El documento describe los conceptos básicos de la geometría euclidiana y analítica que se enseñan en la educación secundaria, incluyendo puntos, rectas, planos, ángulos, triángulos, paralelismo y congruencia. Explica también las definiciones y axiomas fundamentales de estos objetos geométricos y sus propiedades.

1. La Geometría (Euclidiana)
Axiomas Entes geométricos
No son demostrables No se definen
 Punto
 Recta
 Plano
.
풎
π
A
ℝ
Con ellos demostramos los teoremas
Con ellos definimos nuestras figuras
geométricas
Resolución de
problemas

2. LA GEOMETRÍA EN EL CURRÍCULO DE SECUNDARIA
Geometría Euclidiana
•Séptimo
•Unidad VI : Construcción de figuras
geométricas
•Unidad VII : Área y perímetro de triángulos
y cuadriláteros
•Octavo
•Unidad VI : Construcción de figuras
geométricas
•Unidad VII : Área y Perímetro de Polígonos
Regulares y circulo
•Noveno
•Unidad VI : Congruencia y Semejanza
•Décimo
• Sólidos
Geometría Analítica
•Undécimo grado
• VI : Geometría Analítica
• Distancia entre dos puntos.
• División de un segmento en una razón dada.
• Coordenadas del punto medio.
• Pendiente.
• La recta.
• Rectas paralelas y perpendiculares.
• Cónicas: Circunferencia, Parábola, Elipse e
Hipérbola.
• Centro en el origen.

3. En Geometría moderna se asumen como términos primitivos:
A
Entre puntos, rectas y planos, se da la pertenencia (∈, ∉)
Entre los planos la inclusión(⊂, ⊄).

4. Axiomas y definiciones básicas:
Espacio (S)
푝
T
R
Todas las rectas y planos son conjuntos de puntos
Dos puntos determinan una recta
푹, 푻 ∈ 푺, 푹 ≠ 푻 ⇒ ∃
풑
⊂ 푺 풕풂풍 풒풖풆 푹, 푻 ⊂
풑
Plano 휷 o ABC
Algunos
Axioma
En el plano 휷:
 B,D,C son colineales
 A,D,C no son colineales
 A,B,C,D serán coplanares si los contiene un plano (휷)

5. Axiomas y definiciones básicas:
Espacio (S)
Algunos
Axioma
Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está
contenida en el mismo plano
흅
A
C
B
흅
휶
풎
푩, 푪 ∈
푩푪
풚 푩, 푪 ∈ 흅 ⇒
푩푪
⊂ 흅
흅 ≠ 휶, 흅 ∩ 휶 ≠ ∅ ⇒ 흅 ∩ 휶 =
Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta
풎

6. La intersección entre dos rectas diferentes es un punto
푨푩
푪푫
푨푩
≠
푪푫
,
푨푩
∩
푪푫
≠ ∅ ⇒
푨푩
∩
푪푫
= 푬
풎
Si una recta interseca a un plano que no la contiene,
entonces la intersección contiene un solo punto
⊄ 흅,
풎
∩ 흅 ≠ ∅ ⇒
풎
= 풁

7.  A cada par de puntos 푴, 푵 ∈ 푺 podemos asociarle ℝ+ llamado la
distancia de P a Q, denotado por d(P,Q) o PQ.
 Diremos que B está “entre” A y C, si:
1. A,B y C son puntos distintos de una misma recta
2. AB + BC = AC
 ¿Qué es segmento?
푹푸 = 푹, 푸 ∪ 푿 /푹 − 푿 − 푸
R 푿 Q 풅(푹,푸) = 풎(푹푸) = 푹푸

8. R
S Dos segmentos que tengan la misma medida serán
Q
P
M O
N
congruentes.
¿Cómo lo debo de escribir?
? 푹푸 = 푹푺
? 푹푸 ≅ 푹푺
? 푹푸 = 푹푺
? 푹푸 ≅ 푹푺
? 푻풐풅풂풔 풍풂풔 풂풏풕풆풓풊풐풓풆풔
푹푸 ≅ 푹푺 ⇔ 푹푸 = 푹푺

