Guia PYES 2020 1er semestre.pdf

AUTORES (por orden alfabético)
Laura Boaglio
Magdalena Dimitroff
Analía González
Ricardo Ingaramo
Nadia Luczywo
Valeria Nepote
Silvia Pierotti
José Francisco Zanazzi
José Luis Zanazzi
PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA
Guía de Estudio 2020
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional. Para ver
una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/.

Índice
I. CONSIDERACIONES GENERALES. ................................................................................ 4
I.1 Presentación de la Disciplina Científica........................................................................... 4
I.2 Sobre los Contenidos de la Asignatura............................................................................. 7
I.3 Mapa Conceptual General. ............................................................................................. 10
I.4 Programa de la Asignatura. ............................................................................................ 11
I.4.1 Objetivos..................................................................................................................... 11
I.4.2 Contenidos.................................................................................................................. 12
I.4.3 Articulación Horizontal y Vertical de la Asignatura.................................................. 13
I.5 Metodología de Trabajo.................................................................................................. 15
I.6 Materiales Necesarios..................................................................................................... 17
I.6.1 Guía de Aprendizaje................................................................................................... 17
I.6.2 Bibliografía................................................................................................................. 17
I.7 Grupos de Trabajo. ......................................................................................................... 19
I.7.1 Rol del Docente. ......................................................................................................... 20
I.8 Evaluación de la Asignatura........................................................................................... 20
I.8.1 Evaluación de los Trabajos Grupales. ........................................................................ 20
I.8.2 Evaluaciones Parciales. .............................................................................................. 21
I.8.3 Condiciones para Promocionar la Asignatura. ........................................................... 21
I.9 Orientaciones para el Estudio......................................................................................... 22
I.10 Cronograma Previsto...................................................................................................... 24
II. UNIDADES TEMÁTICAS.................................................................................................. 25
Unidad 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA............................................................................... 25
Introducción............................................................................................................................ 25
Esquema Conceptual. ............................................................................................................. 26
Objetivos................................................................................................................................. 27
Contenidos.............................................................................................................................. 27
Cuestionario Orientador para la Investigación Bibliográfica................................................. 27
Ejercicios Propuestos.............................................................................................................. 29
Unidad 2: PROBABILIDAD y VARIABLES ALEATORIAS................................................. 36
Introducción............................................................................................................................ 36
Esquema Conceptual. ............................................................................................................ 40
Objetivos................................................................................................................................. 41
Contenidos.............................................................................................................................. 41
Unidad 3: MODELOS de PROBABILIDADES........................................................................ 49
Introducción............................................................................................................................ 49
Objetivos................................................................................................................................. 52
Contenidos.............................................................................................................................. 52
Unidad 4: ESTIMACIÓN........................................................................................................... 57
Introducción............................................................................................................................ 57
Objetivos................................................................................................................................. 60
Contenidos.............................................................................................................................. 60

Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................ 62
Unidad 5: PRUEBAS DE HIPÓTESIS...................................................................................... 65
Introducción............................................................................................................................ 65
Objetivos. ............................................................................................................................... 68
Contenidos.............................................................................................................................. 68
Unidad 6: ANÁLISIS DE CORRELACION Y REGRESIÓN.................................................. 77
Introducción............................................................................................................................ 77
Objetivos. ............................................................................................................................... 79
Contenidos.............................................................................................................................. 79
III. RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS. ............................................................ 90
ANEXOS ....................................................................................................................................... 96
Anexo 1. IMPORTANCIA Y CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL LÍMITE
CENTRAL (TLC)......................................................................................................................... 96
Anexo 2. ANÁLISIS DE DATOS CON INFOSTAT.............................................................. 104
Introducción.............................................................................................................................. 104
Problema Propuesto.................................................................................................................. 104
Anexo 3. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA PARA ABORDAR EN CLASE ...................... 133
Anexo 4. ASPECTOS QUE SE TENDRÁN EN CUENTA AL EVALUAR LOS TRABAJOS
PRÁCTICOS GRUPALES........................................................................................................ 140
Anexo 5. EJEMPLO DE REGRESIÓN – USANDO EXCEL................................................ 143
Anexo 6: TABLAS ESTADÍSTICAS ....................................................................................... 147
TABLA I: Probabilidades Binomiales ..................................................................................... 148
TABLA II: Probabilidades de Poisson..................................................................................... 166
TABLA III: Distribución Normal Estándar ............................................................................. 171
TABLA IV: Distribución T de Student.................................................................................... 173
TABLA V: Distribución ꭓ2
(Chi cuadrado o Ji cuadrado) ....................................................... 174
TABLA VI: Distribución F ...................................................................................................... 175
TABLA VII: Valores críticos para la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov . 181

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Introducción
4
I. CONSIDERACIONES GENERALES.
I.1 Presentación de la Disciplina Científica.
La actividad científica, en general, es una exploración de las estructuras de la realidad,
entendida ésta en sentido amplio, como realidad física o mental. La actividad matemática trabaja
con estructuras que requieren de tratamientos especiales, ya que implican un dominio racional
efectivo, por un lado, del modelo mental que se construye y por el otro, de la realidad exterior
modelada.
En particular la Probabilidad y la Estadística son producto del enfrentamiento de la
matemática, con la realidad manifiesta en la complejidad que proviene de la incertidumbre,
originada por la incontrolable y múltiple causalidad de los acontecimientos. A medida que se
acrecienta el conocimiento racional de la realidad, se hace cada vez más evidente para el hombre,
la presencia de situaciones de incertidumbre y la Estadística adquiere entonces cada vez más
importancia. El desarrollo fecundo de sus contenidos y sobre todo sus múltiples aplicaciones,
conduce a la formación de un cuerpo doctrinal con entidad propia, que en alguna medida se
despega de las ciencias matemáticas tradicionales.
Mediante la síntesis, la representación, el análisis y la interpretación de la información,
logra establecer una ligazón racional entre pasado y futuro, que contribuye a la toma de decisiones
bajo condiciones de incertidumbre. Estas aplicaciones, presentes en la mayor parte de los
procesos, la constituyen en herramienta de trabajo imprescindible para múltiples y disímiles
disciplinas.
A continuación, se hace una breve referencia histórica, que proporciona una guía temporal
para enmarcar el desarrollo de la Estadística:
 Jacob Bernoulli, un matemático suizo nacido en 1654, es considerado el iniciador de la teoría
de la probabilidad, ya que hasta entonces sólo se habían realizado estudios de fenómenos
experimentales aislados, referidos entre otros a los juegos de azar.
 Abraham De Moivre, matemático francés, publica en el siglo XVIII tres obras, en las que
formaliza, amplía y desarrolla temas de probabilidad.
 Un siglo después, estos conceptos son aplicados a la descripción del error en observaciones
experimentales, independientemente por el alemán Karl F. Gauss y el francés Pierre S.
Laplace, quienes además hicieron otras importantes contribuciones a la probabilidad,
utilizadas posteriormente por la inferencia estadística.
 Thomas Bayes, publica póstumamente en 1764 un trabajo cuyo contenido sobre la inversión
de la probabilidad recién tiene repercusiones en el siglo XX y le da nombre a la moderna
inferencia bayesiana.
 Durante la segunda mitad del siglo XIX y principios del siglo XX, numerosos investigadores,
provenientes de las más diversas disciplinas, generaron los aportes determinantes para la
construcción de la denominada Inferencia Clásica, que establece los procedimientos de la
estimación genérica y de los contrastes de hipótesis, utilizados en la actualidad.
 A mediados del siglo XX surge la inferencia moderna, con dos sentidos que convergen en el
concepto de utilidad, uno es el de la teoría de la decisión, desarrollada por Abraham Wald, y
otro el de los métodos bayesianos, iniciados por L.J. Savage.
 El estadístico George Box acuñó en 1953, el término robustez para designar a los métodos
estadísticos, que procuran obtener resultados aceptables, cuando no se cumplen los supuestos
estándares en los cuales se basa la inferencia clásica.

Introducción
5
 En el último tercio del siglo XX, la era de las computadoras permite la manipulación de
enormes cantidades de datos. Las dificultades de cálculo dejan de ser un impedimento y los
modelos estadísticos se vuelven más complejos. Actualmente la investigación en estadística,
que se dedica principalmente a la mejor interpretación de los métodos ya existentes y a la
creación de nuevos métodos, se apoya fuertemente en la computación.
El siguiente esquema pone en evidencia, a través de algunos de sus protagonistas y sus
formulaciones, la reseña histórica antes mencionada.
AXIOMÁTICA DE LA
PROBABILIDAD
E. CANTOR (1845-1918)
D. HILBERT (1862-1943)
E. BOREL (1871-1956)
H. LEBESGUE
(1875-1941)
A.N. KOLMOGOROV
(1903-1987)
W. FELLER (1906-1970)
INFERENCIA ESTADÍSTICA
CLÁSICA MODERNA
TEORÍA DE LA
DECISIÓN
INFERENCIA
BAYESIANA
A.WALD (1902-1950)
J.J. VON NEUMANN (1903-1957)
L.J. SAVAGE (1917-1971)
K.J. ARROW (n. 1921)
INFERENCIA ESTADÍSTICA ROBUSTA
A. MARKOV (1856-1922)
K. PEARSON (1856-1936)
W.S.GOSSET (1876-1937)
G.W. SNEDECOR (1881-1974)
R. VON MISES (1883-1953)
R.A. FISHER (1890-1962)
J. BERNOULLI (1654-1705)
A. MOIVRE (1667-1754)
D. BERNOULLI (1700-1782)
T. BAYES (1702-1761)
P.S. LAPLACE (1749-1827)
K.F. GAUSS (1777-1855)
CIENCIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
ESTADÍSTICA CLÁSICA

Introducción
6
Por lo ya mencionado, podríamos decir que los fenómenos abordados desde la Estadística
son siempre aleatorios, es decir sus resultados no se pueden predecir con seguridad. Sin embargo,
éstos presentan cierto tipo de regularidades. Precisamente el problema fundamental de la
Estadística es el de aproximar las principales propiedades de este tipo de fenómenos,
generalmente disponiendo de escasa información.
Las técnicas y métodos que integran esta disciplina, según propone Peña Sánchez de
Rivera 1989, pueden agruparse en tres grandes conjuntos:
• Análisis Univariado: se describe e infiere el comportamiento de una sola variable.
• Análisis de Relaciones entre Variables: integrado por una extensa variedad de
herramientas que incluye por ejemplo a la Regresión, el Diseño de Experimentos y
estudios ANOVA, o los métodos Multivariados.
• Análisis de Series Temporales: donde se estudian las variaciones del fenómeno a lo largo
del tiempo.
Como se advierte, las definiciones anteriores son muy generales. Esto posibilita que la
Estadística pueda ser utilizada como herramienta auxiliar de todos los campos científicos, desde
las Ciencias Sociales hasta la Economía o la Física.
De todos modos, cualquiera sea el campo de aplicación el propósito es siempre el mismo:
Tomar decisiones con base objetiva, en condiciones de incertidumbre.
Estadística
Lógica - Matemática
Otras Ciencias
Análisis
Univariado
Análisis
Multivariado
Series de Tiempo
Fenómenos
Aleatorios
Condiciones de
Incertidumbre

