Geometria y trigonometria aplicadas

T o s h i b a
A r q . R o b e r t o S a l d i v a r
O l a g u e .
C é d u l a P r o f e s i o n a l
N o . 2 5 3 8 1 5 0 i n s c r i t a a
f o j a s 1 6 4 - 0 1 d e l l i b r o
A 2 5 3 D . G . P . d e l a
S . E . P . M é x i c o .
G r a d u a d o e n I C S ,
E s c u e l a d e
A r q u i t e c t u r a , S c r a n t o n
P e n n s y l v a n i a , U S A . 1 9 7 6
T i t u l a d o e n
A r q u i t e c t u r a e n e l
I n s t i t u t o T e c n o l ó g i c o
d e Z a c a t e c a s , M é x i c o
M a y o d e l 2 0 1 3
rso@prodigy.net.mx
0 1 . 4 9 2 . 9 2 . 7 . 6 2 . 9 5
Z a c a t e c a s M é x i c o ,
M é x c o [ E s c r i b i r e l
n ú m e r o d e f a x ]
ROBERTO
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GEOMETRIA Y
TRIGONOMETRIA
SIMPLIFICADAS
PARA
ESTUDIANTES DE
PREPARATORIA Y
ARQUITECTURA

Arquitecto Roberto Saldivar Olague, Cédula Profesional 2538150, fojas-164-01 del libro A253-DGP.SEP.MX
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA APLICADA FACIL E INTERESANTE PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA
C O M P I L A C I O N.
2
Geometría y Trigonometría
G&T
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA SIMPLIFICADAS PARA
ESTUDIANTES DE
PREPARATORIA Y ARQUITECTURA.
A r q u i t e c t o R o b e r t o S a l d i v a r O l a g u e
Cédula Profesional No. 2538150 fojas 164-01 libro A253
Graduado en ICS Scranton Pa, USA, Escuela de Arquitectura, 1976.-
Titulado en el Instituto Tecnológico de Zacatecas, Arquitectura, 1992.
Compilación de las materias de Geometría y Trigonometría de las Instituciones anteriores
Y de G.M. Bruño y de El Instituto de Ciencias de Zacatecas 1962.-Simplificadas por el Autor.

3
INDICE.-
GEOMETRÍA.-
RECTAS Y ANGULOS…………………………………………………………………. 2
FIGURAS PLANAS……………………………………………………………………… 9
EL TRIANGULO…………………………………………………………………………. 12
EL CIRCULO…………………………………………………………………………….. 20
TRIGONOMETRIA.-
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS……………………………………………………31
TABLAS TRIGONOMETRICAS……………………………………….………………..39
SOLUCION DE TRIANGULOS…………………………………………………………46
TRIANGULOS OBLICUOS…………………………………………………………….. 51
MEDICIONES……………………………………………………………………………. 59
MEDICION DE SUPERFICIES PLANAS……………………………………………… 59
EL TRIANGULO………………………………………………………………………….. 59
EL CUADRILATERO…………………………………………………………………….. 60
EL CIRCULO………………………………………………………………………………63
POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………….68
LA ELIPSE…………………………………………………………………………………..69
MEDICION DE SOLIDOS………………………………………………………………….73
EL PRISMA Y EL CILINDRO……………………………………………………………..73
LA PIRAMIDE Y EL CONO……………………………………………………………….75
EL TRONCO DE UNA PIRAMIDE O CONO…………………………………………….77
LA ESFERA…………………………………………………………………………………80

4
EL ANILLO CILINDRICO…………………………………………………………………..81
PROYECCIONES…………………………………………………………………………..84
FIGURAS SIMETRICAS Y SIMILARES…………………………………………………86
GEOMETRIA.-
1. Geometría es la rama de las matemáticas que trata de las propiedades de las líneas,
ángulos, superficies y volúmenes.
RECTAS Y ÁNGULOS
2. Un punto indica única posición. No tiene ni longitud, anchura, ni espesor.
.
3. Una línea tiene una sola dimensión: longitud.
4. Una línea recta, Fig. 1, que es una unidad no cambia su sentido, durante toda su
longitud. Una línea recta es también frecuente llamarla recta.
5. Una línea curva, Fig. 2, cambia de dirección en cada punto.
6. Línea quebrada, es un línea que cada tramo, Fig. 3 cambian de dirección en cada
tramo que la compone.
7. Las líneas paralelas son las que son igualmente distantes el uno del otro a lo largo de
toda su longitud, ambas líneas siendo consideradas indefinidas en extensión. Cuando
cada punto de una línea es la misma distancia FIG-4 de otra línea (o de superficie) se dice
que está es paralela a la línea (o superficie).
8. Una línea es perpendicular a otro cuando se encuentra con esa línea no se inclina
hacia ella a ninguno de sus lados, Fig. 5.

5
9. Una línea horizontal es un perpendicular toda El hasta el horizonte, o el nivel de agua,
Fig. 6.
10. Una línea vertical, Fig. 6, es una línea perpendicular a una línea horizontal; por
consiguiente, tiene la dirección de una plomada o a plomo con la Horizontal, o a 90
grados con la horizontal.
11. Cuando dos líneas se cruzan o se cortan entre sí, como en la Fig. 7,
se dice que se cruzan, y el punto
Una en la que se cruzan se denomina punto o intersección, como en A.
12. Un ángulo, Fig. 8, Es la apertura entre dos líneas que se cruzan o
cumplir; el punto de reunión es llamada es llamado vértice del ángulo.
13. A fin de distinguir una línea de otra, desde sus puntos se dan si se trata de una línea
recta, y como muchos más que se consideren necesarios si es una línea rota o curvada.
Por lo tanto, en la Fig. 9, la línea A B significaría la línea recta comprendida entre los
puntos A y B. Del mismo modo, la línea recta entre C y D se llamaría la línea CD. La línea
quebrada formada por las líneas AB y BD se llamadas líneas discontinuas ABD o DBA,

6
según el punto donde comienza. La línea C D puede ser considerada como una sola línea
o como compuestos de dos líneas CB y BD.
BD puede ser considerado como CB extendido, en cuyo caso sería
llamado CB producto de D, o, simplemente, CB 'producida. Del mismo modo, CB es DB
producido. Una línea, sin embargo, no puede decirse que es otra línea produce, a menos
que sea una extensión de la línea en una dirección constante; A B no puede ser referido
como CB produce o produce como DB.
14. Distinguir los ángulos, nombrar un punto en cada línea y el punto de su intersección, o
vértice del ángulo. Por lo tanto, en la Fig. 9, el ángulo formado por las líneas AB y CB
se llama el ángulo ABC o el ángulo ACB, la letra al vértice se coloca entre los otros dos.
El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo ABD o DBA el vértice se
coloca entre los otros dos. El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo
ABD o DBA.
Cuando un ángulo se encuentra solo de modo que no puede ser confundido
para cualquier otro ángulo, sólo la letra del vértice se necesita;
Por lo tanto, el ángulo E, Fig. 20, el ángulo B ', Fig. 21, etc.
15. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común se llaman ángulos
adyacentes. Los ángulos ABC y ABD, Fig. 9, son ángulos adyacentes.

7
16. Cuando una línea se encuentra con otra de modo que los ángulos adyacentes
formados son iguales, como AB C y ABD, Fig. 10, los ángulos D se denominan ángulos
rectos.
17. Un ángulo agudo es menor que un ángulo recto. A B C, Fig. 11, es un ángulo agudo.
18. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto. A 5D, Fig. 12, es D un ángulo
obtuso.
19. Cuando dos rectas se intersecan o cortan forman cuatro ángulos sobre el punto de
intersección. Por lo tanto, en la Fig. 13, las líneas A B y CD, que se cortan en el punto 0,
forman cuatro ángulos BOD y DOA, AOC y COB sobre el punto O. Los ángulos que se
encuentran en el mismo lado de una línea recta, como DOB y DOA son ángulos
adyacentes. En la figura 13 los ángulos que se encuentran uno frente al otro se llaman y
se llaman opuestos.

8
Ángulos. Por lo tanto, AOC y D08, también DOA y BOC, son ángulos opuestos.
20. Cuando una línea recta corta a otra recta línea, como en la Fig. 13, los ángulos
opuestos son iguales. Por lo tanto, DOB = AOC and DOA = BOC.
21. Cuando una línea recta se reúne con otra línea recta en un punto entre sus extremos,
la suma de los dos adyacentes ABD and ABC, Fig. 14, los dos ángulos rectos son iguales.
22. Si una serie de líneas rectas en el mismo lado de una línea dada se encuentran
directamente en el mismo punto, la suma de todos los ángulos formados es igual a dos
ángulos rectos. Entonces en la Fig. 15, COB + DOC + EOD + FOE + AOF son iguales a
dos ángulos rectos.
23. si una línea recta interseca o corta a otra línea recta, de modo que los ángulos
adyacentes sean iguales, las líneas se dice que son perpendiculares entre sí y en tal
caso, se forman cuatro ángulos rectos sobre el punto de intersección. Por lo tanto, en la
Fig. 16, BOC, COA, AOD, son ángulos rectos. A partir de este se ve que cuatro ángulos
rectos son todo lo que se puede formar alrededor de un punto dado.

9
24. A través de un punto dado cualquier número de líneas rectas se puede dibujar; y la
suma de todos los ángulos formados sobre el punto de intersección son iguales a cuatro
ángulos rectos. Por lo tanto, en la Fig. 17, HOF + FOC + COA + AOG +GOE + EOD +
DOB + BOH son igual a cuatro ángulos rectos.
Ejemplo.- en un volante con 12 brazos que parten de un ángulo recto y que se incluyen
entre las líneas centrales a los dos brazos adyacentes, y si estos brazos están espaciados
por igual, cuantos ángulos rectos forman?
Solución.- Puesto que hay 12 brazos hay 12 ángulos. La suma de todos los ángulos es
igual a cuatro ángulos rectos.
25. “A “una línea perpendicular trazada desde un punto por encima o por debajo de una
recta dada es la más corta distancia desde este punto de la línea, o a línea perpendicular
Por lo tanto, si A, Fig. 18, es el punto y C D la línea dada entonces la línea perpendicular
A B es la distancia más corta desde A hacia la línea C D.

10
26. Un ángulo se dice que es el complemento de otro cuando la suma de los dos ángulos
es un ángulo recto.
En la Fig. 17, si FE es perpendicular a A B, F O H es el complemento de B O H y B O H
es el complemento de F O H. Cuando se hace referencia a los dos ángulos se dice que
son complementarias. Por lo tanto, B O H y F O H son ángulos complementarios.
27. Cuando la suma de dos ángulos es igual a dos ángulos rectos, los ángulos se dice
que son suplementarios, y cada uno es el complemento del otro. En la figura 14, ABC es
el suplemento de ABD y AB D es el suplemento de ABC.
Los ángulos adyacentes se forman por dos líneas de intersección, como en la Fig. 13, son
suplementarios. Si un lado de un ángulo, como BD, Fig. 14, se produce a través del
vértice, el ángulo entre el lado producido y el otro lado, por ejemplo el ángulo CBA, es el
suplemento del ángulo original DBA.
28. Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y ambos los lados correspondientes se
encuentran en la misma dirección o en direcciones opuestas, son iguales.
Por lo tanto, si el lado A B, Fig. 19, es paralela al lado DE, y si el lado BC es
paralela al lado EF, entonces el ángulo E es igual al ángulo B Pero si uno de los lados o
un ángulo tiene la misma dirección y el otro en la dirección opuesta al lado
correspondiente del ángulo los ángulos son suplementarios

11
Por lo tanto, en la figura 20 GH es paralela a y está en la misma dirección que DE HI y es
paralelo a, pero se encuentra en la dirección opuesta a EF, por lo tanto, el ángulo de GHI
es suplemento de DEF.
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR.
1. En una polea con cinco brazos, ¿qué parte de un ángulo recto está incluido
entre las líneas centrales de los dos brazos?
Respuesta: ¿De un ángulo recto.
2. Si una línea recta se encuentra con otra línea recta a fin de formar una
ángulo igual a 12/3 de ángulo recto, que parte de un ángulo recto hace su adyacente a un
ángulo igual?
Respuesta. De un ángulo recto
3. si una serie de líneas rectas, se reúnen una recta dada en un punto dado, siendo todos
del mismo lado de la línea dada, a fin de formar seis ángulos iguales, ¿qué parte de un
ángulo recto está contenido en cada ángulo?
Respuesta; 1/2 de un ángulo recto.
FIGURAS PLANAS.-
30. Una superficie sólo tiene dos dimensiones: largo y ancho, ó longitud y amplitud, Una
superficie plana generalmente es llamada plano, es una superficie plana.

12
Si una regla se coloca sobre una superficie plana, cada punto a lo largo del borde de la
regla va a tocar la cara de la superficie no importa en qué dirección este.
31. Una figura plana es en cualquier parte una superficie plana delimitada por líneas
rectas o curvas.
32. Cuando una figura plana está limitada por líneas rectas solamente, se llama un
polígono. Las líneas que limitan se llaman los lados, y la línea quebrada que delimita él (o
toda la distancia alrededor) se llama el perímetro del polígono
Los ángulos formados por los lados son llamados los ángulos del polígono. Por lo tanto,
A B C D E, Fig. 21, es un polígono. A B, B C. etc., son los lados; E A B, A B C, etc., son
los ángulos; y la línea discontinua o quebrada A B C D E A es el perímetro.
33. Los polígonos se clasifican de acuerdo con el número de
sus lados: Uno de los tres lados se denomina triangulo, uno
de cuatro lados, un cuadrilátero uno de cinco lados, un pentágono uno de los seis lados,
un hexágono; uno de los siete lados, un heptágono; uno de ocho lados, un octágono; uno
de los diez lados, un decágono; uno de doce lados, un dodecágono; etcétera.
34. polígonos equiláteros son aquellos en que los lados son todos iguales.
Por lo tanto, en la Fig. 22, AB = BC = CD = DA; por lo tanto, ABCD es un
polígono equilátero.
35. Un polígono equiángulo es uno en el que todos los ángulos son iguales. Por lo tanto,

13
en la Fig. 23, el ángulo A = ángulo B = ángulo D = ángulo C; por lo tanto, ABDC es un
polígono equiángulo.
36. Un polígono regular es uno en el cual todos los lados y todos los ángulos son iguales.
Por lo tanto, en la Fig. 24, AB = BD = DC = CA, y el ángulo A = ángulo B = ángulo D =
ángulo C; por lo tanto, A RDC es un polígono regular.
37. Algunos polígonos regulares se muestran en la Fig. 25.
Fig. 25
38. La suma de todos los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a dos ángulos
rectos, multiplicado por un número que es dos menos que el número de lados del
polígono. Por lo tanto, ABCDEF, Fig. 26, es un polígono de seis lados (hexágono), y la

14
suma de todos los ángulos interiores de A + B + C + D +
E + F = 2 ángulos rectos multiplicado 4 (= 6-2), o 8 ángulos rectos.
Ejemplo.-Si la figura de arriba es un hexágono regular (tiene igual lados y ángulos
iguales), ¿cuántos ángulos rectos hay en cada ángulo interior?
Solución. 6 - 2 = 4. Dos ángulos rectos x 4 = 8 ángulos rectos = el número total de
ángulos rectos en el polígono; y como hay ángulos iguales, que tienen 8 -: - 6 = 11/2
ángulos rectos = el número de ángulos rectos en cada ángulo interior.
EL TRIÁNGULO
39. Los triángulos se denominan según sus lados como isósceles, equiláteros y triángulos
escalenos, y de acuerdo con sus ángulos se llaman triángulos rectángulos y triángulos
oblicuos
40. Un triángulo isósceles, Fig. 27, es uno que tiene dos de sus lados iguales

15
FIG. 27
41. Cuando los tres lados son iguales, como
en la Fig. 28, que se llama triangulo equilátero y un triángulo equilátero es también un
triangulo isósceles.
Fig. 28
42. Un triángulo escaleno, Fig. 29, es un triangulo que no tiene dos de sus lados iguales.
43. Un triángulo rectángulo, Fig. 30, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por razones de brevedad, un triángulo
rectángulo es denominado un triángulo rectángulo.
44. Un triángulo oblicuo, Fig. 31, es un triangulo que no tiene ángulo recto.

