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Capítulo 6
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL
AGUA SUBTERRÁNEA
132
133
Las ecuaciones diferenciales para el flujo en medios porosos se desarrollan
combinando la ley de Darcy con los principios del balance de masas. El
balance de masas involucra consideraciones de entrada y salida de flujos y
cambios en el almacenamiento.
Las leyes básicas que gobiernan el flujo fueron deducidas en el capítulo
anterior. En general se tiene que h = h(x,y,z); la ley de Darcy implica la
determinación de las tres componentes de la velocidad, además del valor de K
es decir que se tienen tres ecuaciones y cuatro incógnitas (si el medio no es
isotrópico K es un tensor, y se tienen otras tres incógnitas Kxx, Kyy y Kzz), por
lo que es preciso, para resolver el sistema, introducir una nueva ecuación que
es la ecuación de continuidad o de balance de masas.
El objetivo que se persigue en este capitulo es el desarrollo de las ecuaciones
de conservación de masa, para un dominio tridimensional y para diferentes
tipos de acuíferos. La distribución de h en un dominio específico se obtiene
resolviendo las ecuaciones con las apropiadas condiciones de borde y de
frontera.
6.1. ESFUERZOS EFECTIVOS EN UN MEDIO POROSO.
El concepto de esfuerzo efectivo o esfuerzo intergranular fué introducido por
Terzaghi (1925). Esencialmente, este concepto asume que en un medio
poroso granular, la presión del agua que rodea casi completamente cada grano,
produce en éstos, esfuerzos de igual magnitud, sin contribuir a la deformación
del esqueleto sólido, la cual se produce solamente por las fuerzas de contacto,
134
que se transmiten de grano a grano a través de los puntos de contacto. El
esfuerzo intergranular se obtiene substrayendo la presión de poro del esfuerzo
total en el material sólido.
Tan importante como la noción de esfuerzo efectivo es la deformación
observada de materiales granulares, como resultado de cambios en los
esfuerzos, es mucho mayor que la que puede ser explicada por la compresión
del material mismo. Esto sugiere que la deformación es producida
principalmente por el reacomodo de la matriz, con deslizamientos y
desplazamientos localizados.
Las investigaciones de laboratorio demuestran también que, durante la
deformación, los granos se deslizan y desplazan. Esto significa que el proceso
de deformación es gobernado por lo que sucede en puntos de contacto
localizados, donde esfuerzos normales y de corte concentrados, son
transmitidos de grano a grano, sin ser afectados por cambios en la presión de
poro. Por lo tanto un cambio en las presiones de poro, con iguales cambios en
los esfuerzos totales, no produce deformación y podrían no producir cambios
en los esfuerzos efectivos.
Terzaghi llamó esfuerzos efectivos, a aquellos que son transmitidos
directamente de grano a grano. Ellos tienen efecto solo en la fase sólida,
contrariamente a la presión del líquido intersticial llamada presión neutra o de
poro.
Los esfuerzos totales aplicados al complejo sólido - líquido se descomponen
entonces en esfuerzos efectivos y presiones neutras en un material solamente
sometido a compresiones así:
p (6.1)
Donde:
: esfuerzo total
 : esfuerzo efectivo.
135
p: presión neutra o de poro.
6.1.1. Teoría de la consolidación. Cuando se sobrecargan ciertos terrenos
poco permeables y saturados de agua, inicialmente puede advertirse solo una
pequeña compresión, sin embargo al final de un tiempo largo la subsidencia
puede ser considerable. Este fenómeno se denomina consolidación.
Terzaghi mostró que la consolidación se explica por el escurrimiento lento del
agua intersticial contenida en el suelo, tal como se muestra en la analogía de
los pistones, Figura 6.1
Si el recipiente está vacío, la sobrecarga es soportada totalmente por los
resortes, que se contraen, siendo esto instantáneo y elástico. Pero si el
recipiente está lleno de agua y los orificios entre los pistones son muy
pequeños, la contracción de los pistones no será inmediata: la sobrecarga se
traducirá inicialmente por un aumento de la presión del agua, que se escapará
poco a poco del sistema y dejará a los resortes la tarea de soportar la
sobrecarga, comprimiéndose. La matriz sólida del suelo representa en la
analogía el papel de los resortes; los orificios entre los pistones representan los
poros o vacíos.
FIGURA 6.1 Analogía de los pistones.
La teoría de la consolidación supone que:
1) El escurrimiento intersticial sigue la ley de Darcy.
136
2) La permeabilidad del terreno no varía en el curso de la consolidación
(esto sólo es una aproximación a la realidad).
3) El agua y los elementos sólidos son incompresibles, una compresión
corresponde entonces a una disminución de la porosidad.
4) La compresibilidad del suelo es "elástica", es decir que existe una
relación lineal entre el esfuerzo de compresión efectivo y la
disminución de volumen del suelo.
El mecanismo de la consolidación supone que una sobrecarga exterior
aplicada al suelo es soportada en parte por la fase sólida (aumento del esfuerzo
efectivo) y en parte por el agua intersticial (aumento de la presión). Por efecto
de este aumento de presión, hay un escurrimiento transitorio, hay un aumento
progresivo del esfuerzo efectivo y por lo tanto hay subsidencia.
6.2. CAMBIOS EN EL ALMACENAMIENTO
En un medio saturado, la masa de agua presente en un volumen unitario de
medio poroso, puede expresarse como n. Cuando hay flujo, la presión p, en
el agua, varía con el tiempo. Si el esfuerzo total permanece constante, los
esfuerzos efectivos varían con el tiempo.
El cambio en la masa de fluido por unidad de volumen está dado por:
 