Introducción
7
I.2 Sobre los Contenidos de la Asignatura.
Esta asignatura se estructura como un curso introductorio, donde esperamos tomar contacto
con las problemáticas de la disciplina, comprender sus fundamentos y procedimientos básicos, e
iniciar el desarrollo de actitudes que estimulen el empleo de estas herramientas en la solución de
problemas reales.
El programa incluye los aspectos fundamentales del estudio de una variable sujeta al azar,
introduce métodos que permiten analizar la relación entre dos o más variables, y se completa
analizando aplicaciones en ingeniería Para cualquiera de esos niveles, se plantea generalmente la
necesidad de conocer las principales propiedades de una población de gran tamaño frente a la
imposibilidad de medirla por completo, por razones de tiempo y de costo.
A modo de ejemplo: Supongamos que trabajamos en una empresa dedicada a producir barras de
acero y que debemos prestar especial atención a la resistencia a la flexión, el espesor y la dureza
superficial de las piezas. Se trata de características que varían de una pieza a otra (variables). Si
deseamos controlar el proceso productivo, es evidente que no podremos medir todas las barras
fabricadas (Población). Pero con la ayuda de la Estadística, a partir de unos pocos datos
(Muestra), podremos valorar y aproximar la variación de todo el conjunto.
Si analizamos las variables por separado, deberemos utilizar métodos Univariados. En
cambio, si estudiamos las posibles relaciones abordaremos el enfoque Multivariado.
Si con el enfoque univariado analizamos por ejemplo la variable Resistencia, nuestro
primer paso debe ser el tratamiento de los datos disponibles. Esto es, resumir la información en
un conjunto de Tablas, Gráficos y Medidas.
Aun cuando no hemos podido medir todas las barras, los experimentos realizados por la
Estadística permiten saber de antemano que los valores de la Resistencia, y en general de
cualquier variable, deben presentarse de acuerdo a patrones bien definidos. Dichos patrones han
sido determinados a partir del concepto de Probabilidad y representados mediante funciones
matemáticas denominadas Modelos de Probabilidades.
Por lo tanto, nuestro trabajo consistirá en elegir un patrón o Modelo conveniente y luego verificar
que sea adecuado, en cuyo caso podremos considerarlo como representativo de toda la Población,
POBLACIÓN
MUESTRA ENFOQUE
UNIVARIADO
ENFOQUE
MULTIVARIADO
Todas las piezas.
Variables: resistencia, espesor, dureza
espesor

Introducción
8
y de allí en más aproximar con el modelo los resultados que obtendríamos si midiéramos la
totalidad (población) de las barras.
Ahora bien, si estamos interesamos en investigar las posibles relaciones entre las variables,
debemos utilizar el enfoque Multivariado. Por ejemplo, supongamos que es preciso conocer si el
espesor afecta a la resistencia, y de qué modo lo hace. En ese caso la muestra deberá estar
integrada por mediciones conjuntas de esas variables. Dicho de otro modo, tendremos que
seleccionar algunas barras al azar y medir sobre ellas las variables en estudio.
El primer paso consiste en graficar de modo conveniente las mediciones, de a dos variables por
vez en un par de ejes coordenados. Este tipo de gráfico se denomina Diagrama de Dispersión.
Además, se puede determinar una medida objetiva: el Coeficiente de Correlación, el cual mide el
grado de dependencia lineal entre las variables.
Si a partir de ese análisis concluimos que la relación realmente existe, podemos ajustar a los datos
alguna función conveniente (aplicamos Regresión). Luego, si encontramos que el Espesor está
Medidas: Promedio; Mediana;
Desvío; Asimetría
Tablas
Gráficos
ENFOQUE
UNIVARIADO
Distribución de
Probabilidad
Probabilidad
espesor
resistencia

Introducción
9
relacionado con la resistencia de las barras, es posible probar qué tan bien representa dicha
relación una recta.
Como dijimos anteriormente, si trabajamos tanto con el enfoque Univariado, como con el
Multivariado, debemos tener en cuenta que no se ha medido toda la producción de barras. En
efecto, sólo disponemos de unos pocos datos (una Muestra). Por lo tanto, todos los valores que
obtengamos en nuestros estudios serán simplemente aproximaciones de las verdaderas
propiedades de la Población. La Estadística acuñó un término para estos acercamientos:
Estimaciones.
Claro está que toda vez que Estimemos una propiedad poblacional, tendremos que preocuparnos
no sólo por el valor obtenido, sino además por el posible error. Por supuesto, el análisis de esos
errores, de cómo minimizarlos y de cómo cuantificarlos, ocupa un sitio de privilegio dentro de
esta disciplina. Por ejemplo, al recurso de agregarle al valor aproximado la cuantificación del
error, se le denomina Intervalo de Confianza. De esta forma podremos aproximar la propiedad
de la población declarando: “debería estar entre este valor y este otro”. Otra modalidad usual es
la denominada Prueba de Hipótesis, nombre que aglutina una gran variedad de métodos que
permiten tomar decisiones de manera objetiva, considerando el posible error de muestreo.
MUESTRA ENFOQUE
UNIVARIADO
ENFOQUE
MULTIVARIADO
Estimadores y sus
errores posibles
Pruebas de
Hipótesis
¿Errores?
resistencia
espesor

Introducción
10
I.3 Mapa Conceptual General.
POBLACIÓN
MUESTRA ENFOQUE
UNIVARIADO
ENFOQUE
MULTIVARIADO
Probabilidad
Medidas: Promedio; Mediana;
Desvío; Asimetría
Tablas
Gráficos
Gráficos
Medidas: Correlación
Analizar los
datos
Aplicaciones a la Ingeniería
Estimadores y sus
errores posibles
Pruebas de Hipótesis
¿Errores?
Representar con
Modelos
Regresión Distribución de
Probabilidad

Introducción
11
I.4 Programa de la Asignatura.
I.4.1 Objetivos.
• Comprender los fundamentos de la Estadística y aplicar eficazmente sus procedimientos.
• Analizar la información relacionada con una variable aleatoria:
• Describir adecuadamente los datos,
• Elegir y aplicar los modelos de probabilidad más adecuados,
• Aproximar las propiedades de una población, estimar errores y verificar las
suposiciones realizadas.
• Analizar y representar posibles relaciones entre dos ó más variables.
• Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas propios de la
Ingeniería.
• Trabajar en grupos pequeños, intercambiando conocimientos, resolviendo problemas y
elaborando conclusiones prácticas.
• Utilizar la computadora como herramienta auxiliar en la aplicación de los procedimientos
estadísticos.
• Valorar la importancia de la Estadística como herramienta de decisión bajo condiciones de
incertidumbre.

Introducción
12
I.4.2 Contenidos.
 Unidad 1: Estadística Descriptiva.
Concepto de población y muestra. Técnicas de muestreo. Tipos de datos.
Técnicas descriptivas: tablas de frecuencia, gráficos.
Medidas analíticas: Medidas de posición: media aritmética, mediana, modo, cuartiles.
Medidas de dispersión: rango, varianza, desvío estándar.
Medidas de forma: asimetría y curtosis.
 Unidad 2: Probabilidad y Variables Aleatorias.
Experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos. Definición de probabilidad. Propiedades:
suma y producto de probabilidades.
Concepto de variable aleatoria; de población y de función de distribución. Distribuciones
discretas y continuas. Valor esperado y Varianza.
 Unidad 3: Modelos de Probabilidades.
Modelos para variables discretas: Binomial y Poisson.
Modelos para variables continuas: Normal y Exponencial.
Teorema del límite central.
 Unidad 4: Estimación de Parámetros.
Concepto de estimador. Propiedades de un buen estimador puntual. Estimadores insesgados,
consistentes, eficientes y suficientes.
Distribución de la media aritmética. Estimadores de los modelos analizados.
Estimación por intervalos: Intervalos de confianza para la media y la varianza.
 Unidad 5: Pruebas de Hipótesis.
Formulación de hipótesis. Errores en una prueba de hipótesis. Estructura general de una
prueba.
Pruebas para la media y varianza de una población.
Prueba de comparación de medias y de varianzas.
Procedimientos para la verificación de modelos: prueba Chi-Cuadrado de Bondad de Ajuste y
prueba de Kolmogorov-Smirnov.
 Unidad 6: Regresión y Correlación.
Análisis de correlación: Diagrama de Dispersión. Coeficiente de Correlación. Prueba sobre el
coeficiente de correlación.
Análisis de Regresión: objetivos. Tipos de regresiones.
Regresión lineal simple: estimación de parámetros, pruebas sobre los coeficientes. Evaluación
de la regresión: coeficiente de determinación, varianza residual, análisis de los residuos.
 Unidad 7: Aplicaciones a la Ingeniería.
Los contenidos de esta unidad, por tratarse de aplicaciones, están integrados en cada una de las
unidades precedentes mediante la resolución de diferentes situaciones problemáticas y de un
Problema Integrador.

Introducción
13
I.4.3 Articulación Horizontal y Vertical de la Asignatura.
Estudio del esquema de Correlatividades (articulación Vertical) por carrera.
Semestre de
dictado de la
asignatura
Probabilidad
y Estadística
Carrera
Plan
Vigente
Tiene por
Correlativa a
Es Correlativa
de
Semestre de
dictado de la
asignatura
correlativa
6to. Ing. Aeronáutica 23205 Análisis
Matemático I
------ ------
4to. Ing. Industrial 24705 Análisis
Matemático I
Investigación
Operativa I
5to.
Economía 6to.
3ro. Ing. Ambiental 2012 Análisis
Matemático I
------ ------
3ro. Ing. Civil 20105 Introducción a
la Matemática
Transporte I 6to.
3ro. Ing. Electrónica 28105 Análisis
Matemático I
------ ------
3ro. Ing. Mec.
Electricista
21105 Análisis
Matemático I
------ ------
3ro. Ing. Química 24605 Análisis
Matemático I
Termodinámica
Química
4to.
3ro. Ing. Biomédica 22305 Análisis
Matemático I
Modelos y
Simulación
6to.
3ro.
Ing. en
Computación
28505 Análisis
Matemático I
Modelos y
Simulación
6to.
3ro. Ing. Mecánica 21205 Análisis
Matemático I
------ ------
3ro.
Ing. en
Agrimensura
24105 V6 Análisis
Matemático I
Teoría de los
Errores y
Cálculo de
Compensación
4to.
Topografía I
Información
Agraria y
Peritajes
Rurales

Introducción
14
Organización entre los cursos de un mismo tramo curricular (Articulación Horizontal).
Semestre de
dictado de la
asignatura
Probabilidad y
Estadística
Carrera
Plan
Vigente
Asignaturas que comparten semestre
5to.
Ing.
Aeronáutica
23205
Métodos Numéricos
Electrotecnia y Electricidad
Mecánica Racional
Módulo de Inglés
4to. Ing. Industrial 24705
Métodos Numéricos
Electrotecnia General y Máquinas Eléctricas
Mecánica de las Estructuras
Módulo de Inglés
3ro. Ing. Civil 20105
Análisis Matemático II
Economía
Estática
Topografía I
3ro. Ing. Electrónica 28105
Física II
Métodos Numéricos
3ro.
Ing. Mec.
Electricista
21105
Física II
Ing. Mecánica 21205
Estructuras Isostáticas
Materiales I
3ro. Ing. Química 24605
Física II
Química Inorgánica
Química Orgánica I
3ro. Ing. Biomédica
Física II
Introducción a la Biología
Métodos Numéricos
3ro.
Ing. en
Computación
28505
Física II
Métodos Numéricos
3ro. Agrimensura 24105
Análisis Matemático I
Física II
Agrimensura Legal I

Introducción
15
I.5 Metodología de Trabajo.
Es relevante considerar las siguientes reflexiones:
Piaget predica: “sólo hay aprendizaje a través de la acción”, y más
adelante especifica con claridad el tipo de actividades que requiere al
plantear “..., se trata de la actividad propia del alumno ...., con una
finalidad problematizada .... Solo hay aprendizaje cuando el alumno
percibe un problema para resolver, es decir cuando reconoce el nuevo
conocimiento como medio de respuesta a una pregunta.”
“... el aprendizaje es una consecuencia del pensamiento. Sólo es posible
retener, comprender y usar activamente el conocimiento mediante
experiencias de aprendizaje en las que los alumnos reflexionan sobre lo
que están aprendiendo y con lo que están aprendiendo.”
Perkins, D. 1997 “La escuela inteligente”. Universidad de Harvard
“Lo que no se hace sentir no se entiende, y lo que no se entiende no
interesa”
Simón Rodríguez, maestro venezolano del siglo XVIII
“La escuela ideal es la que enseña a aprender”
Howard Hugges, Universidad de Hardvard
Teniendo presente lo arriba citado
¿Qué se podría hacer en este sentido?

