1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7

Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del
plano o del espacio que gozan de la misma
propiedad.
¿Cuántos?: existen muchos lugares
geométricos. Su conocimiento es
fundamental para estudiar la geometría.

Paralelismo y perpendicularidad
Trazados fundamentales en el planoDibujo técnico
1.º Bachillerato
• Perpendicularidad (I)
1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos de
circunferencia.
2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos arcos de
circunferencia.
3. La recta s que une los puntos D y E es la perpendicular al
segmento por el punto medio C
1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se traza un arco
2. Con centro en el punto B y el mismo radio se traza un arco
3. Con centro en el punto C y el mismo radio se traza un arco
4. Con centro en el punto D y el mismo radio se traza un arco
5. La recta s que une el punto E con el A es la
perpendicular a r
Trazado de la Mediatriz de un segmento
Trazado de la Perpendicular a una
semirrecta por su extremo
la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los
extremos del segmento

Paralelismo y perpendicularidad
1.º Bachillerato
• Perpendicularidad (II)
1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos
2. Con centro en B y C y radio arbitrario se trazan sendos
arcos
3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular
buscada
1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un arco
2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan sendos
arcos
3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular
buscada
Trazado de la Perpendicular a una recta
por un punto de la misma
Trazado de la perpendicular a una recta
por un punto exterior a ella

Trazado de paralelas con escuadra y cartabón

Trazados geométricos básicos
• Construcción de perpendiculares
Trazar perpendiculares con
escuadra y cartabón

Paralelismo
1.º Bachillerato
1. Se elige un punto B cualquiera de la recta r y se traza la
semicircunferencia de centro B y radio BA
2. Con centro en D y radio CA se traza un arco
3. La recta s que une los puntos A y E es la paralela buscada
Trazado de la Paralela a una recta por un
punto
1. Se elige un punto cualquiera A de la recta r y se traza la
perpendicular t a r
2. Sobre la recta t se traslada el segmento AE = l
3. La recta s que se traza por el punto E es la paralela
buscada
Trazado de la Paralela a una recta a una
distancia dada

Trazados geométricos básicos
• Construcción de paralelas
Trazar paralelas con escuadra y
cartabón

Trazados geométricos
RESTA
operaciones
OPERACIONES
CON SEGMENTOS
PRODUCTO
SUMA
DIVISIÓN DE
UN SEGMENTO
EN DOS PARTES
IGUALES
A B
C D
A B
C D
AB + CD = AD
A B
C D
AB - CD = DB
A B
C
A B
D
E F
AB x 3 = AF
A B
M
N
MEDIATRIZ
B
C D
A

Segmentos
1.º Bachillerato
• División de un segmento en partes iguales
1. Por uno de los extremos A se traza una recta
cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos
iguales, de longitud arbitraria, como número de
partes se quiera dividir el segmento
3. Se traza la recta t uniendo el último punto
con el extremo B del segmento dado
4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2,
3, ... de la recta s.

Segmentos
1.º Bachillerato
• División de un segmento en partes proporcionales
1. Por uno de los extremos A se traza una recta
cualquiera s
2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los
segmentos CD, EF, GH e IJ
3. Se une el último punto J con el otro extremo B
mediante la recta t.
4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I

Segmentos
1.º Bachillerato
1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se
cortan en A
2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y
sobre la otra el segmento AC y a continuación
el segmento unidad CD
3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta
cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de los
segmentos dados
• Producto y división entre dos segmentos
1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se
cortan en A
2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y
sobre la otra el segmento unidad AC y a
continuación el segmento CD
3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta
cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de los
segmentos dados
Producto entre dos segmentos
División entre segmentos
E
1
C
B
D
C D
A B
C
B E
r
A
s
1
D
A C
A B
A
r
s

