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Métodos numéricos
Juan Manuel Izar Landeta
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Director Editorial
Marcelo Grillo Giannetto
mgrillo@alfaomega.com.mx
Jefe de Ediciones
Francisco Javier Rodríguez Cruz
jrodriguez@alfaomega.com.mx
Datos catalográficos
Izar Landeta, Juan Manuel
Métodos numéricos. Con simulaciones
y aplicaciones
Primera Edición
Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. México
Páginas: 408
Formato: 17 x 23 cm
Juan Manuel Izar Landeta
Juan Manuel Izar Landeta
Derechos reserv
Derechos reservados ©
ados © Alf
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de C.V., Mé
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Primera edición: Alfaomega Grupo Editor, México, enero 2018
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Dr. Isidoro Olvera (Eje 2 sur) No. 74, Col. Doctores, C.P. 06720, Cuauhtémoc, Ciudad de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro No. 2317
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Acerca del autor
Juan Manuel Izar Landeta
Es ingeniero químico con dos maestrías, una
en ingeniería y otra en alta dirección, además
es doctor en administración. Ha escrito quince
libros con diferentes editoriales, un centenar
de artículos de investigación y divulgación,
y más de setenta ponencias en congresos
nacionales e internacionales. Es miembro del
Sistema Nacional de Investigadores (SNI) y
cuenta con treinta y cinco años de experiencia
en el ámbito docente, pertenece actualmente
a la Universidad del Centro de México.
Agradecimientos
Aprovecho este espacio para externar agradecimiento a la institución donde colabo-
ro, así como a varias personas.
En primer lugar, a la Universidad del Centro de México y su rector, el Lic. Er-
nesto Rafael Canseco del Valle, por darme la oportunidad de participar en el ámbito
académico y para la cual espero retribuir favorablemente en la formación integral de
sus alumnos.
A mi esposa, Ina, compañera amorosa y afable a lo largo de treinta y siete años,
quien ha sido mi mayor bendición y quien me ha permitido seguir con ánimo en la
vida.
A mis hijos, Ana, Juan y Jorge, a mi nieta Sophia Madeleine, así como a mi yer-
no Mark y mi nuera Caitlin, quienes dan sentido de trascendencia a mi vida al ver lo
que se puede alcanzar en el tiempo y el espacio.
A mis hermanas, cuñados y suegra, quienes me han brindado su apoyo y amistad
en todo momento.
Una mención especial con mi profundo agradecimiento al Ing. Julio Rivera
Juárez, por su invaluable apoyo para la resolución y planteamiento de los problemas
del libro resueltos con Matlab.
Finalmente, menciono a mis amigos, quienes no pueden faltar en este espacio,
ya que un amigo es un ser único con quien contamos a pesar de la distancia, las di-
ferencias de edad, género o quehacer. En mi lista cuento a Alfredo Haro y su esposa
Aracely, a Berenice Ynzunza, a Luis Armando Bernal, a Norma, Margarita, Héctor
López, Chavo Gallegos y Patricio Moncayo, quienes al brindarme su amistad me
hacen ser mejor persona.
Mensaje del editor
Una de las convicciones fundamentales de Alfaomega es que los conocimientos son
esenciales en el desempeño profesional, ya que sin ellos es imposible adquirir las
habilidades para competir laboralmente. El avance de la ciencia y de la técnica hace
necesario actualizar continuamente esos conocimientos, y de acuerdo con esto Al-
faomega publica obras actualizadas, con alto rigor científico y técnico, y escritas por
los especialistas del área respectiva más destacados.
Consciente del alto nivel competitivo que debe de adquirir el estudiante durante
su formación profesional, Alfaomega aporta un fondo editorial que se destaca por
sus lineamientos pedagógicos que coadyuvan a desarrollar las competencias reque-
ridas en cada profesión específica.
