Hidraulica de canales fundamentos y ejercicios

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS
FACULTAD DE INGENIERÍA
CAMPUS I
TESIS
Hidráulica a superficie libre: Fundamentos y ejercicios
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
INGENIERO CIVIL
PRESENTADO POR
LUIS FERNANDO HERNÁNDEZ CARRILLO
DIRECTOR
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas MAYO 2016

II
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL ----------------------------------------------------------------------------------II
Cap. Pág.
1. INTRODUCCIÓN---------------------------------------------------------------------------------1
1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica------------------------------1
1.2. La hidráulica de canales a superficie libre------------------------------------------------2
1.2.1. Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal------------------------------6
2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA---------------------------13
2.1. Ecuación de conservación de la masa----------------------------------------------------13
2.1.1. Versión cinética---------------------------------------------------------------------14
2.1.2. Versión volumétrica----------------------------------------------------------------15
2.2. Ecuación de conservación de la energía-------------------------------------------------17
2.2.1. Ecuación de Bernoulli--------------------------------------------------------------18
2.2.2. Ecuación de la energía--------------------------------------------------------------20
2.2.3. Energía específica y régimen crítico----------------------------------------------21
2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo-------------------------------------21
2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vsE-----------------------------------------------25
2.2.3.3. Régimen crítico--------------------------------------------------------------27
2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (Curva Q vs y)-------34
2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento---------------------------------------36
2.4. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica---------38
3. ECUACIÓN DEL RESALTOHIDRÁULICO-----------------------------------------------45
3.1. Fuerza hidrostática--------------------------------------------------------------------------45
3.2. Fuerza dinámica-----------------------------------------------------------------------------48
3.2.1. Cantidad de movimiento------------------------------------------------------------50
3.3. Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico-------------------------56
4. ECUACIÓNES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE
LA HIDRÁULICA DE CANALES PARA FLUJO UNIFORME------------------------68
4.1. Ecuación de Chezy-------------------------------------------------------------------------68
4.2. Ecuación de Robert Manning-------------------------------------------------------------70
4.3. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de
Canales para flujo uniforme----------------------------------------------------------------76
5. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO-----------------------------------------------------92
5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado--------------------------92
5.2. Solución de problemas de flujo gradualmente variado-------------------------------96

III
Cap. Pág.
5.2.1. Método estándar por pasos---------------------------------------------------------96
5.2.2. Método estándar directo-----------------------------------------------------------102
5.3. Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado------------------------------105
Conclusión---------------------------------------------------------------------------------------127
Referencias.--------------------------------------------------------------------------------------128
PRESENTACIÓN
Este libro está realizado pensando en todos esos estudiantes que llevan las ciencias de la
ingeniería a todos lados y que tienen un especial amor o respeto hacia el agua, también para
quien disfrute de las leyes de la física y sus aplicaciones más sorprendentes, dado que no es
un libro muy ostentoso su riqueza cultural y matemática es incomparable.

IV
En esta bibliografía se encontrará con datos y anécdotas sobre la física y la hidráulica que
muy pocos conocen provocando un pequeño viaje a mundos olvidados y que sin duda
alguna despertará en los amantes de este tipo de literatura un hambre por conocer más de
estos temas, realizada para la correcta comprensión de la hidráulica de canales a superficie
libre este libro cuenta con un lenguaje fluido y conciso, en este documento se le da al lector
o estudiante de ingeniería la posibilidad de ver y comprender la hidráulica de canales desde
el punto de vista de la física clásica o física de Newton al fundamentarse de ella y
auxiliándose de las leyes matemáticas, demostrando así varias de sus ecuaciones
provocando que el lector se identifique con este tan importante líquido para toda la
humanidad.
Este libro está diseñado para que el lector se enamore del agua, para que le tome un cariño
especial; como aquel niño que por primera vez conoce la inmensidad el mar o descansa en
el remanso de un río y se maravilla de tan increíble elemento; así este libro requiere que
usted se maraville en cada una de sus páginas y le impulse a continuar nadando en el gran
mar de conocimientos que es la hidráulica.
Ing. Luis Fernando Hernández Carrillo

1
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica
Las leyes del movimiento son la base de la física clásica, con ellas se dan solución a todos
los fenómenos ocurridos por acción de fuerzas externas y gravitacionales hacia los objetos.
Por este motivo los estudios de las leyes del movimiento son esenciales en el estudio de la
hidráulica pues este consiste en el estudio de las acciones y fenómenos ocurridos en el agua
por acción de su fuerza y su gravedad. Muchas ecuaciones de la hidráulica tienen su
fundamento en las leyes del movimiento, pero llevó mucho tiempo encontrarlas. Fueron
varios los científicos los que invirtieron mucho de su tiempo para poder demostrar algún
fenómeno que se le haya presentado ya sea por casualidad o para dar solución a algún
problema, todos ellos resueltos con varias horas de observación, experimentación y
estableciendo modelos matemáticos.
Ecuaciones como el de la ley de la conservación de la masa del monje Benedetto Castelli es
uno de los varios ejemplos de científicos que buscaron dar solución a un problema basando
sus estudios en las leyes de Newton.
La primera ley del movimiento señala que todo cuerpo mantiene su estado de reposo o una
misma trayectoria a menos que se le aplique una fuerza exterior la cual modifique esta, esta
ley conocida como la ley de la inercia toma en cuenta la tendencia de un cuerpo a detenerse
por la fricción de su superficie o la acción de una fuerza que detenga su movimiento. Se
puede imaginar en este escenario la idea de un río el cual al principio por tener una
pendiente grande lleva una velocidad muy acelerada, pero aguas abajo donde la pendiente
es menor y a causa de la fricción de su superficie esta reduzca su velocidad.
La segunda ley del movimiento o la ley de la fuerza, indica que todo cambio de
movimiento sobre un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre este. En hidráulica
se puede utilizar esta ley para predecir la fuerza que tendrá un cuerpo de agua sí se conocen
su masa y su aceleración el cual se puede aplicar en el caso de las presas hidroeléctricas al
producir energía eléctrica a partir de la energía potencial del agua, al hacer girar una turbina
la cual produce energía eléctrica por medio de la fuerza que contiene el agua al caer de una
considerable altura.
La tercera ley del movimiento o la ley de la acción y la reacción, establece que para toda
acción sobre un cuerpo ocurre una reacción igual, pero en sentido contrario. En ingeniería

2
la teoría y práctica de esta ley es utilizada en el diseño de canales y cortinas en una presa,
ya
que si no se diseñaran estos últimos para sostener una fuerza de empuje equivalente a la
cantidad de agua que sostendrán; entonces podría fallar, así que se diseñan con una fuerza
superior a esta.
Como estos hay muchos más ejemplos en los cuales se aplican las leyes más importantes
para la ingeniería y la hidráulica, con forme se avance en la bibliografía se encontrarán más
aplicaciones para la mejor comprensión de los temas tratados.
1.2. La hidráulica de canales a superficie libre
El estudio de la hidráulica de canales se ha vuelto de vital importancia para la solución de
problemas relacionados con el almacenamiento, uso y transportación del agua, volviéndose
esta una materia obligada en el estudio de la ingeniería en nuestro país; ya que en ella se
destacan los comportamientos y características del agua volviéndose un manual para la
verdadera comprensión de este líquido tan importante en el país.
Un canal es un cauce por el cual circula agua y se encuentra descubierto a la atmósfera,
estos se pueden clasificar de dos maneras de acuerdo a su origen, como naturales o
artificiales. Un canal natural como ejemplo un río o arroyo; es aquel en el cual su
formación no tuvo que ver el ser humano y transporta el agua proveniente de la lluvia desde
lo más alto de una montaña hasta el mar, un lago u otro afluente, se encuentra impulsada
por solamente la fuerza de gravedad. Dependiendo de la altura y pendiente de esta, el canal
natural tendrá meandros o transporte de sedimentos; por esto último y lo irregular del
terreno natural se establece que un canal de este tipo siempre tendrá una sección transversal
irregular.
Por otro lado, un canal artificial es aquella estructura construida por el hombre con el fin de
transportar agua, ya sea para abastecer una población, para riego de cultivo o como medio
de transporte, esta tiene una geometría definida y sí mantiene una pendiente y geometría
constante entre determinados puntos se dice que es prismática. Los canales artificiales se
pueden clasificar a su vez de acuerdo a su geometría, siendo los más utilizados en todo el
mundo dos de ellos; el de sección trapezoidal y el de sección rectangular, de esta manera de
acuerdo a su sección cada uno tendrá diferentes propiedades geométricas.

3
Figura 2. Elementos geométricos de un canal con sección trapezoidal
Perímetro mojado: Es la línea que rodea el canal y que está en contacto con el agua y la
sección. Se calcula para un trapezoide de la siguiente forma.
2
P = b + 2 1+ k y (1)
Área hidráulica: Es el área ocupada por el agua dentro del canal.
 A = b+ky y (2)
Ancho mayor: Es el ancho superior del canal en el cual mantiene una superficie libre.
T = b + 2ky (3)
Dónde:
y= Tirante hidráulico (m).
T= Ancho mayor de superficie libre (m).
b= Ancho menor de superficie (m).
k= Talud, indica la inclinación de las paredes del canal.
P= Perímetro mojado (m).
A= Área hidráulica (m2
).
y
b
1
k
T

4
Figura 3. Elementos geométricos de un canal con sección rectangular
Perímetro mojado: P = b + 2y (4)
Área hidráulica: A = by (5)
Dónde:
P= Perímetro mojado (m).
A= Área hidráulica (m2
).
y= Tirante hidráulico (m).
b= Base del canal (m).
Otro tipo de sección muy utilizado en el país es el de sección circular muy característico su
uso como en tuberías de drenaje y alcantarillado, tiene las siguientes características.
Figura 4. Elementos geométricos de un canal con sección circular

y
b
T
D
y

5
Tirante:
y
0 1
D
  (6)
Angulo:
-1 T
θ = 2Cos 1-2
D
 
 
 
(7)
Área hidráulica:
2
πD
A =
4
(8)
Perímetro mojado:
πDθ
P =
360
(9)
Radio hidráulico:
1 sen2θ
Rh = 1- D
4 2θ
 
 
 
(10)
Ancho de la superficie libre (T):
 
 
T = Senθ D
T = 2 y D- y
Como ya se mencionó antes se pueden encontrar muchos más tipos de secciones, pero esta
bibliografía se enfocará en la rectangular y trapecial por ser las más comunes en todo el
mundo y por la facilidad de su análisis.
(11)
(12)

6
1.4.1 Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal
Ejemplo 1
Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las dimensiones
siguientes:
Solución
Datos Fórmulas Substitución
y = 3m
2
P = b + 2 1+ k y  2
P = 6 + 2 1+1 3
T = 9m  A = b+ky y  P = 6+ 2 2 3
b = 6m P =14.48m
k =1     A = 6+ 1 3 3  
2
A = 27m
Ejemplo 2
Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes
dimensiones.
Datos Solución
y= 3m
b= 4m
9m
3m
6m
1
1
3m
4m
Formulas
m
h
P = b +2y
A = by
m
2
h
P = 4 + 2(3) =10m
A = 4(3) =12m

7
Ejemplo 3
Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes
dimensiones.
Datos Solución
y=6 m
b=6 m
Ejemplo 4
Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las siguientes
características.
Datos Solución
y=6 m
b=6 m
k=2
 
  
h
h
2
h
A = b+ky y
A = 6+2 6 6
A =108m
y=6 m
b=6 m
m
m
m
h
h
2
h
P = b + 2y
P = 6 + 2(6)
P =18m
A = by
A = 6(6)
A = 36m
y=6 m
b=6 m
k=2
 
2
m
2
m
m
P = b + 2 1+ k y
P = 6+ 2 1+ 2 6
P = 32.76m

8
Ejemplo 5
Calcule las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería que llevará un tirante
y=0.20m y un diámetro D= 0.30m
Solución
Perímetro mojado:
  
πDθ
P =
360
π 0.30 304.5851
P =
360
P = 0.7974m
Radio hidráulico:
Área:
 
 
T = 2 y D- y
T = 2 0.20 0.30-0.20
T = 0.2828m
 
 
1 Sen2θ
Rh = 1- D
4 2θ
Sen2 109.471
Rh = 1- 0.30
4 2 109.47
Rh = 0.075m
 
 
 
 
  
 
D=0.30 m
y=0.20 m
 
2
2
2
πD
A =
4
π 0.30
A =
4
A = 0.0707m
Ancho de la superficie
libre (T)
Ángulo:
-1
-1
o
T
θ = 2Cos 1- 2
D
0.2828
θ = 2Cos 1- 2
0.30
θ = 304.5851
 
 
 
 
 
 

9
Ejemplo 6
Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas para una tubería de drenaje pluvial con
un diámetro de 1.5 m que transportará un tirante de 1.15m.
Solución
Perímetro mojado:
  
πDθ
P =
360
π 1.50 267.5349
P =
360
P = 3.50m
Radio hidráulico:
Área:
y= 1.15 m
D= 1.50 m
 
 
T = 2 y D- y
T = 2 1.15 1.50-1.15
T =1.2688m
 
 
1 Sen2θ
Rh = 1- D
4 2θ
Sen2 267.53491
Rh = 1- 1.50
4 2 267.5349
Rh = 0.3749m
 
 
 
 
  
 
 
2
2
2
πD
A =
4
π 1.50
A =
4
A =1.7671m
Ancho de la superficie
libre (T)
Ángulo:
-1
-1
o
T
θ = 2Cos 1- 2
D
1.2688
θ = 2Cos 1- 2
1.50
θ = 267.5349
 
 
 
 
 
 

10
Ejemplo 7
Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección rectangular si
este tiene un área de 3 m2
y una base de 1.20 m.
Datos
A= 3 m2
b= 1.20 m
y=?
P=?
Ejemplo 8
Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección trapezoidal si
este tiene un área de 5 m2
, una base de 1.5 m y k= 2.
Datos
A= 5 m2
b= 1.5 m
k=2
y=?
P=?
Solución
A = by
A
y =
b
3
y =
1.20
y = 2.5m
 
P = 2y + b
P = 2 2.5 +1.2
P = 6.20m
Solución
 
 
 
A = b + ky y
5 = 1.5+ 2 y y
5 = 1.5+ 2y y
  
Ahora iteramos dando
valores al tirante (y) hasta
encontrar el que satisfaga
la ecuación.
Para y=1.25m
 
 
2
2
y =1.25m
5 = 1.5+ 2 1.25 1.25
5 = 5
P = b + 2 1+ k y
P =1.5+ 2 1+ 2 1.25
P = 7.0902
  

11
Ejemplo 9
Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería circular si este tiene una
T=0.72 m y un diámetro de 1 m.
Datos
T=0.72 m
D= 1 m
Ángulo=?
y=?
P=?
Área=?
Ejemplo 10
Calcula las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería con diámetro de 0.50 m y
un tirante de 0.35 m.
Solución
 
 
T = 2 y D- y
T = 2 0.35 0.50-0.35
T = 0.4582m
-1
-1
o
T
θ = 2Cos 1-2
D
0.72
θ = 2Cos 1-2
1
θ = 232.2077
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
πD
A =
4
π 0.50
A =
4
A = 0.1963m
 
 
1 Sen2θ
Rh = 1- D
4 2θ
Sen2 113.581
Rh = 1- 0.50
4 2 113.58
Rh = 0.1246m
 
 
 
 
  
 
Solución
 
2
2
2
πD
A =
4
π 1
A =
4
A = 0.7854m
  
πDθ
P =
360
π 1 232.2077
P =
360
P = 2.0264m
Ahora con la fórmula de T iteramos hasta encontrar el valor del tirante
que satisfaga la ecuación.
 
 
T = 2 y D- y
0.72 = 2 y 1- y
Para y=0.847 m
 0.72 = 2 0.847 1-0.847
0.72 = 0.7199 0.72m

12
-1
-1
o
T
θ = 2Cos 1- 2
D
0.4582
θ = 2Cos 1- 2
0.50
θ = 292.775
 
 
 
 
 
 
  
πDθ
P =
360
π 0.50 292.775
P =
360
P =1.2775m

13
CAPÍTULO 2
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA
2.1. Ecuación de conservación de la masa
Son llamadas ecuaciones fundamentales a todas las que por su relación o configuración en
su estructura es posible obtener otros datos para resolver un problema sólo con despejar o
sustituir algún dato. Las ecuaciones fundamentales de la hidráulica como su nombre lo
dicen son las más importantes ya que de ellas se desprenden otras ecuaciones y es posible
dar solución a problemas a los que explícitamente no contamos con más información.
Antes de comenzar con el estudio de la hidráulica se debe de tener muy claro la amplia
relación de las leyes de la mecánica de Newton con el estudio de esta ciencia pues desde el
punto de vista de la mecánica clásica el agua es considerada como una masa en movimiento
influenciada por la fuerza de gravedad y con masa constante regida por la ley de
conservación de la masa.
También conocida como “Ecuación de continuidad” o “Ecuación de Castelli” en honor a al
monje benedictino y físico Benedetto Castelli (Brescia, Italia1577- Roma, 9 de abril, 1643)
quien fuera contemporáneo de Galileo Galilei y quien estableció de manera empírica;
mediante la observación y experimentación lo que hoy conocemos como la Ecuación de
continuidad.
Cuenta una anécdota que, en el año 1598, Roma sufrió una inundación con el
desbordamiento del río Tiber; como tales inundaciones se habían venido presentando con
cierta frecuencia, se consideró conveniente aumentar el cauce del río. Había que determinar
con ese objeto cuanta era el agua que realmente había escurrido (Enzo, Levi, El agua según
la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). El arquitecto
Giovanni Fontanna (1546- 1614) intentó medir el escurrimiento real, pero no podía hacerlo
en el mismo cause porque este había sido insuficiente. Decidió entonces calcular el gasto
sumando los aportes en el tramo superior y en todos los afluentes. El resultado fue 500
cañas cuadradas medida de aproximadamente de poco más de 2 metros. El río contaba con
aproximadamente un tercio de esa medida por lo que Fontanna decidió construir dos cauces
con esas 500 cañas. Sin embargo, toda el agua cupo en un puente de 150 cañas a lo que
Fontanna concluyó que el agua debió haberse comprimido.