t
n
t
n
t
n







 (6.2)
La ecuación general de estado para un fluido es  =  (p, c, T) la cual muestra
que la densidad del fluido , depende de la presión p, de la concentración de
varios componentes c, y de la temperatura absoluta T. En condiciones
isotérmicas y si el fluido es homogéneo o con una sola componente, la
ecuación de estado se reduce a  = (p). Esto significa que:
137
dp
p
d


 (6.3)
El coeficiente de compresibilidad  a concentración y temperatura constantes
está definido por:
p
1



 (6.4)
Se definirán a continuación cada uno de los términos del lado izquierdo de la
ecuación 6.2.:
t
n

 y
t
n



1)
t
n


De la ecuación general de estado de un fluido para condiciones de igual
presión e igual concentración y de la ecuación 6.4, se tiene:
t
p
n
t
p
p
n
t
n










(6.5)
2)
t
n



Con el fin de relacionar el segundo término del lado derecho de la ecuación
6.2, con el cambio de la presión, y de acuerdo a Jacob (1940), se asume que no
hay desplazamientos horizontales en el terreno. Todas las deformaciones,
fuerzas y esfuerzos resultantes actúan solamente en la dirección vertical. Si se
asume que el esfuerzo total  no cambia, entonces, de la ecuación 6.1:
dpd  (6.6)
138
Lo que significa que cualquier incremento de presión, va acompañado por una
disminución igual del esfuerzo efectivo.
Si se acepta la definición de porosidad n, como Vv/Vt, (Vv volumen de vacíos)
en cualquier punto de la muestra, el volumen total, Vt , es igual a:
swt VVV    ts Vn1V  (6.7)
Donde :
Vw: Volumen de agua.
Vs: Volumen de sólido
Se puede asumir que el volumen Vt, se deforma como resultado de los
cambios en los esfuerzos efectivos, y el volumen Vs permanece constante, lo
que concuerda con la afirmación de que los granos son incompresibles.
En las ecuaciones 6.6 y 6.7, se obtiene:
0
Vs


   0Vn1 t 


(6.8)
Lo que implica:
  0
n
Vn1
V
t
t






  p
n
n1
1n
n1
1V
V
1 t
t 









(6.9)
En este punto de la deducción, se asume que se trata de volúmenes
relativamente pequeños, de tal manera que el suelo pueda tratarse como un
material elástico, con un coeficiente de compresibilidad, , definido por:
139


 t
t
V
V
1
(6.10)
Pero se sabe que n= n(p), lo que implica:
p
n
t
p
t
n







(6.11)
Combinando 6.9, 6.10 y 6.11:
t
p
)n1(
t
n






(6.12)
Sumando las ecuaciones 6.5 y 6.12, se obtiene finalmente:
 
t
p
)n1(n
t
)n(





 (6.13)
Considérese la vecindad de un punto en el acuífero, donde la presión se reduce
por medio de bombeo. El resultado es un incremento de los esfuerzos
compresivos intergranulares transmitidos por el esqueleto sólido del acuífero.
Esto, a su vez, causa la compactación del acuífero reduciendo su porosidad.
Al mismo tiempo, como resultado de la reducción de la presión, el agua se
expandirá. Los dos efectos conjuntamente, la ligera expansión del agua y la
pequeña reducción en porosidad, causan que una cierta cantidad de agua sea
liberada del acuífero. Si se asumen que tanto el agua como la matriz sólida
son perfectamente elásticas, este proceso es reversible. En la realidad, sin
embargo, los cambios en la matriz granular son irreversibles. El estudio de
estas deformaciones irreversibles escapa al contenido de estas notas.
140
6.3. ECUACIÓN DE BALANCE DE MASAS
Considérese un volumen de control, como el de la Figura 6.2. La altura
piezométrica en un punto cualquiera va a variar con el tiempo.
Puede entonces establecerse la siguiente ecuación:
Masa de fluido que entra = masa que sale + cambio en la masa almacenada
con el tiempo.
FIGURA 6.2 Conservación de la masa en un volumen de control.
Se va a considerar que el medio es isotrópico, o sea que K = cte y que las
variaciones espaciales de la densidad son muy pequeñas.
Masa que entra por unidad de tiempo:
dydx)Vz(dzdx)Vy(dzdy)Vx( 
Masa que sale por unidad de tiempo:
dydx)dz
z
Vz
Vz(dzdx)dy
y
Vy
Vy(dzdy)dx
x
Vx
Vx(









