igual forma: t + s > r
r+s>t
r + t > s.
2) Di si las siguientes magnitudes pueden ser las medidas de los lados de un triángulo.
3 cm; 10 cm; 4 cm
Respuesta:
Para que eso ocurra, los tres números tienen que cumplir la desigualdad triangular.
Probemos:
•
•
•
3 + 10 =13 y al compararlo con e! tercer lado que es 4, vemos que se cumple
pues 13 > 4 .
Tomamos otro par de lados para probar: 10 + 4 = 14 > 3 y también se cumple.
Veamos ahora la última posibilidad:
3 + 4 = 7, pero 7 < 10 y ya en este caso no se cumple, entonces concluimos que
con esas medidas no se puede construir un triángulo.
En la práctica no tenemos que trabajar tanto pues simplemente tomamos las medidas de los
- 41-

42. Geometría Plana
dos menores, las sumamos y comparamos con el lado mayor. Por ejemplo aquí sólo
hubiéramos tomado las medidas 3 y 4 que son las menores; su suma es 7 y como resulta
menor que el tercer lado, entonces ya no cumple la desigualdad triangular.
Ejercita
u.
Di si con las siguientes medidas podemos construir un triángulo.
a) 7cm; 8cm; 9cm
d) 100cm; 100cm; 2cm
v.
b) 4cm; 5cm; 12cm c) 10cm; 20cm; 10cm
e) 100cm; 2cm; 2cm f) 6cm; 6cm; 6cm
¿Es posible que en un triángulo, un segundo lado sea el doble del primero
y el tercero sea el doble del segundo? Justifica tu respuesta.
Una propiedad importante
Usando la regia y el graduador medimos los lados y los ángulos del triángulo que aparece
en la figura:
a = 5cm
b = 4cm
c = 7cm
∠ A = 45°
∠ B = 35°
∠ C =100°
Desarrolla
Relación entre un lado y su ángulo
opuesto en un triángulo
Respondamos las siguientes preguntas:
¿Cuál es el mayor de los ángulos? ∠ C
¿Cuál es el mayor de los lados? Lado c
¿Qué posición ocupan e! lado c y el ángulo ∠ C?
•
•
•
El lado c está opuesto al ∠ C y recíprocamente podemos decir que el ∠ C se opone al lado
c.
Observa como el mayor ángulo se opone al mayor lado y recíprocamente al mayor lado se
opone el mayor ángulo.
Después, el lado que le sigue al c es el lado a y consecuentemente su ángulo opuesto ( ∠
A) es el segundo de mayor amplitud. Por último, al lado más pequeño, que en este caso es
e! lado b se le opone e! ángulo más pequeño que sería ∠ B = 35°. Por eso concluimos que:
En todo triángulo al mayor lado se opone el ángulo mayor
y recíprocamente
Ejemplo:
1)
6cm.
Del ∆MNP se sabe que: n = 4cm; p = 3cm; m =
a)
¿Cuál es el ángulo mayor?
- 42-

43. Geometría Plana
b)
¿Cuál es el ángulo menor?
Respuestas:
a)
El ángulo mayor es el que se opone al lado mayor que en este caso es m = 6cm, por
tanto será NMP.
b) El ángulo menor se opone al lado p = 3cm, entonces será el que tiene vértice en el
punto P.
Ejercita
w.
En el triángulo de la figura se
tiene que:
∠ ACB = 90°;
∠ BAC = 30°;
y ∠ CBA = 60°.
a)
b)
c)
Clasifica el ∆ABC según la amplitud
de sus ángulos.
Señala cuál es el lado mayor.
Justifica tu respuesta.
DI cuál es el lado menor. ¿Por qué?
x.
y.
a)
b)
¿Cómo serán los ángulos interiores de un triángulo equilátero? ¿Por qué?
De un triángulo EFG se sabe que: EF = 7cm; FG = 9cm y EG = 10cm.
Nombra los ángulos interiores del ∆EFG.
Ordénalos de menor a mayor.
z.
a)
b)
De un triángulo ABC conocemos que ∠ ABC = 70°; ∠ BAC = 30° y ∠
ACB = 80°.
Nombra y ordena sus lados de menor a mayor.
Clasifica el ∆ABC atendiendo a la longitud de sus lados y a la amplitud de sus
ángulos interiores.
a. ¿Puede ser escaleno un triángulo que presenta dos de sus ángulos interiores
iguales? ¿Cómo lo clasificarías? Explica tu respuesta.
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
3.3. Los ángulos interiores de un triángulo.
Dibujemos un triángulo cualquiera y con el graduador
midamos sus ángulos interiores. Por ejemplo, en el
- 43-

44. Geometría Plana
∆ABC de la figura comprobamos que:
∠ BAC = 67°
∠ CBA = 43°
∠ ACB = 70°.
Sumamos las tres medidas y tenemos: 67° + 43°+ 70°= 180°.
Si hacemos este proceso varias veces con diferentes triángulos (más grandes, más
pequeños) obtenemos el mismo resultado. ¡Algo increíble!, ¿verdad?
Desarrolla
Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo
Luego, todo parece indicar, que en un triángulo cualquiera la suma de sus tres ángulos
interiores resulta siempre 180°. Pero esta propiedad debemos demostrarla pues las
mediciones sólo nos dan una idea de lo que ocurre y además no siempre son exactas.
Tenemos un ∆ABC Cualquiera y por el vértice C dibujemos una paralela al lado opuesto AB
como muestra la figura. Aquí se sabe que: ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180º (1) por ser
consecutivos y formar un ángulo llano.
Pero: ∠ A = ∠ 1 por ser alternos internos entre
paralelas. Y ∠ B = ∠ 3 por la misma razón anterior. Por cumplirse estas igualdades, en
lugar de situar ∠ 1 y ∠ 3 en la relación (1) podemos poner los ángulos ∠ A y ∠ B
respectivamente. Entonces tenemos:
∠ A + ∠ 2 + ∠ B = 180°, pero el ∠ 2 = ∠ C
pues es el ángulo interior del ∆ABC
correspondiente al vértice C, luego:
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° con lo cual
En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180°
Ejemplo
Si en un triángulo se sabe que dos de sus ángulos miden 35º y 100º, ¿Cuánto medirá el
tercer ángulo?
Sabemos que la suma de los tres ángulos tiene que ser 180º. Entonces sumamos los dos
ángulos dados:
35º + 100º = 135º. De manera que el tercer ángulo medirá lo que le falta a 135º para llegar a
180º, o sea; 180º - 135º = 45º, es decir, el tercer ángulo medirá 45º.
Ejercita
- 44-

45. Geometría Plana
aa.
1.
Determina el tercer ángulo del triángulo si conocemos que:
Dos de sus ángulos miden 48º y 32º
2.
Dos de sus ángulos miden 95º y 25º
3.
El triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos mide 40º
bb.
De un triángulo isósceles se sabe que un ángulo mide 100º. ¿Cuánto
miden los otros dos ángulos de dicho triángulo? Justifica tu respuesta.
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
En un ∆ABC se tiene que ∠ ACB = 36º y además se conoce que
ABC = 2 ∠ ACB.
Determina las amplitudes de los ángulos ABC y BAC
Clasifica según sus lados y ángulos al ∆ABC
cc.
1.
2.
∠
3.4. Clasificación de los triángulos según sus lados.
En lo sucesivo estudiaremos algunos tipos de triángulos que por su importancia merecen un
estudio independiente, tal es el caso del que podemos llamar triángulo perfecto.
Desarrolla
3.4.1. Triángulo equilátero
Ya sabemos que un triángulo se llama equilátero si tiene sus
tres lados iguales, como el que aparece en la figura, ¿Cuál será
el ángulo mayor? Como no hay un lado mayor que otro tampoco
podemos señalar un ángulo mayor que otro y de esta forma
concluimos entonces que los tres ángulos interiores de un
triángulo equilátero son iguales, pero como ya sabemos que la
- 45-

46. Geometría Plana
suma de los tres ángulos es iguala 180°; ¿podemos calcular la medida de uno cualquiera de
ellos? Llamemos x a la medida del ángulo BAC. Entonces:
∠ BAC = x y como los tres son iguales se tendrá también que: ∠ CBA = x y ∠ ACB = x,
luego; x + x + x = 180°; 3 x = 180°. Ahora sólo nos falta averiguar qué número multiplicado
por 3 nos da 180°. Es claro que x = 60°.
En iodo triángulo equilátero sus tres ángulos interiores miden 60° cada uno.
Debido a que en un triángulo equilátero todos sus elementos son iguales es que podemos
llamarlo triángulo perfecto. Hay otras propiedades que cumple el triángulo equilátero pero
las estudiaremos posteriormente.
Ejercita
dd.
ee.
1.
2.
Clasifica según sus lados y ángulos un triángulo del cual se sabe que sus
tres ángulos interiores miden 60° cada uno.
está
El cuadrilátero ABCD de la figura
formado
por
dos
triángulos
equiláteros.
Determina la amplitud del ∠ CBA.
¿Qué nombre recibe el cuadrilátero
ABCD? Justifica tu respuesta.
ff.
1.
2.
La recta r es el eje de simetría del
triángulo equilátero ABC y se sabe que
BD = 3 cm.
Calcula la longitud del segmento AB .
Determina la amplitud del ∠ ACD.
3.4.2. El triángulo isósceles
En geometría es también de sumo interés el estudio de
los triángulos isósceles que como sabemos son aquellos
que tienen dos lados iguales.
Elementos del triángulo isósceles
En la figura se ha trazado un triángulo isósceles pues a
=
b.
¿Cuáles son los ángulos que se oponen a los lados iguales a y b? Son los ángulos en A y B.
¿Cuál de los ángulos ∠ A ó ∠ B es mayor?
Ninguno de los dos pues sus lados opuestos son iguales.
Estos ángulos iguales en el triángulo isósceles se llaman
ÁNGULOS BASES y al lado c, que es el lado desigual, se le
llama LADO BASE.
Al ángulo opuesto al lado base se le llama ÁNGULO
PRINCIPAL.
Si a = b, entonces ∆ABC es isósceles.
- 46-