14
Esta conclusión no convenció al padre Benedetto Castelli “no entiendo como el agua sea
como el algodón o la lana, materiales que pueden comprimirse o apretarse” también dice
Castelli “Habiendo cabido toda la avenida debajo del puente sería suficiente un solo cauce
con la misma capacidad de dicho puente, siempre que el agua escurriera con la misma
velocidad que alcanzó debajo de él en ocasión de la inundación” (Enzo, Levi, El agua
según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México).
Esta ecuación establece que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río
cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo río cuando tiene otra
altura, está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura.
A continuación, la demostración de la ecuación de conservación de la masa o ecuación de
Castelli.
2.1.1 Versión cinética
Sea, un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un
determinado tiempo.
Figura 5. Sea un caudal de sección cualquiera
Se toma una diferencial de superficie sd :
Figura 6. Profundidad ds de un caudal cualquiera
Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene:
*=
˙
sv.d (13)
*= vector de velocidad asociado a una diferencial de superficie ds

15
Se integra
˙
s.* v d= (14)
˙
s* = v d
Se acomodan términos y denominando
˙
= vs (15)
Entonces Q = vA (16)
Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética
Dónde:
v
.
=Velocidad puntual (m/s)
sd = Diferencial de superficie (m2
)
Q= Caudal (m3
/s)
A= Área hidráulica de la sección (m2
)
t= Tiempo (s)
v=Velocidad promedio (m/s)
2.1.2 Versión volumétrica
Sea un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un
determinado tiempo
Figura 7. Sea un caudal cualquiera

16
Se toma una diferencial de superficie ds:
Figura 8. Profundidad ds de un caudal cualquiera
Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene:
*=
˙
sv.d (17)
Integrando
˙
s.* v d= (18)
Acomodando términos y denominando
˙
= vs (19)
Entonces
Q = vA (20)
Si
d
V =
t
(21)
Entonces
d
Q = A
t
(22)
Por lo tanto
V
Q =
t
(23)
que es la Ecuación de conservación de la masa en su versión volumétrica
sd
Ecuación de conservación de la
masa en su versión cinética

17
Dónde:
v
.
=Velocidad puntual (m/s)
sd = Diferencial de superficie (m2
)
V = volumen (m3
)
Q= Caudal (m3
/s)
A= Área hidráulica de la sección (m2
)
t= Tiempo (s)
d= Distancia (m)
v= Velocidad promedio (m/s)
2.2 Ecuación de conservación de la energía
Al igual que la masa la energía se conserva, en la ley de conservación de la energía se
establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma, esta ley también
llamada ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl
Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 respectivamente es perfectamente
aplicable tanto a canales abiertos como cerrados.
El primero en realizar estudios con fluidos para demostrar este argumento fue Daniel
Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y establece que un fluido ideal (sin viscosidad
ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el
fluido permanece constante a lo largo de su recorrido en cambio en un conducto abierto
como un canal y tomando en cuenta el rozamiento este presentará pérdidas mínimas por el
efecto de evaporación por rozamiento al liberar energía en forma de calor sin embargo al
final de su recorrido la sumatoria de la energía recorrida al final más la energía perdida
deberá ser la misma a la energía al principio del recorrido demostrando de esta forma la ley
de conservación de la energía. En la hidráulica se pueden encontrar muchos tipos de
energía, pero para uso de este tema se tomará en cuenta dos de ellas la energía cinética y la
potencial del agua.

18
2.2.1 Ecuación de Bernoulli
Se supone la rasante de un canal cualquiera con longitud d (de cota 1 a cota 2) con una
pendiente θ respecto a un nivel horizontal, como se muestra en la figura 8 donde en la cota
1 desde la horizontal hasta la rasante del canal tenemos un punto 1
z del otro lado de igual
forma se tiene un 2z ,a continuación se tiene un tirante 1y y un tirante 2y de igual manera,
con una energía cinética
2
1v
2g
desde el punto más alto del tirante hasta la línea de energía, del
otro lado de la misma forma se tiene a
2
2v
2g
, se considera que desde el primer punto de
estudio el canal tiene una pérdida 0 por lo que no se considera en la figura pero en una
distancia recorrida d ya es considerable esta se expresa con fh , la ecuación de la energía
establece que la misma cantidad de energía que se tiene a partir del punto 1 es la que se
tendrá al finalizar el punto 2 equilibrándose esta en cualquiera de los datos de este punto.
La energía cinética es la siguiente:
La ecuación de la energía cinética
2
c
1
E = mv
2
(24)
Simplificando
2
c
mv
E =
2
(25)
Se sabe que la fórmula de la densidad es:
m
ρ =
V
(26)
Despejando la masa en (26) se tiene
m = ρV (27)
Sustituyendo (27) en (25) queda
2
c
v
E = ρV
2
(28)

19
Si se sabe que la fórmula del peso específico es
γ = ρg (29)
Se despeja la densidad de la fórmula anterior (28) y se obtiene
γ
ρ =
g
(30)
Se sustituye la fórmula (30) en la (28) y queda
2
c
γ v
E = V
g 2
(31)
Si se considera una masa y un volumen unitario la fórmula resulta
2
c
v
E =
2g
(32)
Que es la fórmula de la energía cinética
Dónde:
γ = Peso específico (N/m3
)
ρ = Densidad (kg/m3
)
V = volumen (m3
)
v =velocidad (m2
/s)
Figura 9. Representación de un canal con la línea de energía
P.H.C.
E1 E2

20
1 2E = E (33)
2
1
1 1 1
v
E = z + y +
2g
(34)
2
2
2 2 2
v
E = z + y +
2g
(35)
Ec. de Bernorulli
2 2
1 2
1 1 2 2
v v
z + y + = z + y +
2g 2g
(36)
Ec. de la energía
1-2
2 2
1 2
1 1 2 2 f
v v
z + y + = z + y + + h
2g 2g
(37)
Ecuación de la energía.
donde:
1z y 2z =es la vertical del canal desde la horizontal hasta el primer punto de esta (m)
1y y 2y = es el tirante en cada sección del canal (m)
2
1v y
2
2v = es la velocidad de la energía cinética (m/s)
g= la fuerza de gravedad (m/ 2
s )
fh =es la pérdida de energía por efecto del calor
2.2.2. Ecuación de la energía
La energía es definida en física como la disposición de un cuerpo para realizar un trabajo,
en hidráulica el agua tiene esa disposición a partir de los diversos componentes de energía.
La ecuación de la energía está conformada por la ley de Lomonósov- Lavoisier
descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier
en 1785 y que cuenta con diferentes elementos que la constituyen como:

21
E= Energía, capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo
z = Es la carga de elevación (m)
y = Es el tirante en cada sección del canal (m)
2
v
2g
= Es la energía cinética del agua
fh =es la pérdida de energía por efecto de la fricción
Esta ecuación tiene sus restricciones en fluidos como los siguientes:
 Sólo es válida para fluidos incomprensibles
 Entre las dos secciones de interés no puede haber dispositivos mecánicos como
bombas, motores de fluido o turbinas.
 No puede haber pérdida de energía por la fricción o turbulencia que generen
válvulas y accesorios en el sistema de flujo.
 No puede existir transferencia de calor hacia el sistema o fuera de este.
NOTA: Es casi imposible que se puedan cumplir todas estas restricciones en campo.
(Mecánica de fluidos, Robert L Mott; Javier Enríquez Brito; Javier León Cárdenas, 2006,
Prentice-Hall: Pearson Educación, México, D.F.).
Las aplicaciones de las leyes de la energía se han dado desde la antigüedad, se pueden
observar en el uso de molinos hidráulicos para diversos fines o en el diseño de canales para
transporte; entre otros ejemplos, hoy en día el uso más importante de esta ley es la
generación de energía hidroeléctrica. El conocimiento de la ecuación de la energía permite
aparte de aprovechar esa energía, también a controlarla, por ejemplo, en un canal con una
pendiente fuerte, poder diseñar algún obstáculo o mecanismo para disipar o reducir esa
energía para evitar cualquier problema.
2.2.3. Energía específica y régimen crítico
2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo
Partiendo desde la definición de que la energía total de cualquier sistema está dada por la
energía potencial más la energía cinética aplicado a cualquier masa en reposo con inercia
cero o en movimiento rectilíneo uniforme. En el caso del agua al ser un elemento másico
dado que está conformado por una masa, esta contiene los dos elementos, la energía

22
potencial y la cinética, los cuales se puede apreciar en su ecuación para la energía total que
es t
2
1
t t t f
v
E = z + y + + h
2g
, cuando la pendiente y el tirante en un canal son constantes
es factible usar esta ecuación pero al angostarse un canal y cambiar su tirante la ecuación
también cambia y se utilizaría en este caso la ecuación de la energía específica para conocer
el régimen hidráulico del canal, de esta manera la ecuación se aplicará a cambios bruscos
de una sección, estas pueden ser una ampliación brusca, una reducción brusca, un
incremento brusco del fondo o un decremento brusco del fondo de la sección de un canal
como se ejemplifica en las siguientes figuras.
Figura 10. Ampliación brusca de un canal
Figura 11. Reducción brusca de un canal
Figura 12. Incremento brusco del fondo de un canal
Figura 13. Decremento brusco del fondo de un canal

23
Al ocurrir un cambio en la sección como en las anteriores ejemplificadas se debe responder
qué ocurre con su tirante y cómo varía este. Por lo tanto, al cambiar el tirante cambia la
ecuación de conservación de la energía, esta ecuación es la ecuación de energía específica.
Retomando la ecuación de la energía que es igual a: 1-2
2 2
1 2
1 1 2 2 f
v v
z + y + = z + y + + h
2g 2g
sí se desprecian las pérdidas y el nivel de referencia, nos queda el tirante y la velocidad,
entonces se establece que la energía específica por definición hidráulica es la suma del
tirante de un canal más la carga de su velocidad al cuadrado (energía cinética).
2
E t
v
E = y +
2g
(38)
La ecuación de la energía específica es
2
E
v
E = y +
2g
;( Ec. 38), si se quiere expresar esta
misma ecuación para la condición de energía específica para gasto constante se expresa esta
misma ecuación de la siguiente forma
2
E 2
Q
E = y +
2gA
;(Ec. 38’) sustituyendo como se
puede observar la velocidad al cuadrado por su igualdad que es gasto al cuadrado sobre el
área cuadrada.
Para el caso de pendientes grandes la energía específica es:
2
E
v
E = ycosθ +
2g
(39)
Y para el caso de la ecuación de la energía para pendientes grandes de igual forma se tiene:
1-2
2 2
1 2
1 1 2 2 f
v v
z + y cosθ + = z + y cosθ + + h
2g 2g
(40)

24
Figura 14. Diagrama del comportamiento de una partícula de agua en un canal con
pendiente grande
En la energía del flujo rectilíneo en un canal, si se toma al tiempo como criterio es
considerado que el flujo es permanente siempre y cuando la velocidad promedio de una
sección sea la misma, en el caso de que la velocidad cambie en determinada parte de la
sección el flujo se considera flujo no permanente.
Los casos más comunes donde se presentan los flujos no permanentes es en los ríos, dado
sus secciones irregulares, en el otro caso los canales prismáticos son considerados de flujo
permanente.
Si se quitan el tiempo como criterio de clasificación y se toma al espacio, se considera que
un flujo es uniforme cuando la velocidad entre dos secciones es la misma, de lo contrario;
si la velocidad entre estas dos secciones cambia se dice que el flujo es variado y a su vez no
permanente. Este fenómeno se puede observar por una variación en la sección de un canal o
por la presencia de una estructura y se utiliza en los canales para acelerar o desacelerar la
velocidad que lleva el agua en un canal sobre todo en los canales de riego o en los sistemas
de agua potable.
Otra clasificación de los canales que se puede encontrar es de acuerdo con el efecto de su
viscosidad o el número de Reynolds ( eR ) y su clasificación puede ser por el flujo laminar o
turbulento, así como también por flujo de transición estas tres clasificaciones están regidas
de la siguiente manera:
P.H.C.
E1 E2
Partícula de agua
L.E.

25
h
e
vR
R = (41)
Dónde:
eR = Número de Reynolds (adimensional)
v = velocidad (m2
/s)
hR = Radio hidráulico (m)
= viscosidad cinemática del agua (m/s2
)
Para canales se establece la clasificación de acuerdo a las siguientes relaciones
Se dice que es un flujo laminar cuando eR 500 , un flujo de transición
e500 R 12500 y un flujo turbulento eR 12500 .
De estas clasificaciones en el agua el más común que se puede observar es el flujo
turbulento ya que para tener un flujo laminar, la lámina del agua para esta clasificación
sería demasiado delgada; algo casi imposible de obtener.
2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vs E
Si se sabe que la ecuación de la energía específica es
2
E
v
E = y +
2g
, entonces se puede dar
cuenta que esta representa a la ecuación matemática correspondiente a una parábola abierta
hacia la derecha y si es una parábola esta debe tener un vértice y este tiene una tangente, o
lo que es lo mismo esta tiene una pendiente, esto significa que la ecuación es derivable,
entonces es posible decir que
2
dE d v
= y +
dy dy 2g
,esta ecuación se deriva respecto al tirante
porque si el flujo cambia entonces cambia el tirante como se ve en la gráfica de la figura
15. Se puede observar en la gráfica que el vértice representa el punto crítico de la parábola
donde la energía es la mínima y respecto al tirante nos arroja un tirante crítico. Al observar
de manera de arriba hacia abajo se puede observar como la gráfica al reducir su tirante
también reduce su energía hasta llegar al punto crítico en donde la energía es mínima y el
tirante crítico ( cy ); considerando en todo momento un caudal constante ( Q ), al continuar
el descenso se puede ver como se continúa reduciendo el tirante, pero por el contrario la
energía aumenta.

26
Es posible estar seguro que al tener un punto crítico de este sólo existirá un punto de
energía asociado a un sólo tirante, pero si se desplaza un delta E ( ΔE ), para los demás
puntos se obtiene una sola energía asociada a dos tirantes y1 y y2 los cuales son alternos
para la energía mínima ( minE ) y un caudal constante ( ).
Figura 15. Gráfica de la curva y vs E
Otro elemento que es posible observar en la gráfica es que a partir del punto crítico de
manera ascendente a descendente se tiene dos diferentes velocidades una con más fuerza y
la otra más débil y estas a su vez están asociadas a diferentes tirantes pero que pueden
contener una misma energía, los elementos que son encontrados arriba del punto crítico se
conocen como régimen subcrítico, los que se encuentran sobre el punto crítico como
régimen crítico y los que se encuentran debajo de este se conocen como régimen
supercrítico y son determinados de acuerdo a su tirante crítico.
La siguiente ecuación conocida como el número de Froude fue acuñada por el profesor
berlinés Moritz Weber y es un parámetro para determinar de qué régimen es un canal, esta
depende de la relación de la velocidad del canal respecto a las fuerzas gravitacionales y el
tirante del mismo. La naturaleza del movimiento de un canal depende de si el número de
Froude es mayor, menor o igual a la unidad.
Se determinará su tipo de régimen dependiendo las condiciones que esta cumpla.
 Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1
 Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1
 Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1
cteQ
y (m)
cy
Tirantes
alternos
2y
1y minE
Régimen subcrítico <1
Régimen crítico =1
Régimen supercrítico >1
tangente
E (m)
ΔE

27
Número de Froude es igual a:
v
Fr =
gy
(42)
Dónde:
Fr= Número de Froude (adimensional)
v = velocidad del canal (m2
/s)
g=fuerza de la gravedad (m/s2
)
y= tirante del canal (m)
2.2.3.3. Régimen crítico
La energía específica es definida de forma taxativa como la suma del nivel de agua más la
carga de velocidad y esta ecuación se obtiene de la ecuación de la energía que al eliminar
las pérdidas y la cota de referencia surge una ecuación de segundo grado, que al graficarlo
sobre un plano cartesiano con el eje de la ordenada referido al tirante y al de las abscisas a
la energía, se obtiene una parábola; y al colocarle una secante en el plano a 45° respecto al
origen, colocando el nivel de agua referido al eje, se obtiene una gráfica como la de la
figura 16 en la cual se puede observar que las asíntotas de la parábola se extienden hacia el
infinito y nunca tocan a la secante, esto matemáticamente indica que se encuentra una
derivada ahí y esto indica que hay una pendiente; de haberlo entonces también se tiene una
tangente y el punto de tangencia será justo en la derivada que corresponde al vértice de la
parábola, si esto se ubica en el plano se tendrá una energía mínima asociado a un tirante el
cual se llamará tirante crítico.
Si se desplaza un ΔE se dará cuenta que se encuentran dos tirantes alternos asociados 1y y
2y , esto significa que para una misma energía puede haber dos tirantes asociados.
Entonces para obtener la ecuación del punto crítico primero se debe tomar la ecuación
graficada que es la ecuación de la energía.
2
v
E = y +
2g
(43)

28
Figura 16. Gráfica de la curva y vs E del régimen crítico
Se sustituye la velocidad al cuadrado por su igualdad del gasto cuadrado con respecto del
área cuadrada de la siguiente forma:
2
2
Q
E = y +
2gA
(38’)
A esta ecuación se le aplica una derivada respecto al tirante, porque el tirante es el que
cambia en nuestra gráfica
2
2
dE dy d Q
= +
dy dy dy 2gA
(44)
De la derivada queda, el tirante. Como la unidad, el gasto y la gravedad son constantes
entonces que no se derivan.
2
2
dE Q d 1
= 1+
dy 2g dy A
(45)
A continuación se auxilia de la gráfica del régimen crítico y se coloca un canal de sección
rectangular representando los diferentes niveles de tirante que contiene el canal, de este
canal se toma un área que se sabe está asociada a un tirante y este a su vez está asociado a
una energía total pero como se está derivando se toma una pequeña diferencial de área así
como una diferencial de altura mismo asociado a la base del canal en este caso un canal
cy
E (m)ΔE
tangentey(m)
Régimen subcrítico <1
Régimen crítico =1
Régimen supercrítico >1
2y
1y
Tirantes
alternos
minE

29
rectangular de base B, entonces se puede decir que la diferencial de área ( dA ) será igual a
la base (B) por la diferencial de altura (dy ).
dA = Bdy (46)
En el caso de querer encontrar una ecuación para una sección de canal diferente a la
rectangular entonces se sustituye su correspondiente área hidráulica en donde en este
ejemplo se substituye el área hidráulica del canal rectangular.
Figura 17. Gráfica del régimen crítico respecto a la sección de un canal
La igualdad de la ecuación 46 se sustituye en (45) y se deriva, queda de la siguiente forma
2 2 2 2
d 1 1 d 1
=
dy B y B dy y
(47)
Ahora se deriva 2
d 1
dy y
y se obtiene
d
=
dy
2 d
y
dy
(1)−1
d
dy
( 2
y )
( 2
y )
2
(48)
y (m)
Tangente cteQ
minE
ΔE E
cy
2y
1y
dA
T = B 2
dy
y
cy
1y
0