De acuerdo con esta misión, con el fin de facilitar la comprensión y apropiación
del contenido de esta obra, cada capítulo inicia con el planteamiento de los objeti-
vos del mismo y con una introducción en la que se plantean los antecedentes y una
descripción de la estructura lógica de los temas expuestos, asimismo, a lo largo de
la exposición se presentan ejemplos desarrollados con todo detalle y cada capítulo
concluye con un resumen y una serie de ejercicios propuestos.
Los libros de Alfaomega están diseñados para ser utilizados en los procesos de
enseñanza aprendizaje, y pueden ser usados como textos en diversos cursos o como
apoyo para reforzar el desarrollo profesional, de esta forma Alfaomega espera con-
tribuir a la formación y al desarrollo de profesionales exitosos para beneficio de
la sociedad, y espera ser su compañera profesional en este viaje de por vida por el
mundo del conocimiento.
Contenido
Introducción..........................................................................................................................IX
Capítulo 1
Introducción a los métodos numéricos....................................................1
1.1 Introducción.........................................................................................................2
1.2 Definiciones recurrentes.......................................................................................2
1.3 Ejemplos con Matlab.........................................................................................13
1.4 Problemas propuestos........................................................................................16
1.4.1 Problemas propuestos con Matlab...........................................................20
Capítulo 2
Ecuaciones algebraicas no lineales....................................................... 23
2.1 Introducción.......................................................................................................24
2.2 Determinación de raíces nulas y regla de los signos de Descartes..................25
2.3 Métodos numéricos............................................................................................26
2.4 Ejemplos con Matlab.........................................................................................45
2.5 Problemas propuestos........................................................................................52
2.5.1 Problemas propuestos con Matlab...........................................................58
Capítulo 3
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales........................................59
3.1 Introducción.......................................................................................................60
3.2 Clasificación de los sistemas mediante el concepto de rango de la matriz........61
3.3 Métodos de solución de sistemas......................................................................63
3.3.1 Método gráfico..........................................................................................63
3.3.2 Solución por determinantes......................................................................64
3.3.3 Método de Gaus........................................................................................68
3.3.4 Método de Gaus.............................................................................71
3.3.5 Método del pivote máximo.......................................................................73
3.3.6 Método del pivote parcial.........................................................................75
3.3.7 Método de Gauss Seidel...........................................................................77
3.3.8 Algoritmo de Thomas..............................................................................83
3.4 Ejemplos con Matlab.........................................................................................87
3.5 Problemas propuestos........................................................................................93
3.5.1 Problemas propuestos con Matlab............................................................99
Capítulo 4
Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.................................101
4.1 Introducción.....................................................................................................102
Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta
VI Contenido
4.2 Métodos numéricos para ecuaciones no lineales............................................102
4.2.1 Método de aproximaciones sucesivas.....................................................102
4.2.2 Método de New Raphson generalizado.................................................107
4.2.3 Método de Wegstein..............................................................................110
4.2.4 Método de ordenamiento de precedencia...............................................113
4.3 Ejemplos con Matlab.......................................................................................117
4.4 Problemas propuestos......................................................................................120
4.4.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................124
Capítulo 5
Ajuste de datos........................................................................................125
5.1 Introducción.....................................................................................................126
5.2 Regresión lineal simple....................................................................................126
5.3 Regresión lineal múltiple.................................................................................138
5.4 Regresión polinomial.......................................................................................148
5.5 Linearización de modelos no lineales.............................................................152
5.6 Ejemplos con Matlab.......................................................................................159
5.7 Problemas propuestos......................................................................................165
5.7.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................173
Capítulo 6
Interpolación............................................................................................175
6.1 Introducción.....................................................................................................176
6.2 Fórmulas de Newton de diferencias divididas................................................177
6.3 Fórmulas de Newton para puntos equidistantes por diferencias
ascendentes o descendentes
. ...........................................................................181
6.4 Polinomio de Lagrange....................................................................................186
6.5 Interpolación con diversas variables independientes.......................................193
6.6 Ejemplos con Matlab.......................................................................................198
6.7 Problemas propuestos......................................................................................202
6.7.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................208
Capítulo 7