47. Geometría Plana
De manera que:
En todo triangulo isósceles tos ángulos bases son iguales
Ejemplos
1) En el triángulo de la figura se tiene que; ∆POR es isósceles de base r y ∠ QPR =
75°.
a)
Calcula la amplitud de los restantes ángulos
interiores del ∆ PQR.
b)
Clasifica el ∆ PQR según la amplitud de sus
ángulos.
Respuestas:
a)
El ángulo dado ∠ QPR = 75° es uno de los ángulos bases, por tanto el otro ángulo
base ∠ RQP = 75° por ser ángulos bases de un triángulo isósceles y los dos tienen
que ser iguales.
75° + 75° = 150°, por tanto el otro ángulo que falta, el ∠ PRQ = 180° - 150° = 30°,
pues la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
b) Según sus ángulos es acutángulo pues sus tres ángulos interiores son agudos, o
sea, menores de 90° y según sus lados es isósceles ya que presenta dos lados iguales,
Ejercita
gg.
El ángulo principal de un triángulo isósceles mide 100°. ¿Cuánto miden
los ángulos bases?
hh.
Clasifica según sus lados y ángulos a un triángulo del cual conocemos
que sus ángulos miden 45°, 90° y 45°. Justifica tu respuesta.
- 47-

48. Geometría Plana
ii.
Un ángulo base de un triángulo isósceles mide 50°. ¿Cuánto miden los
otros dos ángulos de! Triángulo
jj.
a)
b)
Un ángulo interior de un triángulo isósceles mide 20°.
¿Cuánto miden los otros ángulos?
Explica las diferentes posibilidades que se puedan presentar
Ejercitando
En la figura: ∠ QPR = 76° y ∠ RQP
= 52°
Determina la amplitud del ∠ PRQ .
Clasifica el ∆ PQR según la amplitud de sus
ángulos y la longitud de sus lados.
Señala cuál es el lado mayor del triángulo
dado.
kk.
a)
b)
c)
ll.
Del ∆MNP se sabe que: ∠
MPN = 45° y que el ángulo
NMP tiene el doble de
amplitud que el ángulo
PNM.
- 48-

49. Geometría Plana
a)
b)
c)
Calcula la amplitud de los ángulos NMP y PNM.
Clasifica el ∆MNP según la longitud de sus lados. Justifica tu respuesta.
Señala el lado mayor.
mm. Sean ∠ 1, ∠ 2 y ∠ 3 los tres ángulos interiores de un triángulo.
Conociendo que ∠ 1 = x; ∠ 2 = 2x y ∠ 3 = 3x:
a)
b)
a)
b)
Determina las amplitudes de los tres ángulos
Clasifica dicho triángulo según sus lados y ángulos.
nn. En la figura: ∆ BCD: isósceles de base CD y ∠
ABC = 80°; BD: -bisectriz del ∠ ABC; ∆ABD es
rectángulo en A.
Determina, justificando cada paso, las amplitudes de
los ángulos: ∠ ABD; ∠ BDA; ∠ BCD y ∠ BDC.
Calcuta la amplitud del ∠ CDA.
mm. De la figura se sabe que: A, B y C son colineales.
∆BCD es equilátero. AD ⊥ CD .
a)
b)
c)
Calcula la amplitud del ∠ ABD.
Comprueba que el ∆ABD es isósceles. Señala su ángulo
principal.
Muestra que B es el punto medio del segmento AC .
2) En la figura: P, Q y M son alineados. ∠
NQP = 110° y ∠ NMQ = 60°. Calcula la
amplitud de los ángulos QNM y MQN.
Respuesta:
- 49-

50. Geometría Plana
∠ NQP = ∠ NMQ + ∠ QNM por ser ∠ NQP exterior, es decir: 110° = 60° + ∠ QNM =>
∠ QNM = 110° - 60° = 50°. 110° + ∠ MQN = 180° por ser adyacentes, luego:
∠ MQN = 180°-110° =70°.
Ejercita
nn.
En la figura aparece el A MPQ
al cual se le han prolongado
sus lados.
Di cuáles de los ángulos señalados en
la figura con los números 1,2, 3 y 4
son exteriores. Justifica tu respuesta.
Muestra que: ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 1 +
180°
a)
b)
oo.
Del A ABC se sabe que:
∠ ABC = 62° y que el ángulo exterior
correspondiente al vértice C mide 130°.
a)
Calcula la amplitud de los ángulos BAC y
ACB .
b)
¿Cuál será la amplitud del ángulo exterior
respectivo al vértice B? Fundamenta tu
respuesta.
Ejercitando
Ejemplo
El ∆PQN de la figura es isósceles de base PQ .
∠ MNQ=150°.
Determina la amplitud de los ángulos interiores del
∆PQN.
Respuesta:
150° + ∠ N = 180° pues son ángulos adyacentes,
luego: ∠ N = 180° - 150° = 30°; 150° = ∠ P+ ∠ Q
por la propiedad del ángulo exterior, pero: ∠ P =
∠ Q por ser ángulos bases de un triángulo isósceles. Entonces basta dividir para dos el
ángulo de 150° y tenemos que: ∠ P = ∠ Q = 75°.
- 50-

51. Geometría Plana
Ejercita
pp.
a)
b)
El triángulo ABC es isósceles de
base AC y además ∠ CAB = 25°.
Calcula la amplitud del ∠ CBO.
Clasifica el ∆ABC atendiendo a la
amplitud de sus ángulos.
qq.
a)
b)
En un triángulo isósceles, un ángulo exterior mide 80°.
Haz un esquema del triángulo.
Determina la amplitud de los ángulos interiores del triángulo dado
rr.
¿Cuánto miden los ángulos interiores y exteriores de un triángulo
isósceles rectángulo?
En la figura: ∠ RQP = 130°;
∠ QRS = 60° y ∠ RTS = 40°.
Determina la amplitud de: ∠ RSQ y
∠ SRT.
Clasifica el ∆QRT según sus ángulos.
ss.
a)
b)
tt.
El ∆ABC es rectángulo en C y ∆BCD
es isósceles de base BC . Además
se conoce que: ∠ CDB = 140° y ∠
CAB = 70°
- 51-

52. Geometría Plana
a)
b)
Calcula la amplitud de: ∠ DCA; ∠ ABC , ∠ BCD
Muestra que también el ∆ACD es isósceles. Señala su ángulo principal.
uu.
Determina una fórmula para calcular la suma de los tres ángulos
exteriores de un triángulo cualquiera.
3.5. El teorema de Pitágoras
En el estudio de algunos triángulos especiales tenemos que dedicarle un tiempo importante
al triángulo rectángulo, principalmente por su gran aplicación en la práctica. Ellos cumplen
una propiedad que es muy útil para el cálculo y que se conoce como Teorema de Pitágoras
en honor al gran filósofo griego de la antigüedad, Pitágoras.
Construyamos un triángulo rectángulo
de forma tal que los lados que
conforman el ángulo recio midan 3cm y
4cm respectivamente. En lo sucesivo, a
estos lados que forman el ángulo recto
los llamaremos cateto a CATETOS y al
lado que se opone al ángulo de 90° lo
llamaremos HIPOTENUSA.
Construir un triángulo rectángulo tal que
sus catetos midan 3 cm y 4 cm no es
difícil pues con la escuadra logramos el
ángulo recto y luego con la regla
medimos 3 y 4 centímetros a cada lado, determinando así los puntos B y A que al unirlos
nos determina el triángulo ABC.
Pues bien, ya conocemos que a = 3cm y b = 4cm. ¿podemos determinar la longitud de la
hipotenusa? Tomemos una regla y midamos. Rápidamente comprobamos que c = 5cm.
Para llegar al conocimiento de alguna propiedad debemos responder la siguiente pregunta:
- 52-

53. Geometría Plana
¿qué relación existe entre los números 3, 4 y 5? Aquí pueden darse muchas respuestas,
entre ellas que los números 3, 4 y 5 son consecutivos, pero observemos la siguiente
relación:
32 = 3 • 3 = 9
42 = 4 • 4 = 16
52 = 5 • 5 = 25
Observa que 9 + 16 = 25, es decir, 32 + 42 = 52.
Conociendo que 3 y 4 son las longitudes de los catetos a y b, siendo además c = 5 podemos
plantear que:
a2 + b2 = c2, llegando así al teorema de Pitágoras pues esta propiedad increíblemente no
sólo se cumple en el triángulo representado en la figura sino que es válida en cualquier
triángulo siempre y cuando sea rectángulo.
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos
Ejercitando
144.
Del ∆MNP de la figura conocemos que:
MN = 15 cm; NP = 8 cm y que ∠ MNP
90°.
Calcula la longitud del segmento MP .
=
145. El ∆HKT es rectángulo en H. E: cateto t mide
cm mientras que se conoce que la hipotenusa
mide 20 cm. Calcula el valor del otro cateto.
12
h
146. En la figura se ha representado el rectángulo
a)
b)
ABCD del cual se conocen sus dimensiones:
largo AB = 24 cm y ancho BC = 7 cm.
Calcula la longitud de la diagonal BD .
¿Cuál es la longitud de la diagonal AC ?, ¿por
qué?
Sugerencia:
Observa que ABD constituye un triángulo rectángulo y se dan como datos sus catetos.
- 53-

54. Geometría Plana
147. La hipotenusa c de un triángulo rectángulo isósceles es tal que c 2 = Determina la
longitud de sus catetos.
Resolviendo problemas
148.
Desde la punta B de una torre de
tendido eléctrico AB que tiene 12
de altura se ha colocado un tensor
BC . Calcula la longitud de este
tensor si se sabe que la distancia
desde la base de la torre hasta el
punto donde descansa el tensor (
AC ) es de 35 m.
m
149. Una piola de 13 m de longitud está colocada en una estaca E y va hasta la cúpula
de un árbol como muestra la figura. Se sabe además que la distancia entre la
estaca y el árbol es de 12m. Calcula la altura del árbol.
13m
E
12
m
- 54-

55. Geometría Plana
3.6. Rectas notables del triángulo.
Hasta ahora conocemos los elementos principales de un triángulo como son sus A vértices,
lados y ángulos interiores. Pero para cada triángulo existen otros elementos que son
sumamente importantes y que por tanto es muy conveniente estudiarlos por las propiedades
que cumplen.
Mediatrices de un triángulo
Se llaman mediatrices de un triángulo a las mediatrices
de sus lados. En el caso de la figura se han trazado las
mediatrices m (m), m (n) y m (p) de los lados m, n y p
del triángulo MNP.
Lo más importante aquí es que las tres mediatrices del
triángulo concurren en el punto C y esto sucede en
cualquier triángulo que tracemos. Observemos algo
interesante: Como C ∈ m(p), entonces se cumple que C
equidista de los puntos M y N, o sea, MC = PC ,
pero: C ∈ m(m), luego también MC = PC y
lógicamente: MC = NC =PC , es decir, que C
equidista de los tres vértices del ∆MNP, por tanto, al trazar una circunferencia con centro en
C y radio r = MC esta pasará por los restantes vértices del triángulo. De manera que el
punto C será el centro de la circunferencia circunscrita (quiere decir que está por fuera) del
∆MNP. Por eso, este punto recibe el nombre de Circuncentro.
Las tres mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado Circuncentro que es el
centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo
Ejemplo
Tracemos la circunferencia circunscrita del ∆KRS de la
figura, que es rectángulo en R. Para ello sólo necesitamos
trazar dos mediatrices pues ya sabemos que la tercera
pasará por el Circuncentro.
Aquí trazamos m (s) y m (k) intersecándose en el punto C.
Luego, con el compás hacemos centro en C y construimos
la circunferencia de radio CK; como vemos, esta circunferencia pasa por los puntos K, R y
S. Nótese que el punto C ha quedado en el medio de la hipotenusa del ∆KRS. Esta
propiedad se cumplirá en todos los triángulos rectángulos.
El circuncentro de todo triángulo rectángulo es el punto
medio de la hipotenusa
Ejercita
150.
a)
En el ∆ABC de la figura traza las
mediatrices de los lados AB y BC
- 55-