30
Al derivar la ecuación anterior se tiene
d
=
dy
−1(2y )
y4 (49)
Y al simplificar se tiene
3
-2
y
(50)
El resultado obtenido en la ecuación 50 se substituye en (47) y queda de la siguiente forma
2
2 3
dE Q 2
=1+ -
dy 2gB y
(51)
2
2 3
dE 2Q
= 1-
dy 2gB y
(52)
Al simplificar la ecuación desaparecen los números dos, se sustituye la base y el tirante
cuadrado por el área cuadrada y queda de la siguiente forma
2
2
dE Q
= 1-
dy gA y
(53)
Si se substituye la igualdad del gasto sobre el área al cuadrado queda la velocidad al
cuadrado en la ecuación de la siguiente forma
2
dE v
= - +1
dy gy
(54)
Escrita de otra forma
2
dE v
= 1-
dy gy
(55)
Sí la ecuación anterior es la derivada de la energía, entonces significa que la energía como
tal no es cero, es mínima. Esto significa que la derivada de energía es
2 1
0
2 1
y - y 0
s = = = 0
E - E 0
(56)

31
Al ser su derivada cero está marcando una función ilegal, entonces para usos matemáticos
se establece un límite y se tiene
2 1
0 lim 0
EE E
y
s (57)
Esto se da porque justo ahí la función es crítica.
Entonces se tiene que en el límite
2
v
0 = 1-
2g
(58)
Al derivar la ecuación anterior se obtiene el número de froude que establece:
< 1 subcrítico
=1 crítico
>1 supercrítico
 Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1
 Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1
 Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1
Al auxiliarse de la gráfica se observa que si el tirante de un canal 2y es mayor al tirante
crítico ( cy ) entonces el flujo del canal es subcrítico. De la misma forma si el tirante 1y es
menor que el tirante crítico ( cy ) entonces se está hablando de un flujo supercrítico, esto
para todo canal de sección rectangular.
Para conocer la ecuación del tirante crítico en canales rectangulares se parte de la ecuación
59 que es la ecuación para el flujo en régimen crítico
v
Fr =
gy
(59)
De esta manera al ser el flujo crítico igual a 1 se hace esta igualación en la ecuación 59 de
la siguiente forma
v
= 1
gy
(60)
v
Fr =
gy
(59)

32
Ahora se despeja la velocidad
cv = gy (61)
Se tiene una velocidad al cuadrado al despejar la gravedad por el tirante crítico
2
c cv = gy (62)
Como interesa encontrar el tirante crítico entonces este se despeja de la ecuación 62.
2
c
c
v
y =
g
(63)
Ahora se substituye la velocidad por su igualdad que es el caudal sobre el área los dos al
cuadrado por que la velocidad estaba al cuadrado y se tiene
2
2
c
Q
Ay =
g
(64)
Acomodando términos se obtiene
2
c 2
Q
y =
gA
(65)
Por definición, el gasto unitario (q ) es la cantidad de agua que pasa por unidad de ancho de
un canal, como lo expresa la siguiente ecuación
Q
q =
b
(66)
Entonces se puede substituir la ecuación (66) en la ecuación (65)
2
2
c 2
Q
by =
gA
(67)
Al recordar la igualdad de 2
A es 2 2
b y esta se puede substituir en la ecuación 67.
2
2
c 2 2
Q
by =
gb y
(68)

33
Al reducir términos queda
2
c 2
q
y =
gy
(69)
Esto se puede escribir de la siguiente forma
2
c
c 2
c
q
y =
gy
(70)
Como se está buscando un tirante crítico se despeja la cy de la ecuación 70.
2
3 c
c
q
y =
g
(71)
Por último, se despeja el exponente del tirante para tener una raíz cúbica, de esta manera se
deduce una ecuación para determinar el tirante crítico de un canal de sección rectangular.
2
3
c
q
y =
g
(72)
De esta manera se puede establecer que el tirante crítico cy sólo depende del caudal que
pase por el canal.
De esto se puede agregar que el número de Froude es válido para cualquier tipo de canal
pues este depende de la velocidad y el tirante de este, no así la ecuación del tirante crítico
pues este se dedujo con las propiedades geométricas de un canal de sección rectangular en
caso de buscar una ecuación para el tirante crítico de una sección diferente se deduce desde
el principio, pero con las propiedades geométricas correspondientes para la sección
deseada.
2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (curva q-y, Q-y)
Para hablar de la condición de energía específica es inevitable auxiliarse de un plano
cartesiano, así que se toma como referencia el de la figura 18, en el cual se puede observar
en el eje de la ordenada el tirante (y) y al de la abscisa a el caudal (Q,q ), así como la
energía constante ( cteE ) para esta tema. Como se puede dar cuenta la función cambia por
completo al cambiar las variables.
y

34
Figura 18. Gráfica de la condición para la energía específica constante
Como se sabe la ecuación (38’) es la expresión de la energía donde el tirante y la energía
son variables y el caudal es constante.
2
2
Q
E = y +
2gA
(38’)
Se despeja la variable de la energía cinética para el gasto y se iguala a la energía menos el
tirante
 
2
2
Q
= E - y
2gA
(73)
Como se quiere conocer el caudal entonces se despeja
 2 2
Q = E- y 2gA (74)
Como la ecuación anterior está asociada a un canal rectangular es válido decir que al área
cuadrada ( 2
A ) es igual a su base ( B ) por su tirante ( y) al cuadrado respectivamente. Todo
sobre raíz cuadrada
  2 2
Q = E- y 2gB y (75)
Entonces se establecen las siguientes relaciones con ayuda de la ecuación (74) y la gráfica
Q ,q
Subcrítico
Supercrítico
cteECrítico

35
Relaciones E - y - Q
Si se tiene un tirante con valor a cero implica que el gasto será igual a cero, esto se puede
demostrar en la ecuación ya que no arroja ningún valor incluso al observar la gráfica se
puede notar que no tiene ningún valor.
Sí y = 0 Q = 0
De la misma manera sí el tirante toma el valor de la energía o un valor máximo implica que
el gasto también valdrá cero. Esto se puede observar gráficamente y por medio de la
ecuación.
Sí E = y Q = 0
Por otro lado, sí el tirante llega a ser el tirante del canal sobre dos entonces el gasto será
máximo.
Sí
y
y =
2
maxQ = Q
Esto significa que cuando se tenga la energía específica constante se tendrá el caudal
máximo en el tirante sobre dos
y
2
 
 
 
, en este caso los tirantes que estén por debajo del
tirante sobre dos o debajo del caudal máximo serán supercrítico y los que estén por encima
de este serán tirantes subcríticos.
2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento
El impulso se considera como el cambio de velocidad de una partícula respecto a una
distancia y un tiempo determinado, este se encuentra regido por la segunda ley de Newton
ya que este depende de la fuerza con la que es impulsada, así también depende de la masa
de la partícula. En cuestiones de hidráulica el impulso puede servir para conocer la fuerza
con que se impulsa un río o un canal y a partir de este conocimiento diseñar el canal o
incluso diseñar las pilas de un puente para que este no falle por socavación producido por
este fenómeno.

36
Para obtener la ecuación del impulso primero se debe auxiliar de una ecuación fundamental
de la física como la ecuación de la fuerza y a partir de esta encontrar una ecuación para la
hidráulica que obedezca esta ley.
Se trabaja con la ecuación de la fuerza.
F = ma (76)
Se sabe que la densidad del agua es
m
ρ =
V
(77)
Por lo tanto m = ρV (78)
Por otro lado tiene
v
a =
t
(79)
Ahora se substituye (78) y (79) en (76) y se tiene
v
F = ρV
t
(80)
Ahora es bien sabido que la ecuación del caudal es
V
Q =
t
, si se despeja el volumen se
tiene V = Qt este se sustituye en la ecuación (80) y se obtiene
v
F = ρQt
t
(81)
Se eliminan las unidades de tiempo ( t ), y la ecuación queda de la siguiente forma
F = ρQv (82)
Se sabe que la densidad es igual al peso específico sobre la aceleración de la gravedad
γ
ρ =
g
(83)
Esto se substituye en la ecuación 82 y se tiene

37
γ
F = Qv
g
(84)
Esto es la ecuación del impulso en una sección arbitraria.
Ahora la ecuación del impulso respecto a dos secciones de un canal
2 1 1-2
F = ρQ v - v (85)
o escrito de otra manera
2 2 2 1 1 1F = ρ Q v - ρ Q v (86)
Ecuación del impulso respecto a dos secciones
dónde:
F= La fuerza o el impulso (N)
ρ =La densidad del agua ( 3
kg/m )
Q =El caudal ( 3
m /s )
v =La velocidad de la partícula en ese canal (m/s)
= peso específico del agua ( 3
N/m )
g= gravedad ( 2
m/s )

38
2.4 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica.
Este subcapítulo está integrado para poner en práctica lo aprendido en la sección teórica del
capítulo anterior.
Ejemplo 1
Calcular el caudal de un canal de sección trapezoidal con una base de 6 m, un tirante de 3
m, k= 1 y una velocidad de 3 m/s
Datos
b= 6 m
y= 3 m
k= 1
v= 3 m/s
Q=?
Ejemplo 2
Calcular el caudal de un canal de sección rectangular con base de 4 m, tirante de 3 m y
velocidad constante de 2 m/s.
Datos
b= 4 m
y= 3 m
v= 2 m/s
Q=?
Solución
 
 
 
2
3
A = b + ky y
A = 6 +1 3 3
A = 27m
Q = Av
Q = 27 3
m
Q = 81
s
  
Solución
 
 
2
A = by
A = 4 3
A =12m
Q = vA
Q = 2 12
m
Q = 24
s

39
Ejemplo 3
Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.30 m de diámetro a una velocidad
de 0.45 m/s.
Datos
D= 0.30 m
v=0.45 m/s
Q=?
Ejemplo 4
Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.15 m de diámetro a una velocidad
de 0.20 m/s.
Datos
D= 0.15 m
v= 0.20 m/s
Q=?
Ejemplo 5
Calcular el caudal que pasa en un canal que tiene un ancho de 2m, un tirante de 1m y la
aceleración del flujo es unitario; suponiendo que el canal es rectangular.
Datos
y= 1m
b= 2m
a=1 m/s2
Sí se supone que la aceleración del flujo es unitaria entonces la velocidad también lo será;
porque para obtener una aceleración de uno se debe multiplicar por el mismo número
m
v = 1
s

y=1m
b=2m
Solución
 h
2
h
A = 2 1
A = 2m
 
2
2
2
πD
A =
4
π 0.30
A =
4
A = 0.0707m
 
2
2
2
πD
A =
4
π 0.15
A =
4
A = 0.0177m
 
3
Q = vA
Q = 0.45 0.0707
m
Q = 0.0318
s
 
3
Q = vA
Q = 0.20 0.0177
m
Q = 0.00354
s

40
 
3
Q = vA
Q =1 2
m
Q = 2
s
Ejemplo 6
Calcule la energía del canal rectangular con una velocidad de 45 m/s y con las siguientes
características.
Datos
y=3
b=5
v=45 m/s
Ejemplo 7
El canal de la figura es de sección rectangular de ancho constante y tiene un gasto unitario
(q) de 3m3
/s/m determine h2 si las pérdidas y la pendiente son cero.
Datos
q=3 m3
/s/m
h1=3 m
y=3
b=5 m
Solución
 
 
2
2
v
E = y +
2g
45
E = 3+
2 9.81
E =106.21m
z
h1=3m
1 2
h2
S0=0
zΔ = 0.26m
fh = 0

41
Solución
   
 
 
2 2
1 2
1 1 2 2 f
2 2
1 2
2
22
33
1 c
v v
z + y + = z + y + + h
2g 2g
v v
3+ = 0.26 + y +
2 9.81 2 9.81
3q
R = y = = = 0.972m
g 9.81
v = gy
v = 9.81 0.972
m
v = 3.088
s

Ejemplo 8
En un canal rectangular se tienen mediciones en las secciones 1 y 2. Si los datos son los
indicados, calcule el gasto.
Datos
h1=3.80 m
z1= 5 m
1-2fh =0 m
Solución
Para usar la fórmula de la continuidad
es necesario saber la velocidad del canal
por esa razón despejamos la velocidad de
la fórmula 1 1 2 2h v = h v y la sustituimos en
la energía cinética de la siguiente fórmula
1-2
2 2
1 1 2 2 f
v v
z + h + = z + h + + h
2g 2g
, como se muestra a continuación:
Si se considera la misma energía cinética
   
2 2
2
2
2
2
3.08 3.08
3+ = 0.26+ y +
19.62 19.62
3+0.48 = 0.26+ y +0.48
3-0.26 = y
y = 2.74m
B=12.5 m
b=12.5 m
Sección
0
0
B=b=12.5 m
h2=1.25 m
h1=3.8 m
1zΔ = 5m h2=1.25 m
PERFIL

42
1 1 2 2h v = h v (1)
1 1
2
2
h v
v =
h
(2)
2 2
1 2
1 1 2 f
v v
z + h + = h + + h
2g 2g
(3)
2 2
1 2
2 1 f
v v
- = h -z -h + h
2g 2g
(4)
 2 2
1 2 2 1 fv -v = 2g h -z-h +h (5)
 
2
2 1 1
1 2 1 f
2
v h
v - = 2g h -z-h +h
h
 
 
 
(6)
 
2 2
2 1 1
1 2 1 f2
2
v h
v - = 2g h -z-h +h
h
(7)
 
2
21
1 2 1 f2
2
h
1- v = 2g h - z - h + h
h
 
 
 
(8)
 2 1 f2
1 2
1
2
2
2g h - z - h + h
v =
h
1-
h
(9)
 1-2
1
2
2 1 f
1 2
1
2
2g h - z - h + h
v =
h
1-
h
 
 
 
 
   
        
(10)
  
1 2
2 9.81 1.25-5-3.8+0
v =
3.8
1-
1.25
  
     
(11)
1
m
v = 4.24
s

43
Ahora que tenemos la velocidad podemos calcular el caudal con la fórmula de la
continuidad.
A=h1(b)
A=3.8(12.5)
A=47.50 m2
Q=vA
Q=4.24(47.50)
Q=201.4 m3
/s
Ejemplo 9
Sí en un canal se tienen los siguientes datos a qué tipo de régimen corresponden.
Datos
S0=0.020
h0=1.20 m
Solución
A=1.2(6)
A=7.2 m2
Pm=2h0+b
Pm=2(1.2)+6
Pm=8.4 m
B=b=6 m
n=0.014
h
m
A
Rh =
P
7.2
Rh =
8.4
Rh = 0.857m
 
2 1
3 2
0
2 1
3 2
3
A
Rh S
n
q =
B
7.2
0.857 0.020
0.014
q =
6
m
q =10.9347
s
m
  
  
  
  
  
    
1
2 3
c
2
3
c
c
q
h =
g
10.9347
h =
9.81
h = 2.30m
 
 
 

44
h0=1.20 m< hc= 2.30 m Por ser h0<hc, el régimen es supercrítico
Ejemplo 10
Calcule la pérdida total de energía entre las secciones 1 y 2 para el canal rectangular de la
figura.
Datos
h1=3 m
A=30 m2
1 =1.12
Solución
0
o
θ = arctan(S )
θ = arctan(0.78)
θ = 37.95
L
h1
S0
h2
v1=3 m/s
S0=0.78
h2=0.50 m
A2=5 m2
2 = 1.22
L=25 m
 
1 1 2 2
1 1
2
2
2
2
A v = A v
A v
v =
A
30 3
v =
5
m
v =18
s
 
 
 
 
 
 
1-2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1 2 2
0 1 2 f
2 2
o
α v α v
L S + h Cosθ + = h Cosθ + + h
2g 2g
1.12 3 1.22 18
25 0.78 +3Cos37.95 + = 0.50Cos37.95+
2 9.81 2 9.81
19.5+ 2.3656 +0.5138-0.3943-20.1468 =
1.84m
f
f
f
h
h
h









45
CAPÍTULO 3
ECUACIÓN DEL RESALTO HIDRÁULICO
3.1 Fuerza hidrostática
En el capítulo anterior se estableció las características del agua y la definición de un canal,
así como las diferentes clasificaciones de este, ya sea por su origen o por su geometría; se
conoció también su clasificación por cantidad de masa o por cantidad de agua por unidad
de tiempo, entre otros tipos de clasificaciones, así como también las ecuaciones
fundamentales; como la ecuación de Castelli o la ecuación de la energía, ecuaciones las
cuales se desprenden de las ecuaciones básicas del movimiento.
Así también se observó la ecuación de la energía específica donde se comentó que el agua
es una masa que se mueve; esta puede estar en reposo la cual contiene energía potencial y
al usarse de una correcta manera puede producir energía eléctrica como es el caso de las
centrales hidroeléctricas, así como puede estar en reposo el agua puede estar en movimiento
también produciendo energía cinética, esta ecuación nos permite clasificar el agua de
acuerdo a su flujo.
En este capítulo se estudiará el flujo rápidamente variado, este es ejemplificado
comúnmente de la siguiente manera; considérese un canal cualquiera en un tramo corto x,
el flujo es interrumpido bruscamente y cambia su energía, a este cambio brusco de energía
se le llama flujo rápidamente variado y se puede dar en un canal por medio del cambio
repentino de pendiente en una sección del canal o en su defecto en el cambio repentino de
las dimensiones de un canal comúnmente la reducción brusca de una sección.
En el flujo rápidamente variado se puede dar un fenómeno llamado resalto hidráulico o
salto de Bidone en honor al ingeniero Giorgio Bidone (Casalnoceto, 19 de enero de 1781 -
Turín, 25 de agosto de 1839) quien fue el primero en estudiar este fenómeno en 1818, y es
comúnmente definido como el fenómeno localizado que se produce normalmente en
distancias cortas respecto a una longitud total en donde se producen cambios de regímenes
hidráulicos de supercríticos a subcríticos.
Las aplicaciones de este fenómeno son muy diversas sobre todo en la industria, la cual se
recurre al salto hidráulico para realizar mezclas de sustancias; en el campo de la ingeniería
civil se provoca este fenómeno para reducir la carga de energía de un canal para que al
liberarla esta salga con una carga de energía mucho menor que con la que entró esto con la

46
Q
finalidad de que la energía del agua no destruya el concreto, lo mismo ocurre en una presa
aquí la energía del agua es producida por la altura en que se encuentra solamente que aquí
se le conoce como caída hidráulica y se contrarresta con un concreto armado más resistente
y en ocasiones colocando rocas para romper la energía que lleva el agua y disminuir esta.
Figura 19. Representación de un resalto hidráulico
En la figura 19 se puede observar una representación de un resalto hidráulico donde se
puede apreciar que las flechas indican que aguas arriba la velocidad del agua está muy
acelerada y al pasar por el resalto hidráulico se observa que las flechas indican que el agua
se desplaza con menos energía.
Suponga un canal cerrado de sección rectangular en estado de reposo como se observa en la
figura 20.
Figura 20. Sistema de fuerzas actuantes
Observando la figura se puede visualizar como sobre la compuerta actúan dos fuerzas “F”
sobre esta y que están en equilibrio, a esto se le llama fuerza hidrostática. Las fuerzas
hidrostáticas que actúan en el canal de la figura son determinadas por:
F = mg (87)
F
P =
A
(88)

47
Despejando F de (88):
F = PA (89)
Sustituyendo (87) en (88):
mg
P =
A
(90)
Sí
m
ρ =
V
(91)
Entonces m = ρV (92)
Pero se sabe que: γ = ρg (93)
Despejando ρ
γ
ρ =
g
(94)
ρVg
P =
A
(95)
γ
Vg
γV γAhg
P = = = = γh
A A A
Por lo tanto: P = γh (96)
Sustituyendo (96) en (89) F = γhA (97)
Dónde:
F= Fuerza actuante en el centro de gravedad de la sección empujada.
h= Tirante de agua.
A= Sección empujada.

