Plano y Recta en el espacio

1. PLANO Y RECTA EN EL ESPACIO
AUTOR:
FERNANDEZ MARIO
CI: 18.337.907
Ingeniería Electrónica
Porlamar, agosto de 2016

2. Los inventores de la Geometría Analítica, Descartes y Fermat (siglo XVIII), se
interesaron por el estudio de superficies, pero dedicaron poca atención a ello,
centrándose casi exclusivamente en el estudio de curvas planas. Fue en el siglo XVIII
cuando se desarrolló la geometría analítica del espacio. Clairut, Euler y Lagrange
fueron pioneros. Por su extraordinario nivel de geómetra y su vocación pedagógica,
puede considerarse a Monge (1746-1818) como el auténtico padre de la geometría
analítica tridimensional: entre sus muchos libros, publicó uno para sus alumnos de la
Escuela Politécnica de París, en el que desarrolló la geometría analítica del espacio
prácticamente como se encuentra en la actualidad. Extraordinario geómetra y magnifico
pedagogo, Monge, sin embargo, no fue un buen escritor de libros de texto. Este
deficiencia fue largamente compensada por algunos de sus discípulos, entre los que
destaca Lacroix (1765-1843).
EN EL ESPACIO
Geometría del espacio. Rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y
medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras,
también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la
esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la
geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría
analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se
usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
PUNTO: Es la marca que deja un lápiz sobre una hoja, la intersección de dos rectas,
etc.
PLANO: Una porción de espacio.
RECTA: Línea que pasa por dos puntos cualesquiera.
ESPACIO
El espacio es el conjunto de puntos en el cual hay algunos subconjuntos llamados
rectas y otros subconjuntos llamados planos.
CARACTERÍSTICAS DE LOS SUBCONJUNTOS LLAMADOS RECTAS
Dos puntos determinan una recta y solo una.
Por un punto pasan infinitas rectas.
El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con
el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden.
Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.
CARACTERÍSTICAS DE LOS SUBCONJUNTOS LLAMADOS PLANOS

3. Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno.
si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que
contiene a ese punto (recta de intersección).
Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano.
PLANO
Un plano está determinado por:
Tres puntos no alineados.
Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.
Dos rectas paralelas.
Una recta y un punto exterior a esta.
RECTAS Y PLANOS
Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.
Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano
(Criterio de paralelismo de recta y plano).
Se dice que una recta interseca a un plano si tiene un punto común con el plano,
entonces pueden ocurrir dos cosas.
La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de
intersección.
La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto de
intersección.
RECTAS EN EL ESPACIO
Dos rectas en el espacio son paralelas si y solo si están contenidas en un plano, y son
paralelas en ese plano.
Dos rectas en el espacio pueden no ser paralelas y no cortarse; en general, son
posibles las relaciones siguientes:
Las rectas están en un plano y entonces se cortan, o son paralelas.
Las rectas no están en un plano y entonces no se cortan. En este caso se dice que se
cruzan o que son alabeadas.
CRITERIO DE PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO
Si una recta perpendicular a dos rectas de un plano que se cortan en su pie, entonces
es perpendicular al plano.
CRITERIO DE PARALELISMO DE RECTA Y PLANO

4. Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la
perpendicular es menor que las oblicuas.
Llamaremos distancia de un punto a un plano a la longitud del segmento de
perpendicular comprendido entre el punto y el plano.
PROYECCIÓN DE UNA OBLICUA Y ÁNGULO ENTRE UNA OBLICUA Y UN PLANO
Llamamos proyección de una oblicua AB sobre un plano α, al segmento A’B que une el
pie de la oblicua con el pie de la perpendicular bajada desde el mismo punto A al plano
α.
Llamamos ángulo entre una oblicua AB y un plano α, al ángulo ∂ formado por la oblicua
y su proyección sobre el α.
EN EL PLANO
En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene
infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto
y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee
volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos.
Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material
que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes
posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y
diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que
son regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
 Tres puntos no alineados.
 Una recta y un punto exterior a ella.
 Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura
delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una
superficie infinita).

5. En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por
un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento
a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y
ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único
punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del
plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números.
En coordenadas polares por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia
constituye el fundamento de la geometría analítica.
El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura
geométrica plana expresada en unidades de medida denominadas Unidades de
superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie
plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular
su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el
término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el
concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al
concepto geométrico (área).
PROPIEDADES DEL PLANO ℝ3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los
cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
 Dos planos o son paralelos o se intersectan en una línea.
 Una línea es paralela a un plano o intersecta al mismo en un punto o es contenida
por el plano mismo.
 Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre
sí.
 Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre
sí.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un
plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número
infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.
ECUACIÓN DEL PLANO
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos
vectores:

6. Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un
plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
 Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
 Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no
pertenece al plano 2.
 Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.
SEMIPLANO
Se llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que
un plano queda dividido por una recta.
Postulados de la división de un plano
En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen
infinitos puntos tales que:
1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que
los determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la
recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la
recta r.