56. Geometría Plana
b)
Llámale O al circuncentro y traza la circunferencia circunscrita al ∆ABC.
Sugerencias:
a)
Para encontrar el circuncentro no es necesario trazar las tres mediatrices; sólo
bastan dos pues ya se sabe que la tercera pasará por ese punto.
Después que determine el punto O
trazar con el compás la circunferencia
centro O y radio OA, OB o OC ,
estos tres radios son iguales.
b)
151. Determina un punto O que equidiste de
basta
de
pues
los
BC, CD y AD ,
lados
del cuadrilátero
ABCD representado en la figura.
152.
En la figura se ha representado la poligonal MNPQ
a. Traza las mediatrices de los
segmentos MN, NP y PQ.
b. Determina un punto que se encuentre
misma distancia de M, N, y P.
c. Determina un punto que equidiste de
y Q.
d. ¿Existe algún punto del plano que se
encuentre a la misma distancia de los
cuatro puntos dados M, N, P y Q? ¿Bajo qué condiciones esto sería posible?
a la
N, P
153. Traza la circunferencia circunscrita al
rectángulo ABCD de ¡a figura. Explica
el procedimiento que empleas.
Alturas y medianas
Ya conocemos que las mediatrices de un triángulo son elementos muy importantes, pero
estas no son las únicas rectas notables que existen en un triángulo pues hay otras muy
significativas que estudiaremos en adelante.
Desarrolla
Altura
Se denomina altura de un triángulo al segmento que va
desde un vértice y llega de forma perpendicular al lado
opuesto. En el caso de la figura, se ha trazado la altura
relativa al lado c y por eso la denotamos por h (c).
Es claro entonces que un triángulo posee tres alturas,
una relativa a cada lado. Lo más importante es que, al
igual que las mediatrices, las tres alturas de un triángulo
se intersecan en un punto O tal y como muestra la
figura. Este punto se denomina ORTOCENTRO.
- 56-

57. Geometría Plana
En todo triángulo, las tres alturas se intersecan en un punto llamado ORTOCENTRO
Mediana
Se llama mediana en un triángulo cualquiera al
segmento que va desde un vértice al punto
medio del lado opuesto. En la figura, el
segmento RM es la mediana relativa al lado
TS debido a que M es el punto medio de este
lado. De igual forma TN y SP son medianas
también, que como observamos se intersecan
en un punto que llamaremos BARICENTRO.
En todo triángulo, las tres medianas se
intersecan en un punto llamado Baricentro
El Baricentro tiene una gran importancia física pues constituye el verdadero centro del
triángulo debido a que, por ejemplo, si construimos un triángulo de cartón o metal lo
podemos sostener en perfecto equilibrio con un solo dedo si este lo apoyamos en el
Baricentro.
El Incentro
Ya vimos que todo triángulo puede inscribirse en una circunferencia pues sólo W tenemos
que determinar el circuncentro (intersección de las mediatrices) y luego trazar la
circunferencia que pasa por sus tres vértices. ¿Y para cada triángulo será posible situar
exactamente en su interior una circunferencia?. Veremos que esto es posible y le
llamaremos circunferencia inscrita.
Propiedad principal de la Bisectriz
Primeramente recordemos el concepto de bisectriz de un
ángulo que como sabemos es la semirrecta que lo divide en
dos ángulos iguales. Pero es que la bisectriz cumple otra
propiedad importante púas cada punto P de ella equidista de
los lados del ángulo como muestra la figura, es decir que
PC = PD .
- 57-

58. Geometría Plana
Ahora bien, como un triángulo tiene tres ángulos, entonces podemos trazar tres bisectrices.
Estas se denotan de la siguiente manera: w (A) que significa la bisectriz del ángulo con
vértice en A y así sucesivamente. Las bisectrices al igual que las rectas notables anteriores
se intersecan en un punto que llamaremos INCENTRO por ser el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo. Veamos por qué: El punto 1, por pertenecer a las tres bisectrices,
equidista de los tres lados del ∆ABC, lo que quiere decir que trazando la circunferencia de
centro I y radio ID esta quedaría inscrita en el ∆ABC.
En todo triángulo. Las bisectrices se intersecan en un punto llamado incetro
Ejemplo
Construyamos la circunferencia inscrita al ∆ABC de la figura. Para ello bastaría con el
trazado de dos bisectrices pues sanemos que la tercera pasará también por el incetro 1. Por
el momento trazamos las bisectrices con la ayuda del graduador; midiendo la amplitud del
ángulo y dividiéndolo para dos (en niveles posteriores
estudiaremos un método graneo más exacto). Una vez
determinado el punto I, trazamos desde I una
perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo;
en este caso se ha tomado ID.
Por último, hacemos centro en I y trazamos la
circunferencia de radio r = ID .
Resumen de rectas y puntos notables
Rectas notables del
triángulo
Puntos donde se
intersecan
Propiedad que cumplen
Mediatrices
Circuncentro
Centro de la Circunferencia
circunscrita.
Alturas
Ortocentro
Medianas
Baricentro
centro de gravedad
Bisectrices
Incentro
Centro de la circunferencia
inscrita.
Ejemplo
Consideremos un ∆ ABC isósceles de base AB . Al trazar la
altura h (c) vemos que su pie (así se llama al punto donde
descansa la altura en el lado opuesto) coincide con el punto
medio M del segmento AB, luego esta altura es mediana
- 58-

59. Geometría Plana
también. Si trazamos la bisectriz w (C) ocurre lo mismo y como la mediatriz de AB pasa
por su punto medio M perpendicularmente, entonces esta contiene al segmento CM . Por
eso concluimos:
En todo triángulo isósceles, la altura y la mediana al lado base coinciden con la bisectriz del
ángulo principal.
Ejercita: Como sabemos que un .triángulo equilátero es tres veces isósceles (por tener todos
sus lados iguales) analiza qué sucedería con la ubicación de los puntos notables
(Circuncentro, Ortocentro, Baricentro e Incetro) en un triángulo perfecto.
3.7. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
Dos triángulos son congruentes cuando tienen elementos respectivamente
congruentes.
Se denota este hecho escribiendo ∆ ABC ≅ ∆ FED
3.7.1. POSTULADOS DE CONGRUENCIA.
TRIANGULOS ESCALENOS.
1 L .A .L.
∆
ABC ≅ ∆
DEF
∆
ABC ≅ ∆
FED
∆
ABC ≅ ∆
EFD
- 59-

60. Geometría Plana
TRIANGULOS RECTÁNGULOS
a) Cateto – Cateto.
∆
ABC ≅ ∆
DEF
b) Hipotenusa – Angulo.
∆
ABC ≅ ∆
DEF
c) Cateto – Angulo.
∆
ABC ≅ ∆
DEF
d) Hipotenusa - Cateto.
ABC = DEF
3.8. PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS.
TRIANGULO ESCALENO.
TEOREMA # 1
- 60-

61. Geometría Plana
En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a
π rad.
H) A ABC escaleno
T)
ˆ
ˆ
ˆ
mA +mB +mC =π rad
CY AB
(Construcción )
m XCY = A
mˆ
m YCB = B
mˆ
m XCY + YCB = CX = A + B
m
B ˆ
mˆ
mˆ
ˆ
m BCX + C = rad
m ˆ
π
ˆ +m B +m C =
ˆ
ˆ
m A
π rad ///
COROLARIOS
1.
2.
3.
Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas
de los ángulos internos no adyacentes, y por lo tanto mayor que cada
uno de ellos.
Un triángulo no puede tener más que un ángulo recto u obtuso.
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios.
TEOREMA # 2
El ángulo formado por dos bisectrices internas de un triangulo es π / 2 más
la mitad de la medida del ángulo no bisecado
H) I. incentro ABC
T) m = /2 + m /2
TEOREMA # 3
El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo, es igual a
n/2 rad disminuido en la mitad del vértice ángulo interno en el tercer
H) Oα ex − centro ∆ ABC
ˆ
ˆ
T) m X =π / 2 − m A / 2
- 61-

62. Geometría Plana
ˆ
ˆ
ˆ
m X =π −m l −m 2
ˆ
ˆ
ˆ
m 2 =m A / 2 + m B / 2
ˆ =m A / 2 + m C / 2
ˆ
ˆ
m1
ˆ
ˆ
ˆ
m A / 2 + m B / 2 + m C / 2 =π/ 2
ˆ
ˆ
m X =π/ 2 − m A / 2
TEOREMA # 4
El ángulo formado por las bisectrices interna y externa de vértices diferentes
de un triángulo, es igual, a la mitad de la medida del ángulo interno en el
tercer vértice.
H) Oα ex − centro ∆ ABC
ˆ
ˆ
T) m X = m B / 2
ˆ
ˆ
ˆ
m X = m 2 −m 1
ˆ
ˆ
ˆ
m 2 =m 1 +m B / 2
ˆ +m B / 2
ˆ
m X
TEOREMA # 5.
El ángulo formado por la bisectriz interna y la altura del mismo vértice de un
triángulo es igual, a la semidiferencia de las medidas de los ángulos en los
otros dos vértices.
H) BD Bisectriz
BH altura
ˆ
ˆ
T) m X =m A / 2 −m
ˆ
C/2
ˆ
ˆ
ˆ
m 1 − m X +m A =π/ 2
ˆ
ˆ
ˆ
m 1 +m X +m C =π/ 2
ˆ
ˆ
ˆ =m A / 2 −m C / 2
m X
TRIANGULO ISÓSCELES Y EQUILÁTERO
TEOREMA # 1
Si dos lados de un misino triángulo son congruentes entre si, los ángulos
opuestos a dichos lados también son congruentes.
- 62-