48
Q
Por lo tanto, la ecuación 97 se puede escribir como:
GF = γhZ (98)
Las fuerzas actuantes en la figura son:
11 1 1 GF = γ h Z (99)
 22 2 2 GF = - γ h Z (100)
3.2 Fuerza dinámica
Figura 21. Sistema de fuerzas actuantes en un canal con las compuertas abiertas
Sí en un instante “t” se abre la compuerta de la figura, el agua circula con una energía
cinética de 1 a 2, generando una fuerza “F” debido a la cantidad de movimiento, cuya
expresión general se deduce a continuación.
De la ecuación (86) se puede reescribir
F= ma (101)
F = ρVa (102)
Sí
v
a =
t
(103)
Y: V = Qt (104)

49
Entonces:
γ v
F = Qt
g t
Se eliminan las unidades de tiempo
γ
F = Qv
g
(105)
La fuerza total generada entre 1 y 2 es:
 1-2 2 1
γ
F = Q v -v
g
(106)
2 1
1-2 2 2 1 1
γ γ
F = Q v - Q v
g g
(107)
El sistema de fuerzas resultante es considerado la hidrostática y la cantidad de movimiento:
1 2
2 1
2 11 G 1 2 G 2 2 1
γ γ
γ Z A - γ Z A = Q v - Q v
g g
(108)
Dónde:
γ = Peso específico del agua
GZ =Centro de gravedad de la sección
A= Área o Superficie de empuje
g= Fuerza de gravedad
Q= Caudal
v= Velocidad promedio del flujo
Dividiendo entre γ a (107)
2 12 1
G 1 G 2
Q v Q v
Z A - Z A = -
g g
(109)

50
Sí
Q
v =
A
entonces:
1 2
2 2
2 1
G 1 G 2
2 1
Q Q
Z A -Z A = -
gA gA
, acomodando términos
La ecuación general del resalto hidráulico
1 2
2 2
1 2
G 1 G 2
1 2
Q Q
Z A + = Z A +
gA gA
(110)
La ecuación del resalto hidráulico, expresa las fuerzas hidrostáticas y las fuerzas de
cantidad de movimiento de la cota 1 y la cota 2.
3.2.1 Cantidad de movimiento
Se supone la ecuación del resalto hidráulico (110) para un canal rectangular por dos
razones:
1. Para provocar un resalto hidráulico estable.
2. Por facilidad de cálculo.
De la misma manera se supone también que es un flujo permanente y flujo uniforme
por facilidad de cálculo.
Figura 22. Canal de sección cuadrada con empuje E
Donde E es el empuje hidrostático para una sección rectangular, entonces:
G
h
Z =
2
(111)
Y A = Bh (112)
E
h = y
B

51
Sustituyendo (108) y (109) en (107):
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
h Q h Q
B h + = B h +
2 gA 2 gA
(113)
2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 2
h Q h Q
B + = B +
2 gA 2 gA
(114)
Que se puede escribir como
2 22 2 2 2 2 2
1 21 1 1 2 2 2
1 2
1 1 2 2
h v B h h v B h
B + = B +
2 gB h 2 gB h
(115)
2 22 2
1 21 1 1 2 2 2
1 2
h v B h h v B h
B + = B +
2 g 2 g
(116)
Como se tiene una constante B se divide toda la ecuación entre esta constante.
2 22 2
1 21 1 2 2h v h h v h
+ = +
2 g 2 g
(117)
Se acomodan términos
2 22 2
2 11 2 2 1h h v h v h
- = -
2 2 g g
(118)
Se factorizan las ecuaciones
   2 22 2
2 11 2 2 1
1 1
h -h = v h - v h
2 g
(119)
Se despeja y se iguala a cero
   2 22 2
1 21 2 1 2
1 1
h -h + h v -h v = 0
2 g
(120)
Considerando el q (Gasto unitario)
Q vBh
q = q = q = vh
B B
 

52
Se despeja la velocidad (v)
q
v =
h
(121)
Sustituyendo (122) en (121)
 
2 2
2 2 1 2
1 1 1 22 2
1 2
q q1 1
h - h + h - h = 0
2 g h h
 
 
 
(122)
Reduciendo términos
 
2 2
2 2 1 2
1 2
1 2
q q1 1
h - h + - = 0
2 g h h
 
 
 
(123)
Se factoriza el término de q y se tiene:
 
2
2 2
1 2
1 2
1 q 1 1
h - h + - = 0
2 g h h
 
 
 
(124)
Se multiplica por dos la ecuación para eliminar el un medio.
 
2
2 2
1 2
1 2
2q 1 1
h - h + - = 0
g h h
 
 
 
(125)
La ecuación (125) se puede reescribir como:
  
2
1 2
1 2 1 2
1 2
h - h2q
h - h h + h - = 0
g h h
 
 
 
(126)
Dividiendo entre  1 2h -h :
2
1 2
1 2
2q 1
h + h - = 0
g h h
 
 
 
(127)
Multiplicando por 2h :
2
2 2
2 1 2
1 2
h2q
h + h h - = 0
g h h
 
 
 
(128)

53
Acomodando términos
2
2
2 1 2
1
2q 1
h + h h - = 0
g h
 
 
 
(129)
Otra manera de escribir esta ecuación es:
2
2
2 1 2
1
2q
h + h h - = 0
gh
(130)
Una forma de solucionar esta ecuación es utilizando la fórmula general para la resolución
de ecuaciones de segundo grado:
Sí 2
Ax + Bx + C = 0
2
-b ± b -4ac
x =
2a
Para 1h =tirante alterno 1
22
1 2
h
h = -1+ 1+8fr
2
 
 
(131)
Para 2h =tirante alterno 2
21
2 1
h
h = -1+ 1+8fr
2
 
 
(132)
El salto hidráulico se puede clasificar por sus tirantes según sea el tirante 2h (después del
salto); menor, igual o mayor al tirante fijo aguas abajo
'
2h según sea en los siguientes
casos:
Caso 1. Sí
'
2 2h h ; salto ahogado
La energía en la sección 2 es menor que en la sección '
2 ; luego, el empuje es
mayor hacia la izquierda y se “ahoga” la zona del salto. Este salto es el más estable.

54
Figura 23. Salto hidráulico ahogado
Caso 2. Sí
'
2 2h = h ; salto claro
Ambas secciones tienen la misma energía y existe un equilibrio total. Este salto es el
más eficiente debido a que en el resalto hidráulico se busca provocar una gran
disipación de energía.
Figura 24. Salto hidráulico claro
1h 2h
'
2h
1h
2h '
2h

55
Caso 3. Sí
'
2 2h h ; salto corrido
La energía de la sección 2 es mayor que la de la sección 2´. Sucede lo opuesto al
primer caso, el salto se corre y sigue un perfil ondulado perdiendo energía hasta
alcanzar el nivel correspondiente al tirante
'
2h . Este tipo de salto es poco eficiente y
muy inestable, por lo que debe evitarse siempre.
Figura 25. Salto hidráulico corrido (ondulado)
A continuación, las principales fórmulas empíricas para el cálculo del resalto hidráulico en
canales rectangulares.
Smetana  2 1L = 6 h -h (133)
Safranez 1 1L = 5.9h fr (134)
Einwachter  1L = 8.3h fr -1 (135)
Wóycicki   2
2 1
1
h
L = h - h B-0.05
h
 
 
 
(136)
Chertusov  
0.81
1 1L =10.3h fr -1 (137)
1h 2h '
2h

56
3.3 Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico
En esta sección pondremos en práctica con unos sencillos ejemplos las aplicaciones
prácticas de la ecuación del resalto hidráulico.
Ejemplo 1
Considere un canal rectangular cuyo ancho B= 6m, en dicho canal se presenta un resalto
hidráulico y uno de sus tirantes es igual a 0.40 m; por el canal pasan 50 mil litros/seg.
Calcular el tirante conjugado, las pérdidas de energías 1-2E f= h  y las longitudes del
resalto hidráulico.
Datos
Q= 50 mil litros/seg
1y = 0.40m
B= 6 m
Solución
A=bh
A=6(0.4)=2.40 m2
Q=vA
Q 50 m
v = = = 20.83
A 2.40 s
 
v 20.83
Fr = = =10.51
gy 9.81 0.4
B=6 m
y= 0.40
m
y2=?
 
21
2 1
2
2
h
h = -1+ 1+8Fr
2
0.4
h = -1+ 1+8 10.51
2
 
 
 
  
h2= 5.75 m
 
 
  
3
2 1
E 1-2
1 2
3
1-2
1-2
h - h
Δ = h =
4h h
5.75-0.4
h =
4 5.75 0.4
h =16.64m




57
Longitudes del resalto hidráulico
Smetana=
 2 1L = 6 h -h
L = 6(5.75-0.4) = 32.10m
Satranez= 1 1L = 5.9h Fr
L = 5.9(0.4)(10.51) = 24.80m
Einwachter=
 
1L = 8.3h (Fr -1)
L = 8.3(0.4) 10.51-1 = 31.57m
Wóyciki=
 
 
2
2 1
1
h
L = h -h B-0.05
h
5.75
L = 5.75-0.4 6-0.05 = 28.25m
0.4
  
  
  
  
  
  
Chertusov=
 
  
0.81
1 1
0.81
L =10.3h Fr -1
L =10.3 0.4 10.51-1 = 25.54m
Como conclusión del ejercicio se puede decir que es válida cualquier fórmula, sin embargo
es preferible al usar todas estas fórmulas sacar al final un promedio de todas las longitudes
por seguridad y economía.
Ejemplo 2
Con base en la siguiente figura calcule H y z para que se presente un salto hidráulico claro
al pie del cimacio indicado en la figura.
L=B=b=22 m
h1=0.8 m
h2=4.2 m
CD=2.10
H
z
h1
h2
P.H.C.

58
Solución
 
 
 
1
21 2
2 1
1
22 2
1
1
1
22 2
1
1
2
22
1
1
2
22
1
1
2
2
1
1
2
1
1
h
h = 1+8Fr -1
2
h
1+8Fr -1
h
2
h
+1= 1+8Fr
h
2
h
+1 =1+8Fr
h
2
h
+1 -1= 8Fr
h
2
h
+1 -1
h
2 = Fr
8
4.2
+1 -1
0.8
2Fr =
8
Fr = 4.05
  
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
1 1
1
2
1
1 1
3
3
2
D
2
3
D
2
3
2
1
1
2
1
1
2
v
Fr =
gy
v = Fr gy
v = 4.05 9.81 0.8
m
v =11.35
s
A = bh
A = 22 0.8
A =17.6m
Q = A v
Q =17.6 11.35
m
Q =199.76
s
Q = C LH
Q
H =
C L
199.76
H =
2.10 22
H = 2.65m
v
z + H = h +
2g
v
z = h + -H
2g
11.35
z = 0.80 + -2.65
2 9.81
z = 4.71m
 
 
 
 
 
 

59
Ejemplo 3
Con los datos proporcionados en la siguiente figura, calcule la cota A.
Datos
Cota B=100 m.s.n.m.
CD=2.00
z=6 m
hB=2.50 m
hB=hc
Solución
 
1
2 3
c
2
3
c
3
c
3
3
q
h =
g
q
h =
g
q = gh
q = 9.81 2.5
m
q =12.38
s
m
 
 
 
Ejemplo 4
En un canal rectangular, de ancho constante en toda la longitud de la estructura, determine
qué tipo de salto se presenta aguas abajo del cimacio
Datos
H
z
Cota A
P.H.C.
Cota B
S0=0
hB
S0>Sc
3
2
D
2
3
D
2
3
q = C H
q
H =
C
12.38
H =
2
H = 3.37m
 
 
 
 
 
 
Cota A= Cota B+z+H
Cota A= 100+6+3.37
Cota A=109.37 m.s.n.m.
Bh = 3m
2
0
3
v
= 0m
2g
m
q = 4
s
m
H = 5.50m
H
hB

60
Solución
 
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
q
h
H = h +
2g
4
h
5.50 = h +
2 9.81
4
h
5.50 = h +
19.62
h =1m
4
1
5.50 =1+
19.62
5.50 1.81
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1
2
1
2
h = 0.50m
4
0.50
5.50 = 0.50 +
19.62
5.50 3.76
h = 0.40m
4
0.40
5.50 = 0.40 +
19.62
5.50 5.4968 5.50
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
  
1
1
1
1
1
1
2
1
21
2 1
2
2
2
q = vh
q
v =
h
4
v =
0.40
m
v =10
s
v
Fr =
gh
10
Fr =
9.81 0.40
Fr = 5.05
h
h = 1+8Fr -1
2
0.40
h = 1+8 5.05 -1
2
h = 2.66m
     
  
   
Como h2< hB se presenta un salto hidráulico
ahogado.

61
Ejemplo 5
En la figura se presenta un salto hidráulico claro. Si se cuenta con los siguientes datos:
Datos
CD= 2.12
H=4.80 m
h2= 7.50 m
0-1fΔh = 0
Calcular:
a) El desnivel z.
b) La longitud del tanque amortiguador L Tanque.
c) Las pérdidas de energía ocasionadas por el salto hidráulico 1-2fΔh
Solución a)
3
2
D
3
2
3
2 2
2
2
2
2
q = C H
q = 2.12(4.80)
m
q = 22.29
s
m
q = v h
q
v =
h
22.29
v =
7.50
m
v = 2.97
s
H
z
h1
h2
S0=0
L Tanque
P.H.C.
 
 
  
2
2
1
22 2
1 2
1
2 2
1
1
v
Fr =
gy
2.97
Fr =
9.81 7.50
Fr = 0.35
h
h = 1+8Fr -1
2
7.50
h = 1+8 0.35 -1
2
h =1.53m
  
   
   
  
  
    
 
 
1 1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
q = v h
q
v =
h
22.29
v =
1.53
v =14.57
v
z + H = h +
2g
v
z = h + - H
2g
14.57
z =1.53+ - 4.80
2 9.81
z = 7.55m

62
b)
L Tanque=  2 16 h -h
L Tanque= 6(7.50 -1.53)
L Tanque= 35.82 m
c)
 
 
 
 
1-2
1-2
1-2
1-2
1-2
1-2
2 2
1 2
1 1 2 2 f 1 2
2 2
1 2
1 2 f
2 2
f
f
f
f
v v
z + h + = z + h + + Δh z = z = 0
2g 2g
v v
h + = h + + Δh
2g 2g
14.57 2.97
1.53+ = 7.50+ + Δh
2 9.81 2 9.81
12.35 = 7.95+ Δh
Δh =12.35-7.95
Δh = 4.40m

También se puede utilizar para el cálculo de las pérdidas de energía en un salto claro la
siguiente fórmula:
 
 
  
1-2
1-2
1-2
3
2 1
f
1 2
3
f
f
h -h
Δh =
4h h
7.5-1.53
Δh =
4 1.53 7.50
Δh = 4.63m
Ejemplo 6
Calcule
'
2h si el salto hidráulico tiene un ahogamiento del 15%.
Datos
H0= 2.50 m a= 0.50 m
= 0.85
B=b= 5 m
H0
a
h1
h’2 (fija)

63
Coeficiente Cc de la tabla obtenida por Yukorsky
a/H0 Cc
< 0.10 0.611
0.20 0.620
0.30 0.625
0.40 0.630
0.50 0.645
0.60 0.660
0.65 0.675
0.75 0.705
Solución
0
a 0.50
= = 0.20
H 2.50 , por lo tanto Cc= 0.620
 
      
1
1
1
1
2
0 1
1
2
1
1
1
1
h = aCc
h = 0.50(0.620)
h = 0.31m
q = Cc a 2g H -h
q = 0.620 0.85 0.50 2 9.81 2.50-0.31
m
q =1.73
s
m
q
v =
h
1.73
v =
0.31
m
v = 5.58
s
   
  
 
 
  
 
1
1
1
21 2
2 1
1
2 2
2
2
'
2 2
'
2
'
2
v
Fr =
gy
5.58
Fr =
9.81 0.31
Fr = 3.2
h
h = 1+8Fr -1
2
0.31
h = 1+8 3.2 -1
2
h =1.256m
h =1.15h
h =1.15 1.256
h =1.44m
 
 
 
 
 
  

64
Ejemplo 7
En la figura se indica el perfil de un canal rectangular que descarga transversalmente a un
río, siendo:
Datos
3
1
m
q = 6
s
m
h = 0.50m
Calcule h2 y 1-2fh si se presenta un salto hidráulico claro. Dimensione el tanque
amortiguador.
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
2 1
2
2
2
q
v =
h
6
v =
0.50
m
v =12
s
v
Fr =
gy
12
Fr =
9.81(0.50)
Fr = 5.42
h
h = -1+ 1+8Fr
2
0.50
h = 1+8 5.42 -1
2
h = 3.59m
 
 
 
  
h1
h2
 
 
  
1-2
1-2
1-2
3
2 1
f
1 2
3
f
f
h - h
Δh =
4h h
3.59-0.50
Δh =
4 0.50 3.59
Δh = 4.11m
Longitud del tanque amortiguador
Smetana
2 1L = 6(h -h )
L = 6(3.59-0.50)
L =18.54m
Safranez
1 1L = 5.9h Fr
L = 5.9(0.50)(5.42)
L =16m

65
Einwachter
 
 
1 1L = 8.3h Fr -1
L = 8.3(0.50) 5.42-1
L =18.34m
Chertusov
 
  
0.81
1 1
0.81
L =10.3h Fr -1
L =10.3 0.50 5.42-1
L =17.16m
Ejemplo 8
Dado el siguiente canal donde B=b=10 m y Q= 100 m3
/s, se desea confinar el salto
hidráulico de manera que fuera del tanque amortiguador la velocidad en el canal no
sobrepase la velocidad límite Vmax=0.8 m/s, el escalón que se presenta mide h2/6.
Calcule el tirante h1 considerando que el salto es claro (suponga 2-0fh = 0).
Datos
B= b= 10 m
Q= 100 m3
/s
Vmax=0.8 m/s
2-0
2
f
h
Δz =
6
h = 0
Solución
2
2
Q = vA
Q
A =
v
100
A =
0.8
A = 125m
h1
h2
h0
Q
2h
Δz =
6
2
2
2
A = hb
A
h =
b
125
h =
10
h =12.5m
2
2
2
2
2
v
Fr =
gy
0.8
Fr =
9.81(12.5)
Fr = 0.07
 
2
1
1
12.5
h = -1+ 1+8 0.07
2
h = 0.12m
 
  

66
Ejemplo 9
¿Qué tipo de salto se presenta en el siguiente canal rectangular?
Datos
q= 30 m3
/s/m
hA=1.6 m
z=16 m
h’2= 13 m
h2= ?
Solución
q = vh
q
v =
h
30
v =
1.6
m
v =18.75
s
v
Fr =
gy
18.75
Fr =
9.81(1.6)
Fr = 4.73
Ejemplo 10
En un canal rectangular se presenta un salto con ahogamiento del 12%, CD= 2.12.
Cota B= 100 m. Calcule la cota A.
hA=1.6 m
A
q=30 m3
/s/m
z=16 m
h’2=13 m
 
2
2
2
1.6
h = -1+ 1+8 4.73
2
h = 9.93m
 
  
Como h2= 9.93 m < h’2=13 m el resalto hidráulico es ahogado.