Derivación numérica...............................................................................209
7.1 Introducción.....................................................................................................210
7.2 Fórmulas para obtener la derivada..................................................................211
7.2.1 Fórmulas de Newton...............................................................................211
7.2.2 Fórmulas de 3 puntos..............................................................................213
7.2.3 Fórmulas de 5 puntos..............................................................................214
7.3 Derivadas de orden superior............................................................................216
7.4 Ejemplos con Matlab.......................................................................................221
Alfaomega
Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta
VII
Contenido
7.5 Problemas propuestos......................................................................................223
7.5.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................226
Capítulo 8
Integración numérica..............................................................................227
8.1 Introducción.....................................................................................................228
8.2 Metodologías de integración numérica............................................................229
8.2.1 Método de los rectángulos......................................................................229
8.2.2 Fórmulas de Newton Cotes.....................................................................231
8.2.3 Integración con intervalos desiguales.....................................................241
8.2.4 Algoritmo de integración de Romberg....................................................244
8.2.5 Cuadraturas de Gauss.............................................................................249
8.3 Ejemplos con Matlab.......................................................................................257
8.4 Problemas propuestos......................................................................................260
8.4.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................265
Capítulo 9
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)...........................................267
9.1 Introducción.....................................................................................................268
9.2 Métodos de un paso.........................................................................................268
9.2.1 Método de Euler.....................................................................................269
9.2.2 Métodos de Runge Kutta....................................................................... 272
9.3 Sistemas de EDO con condiciones iniciales...................................................283
9.3.1 Sistemas de EDO de orden 1..................................................................283
9.3.2 EDO de órdenes superiores....................................................................286
9.4 Métodos de pasos múltiples.............................................................................289
9.4.1 Método de Heun sin principio................................................................289
9.4.2 Método de Milne de cuarto orden...........................................................294
9.4.3 Método de Adams de cuarto orden.........................................................296
9.5 Ejemplos con Matlab.......................................................................................299
9.6 Problemas propuestos......................................................................................302
9.6.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................314
Capítulo 10
EDO con condiciones de fronteras separadas.....................................317
10.1 Introducción...................................................................................................318
10.2 Método del disparo........................................................................................319
10.3 Método de las diferencias finitas....................................................................324
10.4 Ejemplos con Matlab.....................................................................................333
10.5 Problemas propuestos....................................................................................337
10.5.1 Problemas propuestos con Matlab........................................................342
Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta
VIII Contenido
Capítulo 11
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP).............................................343
11.1 Introducción...................................................................................................344
11.2 EDP Elípticas.................................................................................................345
11.3 EDP Parabólicas.............................................................................................349
11.3.1 Método de diferencias finitas progresivas.............................................350
11.3.2 Método de diferencias finitas regresivas...............................................353
11.3.3 Método de Crank Nicolson...................................................................357
11.4 EDP Hiperbólicas...........................................................................................361
11.5 Ejemplos con Matlab.....................................................................................368
11.6 Problemas propuestos....................................................................................380
11.6.1 Problemas propuestos con Matlab........................................................389
Índice analítico.......................................................................................................397
Apéndice................................................................................................................391
Bibliografía............................................................................................................395
Introducción
El libro presenta los métodos numéricos más usados en el ámbito ingenieril para la
solución de diversas ecuaciones.
Para una mejor comprensión del mismo, se ilustra cada método con ejemplos,
los cuales muestran claramente cómo deben aplicarse para solucionar los casos.
Se incluyen ochenta y ocho ejemplos resueltos y doscientos cinco problemas
propuestos con sus resultados; asimismo, en cada capítulo se han incluido ejemplos
resueltos con Matlab y problemas propuestos con resultados.
El primer capítulo es introductorio e incluye algunas definiciones útiles para
una comprensión adecuada del texto, así como gráficos en escalas semilogarítmica
y logarítmica.
En el segundo capítulo se presentan varios métodos numéricos para la solución
de ecuaciones algebraicas no lineales: cerrados, como la bisección, la falsa posición
y la interpolación inversa; así como métodos abiertos, como iteración de punto fijo,
la secante y el Newton Raphson.