63. Geometría Plana
ABC isósceles
H) ∆
AB ≅ BC
T)
ˆ ˆ ˆ
A=C
COROLARIOS.
1.
2.
3.
4.
Los ángulos en la base de un triángulo isósceles, son congruentes.
La bisectriz relativa a la base de un triángulo isósceles, es también
mediana, altura y mediatriz de dicho triángulo; y recíprocamente, un
triángulo en el cual una bisectriz es también mediana, altura y
mediatriz es .triángulo isósceles.
Todo triángulo equilátero es equiángulo; y recíprocamente, todo
triángulo equiángulo es también equilátero.
En, un triángulo equilátero las bisectrices, medianas, alturas y
mediatrices de los tres vértices son congruentes. El incetro, baricentro,
ortocentro y circuncentro coinciden en un mismo punto.
TRIANGULO RECTÁNGULO.
TEOREMA # 1
Si la mediana de un triángulo es la mitad del lado no adyacente a esta, el
triángulo es rectángulo.
H) BM = MC = AM
T) ∆ ABC rectángulo
ˆ
ˆ
2m 1 +2m 2 =π rad
ˆ
ˆ
m 1 + m 2 =π / 2 rad
ˆ C =π / 2 rad
m BA
⇒ ABC es rectángulo ///
∆
COROLARIO
El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo
rectángulo, y es el circuncentro.
TEOREMA # 2
El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos.
- 63-

64. Geometría Plana
H)
T)
AH altura
AM mediana
ˆ
ˆ
ˆ
m X =m B −m C
D)
AM = BM = MC
ˆ
ˆ
m BAM = m B
ˆH = m C
ˆ
m BA
ˆ
ˆ
ˆ
m X =m B −m C
3.9. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
La definición de semejanza exige dos condiciones:
1.
2.
Los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y
Los lados correspondientes deben ser proporcionales.
Si los ángulos correspondientes son congruentes:
y los lados correspondientes son proporcionales
ˆ
ˆ
A ≅A
ˆ
ˆ
B ≅B
ˆ ≅C
ˆ
C
a
b
c
1
= = =
a ' b' c ' 2
entonces decimos que la correspondencia es una semejanza, y se escribe ∆
ABC ≅
A'B'C'. La razón de dos lados correspondientes cualesquiera (1/2)
es la relación de semejanza. Desde luego esta correspondencia no es una
congruencia por que la longitud de cada lado del segundo triángulo es dos
veces la del lado correspondiente del primero, por tanto, dos triángulos
serán congruentes cuando su razón de semejanza sea igual a la unidad.
3.9.1. POSTULADOS DE SEMEJANZA
TRIÁNGULOS ESCALENOS
1. A.A ∆ABC ≅ ∆DEF
- 64-

65. Geometría Plana
2. L.L.L.
Si :
AB
BC
AC
=
=
DE
EF
DF
∆ABC ≅ ∆DEF
3. L.A.L.
Si :
AB
BC
=
DE
EF
ˆ ≅E
ˆ
B
∆ABC ≅ ∆DEF
3.10. RELACIONES METRICAS Y TRIOGONOMÉTRICAS
TRIANGULO RECTÁNGULO
1.
2.
3.
4.
5.
La altura correspondiente a la hipotenusa, divide al triángulo en
otros dos semejantes entre si y semejantes también al triángulo
original.
Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
en la hipotenusa.
La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los
segmentos que determina en la hipotenusa.
El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto
entre las longitudes de la hipotenusa y su altura relativa.
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los catetos.
H) ∆ABC rectángulo
AH altura
T) 1. ∆ABH ≅ ∆CAH ≅ ∆ABC
2. b2 = a . n
3. h2 = m . n
4. b . c = a . h
5. a2 = b2 + c2
- 65-

66. Geometría Plana
1.
∆
ABH ∧ ∆
ABC
ˆ
ˆ
B≅B
∆ABH ≅ ∆ABC
∆CAH ∧ ∆ABC
ˆ
ˆ
C ≅C
rectángulos
rectángulos
∆CAH ≅ ∆ABC
∆ABH ≅ ∆CAH ≅ ∆ABC
2.
∆CAH ≅ ∆ABC
n
b
=
b
a
2
b = a.n
⇒
3.
∆ABH ≅ ∆CAH
m
h
=
h
n
2
h = m.n
⇒
4.
∆ABH ≅ ∆ABC
c
h
⇒ =
a
b
b.c = .h
a
5. b2 = a . n
c2 = a . m
b2 + c2 = a (m+n) = a . a
a2 = b2 + c2 ///
UNIDAD 4. CALCULO DE AREAS Y
PERIMETROS DE FIGURAS PLANAS.
4.1. Cálculo en el rectángulo
Ya conocemos qué es un rectángulo: Un cuadrilátero cuyos ángulos interiores miden 90°
cada uno. Pues bien, para este tipo de figura existen fórmulas específicas para el cálculo del
perímetro y el área lo que nos permitirá entre otras cosas darle solución a diversos
problemas que se nos presentan cotidianamente.
Desarrolla
4.1.1. Área del rectángulo
Primeramente descubramos una fórmula para
calcular el área y el perímetro del rectángulo.
la figura se ha trazado el rectángulo ABCO el
En
cual
- 66-

67. Geometría Plana
tiene las siguientes dimensiones: largo: 5cm; ancho: 3cm. Hemos llenado este rectángulo de
cuadráticos igualas, cada uno de 1 cm2, es decir, 1 cm por cada lado.
•
¿Cuántos cuadraditos hay en el interior del rectángulo?
Al contarlos vemos que son 15.
¿Qué operación hemos realizado con los números 3 y 5 para obtener 15?
•
Evidentemente se ha multiplicado, luego podemos inferir que:
A (ABCO) = 5cm • 3cm = 15cm2.
El área de todo rectángulo es igual al producto del largo por el ancho del mismo.
A = l • a
Así tendremos en el caso anterior que: A = I • a = 3 cm • 5 cm = 15 cm2.
En ocasiones también al largo se le llama base y al ancho se le denomina altura y por eso la
fórmula toma la forma: A = b • h donde h representa la altura.
Perímetro del rectángulo
Veamos qué ocurre con el perímetro de un rectángulo.
Supongamos que en el rectángulo de la figura su base mide la
longitud b y la altura sea igual a h. Entonces los otros dos lados
miden b y h también pues los lados opuestos de un rectángulo
son iguales, luego: P = b – h + b + h por ser el perímetro la
suma de todos sus lados.
P = 2 b + 2 h o lo que es lo mismo:
P = 2 (b + h).
De manera que en todo rectángulo, et perímetro será igual al
doble de la suma de su base y altura.
Ejercitando
En la lección de hoy aprenderás cómo pueden
combinarse las fórmulas que conoces para el
rectángulo en ejercicios y problemas
diversos.
154.
a)
b)
c)
En la figura: ABCD y AEHF son
rectángulos. AB = 8cm y AD
6 cm. E y F son los puntos
AB y AC
medios de
respectivamente.
Calcula el perímetro del
rectángulo AEHF.
Determina el área de la región
sombreada.
Demuestra que H es el punto
intersección de las diagonales
del A rectángulo ABCD.
=
de
- 67-

68. Geometría Plana
155. En la figura se muestra un terreno con lados rectos cuya área es necesario
calcular. Por supuesto que ha sido fácil determinar las dimensiones de cada lado,
las cuales aparecen en la figura (las medidas se dan en kilómetros).
a)
Explica cómo harías para determinar el área del terreno.
b)
¿Cuál es el área?
156. Se requiere construir una tapa de cartón para una caja de forma tal que tenga 600
cm2 y además que el largo sea mayor o igual que el doble del ancho.
a)
Determina todas las soluciones posibles si se requiere además que las
dimensiones resulten números enteros.
b)
Para cada una de las posibilidades que has determinado calcula el perímetro.
4.2. Cálculo en el cuadrado
Como sabemos, el cuadrado es un rectángulo especial pues además de tener sus cuatro
ángulos interiores rectos presenta también sus cuatro lados iguales. Ahora veremos qué
forma adquieren las fórmulas del área y el perímetro para el caso del cuadrado.
Área y perímetro del cuadrado
Por ser un rectángulo, el área del cuadrado ABCD de la figura
estará dado por: A = b • h, pero como todos los lados del
cuadrado son iguales se tendrá que: A = I • I, o sea que: A = l
2 .
De igual forma para el perímetro se verifica que: P = I + l + I + l
por ser la suma de todos sus lados, es decir que: P = 4 • I
En todo cuadrado de lado I se cumple que: A = I2 y P = 4 • l
Ejemplo:
Halla el área y el perímetro del cuadrado ABCD de la figura si se
sabe que AD = 2,5 cm.
Solución:
Como todos los lados de un cuadrado son iguales se tendrá que:
A = I2 = (2.5 cm)2 = 6,25 cm2 y P = 4 • I = 4 . (2.5 cm) = 10 cm//
Ejercita
157. Calcula el área y el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 6cm.
158. El perímetro de un cuadrado es de 8 dm (decímetros). Calcula su área en cm2
- 68-

69. Geometría Plana
Ejercitando
Debido a que en la vida práctica muchas figuras y objetos tienen
forma de cuadrados, el cálculo de áreas y perímetros de estas
figuras tiene gran aplicación. En esta lección verás algunos casos.
Ejemplo:
De un terreno que tiene forma cuadrada se delimitan 4 cuadraditos
de 25 m2 cada uno de superficie. La ubicación de éstos cuadraditos
será, como muestra la figura, en las esquinas del cuadrado mayor
del cual se conoce además que su lado mide 20 m.
a)
b)
c)
Determina el área del cuadrado mayor, es decir, de todo el terreno.
Malta la longitud del lado de cada cuadradito.
¿Qué porción de terreno representa el área rayada?
Solución:
a)
b)
c)
A = I2 = (20m)2 = 400 m2.
Se sabe que A = 25 m 2 y como A = I2, se hace entonces: I2 = 25 cm2. Buscamos
ahora un, número que elevado al cuadrado resulte 25 y este número será 5,
luego el lado del cuadradito es igual a 5m.
El área de la superficie rayada será el área del cuadrado mayor menos el área de
los 4 cuadraditos, es decir
A (rayado) = 400 m 2 – 100 m2
2
= 300 m //.
159. Se tiene un cuadrado cuyos lados miden 4 cm cada uno. Halla las longitudes de
los lados de un rectángulo de 20 cm de perímetro para que sea equivalente con el
cuadrado dado.
Sugerencia: Recordar que dos figuras son equivalentes si tienen igual área.
160. A una pieza cuadrada de madera de 40
de lado debe abrírsele en su centro una
perforación también en forma de
cuadrado de forma tal que el área de la
región rayada o resultante sea igual a
cm2.
a)
Calcula el área de la región perforada.
b)
Comprueba que el perímetro del
cuadrado perforado es igual al lado del
cuadrado de madera.
cm
1500
4.3. Calculo en el paralelogramo
El paralelogramo, como sabemos, es también un cuadrilátero especial pues sus dos pares
de lados opuestos son iguales y paralelos, ¿qué ocurrirá con su área y perímetro?
Desarrolla
Fórmula del área para el paralelogramo
- 69-