67
Solución
Sí H=hA=10 m
 
 
3
2
D
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
q = C H
q = 2.12 10
m
q = 67.04
s
m
q
v =
h
67.04
v =
10
m
v = 6.7
s
v
Fr =
gy
6.7
Fr =
9.81 10
Fr = 0.68
 
22
1 2
2
1
1
1
h
h = -1+ 1+8Fr
2
10
h = -1+ 1+8 0.68
2
h = 5.84m
CotaA = CotaB+ h
CotaA =100 +5.84
CotaA =105.84
 
 
 
  

68
CAPÍTULO 4
ECUACIONES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA DE
CANALES PARA FLUJO UNIFORME
4.1 Ecuación de Chézy
Para que un flujo sea considerado flujo uniforme este debe cumplir con ciertas condiciones
las cuales según la hipótesis del flujo uniforme son las siguientes.
Sus pendientes deben ser iguales 0 a eS = S = S
Dónde:
0S = pendiente del canal
aS = pendiente del agua
eS = pendiente de la energía
Lo que significa que la pendiente del canal, de la línea del nivel del agua y de la línea de
energía debe ser la misma en cada una de ellas. La pendiente 0S se puede determinar con la
siguiente expresión y a partir de allí determinar las demás pendientes requeridas.
0
Δh
S =
L
(138)
Figura 26. Condición de pendiente para el flujo uniforme en un canal
L

69
Además de la condición anterior hay ciertos requisitos que se deben cumplir para que el
flujo sea llamado uniforme como los siguientes.
 Prismático. El canal deberá mantener siempre una misma geometría pues al cambiar
esta entonces cambiará su velocidad o gasto y el flujo dejará de ser uniforme.
 1 2 3 ny = y = y = ...y . Para que el flujo sea uniforme el canal deberá mantener en
todo momento y a lo largo del canal un mismo tirante.
 1 2 3 nQ = Q = Q = ...Q . Deberá mantener un mismo gasto en toda la sección.
 1 2 3 nv = v = v = ...v . Para que un flujo sea uniforme este deberá mantener una
misma velocidad en todo el canal.
 Permanente.
 Irrotacional. Esto es cuando las partículas del fluido tienden a deslizarse sin rotar
entre ellas. Este caso se da cuando el flujo es laminar sin embargo se supone que el
flujo es irrotacional por facilidad del cálculo.
 Las líneas de flujo son paralelas (no divergentes) (no convergentes).
Otro de los factores a considerar en un canal es la fricción que este tendrá, un canal puede
ser rugoso o liso de acuerdo al tipo de acabado que tenga; se dice que es rugoso cuando es
un canal de tierra en el que pueden presentarse partículas vegetales y que por lo tanto puede
haber un alto índice de filtración en el suelo y arrastre de partículas. Por otro lado, los
canales de concreto o mampostería según su acabado pueden ser lisos o rugosos sin
embargo para efectos prácticos estos se consideran como un canal liso por su bajo
porcentaje de infiltración y arrastre de partículas.
Antoine de Chézy (1 de septiembre de 1718, Châlons-en-Champagne- 4 de octubre de
1798, París) fue un ingeniero que en 1768 siendo escogido como colaborador de Jean-
Rodolphe Perronet dedujo la fórmula de Chézy que permite calcular la velocidad media de
una corriente en flujo uniforme conociendo la pendiente y el radio hidráulico.
Se sabe que la fórmula de Chézy para la velocidad en flujo uniforme es:
0v S Rh (139)
Se sabe que la fórmula para la determinación del radio hidráulico es
Ah
Rh =
Pm
esta
fórmula se substituye en Rhy se tiene.
0
Ah
v S
Pm
 (140)

70
Se agrega el coeficiente de Chézy (C) para el cálculo de velocidad en canales abiertos como
coeficiente de resistencia.
0v = C S Rh (141)
Para el cálculo del coeficiente de Chézy (C) como coeficiente de resistencia hay varias
versiones, se toma la fórmula de Ganguillet y Kutter (1877) en el sistema métrico por ser la
más exacta para el estudio de este tema.
0
0
1 0.00155
23+ +
n S
C =
0.00155
1+ n 23+
S
Rh
 
 
 
(142)
Donde:
Rh= Radio hidráulico
0S = Pendiente del canal
C= coeficiente de resistencia de Chézy
n= Factor de rugosidad.
El factor de rugosidad (n) depende del material con que este hecho el canal ya sea tierra,
concreto, mampostería, etc.
4.2 Ecuación de Robert Manning
La ecuación de Manning- Strickler fue acuñada por el ingeniero Robert Manning (1816-
1897) y el ingeniero Albert Strickler (1887-1963) de manera independiente, es una
ecuación empírica que se utiliza para estimar la velocidad media de un líquido que fluye
sobre un conducto.
Q = vA (16)
2
3
0
A
Q = Rh S
n
(143)
2
3
0
1
v = Rh S
n
(144)

71
Donde:
v= Velocidad media de la sección transversal
n= Rugosidad de Manning (Esfuerzo cortante)
0S = Pendiente de la sección
Considérese la figura 24 como un canal trapezoidal en la que 1 2m = m , para este tema es
posible no partir de la ecuación de continuidad (Q = vA ).
Figura 27. Canal con sección trapezoidal y diferencial de superficie ds
Sea un canal natural, un trapezoidal o de cualquier otra forma; sin importar el material del
que esté construido para fines matemáticos se partirá de la idea de que se estudia un canal
trapezoidal. A este canal se le toma una diferencial de superficie y a esta muestra se le da el
nombre de diferencial de superficie ds.
Figura 28. Diferencial de superficie del canal de estudio
A esta superficie no importa que tan pequeña sea, está asociada a un vector al que se le dará
el nombre de vector v

y esta superficie vectorial matemáticamente es igual a:
x= v ds

(145)
ds
ds

72
Y este a su vez se expresa:
 x,y,z i j z
d
= v + v + v
dx
 (146)
que es la partícula que se encuentra en el canal.
De esta forma la velocidad es la tasa de cambio de sus vectores asociados i, j y z como se
muestra a continuación.
ji z
x,y,z
dvdv dv
= + +
dx dy dz
 (147)
Que es lo que realmente ocurre en el canal, esta partícula se desplaza en tres direcciones.
Como se muestra más claramente en la figura 26.
Figura 29. Representación de los vectores de una partícula de agua en un canal
Figura 30. Acercamiento de la partícula de vectores en el canal
Para el estudio de este se toma el vector en la dirección en x (vector iv ). Para que esta
teoría sea válida se debe considerar un flujo uniforme, esta propiedad se define como la
cantidad de masa; que se refiere a la cantidad de masa que pasa en ese diferencial que se
define como el vector por la diferencial ds. Pero si se quiere saber cuánta masa pasa en esa
sección se suman todos los vectores de superficie que es el área de toda la sección que es la

73
masa total, la cual se llamará caudal (Q) y está determinada por la integral de la velocidad
xv por la diferencial de superficie ds.
xv ds (148)
Que es igual a la ecuación de la continuidad
xQ v A (149)
Pero para flujo uniforme como no hay una ecuación de la continuidad que tome en cuenta
una velocidad en una pendiente que da de la siguiente forma.
Ecuación de la conservación de masa para Chézy es
0Q = C Rh S A (150)
Donde:
Q= Caudal (m3
/s)
C= Coeficiente de resistencia de Chézy
A= Área de la sección (m2
)
En la versión de Manning se tiene
 
2
3
0
1
Q = Rh S A
n
(151)
Q= Caudal (m3
/s)
n= Coeficiente de Resistencia de Manning

74
A= Área de la sección (m2
)
Que son las ecuaciones de conservación de masa aplicada a flujo uniforme.
En los canales a superficie libre naturales y artificiales se da el caso de que su rugosidad
entendida esta como la “n” de manning;
2
3
0
A
Q = Rh S
n
(152)
2
3
0ARh S
n =
Q
(153)
puede ser distinta en una sección determinada. Por ejemplo, en un río:
Figura 31. Canal natural con diferentes características del fondo
En un canal de riego de sección trapezoidal:
Figura 32. Canal artificial con diferentes coeficientes de resistencia
Tierra
Piedras
(Bolcos)
Pasto
Mampostería
Mampostería
Concreto

75
En otro caso
Figura 33. Canal de sección compuesta con dos coeficientes de resistencia
Por esa razón, Horton y Hans Albert Einstein, propusieron una “n” equivalente ( en ) para
los diferentes tipos de rugosidad que pueda contener el canal.
La ecuación Horton- Einstein
 
2
1.5 3
i i
e
Pn
n =
P
 
 
  
 (154)
2
1.5 1.5 1.5 1.5 3
1 1 2 2 3 3 n n
e
Pn + P n + P n +...+ P n
n =
P
 
 
 
(155)
Donde:
n; son los diferentes factores de resistencia en el canal.
P es el perímetro mojado.
Mampostería
(Gavión)
Mampostería
(Gavión)
Concreto

76
4.3 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de canales para flujo
uniforme
En esta sección se resolverán ejercicios relacionados con los temas vistos en este capítulo.
Ejemplo 1
En un canal de sección rectangular se presentan las siguientes condiciones, determine:
a) Tipo de régimen.
b) La pendiente del canal para que el régimen sea crítico con el mismo gasto.
Datos
h0= 0.30 m
Q=90 m3
/s
Solución a)
3
Q
q =
B
90
q =
10
m
q = 9
s
Solución b)
S0=Sc
Pc=b+ 2hc
Pc=10+ 2(2.02)
Pc= 14.04 m
Ac=bhc
Ac=10(2.02)
Ac=20.2 m2
B=10 m
n=0.012
 
1
2 3
c
1
2 3
c
c
q
h =
g
9
h =
9.81
h = 2.02m
 
 
 
 
 
  
h0=0.30 m< hc=2.02 m por lo tanto el régimen del
canal es supercrítico.
c
c
c
c
c
A
Rh =
P
20.2
Rh =
14.04
Rh =1.4387m
c c
c
c
c
c
q = v h
q
v =
h
9
v =
2.02
m
v = 4.455
s
 
2 1
3 2
c c c
1
c 2
c2
3
c
2
c
c 2
3
c
2
c 2
3
c
1
v = Rh S
n
v
= S
1
Rh
n
v
S =
1
Rh
n
4.455
S =
1
1.4387
0.012
S = 0.00176
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  

77
Ejemplo 2
Un canal con régimen uniforme y sección con máxima eficiencia tiene los siguientes datos:
Datos
k=1.50
n=0.014
Determine si su régimen es subcrítico o supercrítico.
Solución
Verificar si o
θ < 10
0
o
o o
0
θ = arctan(S )
θ = arctan(0.009)
θ = 0.5156
0.5156 <10 , S S
 
  
0 1
2 2
0 1
2 2
0
b
h =
2 m +1 -m
4
h =
2 1.5 +1 -1.5
h = 6.606m
 
 
 
 
 
  
b= 4 m
S0= 0.009
   
 
   
2
0 0
2
2
1
2 2
m 0
1
2 2
m
m
A = bh + mh
A = 4 6.606 +1.5 6.606
A = 91.88m
P = b + 2h m +1
P = 4 + 2 6.606 1.5 +1
P = 27.82m
 
 
A
Rh =
P
91.88
Rh =
27.82
Rh = 3.026m
S = Senθ
S = Sen(0.5156)
S = 0.009
   
2 1
3 2
2 1
3 2
3
A
Q = Rh S
n
91.88
Q = 3.3026 0.009
0.014
m
Q =1381.2171
s
 
 
 
 
 
 

78
Como
3 2
A Q
<
B g
el régimen es supercrítico.
Ejemplo 3
Con la información disponible, ¿qué características debe tener S02 para que pueda
calcularse hA?
Datos
n=0.016
b=12 m
k=2
Solución
Para que hA pueda calcularse se debe garantizar que la sección A sea una sección crítica,
esto es posible sólo sí: S01< Sc< S02. Conocidas las características del régimen establecido a
la izquierda de la sección A, puede calcularse el gasto de la siguiente forma.
h01= 5 m
S01= 0.0004 h01 hA
S01
S02
  
 
 
0
33
22
B = b + 2mh
B = 4+ 2 1.5 6.606
B = 23.818m
91.88A
= = 32,565.4939
B 23.818
1381.2171Q
= =194,471.0171
g 9.81

79
   
 
   
1
1
1
2
1 01 01
2
1
2
1
1
2 2
m 01
1
2 2
m
m
A = bh + mh
A =12 5 + 2 5
A =110m
P = b + 2h m +1
P =12 + 2 5 2 +1
P = 34.36m
 
 
A continuación, se calcula el tirante crítico utilizando la fórmula de Agroskin.
 
3
2
3
cr
2
3
cr
cr
Q
q =
b
298.58
q =
12
m
q = 24.8817
s
m
q
h =
g
24.8817
h =
9.81
h = 3.9813m
Comprobación
En la sección crítica, debe cumplirse la condición general:
3 2
A Q
=
B g
   
1
1
m
2 1
1 3 2
1 01
2 1
3 2
3
A
Rh =
P
110
Rh =
34.36
Rh = 3.2014m
A
Q = Rh S
n
110
Q = 3.20 0.0004
0.016
m
Q = 298.58
s
 
 
 
 
 
 
 
crmh
σ =
b
2 3.98
σ =
12
σ = 0.6633
0.6633 <1
σ debe ser menor que 1 para que la fórmula sea
válida
La ecuación es válida
 
2
ct cr
2
ct
ct
σ
h = 1- + 0.105σ h
3
0.66
h = 1- + 0.105 0.66 3.98
3
h = 3.2863m
 
 
 
 
 
 

80
2
Q
= 9,093.08
g
y con el valor calculado de hct se obtiene
3
A
= 9,033.14
B
que implica un
error de 0.66%, por lo que se da por bueno el valor obtenido con la fórmula de Agroskin y
no hay necesidad de hacer ajuste. Ahora se procede a calcular la pendiente crítica Sc:
   
 
   
2
c c1 c1
2
c
2
c
1
2 2
c c1
1
2 2
c
c
c
c
c
c
c
A = bh + mh
A =12 3.29 + 2 3.29
A = 61.13m
P = b + 2h m +1
P =12 + 2 3.2863 2 +1
P = 26.6968m
A
Rh =
P
61.13
Rh =
26.6968
Rh = 2.2898m
 
 
Ejemplo 4
Con los datos proporcionados y con base de la figura, calcule el rango en que deben estar
S01 y S02 para que sea posible determinar el gasto en el canal. Explique su razonamiento.
Datos
h01=2.5 m n=0.016
hA=1.8 m
B=b=10 m
Solución
Si hA fuera igual a hc, el gasto Q
se calcularía de la siguiente forma.
 