16
45. La base de cualquier triángulo es el lado sobre el cual el triángulo se supone que se
apoya; cualquiera de los lados puede considerarse como la base. En las Figs. 32, 33 y
34, A C es la base.
46. La altura de cualquier triángulo es una línea trazada desde el vértice del ángulo frente
a la perpendicular a la base, o a la base producida. Por lo tanto, en las Figs. 32 y 33, BD
es la altura de los triángulos A B C
47. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por lo
tanto, en la Fig. 34, AB = BC; por lo tanto, el ángulo C = al ángulo A. Por lo tanto, si dos
ángulos de cualquier triángulo son la iguales, el triángulo es isósceles.
En cualquier triángulo isósceles, si una línea perpendicular se dibuja desde el vértice
opuesto al lado desigual, que biseca (o lo corta en mitades) a uno de los lados. Entonces
A C, fig. 34 es el lado desigual del triángulo isósceles ABC; Por lo tanto, la perpendicular
B D desde el vértice opuesto A C biseca A C, o A D = DC

17
En cualquier triángulo isósceles, si una perpendicular parte desde el vértice opuesto a la
lado desigual a ese lado, se divide en dos (recortes en mitades) al lado. Por lo tanto, A C,
Fig. 34, es el lado desigual del triángulo isósceles A B C; entonces la línea BD es
perpendicular desde el vértice opuesto AC y divide CA, o A D = D C.
48. En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos es igual a dos ángulos rectos. Por
lo tanto, en la Fig. 35, la suma de los ángulos en A, B, y C = dos ángulos rectos; es decir,
A + B + C = dos ángulos rectos.
Por lo tanto, si se dan cualquiera de los dos ángulos de un triángulo, el tercero se puede
encontrar restando la suma de los dos ángulos de la suma de dos ángulos rectos.
Supongamos que A + B = 1+7/10 ángulos rectos; entonces, C debe ser igual a 2 - 1+7/10
= 3/10 de un ángulo recto.
49. En cualquier triangulo recto puede haber un ángulo recto, y puesto que la suma de
todos los ángulos es igual a dos ángulos rectos, es evidente que la suma de dos ángulos
agudos deben ser igual a un ángulo recto. Por lo tanto, si en cualquier triángulo un ángulo
agudo es conocido, el otro pueden encontrarse restando el ángulo conocido del ángulo
recto. Por lo tanto, en la Fig. 36, ABC es un triángulo rectángulo, en ángulo recto en C.
Entonces, el ángulo A + B = es un ángulo recto. Si A = 3/7 de un ángulo recto, B = 1- 3/7
= 4/7 de un ángulo recto. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son por lo
tanto ángulos complementarios.

18
50. En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados. Si AB C, Fig. 37, es un triangulo recto
Ángulo recto en B y luego el cuadrado descrito sobre la hipotenusa AC es igual a la suma
de los cuadrados que se describen en los lados AB y BC; En consecuencia, si las
longitudes de la parte AB y BC son conocidos, la longitud de la hipotenusa se puede
encontrar mediante la adición de los cuadrados de las longitudes de los lados AB y BC y,
a continuación, la extracción de la raíz cuadrada de la suma.
O es lo mismo decir; la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma
del cuadrado de los catetos
Ejemplo.- Si A B es igual a 3 metros y B C es igual a 4 metros, cual es el valor de la
hipotenusa?
Solución:
51.- si la hipotenusa y uno de los lados son dados, el otro lado puede ser encontrado
restando el cuadrado del lado dado desde el cuadrado de la hipotenusa y luego restando
la raíz cuadrada del resto.

19
Ejemplo;
Si, a partir de una torre de la iglesia que está a 15 metros de altura, una cuerda se va a
fijar en la parte superior, y la otra parte en el suelo a una distancia de 8,5 metros al suelo
que se supone que debe estar al mismo nivel, cual debe ser la longitud de la cuerda?
Fig.38
Solución: en la fig. 38, AB representa el campanario de 15 metros de altura; C, una
participación de 8,5 metros desde el pie de la torre; y AC, la cuerda. Aquí tenemos un
triángulo rectángulo, en ángulo recto en B, y AC es la hipotenusa.
Solución.-
52. Dos triángulos son iguales cuando los lados de uno son iguales a los lados del otro
triangulo.
53. Dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno son iguales a los ángulos
del otro triangulo. Los lados correspondientes de triángulos semejantes son
proporcionales
Por ejemplo: En los triángulos A B C y a b c, Fig.39, el lado a c es perpendicular al lado A
C, el lado a b es perpendicular al lado A B, y el lado b c es perpendicular al lado B C.

20
Fig. 39
Entonces, el ángulo A = al ángulo “a” y los lados de uno son perpendiculares al otro. De la
misma manera, el ángulo B = al ángulo “b”, y el ángulo C: al ángulo “c”. Los dos triángulos
son, por tanto, semejantes y sus correspondientes lados son proporcionales. Es decir,
cualquiera de los dos lados de un triángulo son entre sí como los dos lados
correspondientes del otro triángulo; o, un lado de un triángulo es el lado correspondiente
al otro lado del primer triángulo que es correspondiente al lado del segundo triangulo. Los
siguientes son ejemplos de muchas proporciones que pueden escribirse. En este caso,
los lados correspondientes de los dos triángulos son los que son perpendiculares entre sí:
A B: B C = a b: b c,
A B: A C = a b: a c,
B C: b c = A B: a b,
A C: a c = B C: b c, etc.
Ejemplo. -Los Lados de un triángulo son 18 centímetros y 21 centímetros, y
la base es de 24 centímetros de largo; ¿cuáles son las longitudes de los lados de un
triángulo semejante cuya base es 8 centímetros de largo?
SOLUCIÓN. –Si Los lados son proporcionales, tenemos las proporciones
24: 8 = 21: x, y 24: 8 = 18: x. En el primer caso podemos leer 24 es a 8 Como 21 es a x,
multiplicamos 8 x 21 y el producto resultante lo dividimos entre 24 y el resultado es x = 7 y
en el segundo caso, hacemos lo mimo y obtenemos como resultado x = 6.
54. Si una línea recta se dibuja a través de dos lados de un triángulo paralelo al tercer
lado, se divide en lados proporcionales. Por lo tanto, en la Fig. 40, la línea D E se dibuja
paralela al lado B C en el triángulo A B C.

21
Fig. 40
Entonces, AD: DB = AE: EC Es de hacerse notar, también, que el triángulo ADE y el
triangulo ABC son triángulos semejantes y sus lados son proporcionales. La proporción
AD: DE = AB: BC es una proporción semejante.
Ejemplo 1.-En la última figura, si AE = 14 y A D = 12, E C= 9, que hace al lado D B igual?
Solución.
De la proporción AD: D B = AE: EC tenemos; 12: DB = 14: 9, de donde D B = 7.7
Ejemplo 2.-La base de un triángulo rectángulo es de 12 centímetros y su
altura de 40 centímetros. ¿Cuánto mide la base de un triángulo 24 centímetros de base?
Solución.-Dado que el triángulo es rectángulo, la longitud del
lado perpendicular es igual a la altura, o 40 centímetros. Al dibujar una línea
paralela a la base, y 24 centímetros por encima de él, el segundo triangulo semejante
encontraremos que el lado correspondiente es igual ó = 40 a 24 o 16 centímetros y la
longitud del a base es la anchura requerida. Por lo tanto, 40: 12 =
16: x o x = 4,8
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR
1. ¿Cuántos ángulos rectos hay en uno de los ángulos interiores de
un heptágono regular? 1.43 ángulos rectos.

22
2. El ángulo en el vértice de un triángulo isósceles es igual a 0.5 (1/2) de un ángulo recto.
¿Cuánto suman los otros ángulos iguales? 0.75 (3/4)de un ángulo recto.
3. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 0.55 (5/9) de un
ángulo recto. ¿Cuál es el medida del otro ángulo agudo? (4/9) 0.44 de un ángulo recto.
4. Si dos lados de un ángulo recto en un triángulo rectángulo son 52 centímetros
y 39 centímetros de largo, ¿cuánto mide la hipotenusa? = 65 centímetros.
5. Una escalera de 6.5 metros de largo sube a la parte superior de una casa cuando su
desplante es de 2.5 metros. ¿Qué tan alto es la casa, suponiendo que el desplante sea a
nivel del suelo? 6.96 metros.
6. En un triángulo ABC, el lado AB es igual a = 32 centímetros, BC es igual a = 34
centímetros, y A C = 48 centímetros.. Si el AB de un triángulo semejante es de 72
centímetros de largo, cuales son las longitudes de los otros dos lados?
A C: 108 centímetros y B C = 76.5 centímetros.
7. La base de un triángulo rectángulo es de 24 centímetros, y su altura, 72 centímetros.
¿A qué distancia de la parte superior esta el triángulo de 16 centímetros de ancho? a 48
centímetros.
EL CÍRCULO
55. Un círculo, figura. 41, es una figura plana delimitada por una línea curva, llamada
circunferencia, cada punto que esta equidistante del siguiente punto y que es equidistante
de otro punto dentro de la circunferencia llamado centro.
Fig. 41
56. El diámetro de un círculo A B, de la Fig. 42, es una línea recta que pasa por el centro
y termina en ambos extremos de la circunferencia.

23
Fig. 42
57. El radio de un círculo, O A, Fig. 43, es una línea recta trazada desde el centro a la
circunferencia. Es igual en longitud a la mitad del diámetro. El plural de radio es radios.
Todos los radios de cualquier círculo son iguales en longitud.
Fig. 43
58. Un arco de un círculo como a c b, Fig. 44 es cualquier parte de su circunferencia.
Fig. 44
59. Una cuerda es una línea recta que une cualquiera de dos puntos en una
circunferencia; o, es una línea recta que une los extremos de un arco.
en la Fig. 45, la cuerda a e b.
Fig. 45
60. Un segmento de un círculo es el espacio comprendido entre un arco y su cuerda, en la
Fig. 45, la parte del círculo comprendido entre la cuerda a b y el arco a e b que es un
segmento.
61. Un sector de un círculo es el espacio incluido entre un arco y dos radios dibujados en
las extremidades del arco.

24
en la Fig. 46, el espacio incluido entre el arco A B y el radio O A y O B es un sector del
circulo.
Fig. 46
62. Dos círculos son iguales cuando el radio o diámetro de uno es igual al radio o al
diámetro del otro.
Dos arcos son iguales cuando el radio y la cuerda es igual al radio y la cuerda del otro.
63. Si HADBC, Fig. 47, es un círculo ''en el que dos diámetros AB y CD se dibujan en
ángulos rectos entre sí, entonces, A O D, D O B, B O C, y C O A, son ángulos rectos. La
circunferencia es por lo tanto dividida en cuatro partes iguales; cada una de estas partes
se llama un cuadrante.
FIG. 47
64. En la geometría, los ángulos se miden por el número de ángulos rectos, o partes de
un ángulo recto, que contienen; ya que, en el círculo, un ángulo recto intercepta un
cuadrante, un ángulo se mide también por el número de cuadrantes, o partes de de un
cuadrante, que intercepta. La palabra "intercepción", como que aquí se utiliza, significa
que los arcos son cortados por los lados del los ángulos.
65. Un ángulo en el centro se mide por su arco interceptado.
Ejemplo.- Si un círculo se divide en seis sectores iguales, el número de cuadrantes, o
partes de un cuadrante, están contenidos en el ángulo de cada sector?
Solución.- En la Fig. 48, A C F B D E es un círculo dividido en seis sectores iguales. La
suma de todos los cuadrantes en el círculo es 4.

25
Fig. 48
Por lo tanto, 4 / 6 = 0.66 (2/3) de un cuadrante en cada Sector.
66. Un ángulo inscrito es uno cuyo vértice se encuentra en la circunferencia de un círculo,
y cuyos lados son cuerdas.
y se mide por una mitad del arco interceptado, en la Fig. 49, A B C es un ángulo inscrito, y
se mide por la mitad del arco la A D C.
F1G.49
Ejemplo.- Si en la figura del arco ADC es igual 2/5 de la circunferencia, ¿cuál es la
medida del ángulo inscrito A B C?
Solución.- el ángulo es un ángulo inscrito, que se mide por la mitad del arco interceptado,
o de la circunferencia. toda la circunferencia contiene cuatro cuadrantes; de ahí. 4 X 1/5 =
4/5 de un cuadrante o 4/5 de un ángulo recto. Por lo tanto, la medida del ángulo A B C es
4/5 de un cuadrante.
67. Si un círculo se divide en dos mitades, cada medio se llama un semicírculo, y cada
media circunferencia se denomina semicircunferencia.
68. Cualquier ángulo que se inscribe en un semicírculo e intercepta a una
semicircunferencia, como A B C o A D C, Fig. 50, es un ángulo recto, ya que es medido
por la mitad de una semicircunferencia que es, un cuadrante.
Fig. 50

26
69. Un polígono inscrito es uno cuyos vértices se encuentran en la circunferencia de un
círculo, y cuyos lados son acordes, como A B CDE, Fig. 51.
FIG. 51
7 0. Si, en cualquier círculo, se dibuja un radio perpendicular a cualquier cuerda, se
divide (recorta en mitades) la cuerda a la línea que biseca se le llama bisectriz. Por lo
tanto, si el OC radio, Fig. 52, es perpendicular al acorde AB, AD = DB
Fig. 52
Ejemplo.-Si un pentágono regular está inscrito en un círculo y un radio se traza
perpendicular a uno de los lados. ¿Cuáles son las longitudes
de los lados, si el perímetro del pentágono es de 27 centímetros?
Solución.-Un pentágono tiene cinco lados, y ya que es un pentágono regular, todos los
lados tienen la misma longitud;
el perímetro del pentágono, que es la distancia alrededor de ella, es igual a la suma de
todas las lados, o 27 centímetros. Por lo tanto, la longitud de un lado = 27 / 5 = 5.4
centímetros. Y puesto que el pentágono es un pentágono inscrito, sus lados son cuerdas
y como un radio perpendicular a una cuerda lo biseca o divide, tenemos
5.4 / 2 = 2.7 centímetros de longitud en cada una de los lados, de cortados
por un radio perpendicular a la mismo.
71. Si una línea recta se dibuja perpendicular a cualquier cuerda en su punto medio, esta
debe pasar a través del centro del círculo.
A través de los tres puntos que no están en la misma línea recta, una circunferencia se
puede dibujar. Sean A, B y C, Fig. 53 se dibujaran tres puntos. Al unirse A y B, y B y C,
por las líneas rectas. Y en el punto medio de AB, se dibuja H K perpendicular a; A B; en el
punto medio de BC y se dibujar EF perpendicular a BC. Estas dos líneas perpendiculares
se cortan en O.

27
Todos los puntos en H K son igualmente distantes de A y B, y todos los puntos en E F son
igualmente distante de B y C; su intersección O es igualmente distante de A, B, y C.
Luego, con O como centro, y OB como un radio, que describe al círculo; este pasara a
través de A, B, y C.
Fig. 53
72. Una tangente a un círculo es una recta línea que toca el círculo en un punto
solamente; y es siempre perpendicular al radio señalando a ese punto. Por lo tanto, en la
Fig. 54, A B se dibuja la perpendicular al radio O E en su extremidad E es la tangente del
circulo. Si una recta es perpendicular a un radio en su extremidad, también es tangente al
círculo. Por lo tanto, en la Fig. 54, si AB es perpendicular al radio OE en E, AB es
tangente al círculo.
Fig. 54
7 3. Si dos círculos se cruzan entre sí, la línea que une sus centros bisecta en ángulo
recto a la línea que une los dos puntos de intersección.
Si los dos círculos, cuyos centros son 0 y P, Fig. 55, se cortan en A y B, la línea OP
bisecta a los ángulos rectos en la línea A B; o AC = BC, AB is entonces perpendicular a
OP.
Fig. 55

28
74. Un círculo se dice que es tangente a otro círculo cuando se tocan en un punto
solamente, como en la Fig. 56. Este punto es llamado el punto de tangencia, o el punto de
contacto.
FIG. 56
75. Cuando dos o más círculos son descritos desde el mismo centro, como en Fig. 57,
que son los llamados círculos concéntricos.
Fig. 57
76. Si, desde cualquier punto de la circunferencia de un círculo, se dibuja una
perpendicular sobre un diámetro dado, esta perpendicular será una media proporcional
entre las dos partes en que se divide el diámetro.
Si A B, Fig. 58, es el diámetro dado y C cualquier punto de la circunferencia,
entonces la perpendicular C D es una línea proporcional entre A D y D B, o
FIG. 58
Ejemplo. si HK = 30 centímetros y IB = 8 centímetros, ¿cuál es el diámetro del círculo,
siendo HK perpendicular a AB?

29
Solución.-
Ejemplo 2.-El diámetro del círculo A B es 36.12 centímetros y la distancia BI es 8
centímetros. IA es igual a 36.12 y la distancia BI es 8 centímetros, cual es la longitud de la
línea HK?
Solución.- como el diámetro del círculo es 36.12 centímetros, y como B! es 8
centímetros, IA es igual al 36.12 centímetros - 8 =28.12 centímetros. Por lo tanto, B I : IH
= IH : IA o también;
8 : IH = IH : 28.12 entonces tenemos;
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR
1. Es un círculo se divide en diez sectores iguales, ¿qué parte de un cuadrante está
contenida en el ángulo de cada sector?
Respuesta. 0.40 un cuadrante.
2. Un ángulo inscrito en un círculo intercepta una cuarta parte de la circunferencia. ¿Cuál
es el tamaño del ángulo? Respuesta: 0.50 De un ángulo recto.
3. El perímetro de un octógono regular inscrito es de 100 centímetros de largo.
Si el radio se traza perpendicular a uno de los lados, ¿cuáles son las longitudes de las
dos partes del lado?
Respuesta. 6.25 centímetros.
4. Si, en la Fig. 58, el diámetro AB = 32.5 centímetros y la distancia
BI es de 8 centímetros, ¿cuál es la longitud de la cuerda HK?
Respuesta. 28 centímetros.