• Proporcionalidad: Teorema de la altura
En todo triángulo rectángulo la altura sobre
la hipotenusa es media proporcional entre
los segmentos en que queda dividida la
hipotenusa
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro la suma de
ambos AD
2. Por el punto B =C se traza recta
perpendicular a r hasta cortar a la
semicircunferencia en el punto F.
El segmento x = BF es la media media
proporcional buscada
a x
x b
=
Dados dos segmentos que sumados
constituyen la hipotenusa de un triángulo
rectángulo
A
x
a
B-CE
b
D r
F
C b D
A a B

• Proporcionalidad: Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro el mayor de
ellos.
2. Por el punto D se traza recta perpendicular
a r hasta cortar a la semicircunferencia en el
punto F. El segmento x = AF es la media
media proporcional buscada
a x
x b
=
a
b
A-C
x
E D
F
C Db
B r
A a B
Dada la hipotenusa y uno de los catetos
de un triángulo rectángulo

Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig.
97.
Sobre el segmento suma A C (s), sitúese el segmento diferencia A D (d) con
orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los
dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A
B y B C.
RAZONAMIENTO

Según la construcción, la mitad del segmento S -
D es el segmento menor, puesto que
S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro
a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2
Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia
RAZONAMIENTO

ALICACIONES DE LO ANTERIOR
 Hallar dos segmentos conocida su suma y su
media proporcional. Fig. 98

Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media
proporcional entre ambos

 Tomando como diámetro la
diferencia de segmentos M N
conocida, trazar una
circunferencia así como una
tangente (perpendicular a M N),
por uno de los extremos M del
diámetro, transportando sobre la
misma la longitud A M de la
media proporcional conocida. La
recta que une el extremo A con el
centro O de la circunferencia
queda interceptada por la misma
en los puntos B y C, siendo A C y
A B los segmentos pedidos.

Segmentos
1.º Bachillerato
• Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada
1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a
continuación el segmento unidad BC
2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y
trazamos semicircunferencia de diámetro AC
3. La perpendicular al diámetro por el punto B
corta a la semicircunferencia en el punto E
4. El segmento BE es la raíz cuadrada del
segmento AB
Dado el segmento AB
DA B C
1
E
A B

• Sección áurea de un segmento:
Definición:
Se denomina Sección Aurea de dicho
segmento a la división que le produce un
punto B de forma que:
La proporción entre la parte más pequeña a
y la más grande x es igual a la existente
entre la parte más grande x y el todo b
a x
x b
=
Dados un segmento b = AC
b
ax
BA C
A C

Dado un segmento, hallar
su división áurea
Hallar el segmento cuya división áurea es
un segmento dado
1. Por B se traza la perpendicular a r
2. Se halla el punto medio C de AB y con
centro en B y radio BC se traza un arco
3. Se unen A y D, y con centro en D y radio
DB se traza un arco
4. Con centro en A y radio AE se traza otro
arco. AF es la división áurea
• Sección áurea de un segmento

Ángulos
1.º Bachillerato
Ángulo alternos internos: 3-5 y 4-6
• Definiciones de ángulos
Ángulo agudo: mide menos de 90º
d)
a) b)
e)
c)
7
6
s
t
r
8
4
5
3
2
1
Ángulo externos: 1,2,7 y 8
Ángulo recto: mide 90º
Ángulo convexo: es el menor de los dos
ángulos que determinan sus lados
Ángulo obtuso: mide mas de 90º
Ángulo cóncavo: es el mayor de los dos
ángulos que determinan sus lados
Ángulo llano: mide 180º
Ángulo internos: 3,4,5 y 6
Ángulo adyacentes externos: 1-2 y 7-8
Ángulo adyacentes internos: 3-4 y 5-6
Ángulo alternos externos: 1-7 y 2-8
Ángulo entre rectas
Ángulo entre semirrectas

B
A
c
OPERACIONES CON ÁNGULOS
C
c
SUMA
C
c
RESTA

Ángulos
1.º Bachillerato
• Propiedades de los ángulos
Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos
son iguales
Dos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares
son iguales
r
s
A
r'
s'
A'
A
s
r
s'
r'
A'