2
c 2
3
c
298.58
S =
61.13
2.29
0.016
S = 0.0020
 
 
 
  
    
2 1
c 3 2
c c
1
2
c2
c 3
c
2
c 2
c 3
c
A
Q = Rh S
n
Q
= S
A
Rh
n
Q
S =
A
Rh
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
h01
hA
S01
S02
Perfil

81
 
c c
c
2
c
c c
3
A = bh
A =10 1.80
A =18m
Q = A v
Q =18(4.2021)
m
Q = 75.6378
s
Este gasto es correcto, si se cumple la condición: 01 c 02S < S < S
 
  
  
 
1
2 2
c c
1
2 2
c
c
c
c
c
c
c
2
c
c 2
3
2
c 2
3
P = b + 2h m +1
P =10 + 2 1.80 0 +1
P =13.6m
A
Rh =
P
18
Rh =
13.6
Rh =1.3235m
v n
S =
Rh
4.2021 0.016
S =
1.3235
 
 
 
 
 
 
 
  
 
1
2 3
c
2
3
c
3 2
c
3
c
3
3
c c
c
c
c
c
q
h =
g
q
h =
g
gh = q
q = gh
q = 9.81 1.8
m
q = 7.5638
s
m
q = h v
q
v =
h
7.5638
v =
1.80
m
v = 4.2021
s
 
 
 
0.0031cS 
Por lo tanto
S01< 0.0031< S02
Subcrítica/Crítica/Supercrítica

82
Ejemplo 5
Para el siguiente canal trapecial; calcule el caudal.
Datos
b=4 m
m=1.5
n=0.014
Solución
   
 
   
2
2
2
1
2 2
1
2 2
A = bh + mh
A = 4 1.25 +1.5 1.25
A = 7.3437m
A
Rh =
p
A
Rh =
b + 2h m +1
7.3437
Rh =
4 + 2 1.25 1.5 +1
Rh = 0.8632m
 
 
hA=1.25 m
S01=0.0004
S02=0.06
S01
hp
S02
  
 
c
c
c
3 2
c
c
3
2c
c
3
c
c
3
3
B = b + 2mh
B = 4 + 2 1.5 1.25
B = 7.75m
A Q
=
B g
gA
= Q
B
gA
Q =
B
9.81 7.3437
Q =
7.75
m
Q = 22.29
s
2 1
c 3 2
c c
2
c 2
c 3
c
A
Q = Rh S
n
Q
S =
A
Rh
n
 
 
 
 
 
 
  
  
  

83
Ejemplo 6
Calcular el tirante (y) sí tiene las siguientes características y contesta:
¿Qué ocurre?
Datos
b= 1m
v= 3 m/s
n= 0.0015
S0= 0.001/ 0.01/ 0.1
2
3
0
2
3
0
2
3
h
m
0
1
v = Rh S
n
v
= Rh
1
S
n
Av
=
1 PS
n
 
 
 
 
2
c 2
3
c
22.29
S =
7.3437
0.8632
0.014
S = 0.0022
 
 
 
  
    
Como 01 c 02S < S < S la ecuación sí es crítica y el gasto es el ya calculado.
y=?
b=1 m
 
 
 
2
3
0
2
3
2
3
v by
=
1 b + 2yS
n
1 y3
=
1 1+ 2 y
0.001
0.015
y
1.42 =
1+ 2y
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
Para un S0= 0.001
y=1 m
 
2
3
1
1.42 =
1+ 2 1
1.42 0.48
 
  
 


84
Para una S0= 0.001
y=-0.71 m
 
2
3
-1.42
1.42 =
1+ 2 -1.42
1.42 =1.42
 
  
 
Para una S0=0.1
y= 0.1 m
 
 
 
2
3
2
3
2
3
1 y3
=
1 1+ 2y
0.1
0.015
y
0.14 =
1+ 2y
0.1
0.14 =
1+ 2 0.1
0.14 0.23
 
   
   
    
    
 
 
 
 
  
 

Para un canal con forma trapezoidal
Datos
b= 1 m
z= 1
n= 0.015
v= 3 m/s
S0=0.001/0.01/0.1
Para una S0=0.01
 
 
 
2
3
2
3
1 y3
=
1 1+ 2 y
0.01
0.015
y
0.45 =
1+ 2y
 
      
 
 
 
 
y= 0.7 m
 
2
3
0.7
0.45 =
1+ 2 0.7
0.45 0.44
 
  
 

y=0.76 m
 
2
3
0.76
0.45 =
1+ 2 0.76
0.45 = 0.45
 
  
 
y=0.04 m
 
2
3
0.04
0.14 =
2+ 2 0.04
0.14 0.11
 
  
 

y=0.06 m
 
2
3
0.06
0.14 =
1+ 2 0.06
0.14 = 0.14
 
  
 
y=?
b=1
k=1

85
Para una S0=0.001
 
   
 
   
  
2
2 3
2
0
2
3
2
1
2 2
2
2 3
b h + k hv
=
1 b + 2 1+ k yS
n
1 h +1 h3
=
1
0.001 1+ 2h 1 +1
0.015
h + h
1.42 =
1+ 2.83h
 
 
     
 
 
 
 
   
     
 
 
 
Para una S0=0.01
 
   
 
   
  
2
2 3
2
0
2
3
2
1
2 2
2
2 3
b h + k hv
=
1 b + 2 1+ k yS
n
1 h +1 h3
=
1
0.01 1+ 2h 1 +1
0.015
h + h
0.45 =
1+ 2.83h
 
 
     
 
 
 
 
   
     
 
 
 
y= 0.45 m
 
 
2
2 3
0.45+ 0.45
0.45 =
1+ 2.83 0.45
0.45 0.43
 
 
  

y= 4.5 m
 
 
2
2 3
4.5+ 4.5
1.42 =
1+ 2.83 4.5
1.42 1.48
 
 
  

y= 4.2 m
 
 
2
2 3
4.2 + 4.2
1.42 =
1+ 2.83 4.2
1.42 =1.42
 
 
  
y= 0.48 m
 
 
2
2 3
0.48+ 0.48
0.45 =
1+ 2.83 0.48
0.45 = 0.45
 
 
  
Para una S0=0.1
 
   
 
   
  
2
2 3
2
0
2
3
2
1
2 2
2
2 3
b h + k hv
=
1 b + 2 1+ k yS
n
1 h +1 h3
=
1
0.1 1+ 2h 1 +1
0.015
h + h
0.14 =
1+ 2.83h
 
 
     
 
 
 
 
   
     
 
 
 

86
Para una S0=0.1
y= 0.1 m
 
 
2
2 3
0.14+ 0.14
0.14 =
1+ 2.83 0.14
0.14 0.19
 
 
  

Debido a la pendiente en el primer análisis del canal rectangular se puede observar que
resulta un tirante negativo esto indica que no es posible que en un canal con esta pendiente
pueda correr agua; lo cual en el canal trapezoidal sí es posible incluso nos muestra que su
tirante máximo está en el canal con esa pendiente.
Ejemplo 7
Para el siguiente ejercicio calcule el gasto para los diferentes coeficientes de manning y
describa que observa en los resultados.
y= 3 m
b= 10 m
z= 2
S0= 0.002
 
 
   
2
2
m
2
m
m
Ah = b + ky y
Ah = 10 + 2 3 3
Ah = 48m
P = b + 2 1+ k y
P =10 + 2 1+ 2 3
P = 23.44m
  
y= 0.06 m
 
 
2
2 3
0.06+ 0.06
0.14 =
1+ 2.83 0.06
0.14 = 0.14
 
 
  
y=3m
b=10 m
k=2
m
2
3
0
Ah
Rh =
P
48
Rh =
23.44
Rh = 2.05m
Ah
Q = Rh S
n
Para n=0.014
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.014
m
Q = 247.31
s
 
 
 
Para n=0.015
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.015
m
Q = 230.82
s
 
 
 

87
Para n=0.016
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.016
m
Q = 216.4
s
 
 
 
Para n=0.017
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.017
m
Q = 203.67
s
 
 
 
Conforme aumenta el coeficiente de resistencia se reduce el gasto esto explica por qué un
canal de concreto impermeable tiene más gasto que uno hecho de tierra.
Ejemplo 8
Sea un canal de sección trapecial, construido en tierra, por el cual se quiere transportar un
gasto Q= 200 m3
/s. Determine el ancho de la plantilla b y el tirante normal h0 sí
b
h =
2
Datos
S0=0.0004
m= 2
n= 0.020
Q= 200 m3
/s
Solución
2
3
0
2
3
1
Q = Rh S A
n
Qn
= ARh
S
Para n=0.018
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.018
m
Q = 192.35
s
 
 
 
Para n=0.019
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.018
m
Q = 192.35
s
 
 
 
Para n=0.020
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.020
m
Q = 173.12
s
 
 
 
Para n=0.021
   
2
3
3
48
Q = 2.05 0.002
0.021
m
Q =164.87
s
 
 
 
h
b=2h
1
2

88
  
 
 
2
3
2
200 0.020 b + ky y
= b + ky y
0.0004 b + 2 1+ k y
 
 
  
Como
b
y =
2
sustituimos en la ecuación
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3
2
2
3
2 2
2 2
2
1
34 2 4
2 2
2 2 2
1
34 2 4
2 2
2 2 2
4 2 43
2 2
2 2 23
2y + ky y
200 = 2y + ky y
2y + 2 1+ k y
2y + ky
200 = 2y + ky
2y + 2 1+ k y
4y + k y
200 = 2y + ky
4y + 4 1+ k y
4y + k y
200 = 2y + ky
4y + 4y + 4y k
4y + k y
200 = 2y + ky
4y + 4y + 4y k
 
    
  
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
  
 


  
 
 
24 43
2 2
22 23
43
2
23
4y + 2 y
200 = 2y + 2 y
4y + 4y + 4y 2
8y
200 = 4y
20y + 4y



 
 
 
 
 
 
 
  
Para y=4.89 m
 
 
   
43
2
23
8 4.89
200 = 4 4.89
20 4.89 + 4 4.89
 
 
 
 
200=200.35 El tirante normal y0=4.89 m y la base b=2(4.89) = 9.78 m.

89
Ejemplo 9
Un canal de sección rectangular con revestimiento de concreto de acabado normal tiene
sección de máxima eficiencia y debe transportar un gasto Q= 20 m3
/s con un tirante normal
h0= 2 m.
a) Calcule la pendiente S0 necesaria para obtener las condiciones que se enuncian.
b) Sí S0= 0.001, ¿cuál es el nuevo gasto?.
c) Calcule el gasto con la pendiente que se obtuvo en el inciso a) y con un ancho de
plantilla b= 6 m.
Datos
Q= 20 m3
/s
h0= 2 m
n= 0.014
Solución
Se analizará un canal rectangular de máxima eficiencia, la fórmula de los canales
rectangulares de máxima eficiencia es la siguiente:
b=2h
por lo tanto, sí b=2h entonces b=2(2) =4, entonces la base del canal es de 4 m.
a)
 
 
2
A = bh
A = 4 2
A = 8m
P = 2h + b
P = 2 2 + 4
P = 8m
A
Rh =
P
8
Rh =
8
Rh =1m
Q = vA
Q
v =
A
20
v =
8
m
v = 2.5
s
 
 
   
2
3
0
2
0 2
3
2
0 2
3
0
1
Q = Rh S A
n
Q
S =
1
Rh A
n
20
S =
1
1 8
0.014
S = 0.0012
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

90
b) Sí S0= 0.001 ¿Cuál es el nuevo gasto?
 
   
2
3
0
2
3
3
1
Q = Rh S A
n
1
Q = 1 0.001 8
0.014
m
Q =17.86
s
c) Sí S0=0.0012 y b= 6 m; ¿cuál es el gasto?
 
 
   
2
2
3
3
A = 6 2
A =12m
P = 2 2 + 6
P =10m
12
Rh =
10
Rh =1.2m
1
Q = 1.2 0.0012 12
0.014
m
Q = 33.55
s
Ejemplo 10
Se desea transportar un gasto Q=300 m3
/s por un canal de sección trapecial, construido en
tierra (n=0.020); con una designación de talud m=2.5 y S0=0.00008. Determine el tirante
h0, si el ancho de la plantilla es b= 40 m.
Datos
Q= 300 m3
/s
n=0.020
k= 2.5
S0=0.00008
b= 40 m

91
Solución
 
 
 
 
 
  
2
3
0
2
2
2
2
2
1
Q = Rh S A
n
b + ky y1
300 = 0.00008 by + ky
0.020 b + 2 1+ k y
by + ky
300 = 50 0.0089 by + ky
b + 2 1+ k y
 
 
 
  
 
 
 
  
Substituyendo b= 40 m y k= 2.5
  
  
  
2
2
2
2
2
40y + 2.5y
300 = 50 0.0089 40y + 2.5y
40 + 2 1+ 2.5 y
40y + 2.5y
300 = 50 0.0089 40y + 2.5y
40 +5.385y
 
 
 
 
 
 
 
 
Para h0= 4 m.
   
 
     
2
240 4 + 2.5 4
300 = 50 0.0089 40 4 + 2.5 4
40 +5.385 4
300 289.25
 
  
  
 

Para h0= 4.1 m
   
 
     
2
240 4.1 + 2.5 4.1
300 = 50 0.0089 40 4.1 + 2.5 4.1
40 +5.385 4.1
300 304.38
 
  
  
 

Para h0= 4.07 m
   
 
     
2
240 4.07 + 2.5 4.07
300 = 50 0.0089 40 4.07 + 2.5 4.07
40 +5.385 4.07
300 = 299.88 300
 
  
  
 

Por lo tanto, el tirante normal es h0= 4.07 m

92
CAPÍTULO 5
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
5.1 Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado
El flujo gradualmente variado es aquel cuyos tirantes cambian gradualmente en la dirección
x del flujo. Se produce cuando se obstruye un río provocando un flujo retardado (remanso).
Pero también se produce cuando el flujo normal de un río encuentra una caída hidráulica
generando un flujo acelerado (curva de desagüe).
La ecuación que rige el flujo gradualmente variado resulta de analizar la ecuación de la
energía (energía total) en un tramo de canal; derivando cada uno de sus elementos se puede
deducir la ecuación de flujo gradualmente variado.
Considérese lo siguiente.
1 2E = E (156)
Partiendo de la ecuación de conservación de la energía.
1-2
2 2
1 2
1 1 2 2 f
v v
z + y + = z + y + + h
2g 2g
 (157)
Figura 34. Diagrama de conservación de la energía en un canal

93
Se toma la ecuación de la energía en su forma reducida.
2
v
E = z + y +
2g
(158)
Considerando la siguiente relación.
E = H (159)
Entonces.
2
v
H = z + y +
2g
(160)
Figura 35. Relación de las diferentes alturas de los tirantes a lo largo de la longitud de
un canal
Se deriva la ecuación (160)
2
dH dz dy d v
= + +
dx dx dx dx 2g
 
 
 
(161)
Donde
f
dH
= -S
dx
Pendiente de la línea de energía
0
dz
= -S
dx
Pendiente del terreno
a
dy
= S
dx
Pendiente del nivel del tirante del canal
h

94
 a 0 f
dy
= f S ,S ,S ,Fr
dx
(162)
La energía cinética es substituida por su versión volumétrica.
2 2
2
d v d Q
=
dx 2g dx 2gA
   
   
   
(163)
Entonces esta se deriva
Sí Q = Cte
   
 
2 2 2 2
22
d d
2gA Q -Q 2gA
dx dx=
2gA
(164)
Considerando el área de un canal rectangular por facilidad de cálculo.
Figura 36. Canal de sección rectangular
Se sustituye el área de una sección rectangular en la ecuación resultante de la derivada de la
ecuación (164) y se deriva despreciando las constantes de la gravedad y la base del canal ya
que lo que se requiere es saber la tasa de cambio del tirante.
 2 2 2
2 4 4
d
Q 2gb y
dydx=
4g b y dx
(165)
0

95
De esta forma se obtiene.
2 2
2 4 4
Q 2gb 2y dy
=
4g b y dx
(166)
Se eliminan términos semejantes.
2 2
2 4 4
Q 4gb y dy
= -
4g b y dx
(167)
Queda de la siguiente forma la ecuación.
2
2 3
Q dy
= -
gb y dx
(168)
Se sustituye el caudal por su igualdad; velocidad por el área de la sección y se eliminan
términos semejantes.
2 2 2
2 3
v b y dy
= -
gb y dx
(169)
2
v dy
= -
gy dx
(170)
Si se estudia la ecuación se puede observar el número de Froude y este se sustituye.
2 dy
= -Fr
dx
(171)
Sustituyendo (171) en (161) y la ecuación queda de la siguiente forma.
2
f 0
dy dy
-S = -S + - Fr
dx dx
(172)
Se despeja la pendiente del terreno y se deriva la ecuación.
2
0 f 2
dydx -dydxFr
S -S =
dx
(173)

96
Se factoriza el resultado y se reducen términos.
 2
0 f 2
dydx 1-Fr
S -S =
dx
(174)
 2
0 f
dy
S -S = 1- Fr
dx
(175)
Se despeja la ecuación y se tiene, la ecuación fundamental del flujo gradualmente variado.
0 f
2
S -Sdy
=
dx 1- Fr
(176)
5.2 Solución de problemas de flujo gradualmente variado
5.2.1 Método estándar por pasos
1. Calcular el tirante normal del canal ( ny ).
a)
2
3
0
A
Q = Rh S
n
(177)
b) Calcular el tirante crítico y la pendiente crítica
2
3
c
q
y =
g
Canal z = 0 (178)
32
cAQ
=
g T
Canal z 0 (179)
2
c
c 2
3
c c
Q n
S =
A Rh
 
 
  
(180)
2. Clasificar el tipo de perfil e identificar:
a) Tipo de perfil según la magnitud de plantilla ( 0S ) respecto a la pendiente crítica
( cS ).
b) Determinar la zona en la que se localiza el perfil según: El tirante crítico ( cy ) y el
tirante normal ( ny ).

97
c) Determinar la variación del tirante en el sentido del flujo con:
0 f
2
S -Sdy
=
dx 1- Fr
(181)
d) Determinar el sentido del cálculo según el régimen hidráulico y a partir de la
sección de inicio de cálculo.
3. Determinar el perfil del paso número 2 paréntesis c) de la superficie libre del agua a
partir de un Δx de la sección donde se ubica el tirante crítico ( cy ) con:
 0 f
i i+1 2
Δx S -S
y = y -
1-Fr
(182)
Donde:
i+1y = Tirante de la sección i +1 (m)
iy =Tirante en la sección i (m)
i i+1Fr + Fr
Fr =
2
; Número de Froude
0S = Pendiente de plantilla
i i+1f f
f
S +S
S =
2
Δx =Longitud entre las secciones i e i+1
Figura 37. Secciones consideradas en el cálculo
Línea de energía

98
Subpasos necesarios para resolver el paso 2 paréntesis c):
a) Con el tirante 9y calcular el f 9Fr y la pendiente de fricción fS que corresponde a la
sección i+1(9) de análisis.
b) Proponer Δy según las características del perfil del inciso anterior y deducir el
tirante 8py donde será igual a 8p i+1y = Δy+y correspondiente a la sección i.
c) Calcular el número de Froude 8pF y la pendiente de fricción 9fS que corresponde a la
sección i (8).
d) Calcular el Fr y fS entre las dos secciones.
e) Obtener el tirante 8cy según la ecuación
0 f
8c 9 2
Δx(S -S )
y = y -
1-Fr
(183)
f) Comparar los tirantes 8py y 8cy , si son diferentes pasar al inciso g) y repetir los
incisos, si son iguales pasar al inciso h).
g) Proponer el tirante calculado 8cy como un nuevo tirante propuesto 8py y repetir los
incisos del c) al f).
h) El tirante 8cy es el tirante en la sección 8 y se puede pasar al siguiente intervalo de
análisis, en el cual se conocen las características de la sección i+1 que corresponde
al tirante 8y de la sección anterior y se desconoce el tirante 7y de la sección i.
i) Repetir los incisos del a) al h).
4. Dibujar a escala en el mismo plano
a) La plantilla del canal en color negro.
b) El tirante crítico en color café.
c) El tirante normal en color rojo.
d) El perfil de la superficie libre medido en color azul.
e) El perfil de la superficie libre calculado en color verde.