141
Haciendo la diferencia se tiene, que la variación de la masa con el tiempo de
masa (ecuación 6.13) es :
M
z
Vz
y
Vy
x
Vx
z
Vz
y
Vy
x
Vx




























 (6.14)
Si se considera un medio en el que la variación espacial de la densidad  sea
despreciable, el segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior
desaparece.
De la ley de Darcy se tiene:
2
2
x
x
x
h
K
x
V
x
h
KV









2
2
y
y
y
h
K
y
V
y
h
KV








 6.15)
2
2
z
z
z
h
K
z
V
z
h
KV









Aplicando la ley de Darcy y con 6.13, 6.14 y 6.15, se obtiene:
 
t
p
)n1(nhK 2



(6.16)
Pero:
constante
p
Zh 



















t
p
t
p1
t
Z
t
h
Como la topografía no varía con el tiempo (en la escala de tiempo considerada
142
que es de años y días) se tiene entonces:
0
t
Z


 y
0
t
p
2




Lo anterior implica que:
t
h
t
p





(6.17)
y evaluando 6.17 en 6.16:
 
t
h
g)n1(nhK 2



(6.18)
 
t
h
g)n1(nhK 2



El término n n  ( )1 1es llamado coeficiente de almacenamiento
específico Ss, que tiene unidades de [1/L] y es la cantidad de agua almacenada
que se libera por unidad de volumen del acuífero cuando el gradiente
hidráulico disminuye una unidad. Sus componentes pueden interpretarse así:
 g n( )1 2es el agua almacenada, liberada por unidad de volumen, debido
a la compresión del esqueleto intergranular cuando el potencial disminuye una
unidad.  g n 3es el agua almacenada liberada por unidad de volumen,
debido a la descompresión del agua, cuando el nivel piezométrico desciende
una unidad.  es generalmente del orden de 1/25  (Bear, 1987), por esta
razón Ss, puede escribirse, como:
  gnSS  (6.19)
La ecuación 6.18 queda entonces como:
143
t
h
K
S
h S2


 (6.20)
Multiplicando arriba y abajo el miembro derecho de la ecuación por el espesor
del acuífero, b, se tiene:
t
h
bK
bS
h S2



donde (6.21)
TbK 
SbSS 
S es llamado coeficiente de almacenamiento y es uno de los parámetros que
caracterizan un acuífero, junto con la transmisividad T.
La transmisividad T, se define como la tasa de flujo por unidad de ancho a
través de todo el espesor del acuífero y para un gradiente hidráulico unitario.
Este concepto es válido sólo en modelos bidimensionales. Debe tenerse en
cuenta que el espesor del acuífero no es necesariamente constante. La
ecuación general de flujo para un medio homogéneo e isotrópico queda
entonces:
t
h
T
S
h2