70. Geometría Plana
En la figura se ha dibujado un paralelogramo ABCD. Desde los puntos C y D bajamos
perpendiculares al lado AB , obteniendo los puntos E y F (este último queda en la
prolongación del lado AB ). Es claro aquí que EFCD es un rectángulo pues sus cuatro
ángulos interiores son rectos. Concentremos nuestra atención en los triángulos AED y BFC.
∠ ADC + ∠ 3 = 180° por ser
conjugados entre paralelas, pero:
∠ ADC = ∠ 1 + 90° , luego
∠ 1 + 90° + ∠ 3 = 180° => ∠ 1 + ∠
3 = 90° (1)
y por otra parte: ∠ 2 + ∠ 3 = 90° (2)
De las igualdades (1) y (2) tenemos que:
∠ 1 = ∠ 2 además;
AD = BC
por ser lados opuestos de un paralelogramo y
DE = CF
por ser perpendiculares entre paralelas.
Luego ∆AED = ∆BFC por I • a • I
Lo que significa que el "pedazo" que le hemos quitado al paralelogramo (∆AED) lo hemos
incrementado a la derecha para obtener un rectángulo y resulta que estas dos figuras son
equivalentes, es decir:
Área del paralelogramo ABCD = área del rectángulo EFCD.
Por lo que concluimos que:
A = b • h es la fórmula para calcular el área de cualquier paralelogramo. Es conveniente
aclarar que en la fórmula A = b • h cualquier lado de la figura puede seleccionarse como
base, pero lógicamente la altura h siempre será
con relación a ese lado seleccionado (algunas
veces esta altura cae en la prolongación del
lado) tal y como se ha mostrado en la figura.
Ejemplo:
En la figura se tiene que: EOGH es un trapecio de bases
OG y EH .
EF ⊥ HG ; ∠ GOE = 90º;
⊥
= 3 cm. y OE = 5 cm.
EH
a. Muestra que el cuadrilátero EFGH es un
paralelogramo
b. Calcula el área del paralelogramo EFGH.
Solución:
a.
FG ⊥ EH Pues son segmentos contenidos en las
⊥
bases del trapecio.
EF ⊥ HG Por datos, luego EFGH es un paralelogramo
⊥
por tener sus dos pares de lados opuestos paralelos.
Del paralelogramo EFGH conocemos la longitud de un
lado: EH = FG = 3cm. Pero EO ⊥ OG por formar,
⊥
según los datos, un ángulo de 90º. Luego OE es la
altura al lado FG del paralelogramo. Finalmente:
- 70-

71. Geometría Plana
A(EFGH) = b * h = FG * OE = 3cm. * 5cm. = 15 cm 2 //
Ejercita.
161.
Del paralelogramo PQRS de la figura se sabe que: PQ = 4 cm; ∠ QTS = 90º y
ST = 6cm. Calcula el area del paralelogramo PQRS.
Del cuadrilátero ABCD de la figura sabemos que:
AB ⊥ CD y BC ⊥ AD . A (ABCD) = 10 cm 2 y
⊥
⊥
AB = 5 cm.
a) Determina la distancia del punto B al segmento CD .
b) Explica como a partir del paralelogramo dado pudieras
obtener un área de 5cm 2 . de superficie.
162.
4.4. El área del triángulo
Desde la antigüedad ha tenido gran interés el estudio de los triángulos y sus medidas debido
a la gran cantidad de aplicaciones prácticas que tiene.
Desarrolla
Fórmula para el área del triángulo
Deseamos encontrar una fórmula que nos permita determinar el área de cualquier triángulo.
Para eso hemos trazado arbitrariamente un triángulo ABC.
¿Podemos a partir de este triángulo obtener algún
cuadrilátero del cual ya conocemos su área?
Por el punto C trazamos una paralela a su lado opuesto
y lo mismo hacemos por el vértice B. estas
prolongaciones se cortan en un punto D. es claro que el
cuadrilátero ABCD así construido es un paralelogramo
pues sus lados opuestos son paralelos. Así tenemos
que:
∠ CBA = ∠ BCD por ser alternos entre paralelas
∠ ACB = ∠ DBC por ser alternos entre paralelas.
Lado BC es común, luego:
∆ABC = ∆BCD por a * l * a, entonces: A(ABC) =
A(BCD) pero ya sabemos que: A(ABCD) = b * h y
como el área del triángulo ABC es la mitad del área del
paralelogramo se cumple entonces:
b•h
A( ABC ) =
2
En todo triángulo el área es igual al semiproducto
de un lado por la altura a dicho lado.
La anterior afirmación nos indica que para calcular el área de un triángulo podemos escoger
como base cualquiera de sus tres lados como muestra la figura y en cualquier caso el área
siempre será la misma por tratarse lógicamente del mismo triángulo. Por eso,
- 71-

72. Geometría Plana
A(ABC) =
b.h b.h ( c ) a.h ( a ) b.h ( b )
=
=
=
2
2
2
2
Por ejemplo, de la igualdad
tenemos que:
a.h ( a )
2
=
b.h ( b )
2
a h(b )
=
b .h ( a )
¿Cómo se interpreta la relación anterior?
Ejemplo:
Calcula el área y el perímetro del ∆ ABC de la figura que es rectángulo en A si se sabe que
sus catetos miden; AC = 3 cm y AB = 4cm.
Respuesta:
Área: Sabemos que A = ( b • h ) ÷ 2 ¿Qué
nos conviene tomar como base? Pues
resulta propicio tomar cualquiera de los
catetos como lado base pues el otro cateto
sería su altura debido a que son
perpendiculares, entonces tendremos que:
b.c 3.4 12
=
=
= 6cm 2
A=
2
2
2
lado
De lo anterior obtenemos como conclusión que: "En todo triángulo rectángulo el área es
igual al semiproducto de sus catetos".
Perímetro:
Nos falta por conocer la hipotenusa del ∆ABC. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2 => a2 = 32 + 42 => a2 = 9 + 16 = 25. Como a 2 = 25 se tendrá que a = 5 cm,
luego: P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12, es decir, P = 12 cm.
Ejercita
163.
a)
b)
En la figura se ha representado
∆ABC y dos de sus alturas. Se
conoce además que: AB = 10
BC = 12 cm; AC = 4 cm; h(a) =
cm y h(c) = 6cm.
Di cuáles de las siguientes
superficies corresponde al
área del ∆ABC. Justifica tu
respuesta. 40 cm2, 30 cm2, 60
50 cm2
¿Cuál deberá ser la medida de la altura h(b)? Explica tu respuesta.
el
cm;
5
cm2,
164. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 cm y 12 cm
- 72-

73. Geometría Plana
respectivamente.
Ejercitando
En esta lección harás ejercicios donde aplicarás la fórmula estudiada para calcular el área
de un triángulo.
165.
En la figura: AB || CD . Demuestra
que los triángulos AOC y BOD son
equivalentes.
Sugerencia: Observa que los triángulos
ABC y ABD tienen igual área
pues considerando AB como base
común, ambos tendrán también la misma
altura.
166. El lado base de un triángulo isósceles mide 6 cm y su área es igual a 12 cm2.
a)
b)
c)
Haz un esbozo del gráfico.
¿Cuál es la longitud de la altura al lado base?
Verifica que en todo triángulo isósceles las alturas relativas a los lados iguales
son necesariamente iguales también.
167. Demuestra, usando el teorema de Pitágoras, que en todo triángulo equilátero el
área está dada por la fórmula:
3 .a 2
A=
donde a representa la longitud de su lado.
4
168. Se necesita comprar un terreno que tiene la forma del cuadrilátero ABCD
representado en la figura. En éste
se
ha construido una cerca recta que
une los puntos A y C.
Se sabe que la longitud de esta
cerca es de 60 m y que las
distancias desde los puntos B y D
a
dicha cerca es de 50 m y 20 m
respectivamente.
a)
b)
Determina el área del terreno
¿Cuánto cuesta todo el terreno
por cada metro cuadrado debe
abonarse la cantidad de s/
300.000?
si
4.5. Cálculo del área del rombo
Ante todo debemos recordar esta figura peculiar: el rombo, que es un cuadrilátero que
presenta sus cuatro lados iguales. Veamos si podemos encontrar una fórmula para calcular
su superficie.
- 73-

74. Geometría Plana
Desarrolla
Fórmula para el área del rombo
Al trazar las diagonales en el rombo ABCD se forman 4
triángulos rectángulos iguales pues sus diagonales
AC y BD además de cortarse perpendicularmente lo
hacen en su punto medio.
De manera que: A(ABCD) = 4 • A (BOC)
Sea AC = d1 diagonal 1 y BD = 02 la diagonal 2, entonces:
d
OC = 1 = pues O es el punto medio de AC
d2
OB =
d2
= pues O es el punto medio de BD
2
OC . OB
por ser BOC un triángulo
2
siendo OCyOB sus catetos, luego:
Por otra parte: A(BOC) =
A(BOC)
d1 d 2
.
2
2
= 2
A(BOC)
=
d1.d 2
8
Pero nos falta calcular el área del
rombo que será:
4.d1.d 2
d1.d 2
A(ABCD) = 4 . A(BOC) =
A(ABCD) =
8
2
d .d
Es decir, A = 1 2 donde d1 y d2 son las diagonales del rombo.
2
El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.
Ejercita
169.
a)
b)
Del rectángulo ABCD de la figura se ha
construido el cuadrilátero EFGH uniendo los
puntos medios de los lados del rectángulo.
Además: AB = 10 cm y BC = 4 cm.
Muestra que EFGH es un rombo y calcula su área.
¿Qué relación hay entre e! área del rombo y el área del rectángulo?
170.
a)
b)
Calcula el área de un rombo si conocemos que sus diagonales miden 24 cm y 10
cm respectivamente.
Determina, usando Pitágoras, la longitud del lado del rombo.
4.6. Calculando el trapecio
Sabemos que el trapecio es un cuadrilátero menos exigente pues solo se necesita para el
mismo un par de lados opuestos paralelos. Es por esta razón que se dificulta un poco más
encontrar una fórmula para calcular su área. Sin embargo, por ser una figura de abundante
uso en la práctica, su cálculo es sumamente importante.
Desarrolla
Área del trapecio
- 74-