99
A continuación, algunos comentarios acerca de las clasificaciones de los perfiles de flujo
gradualmente variado.
Tipo M. El perfil M1 es muy común. La presencia de estructuras de control, como
vertedores y compuertas, u otros accidentes naturales como estrechamientos y curvas,
sobreelevan la superficie del agua en un canal o río y se produce un perfil del tipo M1,
donde es asintótico al perfil en flujo uniforme. El perfil M2 ocurre cuando el tirante
disminuye, por ejemplo, antes de un cambio de pendiente subcrítica a supercrítica, de un
estrechamiento de la sección o en la proximidad de una caída. El perfil M3 se encuentra
aguas debajo de un cambio de pendiente de supercrítica a subcrítica, o después de la
descarga de una compuerta y su longitud está regida por las condiciones de aguas abajo.
Tipo S. El perfil S1 se produce antes de una estructura de control, como una presa o una
compuerta, situada en un canal de gran pendiente. Principia después de un salto hidráulico
y termina en la obstrucción. El perfil S2 es generalmente muy corto y es común en la
entrada de un canal de gran pendiente o después de un cambio de pendiente subcrítica a
supercrítica. El perfil S3 se produce aguas debajo de una compuerta en un canal de gran
pendiente, o aguas debajo de su intersección con otro de menor pendiente.
Tipo C. Como los tirantes normal y crítico coinciden, hay sólo dos perfiles. Estos son
aproximadamente horizontales y la inestabilidad propia del estado crítico se manifiesta en
la forma de una ondulación superficial apreciable.
Tipo H. El tirante normal es infinito y se forman sólo los perfiles H2 y H3. El perfil H2 se
produce después de que un canal de pendiente subcrítica cambia a horizontal. El perfil H3
ocurre después de una compuerta o de un cambio de pendiente supercrítica a horizontal.
Tipo A. La pendiente negativa de un canal es poco común. El tirante normal no existe y los
perfiles que se forman tienen las mismas tendencias que los H2 y H3. Los perfiles A2 y A3
son extremadamente cortos.

100
El flujo variado puede formarse con uno o más de los tipos de perfil que se han expuesto y
resulta conveniente familiarizarse con su clasificación.
Figura 38. Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado con pendiente
positiva
Subcrítico
dy +
= = +
dx +
ny cy y
Cálculo Cálculo
Cálculo
dy -
= = -
dx +
ny
cy y
x x
ny
cy
y x
Crítica:
dy +
= = +
dx +
n cy = y
y
Cálculo
x
dy
= 0
dx
n cy = y y
x
Cálculo
n cy = y
y
dy -
= = +
dx -
Supercrítcica
dy +
= = +
dx +
ny cy
y
x
Cálculo
dy +
= = -
dx -
ny cy
y
x
Cálculo
dy -
= = +
dx -
ny
cy
y
x
Pendiente positiva: 0S > 0
Perfiles en la zona 1 Perfiles en la zona 2 Perfiles en la zona 3
n 0 f
2
c
y > y ;S > S
y > y ;Fr <1
2
n c 0 f
2
c n 0 f
y y y ;S S ;Fr 1
y y y ;S S ;Fr 1
   
   
n 0 f
2
c
y < y ;S < S
y < y ;Fr >1
dy -
= = +
dx -

101
horizontal
negativa
Pendiente horizontal
0S = 0 n cy = y
dy
dx
no existe

ny
cy
Ninguno
x
dy -
= = -
dx +

ny
cy
y
Cálculo
x

ny
cy
Cálculo
dy -
= = +
dx -
y
x
Pendiente negativa 0S < 0
dy
dx
no existe
cy x
dy -
= = -
dx +
Cálculo
cy
y
x cy y
dy -
= = +
dx -
x
n 0 f
2
c
y > y ;S > S
y > y ;Fr <1
2
n c 0 f
2
c n 0 f
y y y ;S S ;Fr 1
y y y ;S S ;Fr 1
   
   
n 0 f
2
c
y < y ;S < S
y < y ;Fr >1
n 0 f
2
c
y > y ;S > S
y > y ;Fr <1
2
n c 0 f
2
c n 0 f
y y y ;S S ;Fr 1
y y y ;S S ;Fr 1
   
   
n 0 f
2
c
y < y ;S < S
y < y ;Fr >1

102
5.2.2. Método estándar directo.
Este método se puede aplicar a canales prismáticos, aquí se divide el canal en tramos cortos
y se realizan los cálculos para cada sección comenzando por una sección conocida (esta
puede ser la sección de control). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas
abajo y hacia aguas arriba y si es supercrítico se inicia de aguas arriba continuando hacia
aguas abajo.
Se toma un tramo corto del canal, como se observa en la siguiente figura, se cumple con la
siguiente expresión:
2 2
1 2
0 1 2 f
v v
S Δx + y +α = y +α +S Δx
2g 2g
(184)
Figura 41. Tramo del canal para la deducción del método estándar directo
Se define la energía específica (E) como:
2
v
E = y +α
2g
(185)
2
1
v
α
2g
1y
Línea horizontal de referencia
f fh = S Δx
2
2
v
α
2g
Línea de energía
Superficie del agua
1h
0S Δx
1z
Δx
2z
2y
2h
eh
Fondo del canal

103
Reemplazando (183) en (184) y despejando Δx :
1 2
0 f
E -E
Δx =
S -S
(186)
La pendiente de la línea de energía en una sección se calcula con la fórmula de Manning:
2 2 2 2
f 4 10
3 3
n v n q
S = =
Rh y
(187)
Y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como:
1 2f f
f
S +S
S =
2
(188)
Procedimiento de cálculo
1. Conocidos Q, b, y y en la sección de control, se determina la velocidad (v), la
cabeza de velocidad (
2
v
2g
) y la energía específica (
2
v
E = y +α
2g
).
2. Se determina la pendiente de la línea de energía ( fS ) según la ecuación (187).
3. Se acepta una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los
valores de E y fS para la sección con esta profundidad.
4. Se calcula 2 1ΔE = E -E , entre estas dos secciones y fS con la ecuación (188); con
estos resultados se encuentra Δx de acuerdo a la ecuación (186). De esta manera se
conoce la localización de la sección a lo largo del canal.
5. Se vuelve al paso 3.
El HEC recomienda el siguiente criterio para obtener la pendiente promedio entre dos
secciones:
1. Si el tipo de perfil es subcrítico (M1, S1) y su pendiente de fricción en la sección
actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará
un promedio aritmético determinado por la ecuación:
1 2
m
f f
f
S +S
S =
2
(189)

104
2. Si el tipo de perfil es subcrítico (M2) y su pendiente de fricción en la sección
actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará
un promedio armónico determinado por la ecuación:
1 2
m
1 2
f f
f
f f
2S S
S =
S +S
(190)
3. Si el tipo de perfil es supercrítico (S2) y su pendiente de fricción en la sección
actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará
un promedio aritmético determinado por la ecuación:
1 2
m
f f
f
S +S
S =
2
(191)
4. Si el tipo de perfil es supercrítico (M3, S3) y su pendiente de fricción en la
sección actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se
utilizará un promedio geométrico determinado por la ecuación:
m 1 2f f fS = S S (192)

105
5.3 Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado
En este apartado realizaremos ejemplos donde pondremos en práctica lo aprendido en el
capítulo estudiado.
Ejemplo 1
Un canal tiene las siguientes características:
Q= 6 l/s = 0.006 m3
/s S0=0.001 n=0.009 b= 0.09
Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el
método estándar por pasos (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas).
   
 
   
 
2
3
0
2
3
0
2
3
0
2
3
2
3
A
Q = Rh S
n
Q A
= Rh
nS
Q by by
=
n b + 2yS
0.09 y 0.09 y0.006
=
0.009 0.09 + 2 y0.001
0.09 y 0.09 y
0.1897 =
0.009 0.09 + 2 y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de aquí se le comienzan a dar valores al tirante (y) hasta encontrar el que cumpla
con las condiciones establecidas.
h= 0.17499 m
   
 
2
3
0.09 0.17499 0.09 0.17499
0.1897 =
0.009 0.09+ 2 0.17499
0.1897 = 0.18967 0.1897
 
 
 

Se calculan las propiedades geométricas del canal con los datos obtenidos.
A=bh
A=0.09(0.17499)
A=0.0157 m2
 
P = b + 2h
P = 0.09 + 2 0.17499
P = 0.44m
A
Rh =
P
0.0157
Rh =
0.44
Rh = 0.0357m

106
Q = Av
Q
v =
A
0.006
v =
0.0157
m
v = 0.3822
s
Ahora se calcula el tirante crítico y todas sus propiedades críticas.
 
2
3
c
2
3
c
c
q
y =
g
0.0667
y =
9.81
y = 0.0768m
c
c
c
c
c
A
Rh =
P
0.0069
Rh =
0.2436
Rh = 0.0283m
  
  
2
c
c 2
3
c c
2
c 2
3
c
Q n
S =
A Rh
0.006 0.009
S =
0.0069 0.0283
S = 0.0061
 
 
 
  
 
 
 
  
Los resultados obtenidos hasta el momento son:
h0=0.17499> hc=0.0768 que indica un canal de perfil subcrítico
S0=0.001<Sc=0.0061 que indica un perfil M2
Esto analizando el recuadro de la figura 35 con los resultados obtenidos.
 
v
Fr =
gy
0.3822
Fr =
9.81 0.17499
Fr = 0.2917
3
Q
q =
b
0.006
q =
0.09
m
q = 0.0667
s
m
 
c c
c
2
c
A = by
A = 0.09 0.0768
A = 0.0069m
 
c c
c
c
P = b + 2y
P = 0.09+ 2 0.0768
P = 0.2436m
 
c c
c
c
v = gh
v = 9.81 0.0768
m
v = 0.868
s
 
c c c
c
3
c
Q = A v
Q = 0.0069 0.868
m
Q = 0.006
s

107
Fr=0.2917
Fr2
=(0.2917)2
Fr2
=0.0851
Se calcula la pendiente de energía.
f
Δh
S =
L
, donde:
 
 
 
2
2
3
2
2
3
f
f
Qn
Δh = L
ARh
0.006 0.009
Δh = 3
0.0157 0.0357
Δh = 0.00302m
0.00302
S =
3
S = 0.001007
 
 
 
 
 
 
 
  
Ahora se calcula,
0 f
2
-6
S -Sdy
=
dx 1-Fr
dy 0.001-0.001007
=
dx 1-0.0851
dy
= -7.65x10
dx
El cual nos indica
dy -
= = -
dx +
, junto a los datos obtenidos y auxiliándonos del recuadro de
la figura 35.
Asi pues tenemos un perfil subcrítico del tipo M2 el cual al revisar el cuadro nos indica que
debemos hacer el análisis del perfil desde aguas abajo hacia aguas arriba.
Entonces se tiene
i+1 9y = y = 0.17499m

108
Se propone
i 8y = y = 0.174+0.001= 0.175m
Ahora en base al tirante propuesto se hacen los cálculos geométricos del canal, así como los
cálculos respectivos al flujo del canal.
Área
m2
Perímetro
m
Radio H.
m
Velocidad
m/s
No. Froude Pendiente
energía
0.0158 0.442 0.0357 0.3797 0.2889 0.001009
Con los datos obtenidos se calcula Fr y fS respectivamente.
i i+1
2
Fr + Fr
Fr =
2
0.2889 + 0.2917
Fr =
2
Fr = 0.2903
Fr = 0.0843
i i+1f f
f
f
f
S +S
S =
2
0.001009 + 0.001007
S =
2
S = 0.001008
Ahora con los datos obtenidos usando la fórmula 182 se puede encontrar el valor real del
tirante.
 
 
0 f
i i+1 2
i
i
Δx S -S
y = y -
1-Fr
0.50 0.001-0.001008
y = 0.17499-
1-0.0843
y = 0.174
Como el propuesto es diferente al encontrado 0.175 m entonces proponemos el valor que
nos arrojó todo el procedimiento anterior y se repite toda la operación hasta que el valor
propuesto sea el mismo arrojado por la serie de operaciones.
Así un cálculo tan extenso como este se puede programar en una hoja de cálculo una vez
dominado a lápiz y papel; para que sea más sencilla su operación.
Por la precisión y rapidez de una hoja de cálculo se procedió a calcular los datos en ella.

109
Y los valores nos quedan de la siguiente forma.
Tirante yi+1 Tirante
yprop
Tirante yi Diferencia No. De
Froude
Pendiente Sf
y9
0.17499 0.175 0.174988 1.2 E-5
0.290748 0.000996
0.174988 0.174988 0 0.290778 0.0009966
y8
0.174988 0.174986 0.174986 0 0.200783 0.0009966
y7
0.174986 0.174984 0.174984 0 0.290788 0.00099666
y6
0.174984 0.174982 0.174982 0 0.290793 0.000997
y5
0.174982 0.17498 0.17498 0 0.290798 0.000997
y4
0.17498 0.174978 0.174978 0 0.290803 0.000997
Gráfica del perfil del canal

110
Ejemplo 2
Q= 6 l/s = 0.006 m3
/s S0=0.001 n=0.009 b= 0.09
Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el
método estándar directo (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas).
Solución
Con este método, así como en el anterior debemos conocer el tirante de la sección de
control así que utilizamos el mismo método para encontrarlo, en esta ocasión se presentará
la forma resumida del método.
   
 
   
 
2
3
0
2
3
Q by by
=
n b + 2yS
0.09 y 0.09 y0.006
=
0.009 0.09+ 2 y0.001
0.09 0.17499 0.09 0.17499
0.1897 =
0.009 0.09+ 2 0.17499
0.1897 = 0.18967 0.1897
 
 
 
 
 
 
 
 
 

El tirante es igual a 0.17499 m
Ahora se determina la velocidad
con los datos que ya se tienen
 
2
A = bh
A = 0.09 0.17499
A = 0.01575m
Q = vA
Q
v =
A
0.006
v =
0.01575
m
v = 0.38095
s
Se calcula la cabeza de
velocidad
2
v
2g
 
 
 
y la energía
específica
2
v
E = y + α
2g
 
 
 
 
 
22
2
2
0.38095v
=
2g 2 9.81
v
= 0.007397m
2g
v
E = y + α
2g
E = 0.17499+0.007397
E = 0.18239m

111
A continuación, se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf) según la ecuación (186).
2 2
f 4
3
n v
S =
Rh
, como se puede observar hacen falta algunos datos; estos se calculan sin ningún
problema.
 
   
 
2 2
f 4
3
2 2
f 4
3
f
P = 2h + b
P = 2 0.17499 + 0.09
P = 0.43998m
A
Rh =
P
0.01575
Rh =
0.43998
Rh = 0.03580m
n v
S =
Rh
0.009 0.38095
S =
0.03580
S = 0.000996
Una vez obtenida la pendiente de energía de la sección de control se propone un tirante de
la sección que se requiere analizar y se calculan sus valores de energía (E) y la pendiente de
energía (Sf), para esto es necesario hacer los cálculos geométricos y del flujo para tener
todos los datos disponibles, para este ejercicio se utilizarán los datos obtenidos del ejercicio
anterior para comprobar que el ejercicio está correcto. Para exactitud de cálculo y
practicidad, el cálculo de los diferentes datos se hizo mediante una hoja de cálculo por el
método directo.
y TIRANTE ÁREA PERÍMETRO Rh VELOCIDAD
CABEZA DE
VELOCIDAD
y8 0.174988 0.0157489 0.439976 0.035795 0.3809785 0.007397789
y7 0.174986 0.0157487 0.439972 0.0357949 0.3809829 0.007397958
y6 0.174984 0.0157486 0.439968 0.0357948 0.3809872 0.007398127
y5 0.174982 0.0157484 0.439964 0.0357947 0.3809916 0.007398296
y4 0.17498 0.0157482 0.43996 0.0357946 0.3809959 0.007398466
y3 0.174978 0.015748 0.439956 0.0357945 0.3810003 0.007398635

112
y ENERGÍA Sf DE ENERGÍA Sf PROMEDIO DELTA DE ENERGÍA
D.
LONGITUD
(m)
y8 0.1823858 0.000996606 0.00099659 1.83E-06 0.5374
y7 0.182384 0.000996632 0.000996606 3.66E-06 1.0789
y6 0.1823821 0.000996658 0.000996619 5.49E-06 1.62E+00
y5 0.1823803 0.000996684 0.000996632 7.32E-06 2.1745
y4 0.1823785 0.00099671 0.000996645 9.15E-06 2.7286
y3 0.1823766 0.000996736 0.000996658 1.10E-05 3.287
Como se puede observar proponiendo cada tirante del ejemplo anterior nos arroja un delta
de longitud ( Δx ) parecido al delta de longitud considerado en el ejemplo anterior para el
análisis de cada tirante; esto desfasado por unos centímetros el cual corresponde
directamente al número de decimales tomadas tanto en el tirante como en los cálculos
realizados.
Ejemplo 3
B=b= 5 m n= 0.012 S0= 0.0160
Si en una de sus secciones se miden los siguientes valores:
h= 3.25 m v= 10 m/s
Determine:
a) Si el régimen es o no uniforme.
b) En el caso de que el régimen no sea uniforme, realice el análisis del perfil a ambos lados
del tirante h y dibújelo.
Solución
A=bh
A= 5(3.25)
A= 16.25 m2
P = b + 2h
P = 5+ 2(3.25)
P =11.5m
A
Rh =
P
16.25
Rh =
11.5
Rh =1.41m