Introducción
16
La Cátedra de Probabilidad y Estadística opina que hay mucho por hacer para mejorar la
calidad de la enseñanza y es por ello que la metodología de trabajo que se propone para el
abordaje de esta asignatura es un aporte en tal sentido y tiene como objetivo lograr un mayor
protagonismo del alumno dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Se contempla la Resolución de Problemas como eje de la modalidad, estimulando la
exploración bibliográfica por parte del alumno, el trabajo en equipo y la discusión grupal de
conclusiones.
Con este enfoque se pretende desarrollar la aptitud del estudiante para elaborar los
conocimientos adquiridos y usarlos para resolver problemas, en lugar de manejar conceptos
aislados tratando de “recordarlos” al momento de enfrentar problemas concretos.
La metodología de trabajo propuesta contempla las siguientes instancias:
• Introducción de los temas en clase.
• Planteo de un problema concreto relacionado con cada una de las unidades temáticas.
• Formulación de preguntas orientadoras y de ejercicios prácticos.
• Investigación bibliográfica sobre el tema, a fin de adquirir los conocimientos necesarios
para abordar la ejercitación y el problema planteados, tarea realizada fuera del horario de
clase.
• Resolución del problema en equipo, fuera de clase.
• Plenario en clase para presentar los resultados obtenidos.
• Discusión grupal sobre las conclusiones elaboradas.
• Síntesis final del tema.
Puede observarse que, la propuesta metodológica pone un fuerte acento en el compromiso
del alumno hacia el estudio independiente, y se orienta hacia la aplicación concreta de
conocimientos para resolver problemas. En esta última instancia se pretende que el alumno
incorpore el pensamiento estadístico para abordar los problemas ingenieriles que se presentarán
en su actividad profesional.

Introducción
17
I.6 Materiales Necesarios.
I.6.1 Guía de Aprendizaje.
La Guía incluye los siguientes aspectos:
o Introducción a cada una de las unidades temáticas.
o Esquema conceptual.
o Objetivos y Contenidos de cada unidad.
o Preguntas que guían la búsqueda bibliográfica y que permiten orientar el estudio
independiente.
o Ejercicios de aplicación.
o Planteo de un problema concreto usado como eje para el desarrollo y aplicación del
tema.
I.6.2 Bibliografía.
El estudio de los temas se realiza utilizando textos especializados en Estadística
recomendados por la Cátedra.
Textos recomendados (en orden alfabético):
 Anderson D, Sweeney D y Williams Th. [1999]: “Estadística para Administración y
Economía”. International Thomson Editores. México.
 Benjamin, J y Cornell, A. [1985]: “Probabilidades y Estadística en la Ingeniería Civil”.
MacGraw-Hill. Colombia.
 Devore Jay L. [2007]: “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias”. Editorial
Thomson Internacional.
 Hines, W y Montgomery, D. [1986]: “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Administración”.CECSA. México.
 Levin, R y Rubin, D. [1996]: “Estadística para Administradores”. Ed. Prentice-Hall. México.
 Levine D, Ramsey P y Smidt R. [2001]: “Applied statistics for Engineers and Scientists”.
Prentice Hall. New Jersey, USA.
 Lipschutz, S. [1971-1996]: “Probabilidad”. McGraw Hill. México.
 Mason, R.D.; Lind, D.A. y Marchal W.G. [2001]: “Estadística para Administración y
Economía”. Alfaomega. México.
 Mendenhall, H y Reinmuth, J. [1981]: “Estadística para Administración y Economía”. Grupo
Editorial Iberoamericana. México.

Introducción
18
 Mendenhall, W. y Sincich, T. [1997]: “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Ciencias”. Prentice-Hall. Hispanoamericana. México.
 Meyer, P. [1986]: “Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas”. Addison-Wesley.
Iberoamericana. México.
 Miller,I; Freund, J. E. y Johnson R.A [1991]: “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”.
Prentice-Hall. Hispanoamericana. México.
 Milton J.S y Arnold J.C. [2005]: “Probabilidades y Estadística con aplicaciones para
Ingeniería y Ciencias Computacionales”. Editorial McGraw-Hill.
 Montgomery, D. [2000]: “Diseño y Analisis de Experimentos”. Grupo Editorial Iberoamérica.
México.
 Montgomery, D. y Runger, G. [1996]: “Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería”.
McGraw Hill. México.
 Navidi William [2006]: “Estadística Para Ingenieros y Científicos”. Editorial McGraw-Hill.
 Peña, D. [1987]: ”Estadística: modelos y métodos”. Alianza Editorial S.A. Madrid.
 Velasco Sotomayor Gabriel [2001]: “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias”
Editorial Thomson International
 Walpole, R., Myers, R. y Myers, S. [1999]: “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”.
Pearson. México.
 Webster, A. L. [2000]: “Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía”. MacGraw-Hill
Interamericana S.A. México Zylberberg Alejandro D. [2005]: “Probabilidades y
Estadística” Editorial Nueva Librería Buenos Aires.
 Zylberberg Alejandro D. [2005]: “Probabilidades y Estadística” Editorial Nueva Librería
Buenos Aires.
Sitios Web de interés (links revisados al 01/02/2020):
 VESTAC: Applets de Java para la visualización de conceptos estadísticos
http://lstat.kuleuven.be/newjava/vestac/
Debido a que las versiones más recientes de JAVA no permiten que estos applets se ejecuten directamente desde el
sitio, tendrá que descargarlos y ejecutarlos localmente. Para obtener acceso a los archivos de ayuda, todavía necesita
una conexión a Internet. Puedes descargar las versiones de Windows y Mac OS X a continuación.
 Virtual Laboratories in Probability and Statistics - Texto online con applets de Java.
http://www.math.uah.edu/stat/
 Rice Virtual Lab in Statistics: Texto online y acceso a Applets de Java
http://onlinestatbook.com/rvls.html
 Statistics Online Computational Resource (SOCR) del Departamento de Estadística de UCLA:
incluye un repositorio de applets interactivos, herramientas computacionales y gráficas,
EBook y otro materiales.
http://www.socr.ucla.edu/SOCR.html
 Texto online (University of Newcastle, Australia)
http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/surfstat.html

Introducción
19
 Texto electrónico de Métodos Estadísticos (NIST/SEMATECH-Engineering Statistics
Handbook escrito por Mary Natrella del NBS Statistical Engineering Lab (National Institute
of Standards and Technology (NIST) U.S. Departamente of Commerce))
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/index.htm
 Otros sitios interesantes
http://centros.edu.xunta.es/iesaslagoas/metodosesta/estatistica/index.htm
http://www.ugr.es/~batanero/pages/didacticaprobabilidad.html
https://es.khanacademy.org/math/probability
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/
http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/
http://e-stadistica.bio.ucm.es
http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html
Tablas de las distribuciones de probabilidad (links revisados al 01/02/2020)
http://ocw.ub.edu/admistracio-i-direccio-dempreses/estadistica-empresarial-
i/fitxers/temes/TABLAS-ESTADISTICAS.pdf/view
http://dm.udc.es/profesores/ricardo/Archivos/tablas_estadisticas.pdf
http://materias.unq.edu.ar/pye/Trabajos%20Pr%C3%A1cticos/Tablas%20de%20Estadistica.pdf
http://materias.unq.edu.ar/pyeArg/Trabajos%20Pr%C3%A1cticos/tablas/tablas1.pdf
I.7 Grupos de Trabajo.
Como ya se mencionó, el trabajo en equipo es el ingrediente fundamental dentro de la
modalidad propuesta y tiene como finalidad estimular la discusión y el intercambio de opiniones
entre los integrantes de cada grupo, factores que motivan y enriquecen el proceso de aprendizaje.
Para que la labor grupal sea efectiva, cada equipo debe tener la siguiente estructura:
• Un coordinador, que será encargado de estimular la participación de todos los miembros,
verificar que cada uno cumpla con sus responsabilidades, y actuar como nexo entre el
grupo y el docente.
• Un secretario, quien será responsable de archivar todo el material generado por el grupo,
manteniéndolo disponible para consulta tanto del docente y del propio grupo en “cualquier
momento”.
• El resto de los integrantes del grupo, entre los cuales se procederá a dividir las tareas de
común acuerdo.
Los grupos no deberán superar los cinco integrantes, a fin de garantizar la participación de
todos y no complicar su operatividad.
Cada grupo acordará su forma de trabajo y deberá confeccionar una carpeta en la cual se
archivarán los resultados de la investigación bibliográfica realizada sobre cada tema, la resolución

Introducción
20
de problemas que reforzarán los contenidos abordados, la resolución del problema en equipo los
procedimientos y conclusiones obtenidos sobre el mismo y todos los informes elaborados sobre
cada unidad.
I.7.1 Rol del Docente.
Dentro de la metodología propuesta, el docente no es el protagonista excluyente de la
clase, ni el que “sabe más” y se lo cuenta a los demás. Es el que orienta, apoya el estudio
independiente del alumno, estimula su curiosidad, y promueve las actividades necesarias para
facilitar la incorporación de los conocimientos.
Su tarea es introducir los temas a tratar, apoyar el trabajo en equipo, y realizar una síntesis
al final de cada unidad, tratando de transferir toda su experiencia y conocimientos prácticos sobre
el tema considerado, para que el estudiante sea capaz de valorar su importancia y sus
posibilidades de aplicación.
I.8 Evaluación de la Asignatura.
Con el fin de valorar el grado de cumplimiento de los objetivos propuestos, están previstas
una serie de instancias de evaluación más o menos formales:
 presentación de los trabajos grupales en forma oral y escrita,
 participación de los alumnos en clase,
 exámenes parciales.
I.8.1 Evaluación de los Trabajos Grupales.
Los trabajos grupales deben ser presentados en forma impresa, un ejemplar por cada equipo de
trabajo. A su vez, estos trabajos deben ser presentados en forma oral durante un plenario realizado
en clase, en forma alternativa por los diferentes grupos de trabajo.
La forma de exposición será acordada por el grupo, pero el docente podrá solicitar
información adicional a cualquiera de sus integrantes para corroborar sus conocimientos.
La evaluación que haga el docente de estas exposiciones y de las presentaciones impresas
serán considerados al momento de elaborar la calificación final de la asignatura.
Criterios de evaluación de los trabajos grupales.
a - Correcta aplicación de los métodos a las situaciones planteadas.
b - Adecuado enunciado de las respuestas, con estilo coherente y organizado.