 (6.22)
Esta ecuación es llamada también ecuación de difusión o ecuación de
Boussinesq.
Si el flujo es permanente, la ecuación anterior se reduce a la bien conocida
ecuación de Laplace:
0h2
 (6.23)
144
Podemos entonces definir el coeficiente de almacenamiento S, para un
acuífero confinado como el volumen de agua Vw, que sale de un acuífero, por
unidad de área horizontal, A, y por una caída unitaria del gradiente, Figura 6.3.
S es un parámetro adimensional.
FIGURA 6.3 Coeficiente de almacenamiento para
a) acuíferos confinados, b) acuíferos libres.
De la discusión anterior se concluye que la salida del agua, se debe tanto a su
comportamiento elástico como al de la matriz rocosa.
También se puede definir un coeficiente de almacenamiento para un acuífero
libre. Si se considera el área horizontal A de un acuífero libre, Figura 6.3b, el
volumen de agua almacenada está limitado por el nivel freático. Si como
resultado de un bombeo, sale más agua de la que está entrando al acuífero, el
145
nivel freático descenderá. Puede definirse entonces el coeficiente de
almacenamiento de un acuífero libre de la misma manera que para uno
confinado, excepto que la caída h es la del nivel freático.
A pesar de la similitud de las dos definiciones, el almacenamiento en cada tipo
de acuífero obedece a razones diferentes. En un acuífero confinado el
coeficiente de almacenamiento es el resultado de la compresibilidad tanto del
agua como de la matriz rocosa. En un acuífero libre, el agua es drenada
principalmente de los poros, debido a la posición inicial y final del nivel
freático. El coeficiente de almacenamiento en un acuífero libre es llamado,
frecuentemente, rendimiento específico Sy, y expresa la producción de un
acuífero por unidad de área y por unidad de caída del nivel freático.
Se debe tener el cuidado de no identificar el rendimiento específico con la
porosidad en un acuífero libre. Cuando el agua se drena de los intersticios o
poros, el drenaje nunca es completo, pues como se dijo en capítulos anteriores,
una cierta cantidad es retenida en el suelo por las fuerzas capilares, superiores
a las de la gravedad. El agua que queda en el acuífero después del drenaje es
llamada, como ya se dijo, agua de retención, Sr, lo que implica que:
n=SS ry  (6.24)
Por esta razón, Sy, es llamada algunas veces porosidad efectiva.
Valores típicos de S en un acuífero confinado son del orden de 10-4
- 10-6
, de
los cuales aproximadamente el 40% corresponde a la expansión del agua y el
60% a la compresión del medio poroso. En un acuífero libre (arenas) Ss,
puede ser del orden de 0.1 cm-1
y Sy puede ser el 20%-30% de este valor.
6.4 LA SUBSIDENCIA
146
La subsidencia o reducción de la cota de la superficie del terreno debido a
compactación de capas compresibles puede ser causada por la explotación
excesiva de acuíferos. Al reducirse los niveles piezométricos, se
incrementan los esfuerzos efectivos y causan el movimiento de la superficie
de la tierra hacia abajo. Es mucho más común en acuíferos aluviales con
estratos de limos y arcillas intercalados con gravas y arenas. Las gravas y
arenas son relativamente incompresibles por lo cual, el incremento de los
esfuerzos efectivos no causa compactación apreciable en los acuíferos
constituidos solamente por estos materiales. La subsidencia asociada a la
explotación de aguas subterráneas está ligada a tres mecanismos principales:
compactación de acuíferos, disolución y posterior colapso de rocas solubles
en agua (limolitas, evaporitas, calcitas) y desecamiento de suelos orgánicos.
Puede dañar edificios, puentes, acueductos y alcantarillados, canales y
reducir la capacidad de almacenamiento de los acuíferos.
Algunos de los casos más conocidos son los de Ciudad de Méjico , donde en
algunos sitios se han presentado subsidencias de 8 m, iniciadas desde 1938.
En Tokio y Osaka se han presentado subsidencias de 3-4 m y en el Valle de
San Joaquín, en California, se han tenido tasas de subsidencia de 1 m cada 3
años en el período 1935-1970.
El principal parámetro en la subsidencia es la es la variación de la presión
efectiva o intergranular. Dos aproximaciones se usan para calcular la
subsidencia. Una está basada en la teoría de la elasticidad y otra en la teoría
logarítmica.
Con la teoría de la elasticidad se asume que la subsidencia sobre el espesor,
Su/Z, varía linealmente con el incremento de esfuerzos, 1i2i  así:
E
Z
S
_
u
1i2i

 
(6.25)
Donde:
147
Z espesor del acuífero
E: módulo de elasticidad
σ : esfuerzo efectivo.
Su: subsidencia
Los módulos de elasticidad E para varios materiales son:
Material E, Kg/cm2
Gravas y arenas densas 2000-10000
Arenas densas 500-2000
Arenas sueltas 100-200
Arcillas y limos densos 50-100
Arcillas sueltas 10-50
Turbas 1-5
Terzaghi y Peck (1948) encontraron cuando se dibujaba la relación de vacíos
e vs σ , se obtenía una curva donde la pendiente  de la sección recta de la
curva se puede expresar como:
1i2i
21
log_log
e_e
tan


(6.26)
Tan  es llamado el índice de compresión del material, Cc. La ecuación
anterior se puede escribir entonces, como:
1i
2i
c21 logCe_e



(6.27)
Se puede demostrar que:
148
1i
2i
1
c
u log
1e
C
ZS



 (6.28)
Cc es un parámetro adimensional con valores que varía, para arcillas, con el
límite líquido, Lq, entre 0.1-1 de acuerdo a la siguiente ecuación (Skempton
1944, citado por Bower,1978):
%)10_L(007.0C qc  (6.29)
Si:
1e
C
C
1
c
u

 (6.30)
Cu, llamado coeficiente de compresión, la ecuación 6.28 queda:
12
1i
uu logZCS


 (6.31)
Cu tiene los siguientes valores( Bower, 1978):
Material Cu
Arena 0.005-0.05
Limo 0.05-0.1
Arcilla 0.1-0.3
Turba 0.2-0.8
Según Lohman (1961) la subsidencia puede ser calculada como:
)nb
S
(pb 