75. Geometría Plana
Sean AB y CD los lados paralelos del trapecio ABCD de la figura.
Si trazamos por C una paralela al lado AD obtenemos que AECD es un paralelogramo por
tener sus dos pares de lados opuestos paralelos. Entonces:
A(trapecio ABCO) = A(paralelogramo AECO) + A(triángulo EBC)
Tomando el lado AE como base del paralelogramo se tiene que:
A(AECO) = AE • h
siendo h la altura a ese lado.
EB . h
A(EBC) =
pues h también sería la altura relativa al lado EB del triángulo.
2
Para encontrar el área del trapecio debemos sumar estas dos cantidades, por tanto:
EB . h 2.AE . h + EB . h
=
A(trapecio) = AE . h +
2
2
( 2.AE + EB ).h ( AE + AE + EB ) . h
=
=
pues 2 . AE = AE + AE
2
2
(CD + AB )
=
pues AE = CD por ser lados opuestos de un paralelogramo y
h
AE + EB = AB por suma de segmentos.
En fin:
(.AB + CD).h
A(trapecio) =
2
Como AB y CD son los lados paralelos del trapecio a los cuales también se les llama
bases, y h es la altura es la altura o distancia entre estas bases se concluye que:
El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las
bases por la longitud de la altura.
En símbolos podemos expresar que:
(B + b).h
2
donde B y b significan la base mayor y la base menor del
trapecio respectivamente.
Ejemplo:
A=
Calcular el área de! trapecio MNPQ ( MQ || PN ) de la
figura si se sabe que: QM = 6 cm; PN = 2 cm y h = 3
cm .
Respuesta:
(B + b) . h
;
aquí B = 6 cm, b = 2 cm y h = 3
2
luego:
(6 + 2) . 3 8 . 3
=
A=
A = 12 cm2
2
2
A=
cm,
Ejercita
171. Calcula el área de un trapecio si las
longitudes de sus bases son 21 cm y 11 cm
respectivamente y su altura mide 7 cm.
172.
En la figura; AB II CD y <BAD = 90°.
- 75-

76. Geometría Plana
AB = 11 cm; AD = 6 cm; CD = 3cm y CE ⊥ AB .
Justifica por qué el cuadrilátero ABCD es un trapecio y calcula su área.
Determina el área del AEBC.
Calcula la longitud del segmento BC.
a)
b)
c)
173. El cuadrilátero LMPQ de la figura es un
trapecio pues PM II LQ.
De este trapecio se conoce que:
y
A(LMPQ)
LQ = 5 cm
PM = 7 cm;
= 24 cm2.
Determina cuál de las siguientes medidas
corresponde a la distancia
entre las bases del trapecio dado.
a)
2cm;
4cm;
e)
b)
5cm.
8cm;
c) 1cm;
d)
Ejercitando
Ahora estás en condiciones de resolver ejercicios variados donde apliques los
conocimientos anteriores, además de poder resolver problemas prácticos.
174.
En la tabla siguiente aparecen algunos datos sobre un trapecio ABCD (
AB II CD ). Completa la tabla.
Base (B)
Base (b)
Altura (h)
10 cm
6 cm
5 cm
7 cm
2 cm
4 cm
Área (A)
13,5 cm2
3 cm
18 cm2
175.
a)
Dibuja un trapecio, haz las mediciones necesarias con una regla y calcula su
área y su perímetro.
b)
Construye un paralelogramo y un triángulo respectivamente que sean
equivalentes con e! trapecio que dibujaste.
176. En
la
figura
aparece
representada
la
sección
transversal de un canal de riego
tiene forma trapezoidal. La
parte superior tiene 13 metros
ancho y la profundidad del
canal es de 4m. Calcula el área
esta sección transversal.
177.
que
de
de
El trapecio ABCD de la figura es
- 76-

77. Geometría Plana
isósceles de bases AB y CD = 6cm. Los segmentos ED y CF representan las
distancias entre las bases y ambos miden 4 cm cada uno. Se sabe que A (∆AED)
= 5 cm2. Calcula el área del trapecio.
Sugerencia:
Recuerda que un trapecio se llama isósceles si
sus lados no paralelos son iguales.
178. Calcula el área de la región sombreada si se
sabe que ABCD es un cuadrado de lado igual a
cm y M es el punto medio del segmento CD.
3
4.7. El cálculo de áreas de polígonos
Hasta ahora ciertamente hemos calculado polígonos, pero
3 y 4 lados solamente. Entonces, ¿cómo proceder para
calcular el área de un polígono que tenga más de 4 lados?
de
Desarrolla
Área del polígono regular
Un método general para calcular el área de un
polígono cualquiera es el llamado método de la
triangulación pues se descompone la figura en
triángulos. Aquí, por ejemplo, se ha situado un
punto interior O y al unirlos con los 5 vértices del
pentágono se han obtenido 5 triángulos, por lo que
podemos asegurar que: A (pentágono) = A (∆1) +
A (∆2) + A (∆3) + A (∆4) + A (∆5). Por el momento
nos interesará el área de los polígonos regulares
que son aquellos que tienen todos sus lados iguales.
Consideremos un pentágono regular ABCDE. Cada polígono regular tiene un centro;
supongamos que O es el centro del polígono dado. Al unir el punto O con los vértices se
obtienen 5 triángulos iguales. Luego, basta calcular el área de uno de ellos y después
multiplicar por 5.
Sea AB = I y h la altura desde O al lado AB, entonces: A (AOB) = (I
• h) ÷ 2.
A(ABCDE) =
5. | .h
2
La altura h por ser igual para todos los triángulos, recibe un nombre
especial dentro del polígono: se denomina apotema, por eso en la
fórmula en lugar de la letra h colocamos la letra a. En general para
n ⋅l ⋅ a2
un polígono regular de n lados se obtendrá la fórmula: A=
2
donde: n: representa el número de lados del polígono, I: longitud del lado del polígono, a:
longitud del apotema.
Ejercita
180. Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide
3cm, si se conoce que su apotema es igual a 4 cm.
- 77-

78. Geometría Plana
181. El área del hexágono regular que aparece en la figura (O es el centro del
hexágono) es igual a 54 cm2.
a)
Calcula el área del ∆AOB.
b)
Construye un rectángulo equivalente con el hexágono dado.
4.8. Cálculo en la circunferencia
Uno de los problemas más antiguos que el hombre ha enfrentado es el relacionado con el
cálculo del perímetro de una circunferencia, es decir, el cálculo de la longitud de todo el
arco. Para que se entienda mejor, imaginemos que una piola pase alrededor de un tambor
formando una circunferencia, luego la cortamos con una tijera, la extendemos y la medimos.
Esto siempre ha tenido mucha importancia debido a la gran cantidad de objetos que usa el
hombre y que tienen forma circular, entre ellos la rueda. Para este cálculo se usa el llamado
número π(pi) que hoy sabemos, gracias a los adelantos tecnológicos que es
aproximadamente igual a 3,14159..., pero ya en la Antigüedad, por ejemplo, los egipcios
2
usaban la aproximación
π 8 
=   , que nos da π = 3,1605 algo increíble, verdad?.
4 9 
Desarrolla
Longitud de la circunferencia y área del círculo
Si nosotros construimos una circunferencia con una piola, la cortamos y la extendemos,
comparándola con el diámetro de la circunferencia original vemos que cabe 3 veces y nos
sobra un pedazo de piola cuya longitud es aproximadamente 1/7 de la longitud del diámetro.
Este cociente (división) es siempre el mismo independientemente de la circunferencia que
L
= π donde L es la longitud de toda la
se escoja y al cual llamaremos es decir:
d
circunferencia o perímetro y d es el diámetro. Ya sabemos que π = 3,14159...., pero
normalmente trabajaremos en lo adelante con π = 3,14. De manera que L = d π es la fórmula
para calcular la longitud o perímetro de una circunferencia cualquiera. Como d es el
diámetro y d = 2r, también se cumple que: L = 2 . π . r. Para calcular el área de un círculo
usaremos la fórmula A = π . r2 la cual puede obtenerse como aproximación del área de un
polígono regular de muchos lados, al área deseada del círculo.
Ejemplo
Calcula el perímetro y el área del círculo correspondiente de una
circunferencia cuyo radio es r = 4 m.
Respuesta:
L = 2 . π . r = 2 . 3,14.4 = 8 . 3,14 = 25,12 cm.
A = π. r2 = 3,14 . 42 = 3,14.16 = 50,24 cm2 .
Ejercita
182. Sea una circunferencia cuyo diámetro es d = 6 cm.
a)
Calcula la longitud de la circunferencia.
- 78-

79. Geometría Plana
b)
Determina el área del círculo correspondiente.
183. El segmento AB es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r = 2 cm.
a)
Calcula el área de la región rayada (semicírculo).
b)
Señala una región en el círculo cuya área sea igual a la mitad del área del
semicírculo.
184. Se sabe que la longitud de una circunferencia es igual a 20 cm.
a)
Halla el radio.
b)
Determina el área de dicha circunferencia.
185. Una piscina de forma circular ocupa una superficie de 78,5 m2.
a)
¿Cuál es el radio de la piscina?
b)
Determina el perímetro de la piscina.
186. Sobre los lados del triángulo ABC
a)
b)
rectángulo en C se han descrito
semicircunferencias. Se sabe que: AC =
BC = 3cm.
Determina el área de las regiones 1, 2 y
Muestra que, cualesquiera sean las
medidas del triángulo rectángulo
se tendrá que: A1 = A2 + A3 .
4cm y
1
3.
3
ABC
2
Ejercitando
En esta lección verás algunas aplicaciones que tiene el cálculo de la longitud de la
circunferencia y el área del círculo. Es conveniente que recuerdes:
L = 2 . π . r = π . d es la longitud de la circunferencia
A = π • r2 es el área del círculo.
187. En la figura aparece un cuadrado de lado AB = 4,2 cm
inscrito en la circunferencia de centro O y radio r = 3 cm .
Calcula el área de la región rayada.
188. La semicircunferencia de diámetro AD y radió r = 5
cm es tangente al lado del rectángulo ABCD.
el área de la parte sombreada.
Calcula
189. Calcula el área del sector circular que aparece en la
figura si conocemos que tiene una amplitud de 60° y
que el radio de la circunferencia es de 2cm.
50º
- 79-