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5. En la Fig. 58, si la distancia BI es 6 centímetros y H K 18 centímetros.
¿Cuál es el diámetro del círculo? Respuesta: 19.5 centímetros.
TRIGONOMETRÍA
77. Trigonometría es la rama de las matemáticas que trata de la solución de triángulos.
Cada triángulo tiene seis partes: tres lados y tres ángulos. Si se dan cualquiera de las
partes, siendo uno de ellos un lado, los otros se pueden encontrar.
El proceso para encontrar las partes desconocidas de las partes conocidas se llama la
solución del triángulo.
78. En la trigonometría, la circunferencia de cada círculo se supone que se divide en 360
partes iguales, llamado grados;
cada grado se divide en 60 partes iguales, llamado minuto; y cada minuto se divide
nuevamente en 60 partes iguales, llamado segundos. Grados, minutos y segundos se
denotan
por los símbolos °, ',”. Por lo tanto, la expresión 37 °14 '44 ", se lee 37 grados 14 minutos
44 segundos.
Un grado es la 360va.parte o 1/360 de cualquier circunferencia, se deduce que la longitud
de un arco de un grado será diferente en círculos de diferentes diámetros, pero la
proporción de la longitud de un arco de un grado en toda la circunferencia siempre será el
mismo, o sea 1/360 de la circunferencia.
Por lo tanto, en dos círculos conocida la longitud de un arco de 1° será proporcional a los
dos radios.
Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1
grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud
del arco CD como el radio OB es al radio OD;
Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1
grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud
del arco CD como el radio OB es al radio OD; o,
Arco: AB: arco CD = OB : OD.

31
Ejemplo.-Si el arco CD = a 2 centímetros, y el radio OD = 5 centímetros, y el radio O B =
9 centímetros, ¿cuál es la longitud del arco AB?
Solución.-
79. En trigonometría, los arcos de círculos se utilizan para medir ángulos. En todos los
ángulos se supone que tienen sus vértices en el centro del circulo Fig. 60, un lado del
triangulo gira a la derecha del punto O coincidiendo con la línea horizontal del diámetro
OB.
Fig. 60
El punto B en el arco es la partida en la medición de un ángulo, el ángulo se supone que
aumentará moviéndose alrededor de la circunferencia en la dirección indicada por la
flecha hasta que el número de grados, minutos y segundos en el ángulo sean medidos
por afuera del arco.
Supongamos que se detiene en el punto H; dibujando OH, y HOB será el ángulo. Si K es
el punto de parada, KOB será el ángulo.
En la práctica, los ángulos son medidos más convenientemente mediante el uso de un
transportador, que es generalmente graduado en grados y medios grados, siendo los
minutos estimados a ojo.
80. un cuadrante es una cuarta parte de un círculo, el número de grados en un cuadrante
es una cuarta parte de 360°, o
90°. Por lo tanto, un ángulo recto siempre será de 90°.
Ejemplo.- La Tierra gira completamente alrededor de su eje una vez cada
día; a través de cuántos grados da vuelta en l hora?
SOLUCIÓN .-- En 1 día hay 24 horas, y puesto que las vueltas de la tierra son de
360° en 24 horas, en 1 hora se convertirá en 360°/ 24 =15°. Grados.
81. En la suma de dos ángulos juntos, se agregan segundos a segundos, minutos a
minutos, y grados a grados; así,

32
También, restando dos ángulos, se restan segundo de segundos, minutos de minutos, y
grados de grados.
EJEMPLOS PARA PRACTICAR.-
1.- Sumar 43° 0 '59 "a 10 ° 59' 40". Respuesta. 54° 0´ ‘39”.

33
2.- De 180°12´ 20 "restar 3° 12 '56". Respuesta. 176 ° 59´ 24”.
3.-De 84° reducir a 83°14´ 10 ", y al resultado sumar 14' 10".
Respuesta. 1 °
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.-
82. Una función de una cantidad es otra cantidad dependiendo de la primera para su
valuación. La circunferencia de un círculo, por ejemplo, está en función del diámetro,
porque la longitud de la circunferencia depende de la longitud del diámetro.
83. En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 61, el ángulo recto en C, el tamaño de el ángulo
A y consecuentemente, también del ángulo B dependen de la relativa longitud de los
lados A C, A B, y B C, por consiguiente, Ninguno de los lados puede ser cambiado sin
alterar la longitud de al menos otro lado, y en consecuencia cambiar los ángulos A y B, el
ángulo C restante es un ángulo recto. Por esta razón los lados están en función de los
ángulos.
Fig.- 61
84. En la Fig. 62, A C B, es triángulo, recto con ángulo en C. Los lados
A B y A C se han producido por B 'y C', respectivamente, siendo B ' C' perpendiculares a,
A C ' y por lo tanto paralela a BC. Los dos triángulos A C B, y A C´B´ son similares porque
sus correspondientes ángulos son iguales; por lo tanto, sus correspondientes
lados son proporcionales, y tenemos las proporciones siguientes:
Fig.- 62

34
Es evidente que, no importan las longitudes de los lados de estos triángulos semejantes
puedan ser, las relaciones
Siempre tendrá el mismo valor, siempre y cuando los ángulos sigan siendo los mismos.
Por lo tanto, si supiéramos los valores de todos los ángulos, podríamos obtener a
cualquier ángulo.
Supongamos que el radio BC/AB sea conocido por ser 1/3 BC/AB = 1/3 AB.
Si decimos AB, 1, entonces BC = 1/3 y el ángulo puede ser construido como se muestra
en la Fig. 63
Si tomamos A B como un radio y describimos un círculo; dibujando los dos diámetros D H
y E F con los ángulos rectos entre sí. Dejemos A G = 1/3 (A B es igual a 1) y dibujamos G
B paralelo a D C, que corta el círculo en B, a continuación, dibujamos A B. Vemos que B
A C es el ángulo requerido, ya que BC = AG = 1/3 AB.
De una manera similar podemos construir un ángulo cuando el radio BC/AC o cuando
B´C´/ AC´ se conocen.
Fig. 63
Suponiendo que el radio es 2/5 y que AC se toma igual a 1 grado con AC como radio,
Fig. 64, describir un circulo y levantar una línea perpendicular a C. Hacer CB = 2/5 (AC
siendo 1 grado) y dibujamos AB. Entonces BAC, es el ángulo requerido.

35
Fig. 64
85. Supongamos, en la Fig. 62, que las distancias A C 'y B' C ' sean conocidas, pero que
fuesen tan grandes que era imposible contenerlos en un dibujo
de manera que A B ' no podría dibujarse y medirse; también, que sería
necesario conocer la dirección de la línea A B', y el ángulo A. Por supuesto, un dibujo
podría hacerse a una escala reducida; de tal forma que el ángulo A se pudiera medir con
un transportador; y la longitud de B 'podría ser medida con una escala.
Los resultados obtenidos de esta manera no serían, en general, muy precisos; el método
sería largo y muy incómodo,
y las instalaciones para hacer esto podrían no estar a la mano.
Si, sin embargo, tuviéramos un cuadro con los valores de la relación BC / AC para todos
los ángulos, podríamos encontrar el valor de la relación B'C' / AC' (que es igual al valor de
la relación AC / AC), y luego revisando en la tabla, encontrar qué ángulo que tuviera este
valor. Este ángulo podría ser el ángulo A.
La longitud de AB´ puede encontrarse sumando el cuadrante A C´ con el cuadrante de,
B´ C´ y extrayendo la raíz cuadrada (ver el No. 50);
Una manera más fácil sería buscar en una tabla de valores los valores de la relación BC /
AB y dividir B'C' por la proporción correspondiente al ángulo A.
Representando los valores del radio BC/AB por R, tenemos:
BC/AB = B¨C´/A B´= R o AB´= B´C´/R,
De lo anterior, se percibe que las relaciones mencionadas son muy importantes;
constituyen, de hecho, los fundamentos de la trigonometría. Estas razones, junto con
varias otras aún no descritas, se llaman las funciones trigonométricas.
86. Hay ocho funciones trigonométricas, las cuatro principales son el seno, el coseno, la
tangente, y la cotangente,
Las otras cuatro son la secante, la cosecante, verseno y coverseno.
En algunas obras en la trigonometría y la ingeniería, las funciones trigonométricas se
tratan como líneas, mientras que en otras se tratan como ratios. Debemos por lo tanto,
definir las dos maneras o formas, por lo que el estudiante no tendrán dificultad en la
comprensión de cualquiera de los métodos. Estas funciones se definen como sigue.

36
87. En cualquier triángulo rectángulo, como O C A, Fig. 65, en ángulo derecho
en C, teniendo en cuenta el ángulo de O, el lado A C se llama el lado opuesto el lado O C,
el lado adyacente; O A es
Por supuesto, la hipotenusa. Del mismo modo O C, el lado opuesto y lado A C
es el lado adyacente para el ángulo A.
Fig. 65
La relación de la lado opuesto a la hipotenusa se llama seno; es decir, para el ángulo A O
C,
Que es igual a AC, cuando se toma como igual a 1. En otras palabras, si un círculo cuyo
centro es O se describe con un radio de unidad de longitud, la perpendicular se deja caer
desde el punto en un lado del ángulo (cuyo vértice está en el centro del círculo) corta el
círculo hacia el otro lado es el seno.FIG. 65
88. El coseno de un ángulo, como O, Fig. 65, es la relación entre el lado adyacente a la
hipotenusa; por lo tanto,
Que es igual a OC, cuando el radio es igual a 1. En otras palabras, el coseno es la
distancia desde el pie del seno al centro del círculo, cuando el radio es la unidad.
89. La tangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es la relación del lado opuesto al lado
adyacente; por lo tanto,
Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, si la tangente se dibuja en el extremo derecho
del diámetro horizontal de un círculo (Descrito con una unidad de radio), que forma uno de
los lados de un ángulo, y el otro lado del ángulo se prolonga a su encuentro, la distancia
interceptada por los dos lados del ángulo en el perpendicular se llama la tangente de ese
ángulo.

37
90. La cotangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es el proporción del lado adyacente
al lado opuesto; por lo tanto,
Fig. 66
La cotangente está representado por línea EF, que es tangente al círculo en E, por los
triángulos F E O y D B O que son similares, ya que ambos tienen un ángulo recto; los
ángulos E F O y D O B son iguales (ver Art. 28), y los ángulos F O E y O D B también son
iguales, son complementos del mismo ángulo D O B (ver arts. 26 y 49). Por lo tanto.
Pero E O es el radio, que asumimos que sea 1 y es la
cotangente de D O B; de ahí,
Cotangente ,
cuando el radio OE = 1. En otras palabras, si una tangente es dibujada desde el extremo
superior de un diámetro vertical de un círculo, cuyo diámetro horizontal forma un lado de
un ángulo, y el otro lado del ángulo se produce hasta que se encuentra
esta tangente, la distancia interceptada en esta tangente entre la extremidad del diámetro
vertical y la línea producida
se llama la cotangente de ese ángulo, cuando el radio = 1.
91. La secante de un ángulo es la relación de la hipotenusa al lado adyacente; por lo
tanto, en referencia a la Fig. 67,
Cuando el radio O B = 1. En otras palabras, la secante es la línea comprendida entre el
punto de intersección de la tangente con el lado inclinado del ángulo y el centro de un
círculo, cuando el radio es igual a 1. OD es también la secante en la Fig. 66.
92. La cosecante es la relación de la hipotenusa al lado opuesto. Por lo tanto, en
referencia a la Fig. 67,

38
Pero, desde O R N y O C A son triángulos rectos semejantes. el lado O R es
correspondiente a lado A C,
Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, la
cosecante es la línea comprendida entre el punto de intersección de la cotangente con la
cara inclinada del ángulo y el centro de un círculo, cuando el radio = 1. Fig.66, O F es la
cosecante.
93. El verseno y coverseno no se tratan generalmente como relaciones.
El verseno se define como 1 menos el coseno. En la Fig. 67,
Fig. 67
verseno = 1 - coseno = 1- = 1- OC=CB, cuando el radio O A = 1.
El verseno podría ser definido como la proporción de CB de OA (Fig. 67), siendo C B en
todos los casos la distancia del pie C del seno a la extremidad derecha B del diámetro
horizontal. El coverseno es igual a
1- seno = 1- = 1- AC = 1 – EO = ER, cuando el radio OA es igual a 1.
94. Las cuatro funciones últimamente de finidas son poco utilizado
excepto para fines especiales; si es necesario, pueden ser fácilmente
encontradas en un cuadro en el que los valores de los senos, cosenos,
tangentes, y cotangentes; por lo tanto, vamos a tratar aquí sólo las cuatro funciones
primeramente nombradas.
En el art. 87, el seno fue definido como o igual
a en el Articulo 92, la cosecante fue definida como
se nota que estas dos relaciones son reciprocas
una de la otra. . En otras palabras, la cosecante = 1/seno, y para

39
encontrar la cosecante de un ángulo todo esto es necesario dividirlo entre 1 por el seno
del ángulo
De esto se deduce que la división por el seno es el mismo que multiplicar por la
cosecante.
Del mismo modo, la secante es el recíproco del coseno; esto es,
secante = 1/coseno. Por lo tanto, si es necesario encontrar la secante de un cierto
ángulo, la secante puede encontrarse dividiendo 1 por el coseno del ángulo. Por lo tanto,
dividir por el coseno es equivalente a multiplicar por la secante.
El recíproco de un número es 1 dividido por el número. El recíproco de 4 es 1/4, y 4 y 1/4
se dice que son recíprocos uno del otro. El recíproco de una fracción es la fracción
invertida; Por lo tanto, el reciproco de 7/8 es 8/7.
Para encontrar el verseno del ángulo, encuentre su coseno y se le resta 1.
Para hallar la coverseno, encuentre el seno del ángulo y restarle 1.
Mediante la comparación de las proporciones de la tangente y cotangente, se observará
que la cotangente es el recíproco de la tangente; Asimismo, la tangente es el recíproco de
la cotangente.
Se puede demostrar fácilmente que, dividiendo la relación por el seno por que para el
coseno, la tangente es igual que
Seno/coseno del mismo modo la cotangente es igual al coseno/seno
Por lo tanto, después de conocer el seno y el coseno de cualquier ángulo, su
tangente y cotangente son fáciles de encontrar.
95. El coseno palabras, cotangente, cosecante, y coverseno son abreviaturas para
complementar el seno y complementar la, tangente, etc., que a su vez son las siglas para
las
expresiones "complemento de seno", "complemento tangente," etc. En otras palabras, el
coseno de un ángulo es igual al seno del complemento de ese ángulo; la cotangente de
un ángulo es igual a la tangente de su complemento; etcétera
Que el coseno es igual al seno del complemento es visto fácilmente por referencia a la
Fig. 67. Aquí, A O B es el
el ángulo dado y A O R es su complemento (véase el artículo 26.);
A C es su seno y O C es su coseno. Es evidente, a partir de la definición del seno, que
EA es el seno del ángulo

40
A O R. Pero E A es igual a O C, ya que E A C O es un ángulo recto; Por lo tanto, el
coseno de A O B es igual al seno de
su complemento A O R.
Del mismo modo, R N es la tangente de A O R y la cotangente de A O B, y O N es la
secante A O R de y la cosecante de
A O B. El coseno de A O R es O E, que es igual a A C, el seno de un A O B. Por lo tanto,
la verseno de A O R es E R, el coverseno de A O B. En otras palabras, el coverseno de
AOB es igual al verseno de A O R, y el complemento de A O B.
96. Con el fin de ahorrar tiempo y espacio en la escritura, los nombres
de las funciones se abrevian de la siguiente manera: sen de seno; cos para coseno; tang
para tangente; cot para cotangente; sec para secante; cosec para cosecante; vers para
verseno; y cover para coverseno. Estas abreviaturas se utilizan sólo cuando se refiere
directamente a los ángulos; cuando los nombres se utilizan en un sentido general, están
escritos en su totalidad. Sea A representa un ángulo; entonces, si se deseara consultar el
seno, tangente, etc. de este ángulo, sería sen A, tan A, etc. Estas expresiones se pueden
leer como seno de A, tangente de A, etc.
Estas abreviaturas siempre deben ser pronunciadas en su totalidad.
Por lo tanto, cos 14 ° 22 '46 "se pronuncia coseno catorce grados
veintidós dos minutos y cuarenta y seis segundos; tan 45 ° se pronuncia
tangente de cuarenta y cinco grados.
97. Para facilitar los cálculos, se emplean las tablas de las funciones trigonométricas.
Estas tablas dan el seno, coseno, tangente y cotangente de los grados y minutos en un
círculo cuyo radio es 1. Hay dos tipos de tablas
de las funciones trigonométricas; a saber., las tablas de las funciones naturales y las
tablas de las funciones logarítmicas. La tabla de las funciones naturales da los valores
reales de las relaciones, mientras que la tabla de funciones logarítmicas da los logaritmos
de las funciones naturales. Sólo la tabla de funciones naturales se describe en el presente
texto.
98. A partir de las definiciones de las distintas funciones trigonométricas
se derivan las siguientes reglas muy útiles para triángulos rectángulos:

41
TABLAS TRIGONOMETRICAS
99. Ahora explicaremos cómo hallar el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo
por medio de la tabla
de las funciones trigonométricas naturales que acompaña a este texto.
Puede que aquí se observa que los valores de las funciones no son
calculados directamente (excepto haciéndolo en la tabla y en la calculadora), porque el
proceso es tan largo y laborioso que requeriría un tiempo considerable para calcular
incluso el valor de una función de un solo ángulo, y no hay ningún método sencillo de
determinar el ángulo correspondiente a una función dada, excepto por ayuda de una tabla
o en una calculadora. Como no son necesarios, las secantes,
cosecantes, versenos, y coversenos se omiten por completo.
100. Teniendo en cuenta, un ángulo, para encontrar su seno, coseno,
tangente y cotangente:
Ejemplo 1.-Que se requiere para hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de un
ángulo de 37 ° 24’.
SOLUCION.-Buscando en la tabla de seno natural: a lo largo de la parte superior de las
páginas hasta encontrar 37°. La columna de la izquierda está marcado (´), lo que significa
que los minutos hay que buscarlas en la columna, y comienzan con O, l, 2, 3,
etc., hasta 60. Al mirar hacia abajo esta columna hasta que se encuentra el 24',
encontramos el opuesto de 24´en la columna marcada seno, y nos dirigimos a 37 °, el
número .60738; entonces, 0,60738 = seno de 37 ° 24 '. Exactamente de la misma manera

42
encontramos el opuesto 24' en la columna marcada coseno, y nos dirigimos hacia 37°, el
número 0.79441,
que corresponde a coseno 37° 24'; o coseno de 37 ° 24 '= 0,79441. Así, también se
encuentra en la columna marcada tangente, y nos dirigimos hacia 37°, y frente a 24',
encontramos el número 0,76456; de donde, tan 37° 24'= 0,76456. Finalmente, encuentre
en la
columna marcada cotangente, y nos dirigió hacia 37°, y en sentido opuesto a 24´, el
número 1,30795; de donde, cotangente de 37° 24' = 1,30795.
En la mayoría de las tablas publicadas, los ángulos sólo se encuentran desde
0° a 45°,ver al final de la página y siguiendo hacia arriba, usando la columna de la
derecha extrema para encontrar minutos, que comienzan con 0 en la parte inferior y correr
hacia arriba, 1,2,3, etc., hasta 60
Ejemplo 2.-Hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 77° 43'.
SOLUCION.-desde que este ángulo es mayor de 45 °, vemos a lo largo de la
parte inferior de las tablas, hasta que la columna marcada en la parte inferior, con 77 °
bajo ella. se encuentra. viendo hacia arriba la columna de minutos en la tabla /, hasta 43
'se encuentra, frente 43' en la columna marcada coseno en la parte inferior, y que tiene 77
° debajo de ella, el número .97711; esto es
el seno de los 77 ° 43 ', o el sen de 77 ° 43' = 0,97711. Del mismo modo, en la columna
marcada coseno, y vemos "77 ° y frente 43 ', en la columna derecha, el número .21275;
este es coseno de 77 ° 43 ', o cos 77 ° 43 ': .21275. Así, también, encontramos que
4.59283 es la tangente de 77 ° 43 ', o tan 77 ° 43' = 4.59283. Finalmente, de la misma
manera, encontramos que la cotangente de 77 ° 43 ', o cot de 77° 43' = .21773.
101. Encontrar el seno de 14° 22' 26 ".
EXPLICACIÓN.-- El seno de 14° 22' 26´´ "se encuentra entre el seno de 14° 22'y el seno
de 14° 23'. Por una diferencia de
1 minuto o menos entre dos o más ángulos, es correcto asumir que las diferencias en los
valores de seno, coseno, etc., de los ángulos son proporcionales a las diferencias en el
número de segundos en estos ángulos. La diferencia en el número de segundos entre 14°
22 'y 14° 22' 26 "es de 26",
y entre los 14° 22 'y 14° 23' es de 60". El seno de 14° 22 ' es 0.24813; el seno de 14° 23'
es 0,24841. La diferencia entre
el valor del seno de 14° 22 'y el seno de 14 ° 22' 26 "es desconocido; por lo tanto,
representar por x. La diferencia entre el valor del seno de 14° 22 'y el seno de
14° 23' es .24841 hasta .24813 = 0,00028, o 28 partes. Por lo tanto, tenemos la
proporción 26 ": 5 piezas
26 ": 60" = x partes: 28 partes, o 26´´/60´´ = x partes/28 partes, de los cuales x: partes =
26/60 x 28 = 12,1 partes.

43
Descuidar la 0.1, ya que 0.1 es inferior a 0,5, hay que añadir 12 piezas o .00012, a .24813
para obtener el seno de 14° 22´ '26 ".Por lo tanto, el seno de 14° 22 '26 "= 0.24818 +
.00012 = .24825.
102. Al referirse a la tabla de senos, cosenos, tangentes, y cotangentes, se observará
que, como los ángulos
aumentan el tamaño, los senos y tangentes aumentan, mientras que los
cosenos y cotangentes disminuyen.
En el ejemplo anterior, entonces, para encontrar el coseno o la cotangente de
14° 22' 26 ", la corrección para el 26" habrían sido restar del coseno o la cotangente de
14° 22' en lugar
de sumarlo. La razón para esto se hace evidente en referencia a la Fig. 67. Aquí se verá
que, como el aumento de seno y la tangente, y la disminución el coseno y cotangente, y
viceversa. De lo anterior tenemos, podemos encontrar el seno, coseno, tangente, o
cotangente de un ángulo que contiene segundos, en la siguiente regla:
REGLA 7.- Encontrar en la tabla el seno, coseno, tangente o cotangente correspondiente a los
grados y minutos de un ángulo.
Para encontrar los segundos, encontrar la diferencia entre este valor y el valor del seno, coseno,
tangente, o cotangente de un ángulo mayor a 1 minuto; multiplicando esta diferencia por la
fracción cuyo numerador es el número de segundos en el ángulo dado y cuyo denominador es 60.
Si el seno o tangente es buscado, sumar esta corrección al primer valor encontrado; si el coseno o
la cotangente es buscado, restar la corrección.
EJEMPLO. – Encontrar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 56° 43' 17".
SOLUCION.-Seno de 56° 43' = 0,83597. Seno de 56° 44'= .836l3. y 56°43' l7 "
es mayor que 56° 43' y menos de 56° 44', el valor del seno del ángulo está entre 0.83597
y 0.836l3; y la diferencia = .836l3 - 0,83597 = .000l6. Multiplicando esto por la fracción
17/60. 0. 000l6 X 17/60, = .00005, cerca de lo que debe ser añadido a 0,83597, el valor
primero se encontró, o 0,83597 + 0,00005
= 0,83602. Por lo tanto, el seno de 56° 43 '17 " es igual a= 83602.
Cos 56° 43' = 0,54878; cos 56° 44' = 54854; la diferencia = 0.54878 - 0,54854 = .00024 y
00024 X 17/60 = 0,00007. Ahora, dado el coseno que se busca, debemos restar esta
corrección de cos 56° 43' o .54878; restando 0.54878 – 0.00007, = 0.54871.
Por lo tanto, cos 56° 43'17" = 0.54871.
Tan 56° 43' = 1.52332; tan 56° 44' = 1.52429; la diferencia es de = .00097,
y 0,00097 X 17/60 = 0.00027, casi. Dado que se buscó la tangente, debemos sumar,
dando 1.52332 + 0,00027 = 1.52359. Por lo tanto, tan 56° 43'17"=
1.52359.

44
Cot de 56° 43' = 0,65646; cot de 56° 44' = 0,65604; la diferencia = 0,00042, y
0.00042 x 17/60 = 00012, cerca. Dado que se buscó la cotangente, debemos restar,
dando 0.65646 - 0.00012 = 0,65634. Por lo tanto, cot de 56° 43'17 "=
0.65634.
103. Teniendo, el seno, coseno, tangente, o cotangente, encontrar el ángulo
correspondiente:
Ejemplo 1.-El seno de un ángulo es 0.47486; ¿cuál es el ángulo?
SOLUCION.-Consultando la tabla de senos naturales, miramos hacia abajo la
columnas marcadas con seno hasta 0.47486 se encuentra frente 21', en la columna de la
izquierda, y bajo la columna titulada 28°. Por lo tanto, el ángulo cuyo seno es igual a =
0.47486 es de 28° 21', o el seno de 28 ° 21' es igual a = 0.47486.
Ejemplo 2.-- Encuentra el ángulo cuyo coseno es 0.27032.
SOLUCION. Buscando en las columnas marcadas coseno, en la parte superior de la
página, que no se encuentra; Por lo tanto, el ángulo es mayor que 45 °. Por consiguiente,
mirando en las columnas marcadas coseno en la parte inferior de la página, que se
encuentra enfrente de 19 ', en la columna de los minutos de la derecha, y en la columna
que tiene 74° en la parte inferior. Por lo tanto, el ángulo
cuyo coseno es 0.27032 es de 74° 19', o cos 74° 19' = 0.27032.
Ejemplo 3. -Encontrar el ángulo cuya tangente es 2,15925.
SOLUCIÓN.- buscando en la tabla de tangentes naturales, la tangente dada se encuentra
es mayor y pertenece a un ángulo mayor de 45°, por lo que debe
que buscarla en la columna marcada tangente en la parte inferior. Se encuentra enfrente
de 9 ', en la columna de minutos de la derecha, y en la
columna que tiene 65° en la parte inferior. Por lo tanto, tan 65° 9'= 2,15925.
Ejemplo 4. ~ Encuentra el ángulo cuya cotangente es 0,43412.
SOLUCIÓN.- En la tabla de cotangentes naturales, se encuentra que este valor es menor
que la cotangente de 45°, por lo que se debe encontrar en la columna marcada
cotangente en la parte inferior. Buscando allí, se encuentra en la columna que tiene 66°
en la parte inferior, y al contrario 32', en la columna de minutos a la derecha. Por lo tanto,
el ángulo cuya cotangente es 0.43412 es 66° 32', o cot de 66° 32' = 0,43412.
104. Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.42531.
EXPLICACION.-Refiriendo a la tabla de senos, este número se encuentra entre 0,4252,
del seno de 25° 10', y 0.42552, del seno de 25° 11'. La diferencia entre estos dos números

45
es 0.42552 -0.42525 = .00027 o 27 partes; la diferencia entre 0.42525, del seno de 25°
10', y 0.42531,
el seno del ángulo dado, es 0.42531-,42525 = 00006, o 6 partes. Representando por x el
número de segundos que las ángulo cuyo seno es 0,42531 sobrepasa los 25° 10',
tenemos la proporción, x ": 60" = 6 piezas 27 partes,
 X´´/60´´ = 6 partes/ 27 partes;
de los cuales X = 60 x = 6 partes /27 partes 13,3% ". Por lo tanto el ángulo cuyo
seno es 0.42531 es 25°10' 13.3”.
El ángulo se encuentra desde el coseno, tangente, y cotangente exactamente de
la misma manera.
105. Para hallar el ángulo correspondiente a un seno dado,
coseno, tangente, o cotangente, cuyo valor exacto no está contenido en la tabla:
Regla 8. -Encontrar la diferencia de dos números en la tabla entre los cuales el
seno dado, coseno, tangente, cotangente, utilizando el numero de partes en esta
diferencia como el denominador de una fracción.
Encontrar la diferencia entre el número que pertenece al menor ángulo dado y el
seno, coseno, tangente, o cotangente, utilizando el número de partes en la
diferencia encontrando el numerador de la fracción mencionada anteriormente.
Multiplicando esta fracción por 60, y el resultado será el número de segundos que
se suman al ángulo más pequeño.
Ejemplo 1.-Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.57698.
Solución.- Buscando en la tabla de senos naturales, en las columnas marcadas
senos, se encuentra entre 0.5769l = sen 35° 14' y 0.577l5 = sen de 35° 15'. La
diferencia entre ellos es 0.57715 -0.57691 = 00024, o 24 partes.
La diferencia entre el seno del ángulo más pequeño, o seno de 35° 14'= 0.57691 y
el seno dado, o 0.57698, es 0.57698 – 0.57691 = 0,00007 o 7 partes. Entonces,
7/24 x 60 = 17.5", y el ángulo requerido es de 35° 14' 17.5", o el seno de 35° 14'
17.5" = 0.57698.
Ejemplo 2. -Encontrar el ángulo cuyo coseno es 0.27052.
SOLUCIÓN. –Buscando en la tabla de cosenos, se encuentra un ángulo mayor de 45 ° y,
por lo tanto, debe buscarse en las columnas macadas coseno, en la parte inferior de la
página. Se encuentra entre el números 0.27060 = cos 74° 18' y 0,27032 = cos 74° 19'. La

46
diferencia
entre los dos números es 0.27060 -0.27032 = 0.00028 o 28 partes. El
coseno del ángulo pequeño, o 74° 18' es 0.27.060, y la diferencia entre este y el coseno
dado es 0.27060 – 0.27052 = 0,00008, o 8 partes.
Por lo tanto, 8/28 x 60 = 17.1", casi, y el ángulo cuyo coseno es 0.27052
= 74° 18' 17.1", o cos 74° 18' l7.1" = 0.27052.
Ejemplo 3.-Encontrar el ángulo cuya tangente es 2.15841.
SOLUCIÓN. - 2.15841 cae entre 2,15760 = tan 65° 8' y 2,15925 = tan 65° 9'. La diferencia
entre estos números es 2.15925 – 2.15769 = 0.00165, o 165 partes. 2.15841 – 2.15760 =
0,00081, o 81 partes. Por lo tanto,
81/165 x 60 = 29.5", casi, y el ángulo cuya tangente es 2.15841 = 65° 8' 29.5", o tan 65° 8'
29.5" = 2,15841.
Ejemplo 4.-Encontrar el ángulo cuya cotangente es 1.26342.
SOLUCION.- 1,26342 se encuentra entre 1.26395 = cot 38° 21' y 1.26319 = Cot 38° 22'.
La diferencia entre estos números es 1.26395 -1.26319 = 0.00076. 1.26395 a 1.26342 =
0.00053. 53/75 x 60 = 41.8´´, casi, y el ángulo cuya cotangente es l.26342 = 38° 21' 41.8
", o cot 38° 21' 41.8"= 1.26342.
EJEMPLOS PARA LA PRÁCTICA
1. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 48° 17’.
(a) 0,74644.
(b) 0,66545.
(c) 1,12172.
2. Busque el (a) seno, (b) del coseno, y (c) la tangente de 13° 11' 6 ".
(a) 22.810.
(b) 0,97364.
(c) 23.427.
3. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 72 ° 0‘ 1.8”.
(a) 0.95106.
(b) 0.30901.
(c) 3.07777,

47
4. (a) ¿De qué ángulo 0.26489 el seno? (b) cual es el coseno?
(a) 15° 21´37.2”
(b) 74° 38´22.8´´
5. (11) ¿De qué ángulo es 0.68800 el seno? (b) el coseno? (c) la tangente?
TABLAS TRIGONOMETRICAS.-
Ángulo seno coseno tangente Ángulo seno coseno tangente
0º 0,000 1,000 0,000 46º 0,719 0,695 1,036
1º 0,018 1,000 0,018 47º 0,731 0,682 1,072
2º 0,035 0,999 0,035 48º 0,743 0,669 1,111
3º 0,052 0,999 0,052 49º 0,755 0,656 1,150
4º 0,070 0,998 0,070 50º 0,766 0,643 1,192
5º 0,087 0,996 0,088 51º 0,777 0,629 1,235
6º 0,105 0,995 0,105 52º 0,788 0,616 1,280
7º 0,122 0,993 0,123 53º 0,799 0,602 1,327
8º 0,139 0,990 0,141 54º 0,809 0,588 1,376
9º 0,156 0,988 0,158 55º 0,819 0,574 1,428
10º 0,174 0,985 0,176 56º 0,829 0,559 1,483
11º 0,191 0,982 0,194 57º 0,839 0,545 1,540
12º 0,208 0,978 0,213 58º 0,848 0,530 1,600
13º 0,225 0,974 0,231 59º 0,857 0,515 1,664
14º 0,242 0,970 0,249 60º 0,866 0,500 1,732
15º 0,259 0,966 0,268 61º 0,875 0,485 1,804
16º 0,276 0,961 0,287 62º 0,883 0,470 1,881
17º 0,292 0,956 0,306 63º 0,891 0,454 1,963
18º 0,309 0,951 0,325 64º 0,899 0,438 2,050
19º 0,326 0,946 0,344 65º 0,906 0,423 2,145
20º 0,342 0,940 0,364 66º 0,914 0,407 2,246
21º 0,358 0,934 0,384 67º 0,921 0,391 2,356
22º 0,375 0,927 0,404 68º 0,927 0,375 2,475
23º 0,391 0,921 0,425 69º 0,934 0,358 2,605
24º 0,407 0,914 0,445 70º 0,940 0,342 2,747
25º 0,423 0,906 0,466 71º 0,946 0,326 2,904
26º 0,438 0,899 0,488 72º 0,951 0,309 3,078
27º 0,454 0,891 0,510 73º 0,956 0,292 3,271
28º 0,470 0,883 0,532 74º 0,961 0,276 3,487
29º 0,485 0,875 0,554 75º 0,966 0,259 3,732
30º 0,500 0,866 0,577 76º 0,970 0,242 4,011
31º 0,515 0,857 0,601 77º 0,974 0,225 4,331
32º 0,530 0,848 0,625 78º 0,978 0,208 4,705
33º 0,545 0,839 0,649 79º 0,982 0,191 5,145
34º 0,559 0,829 0,675 80º 0,985 0,174 5,671
35º 0,574 0,819 0,700 81º 0,988 0,156 6,314
36º 0,588 0,809 0,727 82º 0,990 0,139 7,115