Introducción
21
c - Pertinencia en la selección de los conceptos teóricos para fundamentar las respuestas.
d - Esfuerzo evidenciado en la investigación de los métodos.
e - Presentación formal del trabajo.
En la Sección VI encontrará más detalles sobre los aspectos que se tendrán en cuenta al
evaluar los trabajos grupales.
I.8.2 Evaluaciones Parciales.
Son instrumentos escritos, individuales, teórico-prácticos y de tipo semiestructurado, a través
de los cuales se busca evaluar no sólo la incorporación de los conceptos más relevantes de la
materia, sino fundamentalmente la capacidad del alumno para abordar un problema concreto,
definir sus alcances, elegir las herramientas apropiadas para su resolución, aplicarlas, e interpretar
los resultados obtenidos, generando información de utilidad en términos del problema
considerado.
I.8.3 Condiciones para Promocionar la Asignatura.
Las exigencias formales son las habituales para las asignaturas de la Facultad de Ingeniería:
• Asistencia a un 80 % de clases como mínimo.
• Presencia y participación en las actividades plenarias de corrección de los trabajos
grupales.
• Aprobación de tres evaluaciones:
- dos parciales individuales que se aprueban con un mínimo de 65 puntos sobre 100,
de los cuales se puede recuperar (por aplazo o inasistencia) solamente uno;
- la nota de la tercera evaluación surge como promedio de la presentación de las
actividades grupales, calificadas entre 0 y 10, siendo necesario un 6 como mínimo
para aprobar.
La calificación final se conforma ponderando los resultados de las tres evaluaciones previstas, en
la escala de 0 a 10, siendo necesario como mínimo un 4 para promocionar la asignatura.
Observaciones:
 Conforme al Régimen de Alumnos de la Facultad (Res.Nro.154-H.C.D-2002),
Art. 11°: El alumno regular podrá matricularse para cursar la o las asignaturas/s correlativa/s de la
asignatura que le confiere dicha condición, siempre y cuando esta/s se halle/n en el semestre consecutivo.
Art. 12°: La asignatura correlativa pendiente de aprobación, deberá aprobarse como máximo al finalizar la
época de exámenes de febrero-marzo siguiente, para las materias del primer semestre y al finalizar la época
de exámenes de Julio siguiente para las asignaturas del segundo semestre.

Introducción
22
Art. 13°: De no cumplirse lo dispuesto en el artículo anterior, toda actuación académica en la asignatura
cursada en forma regular, sin tener aprobada sus correlativas, perderá su valor automáticamente.
Art. 30º: Plazo de validez de la promoción:
1) Para las asignaturas del primer semestre: hasta finalizar la época de exámenes de febrero-marzo del año
siguiente.
2) Para las asignaturas del segundo semestre: hasta finalizar la época de exámenes de Julio del año
siguiente.
Por lo tanto, de no cumplimentarse lo antes expuesto, SE PIERDE LA PROMOCIÓN.
 La única excepción a lo anteriormente expuesto, es el caso de alumnos que hayan iniciado un
trámite de cambio de carrera y que no pudieron inscribirse en la asignatura, por encontrarse
pendiente el otorgamiento de equivalencias. Para acceder al mencionado derecho, el alumno
debe presentar la documentación probatoria al Profesor Titular, quien registrará
convenientemente esa condición.
I.9 Orientaciones para el Estudio.
Para orientar en el abordaje de las actividades de la asignatura, particularmente aquellas que
deberán ser abordadas individualmente (o con el correspondiente grupo de trabajo), se plantean
algunas consideraciones útiles para tener en cuenta:
• Materiales: Utilizar conjuntamente La Guía de Aprendizaje y el Texto (nunca uno de ellos
exclusivamente). Es conveniente disponer de una calculadora de bolsillo con funciones
estadísticas, y dentro de lo posible emplear planilla de cálculo o software estadístico para la
aplicación de los procedimientos más engorrosos.
• Tiempo: Planificar adecuadamente el uso del tiempo, discriminando entre las horas de estudio
propiamente dichas (incluyendo la resolución de ejercicios prácticos) y el tiempo destinado a
la resolución de problemas y elaboración de las presentaciones grupales. Consensuar con los
integrantes del grupo los días y hora de reunión y la distribución de responsabilidades en la
elaboración de los trabajos. No olvidar destacar las fechas más importantes, como la de
presentación de trabajos grupales, o las correspondientes a las evaluaciones parciales
individuales.
• Técnicas de estudio: El alumno debe mentalizarse en que es el responsable último del éxito
de este proceso. Es conveniente planificar el ritmo de avance, la frecuencia y horas de estudio,
y establecer prioridades. Puede ser estimulante tomar notas, elaborar sus propios esquemas y
diagramas conceptuales, preparar resúmenes, remarcar conceptos básicos, relacionar
conceptos. Es importante reflexionar permanentemente sobre lo aprendido, relacionarlo con lo
ya conocido y aplicarlo en forma práctica antes de seguir adelante. Es sumamente útil
relacionarse con otros estudiantes para intercambiar experiencias.
• Estrategia de aprendizaje recomendada (para el estudio independiente).
• Iniciar el acercamiento al tema a través de la lectura de la Guía de Aprendizaje, revisar los
objetivos y contenidos a abordar, y repasar el esquema conceptual correspondiente.
• Explorar el tema en la bibliografía propuesta. Utilizar las preguntas orientadoras de la
Guía como apoyo para encarar la lectura del material.

Introducción
23
• Fijar los conocimientos adquiridos mediante resúmenes, esquemas, etc., que reflejen los
conceptos e ideas más relevantes.
• Aplicar en forma práctica los conocimientos recién incorporados mediante la resolución de
la ejercitación propuesta en la Guía de Aprendizaje.
• Evaluar el aprendizaje logrado: repasar las Preguntas Orientadoras de la Guía y relacionar
conceptos con temas anteriores. Pasar a la siguiente etapa sólo después haber completado
este análisis.
• Resolución del problema propuesto en la Guía de Aprendizaje: definir con claridad el
problema, identificar sus alcances, reunir los datos necesarios, identificar los
procedimientos estadísticos a utilizar, aplicar los métodos en forma manual o mediante el
uso de software estadístico, analizar sus resultados y elaborar conclusiones de interés.
• Pautas para Confeccionar el INFORME correspondiente al Trabajo Grupal:
Para la presentación del informe se seguirán las siguientes pautas:
I. Carátula. Figurará el tema del trabajo; Apellido, Nombre y Matrícula de cada uno de los
integrantes del grupo que participaron en la realización del informe.
Tema del Trabajo: Nro de Grupo
Matrícula Apellido y Nombre Calificación
II. Enunciado del Problema. Se explicitará el problema que se está resolviendo.
III. Introducción. Se relatará la forma en que el grupo decidió abordar el problema en sus
distintos aspectos (esquema de trabajo), los pasos que siguieron y su fundamentación
correspondiente (plan de acción).
IV. Desarrollo. Se plasmarán los cálculos efectuados, aclarando de qué se trata cada uno de
ellos.

Introducción
24
V. Análisis de resultados. Se discutirá el significado de los resultados obtenidos en el ítem
anterior, teniendo en cuenta el contexto del problema.
VI. Conclusiones. Se responderá al problema planteado, en función del análisis de los
resultados realizado.
VII. Bibliografía. Se especificará la bibliografía consultada. En la cita deberá constar:
Autor/es, Título de la obra, Editorial, Lugar de edición, Fecha de edición.
I.10 Cronograma Previsto.
Durante la primer semana de clase, cada docente informará a los alumnos de
su comisión las fechas previstas para la entrega de Actividades Grupales.
Asimismo, se darán a conocer las fechas de los exámenes parciales
individuales.

Unidad 1
25
II. UNIDADES TEMÁTICAS.
Unidad 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.
Introducción.
La Estadística es la ciencia que permite estudiar la variabilidad de algunas propiedades que
caracterizan a un conjunto de elementos, que pueden ser personas o cosas.
El conjunto formado por todos los elementos que son objeto de un análisis estadístico es la
población de ese estudio, por ejemplo, todos los alumnos de la Facultad o todas las piezas que
produce una máquina.
Cuando la población es muy grande los estudios estadísticos se llevan a cabo mediante el empleo
de muestras, que son subconjuntos representativos de la Población seleccionados de acuerdo a
criterios provistos por la Estadística.
El armado de muestras depende del tamaño de la población y de la variabilidad que presentan sus
componentes.
Una vez que tenemos identificados cada uno de los elementos de la población o de la muestra,
según sea el objetivo del estudio es necesario medir u observar algunas características específicas,
registrándose como resultado una serie de datos. Estos datos pueden ser de tipo cualitativo o
cuantitativo.
La Estadística Descriptiva es la parte de la Estadística que proporciona las herramientas
necesarias para realizar el procesamiento de esos datos, con la finalidad de organizarlos, facilitar
su presentación, sintetizar sus principales propiedades e identificar tendencias o patrones de
comportamiento.
El tipo de análisis que se puede realizar depende de los datos disponibles (tipo y cantidad) y del
objetivo específico del estudio.
Por lo general los datos se organizan agrupándolos en tablas de frecuencias, y el resultado de
este agrupamiento se muestra mediante gráficos apropiados. Si los datos son numéricos se
calculan cantidades estadísticas representativas (como promedios o rangos) que resumen sus
principales propiedades.
Este tipo de procesamiento permite transformar “datos en bruto” en “información”, en
conocimiento práctico que permite orientar la toma de decisiones relacionadas con la población en
estudio.

Unidad 1
26
Esquema Conceptual.
INFORMACIÓN
MUESTRA
POBLACIÓN
DATOS
Tablas Medidas
Gráficos

Unidad 1
27
Objetivos.
• Diferenciar los conceptos de población y muestra, e identificar los elementos que la
componen.
• Reconocer los diferentes tipos de datos estadísticos, y seleccionar las herramientas de análisis
pertinentes en cada caso.
• Describir el comportamiento de los datos: elaborar tablas de frecuencias y gráficos, calcular
cantidades estadísticas que describan las principales propiedades de los datos.
• Interpretar la utilidad de las herramientas descriptivas.
• Analizar los resultados del análisis e identificar patrones de comportamiento en los datos.
• Elaborar conclusiones sobre la población en estudio.
• Emplear la información estadística para la toma de decisiones.
Contenidos.
• Conceptos de población y muestra.
• Unidades de observación.
• Datos cualitativos y cuantitativos.
• Agrupamiento de datos en tablas de frecuencias.
• Gráficos: tipos, elaboración, interpretación.
• Medidas analíticas: cálculo e interpretación.
Cuestionario Orientador para la Investigación Bibliográfica.
1) En estadística se manejan los conceptos de población y de muestra. ¿Qué se entiende por
población? ¿Qué elementos pueden formar parte de una población?
2) ¿Qué es una muestra? ¿Cómo se pueden armar muestras representativas de la población en
estudio? ¿Qué propiedades debe reunir una muestra?
3) Los datos que pueden adquirirse mediante un muestreo, pueden ser denominados como
cualitativos o cuantitativos; a su vez, los cuantitativos pueden trabajarse como continuos o
discretos. Elaborar definiciones para cada uno de estos tipos de datos. Especificar cuál es la
diferencia entre ellos
4) ¿Cómo se pueden organizar los datos cualitativos? ¿Qué tipo de análisis estadístico se puede
realizar con este tipo de datos? ¿Cuáles son las limitaciones en el tratamiento de este tipo de
datos?