En el tercer capítulo se presentan metodologías para la solución de sistemas de
ecuaciones algebraicas simultáneas, como el método gráfico, usado para sistemas
de dos ecuaciones con dos incógnitas, la regla de Cramer para solución de sistemas
mediante determinantes, los métodos de Gauss, Gauss Jordan, Pivote Máximo, Pivo-
teo Parcial, la metodología de Gauss Seidel para sistemas iterativos y el algoritmo de
Thomas, aplicado para el caso de sistemas tridiagonales.
En el capítulo cuatro se presentan métodos para la solución de sistemas de ecua-
ciones algebraicas no lineales, como el de aproximaciones sucesivas, Newton Raph-
son generalizado, Wegstein y el de ordenamiento de precedencia de las ecuaciones.
El quinto capítulo presenta métodos para el ajuste de datos, incluye la regresión
lineal simple, la regresión lineal múltiple y la regresión polinomial, así como el tema
de la linearización de modelos no lineales.
El sexto capítulo presenta técnicas de interpolación, como las fórmulas de New-
ton de diferencias divididas, las fórmulas de Newton para puntos equidistantes por
diferencias ascendentes o descendentes, el polinomio de Lagrange para puntos no
equidistantes y la interpolación con dos variables independientes.
El capítulo siete incluye fórmulas para calcular las derivadas numéricas de fun-
ciones, como son las de Newton, las fórmulas de tres puntos, las de cinco puntos y
fórmulas para derivadas de órdenes superiores.
El octavo capítulo trata de la integración numérica e incluye el método de los
rectángulos, las fórmulas de Newton Cotes (regla trapezoidal y las fórmulas de
Simpson de 1/3 y 3/8), el algoritmo de Romberg y las cuadraturas de Gauss (Legen-
dre, Laguerre, Chebyshev y Hermite).
En el noveno capítulo se presentan métodos de solución numérica de ecuaciones
diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de un paso, como el de Euler, métodos
Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta
X Introducción
de segundo orden como las fórmulas de Runge Kutta, el método de Heun, el mejora-
do del polígono y el de Ralston, fórmulas de Runge Kutta de tercero y cuarto orden,
asimismo se tratan sistemas de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales,
de órdenes superiores y, finalmente, algunos métodos de pasos múltiples como el de
Heun de segundo orden y Milne y Adams de cuarto orden.
El capítulo diez trata los problemas de contorno, es decir, ecuaciones diferencia-
les con condiciones de frontera separadas, incluyendo dos técnicas de solución de las
mismas: el método del disparo y el de diferencias finitas.
Finalmente, el capítulo once presenta técnicas para resolver numéricamente
ecuaciones diferenciales parciales, incluye los tres tipos: las elípticas, las parabóli-
cas, que se resuelven con diferencias finitas progresivas, regresivas, con la metodolo-
gía de Crank Nicolson, y las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas.
Juan Manuel Izar Landeta
Universidad del Centro de México
México

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  • 1.