48
37º 0,602 0,799 0,754 83º 0,993 0,122 8,144
38º 0,616 0,788 0,781 84º 0,995 0,105 9,514
39º 0,629 0,777 0,810 85º 0,996 0,087 11,430
40º 0,643 0,766 0,839 86º 0,998 0,070 14,300
41º 0,656 0,755 0,869 87º 0,999 0,052 19,081
42º 0,669 0,743 0,900 88º 0,999 0,035 28,640
43º 0,682 0,731 0,933 89º 1,000 0,018 57,289
44º 0,695 0,719 0,966 90º 1,000 0,000
45º 0,707 0,707 1,000
SOLUCION DE TRIANGULOS
Triángulos rectángulos
106. Como se indicó anteriormente, cada triángulo tiene seis partes, tres lados y tres
ángulos, y si se dan cualquiera de las tres partes. Siendo una de ellos un lado, los otros
tres se pueden encontrar.
En los triángulos rectángulos, sólo es necesario conocer dos partes
Además del ángulo recto, uno de los cuales debe ser un lado.
Reglas 1-8 y las definiciones de seno, coseno, tangente, y cotangente son suficientes
para resolver todos los casos de triángulos rectos. El método se ilustra mejor mediante
ejemplos. Y son dos casos.
107. Caso 1. – Cuando se dan dos partes dadas y un ángulo:
Ejemplo 1.-En la Fig. 68, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo A C B,
con un ángulo recto en C es
de 24 centímetros, y el ángulo A es de 29° 31'; encuentra los lados A C y B C y el ángulo
B.
Fig. 68

49
NOTA. -Cuando trabajamos ejemplos de este tipo, construimos la figura y marcamos las
partes conocidas. Esta es una gran ayuda para resolver el ejemplo. Por lo tanto, en la
figura, dibujar el ángulo A para representar para representar el ángulo de 29° 31', y
completar el triángulo rectángulo A C B, con un ángulo recto en C, como se muestra.
Marque el ángulo A y la hipotenusa, como se muestra en la figura.
SOLUCION.-En relación con el art. 49, el ángulo B = 90° - 29° 31' = 60° 29'.
Para encontrar a C, usar = 24 x coseno de la regla 3; a saber., A C, o lado adyacente =
hipotenusa x coseno = 24 x coseno de 29° 31'= 24 x = 0.8702l = 20.89 centímetros, casi.
Para hallar B C, utilice la misma norma; por lo tanto, BC = 24 x cos 60° 29'= 24
0.49268 = 11,82 centímetros, casi.
Para hallar B C, regla 1 también podría haber hecho, a saber., lado opuesto = hipotenusa
x seno, o B C = 24 x seno de 29° 31' = 24 x 0.49268 = 11.82 centímetros.
Angulo B = 60° 29'
Lado A C = 20.89 cm.
Lado B C = 11.82 cm.
Ejemplo 2. -Un lado de un triángulo rectángulo A C B, con ángulo recto en C,
B Fig. 69. Es de 37 centímetros y 7 milímetros de largo; el ángulo opuesto de 25° 33' 7",
cuales son las longitudes de la hipotenusa y el lado adyacente, y ¿cuál es el otro ángulo?
Fig. 69
SOLUCIÓN. -Angulo B = 90° - 25° 33' 7´´
= 64° 26' 53"
Para hallar la hipotenusa, se utiliza la regla 2, hipotenusa = lado opuesto / seno
Como el lado opuesto se da en centímetros y milímetros, ambos deben estar reducidos a
centímetros, o ambos a milímetros. 7 milímetros = 7/10 centímetros = 0.70 + 37
centímetros; Por lo tanto, B C = 37.70 centímetros. Por lo tanto, la hipotenusa es igual a
37.70/ seno de 25° 33' 7´´ = 37.70/ 0.43133 = 87.40 centímetros.

50
Para hallar el lado A C, uso la regla 3; lado adyacente = hipotenusa x
coseno = 87.40 x coseno de 25° 33' 7 " = 87.40 x 0,90219 = 78.61 pies = 78.85
centímetros = 78 centímetros y 85 milímetros.
Ángulo B = 64° 26' 53".
A C = 78.85 centímetros.
A B= 87.40 centímetros.
El trabajo realizado para encontrar el seno y el coseno de 25° 33' 7", en el
el ejemplo anterior, es el siguiente: seno de 25° 33' = 0.43130; seno de 25° 34' =
0,43156; la diferencia = 0,00026; 0,00026 X 7/10 = .00003. Por lo tanto, el seno de 25° 33'
7" = 0.43130 + 0,00003 = 0.43133.
Coseno de 25° 33' = 0,90221; coseno de 25° 34' = 0.90208; la diferencia = 0,00013;
0,00013 x 7/60 = .00002, casi. Por lo tanto, coseno de 25° 33' 7" = ,90221-0,00002
0 .902l9.
108. Caso II. – Cuando se conocen dos lados.
Ejemplo 1.-En el triángulo rectángulo
A C B, Fig. 70, es ángulo recto en C, A C
= 18 y B C = 15; encontrar el lado A B y los ángulos A y B.
SOLUCION.- como ninguno de los dos ángulos agudos se da, uno de los ángulos deben
ser encontrado, haciendo uso de la definición de una de las funciones del ángulo.
Considerando el ángulo A, tenemos: lado opuesto igual a 15 y el lado adyacente es igual
a 18; por lo tanto, podemos utilizar la definición de cualquiera de la tangente o cotangente.
Utilizando la definición de la tangente,
Tan A = seno opuesto/lado adyacente = 15/18 = 0.83333.
Para hallar el ángulo cuya tangente es 0,83333, tenemos: Tangente del
siguiente ángulo menos 0,83317 = tan 39° 48'; la tangente del siguiente ángulo mayor es
0.83366; la diferencia es 0,00049. La diferencia entre 0,83317, la
tangente del ángulo más pequeño, y 0,83333, la tangente dada es 0.83333

51
0.833l7 = .000l6. Por lo tanto, 16/49 x 60 = 19.6 ", y el ángulo cuya tangente
es 0.83333 = 39° 48' 19.6"= ángulo A.
Ángulo B = 90°- 39° 48' 19.6" = 50° 11' 40.4".
Para hallar la hipotenusa A B, utilizando la regla 2 o 4; usando la regla 2,
hipotenusa = lado opuesto / seno. = 15 / seno de 39° 48' 19.6" = 15 / 0.64018 = 23.43.
Angulo A = 39° 48‘ 19.6”.
Ángulo B = 50° 11' 40.4”.
A B = 23,43.
Ejemplo 2.-En el triángulo rectángulo A CB, Fig. 71, en ángulo recto en C, A C =
0,024967 millas y A B = 0,04792 millas; hallar las otras partes.
SOLUTION.-Aquí la hipotenusa y el lado adyacente se dan; Por lo tanto, utilizando el
definición del coseno, lado adyacente
Coseno de A = lado adyacente / hipotenusa = 0.024967 / 0.04792 =
0.52l01.
El ángulo cuyo coseno es 0.52101 = 58° 36 ' = Ángulo A. y el Angulo B = 90° - 58° 36 '=
31° 24'.
Para encontrar el lado B C utilizando la regla 5.
Lado opuesto A = lado adyacente x tan A, o B C = 0.024967 x 1.63826 = 0.0409 = 0.409
millas.

52
Angulo A = 58° 36'.
Angulo B = 31° 24’.
B C = 0,0409 millas.
Ejemplo 3.- En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 72, en ángulo recto en C, A, B, = 308
pies y B C = 234 pies; encontrar las otras partes.
SOLUCION.-Aquí la hipotenusa y el
lado opuesto se dan; Por lo tanto, utilizando la definición de seno,
Coseno de A = lado opuesto / hipotenusa = 234/308 = 0.75974.
El ángulo cuyo seno 0,75974 = 49° 26' 28 ", cerca, = ángulo A.
El Angulo B =90°- 49° 26' 28" = 40° 33' 32”. Para encontrar una A C, la regla 1, 3, 5, ó 6
pueden ser utilizadas. Usando la regla 6, lado adyacente ángulo A = lado opuesto x
cotangente de A o A C = 234 x 0.85586 = 200.27 pies.
Angulo A = 49° 26' 28".
Ángulo B = 40° 33´ 32 ".
A C = 200,27 ft.
1. En el triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, la hipotenusa
AB = 40 centímetros y ángulo A = 28°14‘ 14”. Resolver el triángulo.
Ángulo B = 61° 45 ' 46 ".
A C = 35,24 centímetros
B C = 18,92 centímetros.
2. En un triángulo rectángulo ACB, en ángulo recto en C, el lado BC = 10 metros 4
centímetros. Si el ángulo es = 26° 59' 6", lo que hacen las otras partes iguales?
Ángulo B = 63° 0' 54".

53
A B = 22 metros. 9.25 centímetros.
A C = 20 metros 3.75 centímetros
3. En un triángulo rectángulo A C B, la hipotenusa AB = 60 metros y el lado A C = 22
metros.
Resolver el triángulo.
Angulo A = 68° 29' 22.2".
Ángulo B = 21° 30 '37.8".
B C = 55.82 metros.
4. En un triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, lado A C = 0.364
metros y el lado A C = 0,216 metros. Resolver el triángulo.
Angulo A = 30° 41' 7.5”
Angulo 6 '= 0,59 "18" 52.5 ".
A B = 0,423 metros.
TRIÁNGULOS OBLICUOS
109. Cuando se dan tres partes de cualquier triángulo, uno de ellos es un lado, las partes
restantes se pueden encontrar dibujando una perpendicular desde un ángulo hacia el lado
opuesto, por lo tanto formando dos triángulos rectángulos. Las partes de estos triángulos
rectángulos puede ser calculadas, y de ellas las partes de la
triángulo buscados puede ser encontrados.
110. Atención.- Cuando se divide el triángulo en dos triángulos rectos, se debe tener
cuidado de que el, perpendicular debe ser dibujado que uno de los triángulos rectángulos
tendrá dos partes conocidas, además del ángulo recto; d otra manera el triángulo no
puede ser resuelto.
111. Caso I. – Cuando tres partes son conocidas pueden ser un lado y dos ángulos, o dos
lados y el ángulo incluido:
Ejemplo 1.-E n la Fig. 73, El ángulo A = 46° 14', el ángulo B = 88° 24' 11", y el lado A B =
21 metros; encontrar A C, B C, y el ángulo C.
SOLUCION.-Dado que la suma de todos las ángulos de cualquier triángulo es igual a 2
ángulos rectos, o 180 ° (Art. 48), podemos hallar el ángulo C mediante la adición de los
dos ángulos conocidos y restando la suma de 180°.

54
88° 24´11" + 46° 14' = 134° 38' 11"
180° - 134° 38' 11 " = 45° 21' 49" = ángulo C.
Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a AC. El triángulo
A B C está ahora dividida en dos triángulos rectángulos A D B y B D C, ambos ángulos
rectos son en D.
En el triángulo rectángulo A D B, el ángulo A, es el ángulo recto D, y
la hipotenusa A B son conocidos;
Encontrar B D y A D. Usando la regla 1,
lado opuesto, o B D, = 21 x seno de 46° 14 '= 21 x 0.722l6 = 15.17 metros.
Utilizando la regla 3, lado adyacente, o A D, = 21 x coseno 46° 14' = 21 = 0.69172,
o A D = 14.53 metros, casi.
En el triángulo rectángulo B D C, el lado ángulo C y el lado opuesto, o B D, son
conocidos; Encontrara B C y D C.
Utilizando la regla 2, la hipotenusa, o
B C = B D / seno de 45° 21' 49" = 15.17 / 0.71158
Utilizando la regla 3, lado adyacente, o C D, = 21.32 x coseno de 45° 21' 49" = 21.32 x
0.70261 = 14.98 metros.
Desde A D + D C = A C, tenemos 14.53 + 14.98 = 29.51 metros = A C.
A C = 29,51 metros.
B C = 21.32 metros
Ángulo C = 45° 21' 49".
Si, en el ejemplo anterior, el ángulo C se había dado en lugar del ángulo A, la línea

55
divisoria debería haber sido
trazada desde el ángulo A hacia el lado BC, como en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.-En el triángulo A B C, Fig. 74, A B = 18 metros, ángulo B = 60°, y el ángulo C
= 38° 42'; encontrar las otras tres partes.
SOLUCION.- En el triángulo A B C, tenemos un ángulo A = 180°- (60°+ 38° 42 ') = 81 °
18'. Desde el vértice A, trazar la línea A D perpendicular a B C, formando así los
triángulos rectos A D B y A D C.
En el triángulo A D B, dos partes (el lado A B y ángulo B) son conocidos además del
ángulo recto. Para conocer B D, utilizaremos la regla 3. B D = 18 x coseno de 60° = 18 x
0.5 coseno = 9 metros.
Encontrar A D, utilizando la regla 1. A D = 18 x seno de 60° = 18 x 0.86603 = 15.59
metros.
En el triángulo rectángulo A D C, se conocen A D y el ángulo C.
Para encontrar C, utilizaremos la regla 2.
A C = A D / seno de C = 15.59 / 0.62524 = 24.93 metros.
Para obtener D C, utilizando la regla 3.
D C = A C / coseno de C = 24,93 x 0,78043 = 19.46 metros.
Desde B C = B D) + D C, BC = 9 + 19,46 = 28,46 metros.
A C = 24,93 metros.
B C = 28,46 metros.
Angulo A = 81° 18'.
Ejemplo 3.-En la Fig. 75, A B = 19 metros, A C = 23 metros, y se incluye el ángulo A =
36° 3' 29"; encuentra los otros dos ángulos y el lado B C.

56
SOLUCIÓN. - Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a A C, formando los
dos triángulos rectángulos A D B y B D C. En el triángulo rectángulo A D B, A B es
conocido, y también el ángulo A. Por lo tanto, por la regla 1,
BD = 19 x seno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.58861 = 11.18 metros, casi.
Por la regla 3, AD = 19 X coseno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.80842 = 15.36 metros.
En el triángulo rectángulo B D C, las dos partes B D y D C, sobre el ángulo recto, son
conocidos; por lo tanto, a partir de la definición de la tangente,
Tangente de C = BD/DC = 11.18/7.64 = 1. 46335, y el ángulo C = 55 ° 39 '10 ".
La aplicación de la regla 2,
B C = B D/ D C = 1118 / 0.82564 = 13.54 metros.
Angulo B = 180°-(36° 3' 29"+ 55° 39 '10") = 180°- 91° 42' 39 "= 88° 17' 21”.
Angulo C = 55° 39´ 0”.
Ángulo B = 88° 17' 21".
Lado B C=13.54 metros.
112. Caso II. – Cuando en las tres partes son conocidos dos lados y un ángulo opuesto a
uno de ellos. Para este caso son, en general, dos soluciones. Esto se ve fácilmente
haciendo referencia a la Fig. 76.

57
Supongamos que las partes son los lados AB y BC y el ángulo A opuesto al lado B C.
Construimos el triángulo primero dibujando las líneas A E y A F
de tal manera que el ángulo A será del tamaño requerido y, a continuación, dibujamos la
distancia A B a lo largo de A E para representar la longitud del lado A B. Para dibujar el
lado B C, tomamos el punto B como centro, y con un radio igual a la longitud de B C, se
describe el arco de C C´ y dibujamos A C y B C´.
El triángulo que se busca puede ser A B C o A B C´. En la práctica, las condiciones nos
indicaran que triángulo seleccionar; pero cuando los dos lados y el ángulo opuesto a uno
de ellos solamente se da y no hay otra condición, es necesario resolver los dos triángulos,
que se realizan fácilmente de la siguiente manera:
Primero resolver el triángulo A B C. Para ello, determine la longitud de B D perpendicular
mediante la aplicación de la regla del 1 al ángulo A
(BD = A B X seno A); encontrar el ángulo B C D aplicando definición de seno para ángulo
B C D (seno de BCD = BD/CB) encontrar C D aplicando la regla 3 (C D = C B x coseno B
C D); encontrar A D aplicando la regla 3 (A D = A B x coseno de A).
Ahora sabemos todo lo que es necesario para determinar las partes desconocidas de
ambos triángulos.
Por lo que el ángulo A C B es el suplemento (ver Art. 27) de el ángulo B C D, y es por lo
tanto igual a 180° - ángulo B C D; el ángulo A B C = 180 ° - ángulo BA C + ángulo A C
B); el lado A C = AD – C D; desde C B C' es un triángulo isósceles, el ángulo B C D = BC'
D y
C' D = C D; A C '= A D + C' D; y, finalmente, el ángulo A B C'= 180° - (ángulo A + ángulo
C').
113. Si bien, en general, hay dos soluciones a ejemplos incluidos en el caso 11, puede
haber ninguna solución o
sólo una solución, dependiendo de la longitud del lado 8 C.
a. Si B C es menor que la perpendicular B D, el arco C C' no tocaremos el lado A F lado
del ángulo, y el triángulo no puede
ser formado; Por lo tanto, en este caso no existe una solución.
b. Si B C es exactamente igual a la B D, el arco C C' tocara a A F
en un solo punto; sólo un triángulo puede formarse, un triangulo recto y hay una solución.
c. Si B C es mayor que B D y menos de A B, el arco C C' cortará A F entre A y D, y
también a la derecha D; esto da dos triángulos y dos soluciones.
d. Si A B es exactamente igual al A B, el arco C C' cortará A F en A y en un punto a una
distancia A D a la derecha de D; este da un triángulo y una solución.