Unidad 1
28
5) ¿Cómo se pueden organizar los datos cuantitativos? ¿Cuál es el procesamiento posible para
este tipo de datos? ¿Qué diferencias se pueden encontrar entre el tratamiento de variables
discretas y continuas? ¿Qué ocurre con el procesamiento cuando hay pocos o muchos datos?
6) Elaboremos una clasificación de todos los gráficos que se estudian en la unidad uno y
especifiquemos para qué tipo de variable se utiliza cada uno.
7) En el procesamiento de datos cuantitativos se pueden utilizar medidas de ubicación, de
dispersión o de forma. Explicar qué tipo de información brinda cada una.
8) Realizar un resumen de las principales medidas estadísticas y definir el modo en que se
determina cada una. Explicar además, cuáles son las ventajas y desventajas de cada una de
esas cantidades como medidas descriptivas
9) Analizar al menos un par de libros de Estadística y determinar qué propiedades deben poseer
la media aritmética o promedio y la varianza.
10) Los datos de tipo cuantitativo continuo se pueden agrupar en intervalos. Explicar cuáles son
los requisitos que debe tener la muestra para que este agrupamiento sea factible. Explicar
además qué información relevante se puede obtener a partir del agrupamiento.
11) En un proceso productivo se fabrican ruedas de automóviles, después del balanceo se mide la
diferencia de carga en gramos, entre las dos caras de la cubierta. Los valores obtenidos son los
siguientes:
23 22 21 34 31 10 13
11-a) Calcular el promedio y el desvío de esta muestra.
11-b) Clasificar los datos en intervalos, de acuerdo con la tabla siguiente:
Intervalo Frecuencia
10 - 19,9
20 - 29,9
30 - 40
Una vez completa la tabla anterior, determinar el promedio y el desvío con los datos
agrupados.
11-c) Comparar los resultados obtenidos en los dos ítems anteriores. Explicar por qué
motivo son diferentes los resultados. Elaborar una opinión sobre la conveniencia de
calcular las medidas a partir de datos agrupados.
12) ¿Qué tipo de conclusiones se pueden elaborar a partir del análisis descriptivo de datos? ¿Cuál
es su utilidad?
13) Una de las propiedades que se analizan al estudiar una muestra de datos cuantitativos
continuos, es la asimetría. Expliquemos qué es lo que representa la asimetría. Identifiquemos
medidas que permiten valorarla.

Unidad 1
29
Ejercicios Propuestos.
1. Una cooperativa telefónica de cierta ciudad, que tiene varios miles de habitantes, decide
realizar una encuesta telefónica entre sus abonados, indagando sobre diversos aspectos con el
objetivo de explorar la posible ampliación de servicios. Se consideran en el estudio
únicamente las casas de familia.
a) Defina claramente cuál es la población correspondiente a este estudio.
b) Explique de que manera seleccionaría una muestra representativa de esa población
para implementar la encuesta.
c) A continuación, se listan los datos que se solicitan a cada uno de los encuestados.
Indicar el tipo de cada uno:
 número promedio de pulsos por bimestre
 duración de la llamada más larga hecha en el mes
 color del aparato telefónico
 facturación del último bimestre
 ocupación del jefe de familia
 número de integrantes del grupo familiar
 barrio en que está ubicada la vivienda
 si tiene un módem conectado a una computadora
2. Un relevamiento realizado sobre los alumnos de una carrera universitaria, arrojó como
resultado que, entre los que trabajan, 55 lo hacen en relación de dependencia, 67 son
trabajadores independientes, 22 son comerciantes o industriales, mientras que 16 ya realizan
tareas profesionales. Organizar la información para facilitar su presentación e interpretación.
3. Se desea estudiar en determinada empresa la insatisfacción en el trabajo, se realiza una
encuesta y se registran las causas de insatisfacción.
Causa de Insatisfacción Infraestructura Horario Capacitación Sueldo Otros
Frecuencia 22 8 6 34 10
a) Ordenar los datos por frecuencias decrecientes, considerando el ítem “Otros” (que agrupa
varias causas menores de defectos) al final de la escala.
b) Calcular las frecuencias relativas, y dibujar el diagrama de barras con esas frecuencias.
c) Analizar el diagrama obtenido. ¿Qué interpretación se puede realizar?.
d) ¿Cuáles serían las conclusiones o recomendaciones de ese análisis?.
4. Durante un período de 30 días se realiza un estudio sobre el número de reclamos diarios por
problemas en los sistemas de computación desarrollados por una cierta Compañía. Los valores
registrados durante ese lapso fueron:
3 2 1 2 1 3 0 2 1 4 4 0 1 2 0
2 5 1 4 3 2 1 3 4 3 1 2 5 0 2
a) Elaborar la tabla de frecuencias simples y acumuladas.
b) Graficar las frecuencias relativas.
c) Analizar la distribución de frecuencias de la variable.

Unidad 1
30
d) Calcular el porcentaje de días en que se producen hasta 2 reclamos.
e) Si se producen más de 3 reclamos, hay que subcontratar el servicio de mantenimiento.
Calcular el porcentaje de veces que eso ocurre.
5. En el proceso de control final de tanques de combustible para automóviles, se realiza una
prueba para verificar la estanqueidad del recipiente. Suponga que estas observaciones se
organizan del siguiente modo: se observan cien tanques consecutivos y se registra la cantidad
de depósitos que pierden; luego se observan otras cien unidades y nuevamente se registra el
número de tanques con pérdidas. De este modo, se inspeccionan sesenta muestras y se
obtienen los siguientes valores.
4 2 1 7 2 0 5 4 3 5
2 4 4 1 1 2 4 1 5 4
3 2 3 4 4 6 5 5 2 2
3 4 4 4 2 6 2 5 6 4
1 2 0 4 5 3 1 3 5 4
2 3 3 5 5 9 4 5 4 3
Analizar qué tipos de datos son estos. Construir una Tabla de Frecuencias y elaborar gráficos
adecuados. Calcular las principales medidas. La Dirección de la empresa había adoptado
como objetivo que la cantidad de tanque con problemas debía ser menor o igual que cinco;
analizar si dicho objetivo puede considerarse satisfecho.
6. Se desea comparar el rendimiento alcanzado en un curso de capacitación por los operarios de
los turnos Mañana y Tarde de una cierta fábrica. Para ello dispone de los puntajes [de 0 a 100]
obtenidos en la evaluación final:
a) Elaborar la tabla de frecuencias correspondiente a los resultados de cada turno. Utilice
intervalos de longitud 10, comenzando desde el cero.
b) Dibujar los histogramas de frecuencias relativas.
c) Dibujar los polígonos de frecuencias.
d) Calcular el porcentaje de operarios del Turno Mañana que sacaron entre 50 y 80
puntos, y la cantidad de operarios del Turno Tarde que sacaron más de 70 puntos.
e) Comparar las dos distribuciones de frecuencias. Explicar en qué se parecen, y en qué
se diferencian.
f) Formular una opinión sobre el rendimiento evidenciado en el curso por los dos turnos
de trabajo.
Turno Mañana Turno Tarde
63 55 68 83 71 65 56 76 79 54 91 72 48 47
54 47 55 75 81 73 69 53 79 67 56 62 57 49
68 69 73 34 76 61 69 54 48 58 59 59 56 47
59 59 66 46 43 72 64 51 52 69 62 69 52 71
79 54 92 69 57 75 73 38 59 66 60 71 71 73
72 82 48 67 71 64 65 64 69 60 67 57 95 53
36 49 89 59 66 62 49 81 79 64 62 83 64 59
55 45

Unidad 1
31
7. Analizar las siguientes muestras:
En todos los casos realizar las siguientes tareas:
a) Dibujar un diagrama de puntos.
b) Dibujar el diagrama de caja.
c) Calcular las medidas de posición y de dispersión.
d) Interpretar los resultados obtenidos.
8. Usando datos de los ejercicios anteriores:
a) Indicar para el Ejercicio N3, si pueden calcular medidas analíticas. Fundamentar la respuesta.
b) Calcular para el Ejercicio N4, las medidas de posición. Comparar la media, mediana y moda,
y comentar conclusiones. Calcular las medidas de dispersión.
c) Calcular para el Ejercicio N6, las medidas analíticas para los puntajes correspondientes a los
dos turnos de trabajo. Comparar los resultados obtenidos, y elaborar conclusiones al respecto.
Si el cálculo de las medidas analíticas se realiza en base a los datos agrupados ¿los resultados
van a ser los mismos? Fundamentar la respuesta.
9. Los siguientes datos muestran 80 mediciones de la emisión diaria (en toneladas) de óxido de
azufre de una planta industrial:
15.8 - 26.4 - 17.3 - 11.2 - 23.9 - 24.8 - 18.7 - 13.9 - 9.0 - 13.2
22.7 - 9.8 - 6.2 - 14.7 - 17.5 - 26.1 - 12.8 - 28.6 - 17.6 - 23.7
26.8 - 22.7 - 18.0 - 20.5 - 11.0 - 20.9 - 15.5 - 19.4 - 16.7 - 10.7
19.1 - 15.2 - 22.9 - 26.6 - 20.4 - 21.4 - 19.2 - 21.6 - 16.9 - 19.0
18.5 - 23.0 - 24.6 - 20.1 - 16.2 - 18.0 - 7.7 - 13.5 - 23.5 - 14.5
14.4 - 29.6 - 19.4 - 17.0 - 20.8 - 24.3 - 22.5 - 24.6 - 18.4 - 18.1
8.3 - 21.9 - 12.3 - 22.3 - 13.3 - 11.8 - 19.3 - 20.0 - 25.7 - 31.8
25.9 - 10.5 - 15.9 - 27.5 - 18.1 - 17.9 - 9.4 - 24.1 - 20.1 - 28.5
Describir la muestra utilizando convenientemente los conceptos estudiados y el software
INFOSTAT.
10. El Departamento de Control de Calidad de una fábrica seleccionó una muestra de remaches
para evaluar su resistencia. Estos remaches se utilizan para la fijación de una pieza que, de
desprenderse, pone en riesgo la vida del usuario de la maquinaria que se produce. Los valores
obtenidos (expresados en Newton) son los siguientes:
18,56 18,57 18,55 18,58 18,60 18,59
Sabemos que si los procesos se encuentran bajo control, la dispersión debería ser reducida y el
comportamiento de la variable bajo estudio debería poder describirse mediante un modelo
normal. Para verificarlo:
a) Realice una descripción adecuada de la muestra.
b) Con base en el estudio realizado, ¿puede pensarse que la muestra proviene de una
población con distribución Normal? Justifique utilizando todos los argumentos que le
brinda la estadística descriptiva.
Variable analizada Datos de la muestra
Duración de una tarea (en días) 10 7 13 9 11 19 1
Duración de una lamparita (meses) 6 28 2 11 18 5 7
Duración del cartucho de tinta de una
impresora (semanas)
20 17 10 6 16 1 14

Unidad 1
32
Ejercicio Adicional Integrador de la Unidad
Caso de estudio: la empresa de transporte
Una empresa de transporte de cargas desea investigar las características del servicio que brinda.
Interesa en particular uno de dichos servicios. Se trata del viaje entre dos ciudades, a las cuales
puede denominarse como A y B. Las variables que deben estudiarse son las siguientes:
Tipo de producto transportado: el mismo reconoce los siguientes valores:
Tipo de producto Código
Papelería 1
Insumos industriales 2
Maquinarias 3
Herramientas 4
Residuos no peligrosos 5
Insumos agrícolas 6
Otros 7
En la tabla anterior se utilizan códigos para facilitar el manejo de la información. Los mismos no
tienen entidad numérica. Simplemente, para no escribir muchas veces insumos industriales, por
ejemplo, se utiliza simplemente el código 2.
Controles camineros: la variable representa valora el hecho de que el camión haya o no recibido
controles camineros en su recorrido. Los valores y códigos son los siguientes:
Controles camineros Código
Tuvo 1
No tuvo 2
Medidas de seguridad: previo a cada viaje se verifican diversos aspectos relacionados con la
seguridad de las unidades. El criterio es que el camión no puede partir si tiene un problema de
seguridad serio. En cambio, se toleran problemas leves. Los valores y códigos son los siguientes:
Medidas de seguridad Código
En perfectas condiciones 1
Algún problema leve 2
Más de un problema leve 3
Problemas de mecánica: al finalizar cada viaje se revisan las unidades con el auxilio de una lista
de chequeo y se determina la cantidad de problemas que se encuentran. Esta variable representa la
cantidad de problemas encontrados. Por ejemplo, si el camión tiene problemas para el arranque y
una de las mangueras del motor parece a punto de romperse, la variable toma el valor dos.
Tiempo de viaje: mide el tiempo transcurrido desde que la unidad parte, hasta que arriba a
destino. Se mide en minutos.
Tiempo de reparación posterior: mide el tiempo que se destina a la reparación, cuando se
encuentran problemas mecánicos. Se mide en horas. Debe notarse que en caso de no presentarse
problemas, la variable no se observa.