Ángulos
1.º Bachillerato
• Construcción de un ángulo igual a otro
1. Sobre una recta r se toma un punto B
arbitrario
2. Con centros en A y B, y radio arbitrario, se
trazan dos arcos
3. Con centro en E y radio CD se describe un
arco
4. La recta s que une los puntos B y F forma con
r el ángulo buscado

Ángulos
1.º Bachillerato
1. Sobre una recta r se toma un punto C
arbitrario
2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario, se
trazan arcos iguales
3. Con centro en H y radio DE se describe un
arco
• Suma y diferencia de ángulos
La recta s que une los puntos C y J forma con r
el ángulo buscado
Suma: Con centro en I y radio FG se describe
otro arco en el mismo sentido
Diferencia: Con centro en I y radio FG se
describe otro arco en sentido contrario al anterior

Ángulos
1.º Bachillerato
• Trazado de la bisectriz de un ángulo
1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario
2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario
3. La recta que une A y D es la bisectriz del
ángulo
1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s
2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se
forman
3. La recta que une C y D es la bisectriz del
ángulo

Ángulos
1.º Bachillerato
Trazado de rectas concurrentes que se cortan fuera del dibujo
1. Se traza una recta cualquiera que corte a r y s. Los
puntos B y C de intersección se unen con P
definiendo un triángulo
2. Se traza otra recta arbitraria paralela a BC
obteniendo E y F como puntos de intersección
3. Se trazan por dichos puntos rectas paralelas a los
lados del triángulo BCP obteniendo D como
intersección
1. Con centro el vértice A se traza arco de radio
arbitrario obteniendo los puntos B y C
2. Con el mismo radio se trazan arcos con
centros B y C obteniendo los puntos D y E
3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto
en tres partes iguales
r
E
F
C
B
D
t
s
P
4. La recta PD es la solución
A
B
E
s
C
r
D
División del ángulo recto en tres partes iguales

ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.
 Un ángulo rectilíneo es el formado por dos
líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el
formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos
arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es
el formado por una línea recta y una línea curva

Ángulos
1.º Bachillerato
• Ángulos mixtilíneos y curvilíneos
1. Por un punto B se traza la perpendicular a r,
se llevan magnitudes iguales y se trazan
paralelas
2. Por un punto C se traza el radio, se llevan
magnitudes iguales a las anteriores y se trazan
arcos concéntricos
3. La bisectriz es la curva que une los puntos
de intersección correspondientes
1. Por un punto B se traza el radio, se llevan
magnitudes iguales y se trazan arcos
concéntricos
2. Por un punto C se traza el radio, se llevan
magnitudes iguales a las anteriores y se trazan
arcos concéntricos
3. La bisectriz es la curva que une los puntos
de intersección correspondientes

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS

Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón

Circunferencia
1.º Bachillerato
• Definiciones
Radio (r): Segmento que une el centro con un
punto A cualquiera de la circunferencia
Diámetro (d): Segmento que une dos puntos A y
B de la circunferencia y pasa por el centro
Cuerda (c): Segmento que une dos puntos D y E
cualesquiera sin pasar por el centro
Tangente (t): Recta que solo tiene un punto
común con la circunferencia
O
Circunferencia: conjunto de puntos del plano
que equidistan de un punto O
Arco: segmento de circunferencia
Círculo: parte del plano interior a la
circunferencia
Segmento circular: parte del círculo
comprendida entre una cuerda y su arco
Sector circular: parte del círculo comprendida
entre dos radios

Trazados geométricos
TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
0
r
r
CONOCIDO EL RADIO
º
º
A
B
C
O
A
C
B
A PARTIR DE TRES
PUNTOS DADOS
radio