 (6.32)
149
Donde:
b: subsidencia en m
p: reducción en la presión en N/m2
: peso específico del agua.
EJERCICIO 6.1
En una ciudad bajo la cual hay un acuífero confinado de 50 m de espesor, se
ha producido en los últimos años una subsidencia de 0.5 m, causada por
descensos en los niveles piezométricos de 10 m. Si =5x10-10
Pascal-1
, y la
porosidad del acuífero, n, es del 20% calcular el coeficiente de
almacenamiento S.
El coeficiente de compresibilidad , se define (ecuación 6.10) como:


 t
t
V
V
1
Sabemos también que
dpd 
hgdp 
reemplazando:
g
101
10g50
5.0 3






De la ecuación 6.19:
  gnSS 
reemplazando:
150
 
2.0g101S 3
S
El segundo término de ésta ecuación, es despreciable frente al primero, y se
tiene entonces:
50101SbS 3
S  
S = 0.05
EJERCICIO 6.2
Considérese un acuífero formado por una capa de arena de 60 m de espesor,
sobre una capa de 25 m de arcilla, tal como muestra la figura. El nivel
freático está a 10 m de profundidad de la superficie del terreno, la porosidad
de la arena es 35%, la humedad de la arena por encima del nivel freático es
de 0.08, el peso específico de la arena es s=25.5 kN/m3
y el peso específico
del agua es 9.81 kN/m3
. Si el nivel freático se abate 40 m calcular la
subsidencia si el módulo de elasticidad de la arena es 105
kN/m2
. (Tomado
de Delleur, 1999)
Solución:
Es necesario encontrara el incremento en los esfuerzos efectivos producidos
151
por la caída del nivel freático. Se encontraran primero los esfuerzos
efectivos para la posición inicial del nivel freático así:
El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena , para la posición inicial del
nivel freático es:
CORREGIR
 = (1-0.35)25.5 + 0.08*9.81 +50(1-0.35)25.5 +0.35*9.81= 1174 kPa
La presión hidrostática en el fondo de la capa de arena es:
P = 9.81*50=490.5 kPa
El esfuerzo efectivo será entonces:
 = 1174 –490.5 =683.5 kPa
El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena cuando el nivel freático se
abate 40 m es:
 = 50(1-0.35)25.5+0.08*9.81 + 10  (1-0.35)25.5 + 0.35*9.81
= 1068.1 kPa
la presión hidrostática es.
P= 9.81*10 0 =98.1 kPa
El esfuerzo efectivo será entonces:
 = 1068.1-98.1=970 kPa.
El incremento en el esfuerzo efectivo será entonces:
 = 970-683.5 = 286.5 kPa
La caída del nivel freático produce una variación lineal del esfuerzo efectivo
152
de 0 kPa a 10 m de profundidad a 286.5 kPa a 50 m de profundidad. El
incremento promedio del esfuerzo efectivo es:
 = (0 +286.5)/2 =143.25 kPa
y la subsidencia para la profundidad de 10 a 50 m es:
Su1= 40*143.25/105
= 0.0573 m
La subsidencia en el estrato de 50 a 60 m es:
Su2= 10*286.5/105
= 0.0287 m
EJERCICIO 6.3
En una zona existe un acuífero confinado con un espesor promedio de 30 m,
que se extiende superficialmente 800 km². La superficie piezométrica
fluctúa anualmente de 19 a 9 m sobre el techo del acuífero. Asumiendo un
coeficiente de almacenamiento de 8x10-4
, calcular el volumen de agua
almacenada anualmente.
Por definición se tiene
AH
V
S
OH2


donde
V: volumen almacenado
H: variación en los niveles piezométricos
A: área
Despejando
153
AHSV OH2

64
OH 1080010108V 2


35
OH m1064V 2

6.5. CONDICIONES DE BORDE USUALES PARA LA SOLUCIÓN
DE LAS ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO
SUBTERRÁNEO
Las ecuaciones básicas presentadas en la sección anterior son ecuaciones
diferenciales parciales de segundo orden y primer grado; las ecuaciones son
solamente las expresiones para un balance de masas y no suministran ninguna
información para un caso específico de flujo, ni aun sobre la forma del
dominio en que éste ocurre. Cada ecuación tiene un número infinito de
soluciones, cada una de las cuales corresponde a un caso particular de flujo en
un medio poroso. Para obtener de esta multitud de posibles soluciones una
solución particular de un problema específico, es necesario tener una
información adicional no contenida en las ecuaciones. Esta información, que
junto con las ecuaciones diferenciales parciales, define el modelo para un
problema particular, incluye especificaciones sobre las condiciones iniciales
y las condiciones de frontera.
Las primeras describen la distribución de los valores de la variable
considerada en algún tiempo inicial, frecuentemente t=0, en todos los puntos
del dominio considerado. Por ejemplo:
h = h(x, y, z, t=0) = f(x, y, z)
Donde f(x, y, z) es una variable conocida.
Las condiciones de frontera expresan la manera como el dominio considerado
interactúa con el entorno. En otras palabras expresan las condiciones de
caudales y cabezas piezométricas conocidas que el dominio externo, impone
154
al que se está considerando.
Diferentes condiciones de borde producen diferentes soluciones, de ahí la
importancia de fijarlas correctamente. También es claro que su contenido
expresa una realidad física tal como la entiende la persona que está
construyendo el modelo, aunque tales condiciones formen parte de un modelo
teórico - matemático.
Dichas condiciones son, desde el punto de vista matemático, de tres tipos
a) Condición de Dirichlet que fija el valor de la variable h: h = cte.
b) Condición de Neumann que fija el valor de la primera derivada de la
variable h:


h
n
impuesta en un contorno.
c) Condición de Fourier que fija los valores de h y


h
n
: h
h
n
 


impuestos.
Se añadirá una cuarta condición que es la condición de superficie libre o de
goteo, que es una condición de frontera doble. Más adelante se estudiará el
problema de las condiciones iniciales.
Esas mismas condiciones, desde un punto de vista hidrogeológico significan
lo siguiente:
a) Condiciones de potencial impuesto que corresponden a la condición de
Dirichlet, o sea h = cte. Es el caso que se presenta cuando el acuífero está
en contacto con una masa libre de agua tal como un río o el mar, Figura
6.4. En esta situación la carga potencial es constante en todos los puntos de
la superficie de contacto entre el acuífero y el río o entre el acuífero y el
mar, y está definida por la altura del agua en el río o en el mar. En estas
masas de agua las pérdidas de carga son prácticamente despreciables pues
si bien es cierto que la carga pueda tener ciertas variaciones con el tiempo,
155
dichas variaciones no dependen del funcionamiento del acuífero sino de
condiciones externas a él como lo son las precipitaciones, por ejemplo. La
condición se expresa por lo tanto como h = cte.
b) Condiciones de flujo impuesto. Son equivalentes a la condición de
Neumann, ya que si se impone un valor a


h
n
, (el gradiente en la dirección
n), se tiene a partir de la Ley de Darcy: V K
h
n
N  


y como


h
n
cte ,
entonces Vn = cte y por consiguiente el caudal o flujo es también constante.
FIGURA 6.4 Condición de potencial impuesto. (en el contorno A del
acuífero el potencial es constante).
Pueden presentarse los siguientes casos:
- Condiciones de flujo nulo:


h
n
 0 Este tipo de condiciones se encuentran
por ejemplo cuando el acuífero está limitado por una superficie
impermeable, Figura 6.5.
- Flujo impuesto diferente de cero, es decir


h
n
 0 . Es el caso, por
156
ejemplo, de la explotación de un pozo con un caudal dado o un
afloramiento en una zona donde la tasa de infiltración es inferior a la tasa
de "adsorción" de la napa, Figura 6.6.
c) Condiciones de Fourier. Supóngase un río que drena o alimenta un
acuífero, Figura 6.7, que tiene un fondo colmatado por un material poco
permeable.
La diferencia de carga h = h(río) - h(napa), expresada como hr - h, crea el
gradiente necesario, para que haya un flujo por unidad de superficie de
contacto río - acuífero.
Según la ley de Darcy:
'e
hh
'K
'e
h
'Kq r 



FIGURA 6.5 Condición de flujo nulo.
157
FIGURA 6.6 Condiciones de flujo no nulo.
FIGURA 6.7 Condiciones de Fourier.
También según la ley de Darcy, el caudal por unidad de superficie es:
q K
h
n
 


, con n normal a la superficie de contacto. Por conservación de
flujo a través de la interfase AB, se puede escribir:
158
rh
'e
'K
h
'e
'K
n
h
K 



La cual es, por definición, una condición de Fourier.
d) Condiciones de flujo a superficie libre. Dos condiciones definen una
superficie libre:
- La presión sobre todo punto M de la superficie libre es la presión
atmosférica. Se puede escribir entonces: h = z.
- Además la superficie libre es una superficie a flujo impuesto, que puede ser
nulo si el acuífero no es alimentado por su superficie, o sea


h
n
 0 , y si la
napa es recargada por su superficie, entonces


h
n
a . Esta "alimentación"
puede ser también negativa, como en el caso en que haya evaporación. Ver
Figura 6.8.
FIGURA 6.8 Condición de superficie libre.
Aparece aquí entonces una doble determinación. El problema principal reside
en el hecho de que la posición de la superficie libre no es conocida, sino que
159
por el contrario debe ser determinada y a su vez dicha superficie constituye
una condición de borde del flujo. Se trata entonces de una superficie que
cumpla simultáneamente las dos ecuaciones: h = z y


h
n
cte . Lo que se
hace en la práctica es determinar la posición de la superficie por
aproximaciones sucesivas. Primero se supone la posición de la superficie,
limitando así el dominio de integración, luego se fija la carga para dicho
dominio h = z y se verifica que el caudal calculado K
h
n