Unidad 1
33
A fin de realizar el estudio, la empresa registra las variables mencionadas para sesenta viajes
consecutivos. Los resultados obtenidos se presentan en una tabla al final de este enunciado.
Actividad 1: Población y muestra
Trabaje sobre el caso de la empresa de transporte que se presenta en TABLA 1, conforme a las
siguientes consignas:
 Identifique las diferentes variables que se consideran en dicho caso.
 Especifique cuál es la población y cuál la muestra, para dicho caso.
 Identifique a qué tipo de variable corresponde: cualitativa, discreta o continua.
Actividad 2: Tratamiento de variables cualitativas
Las variables cualitativas deben ser tratadas mediante la construcción de tablas de frecuencia y
gráficos adecuados. Por otra parte, es importante realizar una interpretación adecuada de los
resultados obtenidos.
La propuesta es que usted trabaje las variables cualitativas del caso de la empresa de transporte.
Para facilitar su avance, tenga presente el material bibliográfico y los datos de la tabla 1.
Actividad 3: Tratamiento de variables discretas
Los camiones utilizados para los servicios de transporte sufren desgaste y averías, lo que obliga a
su reparación. Sucede que una reparación de urgencia siempre tiene un costo mayor que una
intervención que se ha programado previamente.
Por ese motivo, nuestra empresa de transporte se encuentra interesada en desarrollar un buen
sistema de mantenimiento preventivo de los camiones. La idea es que las actividades de
reparación sean programadas y se reduzcan al mínimo las situaciones de urgencia.
Una de las consecuencias de esta iniciativa es que en la revisión que se hace rutinariamente al
final de cada viaje, la variable problemas de mecánica tienda a cero. Si el preventivo es
absolutamente eficaz, la cantidad de problemas encontrados al finalizar los viajes debe ser
mínima.
Por ese motivo, la empresa estableció una meta para la variable problemas de mecánica. Se
desea que la cantidad de problemas encontrados sea menor o igual que dos.
Efectúe el análisis descriptivo de esa variable y elabore una opinión acerca de si se logró o no
alcanzar la meta establecida.
Actividad 4: Tratamiento de variables continuas
En el caso de la empresa de transporte, las variables cuantitativas analizadas son el Tiempo de
viaje y el Tiempo de reparación posterior, cuando se producen desperfectos. Para estos datos,
debemos aplicar toda la batería de herramientas estadísticas que conocemos.
Pero además, consideremos que hemos realizado esfuerzos para que tanto el viaje como las
reparaciones constituyan procesos ordenados, controlados y previsibles. Esto es, hemos entrenado
a la gente que hace el trabajo, compramos herramental y equipos, efectuamos un importante
esfuerzo para garantizar el correcto mantenimiento de las unidades.
Si estas tareas hubieran dado el resultado esperado, entonces las dos variables deberían variar muy
poco y tener una distribución de frecuencias compatible con las propiedades del modelo Normal
de probabilidades.
Con esta información, debemos:
o Analizar la variable Tiempo de viajes, para determinar si se satisface el criterio adoptado
para valorar el grado de control sobre las causas que afectan la duración de esta tarea.
o Analizar la variable tiempos de reparación, para determinar si se satisface el criterio
adoptado para valorar el grado de control sobre las causas que afectan la duración de esta
tarea.

Unidad 1
34
o Separar los tiempos de viajes de aquellos recorridos que tuvieron a lo sumo un problema
mecánico, de los que tuvieron dos o más problemas. Analizar si puede suponerse que las
propiedades de la variable cambian cuando es elevado el número de problemas.
TABLA 1: Datos obtenidos del muestreo CASO EMPRESA DE TRANSPORTE
Viaje
nro.
Tipo de
Producto
Controles
Medidas
Seguridad
Problemas de
Mecánica
Tiempo viaje
(En minutos)
Tiempo reparación
posterior (En horas)
1 2 2 2 1 714 12,87
2 2 2 1 3 924 12,01
3 4 2 1 0 775
4 6 2 1 2 836 0,47
5 6 2 1 2 662 5,58
6 7 1 3 0 791
7 1 2 2 4 641 1,14
8 2 1 2 3 734 3,20
9 6 2 1 3 686 4,95
10 2 2 1 0 720
11 2 2 2 1 793 5,47
12 2 2 1 1 677 0,28
13 1 2 2 1 718 11,28
14 2 1 1 0 789
15 2 2 2 2 689 7,44
16 1 2 1 2 628 0,86
17 2 2 2 1 707 1,73
18 2 1 2 2 735 14,59
19 4 2 1 1 721 7,91
20 2 1 2 0 714
21 2 1 3 0 716
22 2 1 2 1 783 2,94
23 6 1 1 0 640
24 4 2 2 2 766 2,49
25 3 1 1 3 796 2,01
26 2 1 1 1 636 1,94
27 7 2 2 1 756 0,32
28 5 1 3 2 805 6,17
29 7 2 2 0 830
30 2 2 1 1 783 9,08
31 7 1 1 2 856 1,99
32 2 2 1 1 798 0,37
33 4 2 1 1 684 6,00
34 5 2 1 2 571 12,45
35 7 2 1 1 646 8,19
36 4 1 2 0 600
37 2 2 1 0 727

Unidad 1
35
Viaje
nro.
Tipo de
Producto
Controles
Medidas
Seguridad
Problemas de
Mecánica
Tiempo viaje
(En minutos)
Tiempo reparación
posterior (En horas)
38 5 2 1 2 820 14,06
39 2 2 2 0 732
40 5 2 2 1 767 3,28
41 2 2 2 2 596 3,31
42 2 1 1 2 646 0,64
43 2 2 1 2 604 2,68
44 2 2 1 0 652
45 4 2 1 1 663 0,64
46 4 2 1 0 797
47 2 2 3 2 729 1,46
48 7 2 1 0 717
49 2 1 2 3 656 5,24
50 2 1 1 0 731
51 1 2 1 0 920
52 7 2 1 3 772 17,06
53 2 2 1 0 693
54 2 2 3 1 631 1,68
55 5 2 2 2 754 0,26
56 4 1 1 1 795 7,77
57 5 2 2 1 792 7,51
58 5 2 1 0 750
59 2 2 1 2 748 15,46
60 2 1 1 1 627 1,65

Unidad 2
36
Unidad 2: PROBABILIDAD y VARIABLES ALEATORIAS.
Introducción.
Supongamos que estamos interesados en conocer la posibilidad de ganar en una noche de
casino o la chance de obtener premios cuando jugamos una tarjeta de QUINI 6. También
podríamos querer conocer la posibilidad de que un trabajo que estamos por iniciar resulte exitoso,
o que termine dentro del plazo pactado.
Ese tipo de problemas se puede resolver usando el concepto de Probabilidad. Se trata de
un número que permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un cierto evento. Fue definido en
el siglo XVIII, por matemáticos tan destacados como Leibniz, Gauss, etc con la finalidad de
encontrar cábalas que ayuden a ganar en los juegos de azar.
Hablando con mayor formalidad, se aplica al análisis de Experimentos Aleatorios, es
decir aquellos en los cuales no se puede predecir con exactitud el resultado, como por ejemplo la
tirada de un dado o la medición de rugosidad de una pieza en una planta industrial.
Para este tipo de experiencias resulta útil determinar el conjunto de todos los resultados posibles,
al que se denomina Espacio Muestral (). Por ejemplo, en la tirada del dado podemos decir que
el resultado debe ser algún entero entre 1 y 6. Por su parte, para la rugosidad sabemos que la
medición dará algún número real positivo.
El hecho es que dentro de los espacios muestrales siempre hay resultados que nos interesan en
particular; por ejemplo, si una pieza es rechazada cuando su rugosidad excede las veinte
milésimas de milímetro y nosotros somos responsables por la producción, entonces nos
preocupará esa posibilidad. Aquellos resultados que nos interesan en particular se denominan
Eventos.
Precisamente la Probabilidad es un número que mide la chance de que ocurra un evento.
Experimentos
Aleatorios
Eventos
PROBABILIDAD

Unidad 2
37
La definición general de probabilidades plantea que si un experimento se realiza una gran
cantidad de veces (digamos n) y en nA de esas veces ocurre el evento A, entonces la probabilidad
de A es:
P(A) = lim (nA / n)
n 
veces el experimento y contar en cuantas ocurre el evento en cuestión. Luego la frecuencia
relativa nos da la probabilidad buscada.
Afortunadamente una vez determinadas las probabilidades de eventos simples, podemos realizar
operaciones aritméticas para determinar las chances de eventos de mayor complejidad.
En particular, la regla de la suma permite evaluar P (AUB), es decir la posibilidad que ocurra el
evento A, que ocurra el evento B, o que ocurran ambos eventos simultáneamente. Por ejemplo,
que una pieza cualquiera presente una excesiva rugosidad o tenga errores de forma.
Por su parte, la regla del producto nos permite evaluar P (AB), o sea la chance de que los dos
resultados se presenten simultáneamente. Siguiendo con el ejemplo anterior, sería la posibilidad
de que la pieza tenga simultáneamente problemas de rugosidad y de forma.
Sin embargo, el manejo de la probabilidad y sus reglas no es suficiente como para abordar la
mayoría de los problemas que se nos plantean en la realidad, donde trabajamos con muchos
fenómenos cuyos resultados dependen del azar. Es necesario introducir otro concepto muy
importante: el de Variable Aleatoria (variable cuantitativa que depende del azar), función que
asigna un número a cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.
Muchas cantidades que manejamos cotidianamente son ejemplos de variable aleatorias: diámetro
o rugosidad de una pieza, temperatura de un fluido, número de detenciones de una máquina, o
cantidad de defectos de una pieza.
Para cada una de estas variables sería interesante asociar probabilidades a los diferentes valores
que toma la misma; esta asignación se denomina Distribución de Probabilidades y describe el
comportamiento esperado de una variable aleatoria.
Supongamos por ejemplo el experimento consistente en arrojar tres veces una moneda perfecta.
Podemos definir la variable X: cantidad de veces que sale Número.
En este caso, si los resultados son: Cara - Cara - Número (CCN), la variable toma el valor X = 1
(hay sólo un Número en ese evento). Más aún, podemos asignar una probabilidad a este valor
analizando todos los resultados del experimento que conducen a que X tome el valor 1.
Si continuamos con esta modalidad para todos los valores posibles de X, podemos construir la
siguiente tabla:
Espacio Muestral
CCC
CCN
CNC
NCC
CNN
NCN
NNC
NNN
X
0
1
2
3
P(X = x)
1/8
3/8
3/8
1/8
P(X  x)
1/8
4/8
7/8
1