80. Geometría Plana
190. Para la fabricación de una chapa se
requiere una pieza circular cuyo
diámetro D sea igual a 6cm. A dicha
pieza circular se le debe hacer una
perforación circular también de 2cm de
radio para obtener el anillo circular
rayado que se muestra en la figura.
a)
Calcula el área del anillo circular.
b)
¿Qué cantidad de material se
desperdicia cuando se producen 100
chapas?
191. Para la fabricación de un tambor se requiere colocar en su parte superior un anillo
de bronce, el cual sujetará el cuero. Cuántos tambores podrán fabricarse con 100
m de bronce si cada tambor tiene un diámetro de 40 cm?
- 80-

81. Geometría Plana
UNIDAD 5. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO.
5.1. Conociendo los cuerpos
•
•
•
¿Qué forma tiene el tanque de agua de nuestra casa?
¿Qué forma tiene la caja de cartón que contiene un televisor?
¿Qué forma tienen estos cuerpos y cómo se llaman?, ¿cómo se calcula su
capacidad y área total que ocupan?
Al término de las próximas lecciones podrás responder todas estas preguntas y lo que
resulta más importante, podrás resolver innumerables problemas de la vida práctica.
Desarrolla
5.2. Cuerpo Geométrico
Llamaremos Cuerpo Geométrico a la región del espacio limitada por superficies planas,
curvas o por la combinación de estas, incluyendo estas superficies. Así, por ejemplo,
tenemos que constituyen cuerpos, entre estos los siguientes objetos:
•
Una pelota de fútbol.
•
El tanque de agua.
•
Una caja de cartón.
•
La pirámide de Keops en Egipto.
•
El Monumento a la mitad del mundo en Quito.
Observa que hasta ahora sólo hemos trabajado con figuras planas, o sea, que tienen dos
dimensiones y los cuerpos geométricos son figuras espaciales del mundo que nos rodea, es
decir, con tres dimensiones.
Prisma
Llamamos Prisma al cuerpo geométrico limitado por dos "polígonos" iguales y paralelos
llamados bases y por paralelogramos cuyo número coincide con el número de los lados que
tengan las bases.
Nota: Se entiende por polígono una figura plana cerrada limitada por lados rectos. Por
ejemplo, los triángulos, cuadriláteros, etc.
En la figura (1) se ha representado e! prisma
ABCDEFGH de base rectangular ABCD.
1)
Reflexionemos lo siguiente:
a)
b)
Las bases (rectangulares) ABCD y
EFGH son paralelas.
Las caras laterales del prisma son 4
paralelogramos pues de cada lado de
la
- 81-

82. Geometría Plana
c)
d)
base se levanta un paralelogramo. Por ejemplo, del lado AD se levanta la cara
ADEH. En realidad se llaman caras del prisma a todas sus laterales más sus dos
bases.
Los lados de las caras reciben el nombre de aristas cuyos extremos son los
vértices.
Se trata de un prisma oblicuo pues su altura
(segmento de perpendicular entre ambas
bases) no coincide con una de sus ansias
laterales.
En la figura (2) se ha representado un prisma de base
triangular. Observa que:
a)
b)
Sólo tiene tres caras laterales pues la base
tiene tres lados.
Se trata de un prisma recto pues su altura
coincide con la arista lateral.
2)
Ortoedro y cubo
Hay prismas especiales y entre ellos podemos mencionar el
Ortoedro que es todo prisma recto de base rectangular (por
supuesto puede ser base cuadrada también debido a que todo
cuadrado es un rectángulo).
En la figura hemos representado al ortoedro MNPQRSTK.
En estos casos hablamos normalmente de ancho, profundidad
y altura como dimensiones del cuerpo.
Por su parte el Cubo es un ortoedro cuyas aristas son todas
iguales. O sea, donde
ancho = profundidad = altura.
Ejercita
192. Responde falso o verdadero según corresponda.
Justifica cada conclusión.
a)
El número total de caras de un prisma es igual al total
de caras laterales más una.
b)
Todo ortoedro tiene 6 caras.
c)
Todas ¡as caras de un cubo son cuadradas.
d)
Un prisma de base triangular tiene 8 aristas.
e)
Todo ortoedro es un cubo.
193. Dibuja un ortoedro de 6 cm de ancho, 4 cm de
profundidad y 5 cm de altura.
Sugerencia:
Dibuja primero la base (un rectángulo de 6 x 4), pero
para que sea visible como cuerpo, a la profundidad
gírala 45° y reduce a la mitad dimensión tal y como
muestra la figura.
- 82-

83. Geometría Plana
Luego, de cada vértice de la base levanta una perpendicular de 5 cm.
Por último, une los puntos superiores obtenidos.
194. Observa todos los cuerpos que se encuentran a tu alrededor.
a)
Di cuáles de ellos constituyen prismas.
b)
De los prismas mencionados señala cuáles son ortoedros y en particular cuáles
son cubos.
195. En la figura se ha representado un prisma recto de bases hexagonales.
a)
¿Cuántas aristas posee?
b)
Determina el número total de caras y de ellas di cuántas son laterales.
c)
¿Qué tipo de figura geométrica son las caras laterales del prisma dado?, ¿por
qué?
d)
¿Cómo deberán ser las caras laterales de este prisma si su base fuera un
hexágono regular?
5.3. Cálculo del área y volumen del prisma
Ahora veremos cómo se calcula el área total y la capacidad o
volumen de un prisma cualquiera, lo que nos permitirá
resolver muchos problemas prácticos.
Área total del prisma
Se entiende por área total del prisma a la suma de las áreas
de todas sus caras, lo cual incluye sus dos bases. Por eso:
AT = AL + 2 . AB
siendo:
AT : área total
AL : área lateral
AB : área de la base
Como las bases son iguales, basta multiplicar por 2 AB: área de las dos bases el área de una
de ellas.
Ejemplo:
Calcular el área total del prisma recio de la figura cuya
base es un triángulo rectángulo de catetos:
AB = 4 cm y BC = 3 cm. Se cabe edemas que: AD = 7
cm .
Solución:
Aquí se tiene que: AB =
AB.BC
= (4. 3) / 2= 6
2
Para el área lateral AL debemos calcular el área de los rectángulos ABED, BCEF y ACFD.
- 83-

84. Geometría Plana
A(ABED) = 4 • 7 = 28
A(BCEF) = 3 • 7 = 21 (la altura es la misma para todas las caras).
Para calcular el área del rectángulo posterior, o sea, ACFD nos falta calcular el lado AC .
Como AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de
Pitágoras y resulta que AC = 5 cm. Luego:
A (CFD) = 5 • 7 = 35, entonces:
AL = 28 + 21 + 35 = 84. De manera que:
AT = AL + 2 • AB = 84 -r 2 • 6 = 84 + 12 = 96.
AT = 96 cm2
Nota: Observa que el área siempre se da en unidades cuadradas (cm2, m2, etc.).
* Volumen del prisma
Sabemos que el volumen de un ortoedro se
calcula multiplicando el ancho por !a
profundidad por !a altura, o sea. V = a • p • h,
pero a • p = AB, por eso, en general para todo
tipo de prisma usamos la fórmula:
V = AB • h
Ejemplo:
Calcula el volumen de un ortoedro de altura h = 3cm, cuya base es un rectángulo que tiene
5cm de ancho y 2cm de profundidad.
Solución:
V = AB • h, pero AB = 5cm • 2cm = 10 cm2, luego:
V = 10 cm2 • 3cm = 30 cm3
• El volumen siempre se dará unidades cúbicas (cm 3 , m 3 , etc)
Ejercita
196. Calcula el área total de un prisma recto cuya base
es un cuadrado de 5 m de lado y tiene una altura
de 2 m.
197. El cuerpo que aparece en la figura es un prisma.
Se sabe además que:
A(ABF) = 6 cm2
a)
Identifica cuál es la base del prisma.
b)
Calcula su volumen.
198. El rectángulo de la figura es la base de
un prisma recto que tiene 9 cm. de altura.
De su base se sabe además que el
largo (señalado en el gráfico) es el doble
- 84-

85. Geometría Plana
de la profundidad.
Calcula el área total del prisma.
Halla su volumen.
a)
b)
5.4. La pirámide
•
•
¿Has oído hablar de las pirámides de Egipto?
¿Recuerdas qué forma tiene una pirámide?
En la lección de hoy definiremos qué es una pirámide y además veremos cómo se calcula el
área y el volumen.
Desarrolla
Concepto de Pirámide
Denominamos Pirámide al cuerpo limitado por un
polígono y las superficies determinadas por los
segmentos que unen los vértices de este polígono con
un punto exterior (llamado cúspide de la pirámide) al
mismo.
En la figura se ha representado la pirámide ABCDS cuya
base es el cuadrado ABCD y el punto S es el vértice
superior o cúspide de la pirámide.
El segmento OS representa la altura de la pirámide y
como cae en el centro de la base (en este caso la
intersección de las diagonales del cuadrado) entonces la pirámide recibe el nombre de
pirámide recta.
Observa que las caras de una pirámide son triángulos y que habrá tantas caras como lados
tenga la base.
Área total de una pirámide
Como las pirámides tienen una sola base se tendrá
que:
AT = AL + AB
Ejemplo:
En la figura se ha representado una pirámide recta de
base rectangular ABCD con AB = 6cm y BC =
4cm. Se sabe además que la altura de la cara BCS
es 5cm. Así por ejemplo SF = 5cm.
a)
Calcula el área total de la pirámide.
b)
Halla la longitud de la altura.
Solución:
a)
Sabemos que AT = AL - AB, luego: AB = 6cm • 4cm = 24 cm2.
- 85-