58
e. Si BC es mayor que AB, el arco CC 'no va a cortar AF entre A y D, pero se corte AF en
un punto a la derecha de D; Por lo tanto, un triángulo, se puede formar y
no hay más que una solución.
Ejemplo.- en la Fig. 76, AB = 88 metros y 6 centímetros, B C =: 57 metros, y un ángulo A
= 35° 0' 38"; encontrar las otras partes.
Solución.- La aplicación de las distintos pasos en el orden indicado en Art.112, tenemos
por regla 1, BD = 88 metros y 6 centímetros x seno de 35° 0' 38"
= 88.5 X 0.57373 = 50.78 metros.
Seno de BCD = BD/BC = 50.78/57 = 0.89088; de donde, el ángulo BCD = 62° 59' 4.3".
Por la regla 3, CD = 57 X coseno de 62° 59' 4.3" = 57 x 0.45423 = 25.89 metros.
Por regla 3 tenemos, AD = 88,5 x coseno de 35° 0' 38" = 88,5 x 0,81905 = 72,49 metros.
Ahora tenemos los datos necesarios para la encontrar las partes necesarias del triángulo
A B C. Para el ángulo BCD = 62° 59' 4.3", el ángulo adyacente
ACB = 180° - 62° 59' 4.3" = 117° 0' 55,7". Además, el ángulo A B C = 180° - (35° () '38
"+117° 0' 55.7") =180°-152° 1' 33.7 "= 27° 58' 26.3".
Para AD = 72.49 metros y CD = 25.89 metros, AC = 72,49-25,89 = 46.6 metros.
Para el triángulo ABC ', el ángulo C' = 62° 59´43" y el ángulo AB C '
= 180° - (35° 0' 38"+ 62° 59' 4.3") = 82° 0' 17.7”. A C '= 72,49 + 25,89 = 98,38 metros.
Ángulo C = 117° 0' 55,7".
Ángulo B = 27° 58' 26.3".
Lado AC = 46.6 metros.
Angulo A B C' = 82° 0' 17.7".
Angulo C '= 62° 59' 4.3".
Lado AC '= 98,38 metros.
114. Caso III.- Cuando se dan tres lados, encontrar los ángulos:

59
Este caso se resuelve al trazar una línea desde el vértice del ángulo opuesto
el lado más largo, perpendicular a ese lado, como BD en la Fig. 77. Las partes m y n del
lado AC son determinadas con la siguiente proporción. m + n (o AC): a + b = a – b; m –
n. Esto nos da el valor de m – n. El valor de m + n = AC es ahora conocido, y para los dos
valores m y n puede determinarse por los principios de la aritmética, como explicamos
abajo.
Teniendo encontrado el valor de m – n y conociendo el valor de m + n, los valores de m y
n pueden ser determinados de la siguiente forma: Es un principio de aritmética si la suma
dos miembros y su diferencia dada, el mayor de los números es igual a la mitad de la
suma de su suma y su diferencia, y el menor de dos números es igual a la mitad de la
diferencia entre su suma y su diferencia.
Por ejemplo, suponiendo que la suma de dos números es 22 y su diferencia es 8
entonces, el numero más grande es (22+8) / 2 = 15, y el menor es (22 – 8) / 2 = 7.
Entonces, se deja menor, m + n representa su suma y m – n su diferencia; de donde,
m = (m + 22) + (m –n) / 2,
n = (m + n) – (m - n) / 2,
Ejemplo-Dado, un triángulo cuyos lados son 17 metros y 3 centímetros, 21 metros y 32
metros de largo. Encontrar los ángulos.
Solución.- m + n, el lado más largo, = 32 metros, a +b , la suma de los dos lados más
cortos, = 91 + 17,25 = 38,25 metros.
a – b , la diferencia de los dos lados más cortos, = 3.75 metros. Por lo tanto,
32 : 38.25 = 3.75 : m - n, o´ m - n = 38.25 x 3.75/ 32 = 4.48 metros.
Luego, m = (m + n) + (m - n)/2 = 32 + 4.48 / 2 = 18.24 metros
Y luego, n = (m + n) - (m – n)/2 = 32 – 4.48 / 2 = 13.76 metros
Ahora, en referencia a la última cifra, tenemos, en el triángulo ADB
lado a = 21 metros y m = 18,24 metros; de donde, por definición de coseno,

60
coseno de A = 18.24/21 = 0,86857, o´ A = 29° 42' 25.7".
En el triángulo CB D, lado b = 17.25 metros y n = 13,76 metros; de donde,
coseno C= 13.76 / 17.25 = 0.79768, o´ C =: 37° 5' 26.7".
El ángulo A B C = 180° - (29° 42' 25.7"+ 37° 5' 26.7") = 113° 12' 7.6'´.
El ángulo A = 29° 42' 25,7".
El ángulo B = 113° 12´ 7.6".
El ángulo C: 37° 5' 26.7".
1. Teniendo en cuenta, un triángulo oblicuo A B C, en el que la cara A B = 21 metros,
ángulo A = 22° 10' 16", y ángulo lo B = 78° 24' 24". Encontrar las otras partes.
Ángulo C = 79° 25´ 20´´.
Lado A C = 20.93 metros
Lado B C = 8.06 metros.
2. Teniendo en cuenta, un triángulo A B C, en la que AB = 32 metros, el ángulo B = 54°
l6', y el ángulo C: 58° 18' 9”.
Encontrar las otras partes.
Angulo A = 67° 25' 51",
Lado A C: 30.53 centímetros.
Lado B C = 34,73 centímetros.
3.- En un triángulo A B C, AB = 20 metros y 6 centímetros, BC: 16 metros, y
el ángulo B = 46° 10' 42". Encontrar los valores de las otras partes.
Ángulo A = 50° 12' 5”.
Ángulo C = 82° 36' 27”.
Lado A C = 15,04 metros.
4. En un triángulo A BC, A C = 100 metros, y el ángulo A = 20°.
Resolver el triángulo.
Ángulo B = 34° 45' 7.5", o´
ángulo B = 145° 14' 52.5".
ángulo C = 125° 14´52.5",
o´ el ángulo C = 14° 45' 7.5".

61
Lado A B = 143.268 metros, o´ A B
= 44,67 metros.
5. En un triángulo ABC, AB = 98 centímetros, BC = 140 centímetros, y el lado A C = 210
centímetros. Calcular los ángulos A, B, y C.
A = 34° 2'5 2,5".
B = 122° 52' 40.2".
C = 23°4' 27.3".
MEDICIONES.-
115. Medición es la parte: de la geometría qué trata de la medición de líneas, superficies y
sólidos.
MEDICION DE SUPERFICIES PLANAS.
116. El área de una superficie se expresa por el número de cuadrados de la unidad que
va a contener.
117. Un cuadrado unidad es el cuadrado cuyo lado es igual en longitud a la unidad.
Por ejemplo, si la unidad es de 1 metro, cuadrado la unidad es el cuadrado cuyos lados
miden 1 metro de
longitud, y el área se expresa por el número de metros cuadrados que la superficie
contiene. Si la unidad es
1 metro, el cuadrado de la unidad mediría 1 metro en cada lado, y
la área sería el número de metros cuadrados que la superficie contiene, etc. La área que
mide 1 metro por lado es
llamado un metro cuadrado, y la que mide 1 centímetro por lado se llama un centímetro
cuadrado. Metro cuadrado y centímetro cuadrado se abrevian a M2. en. y Cm2, o se
indican de Igual forma.
EL TRIÁNGULO
118. Regla. - El área de cualquier triangulo es igual al producto de la base por la altura.
Siendo b la base, h la altura y A la área,
A = b h / 2.
Si el triángulo es un triángulo rectángulo, uno de los lados cortos puede tomarse como la

62
base, y el otro lado corto como la altura; Por lo tanto, el área de un triangulo recto es igual
a la mitad del producto de los lados cortos.
Ejemplo.- Cual es el área de un triángulo cuya base es de 18 metros, y la altura de 7
metros y 9 centímetros?
Solución.- A = b h / 2 = 18 x 7.9 / 2 = 71.1 metros.
119. El área de cualquier triángulo puede ser hallado, cuando la longitud de cada lado es
conocida, por medio de la siguiente fórmula, en la que a, b, y c representan las longitudes
de los lados, y s, la mitad de la suma de las longitudes, y A es el área del triángulo:
Ejemplo.-- ¿Cuál es el área de un triángulo que tiene dos lados 19.8 metros
de largo, y un lado 28 metros de largo?
Solución.-Es irrelevante qué lado se llama a, b, ó c.-
Aplicando la fórmula, s = a + b + c / 2 = 28 + 19.8 + 19.8 / 2 = 33.8, la suma media;
teniendo b y c como los lados cortos, s - a = 33,8 - 28 = 5,8 y s – b y s
y s – c son cada uno 33,8 -19.8 = 14. Entonces.
El cuadrilátero
120. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Hay cuatro
tipos de paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y romboide.
121. Un rectángulo, Fig. 78, es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.
122. Un cuadrado, Fig. 79, es un rectángulo, cuyos lados son todos iguales.

63
123. Un romboide, Fig. 80, es un paralelogramo cuyo lados opuestos solamente lados son
iguales, y cuyo ángulos no son ángulos rectos.
124. Un rombo, Fig. 81, es un paralelogramo tiene lados iguales, y cuyos ángulos no son
rectos.
125. Un trapezoide, E es un cuadrilátero que sólo tiene dos de sus lados paralelos.
126. Un trapecio, Fig.83, es un cuadrilátero que no tiene dos lados paralelos.

64
127. La altitud de un paralelogramo, o de un trapecio.es la distancia perpendicular entre
los lados paralelos. Ver la línea de puntos en las figuras. 80, 81 y 82.
128. Una diagonal es una línea recta trazada desde el vértice de cualquier ángulo de un
cuadrilátero al vértice del ángulo opuesto; una diagonal divide un cuadrilátero en dos
triángulos. Ver Figs. 78 y 83.
Una línea diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales y semejantes.
129. Para hallar el área de un paralelogramo:
Regla. – El área de cualquier paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.
A = b x h.
Ejemplo.- Cual es el área de un paralelogramo cuya base es 12 metros
y altitud 7.5 metros?
Solución.- Aplicando la formula, A = b x h = 12 x 7.5 = 90 metros cuadrados.
Si se da el área y una dimensión, el otro lado puede ser encontrado dividiendo el área por
la dimensión conocida. Si el
paralelogramo es un cuadrado, y su área es dada, la longitud de un lado se encuentra
mediante la extracción de la raíz cuadrada del área es decir,
130. Para hallar el área de un trapecio:
REGLA.- El área del trapecio es igual a la mitad de la suma del paralelo multiplicada por
la altura.
Entonces, A = (a+b) h / 2;.
Ejemplo. -¿Cuál Es el área de un trapecio cuyos lados son paralelos
9 metros y 15 metros, y cuya altitud es de 6.7 metros?

65
Solución.- Utilizando la fórmula,
A = (a + b)/2 x h = 9 + 15/ 2 x 6.7 = 79 metros.
EL CÍRCULO
131. Para hallar la circunferencia, diámetro, o el radio de un círculo:
Regla.- La circunferencia de un circulo es igual a la diámetro multiplicado por 3.1416.
Regla.- El diámetro de un círculo es igual a la circunferencia dividida por 3,1416.
El radio es igual a la circunferencia dividida por 2 x 3.1416.
Si d es el diámetro, r el radio y c la circunferencia, entonces:
c = π d = 2 π r; y
d = c/π; ó r = c / 2π
Ejemplo 1. -¿Cuál es la circunferencia de un círculo cuyo diámetro
es de 15 metros?
Solución.-Utilizando la fórmula, c = π d = 3,1416 X 15 = 47.12 metros.
Ejemplo 2. -¿Cuál es el diámetro de un círculo cuya circunferencia es 65.973
centímetros?
Solución.-Utilizando la fórmula, d = c / π = 21 centímetros.
El número 3.1416 es la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro; se
representa muy frecuentemente por la letra griega π, que se pronuncia "pi". Su valor ha
sido
calculada a más de 700 cifras decimales, pero el valor aquí dado es el utilizado más
generalmente, cuatro decimales
siendo suficiente para todos los fines prácticos. El valor ¼ de π, ó 0.7854, y 1/6 de π, ó
0.5236, se utilizaran con frecuencia más adelante.
132. Para hallar la longitud de un arco de un círculo:
Regla.- la longitud de un arco de círculo es igual a la circunferencia de del circulo del cual

66
el arco es parte. Multiplicado por el numero de grados en el arco, y el producto dividido
por 360.
Sea “l” la longitud del arco, c la circunferencia, d el diámetro del círculo, y n el número de
grados en el arco;
entonces,
l = π d n / 360.
Ejemplo.- ¿Cuál es la longitud de un arco de 24°, si el radio del círculo es de 18 metros?
Solución.- 18 X 2 = 36 metros, el diámetro del círculo, utilizando la formula es igual L= π
d n / 360 = 3.1416 x 36 x 24 / 7.54 metros que es la longitud del arco.
133. Cuando sólo la cuerda del arco y la altura de segmento (es decir, AB y CD, Fig. 84)
se dan, la siguiente fórmula estrechamente aproximada se puede utilizar:
Sea c la longitud de la cuerda, h la altura de segmento, y l la longitud del arco; entonces,
Ejemplo.- Si AB, Fig. 84, se encuentra a 5 metros, y el CD es l metro, cual es la longitud
del arco ADE?
Solución.- Aplicando la fórmula,
Cuando el cociente obtenido dividido por la
cuerda por la altura es inferior a 4.8, es decir, cuando c/h es de menos de 4.8, la
fórmula no funciona bien, los resultados no son suficientemente exactos. En tal caso,
dividir el arco y luego aplicar la
fórmula.
134. Para hallar el área de un círculo:
Regla. – Elevar al cuadrado el diámetro, y multiplicarlo por 0,7854; o´ elevar al cuadrado
el radio y multiplicarlo por 3,1416.
Sea A el área; entonces,
A = ¼ π d x d = 0,7854 d x d '; o, A = π x r x r '= 3.1416 x r x r.
Ejemplo. -¿Cuál Es el área de un círculo cuyo diámetro es de 15 centímetros?
Solución.-15 x 15= 225. Utilizando la fórmula, A = 0,7854 x d x d = 0.7854 x 225 = 176.72
centímetros cuadrados
135. Teniendo el área de un círculo, encontrar su diámetro:

67
Regla. –Dividir el área por 0.7854 y extraer la raíz cuadrada del cociente.
Expresado como una fórmula, la regla es
Ejemplo.- El área de un círculo =17,67l.5 centímetros cuadrados. Cual su diámetro en
centímetros?
Solución.-Utilizando la fórmula,
centímetros 150/12 = 12.5 centímetros de
diámetro
136. Para hallar el área de un anillo circular:
Ru1e.-Restar el área del anillo más pequeño círculo del área del más grande; La
diferencia es área del anillo.
Si “d” es igual al diámetro más largo, d´, el diámetro más corto, y A el área del anillo;
entonces,
Ejemplo.- Cuál es el área de un anillo cuyas
largos y cortos diámetros son 6,5 centímetros y 4 centímetros, respectivamente?
Solución.- Aplicando la fórmula,
Centímetros cuadrados.
Si se conocen un diámetro y el área del anillo, el otro diámetro puede ser encontrado
mediante la adición, o restando del área del círculo del anillo ', y encontrando el diámetro
correspondiente al área resultante.
137. Para hallar el área de un sector:
Regla.- Dividir el número de grados del sector por 360. Multiplicar el resultado por el área
del círculo de cuyo sector es parte.
Sea “n” el número de grados en el arco, A el área del círculo, “d” el diámetro del círculo, y
A' del área del sector; entonces.

68
Ejemplo.- El número de grados en el ángulo
formado dibujando radios desde el centro de un círculo a las extremidades del arco del
círculo es 75.
El diámetro del círculo es de 12 centímetros; ¿cuál es el área del sector?
Solución.-
Centímetros cuadrados cerca del área del círculo Aplicando la fórmula,
Centímetros cuadrados.
138. Si la longitud de un radio de un sector son dados, la siguiente regla se puede utilizar:
Regla. – El área de un sector es igual a la mitad del producto del radio y la longitud del
arco.
Sea “l” la longitud del arco, y r el radio, y A ' el área. Tenemos:
Ejemplo.-- Si el radio de un arco es de 5 metros, y la longitud del arco es
4 metros, ¿cuál es el área del sector?
Solución.- La aplicación de la fórmula,
Metros cuadrados.
139. Para hallar el área de un segmento de un círculo:
Regla.-Dibujar radios desde el centro del círculo a la extremidades del arco del segmento;
encontrar el área del sector así formado, restar de esto el área del triangulo formado por
el radio y la cuerda del arco del segmento; el resultado es el área del segmento.