, sea correcto. Si
dicho flujo no es correcto, se varía la posición de la superficie libre.
Hay condiciones de límites con flujo a superficie libre, por ejemplo en los
acuíferos libres en los cuales la superficie piezométrica es la misma superficie
freática. También en el caso del flujo a través de una presa de tierra, la línea
de saturación constituye un límite de flujo a superficie libre.
En muchos casos la superficie libre es cortada por una superficie que está en
contacto con la atmósfera, y aparece lo que se denomina una línea de
emergencia del fluído, dejando de existir una continuidad entre la superficie
libre y el plano de agua hacia abajo. Dicha superficie de contacto entre la
superficie libre y la atmósfera es llamada superficie de goteo. Como ejemplos
de superficies de goteo se pueden precisar los mostrados en la Figura 6.9: flujo
a través de una presa de tierra, flujo hacia un pozo, contacto de un acuífero
con una masa libre de agua. En la figura el sector AB es la superficie de
goteo.
En este caso entonces las condiciones de borde en la superficie de goteo se
expresan por la ecuación:
h = z (6.33)
160
FIGURA 6.9 Superficies de goteo.
Aquí también se presenta el problema de determinar la extensión de la
superficie de goteo, lo cual se hace también por aproximaciones sucesivas,
como en el caso de la posición de la superficie libre.
En ciertos casos, cuando se supone que el dominio de integración es infinito,
es posible abstraerse de las condiciones de frontera. Esto es muy utilizado
cuando se están buscando soluciones analíticas a la ecuación de difusión. Los
métodos numéricos se adaptan mejor cuando se tienen condiciones de frontera
conocidas.
Para los problemas de flujo transitorio es necesario definir las condiciones
iniciales del problema o sea el valor de h en todo el dominio, cuando t=0.
EJEMPLO 6.4
Encontrar el caudal que fluye debajo de una presa que descansa sobre una
fundación permeable, Figura 6.10.
161
FIGURA 6.10 Flujo debajo de una presa.
Solución:
Considerando el acuífero confinado y el flujo permanente se tiene:
0h2

Si se considera además, que el flujo es unidimensional :
0
x
h
2
2



Integrando esta última ecuación se tiene:
21 CxCh 
162
Las condiciones de borde son:
Para x = 0, h=H1 y para x=B, h=H2. Esto implica que:
C2 = H1 y C1=(H2 - H1)/B
La cabeza piezométrica en cualquier punto debajo de la presa será entonces:
1
12
Hx
B
HH
h 


y el caudal total, si L es la longitud de la presa, será:
VAQ  eLA 
B
HH
K
dx
dh
KV 21 

 21 HH
B
LeK
Q 
EJEMPLO 6.5
Dos tanques cilíndricos están conectados por un tubo de 3 cm de diámetro
lleno de arena cuya permeabilidad es 9.1x10-4
cm/s. La profundidad en el
mayor de los tanques es de 40 cm y en el pequeño 10 cm, cuando t=0 (ver
Figura 6.11). Las áreas transversales de los tanques son de 1000 cm2
y 250
cm2
respectivamente. Cuanto tiempo tardará en descender 5 cm la
profundidad en el tanque grande?
163
FIGURA 6.11 Flujo a través de dos tanques
Solución:
Considerando que existe una relación lineal entre las carga h1 del primer
tanque y los gradientes hidráulicos (variando en el tiempo), se tiene:
15.0
200
30
i40h1 
025.0
200
5
i35h1 
 15.0i
025.015.0
3540
40h1 



40
34h
i 1 

El volumen de agua que entra al tubo de arena por unidad de tiempo es:
A dh
dt
1 1
1, siendo A1 el área transversal del cilindro mayor. Este volumen es
164
igual al que está circulando por el tubo de arena, que puede expresarse por la
ley de Darcy como KA it 2, siendo At el área del tubo de arena. O sea que:





 

40
34h
KA
dt
dhA 1
t
11
 

t
0
35
40
1
1
t
1
dt
34h
dh
KA
A
40
El tubo de arena tiene un diámetro de 3 cm, lo que implica que At=7.07 cm2
;
si se reemplazan valores y se integra la ecuación anterior se tiene t=128 días
6.6. MODIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN EL
CASO DEL FLUJO EN UN ACUÍFERO LIBRE CON BASE EN
LAS HIPÓTESIS DE DUPUIT
La solución de la ecuación 2
h = 0 para flujo permanente es difícil en
acuíferos libres pues como ya se anotó la posición de la superficie libre no es
conocida y por lo tanto los límites de integración no están generalmente bien
determinados. Por otra parte, las condiciones de borde sobre dicha superficie
libre se expresan en forma cuadrática, en términos de las derivadas de la carga
hidráulica h. Las hipótesis de Dupuit (1863) son probablemente la
herramienta mas poderosa para tratar escurrimientos en acuíferos libres.
Dupuit basó sus hipótesis en la observación de que frecuentemente se
encuentran pendientes de 1/1000 - 1/100 en los niveles freáticos de los
acuíferos libres.
Si se considera flujo permanente en el plano bidimensional XZ, Figura 6.12
(sin recarga), el nivel fréatico es una línea de corriente. En cualquier punto P,
a lo largo de esa línea, la descarga específica, en una dirección tangente al
nivel fréatico, está dada por la ley de Darcy:
165




 senK
ds
dZK
ds
dhK
q 1
s (6.33)
FIGURA 6.12. Hipótesis de Dupuit.
Lo anterior es válido porque a lo largo de la línea freática p=0 y h=Z. Como 
es muy pequeño, Dupuit sugirió reemplazar sen  por tan  = dh/dx. Asumir
que  es pequeño, equivale a decir que las equipotenciales son verticales y
que el flujo, por lo tanto, es esencialmente horizontal. La hipótesis de Dupuit
permite calcular la descarga teniendo en cuenta que h=h(x,y) así:
x
h
Kqx