Unidad 2
38
Como observamos, a cada elemento del espacio muestral se le puede asignar un valor de la
variable, y a su vez a cada valor de ésta se le puede relacionar una probabilidad. Esta relación
funcional es formalmente lo que definimos como Variable Aleatoria.
Con este razonamiento, podemos asegurar que toda variable aleatoria tendrá siempre una
Población y una Función de Distribución de Probabilidad. En nuestro ejemplo la Población es:
 = { 0,1,2,3 }.
Ahora bien, las variables aleatorias pueden ser Discretas o Continuas. Aún cuando buscaremos
una definición formal a lo largo de esta Unidad, podemos adelantar que las Discretas se utilizan
habitualmente para conteos en tanto que las Continuas permiten representar el resultado de
mediciones.
Por ejemplo, la variable “Cantidad de imperfecciones en la pintura de un auto” es Discreta, en
tanto que el “Espesor de la capa de pintura”, es Continua.
Ambos tipos de variables tienen propiedades diferentes y por lo tanto debemos analizar
especialmente cada modalidad.
En el caso de las variables Discretas es posible individualizar a cada elemento de la Población, y
luego a cada elemento se le puede asignar una fracción de la Probabilidad total a repartir
(recordemos que ese total es igual a uno).
En cambio en las variables Continuas los valores no son individualizables y por lo tanto no es
posible realizar una asignación similar a la anterior. Bajo esas condiciones, determinamos la
Probabilidad de que la variable tome valores dentro de un cierto intervalo. En este caso la
probabilidad que la variable tome exactamente un valor determinado se considera igual a cero.
VARIABLES
ALEATORIAS
Distribución de
Probabilidades
DISCRETAS CONTINUAS
POBLACIÓN

Unidad 2
39
Para ejemplificar lo anterior vamos a suponer que estudiamos la variable X: Estatura de una
persona de sexo masculino. Entre los dos problemas siguientes uno es absurdo y el otro
interesante, decidamos cuál está en cada condición:
Problema 1: determinar la posibilidad que una persona mida entre 1,70 y 1,80 mts.
Problema 2: determinar la posibilidad que una persona mida exactamente 1,7634915 mts.
Cualquiera sea el tipo de variable aleatoria, podemos resumir sus principales propiedades en un
conjunto de medidas.
Recordemos que ya utilizamos esta modalidad anteriormente cuando resumimos las propiedades
de una muestra en medidas de ubicación y dispersión. Para efectuar ese resumen son importantes
dos propiedades denominadas Valor Esperado y Varianza. La primera representa la condición
promedio de la variable en una gran cantidad de realizaciones del experimento; la segundo
sintetiza la variabilidad de esa propiedad respecto al valor medio.
La elección de una variable aleatoria apropiada y la identificación de su distribución de
probabilidades es un paso fundamental en el análisis de fenómenos que dependen del azar.
VARIABLES
DISCRETAS
VARIABLES
CONTINUAS
Características
E(X): 
V(X): 2
Asimetría: 

Unidad 2
40
Operaciones
Esquema Conceptual.
Experimentos
Aleatorios
Eventos
PROBABILIDAD
Suma
P (AUB)
Producto
P (A∩B)
VARIABLES
ALEATORIAS
Distribuciones de
Probabilidades
Propiedades

Unidad 2
41
Objetivos.
• Definir e interpretar los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y eventos.
• Interpretar el concepto de probabilidad.
• Reconocer las formas de asignación y las propiedades de la probabilidad.
• Operar aritméticamente con probabilidades para resolver situaciones problemáticas.
• Definir e interpretar el concepto de variable aleatoria.
• Identificar la distribución de probabilidades de una variable aleatoria.
• Evaluar las propiedades de una variable aleatoria.
• Aplicar esos conocimientos y habilidades para el análisis de problemas reales.
Contenidos.
• Conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y eventos.
• Definición de probabilidad.
• Propiedades y axiomas de probabilidad.
• Asignación de probabilidades.
• Operaciones con probabilidades.
• Conceptos de variable aleatoria, distribución de probabilidades y propiedades de la
misma.
• Variables aleatorias discretas y continuas.
• Propiedades de una variable aleatoria.
Cuestionario Orientador para la Investigación Bibliográfica.
1) ¿Qué se entiende por experimento aleatorio? Explique en qué consiste el espacio muestral de
un experimento aleatorio. ¿Qué es un suceso (o evento)?
2) ¿Cómo se puede definir el concepto de probabilidad? ¿Cuáles son sus propiedades?
3) Explique de qué manera se pueden asignar probabilidades, y cuál es la regla general de
asignación.
4) Explique qué significa afirmar que dos sucesos sean: excluyentes, exhaustivos,
independientes. ¿Qué se entiende por complemento de un suceso?
5) ¿En que consisten las reglas de la suma y del producto de probabilidades? ¿Para qué se
utilizan?

Unidad 2
42
6) ¿Cómo afecta la regla de la suma el hecho de que los eventos sean excluyentes o no
excluyentes?
7) ¿Cómo afecta la regla de la multiplicación el hecho de que los eventos sean dependientes o
independientes?
8) Elabore una definición de probabilidad condicional, y explique cómo se calcula.
9) ¿Qué es una variable aleatoria? ¿Qué representa la distribución de probabilidades de una
variable aleatoria?
10) ¿Cuál es la diferencia entre las variables aleatorias discretas y continuas? ¿Cómo es la
representación gráfica de c/u?
11) ¿Cuáles son las propiedades de una función de probabilidad? ¿Y de una función de densidad
de probabilidad?
12) ¿Qué es la función de distribución acumulada? ¿Para qué se utiliza? ¿Cómo se la calcula?
13) ¿De qué manera se puede caracterizar el comportamiento de una variable aleatoria (o de su
distribución de probabilidades)?
14) Explique cómo se calcula el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria. Indique
qué significado tiene cada una de esas cantidades estadísticas. Analice, además, las propiedades
de la esperanza y la varianza.
Ejercicios Propuestos.
1. Proponer ejemplos de Experimentos Aleatorios. Para cada experimento determinar si el
espacio muestral es de tamaño finito o infinito. Dentro de cada espacio definir eventos
excluyentes y eventos no excluyentes. Acordar con el grupo el significado de la afirmación
“un evento ha ocurrido”.
2. El texto propone determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento contando la cantidad
de puntos favorables y la cantidad de posibles en el espacio muestral, y luego hacer:
P(A) = nA / n en cambio, en la introducción se planteó:
P(A) = lim ( nA / n )
n  
Elaborar una opinión sobre las situaciones en las que se aplica cada regla. Decidir cuál de
ellas es la general.

Unidad 2
43
3. Un edificio tiene dos ascensores. La probabilidad que en un cierto momento funcione el
ascensor A es de 0,90; por su parte, la probabilidad de que funcione B es de 0,80; la
probabilidad que funcionen los dos de manera independiente es 0,72. Si en un día de cuarenta
grados llegamos al edificio para visitar a un amigo que vive en el décimo piso, ¿cuál es la
probabilidad de que no se deba subir por la escalera?
4. De un mazo de naipes españoles (40 naipes) se extrae una carta al azar. Determinar la
probabilidad de que:
a) la carta sea un REY
b) la carta sea una COPA
c) la carta sea un REY o una COPA.
d) la carta no sea ni REY ni COPA.
5. Proponer ejemplos en que se apliquen los conceptos de probabilidad condicional y de
independencia.
6. En términos de probabilidades: ¿es lo mismo decir: P( AB ) que P( BA )?
7. En una caja hay diez piezas, de las cuales siete son Buenas (B) y las restantes son
Defectuosas (D). Se extraen dos piezas, sucesivamente y sin reposición.
a) Determinar la Probabilidad de que:
- las dos sean buenas.
- la 1º sea buena y la 2º defectuosa.
- la 1º sea defectuosa y la 2º buena.
- las dos sean defectuosas.
b) Listar todos los eventos compuestos del punto anterior y verificar que la suma de sus
probabilidades sea uno.
c) Calcular la Probabilidad de que la primera pieza sea Buena y comparar con la
Probabilidad Marginal del resultado Buena.
d) Calcular la Probabilidad de que la segunda pieza sea Buena y comparar con la
Probabilidad Marginal del resultado Buena.
8. Los eventos pueden ser clasificados en
Excluyentes o No excluyentes
Dependientes o Independientes
Establecer relaciones entre las dos clasificaciones posibles, desarrollando proposiciones del
tipo: “Si dos eventos son excluyentes entonces son .....”.
9. Una planta extractora de aceite recibe de tres fincas cargamento con olivares. En porcentaje la
cantidad que recibe de la Finca “Del Sol” es 15%, Finca “Las Tres Maria” 27% y de la Finca
“Agrocatamarca” 58%, siendo la proporción de cultivares en mal estado 5%, 7% y 17%
respectivamente. Las distintas fincas tienen un porcentaje de materia prima en mal estado

Unidad 2
44
debido al sistema de recolección. Este sistema consiste en recoger los cultivos que están en la
tierra de los cuales una parte considerable presentan un estado de putrefacción. El Gerente de
Calidad necesita saber: ¿cuál es la probabilidad de que la planta extractora de aceite reciba un
cargamento con olivares en mal estado? Si esa probabilidad sobrepasa el 10% les exigirá a
cada una de las fincas optimizar la recolección para de esta manera obtener menor porcentaje
de semillas en mal estado.
10. En la producción de la corona de una caja de cambio para automóvil, las operaciones
fundamentales son:
Dentado: en la cual se crean los dientes cortando el acero;
Afeitado: donde se logra la terminación de la pieza, asegurando características como
diámetro, hélice, envolvente, separación entre dientes, excentricidad, etc.
La probabilidad de encontrar una pieza que no cumpla con las especificaciones técnicas (No
conformidad (NC) como consecuencia de problemas en el dentado es 0,05, en tanto que por
fallas de afeitado asciende a 0,12. Por otra parte, la probabilidad que la pieza presente
defectos en las dos operaciones es de 0,03.
a) Determinar la probabilidad que una pieza se considere No Conforme por alguno de
esos dos motivos.
b) Determinar la probabilidad que falle el afeitado, dado que ha fallado el dentado.
c) ¿Son independientes los dos tipos de no conformidad?.
11. Una fábrica se abastece de dos fuentes de energía, denominadas A y B. La probabilidad de
que la fuente A funcione es de 0.97, que funcione B es 0.985, y que funcionen ambas
simultáneamente es de 0.965. Responder:
a) ¿Son independientes ambas fuentes de abastecimiento? Justificar.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que funcione la fuente B sabiendo que está funcionando
A?
12. Una fábrica distribuye el modelo M24 de cortadora de césped en el interior de la provincia,
haciendo la entrega en tiempo y forma el 85% de las veces. De las entregas que realiza en
tiempo y forma, sólo el 2% presenta defectos en su embalaje; en tanto que de las entregas que
no realizan en tiempo y forma, el 3% presenta defectos en su embalaje.
a) Calcule la probabilidad de que un pedido presente defectos en su embalaje y no llegue en
tiempo y forma.
b) Si una entrega no presenta defectos en su embalaje ¿Cuál es la probabilidad de que haya
llegado en tiempo y forma
13. En un proceso productivo un obrero atiende 3 máquinas M1, M2 y M3 que funcionan
independientemente. En un día cualquiera la probabilidad de falla de M1 es 0,1, mientras que
para las otras máquinas es de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado
fallen dos máquinas?
14. En una fábrica hay dos máquinas M1 y M2 para producir los componentes de un aparato. M1
produce el 40% de las componentes y M2 el 60%. Se sabe que el 5% de los componentes
producidos por M1 y que el 2% de los producidos por M2, son defectuosos. Si un elemento
defectuoso es extraído al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por M1?.