86. Geometría Plana
Para calcular el área lateral AL observamos que tenemos que determinar el área de 4
triángulos, que son sus caras, pero ellos son iguales dos a dos, es decir,
AL = 2 • A (ABS) + 2 • A (BCS), pero:
A (BCS) = (b • h) - 2 = (BC • SF) - 2 = (4 • 5)/ 2 = 10 cm2
A(ABS) = (b . h) / 2. Pero la altura h de esta cara no la tenemos. Para calcularla usaremos el
teorema de Pitágoras pues observando detenidamente la figura esta forma un triángulo
rectángulo.
La distancia OE es igual a 2cm pues constituye la mitad de la profundidad de la base,
entonces:
(1) ES2 = OE2 + OS2
ES2 = 22 + OS2, pero ahora surge una nueva dificultad pues
aún no tenemos la altura h = OS de la pirámide. Para
calcularla procedemos de la siguiente forma:
(b)
Observa que el SOF es rectángulo y que SF = 5cm es
su hipotenusa. Por otra parte OF = AB / 2 = 3cm, luego
aplicando el Teorema de Pitágoras se puede calcular la altura
h = OS:
Retomamos ahora la expresión (1) y en ella sustituimos:
ES2 = 4 + 42
ES2 = 4 + 16
ES2 = 20, de donde se
tendrá que ES = 4.5cm
Por último: A(ABS) = (b.h) / 2 = (6. 4,5) / 2 = 13,5cm2
AL = 2 . 13,5 + 2 . 10 = 27 + 20 = 47cm2, y finalmente
AT = AB + AL = 24cm2 + 47cm2 = 71cm2
OS2 = SF2 – OF2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16, o sea: h = 4cm.
Volumen de la pirámide
Si construyes un prisma y una pirámide de igual
base y altura de modo que sedamos llenarlos de
arena compruebas en la práctica que todo el
contenido de la pirámide cabe tres veces
exactamente en el prisma, por eso se verifica que:
V (pirámide) = 1/3 -V (prisma)
V = 1/3 AB . h
5.5. El cilindro
¿Qué forma geométrica tienen los siguientes cuerpos: un tanque de agua de base circular,
un lápiz redondo, un tubo de agua?. Todos estos cuerpos son cilindros.
¿Qué es un cilindro?
Llamamos Cilindro circular recto al cuerpo que s e obtiene por la rotación de un rectángulo
alrededor de uno de sus lados.
En la figura se ¡lustra el cilindro circular recto que se obtiene al rotar el rectángulo ABCD
alrededor del lado BC. La recta r que pasa por los puntos B y C se llama eje del cilindro.
A los círculos ¡guales de radios AB y CD se les de nomina bases, en tanto que la superficie
- 86-

87. Geometría Plana
curva que genera el lado AD en la rotación se le denomina superficie lateral.
La altura del cilindro será la distancia entre sus bases; en este caso lo representa el
segmento BC.
Se llama generatriz a cualquier segmento como AD cuya longitud siempre será igual a la
altura del cilindro.
Área total del cilindro
Ya sabemos que el área total de un cuerpo que tiene dos bases como es el caso del cilindro
está dada por la fórmula:
V =AL + 2 . AB
Construyamos un cilindro de papel y cortemos convenientemente con una tijera para
desarrollar su superficie; obtenemos así la figura que se muestra.
Ha resultado que el área lateral se convierte en un rectángulo cuyo largo es la longitud de la
circunferencia que limita las bases y su ancho es igual a la altura del cilindro, luego:
AL = 2 . π . r . h
Como el área de cada base es AB = π . r 2 por ser un círculo, tendríamos que:
AT = AL + 2 . AB = 2 . π . r . h + 2 . π . r 2 , o sea que extrayendo factor común nos queda:
AT = 2 . π . r (h + r)
Ejemplo:
Calcular el área lateral y total de un cilindro circular recto cuyas bases tienen un radio r =
3cm y su altura es h = 5cm.
Solución:
AL = 2. π . h = 2. 3,14. 3. 5
AL = 94,2 cm 2
AT = 2 .
π
=
30. 3,14 = 94,2
. r (h + r) = 2. 3,14. 3 (5 + 3) = 6. 3,14. 8 = 48. 3.14 = 150,7
- 87-

88. Geometría Plana
Es decir,
AT = 150,7 cm 2 .
Volumen del cilindro
El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura V = AB.h
Esta misma fórmula es la que se usa para calcular el volumen de cilindro puesto que su
forma geométrica es la misma: dos bases paralelas y una superficie lateral.
Ahora bien, aquí la base es un círculo y como el área del círculo sabemos que es π .r 2 nos
queda que el volumen del cilindro será:
V = AB.h =
π .r 2 .h
V=
π .r2 .h
Ejemplo:
Calcula el volumen del cilindro del ejemplo anterior.
Solución:
V = π . r 2 . h = 3,14. 3. 5 = 3,14. 9. 5 =
V = 141.3 cm 3
3,14. 45
Es importante destacar una vez más que por comodidad en el cálculo cuando trabajamos
los pasos intermedios no situamos las unidades de medida, pero al final, cuando damos el
resultado tenemos la obligación de situarlas según lo que calculemos: si es el área
pondremos unidades cuadradas, si es el volumen serán unidades cúbicas.
5.6. El cono
Muchos cuerpos que aparecen y vemos en la vida real tienen forma de Cono. Por ejemplo,
las carboneras tienen esta forma, pero ¿qué es un cono?
Desarrolla
Concepto y elementos del cono
Llamamos cono circular recto al cuerpo que se obtiene por la rotación de un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus estelos.
En la figura se muestra el cono circular recto que se obtiene al rotar el triangulo AOB
alrededor del cateto OB. La recta r que contiene a los puntos C y B es el eje del cono.
Observa que el cono tiene sólo una base (de forma similar a la pirámide).
Al punto B se le llama vértice del cono. La altura esta dada por el segmento OB, es decir, es
la distancia del vértice a! centro de la base. Mientras que la generatriz será cualquier
segmento como AB, o sea, que vaya del vértice a cualquier punto de la circunferencia que
limita la base.
- 88-

89. Geometría Plana
Área total del cono
Si desarrollamos la superficie del cono observaremos que el área lateral se convierte en un
sector circular tal y como muestra la figura, cuyo radio será igual a la generatriz del cono (g)
y el arco es 2 • π • r que es la longitud de la circunferencia de la base.
Para obtener AL utilizamos la proporción:
AL
b
=
Ac Lc
donde:
AL:
área del sector circular
Ac:
área del círculo de centro P y radio g .
b:
longitud del arco dado, en este caso 2 • π • r
Le:
longitud de la circunferencia de centro P y radio g .
Ahora nos queda:
AL
2.πr
.
2.πr.π g 2
. .
=
⇔AL =
2
2.π g
.
2.π g
.
πg
.
Es decir, AL = π ⋅ r ⋅ g y como AB = π ⋅ r 2 se tendrá que:
AT = AL + AB = K • r • g + π • r2 = r • r (g + r).
AT = π • r (g + r)
Ejemplo:
Calcula el área lateral y total del cono circular recto de la figura si
el radio de la base es r = 3cm y su altura es h = 4cm.
Solución:
Es indispensable el cálculo de la generatriz. Pero observemos
que en un cono circular recto el radio de la base, la altura y la generatriz siempre formarán
un triángulo rectángulo (en el caso de !a figura CD es la generatriz), luego aplicando el
teorema de Pitágoras nos queda:
CD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ⇒ CD2 = 25, entonces CD = g = 5 cm
De manera que:
- 89-

90. Geometría Plana
= K r • g = 3,14 • 3 • 5 = 15 • 3,14 = 47,1
= 47,1 cm2, finalmente:
AT=;tr(g +- r) =3.14 -3(5+3) =3,14.3 -8
AT=3.14 • 24=75,4
Ar=75,4cm2
AL
AL
Volumen del cono
La relación que existe entre los volúmenes de una pirámide y un prisma que tengan iguales
bases y alturas es la misma que existirá entre un cono y un cilindro que cumplan las mismas
condiciones, es decir que:
V(cono) = 1/3 • V (cilindro), es decir,
V = 1/ 3 . π . h
Esto lo puedes comprobar haciendo un experimento similar al que realizamos con el prisma
y la pirámide usando arena. Construyes un cilindro y un cono que tengan igual base y altura
y veras que el contenido del cono case exactamente tres veces en el cilindro.
5.7. La esfera
No sería extraño que un niño pidiéndole la pelota a un compañero le dijera: "Dame la
esfera"; y es que la pelota, considerando su parte interior también, constituye una esfera.
En la vida real hay muchos cuerpos que asemejan esferas, ¿puedes mencionar algunos?
Concepto de esfera
Llamamos esfera al cuerpo geométrico que se obtiene por la rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro.
Observa que todos les puntos que se encuentran en la superficie esférica (los que
conforman la frontera) se encuentran a una misma distancia r del centro O.
Es importante destacar que el radio r de la esfera es igual a! radio del semicírculo que la
engendra o produce.
Ejemplo:
Nuestro planeta Tierra se asemeja a una esfera. Para su estudio y ubicación geográfica de
puntos se considera como tal.
A las circunferencias verticales (todas tienen como centro el punto O y en ese caso se les
llama circunferencias máximas) se les llama Meridianos. A las circunferencias horizontales
se les denomina Paralelos. De todos los paralelos sólo uno constituye una circunferencia
máxima que es precisamente el "paralelo 0" o Ecuador.
Nuestro país recibe este nombre por estar situado sobre este paralelo.
- 90-

91. Geometría Plana
Área total y volumen de la esfera
El área total de la esfera será el área de su superficie esférica y está dada por la fórmula:
AT
= 4 • π • r2
El volumen será:
(es decir, 4 veces el área de un círculo máximo).
V = 4/3 • π • r3
Puedes comprobar en !a práctica la validez de la fórmula para el volumen construyendo un
cono cuya base tenga el mismo radio r de la esfera y que su altura h = 2 r. Verás que el
contenido del cono (puede ser arena) cabe exactamente dos veces en la esfera, o lo que es
lo mismo, el contenido del cono llena exactamente la semiesfera de radio r .
Ejemplo:
Calcula el volumen y área total de una esfera de 10 cm de
diámetro.
Solución:
Como a = 10cm esto indica que r = 5cm.
AT = 4. π. r2 = 4. 3,14. 52 = 100. 3. 14 = 314
AT = 314 cm2
V = 4/3 • π • r3 = 4/3 • 3,14 • 53 = 4/3 • 3,14. 125
V= 523.1 cm3.
Ejercita
199. Calcula el área total y el volumen de una esfera de 7cm de radio.
- 91-

92. Geometría Plana
200. Se sabe que el área total de una esfera es 1 256 cm2
a)
¿Cuál es su radio?.
b)
Calcula su volumen.
201. Determina el área total y la capacidad de una semiesfera de 20cm de radio.
Sugerencia:
Para calcular el área total debes tener en cuenta el área del círculo pues se trata
de una semiesfera.
202. El cubo de la figura representa una pieza de madera de la cual debe construir una
esfera del mayor volumen posible.
a)
Halla el radio de la esfera.
b)
¿Qué cantidad de madera se desperdicia?
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93. Geometría Plana
B I B L I O G R A F I A.
BRUÑO, G. M. Geometría, Curso Superior. Bilbao. 1964.
CABALLERO, Luis Ubaldo. Geometría. Lima San Marcos.
GARCIA ARDURA, M. Problemas Gráficos y Numéricos de Geometría. Madrid. 1960.
CALVACHE, G. Geometría Plana y del Espacio. Ecuador. 2003.
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