  • 2. Métodos numéricos Juan Manuel Izar Landeta Buenos Aires • Bogotá • Ciudad de México • Santiago de Chile
  • 3. Director Editorial Marcelo Grillo Giannetto mgrillo@alfaomega.com.mx Jefe de Ediciones Francisco Javier Rodríguez Cruz jrodriguez@alfaomega.com.mx Datos catalográficos Izar Landeta, Juan Manuel Métodos numéricos. Con simulaciones y aplicaciones Primera Edición Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. México Páginas: 408 Formato: 17 x 23 cm Juan Manuel Izar Landeta Juan Manuel Izar Landeta Derechos reserv Derechos reservados © ados © Alf Alfaome aomeg ga Grupo Editor a Grupo Editor, S.A. , S.A. de C.V de C.V., Mé ., México xico Primera edición: Alfaomega Grupo Editor, México, enero 2018 © 2018 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. México Dr. Isidoro Olvera (Eje 2 sur) No. 74, Col. Doctores, C.P. 06720, Cuauhtémoc, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Pág. Web: http://www.alfaomega.com.co E-mail: cliente@alfaomegacolombiana.com Imagen de la portada: Senoldo/Shutterstock.com ISBN: 978-958-778-411-4 Derechos reservados: Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación en lengua española han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del pro-pietario de los derechos del copyright. Nota importante: La información contenida en esta obra tiene un fin exclusivamente didáctico y, por lo tanto, no está previsto su aprovechamiento profesional o industrial. Las indicaciones técnicas y programas incluidos han sido elaborados con gran cuidado por el autor y reproducidos bajo estrictas normas de control. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. no será jurídicamente responsable por: errores u omisiones; daños y perjuicios que se pudieran atribuir al uso de la información comprendida en este libro, ni por la utilización indebida que pudiera dársele. Los nombres comerciales que aparecen en este libro son marcas registradas de sus propietarios y se mencionan únicamente con fines didácticos, por lo que ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. no asume ninguna responsabilidad por el uso que se dé a esta información, ya que no infringe ningún derecho de registro de marca. Los datos de los ejemplos y pantallas son ficticios, a no ser que se especifique lo contrario. Edición autorizada para venta en todo el mundo. Impreso en Colombia. Printed in Colombia Empresas del grupo: México: Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. – Dr. Isidoro Olvera (Eje 2 sur) No. 74, Col. Doctores, C.P. 06720, Del. Cuauhtémoc, Ciudad de México – Tel.: (52-55) 5575-5022 – Fax: (52-55) 5575-2420 / 2490. Sin costo: 01-800-020-4396 – E-mail: atencionalcliente@alfaomega.com.mx Colombia: Alfaomega Colombiana S.A. – Calle 62 No. 20-46, Barrio San Luis, Bogotá, Colombia, Tels.: (57-1) 746 0102 / 210 0122 – E-mail: cliente@alfaomegacolombiana.com Chile: Alfaomega Grupo Editor, S.A. – Av. Providencia 1443. Oficina 24, Santiago, Chile Tel.: (56-2) 2235-4248 – Fax: (56-2) 2235-5786 – E-mail: agechile@alfaomega.cl Argentina:Alfaomega Grupo EditorArgentino, S.A. –Av. Córdoba 1215, piso 10, CP: 1055, BuenosAires, Argentina, – Tel./Fax: (54-11) 4811-0887 y 4811 7183 – E-mail: ventas@alfaomegaeditor.com.ar
  • 4. Acerca del autor Juan Manuel Izar Landeta Es ingeniero químico con dos maestrías, una en ingeniería y otra en alta dirección, además es doctor en administración. Ha escrito quince libros con diferentes editoriales, un centenar de artículos de investigación y divulgación, y más de setenta ponencias en congresos nacionales e internacionales. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) y cuenta con treinta y cinco años de experiencia en el ámbito docente, pertenece actualmente a la Universidad del Centro de México. Agradecimientos Aprovecho este espacio para externar agradecimiento a la institución donde colabo- ro, así como a varias personas. En primer lugar, a la Universidad del Centro de México y su rector, el Lic. Er- nesto Rafael Canseco del Valle, por darme la oportunidad de participar en el ámbito académico y para la cual espero retribuir favorablemente en la formación integral de sus alumnos. A mi esposa, Ina, compañera amorosa y afable a lo largo de treinta y siete años, quien ha sido mi mayor bendición y quien me ha permitido seguir con ánimo en la vida. A mis hijos, Ana, Juan y Jorge, a mi nieta Sophia Madeleine, así como a mi yer- no Mark y mi nuera Caitlin, quienes dan sentido de trascendencia a mi vida al ver lo que se puede alcanzar en el tiempo y el espacio. A mis hermanas, cuñados y suegra, quienes me han brindado su apoyo y amistad en todo momento. Una mención especial con mi profundo agradecimiento al Ing. Julio Rivera Juárez, por su invaluable apoyo para la resolución y planteamiento de los problemas del libro resueltos con Matlab. Finalmente, menciono a mis amigos, quienes no pueden faltar en este espacio, ya que un amigo es un ser único con quien contamos a pesar de la distancia, las di- ferencias de edad, género o quehacer. En mi lista cuento a Alfredo Haro y su esposa Aracely, a Berenice Ynzunza, a Luis Armando Bernal, a Norma, Margarita, Héctor López, Chavo Gallegos y Patricio Moncayo, quienes al brindarme su amistad me hacen ser mejor persona.
