Este documento define los conceptos básicos de grafos, incluyendo vértices, aristas y diferentes tipos de grafos como grafos simples, completos y regulares. También define caminos hamiltonianos y circuitos eulerianos, y explica las propiedades de los grafos eulerianos y hamiltonianos. En particular, señala que un grafo no dirigido es euleriano si cada vértice tiene un grado par y es conexo, y que no existen propiedades generales para los grafos hamiltonianos.

1. Mapa conceptual de los Grafos
Eulerianos y Hamiltonianos
Alumno: Alwin Palacios
C.I. 27.067.680
Estructuras discretas II

2. Es un conjunto de objetos
llamados vértices o nodos
unidos por enlaces
llamados aristas o arcos,
que permiten representar
relaciones binarias entre
elementos de un conjunto.
Se encuentran distintas definiciones
para los grafos, tales como:
Un grafo G es
llamado grafo
finito cuando
los conjuntos
V y A son
finitos.
Un grafo G se
denomina Grafo
Simple, si y sólo si, no
tiene lazos y entre
cada par de
vértices distintos no
hay más de una arista.
Un grafo simple que
tiene una arista entre
cada par de vértices
distintos es
llamado Grafo
Completo, cuando es
finito y tiene n vértices
se le denota por Kn.
Un grafo simple
en el que todos
los vértices
tienen grado r es
llamado Grafo
Regular de
grado r.
Un grafo es conexo,
si y sólo si, se cumple
que ∀ par de vértices
u, v se tiene que u y v
están conectados. En
caso contrario,
diremos que es un
grafo disconexo.

3. Es un camino de un grafo,
una sucesión de aristas
adyacentes, que visita todos
los vértices del grafo una
sola vez. Si además el último
vértice visitado es adyacente
al primero, el camino es un
ciclo hamiltoniano.
Es un camino que
pasa por cada arista
una y solo una vez.
Un ciclo o circuito
euleriano es un
camino cerrado que
recorre cada arista
exactamente una
vez.
Un grafo conexo y no dirigido es euleriano si
cada vértice tiene un grado par.
Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y
si se puede descomponer en uno con los
vértices disjuntos.
Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces
su gráfo-línea L(G) es también euleriano.
Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y
cada vértice tiene grados internos iguales a los
externos.
No existen
propiedades
para los grafos
hamiltonianos

4. Entre los grafos eulerianos los hay que son
hamiltonianos y los hay que no lo son y entre los
grafos hamiltonianos los hay que son eulerianos y
los hay que no lo son.
1. El grafo G1 es euleriano y hamiltoniano.
2. El grafo G2 es euleriano y no es
hamiltoniano.
3. El grafo G3 no es euleriano y es
hamiltoniano.
4. El grafo G4 es conexo, no es euleriano ni
hamiltoniano.