9. R
S Para segmentos, la relación de congruencia es una
Q
P
M O
N
relación de equivalencia.
1) 푴푵 ≅ 푴푵 푹풆풇풍풆풙풊풗풊풅풂풅
2) Si 푴푵 ≅ 푺푷 ⇒ 푺푷 ≅ 푴푵 푺풊풎풆풕풓í풂
3) 푺풊 푴푵 ≅ 푹푸 ∧ 푹푸 ≅ 푹푴 ⇒ 푴푵 ≅ 푹푴 (푻풓풂풏풔풊풕풊풗풊풅풂풅)

10. Si R y P son dos puntos de la recta 풎. El rayo denotado por 푹푷, es el
conjunto de los puntos del segmento 푹푷 y el conjunto de todos los
puntos X tales que P está entre R y X.
푹푷 = 푹푷 ∪ 푿 푹 − 푷 − 푿
R P X
Ubicada en
el infinito
En general;
I. 푹푷 ≠ 푷푹
II. 푹푷 ∩ 푷푹 = 푹푷
III. 푹푷 ∪ 푷푹 = 푹푷
R P
풎

11. Punto
medio
O P R
 Si P está entre O y R (O – P – R) y 푶푷 = 푷푹
 Todo segmento tiene exactamente un punto
medio.
 Si O – P – R, entonces OP + PR = OR
Biseca al
segmento

12. Un punto P separa a una recta 푨푩 en tres conjuntos distintos:
A P B
1. 푷
2. PA
3. PB
= 푷푨 − 푷
La semirrecta, es el rayo sin el punto inicial

13. Unión de dos rayos NO colineales que tienen el
origen en común (desde la geometría plana, en trigonometría si existe el ángulo llano)
O
A ∠푶; ∠푨푶푩; ∠푩푶푨
B
∡푶; 풎∠푨푶푩; 풎∠푩푶푨; ∡푩푶푨; ∡푨푶푩
S
P
Si S,P y R no son puntos colineales, la unión de los
segmentos 푺푷, 푷푹, 푺푹 formarán un triángulo,
R
denotado por Δ푺푷푹.
Todo triángulo divide al plano entres conjuntos disjuntos;
el triángulo mismo, su interior, y el exterior.

14. En geometría, “no existen” ángulos con medidas de ퟎ풐 y ퟏퟖퟎ풐, porque:
1) La figura que se formaría con ퟎ풐 es un rayo
2) Y con ퟏퟖퟎ풐, una recta (tampoco consideramos ángulos negativos)
Si C ∈ 풊∠푨푶푩 풚 ∡푩푶푪 = ∡푪푶푨, ⇒ 푶푪 풃풊풔풆풄풂 풂풍 ∠푨푶푩
∡푨푶푩 + ∡푪푶푩 = ퟏퟖퟎ풐
∡휷 < ퟗퟎ풐
C
∡휷 > ퟗퟎ풐
O
A
B

15. ∠ 표푝푢푒푠푡표푠 푝표푟 푒푙 푣é푟푡푖푐푒

16. 풑
풒
Dos rectas diferentes son paralelas si:
 Están en mismo plano
 No se intersectan
 Si ambas son perpendiculares a
misma recta
흅 풑 ∥ 풒
P Por un punto externo a una recta, pasa exactamente una
풒
recta paralela a la recta dada.

17. 풏
∠ퟐ ∠ퟏ 풎ퟏ
풎ퟐ
∠ퟔ ∠ퟓ
∠ퟕ ∠ퟖ
∠ퟑ ∠ퟒ
Ángulos correspondientes son ≅:
∠ퟏ 풚 ∠ퟓ ; ∠ퟐ 풚 ∠ퟔ ; ∠ퟑ 풚 ∠ퟕ; ∠ퟒ 풚 ∠ퟖ
Ángulos alternos internos son ≅:
∠ퟑ 풚 ∠ퟓ, ∠ퟒ 풚 ∠ퟔ
Ángulos alternos externos son ≅:
∠ퟏ 풚 ∠ퟕ, ∠ퟐ 풚 ∠ퟖ
Ángulos internos a un mismo lado son suplementarios:
∠ퟑ 풚 ∠ퟔ; ∠ퟒ 풚 ∠ퟓ
Ángulos externos a un mismo lado son suplementarios:
∠ퟏ 풚 ∠ퟖ ∠ퟐ 풚 ∠ퟕ

18. La sumatoria de los ángulos
internos ∡휶 de ∡휷
un triángulo es
180o
∡흋
∡휷
∡흋
∡휶
A
B
C