  • 5. Mensaje del editor Una de las convicciones fundamentales de Alfaomega es que los conocimientos son esenciales en el desempeño profesional, ya que sin ellos es imposible adquirir las habilidades para competir laboralmente. El avance de la ciencia y de la técnica hace necesario actualizar continuamente esos conocimientos, y de acuerdo con esto Al- faomega publica obras actualizadas, con alto rigor científico y técnico, y escritas por los especialistas del área respectiva más destacados. Consciente del alto nivel competitivo que debe de adquirir el estudiante durante su formación profesional, Alfaomega aporta un fondo editorial que se destaca por sus lineamientos pedagógicos que coadyuvan a desarrollar las competencias reque- ridas en cada profesión específica. De acuerdo con esta misión, con el fin de facilitar la comprensión y apropiación del contenido de esta obra, cada capítulo inicia con el planteamiento de los objeti- vos del mismo y con una introducción en la que se plantean los antecedentes y una descripción de la estructura lógica de los temas expuestos, asimismo, a lo largo de la exposición se presentan ejemplos desarrollados con todo detalle y cada capítulo concluye con un resumen y una serie de ejercicios propuestos. Los libros de Alfaomega están diseñados para ser utilizados en los procesos de enseñanza aprendizaje, y pueden ser usados como textos en diversos cursos o como apoyo para reforzar el desarrollo profesional, de esta forma Alfaomega espera con- tribuir a la formación y al desarrollo de profesionales exitosos para beneficio de la sociedad, y espera ser su compañera profesional en este viaje de por vida por el mundo del conocimiento.
  • 6. Contenido Introducción..........................................................................................................................IX Capítulo 1 Introducción a los métodos numéricos....................................................1 1.1 Introducción.........................................................................................................2 1.2 Definiciones recurrentes.......................................................................................2 1.3 Ejemplos con Matlab.........................................................................................13 1.4 Problemas propuestos........................................................................................16 1.4.1 Problemas propuestos con Matlab...........................................................20 Capítulo 2 Ecuaciones algebraicas no lineales....................................................... 23 2.1 Introducción.......................................................................................................24 2.2 Determinación de raíces nulas y regla de los signos de Descartes..................25 2.3 Métodos numéricos............................................................................................26 2.4 Ejemplos con Matlab.........................................................................................45 2.5 Problemas propuestos........................................................................................52 2.5.1 Problemas propuestos con Matlab...........................................................58 Capítulo 3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales........................................59 3.1 Introducción.......................................................................................................60 3.2 Clasificación de los sistemas mediante el concepto de rango de la matriz........61 3.3 Métodos de solución de sistemas......................................................................63 3.3.1 Método gráfico..........................................................................................63 3.3.2 Solución por determinantes......................................................................64 3.3.3 Método de Gaus........................................................................................68 3.3.4 Método de Gaus.............................................................................71 3.3.5 Método del pivote máximo.......................................................................73 3.3.6 Método del pivote parcial.........................................................................75 3.3.7 Método de Gauss Seidel...........................................................................77 3.3.8 Algoritmo de Thomas..............................................................................83 3.4 Ejemplos con Matlab.........................................................................................87 3.5 Problemas propuestos........................................................................................93 3.5.1 Problemas propuestos con Matlab............................................................99 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.................................101 4.1 Introducción.....................................................................................................102
  • 7. Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta VI Contenido 4.2 Métodos numéricos para ecuaciones no lineales............................................102 4.2.1 Método de aproximaciones sucesivas.....................................................102 4.2.2 Método de New Raphson generalizado.................................................107 4.2.3 Método de Wegstein..............................................................................110 4.2.4 Método de ordenamiento de precedencia...............................................113 4.3 Ejemplos con Matlab.......................................................................................117 4.4 Problemas propuestos......................................................................................120 4.4.