69
En problemas donde es requerida el área del segmento, la cuerda AB, fig. 84, se puede
dar, o la altura del segmento CD, o el ángulo V; si ninguno de estos tres es dado, y el
radio del circulo se conoce, el área puede ser encontrada.
Ejemplo 1.-Si el diámetro del círculo es 10 centímetros, y la cuerda del segmento es de 7
centímetros, ¿cuál es el área del segmento?
SOLUTION.-En la figura anterior, supongamos que la cuerda AB =
7 centímetros, y el diámetro = 10 centímetros; dibujar O A, B O, y un radio
perpendicular a la cuerda, dividiendo así A B en dos partes iguales, (Ver Art. 70). El
triángulo A O B se divide ahora en dos triángulos rectos iguales A C O y B C O, en el que
la hipotenusa = radio = 10/2
= 5 centímetros, y un lado AC = BC = 3.5 centímetros.
y el ángulo A 0 B = 44 ° 25 '37 " x2 = 88 ° 51'
14". C O = O B x coseno de C O B
= 5 x 0.71415 = 3,57 centímetros.
Área del sector = 10 x 10 x 0.7854 x 88.854/360 = 19.4 centímetros casi.
Área del triángulo = 7 x 3.57 / 2 = 12,5 centímetros cuadrados, casi.
19,4-12,5 = 6,9 centímetros, es el área del segmento.
Ejemplo 2.-- dada, la cuerda del arco de un segmento = 7 centímetros, y la altura del
segmento = 1.43 centímetros encontrar el radio.
Solución. -Supongamos que en la Fig. 85, ACBE es un círculo cortado con el radio
requerido, que es la cuerda A B = 7 centímetros, y que la altura C D del segmento = 1.43
centímetros. Unir C
con A y B, y el triangulo recto A D C =
B D C. tan C D B = C D / B D = 1.43 / 3.5 = 0.40857.
Ángulo CDB = 22 ° 13.5´, casi.

70
Desde C B D o´ su igual C B A es un ángulo inscrito (ver Art. 66), se mide por la mitad del
arco interceptado A C; por lo tanto, el número de grados en el arco AC= 22 ° l3.5' x 2 =
44° 27', o el número de grados en el ángulo A O C.
En el triángulo rectángulo A D O,
A O = lado opuesto / seno de A O D = AD/ seno de AOC = 3.5 / 0.70029 = 5 centímetros.
Nota.- Los principios explicados en los dos ejemplos anteriores pueden ser utilizados en la
solución de los problemas relativos a la longitud de radio, cuerda,
sub-cuerda (cuerda, como AC, de la mitad del arco AB), la altura del segmento, etc.
Todos estos implican el principio del triángulo rectángulo.
POLÍGONOS REGULARES
140. Un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos isósceles como tantos lados
tienen, dibujando líneas desde el centro a los ángulos. Cada uno de los ángulos formados
en el centro es igual a 360° dividido por el número de lados.
Para hallar el área de un polígono regular:
Regla. – Multiplicar juntos el número de lados, el cuadrado del largo de un lado y la
cotangente de la mitad del anguo central, y dividir el producto por 4. El resultado será el
área del polígono regular.
Dejemos A ser el área, n el número de lados, “l” la longitud de un lado, y x uno la mitad
del ángulo central comprendido entre dos líneas trazadas desde el centro a las
extremidades de un lado; entonces,
Ejemplo.- Cual es el área de un decágono regular teniendo 5 metros de largo?
Solución.- n es igual a 10; l = 5 metros, x = a 360/10 / 2 = 18°; cotangente 18° = 3.07768;
de donde:
= 192.35 metros cuadrados.
141. El área de un polígono regular cuyos lados son conocidos también se pueden
encontrar en la siguiente forma:

71
Regla.- Elevar al cuadrado la longitud de un lado y se multiplica por el multiplicador
apropiado en la tabla adjunta.
Ejemplo.-Cuál es el área de un octágono que tiene los lados de 8 metros de largo?
Solución.- = 64; multiplicando 64 por la tabla correspondiente
número, 4.8284, el área se encontró que 6.4 X 4.8284 = 309,02 metros cuadrados.
La elipse
142. Una elipse es una figura plana delimitada por una línea curva, para cualquier punto
de la cual la suma de las distancias desde dos puntos fijos dentro, llamado el foco, es
igual a la suma de las distancias de los focos a cualquier otro punto de la curva.
En la Fig. 86, sea A y B el foco, y dejar que C y D sean dos puntos cualesquiera del
perímetro. Entonces, de acuerdo lo anterior definición, A C + C B = A D 198, y ambos
estas sumas son también igual a el largo diámetro F E.
Los focos se puede situar desde G o D como un centro por arcos que chocan cortando F
E en A y B, utilizando un radio igual a un medio de F E.

72
El diámetro largo de una elipse, como FE, Fig. 86, se llama el eje mayor; el diámetro
corto, como G1), se denomina eje menor.
143. Para hallar la periferia (perímetro) de una elipse: No hay un método exacto, pero la
siguiente fórmula da valores casi exactos. En la fórmula,
Π = 3.1416
C = periferia;
a = media del eje mayor;
b = media del eje menor;
Ejemplo. -¿Cuál Es la periferia de una elipse cuyos ejes son 10 centímetros y 4
centímetros?
Solución.-Aplicando la fórmula,
Entonces,
144. Para hallar el área de una elipse:
Rule.-El área de una elipse es igual al producto de sus dos diámetros multiplicado por
0.7854.
Sea A el diámetro más largo, o eje mayor; B el más corto diámetro, o eje menor; y S el
área; entonces.
Ejemplo.- Cual es el área de una elipse cuyos diámetros son 10 metros y 6 metros?
Solución.-Aplicando la fórmula, S = 0,7854 AB = 0,7854 X 10 X 6 = 47,12 metros
cuadrados.
1. ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de un rombo cuya base es
8.4 centímetros y cuya altura es de 3.6 centímetros? = 23.75 centímetros cuadrados.

73
2. Un lado de una habitación es de 16 metros de largo. Si el suelo contiene 240
metros cuadrados, ¿cuál es la longitud del otro lado? = 15 metros.
3. ¿Cuántos metros cuadrados en un tablero de 12 metros de largo, 18 metros de ancho
en un extremo y 12 metros de ancho en el otro extremo? 180 metros cuadrados.
4. ¿Cuántas metros cuadradas de enyesado para el techo y las 4 paredes de una
habitación de 10 metros X 15 metros, y 9 metros de altura? La habitación
contiene una puerta 3 metros. X 7 metros., tres ventanas 3 x 6 metros.
525 metros cuadrados.
5. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base es 120 centímetros y 6 centímetros de
largo y cuya altura es de 5.40 centímetros?
324 centímetros cuadrados.
6. El área de un triángulo es 16 centímetros cuadrados. Si la altura es
4 centímetros, cuánto mide la base?
7. El lado superior de un trapecio es 16 centímetros de largo, y la más baja
lateral 14 centímetros. Si la fi gura se divide en dos triángulos por una
diagonal cuyos altitudes, extraídos de sus vértices a los dos lados como bases, son 17
centímetros y 3 centímetros, respectivamente, cual es el área
del trapecio?
8. Halla el área de un círculo 2 metros y 30 centímetros de diámetro.
4.155 metros cuadrados.
9. Se observó una rueda de carro hace 71 vueltas para recorrer
300 metros. Cual es su diámetro? 1.343 metros.
10. Encontrar, el diámetro de un círculo cuya área es 2.00 metros cuadrados.
1.60 metros
11. Se requiere, el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia
cuyo diámetro es de 20 centímetros.
237.77 centímetros cuadrados.

74
12. El número de grados en un ángulo formado por el radio desde el centro de un círculo
a las extremidades del arco del círculo es 84 grados. El diámetro del círculo es de 17
centímetros; Cuál es el área del sector?
13. Teniendo en cuenta, la cuerda de un arco con un segmento igual a 24 centímetros, y
la altura del segmento igual a 6,5 centímetros, encontrar (a) el diámetro del
círculo, y (b) el área del segmento.
a=28.654.
b= 109.87 centímetros cuadrados.
14. (a) ¿Cuál es el perímetro de una elipse cuyos ejes son 15 centímetros y 9
centímetros, y (b) ¿Cuál es el área?
a = 38,29 centímetros
b = 106.03 centímetros cuadrados.
145. Para encontrar el área de cualquier figura plana delimitada por líneas rectas o
curvas:
Regla. - El área de cualquier figura plana puede ser encontrada dividiendo en triángulos,
cuadriláteros, círculos o partes de circulo y elipses, encontrando el área de cada parte
separándola y sumándolas juntas.
Ejemplo 1. -El diagonal de un trapecio es de 15 metros. La altura
trazada desde los vértices de los dos triángulos a esta diagonal como una base
son 6 metros y 4 metros, respectivamente. ¿Cuál es el área
Solución.- 15 x 6 / 2 = 45 + 15 x 4 / 2 = 75 metros cuadrados.
Ejemplo 2. -¿Cuál es el área de un anillo plano circular Fig. 87 y cuyo diámetro exterior
es igual a 10 centímetros, y cuyo diámetro interior es igual a 4 centímetros?
El área del círculo grande = 10 x 10 x 0,7854 = 78.54 centímetros cuadrados; el área de la
pequeño círculo = 4 x 4 x 0,7854 = 12,57 centímetros cuadrados. 78.54 - 12,57 = 65.97

75
centímetros cuadrados en el área.
MEDICION DE SÓLIDOS
146. Un sólido, o cuerpo, tiene tres dimensiones: longitud, anchura y espesor. Los lados
que encierran son llamados caras y sus intersecciones se llaman bordes..
147. Toda la superficie de un sólido es el área de todo el exterior del sólido, incluyendo los
extremos.
148. La superficie convexa de un sólido es la misma que toda la superficie, excepto que
las áreas de los extremos no son incluidas.
149. El volumen de un sólido se expresa por el número de veces que contendrá otro
volumen, llamado la unidad de volumen. En lugar la palabra volumen, la expresión
capacidad cúbica se utiliza con frecuencia.
EL PRISMA Y CILINDRO
150. Un prisma es un sólido cuyos extremos son polígonos iguales y paralelos entre sí, y
cuyos lados son paralelogramos.
151. Un paralelepípedo, Fig. 89, es un prisma cuyas bases (extremos) son
paralelogramos.
152. Un cubo, Fig. 90, es un paralelepípedo cuyas caras y los lados son cuadrados.

76
153. El cubo, cuyos bordes son iguales a la unidad de longitud, se toma como la unidad
de volumen cuando se encuentra el volumen de un sólido.
Por lo tanto, si la unidad de longitud es de 1 metro, la unidad de volumen
será el cubo de cada uno de cuyos bordes medidos de 1 metro, o
1 metro cúbico; y el número de metros cúbicos que el sólido contiene será su volumen.
154. Los prismas toman sus nombres de sus bases. Por lo tanto,
un prisma triangular es uno cuyas bases son triángulos; un prisma pentagonal es uno
cuyas bases son pentágonos, etc.
155. Un cilindro, Fig. 91, es un cuerpo redondo de
diámetro uniforme con los círculos de sus extremos.
156. Un prisma recto o cilindro recto, es aquel cuya línea de centro (eje) es perpendicular
a su base. En este caso todos los sólidos serán considerados como teniendo su centro
en líneas perpendiculares a sus bases.
157. La altitud de un prisma o cilindro es la distancia perpendicular entre sus dos
extremos.
158. Para hallar el área de la superficie convexa de cualquier derecho
prisma o cilindro recto:
Regla. – Multiplicar el perímetro de la base por la altura.
Sea p el perímetro de la base, h la altura, y S
la superficie convexa; entonces, S = p h.
Ejemplo 1.-En un prisma recto cuya base es un cuadrado, un lado de 9 centímetros, y
cuya altura es de 16 centímetros, cual es su área convexa?
Solución.- 9 x 4 = 36 = el perímetro de la base. Aplicando
la fórmula, S = p h = 36 x 16 = 546 centímetros cuadrados, es el área convexa.

77
Para encontrar toda el área, se suman las áreas de los dos extremos para
tener el área convexa:
159. Para hallar el volumen de un prisma recto o cilindro:
Regla.- El volumen de cualquier prisma recto o cilíndrico es igual al área de la base
multiplicada por la altura.
Sea A el área de la base, h la altura, y V el volumen;
Entonces, V = A h..
Si el prisma dado es un cubo, las tres dimensiones son todas iguales, y el volumen es
igual al cubo de uno de los bordes.
Por lo tanto, si se da el volumen, la longitud de un borde se encuentra
mediante la extracción de la raíz cúbica.
Si se les da el volumen y el área, la altura = V / A si el cilindro o prisma es hueco, el
volumen es igual a la área del anillo o de la base multiplicada por la altura.
Ejemplo 1.-¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular cuya base
es 6 centímetros. x 4 centímetros, y cuya altura es de 12 centímetros?
Solución.-La base de un prisma rectangular es un rectángulo. Por lo tanto,
6 X 4 = 24, el área de la base. Aplicando la fórmula V = A h. = 24 x 12 = 288 centímetros
cúbicos.
Ejemplo 2.-¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo borde es de 9 centímetros?
Solución. = = 9 X 9 X 9 = 729 centímetros cúbicos. Es el volumen.
LA PIRÁMIDE Y EL CONO
160. Una pirámide, Fig. 92, es un sólido cuya base es un polígono, y cuyos lados
son triángulos que unen en un punto común, llamado el vértice.

78
161. Un cono, Fig. 93, es un sólido cuya base es un círculo, y cuya superficie convexa
se estrecha de manera uniforme a un punto llamado vértice.
162. La altura de una pirámide o cono es la distancia perpendicular desde el vértice a la
base.
163. La altura inclinada de una pirámide es una línea trazada desde el vértice
perpendicular a uno de los lados a la base. La altura inclinada de un cono es cualquier
línea recta trazada desde el vértice hasta la circunferencia de la base.
164. Para hallar el área de una pirámide recta o cono recto:
Regla.- El área convexa de una pirámide recta o cono iguales en el perímetro de la base
de multiplicada por la mitad la altura inclinada.
Sea p el perímetro, s la altura inclinada, y C el área convexa; entonces, C = ps/2
Ejemplo 1.- ¿Cuál es el área convexa de una pirámide pentagonal, si
cada lado de la base mide 6 centímetros y la altura de inclinación es igual
14 centímetros?
Solución.-La base de la pirámide pentagonal es un pentágono, y en consecuencia, tiene
cinco lados.
6 x 5 = 30 centímetros, o el perímetro de la base. Aplicando la fórmula, C = ps/2 30 x 14/2
= 210 centímetros cuadrados. Es el área convexa.

79
165. Para hallar el volumen de una pirámide o cono recto:
Regla.- El volumen de una pirámide recta o cono iguales al área de la base multiplicada
por un tercio de la altura.
Sea A el área de la base, h la altura, y V el volumen; entonces,
V = A h / 3
Si la base de la pirámide es un polígono regular, su área de
puede ser encontrado por las reglas en los artículos. 140 y 141.
Ejemplo 1. -¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular, los bordes
de cuya base miden 6 centímetros, y cuya altura es de 8 centímetros?
Solución.-La base es un triángulo equilátero, por lo tanto, la aplicación de la
regla del art. 141, la área es 6 x 0.433 = 15.59 centímetros cúbicos.
La aplicación de la fórmula, V = A h / 3 = 15.59 x 8 / 3 = 41.57 centímetros cúbicos.
Ejemplo 2.- ¿Cuál es el volumen de un cono cuya altitud es de 18 centímetros, y cuya
base es de 14 centímetros de diámetro?
Solución.- 14 x 14 x 0,7854 = 153,940, es el área de la base. Aplicando la fórmula,
V = Ah / 3 = 153.94 x 18 / 3 = 923.64 centímetros cúbicos.
EL TRONCO DE UNA PIRAMIDE O CONO
166. Si una pirámide es cortada por un plano paralela como en la Fig. 94, a fin de formar
dos partes, la parte inferior se llama el tronco de la pirámide.

80
167. Si se corta un cono de una manera similar,
como en la Fig. 95, la parte inferior se llama el tronco del cono.
168. El extremo superior del tronco de una pirámide o cono se llama la base superior y el
extremo inferior del tronco se llama la base inferior. La altitud de un tronco es la distancia
perpendicular entre las bases.
169. Para hallar el área convexa de un tronco de una pirámide recta o cono recto:
Regla.- El área convexa de un tronco de una pirámide recta o cono recto es igual a la
mitad de la suma de los perímetros de sus bases multiplicada por la altura inclinada del
tronco.
Sea p el perímetro de la base inferior, b la base superior, s la altura inclinada, y C el área
convexa; entonces,
C = ( p + p´/ 2) s

81
Ejemplo 1. -dada, el tronco de una pirámide triangular, en la cual cada lado de la base
inferior mide 10 centímetros, cada lado de la parte superior mide 6 centímetros, y cuya
altura inclinada es de 9 centímetros; encontrar el área convexa.
SOLUCIÓN. - 10 centímetros x 3 = 30 centímetros, el perímetro de la parte baja
base. 6 centímetros X 3 = 18 centímetros, el perímetro de la base superior.
Aplicando la fórmula,
que es el área convexa.
Ejemplo 2 .-- Si los diámetros de las dos bases de un tronco de un
cono son 12 centímetros y 8 centímetros, respectivamente, y la altura inclinada es
12 centímetros, cual es el área total del tronco?
Solución.- es el área total de la superficie
convexa.
8 x 8 x 0.7854 = 50.27 centímetros cuadrados.
12 x 12 x 0,7854 = 113.10 centímetros cuadrados.
113,1 + 50,27 = l63.37 centímetros cuadrados, la zona de los dos extremos.
376,99 + 163,37 = 540,36, toda la zona del tronco
170. Para hallar el volumen del tronco de una pirámide o de un cono.
Regla.- Sumar las áreas de la base superior y la base inferior y la raíz cuadrada del
producto de las áreas de las dos bases; multiplicar eta suma por un tercio de la altura.
Sea A el área de la base inferior, a el área de la base superior, h la altura y V el volumen;
Si la base es un polígono regular, el área puede ser encontrada por
las normas en los Artículos. 140 y 141.
Ejemplo 1.-Dado, un cono de una pirámide hexagonal, cada borde
de la base inferior de mide 8 centímetros, y cada borde de la base superior 5 centímetros,
y cuya altura es de 14 centímetros; ¿cuál es su volumen?
SOLUCIÓN. -A Pirámide hexagonal es aquella cuya
base es un hexágono regular, como se muestra en la Fig. 96.
Por lo tanto, el uso de la fórmula en el art. 140.