Unidad 2
45
15. La confiabilidad o fiabilidad (R) se define como la probabilidad de que un sistema funcione
adecuadamente durante un período dado en su aplicación prevista. La siguiente figura
esquematiza un sistema constituido por tres componentes tales que, el sistema cumple
adecuadamente con su objetivo si funciona el dispositivo S1 y alguno de los dispositivos S2 o
S3. Con base en lo anterior y los valores de fiabilidad de cada dispositivo, calcule la fiabilidad
del sistema de la figura sabiendo que: R(S1)= 0.8 R(S2)= 0.6 R(S3)= 0.9
16. Los siguientes esquemas representan sendos procesos que se desarrollan en cierta fábrica. Con
el objetivo de calcular la fiabilidad de cada sistema se estudia la confiabilidad de cada
subsistema. Considere los valores de confiabilidad indicados más abajo para cada
susbsistema.
R(S1) = 0.02 y R(S2) = 0.06 en ambos casos. Suponiendo que los subsistemas funcionan
independientemente, calcule la fiabilidad de cada sistema.
17. Se considera una célula en el instante t=0. En el instante t=1 la célula puede: o bien
reproducirse, dividiéndose en dos con probabilidad 3/4, o bien morir con probabilidad 1/4.
Si la célula se divide, entonces en el tiempo t=2 cada uno de sus dos descendientes puede
también subdividirse o morir, con las mismas probabilidades que antes, independientemente
uno de otro. En el tiempo t=2, ¿cuál es la cantidad máxima posible de células y cuál es la
probabilidad de que se dé dicha cantidad?
18. Sean A y B dos sucesos asociados con un determinado experimento. Se sabe que P(A) = 0.4
y que P(AB) = 0.7. Calcular la probabilidad del suceso B, bajo las siguientes condiciones:
- Los sucesos son excluyentes.
- Los sucesos son independientes.
a) Sistema 1
Subsistema 1
Subsistema 2
b) Sistema 2 Subsistema 1 Subsistema 2
S 1
S 2
S 3
Entrada Salida

Unidad 2
46
19. En una encuesta de mercado para un supermercado se clasificó a 1000 clientes del negocio
según el sexo y su lugar de residencia (ya sea en el barrio donde se sitúa el negocio -Local-
o en barrios vecinos -Alrededores-). La proporción de los clientes que responden a cada
una de las 4 categorías son:
Hombres Mujeres
Local 0,17 0,67
Alrededores 0,04 0,12
Suponiendo que se selecciona al azar de este grupo una persona cualquiera. Calcular:
a) La probabilidad de que el cliente resida en los alrededores.
b) La probabilidad de que el cliente sea hombre.
c) La probabilidad de que el cliente sea mujer y viva en el barrio.
d) Determinar la cantidad de clientes mujeres que tiene el negocio.
e) ¿Cuántos clientes son del propio barrio?
f) ¿Qué proporción de los clientes femeninos del negocio son de barrios vecinos?
20. Una empresa de transporte de cargas desea investigar las características del servicio que
brinda. Interesa en particular uno de dichos servicios. Se trata del viaje entre dos ciudades, a
las cuales puede denominarse como A y B.
En este momento se investiga si existe asociación entre el tiempo que insumen los camiones
en realizar dicho viaje y el hecho de que hayan sido controlados por la caminera. A los fines
de organizar la información, se categoriza el tiempo (medido en minutos) en tres categorías a
saber:
 Normal (Más de 689 minutos y menos de 806 minutos)
 Menos de lo normal (Entre 571 minutos y 689 minutos)
 Más de lo normal (Entre 806 minutos y 904 minutos)
Con base en la información obtenida a partir de un gran número de viajes, se obtienen dos tablas
de contingencia. La primera de las tablas se muestra a continuación:
Controles
Tuvo No tuvo
Tiempo de viaje
(en minutos)
Más de lo normal 0,1 0,22
Normal 0,18 0,40 0,58
Menos de lo normal
0,10
0,30
Tabla 1
Como notará la tabla está incompleta, será necesario completar dicha información y justificar
adecuadamente los pasos instrumentados para tal fin.
a) Identifique el tipo de probabilidades que utiliza para completar la tabla.
b) Explicite el evento cuya probabilidad de ocurrencia es 0,18. Indique el tipo de evento.
c) Calcule la probabilidad de que un camión elegido al azar haya tenido control caminero
o el tiempo de viaje haya sido el esperado.

Unidad 2
47
d) Se sabe de antemano que el tiempo que ha insumido un viaje es más de lo esperado.
Indique la probabilidad de que no haya sido controlado por la caminera. ¿Qué puede
decir acerca de la independencia de estas situaciones?
e) La situación que dio motivo a la confección de la tabla precedente (Tabla 1) era
determinar si existe asociación entre el tiempo que insumen los camiones en realizar el
viaje y el hecho de que hayan sido controlados por la caminera. A partir de la
información presentada en la correspondiente tabla, ¿es posible resolver dicho
interrogante? En caso de ser posible realice el procedimiento correspondiente y
justifíquelo.
f) Otra de las tablas confeccionada es la siguiente:
Más de lo normal Normal Menos de lo normal
Tuvo 0,33 0,60 0,07
No tuvo 0,31 0,57 0,11
Tabla 2
Caracterice la información presentada en la Tabla 2. Establezca las comparaciones
pertinentes con la información presentada en la Tabla 1.
IMPORTANTE: Recomendamos realizar una síntesis de lo abordado hasta el momento al
respecto de las operaciones que pueden realizarse con las probabilidades, como también las
propiedades que permitan optimizar las estrategias de cálculo
21. Las variables aleatorias tienen siempre una población y una función de probabilidad.
Proponer ejemplos y construir los correspondientes gráficos.
22. Sea el experimento consistente en arrojar dos monedas y ver la cara expuesta. Especifique el
espacio muestral de este experimento. Se define la variable aleatoria X: Número de caras en
dos lanzamientos. Determinar la distribución de probabilidades de X y confeccionar el gráfico
de la función de probabilidad.
23. Calcular la Función de Distribución Acumulada para la variable aleatoria del ejercicio
anterior. Calcular la probabilidad de que se obtengan menos de dos caras en los dos
lanzamientos de la moneda, y que se obtenga al menos 1 cara.
24. Un distribuidor comercializa un artículo que tiene un precio unitario de $ 20. Sin embargo
sus clientes le reconocen los siguientes adicionales:
- $ 18 si es embarcado de la fábrica en buenas condiciones y llega a tiempo;
- $ 8 si es embarcado en la fábrica en buenas condiciones, pero llega fuera de plazo.
Además se dispone de la siguiente información:
- El 50% de los artículos llegan a tiempo y son embarcados en buenas condiciones.
- El 30% tienen buenas condiciones pero no llegan a tiempo.
- El 20% no son embarcados en buenas condiciones
¿Cuál es el ingreso medio que puede esperar el distribuidor por artículo?

Unidad 2
48
25. Un empleado de un concesionario de ventas de gaseosas en un estadio de fútbol debe elegir
entre trabajar en el mostrador recibiendo una suma fija de $ 50 por jornada, o recorrer las
tribunas trabajando a comisión. Si elige esta última alternativa, el empleado puede ganar $ 90
durante una noche calurosa, $ 70 en una noche templada, $ 45 en una noche fresca y $ 15 en
una noche fría. En la época del año considerada las probabilidades de noche calurosa,
templada, fresca y fría son respectivamente 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2. Determinar que forma de
trabajo le conviene elegir a este empleado, justificando la respuesta.
26. Un Fondo de Inversión tiene una cierta cantidad de dinero para invertir, y dispone de tres
alternativas de inversión. Los resultados -Ganancia o Pérdida- de cada alternativa dependen de
la evolución de la economía, de acuerdo a lo que se indica en la siguiente tabla:
Evolución de la Economía Alternativa A Alternativa B Alternativa C
Declina $ 500 -$ 2000 - $ 7000
Se mantiene estacionaria $ 1000 $ 2000 - $ 1000
Se expande $ 2000 $ 5000 $ 20000
En base a su experiencia el Fondo de Inversión sabe que existe una probabilidad de 0,30 de
que la economía decline, de 0,50 de que se mantenga estacionaria, y de 0,20 de que se
expanda. Analizar estos datos e identificar la mejor alternativa.
27. Tres máquinas funcionan en paralelo. La probabilidad de que una máquina cualquiera no
funcione es de 0,30. Se define la variable aleatoria X: Nº de máquinas paradas en un instante
dado.
a. Determinar la distribución de probabilidades de dicha variable y calcular las
probabilidades de que en un instante cualquiera haya paradas menos de dos
máquinas. que haya paradas dos ó más máquinas; que haya paradas una ó dos
máquinas.
b. Calcular el valor esperado y la varianza de la variable. Interpretar resultados.
28. Se desea usar la función f(x)=a.x2
definida para 0  x  1 como función de densidad de
probabilidad. Determinar el valor de la constante a y calcular la función de distribución
acumulada.
29. Una compañía que realiza perforaciones para agua, evalúa los resultados obtenidos para los
pozos realizados con una calificación que va entre cero (fracaso total) y uno (éxito total).
En base a experiencias previas se ha determinado que la v.a. “X: calificación asignada a un
pozo” se puede modelar mediante la siguiente f.d.p.: f(x) = 2x para 0  x  1.
a. Determinar si f(x) cumple con las condiciones de una función de densidad de
probabilidad.
b. En caso afirmativo, dibujar e interpretar la forma de dicha función.
c. Determinar la función de distribución acumulada.
d. Calcular la probabilidad de que una calificación sea menor a 0,9, que sea mayor a
0,9, y que esté entre 0,6 y 0,9.
e. Calcular el valor esperado y la varianza de la variable. Interpretar.

Unidad 3
49
Unidad 3: MODELOS de PROBABILIDADES.
Introducción.
Al analizar el tema Probabilidades encontramos que la forma de determinar la posibilidad
de que ocurra un evento consiste en realizar muchas veces el experimento aleatorio y calcular la
frecuencia relativa de la aparición del suceso. Expresado formalmente esto es:
P(A) = lim ( nA / n )
n  
Pero debemos reconocer que esto no resulta demasiado práctico a nivel operativo, para la mayor
parte de los problemas que se nos pueden presentar en la realidad.
Supongamos por ejemplo que para dimensionar una Playa de Estacionamiento
necesitamos evaluar la probabilidad que en un minuto lleguen entre 5 y 10 autos. Si sólo
contamos con la expresión anterior, tendremos que realizar millones de veces la medición durante
un minuto. Pensemos en otro ejemplo: necesitamos conocer la posibilidad que una persona mida
más de 1,80 mts. En ese caso podremos encontrar la respuesta midiendo “apenas” seis ó siete
millones de personas.
Existe una forma de evitar tantas mediciones, y es la utilización de los Modelos de
Probabilidades, que son funciones que representan la distribución de probabilidades esperada de
una variable aleatoria. Es decir, frente a un problema concreto se define una variable que
represente a los posibles resultados de la experimentación y se selecciona una función que
distribuya las probabilidades sobre esos valores.
Si bien la identificación de la distribución de probabilidades de una variable aleatoria puede ser
sencilla en algunos casos, como en el ejemplo de las tiradas de las tres monedas que vimos en la
Unidad anterior, donde pudimos identificar con facilidad la Población de la variable y su Función
de Probabilidad, un cálculo parecido no es factible en la mayor parte de las aplicaciones reales.
Esto es lo que justifica el uso de los modelos.
Imaginemos ejemplos tan comunes como los de las variables: Estatura o Cantidad de
personas que llegan a un Banco por minuto. Allí no es posible una deducción analítica y por lo
tanto queda sólo el recurso de la observación directa. ¿Es imprescindible realizar millones de
mediciones para identificar la distribución de probabilidades propia de cada variable? La
respuesta es NO. Afortunadamente los matemáticos han desarrollado funciones que permiten
valorar probabilidades asociadas a diferentes variables. Dichas funciones reciben en algunos
textos la denominación de Distribuciones Especiales de Probabilidades.
En esta Asignatura, las llamaremos Modelos, porque constituyen herramientas que
permiten representar de manera simplificada a las verdaderas distribuciones de probabilidades de
una variable aleatoria.
Nuestro problema entonces, se reduce a identificar la variable aleatoria asociada al estudio que
realizamos y elegir el modelo de probabilidades más conveniente para representar el
comportamiento de dicha variable. Estos Modelos en general constituyen excelentes

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