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................124 Capítulo 5 Ajuste de datos........................................................................................125 5.1 Introducción.....................................................................................................126 5.2 Regresión lineal simple....................................................................................126 5.3 Regresión lineal múltiple.................................................................................138 5.4 Regresión polinomial.......................................................................................148 5.5 Linearización de modelos no lineales.............................................................152 5.6 Ejemplos con Matlab.......................................................................................159 5.7 Problemas propuestos......................................................................................165 5.7.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................173 Capítulo 6 Interpolación............................................................................................175 6.1 Introducción.....................................................................................................176 6.2 Fórmulas de Newton de diferencias divididas................................................177 6.3 Fórmulas de Newton para puntos equidistantes por diferencias ascendentes o descendentes . ...........................................................................181 6.4 Polinomio de Lagrange....................................................................................186 6.5 Interpolación con diversas variables independientes.......................................193 6.6 Ejemplos con Matlab.......................................................................................198 6.7 Problemas propuestos......................................................................................202 6.7.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................208 Capítulo 7 Derivación numérica...............................................................................209 7.1 Introducción.....................................................................................................210 7.2 Fórmulas para obtener la derivada..................................................................211 7.2.1 Fórmulas de Newton...............................................................................211 7.2.2 Fórmulas de 3 puntos..............................................................................213 7.2.3 Fórmulas de 5 puntos..............................................................................214 7.3 Derivadas de orden superior............................................................................216 7.4 Ejemplos con Matlab.......................................................................................221
  • 8. Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta VII Contenido 7.5 Problemas propuestos......................................................................................223 7.5.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................226 Capítulo 8 Integración numérica..............................................................................227 8.1 Introducción.....................................................................................................228 8.2 Metodologías de integración numérica............................................................229 8.2.1 Método de los rectángulos......................................................................229 8.2.2 Fórmulas de Newton Cotes.....................................................................231 8.2.3 Integración con intervalos desiguales.....................................................241 8.2.4 Algoritmo de integración de Romberg....................................................244 8.2.5 Cuadraturas de Gauss.............................................................................249 8.3 Ejemplos con Matlab.......................................................................................257 8.4 Problemas propuestos......................................................................................260 8.4.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................265 Capítulo 9 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)...........................................267 9.1 Introducción.....................................................................................................268 9.2 Métodos de un paso.........................................................................................268 9.2.1 Método de Euler.....................................................................................269 9.2.2 Métodos de Runge Kutta....................................................................... 272 9.3 Sistemas de EDO con condiciones iniciales...................................................283 9.3.1 Sistemas de EDO de orden 1..................................................................283 9.3.2 EDO de órdenes superiores....................................................................286 9.4 Métodos de pasos múltiples.............................................................................289 9.4.1 Método de Heun sin principio................................................................289 9.4.2 Método de Milne de cuarto orden...........................................................294 9.4.3 Método de Adams de cuarto orden.........................................................296 9.5 Ejemplos con Matlab.......................................................................................299 9.6 Problemas propuestos......................................................................................302 9.6.1 Problemas propuestos con Matlab..........................................................314 Capítulo 10 EDO con condiciones de fronteras separadas.....................................317 10.1 Introducción...................................................................................................318 10.2 Método del disparo........................................................................................319 10.3 Método de las diferencias finitas....................................................................324 10.4 Ejemplos con Matlab.....................................................................................333 10.5 Problemas propuestos....................................................................................337 10.5.1 Problemas propuestos con Matlab........................................................342