4 Trazados geométricos
6 La circunferencia II.
TÉRMINOS RELATIVOS
A LA CIRCUNFERENCIA
POSICIONES RELATIVAS DE
DOS CIRCUFERENCIAS
O
Circunferencia
O
O O O
ARCO SEMICIRCUNFERENCIA
CÍRCULO SEMICÍRCULO ÁNGULO
CENTRAL
A B O O’
O O’
O
O’
OO
EXTERIORES INTERIORES
O O’
P
TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES
O
O’
SECANTES CONCÉNTRICAS

Ángulos en la circunferencia
Ángulo central es el ángulo que
tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y los lados son
radios de ella.
La medida del arco AB es la del
ángulo central AOB. Arco AB =
Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden
definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que
tiene su vértice en la
circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de
los segmentos secante y el otro
tangente) es un caso particular, o
caso límite.
El ángulo inscrito mide la mitad que
el arco que comprende.
La medida del ángulo interior es la
semisuma de los arcos que
comprenden él y su opuesto.
Ángulo interior, tiene su
centro en un punto interior del
círculo.
Ángulo exterior es aquel que
tiene su vértice en un punto
exterior de la circunferencia,
pudiendo ser sus lados, tangentes
o secantes a la misma.
La medida del ángulo
exterior es la semidiferencia
de los arcos que abarca.

Circunferencia
1.º Bachillerato
• Ángulos de una circunferencia (I)
Ángulo central
El vértice es el centro de la circunferencia
π
ϕ
º180
⋅=
r
a
Ángulo inscrito
El vértice es un punto de la circunferencia y los
lados son cuerdas
2
α
ϕ =

Circunferencia
1.º Bachillerato
• Ángulos de una circunferencia (II)
Ángulo semiinscrito
El vértice es un punto de la circunferencia, un
lado es secante y el otro tangente
2
α
ϕ =
Ángulo interior
El vértice es un punto interior de la circunferencia
2
βα
ϕ
+
=

Circunferencia
1.º Bachillerato
• Ángulos de una circunferencia (III)
Ángulo exterior
El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los
lados secantes
2
βα
ϕ
−
=
Ángulo circunscrito
El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los
lados tangentes
2
βα
ϕ
−
=

Enlace de interés
Angulos inscritos 1
Angulos inscritos 2
Angulos inscritos 3
Cuadrilatero inscrito
Angulos inscritos 4
Angulos semiinscritos
Angulos interiores a una circunferencia
Angulos exteriores a una circunferencia
Angulos interiores y exteriores en la circunferencia

Arco capaz.
Recordemos: Lugar geométrico es el conjunto de puntos que
cumplen una condición común:
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de los extremos
La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio
que equidista de uno fijo lamado centro
Se llama Arco Capaz de un ángulo α dado respecto a un
segmento también conocido , al lugar geométrico de los
puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado
bajo el ángulo α.

Dado el segmento AB y el angulo @. Trazar el Arco Capaz
A B
@

Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m
perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta
cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es
de 90-@
A B
@
@
90-@

A B
@
@
90-@
o´
o´´
Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que
pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado

APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN
DE UN TRIÁNGULO
Los datos del triángulo son el lado a
Y el ángulo Â opuesto al lado a.
Se puede obtener el triángulo
construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â son los
triángulos ABC en todas sus variantes
los cuales se obtienen haciendo centro
en C y con radio r cortando el arco
capaz, que es la circunferencia de
centro O y radio OB = OC

Los datos del triángulo son el lado a (AB) Y el ángulo Â opuesto
al lado a.
A B
A

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
A B
A
A B
A
90-A

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
B C
A
B C
A
90-A
A

Trazados fundamentales en el plano
Hallar los puntos desde donde se ven dos
segmentos bajo dos ángulos conocidos
• Arco capaz (II)
Hallar los puntos desde los que se ven
dos segmentos bajo dos ángulos dados
1. Se dibuja el arco capaz de α respecto
de AB
2. Se dibuja el arco capaz de β respecto
de BC
3. Los puntos M y N son los puntos desde
los que se ve el segmento AB con un
ángulo α y BC con un ángulo β