82
De manera similar, encuentre el área de la base superior (;, 9 (_ ',
de base para ser 64.95, aplicando la fórmula.
Centímetros cúbicos.
Ejemplo 2, -¿Cuál es el volumen de un cono cuya base superior es de 8 centímetros, la
base inferior es de 12 centímetros de diámetro y cuya altitud es de 15 centímetros?
SOLUICION.-El área de la base superior es de 8 x 8 x 0.7854 = 50.27.
El área de la base inferior es 12 x 12 x 0,7854 = 113.1 casi.
La raíz cuadrada de su producto es
50.27 + 113.1 + 75.4 = 238.77
238.77 x 5 = 1,193.85 centímetros cúbicos.
LA ESFERA
171. Una esfera, Fig. 97, es un sólido delimitada por una superficie curva de manera
uniforme, cuyos puntos son equidistantes de un punto dentro, llama el centro.
172. Para hallar el área de la superficie de una esfera:
Regla. - El área de la superficie de una esfera es igual a la raíz cuadrada del diámetro
multiplicada por 3.1416.
Sea S la superficie y una 'el diámetro; entonces, S = π d x d
Ejemplo.- Cual es el área de la superficie de una esfera cuyo diámetro es de 14
centímetros?

83
Solución. -Aplicando La fórmula, S = π d x d = 3,1416 X 14 x 14 = 3,1416 x 14 x 14 =
615,75 Centímetro cuadrados.
173. Para hallar el volumen de una esfera:
Regla. - El volumen de una esfera es igual al cubo del diámetro multiplicado por 0.5236
Dejemos V ser el volumen y d, el diámetro; entonces.
Ejemplo.-Cuál es el peso de una bala de cañón de 12 centímetros de
de diámetro, si un centímetro cúbico de plomo que pesa 11.35 gramos?
Solución. -Aplicar La fórmula, V = 1/6 x 3.1416 x 12 x 12 x 12 = 0.5236 x 12 x 12 x 12 =
904.78 centímetros cúbicos, el volumen de la bala. 904,78 X 11.35 = 10.27 kilos.
El volumen de una capa esférica, o esfera hueca, es igual a la diferencia de volumen
entre dos esferas que tienen los diámetros exterior e interior de la capa superficial.
174. Para encontrar el diámetro de una esfera de volumen conocido:
Regla. Dividir el volumen de una esfera por 0.5236 y extraer la raíz cubica del cociente.
El resultado es el diámetro.
Ejemplo.- el volumen de una esfera es 96.1 centímetros cúbicos. Cuál es
su diámetro?
Solución. -Aplicando La fórmula,
EL ANILLO CILINDRICO
175. Si cualquier sólido troceado en piezas, cuyas superficies adyacentes
están planas, cualquier pieza se llama un plano de la sección del sólido.

84
Las secciones planas se dividen en tres clases: secciones longitudinales, secciones
transversales y secciones rectas.
Una sección longitudinal es cualquier plano de sección tomada a lo largo
a través del sólido. Cualquier otro plano de sección se llama una
sección transversal. Si la superficie expuesta mediante la adopción de una sección plana
de un sólido es perpendicular a la línea central del sólido, la sección se llama una sección
recta. La superficie expuesta por cualquier sección longitudinal de un cilindro es un
rectángulo. La superficie expuesta por una sección derecha de un cubo es un cuadrado;
de un cilindro o cono, un círculo, con una sección transversal oblicua de un cilindro es una
elipse. La mitad inferior de una sección recta de un cono o pirámide se llama un tronco
del cono o de la pirámide.
176. Para hallar el área convexa de un anillo cilíndrico:
Un anillo cilíndrico es un cilindro doblado a un círculo. La altura del cilindro
antes de doblar es la misma que la longitud de la línea central de puntos D, Fig. 98.
177. La base corresponderá con una sección transversal en
la línea A B trazada desde el centro O. Por lo tanto, para encontrar
la zona convexa, multiplicar la circunferencia de una imaginaria
sección transversal en la línea A B por la longitud de la línea central D.
Ejemplo.- Un pedazo de varilla de hierro redondo se dobla en forma circular para
hacer un anillo de una cadena; si el diámetro exterior del anillo es de 12 centímetros
y el diámetro interior es de 8 centímetros, ¿cuál es su área convexa?
SOLUCIÓN. -El Diámetro del círculo central es igual a la mitad de la suma de los
diámetros interior y exterior.
12 + 8 / 2 = 10, y 10 x 3.1416 = 31.416 centímetros, que es la longitud de la línea al
centro. El radio del interior círculo es de 4 centímetros, del círculo exterior 6 centímetros;
Por lo tanto, el diámetro de la sección transversal en la línea A B es de 2 centímetros.
Luego, 2 x 3.l4l6 = 6.2832 centímetros, y 6,2832 x 31.416 = 197.4, 01 que es el valor del
área el convexa de los diámetros interior y exterior.

85
178. Para hallar el volumen de un anillo cilíndrico:
El volumen será el mismo que el de un cilindro cuya altitud es igual a la longitud de la
línea central de puntos D, figura 99 y cuya base es la misma que una sección transversal
del anillo en la línea AB, trazada desde el centro O. Por lo tanto, para encontrar el
volumen de un anillo cilíndrico, multiplicar el área de una sección transversal imaginaria
en una línea AB, por la longitud de la línea central D.
Ejemplo.- Cual es el volumen de un anillo cilíndrico cuyo diámetro exterior es de 12
centímetros y cuyo diámetro interior es de 8 centímetros?
Solución.- El diámetro del centro del circulo es igual a la mitad de la suma de los
diámetros interior y exterior. = (12 + 8) / 2 = 10 centímetros.
10 x 3.1416 = 31.416 centímetros, el largo de la línea del centro.
El radio del circulo exterior es de 6 centímetros, el del interior 4 centímetros; entonces, el
diámetro de la sección transversal en la línea A B es igual a 2 centímetros.
Entonces 2 x 2 x 0.7854 = 3.1416, el área de la sección transversal imaginaria y 3.1416 x
31.416 = 98.7 centímetros cúbicos el volumen.
1. Encontrar el peso de una barra de hierro de 16 metros de largo y 2 centímetros de
de diámetro, el peso del hierro que se toma en 7.8 gramos por centímetros cúbico.
76.507 kilogramos, casi.
.
2. ¿Cuál es el área de toda la superficie de un prisma hexagonal
30.5 centímetros de largo, cada borde de la base es 2.5 centímetros de largo?
3. ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular, un borde de cuyas
medidas de base 7.6 centímetros, y cuya altitud es de 10 centímetros?
33.55 centímetros cúbicos.
4. Encuentre el volumen de un cono cuya altitud es de 30.5 centímetros, y la
circunferencia cuya base es 79.79 centímetros = 5,148 centímetros cúbicos.
5. Un tanque redondo es de 8 pies de diámetro en la parte superior (en el interior) y 10
pies en el fondo. Es el depósito es de 12 pies de profundidad, ¿cuántos galones hará que

86
sostenga, existiendo 231 pulgadas cúbicas en un galón? 5,734.2 gal.
6. Encontrar, el área de la superficie convexa del tronco de una
pirámide cuadrada cuya altitud es de 16 pulgadas, un lado de la base inferior
siendo 28 pulgadas de largo, y de la base superior 10 pulgadas.
1,395.36 pulgadas cuadradas..
7. ¿Cuál es el volumen de una esfera de 30 pulgadas de diámetro?
14,137.2 pulgadas cubicas.
.
8. ¿Cuántas pulgadas cuadradas en la superficie de la esfera del
ejemplo No.7,…….. 2,827.44.
9. Encontrar, el área de la superficie convexa de un anillo circular, el
diámetro exterior del anillo de ser 10 pulgadas y el diámetro interior
7.5 pulgadas?, …..107.95 pulgadas cuadradas.
10. Encontrar los contenidos cúbicos del anillo en el último ejemplo.
33.734 pulgadas cubicas.
11. El volumen de una esfera es 606.132 pulgadas cúbicas; encontrar, el área de la
superficie convexa de un cono cuya inclinación altura es 10 pulgadas, y el diámetro de
cuya base es el mismo que el diámetro de la esfera. = 164.934 pulgadas cuadradas. En.
12. ¿Cuál es el volumen del tronco de ejemplo 6? = 6,208, pulgadas cubicas.
PROYECCIONES.-
179. Si dibujamos líneas perpendiculares desde las extremidades de
una línea, como A B, Fig.100 o Fig. 102, hasta otra línea como H K, como se muestra en
las figuras, esta porción de H K, comprendida entre el pie de cada línea perpendicular se
llama la PROYECCION de A B, sobre H K. Entonces C D, es la proyección de A B, sobre
H K, y el punto D es la proyección del punto A sobre H K, y el punto D es proyección del
punto B, sobre H K.

87
La proyección de cualquier punto de A B, como E, se puede encontrar trazando una
perpendicular de E a H K, y el punto donde esta perpendicular intersecta HK es su
proyección; en este caso el punto F es la proyección del punto E K.
De lo anterior es evidente que la proyección de cualquier línea recta sobre otra línea
se encuentra considerando la línea inclinada como hipotenusa de un triángulo rectángulo,
como A B, Fig. 101, de modo que la longitud proyectada se pueden encontrar
multiplicando la hipotenusa por el coseno del ángulo que hace con la otra línea; Por lo
tanto, A D es la proyección de A B sobre la línea horizontal A C y B D que es su
proyección por la línea vertical.
No hace ninguna diferencia si una línea es recta o curvada, el método de para encontrar
la proyección es exactamente lo mismo.
De una manera similar, una superficie que se proyecta sobre una superficie plana.
Por lo tanto, se desea proyectar la superficie irregular a b d c, Fig. 103, sobre superficie

88
plana A B D C. dibujando las líneas a´, b b´, perpendicular a la superficie plana;
uniéndose a los puntos a´, b´ donde estas perpendiculares se intersectan con la superficie
plana A B D C por una línea recta a´ b´, y a' b 'es la proyección de a b sobre A B D C. La
proyección de la superficie a b d c sobre el plano A B D C es, en este caso, el
cuadrilátero a´ b´ d ´c´.
FIGURAS SIMETRICAS Y SIMILARES
180. Un eje de simetría es cualquier línea dibujada que, si la parte de la figura en un lado
de la línea se dobla en esta línea, la hará coincidir exactamente con la otra parte.
punto por punto y línea por línea. Por lo tanto, en la fig. 104, si se puede plegar la mitad
superior más en el diámetro C D, coincidirá exactamente con la mitad inferior; También, si
la parte de la derecha del diámetro A B se pliega sobre el A B, coincidirá exactamente con
la parte de la izquierda de esta línea.
Es evidente de lo anterior que un círculo puede tener cualquier número de ejes de
simetría. En ciertos casos, sin embargo, una cifra puede ser simétrica con respecto a un
solo eje. Por lo tanto, el triángulo isósceles A B C, Fig. 105, es simétrico con respecto al
eje B D, debido a que la parte B C D coincidiría con la parte B A D si pliega en la línea B

89
D; pero otro eje de simetría no se puede dibujar. El rectángulo tiene dos ejes de simetría a
la derecha ángulos entre sí. Un hexágono tiene seis ejes de simetría.
181. Cifras similares son los que son iguales en forma. Como en el caso de triángulos,
que han sido considerados, dos figuras, para ser similares, debe tener sus
correspondientes lados proporcionales y los ángulos de uno igual a los ángulos
correspondientes al otro. Cualquiera de dos círculos o cualquiera de dos polígonos
regulares del mismo número de lados son similares.
182. Las áreas de dos figuras semejantes son entre sí como los cuadrados de cualquier
dimensión. Así, un paralelogramo gramo 10 pulgadas de largo y 4 pulgadas de ancho
contiene 40 cuadrados pulgadas. A similares paralelogramo 20 pulgadas de largo serían
8 pulgadas de ancho, y contendría 160 cuadrados 'pulgadas, mientras que
las dos áreas serían entre sí como los cuadrados de los lados correspondientes de los
paralelogramos. Esto es,
Ejemplo.- Un círculo de 10 pulgadas de diámetro contiene 78,54 pulgadas cuadradas,
cuál es el área de uno 12 pulgadas de diámetro?
Solución.-Sea x = el área del círculo más grande. Luego,
183. El contenido cúbico (y pesos) de sólidos similares son el uno al otro como los cubos
de cualquier dimensión.
Ejemplo 1 -Si una bola de hierro fundido de 9 pulgadas de diámetro pesa 100
libras, cuanto pesaría una 15 pulgadas de diámetro?
Solución.-
el peso de la bola más grande.
Ejemplo 2. -Un hexágono regular tiene 5 lados de 5 pulgadas de largo; Cuánto
mayor será el área de otro hexágono regular será cuyos lados son
30 pulgadas de largo?
Solución.- 30 + 5 = 6, o la longitud de un lado de un 30 pulgadas

90
hexágono es 6 veces tan grande como la longitud de un lado de un hexágono 5 pulgadas;
el área será de 6 '= 56 veces tan grandes.
Este ejemplo también puede ser resuelto dejando 1 (uno) representar el área de
el hexágono de 5 pulgadas. Luego,
184. Los principios que figuran en Artículos. 182 y 183 son extremadamente útiles y
encontramos muchas aplicaciones en la práctica. Especialmente en la práctica de
delineación de habitaciones. Delineantes casi invariablemente hacen sus dibujos a escala,
como se dice; es decir, el tamaño del papel que está utilizando les impide dibujar en una
máquina u otro objeto de tamaño completo, y son obligados a dibujarlos a la mitad de
tamaño, el tamaño de un cuarto, de uno duodécimo tamaño, etc. en otras palabras, cada
línea o dimensión en el dibujo es ½, ¼, 1/12, etc. la longitud de la correspondiente
línea o dimensión en el objeto. Por ejemplo, el objeto representado en la Fig. 88 es más
que el tamaño real, 1/8 del tamaño del objeto la longitud de cada línea o dimensión en el
corte sólo como 1/8 tan largo como puede ser donde el dibujo es de tamaño real.
Supongamos que no hubo dimensiones dadas, pero sabíamos que el dibujo era 1/8 de el
tamaño real, y queríamos conocer la área real de la figura. Podríamos medir dichas
líneas y dimensiones que eran necesarios y calcular el área de la figura representada en
el dibujo. Luego, a sabiendas de que esta cifra es similar en su contorno el objeto en sí
mismo y que es 8 veces más largo que su correspondiente línea o dimensión en el dibujo
podríamos hallar el área del objeto de multiplicar la se obtiene el área de figura por 8 x 8,
o 64. El multiplicador 8 x 8 es obtenido desde la proporción (véase el Art. 182),
área de la figura: área real del objeto = 1x1: 8 x 8,
o el área real del objeto = 64 x área de la figura.
De lo anterior, se verá fácilmente que si conocemos el área de cualquier figura, sea cual
sea su forma, el área de cualquier figura similar puede ser encontrado por buscando la
relación entre dos líneas o dimensiones colocados de manera similar y elevando al
cuadrado la proporción. Además, si se conoce el volumen de cualquier sólido el
volumen de un sólido similar puede ser encontrado por buscando la relación
de cualquiera de las dos líneas o dimensiones colocado y el tubo de manera similar
elevando al cubo la proporción. Por ejemplo, supongamos que el área de una cierta figura
se sabe que es 1,024 pulgadas cuadradas y se desea hallar el área de una figura similar,
el cociente de dos cualesquiera correspondiente dimensiones siendo 5: 4 ó 1 ¼: 1. El área
deseada se obtiene multiplicando el área conocida por o cuadrando la

91
proporción 5: 4, obteniendo 25: 16; poniendo esto en la forma fraccionada , y
multiplicando 1.024 por esta fracción, tendremos 1.024 x = 1,600 pulgadas
cuadradas. De nuevo, si se conoce el volumen de un determinado sólido, el
volumen de un sólido similar que es, por ejemplo, con dimensiones 1/3 de grande, se
pueden encontrar fácilmente multiplicando el volumen por .

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