  • 9. Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta VIII Contenido Capítulo 11 Ecuaciones diferenciales parciales (EDP).............................................343 11.1 Introducción...................................................................................................344 11.2 EDP Elípticas.................................................................................................345 11.3 EDP Parabólicas.............................................................................................349 11.3.1 Método de diferencias finitas progresivas.............................................350 11.3.2 Método de diferencias finitas regresivas...............................................353 11.3.3 Método de Crank Nicolson...................................................................357 11.4 EDP Hiperbólicas...........................................................................................361 11.5 Ejemplos con Matlab.....................................................................................368 11.6 Problemas propuestos....................................................................................380 11.6.1 Problemas propuestos con Matlab........................................................389 Índice analítico.......................................................................................................397 Apéndice................................................................................................................391 Bibliografía............................................................................................................395
  • 10. Introducción El libro presenta los métodos numéricos más usados en el ámbito ingenieril para la solución de diversas ecuaciones. Para una mejor comprensión del mismo, se ilustra cada método con ejemplos, los cuales muestran claramente cómo deben aplicarse para solucionar los casos. Se incluyen ochenta y ocho ejemplos resueltos y doscientos cinco problemas propuestos con sus resultados; asimismo, en cada capítulo se han incluido ejemplos resueltos con Matlab y problemas propuestos con resultados. El primer capítulo es introductorio e incluye algunas definiciones útiles para una comprensión adecuada del texto, así como gráficos en escalas semilogarítmica y logarítmica. En el segundo capítulo se presentan varios métodos numéricos para la solución de ecuaciones algebraicas no lineales: cerrados, como la bisección, la falsa posición y la interpolación inversa; así como métodos abiertos, como iteración de punto fijo, la secante y el Newton Raphson. En el tercer capítulo se presentan metodologías para la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas simultáneas, como el método gráfico, usado para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, la regla de Cramer para solución de sistemas mediante determinantes, los métodos de Gauss, Gauss Jordan, Pivote Máximo, Pivo- teo Parcial, la metodología de Gauss Seidel para sistemas iterativos y el algoritmo de Thomas, aplicado para el caso de sistemas tridiagonales. En el capítulo cuatro se presentan métodos para la solución de sistemas de ecua- ciones algebraicas no lineales, como el de aproximaciones sucesivas, Newton Raph- son generalizado, Wegstein y el de ordenamiento de precedencia de las ecuaciones. El quinto capítulo presenta métodos para el ajuste de datos, incluye la regresión lineal simple, la regresión lineal múltiple y la regresión polinomial, así como el tema de la linearización de modelos no lineales. El sexto capítulo presenta técnicas de interpolación, como las fórmulas de New- ton de diferencias divididas, las fórmulas de Newton para puntos equidistantes por diferencias ascendentes o descendentes, el polinomio de Lagrange para puntos no equidistantes y la interpolación con dos variables independientes. El capítulo siete incluye fórmulas para calcular las derivadas numéricas de fun- ciones, como son las de Newton, las fórmulas de tres puntos, las de cinco puntos y fórmulas para derivadas de órdenes superiores. El octavo capítulo trata de la integración numérica e incluye el método de los rectángulos, las fórmulas de Newton Cotes (regla trapezoidal y las fórmulas de Simpson de 1/3 y 3/8), el algoritmo de Romberg y las cuadraturas de Gauss (Legen- dre, Laguerre, Chebyshev y Hermite). En el noveno capítulo se presentan métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de un paso, como el de Euler, métodos
  • 11. Alfaomega Métodos numéricos • Manuel Izar Landeta X Introducción de segundo orden como las fórmulas de Runge Kutta, el método de Heun, el mejora- do del polígono y el de Ralston, fórmulas de Runge Kutta de tercero y cuarto orden, asimismo se tratan sistemas de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, de órdenes superiores y, finalmente, algunos métodos de pasos múltiples como el de Heun de segundo orden y Milne y Adams de cuarto orden. El capítulo diez trata los problemas de contorno, es decir, ecuaciones diferencia- les con condiciones de frontera separadas, incluyendo dos técnicas de solución de las mismas: el método del disparo y el de diferencias finitas. Finalmente, el capítulo once presenta técnicas para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales, incluye los tres tipos: las elípticas, las parabóli- cas, que se resuelven con diferencias finitas progresivas, regresivas, con la metodolo- gía de Crank Nicolson, y las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. Juan Manuel Izar Landeta Universidad del Centro de México México