113
Q=vA
Q=10(16.25)
Q=162.5
3
m
s
b) Como 0 cS > S > S y 0 ch < h < h ;Fr >1y
dh
< 0;h
dx
baja a la derecha.
PERFIL DEL CANAL
y tirante de control 3.25m
TIRANTES AGUAS ARRIBA TIRANTES AGUAS ABAJO
TIRANTE ALTURA y DISTANCIA TIRANTE ALTURA Y DISTANCIA
y1 3.26 3.05m y1' 3.24 3.13m
y2 3.27 6.03m y2' 3.23 6.33m
y3 3.28 8.94m y3' 3.22 9.61m
y4 3.29 11.78m y4' 3.21 12.97m
 
 
2 1
3 2
2
2
3
2
2
3
1
v = Rh S
n
v
S =
1
Rh
n
10
S
1
1.41
0.012
 
 
 
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
S= 0.0091
Como S0= 0.016 S= 0.0091, el régimen
no es uniforme.
Y4 y3 y2 y1 y y 1’ y2’ y3’ y4’

114
Ejemplo 4
Para el siguiente canal:
B=b= 8 m Q= 50 m3
/s hA= 1.65 m n= 0.020 S0= 0.0000
a) Analice el perfil a partir del tirante hA y dibújelo, explicando su resultado y acotando lo
necesario.
b) Calcule la posición de un tirante: hB= 1.72 m, y colóquelo en el perfil que dibujó.
Solución
a) Sí
 0
2
S -Sdy
=
dx 1-Fr
como S0= 0 siempre será negativo el numerador (S0-S<0)
Ahora se calcula el tirante crítico para compararlo con hA.
3
Q
q =
B
50
q =
8
m
q = 6.25
s
m
Por esa razón, el nivel del agua disminuye a la derecha, aumentando Fr que se acerca a 1;
por otro lado a la izquierda el nivel del agua sube hasta S= 0, y se tiene una superficie
horizontal, por lo cual el perfil tiene la siguiente forma
Perfil del canal
 
1
2 3
c
1
2 3
c
c
q
h =
g
6.25
h =
9.81
h =1.585m
 
 
 
 
 
  
Sí hA=1.65 m > hc=1.585 mla sección
A está en la zona subcrítica, que implica
Fr<1; por lo tanto:
 
 
 
 
0
2
S -S -dh
= = < 0
dx +1- Fr
y5 y4 y3 yB y2 y1 yA y1’ y2’
LB A

115
yA tirante de control 1.65m
y1 1.5m 0.66m y1' 1.55m 0.51m
y2 1.7m 1.7m y2' 1.60m 0.73m
y3 1.75m 4.38m
y4 1.78m 6.45m
y5 1.8m 8.02m
yB 1.72m 2.66m
b)
 
 
 
 
B B
B
2
B
B
B
B
i i
i
2
A
A
A
B
B
B
A = bh
A = 8 1.72
A =13.76m
P = 2h + b
P = 2 1.72 +8
P =11.44m
A = bh
A = 8 1.65
A =13.20m
P = 2 1.65 +8
P =11.3m
Q = vA
Q
v =
A
50
v =
13.76
m
v = 3.63
s
 
 
A
A
B
B
B
A
A
2
i 2
3
2
iB 2
3
iB
50
v =
13.20
m
v = 3.79
s
A
Rh =
P
13.76
Rh =
11.44
Rh =1.20m
13.20
Rh =
11.30
Rh =1.17m
vn
S =
Rh
3.63 0.020
S =
1.20
S = 0.0041
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
   
 
 
2
iA 2
3
iA
iB iB
2 2
A B
A B
0
2 2
3.79 0.020
S =
1.17
S = 0.0046
S +S
S =
2
0.0041+ 0.0046
=
2
S = 0.0044
v - v
h -h +
2g
L =
S -S
3.79 - 3.63
1.65-1.72+
2 9.81
L =
0-0.0044
L = 2.66m
S
 
 
 
  
 
 
  
  
  
    

116
Ejemplo 5
En una sección de un canal se tiene el tirante: h1= 3 m. Los demás datos son:
B=b= 4.50 m n=0.014 h0=1.50 m S0= 0.09
a) Realice el análisis completo del perfil y dibújelo.
b) Calcule la distancia a una sección donde el tirante sea h2= 2.86m e indique su
localización en el dibujo.
Solución
Como la diferencia entre los tirantes es 4.9%, se calculará en un solo paso.
 
 
   
0
0
2 1
0 3 2
0
2 1
3 2
3
bh
Rh =
b + h
4.5 1.50
Rh =
4.50 + 2 1.50
Rh = 0.90m
A
Q = Rh S
n
6.75
Q = 0.9 0.09
0.014
m
Q =134.81
s
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
3
c
2
3
c
c
Q
q =
b
134.81
q =
4.50
m
q = 29.96
s
m
q
h =
g
29.96
h =
9.81
h = 4.51m
 
 
 
2
2
3
2
3
Qn
S =
ARh
134.81 0.014
S =
6.75 0.9
S = 0.08997
Q = vA
Q
v =
A
134.81
v =
6.75
m
v =19.97
s
v
Fr =
gy
19.97
Fr =
9.81 1.50
Fr = 5.20
 
 
 
 
 
 
 
  

117
Como hc >h1 >h0, S< S y Fr> 1; se concluye que
dh
< 0
dx
, por lo que el perfil baja hacia la
izquierda.
b)
1
1
1
1
q
v =
h
29.96
v =
2.86
m
v = 9.99
s
2
2
2
2
q
v =
h
29.96
v =
2.86
m
v =10.47
s
 
 
1 2
m
m
m
v + v
v =
2
9.99 +10.47
v =
2
m
v =10.23
s
h1 tirante de control 3m
y1 3.2m 5.39m y1' 2.95m 1.63m
y2 3.4m 9.31m y2' 2.9m 3.40m
y3 3.6m 12.12 h2 2.86m 4.92m
y4 3.8m 14.08 y4' 2.8m 7.39m
PERFIL DEL CANAL
y4 y3 y2 y1 h1 y1’ y2’ h2 y4’

118
 
 
 
 
2
1
1 1
2
1
1
2
2
2
v
E = h +
2g
9.99
E = 3+
2 9.81
E = 8.08m
10.47
E = 2.86+
2 9.81
E = 8.45m
 
 
1 2
m
m
m
m
m
m
m
m
h + h
h =
2
3+ 2.86
h =
2
h = 2.93m
bh
Rh =
b + 2h
4.50 2.93
Rh =
4.50 + 2 2.93
Rh =1.27m
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 6
Con los datos de la siguiente figura, calcule la pendiente del canal S0
Datos
B= b= 20 m
h1= 0.30 m
h2= 0.31 m
L= 12 m
hc= 0.70 m
n= 0.016
 
 
 
 
 
2
m
2
3
m
2
2
3
2 1
0
v n
S =
Rh
10.23 0.014
S =
1.27
S = 0.0149
E -E
ΔL =
S -S
8.45-8.08
ΔL =
0.09-0.0149
ΔL = 4.92m
 
 
 
 
 
 
 
 
  
h1
h2
c c
L
0S 

119
Solución
 
1
2 3
c
3
c
3
q
h =
g
q = gh
q = 9.81 0.70
 
 
 
La relación entre tirantes es: 2
1
h 0.31
= =1.03
h 0.30
(<5%); como la diferencia es menor del 5%,
se efectuará el cálculo en un solo paso.
1 1
1
1
1
1
q = v h
q
v =
h
1.83
v =
0.30
m
v = 6.1
s
 
m m
m
2
m
A = h b
A = 0.305 20
A = 6.1m
 
 
2 2
2 1 2 1
0
2 2
2 1 2 1
0
h -h + v - v
2g
L =
S -S
h -h + v - v
2g
S = +S
L
 
 
  
 
 
  
q= 1.83
3
m
s
m
2
2
2
2
q
v =
h
1.83
v =
0.31
m
v = 5.90
s
 
 
1 2
m
m
m
v + v
v =
2
6.1+5.9
v =
2
m
v = 6
s
1 2
m
m
m
h + h
h =
2
0.30+0.31
h =
2
h = 0.305m
 
 
 
 
 
 
 
m m
m
m
P = b + 2h
P = 20+ 2 0.305
P = 20.61m
m
m
m
m
m
A
Rh =
P
6.1
Rh =
20.61
Rh = 0.296m
 
 
2
m
2
3
2
2
3
v n
S =
Rh
6 0.016
S =
0.296
S = 0.04675
 
 
 
 
 
 
 
  
    
 
2 2
0
0
0.31-0.30+ 5.90 - 6.10
2 9.81
S
12
S = 0.0366
 
 
 
 

120
Ejemplo 7
Q= 273.4 m3
/s, B=b= 48 m, n= 0.016, S0= 0.000121
Por medio del análisis de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, identifique
los siguientes perfiles:
a)
.
   
 
2
3
48 y 48 y273.4
=
0.016 48+ 2 y0.000121
 
 
 
Para h0= 3.77 m
   
 
2
3
48 3.77 48 3.77
24,854.5454 =
0.016 48+ 2 3.77
24,854.5454 24.856.9066
 
 
 

Ahora se hacen los cálculos geométricos y del flujo con el nuevo tirante, así como el tirante
crítico.
El tirante normal (h0) es 3.77 m
Q
q =
b
273.4
q =
48
h=4.5 m
S0
2
3
0
2
3
0
2
3
0
A
Q = Rh S
n
Q A
= Rh
nS
Q by by
=
n b + 2yS
 
 
 
Ahora se itera hasta encontrar el valor
del tirante h0.
3
m
q = 5.6958
s
m

121
 
2
3
c
2
3
c
c
q
y =
g
5.6958
y =
9.81
y =1.4898m
 
 
c
c c
c 2
3
c
Qn
S =
A Rh
273.4 0.016
S =
71.5104 1.4027
S = 0.00238
 
 
 
 
 
 
  
Por lo que: 0 ch = 4.5 > h = 3.77 > h =1.4898, luego c 0S = 0.00238 > S = 0.000121; Fr<1
(zona subcrítica) de la ecuación dinámica
dy
dx

  

,el perfil será el perfil en la zona 1 del
tipo M1.
b)
 
c c
c
2
c
A = bh
A = 48 1.4898
A = 71.5104m
 
c c
c
c
P = b + 2h
P = 48+ 2 1.4898
P = 50.9796m
c
c
c
c
c
A
Rh =
P
71.5104
Rh =
50.9796
Rh =1.4027m
Q = vA
Q
v =
A
273.4
v =
180.96
m
v =1.5108
s
 
2
v
Fr =
gy
1.5108
Fr =
9.81 3.77
Fr = 0.2484
Fr = 0.0617
h=3 m
S0
Como Sc= 0.00238> S0=0.000121,
hc= 1.49 m< h= 3 m< h0= 3.77m y
Fr<1 (zona subcrítica). De la ecuación
Dinámica
dy
dx

  

, el perfil está
Ubicado en la zona 2 y es del tipo M2

122
c)
Ejemplo 8
Sea un canal de sección trapecial donde:
b= 5 m S0= 0.1759 Q= 10.60 m3
/s n= 0.015 k= m= 1
Calcule la longitud de L desde h= 0.95hc hasta 1.05h0, utilizando el método de los
incrementos finitos.
h= 0.4 m S0
h= 0.4 m< hc= 1.49 m< h0= 3.77m,
Sc=0.00238> S0=0.000121 y Fr>1
(zona supercrítica); por lo tanto, en
la ecuación dinámica
dy
dx

  

,
por lo tanto, el perfil corresponde a la
zona 3 del perfil M3.
h
S0
L
Solución
 
3
1
2 3
c
2
3
c
c
Q
q =
b
10.60
q =
5
m
q = 2.12
s
m
q
h =
g
2.12
h =
9.81
h = 0.7709m
 
 
 

123
Calculo del tirante
h= 0.95hc= 0.73236 m
Cálculo del tirante normal
       
 
2
32 2
2
0
2
2 2 3
2
Q yb + ky yb + ky
=
nS b + 2 1+ k y
y 5 +1 y y 5 +1 y10.60
=
0.0150.1759 5+ 2 1+1 y
 
 
  
 
 
  
A continuación, se itera hasta encontrar el valor del tirante (y) que satisfaga con la división
del gasto entre la raíz de la pendiente.
h0= 0.21356 m
       
 
2
2 2 3
2
0.21356 5 +1 0.21356 0.21356 5 +1 0.2135610.60
=
0.0150.1759 5+ 2 1+1 0.21356
25.2739 25.2736
 
 
  

1.05h0=1.05 (0.21356)
1.05h0=0.22 m
Al hacer el cálculo colocando como el tirante de control h=0.73236 y realizarlo por el
método estándar directo en una hoja de cálculo, buscando el tirante h= 0.22 nos arroja una
longitud L= 36.98 m respecto a la sección de control.
Ejemplo 9
En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en caída libre. En
una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se
aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre
considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítica; b) flujo supercrítico.

124
a) Flujo subcrítico
yn
y
yc
yn
M3
RESALTO
Torrente deprimido en pendiente suave
yn> yc> y
yc
yn
y
Río peraltado en pendiente suave
y>yn>yc
M1

125
b) Flujo supercrítico
Ejemplo 10
Se tiene un canal trapecial de concreto (n= 0.014). La pendiente es 0.001. El ancho en el
fondo es de 1.5 m. El talud es de 45°. El caudal es de 10 m3
/s. En cierta sección el tirante
corresponde al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una
sección ubicada 40 m aguas debajo de la sección mencionada.
y
yn
yc
S3
Torrente deprimido en pendiente fuerte
yc> yn> y
yn
y yc
Río peraltado en pendiente fuerte
y>yc>yn
S1

126
Solución
Se realizó el ejercicio en una hoja de cálculo programando lo correspondiente al método
directo y después se iteró con varios valores del tirante hasta encontrar la distancia
correspondiente.
Sección de control
GASTO S0 MANNING BASE y1 M ÁREA PERÍMETRO
10 0.001 0.014 1.5 3 1 13.5 9.98529
Rh VEL. CAB. V. ENER. n2
VEL2 3
4
Rh
Sf
1.35199 0.0740 0.0279662 3.028 1.96E-4 0.5487 1.495 7.19E-5
Después de probar con varios tirantes
Para un tirante 2=-40my = 3.038362m de altura
Con el mismo gasto (Q) por la ley de la continuidad, mismo coeficiente de rugosidad (n) y
misma pendiente normal (S0) en un canal trapezoidal prismático.
ÁREA P. Rh VEL. CAB.V E. n2
V2 4
3
Rh
13.7891 10.0938 1.3661 0.7252 0.0268 3.0652 1.96E-4 0.5259 1.5158
Sf
fS ΔE ΔxLongitud
6.8E-5 6.99E-5 -0.037 -40m
Por lo tanto, el tirante buscado es 3.038362 m de altura.

127
Conclusión
Este proyecto fue realizado con el objetivo de brindar al alumno un material en el cual se
pueda apoyar y complementar su formación hacía esta materia; con información puntual y
completa, así como con ejercicios reales y que hacen reflexionar a los alumnos acerca de la
comprensión del tema. Este material está basado de obras de la hidráulica muy importantes
como El agua según la ciencia de Enzo Levi o Hidráulica de canales de Gilberto Sotelo, así
como de apuntes de clases en el cual se brinda material a los alumnos que no encontrarán
en ninguna otra obra, como las deducciones de algunas de las fórmulas más importantes de
la hidráulica y como se mencionó al ser parte de los apuntes de clases esta obra se apoya
del plan de estudios de la carrera, el cual hace que el alumno siga un mismo camino con el
maestro y esta obra.
En conclusión, el estudio de la hidráulica desde sus fundamentos es muy importante pues
conocer el origen de sus fórmulas y conceptos a partir de leyes matemáticas y de la física
ayudará al alumno a comprender de mejor forma el tema, así entonces dejar un material con
tanta importancia para los alumnos y con tantas herramientas como lo son ejercicios de
formación, orígenes de conceptos y fundamentos de las fórmulas es muy importante como
retribución a todo lo aprendido.

128
Referencias
Arturo, Rocha Felices, Hidráulica de tuberías y canales, 1999. 3ª edición, Editorial
Universidad nacional de ingeniería, Perú, Lima. Número de ejercicio en el libro/Número de
ejemplo en la tesis (página); 1/E.9 (pág. 121); 3/ E. 10(pág. 122).
Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed. Conacyt-Ediciones Castell mexicana,
Morelos, México.
Humberto, Gardea Villegas, Hidráulica de canales, 1999, 3ª edición, ed. Fundación ICA,
UNAM- Facultad de ingeniería, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de
ejemplo en la tesis (página); 5.1/E. 7(pág. 62); 5.3/E. 8(pág. 63); 5.7/ E. 9(pág. 64); 5.9/ E.
10(pág. 64); 2.1/E.8(pág. 85); 2.5/E. 9(pág. 87); 2.2/ E. 10(pág. 88); 4.1/E.7(pág. 117); 4.2/
E.8(pág. 119).
Humberto, Gardea Villegas, Problemas de examen de hidráulica de canales, 2013, ed.
UNAM, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de ejemplo en la tesis
(página); 1.6/ Ejemplo 8(pág. 41); 1.7/ E. 10(pág. 44); 5.1/ E.2 (pág. 55); 5.3/E. 3(pág. 57);
5.6/ E. 4(pág. 58); 5.10/ E.5( pág. 59); 5.15/ E. 6(pág. 60); 3.3/E 1(pág. 74); 3.4/ E.2( pág.
75); 3.8/ E.3 (pág. 76); 3.9/E. 4(pág.78); 3.10/E.5 (pág. 80); 4.1/E.3(pág. 109); 4.2/E.4
(pág. 111); 4.4/E. 5(pág. 113); 4.6/E. 6(pág. 115).
Gilberto, Sotelo Ávila, Hidráulica de canales, 2002, ed. UNAM, Facultad de ingeniería,
México, D.F.
Martín, Mundo, Apuntes de asignatura, 2013, ed. Universidad Autónoma de Chiapas,
México, Chiapas.
Piaget, García, Psicogénesis e historia de la ciencia, 2004, ed. Siglo veintiuno, México,
D.F.
Robert, L Mott; Javier Enríquez Brito; Javier León Cárdenas, Mecánica de fluidos
2006,ed.Prentice-Hall: Pearson Educación, México, D.F.
Ven, Te Chow, Hidráulica de canales abiertos, 1994, ed. Mc Graw- Hill Book Company,
Inc., Nueva york, USA.

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