2 Trazados fundamentales en el plano
8
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Rectificación de arcos de circunferencia
• Rectificación de arcos de circunferencia
Rectificación de un arco menor de 90º
1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales
2. Tres partes se trasladan sobre la
prolongación del diámetro
3. Se une el punto D con el B hasta cortar
a r en E
Rectificación de un arco de 90º
1. Con centro en los extremos del diámetro
AB y radio en O se trazan sendos arcos
hasta cortar en C y D a la circunferencia.
2. Hallamos E, intersección de dos arcos
con centros en A y B y de radio AD=BC
3. Con centro en C y radio CE dibujamos un
arco hasta cortar en F a la circunferencia
4. El segmento AF es la rectificación de un
arco de 90º
E
D
F
C
O
B
A

2 Trazados fundamentales en el plano
9
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia
• Rectificación de circunferencias
Rectificación de una semicircunferencia
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB
y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un
arco hasta cortar en E a la circunferencia.
2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan
arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a
la circunferencia en el propio punto A
3. El segmento FG es la solución buscada
Rectificación de una circunferencia
1. Se divide el diámetro AB en 7 partes
iguales
2. Sobre una recta r se transporta 3 veces
el diámetro, más un séptimo
F
O DC
G
A
B
E

Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

circunferencia
 Concepto de
potencia
 Aparentemente
parece no existir
ninguna relación
entre un punto y
una circunferencia
(Fig 26)

circunferencia
 Si partiendo del
punto P se traza un
haz de rectas, unas
serán secantes,
otras tangentes,
otras no cortarán a
la circunferencia.
(Fig. 27)

circunferencia
 Las rectas que no corten a la
circunferencia no tienen ninguna
relación con ella, pero las que sean
secantes o tangentes determinarán
unos puntos intersección con ella y,
por tanto, cada recta quedará
dividida en magnitudes, segmentos o
distancias desde el punto P a los
puntos intersección con la
circunferencia. El producto de
distancias de dicho punto a los pun
tos de la circunferencia, determina
una constante PA*PA' = K que es la
potencia de un punto respecto de
una circunferencia (Fig. 28)

circunferencia
 Esta constante K es
la misma para
todas las rectas
que partiendo del
punto P sean
secantes o
tangentes a la
circunferencia.

circunferencia
 En el caso límite en que una
secante se transforme en
tangente el punto T es doble pues
cumple una doble alineación con P
, por tanto, PT = PT' (Fig. 30)

circunferencia. Eje radical de dos circunferencias
Definición: Potencia de un punto
Potencia del punto P respecto de la
circunferencia de centro O es el producto
de las distancias de P a los dos puntos
de intersección de una recta secante
Definición: Eje radical
Eje radical de dos circunferencias es el
lugar geométrico de los puntos que tienen
la misma potencia respecto de ambas
p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias de
centros 01 y O2 (fig. 14),
El eje radical es siempre
perpendicular a la recta que une
los centros de las dos
circunferencias.

Eje radical de dos
circunferencias Propiedad:
Eje radical de dos circunferencias
secantes: es la recta que une los puntos A y
B de intersección de las circunferencias
El eje radical es siempre una recta
perpendicular a la recta de los centros de las
circunferencias
tangentes: es la recta tangente común a
ambas circunferencias
exteriores:
1. Se traza una circunferencia auxiliar de
centro O3 que corte a ambas. Se hallan los
ejes radicales de esta con las otras dos
obteniendo r y s
2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2
desde E, intersección de r y s
B
A
r s
D
C
O
e
E
A
e
e
B
A
O1 O2
O1 2O
1O O2

Centro radical de tres
circunferencias
Definición: Centro radical
Es el punto que tiene la misma potencia
respecto de las tres circunferencias
1. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O1
y O2
2. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O2
y O3
3. El punto O de intersección de e y e’ es
el centro radical

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