(6.34)
y
h
Kqy



La ventaja de la hipótesis de Dupuit es que h = h(x,y,z) ha sido reemplazada
por h = h(x,y), y esto significa que z no aparece como variable independiente.
166
En general h varía con el tiempo así que h = h (x,y,t).
Las hipótesis simplificativas de Dupuit, permitieron a Forcheimer la
deducción de una ecuación que sustituye a la 6.23. Considérese un prisma de
acuífero cuya base es horizontal coincidiendo con la base misma del acuífero
y la parte superior es la superficie libre, Figura 6.13. Un punto cualquiera
sobre la superficie h (x,y) representa a la vez la altura de la superficie libre por
encima del plano de referencia y el potencial hidráulico en cada punto de la
vertical, trazada desde un punto dado de la superficie libre.
El caudal a través del área elemental hy, en la dirección x es:
yh
x
h
KQx 


 (6.35)
FIGURA 6.13 Continuidad en un acuífero libre.
El caudal a través del área elemental x+x es:
167















 yh
x
h
K
x
xyh
x
h
KQ xx (6.36)
En el supuesto de que K sea constante, la diferencia entre el caudal de entrada
y salida es:





















x
h
2
1
x
Kyx
x
h
h
x
Kyx
2
(6.37)
De una forma similar, la diferencia de caudales en la dirección y vale:











y
h
2
1
y
Kyx
2
(6.38)
De acuerdo al principio de continuidad, la diferencia entre el caudal que entra
y el que sale tiene que ser igual a la variación del volumen de agua contenida
en el prisma. Esta variación es nula si en el interior del prisma no existen
manantiales ni sumideros; por tanto:
0
y
h
x
h
2
K
yx 2
22
2
22












(6.39)
0h22

En el caso que haya recarga a través de la superficie libre, esta ecuación se
puede modificar sin ninguna dificultad. Si se expresa como R el valor de la
recarga por unidad de superficie (dimensiones L/T), la recarga que
experimenta el prisma de la Figura 6.13 es R xy y por efecto de la
conservación de masas se tiene:
168
0yxR
y
h
x
h
2
K
yx 2
22
2
22











 (6.40)
Es decir que:
0
K
R
2h22
 (6.41)
es la ecuación de Poisson para h2
EJEMPLO 6.6
Calcular el flujo por debajo de una presa permeable que descansa sobre una
fundación impermeable, Figura 6.14.
Solución:
La ecuación 6.34, suponiendo un flujo unidimensional sin recarga, se reduce
a:
0
dx
hd
2
22

Integrándola:
BAxh2

Las condiciones de borde son:
para x = 0 , h = H0
para x = L , h = H1
169
FIGURA 6.14 Flujo a través de una presa.
O sea que B = Ho2
y
L
HH
A
2
0
2
1 
 3. El caudal a través de cualquier sección
vertical se puede expresar como:
dx
dh
hKQ 
Pero h dh/dx es igual a A/2, lo que implica que:
 2
0
2
1 HH
L2
K
Q 
EJEMPLO 6.7
Una capa horizontal impermeable de 5 m existe bajo la superficie del terreno,
en un suelo en una región húmeda, donde la precipitación excede la
evapotranspiración en 28 cm. Un sistema de drenaje subterráneo está
compuesto de drenes paralelos igualmente espaciados, requeridos para
170
mantener la elevación máxima de nivel freático a una profundidad de un
metro bajo la superficie del terreno (Figura 6.15). Si los drenes se colocan 2.1
m bajo la superficie del terreno y K= 1.4x10-4
cm/s, se pregunta cual sería el
espaciamiento de los drenes, asumiendo que no hay escorrentía superficial
directa.
FIGURA 6.15 Colocación de los drenes.
Solución:
Se trata de un acuífero libre, o sea que se pueden utilizar las hipótesis de
Dupuit y se tiene:
K
R
2h22




K
R
2
x
h
2
22



O
2
Cx
K
R
2
x
h
1O
22
CxCx
K
R
h 
Si se toma como nivel de referencia la base impermeable y como origen de
171
coordenadas un punto que es la intersección de una perpendicular al nivel de
referencia por el centro del dren y este, las condiciones de borde son:
para x=0, h=2.9
para x=L/2, h=4
para x=l, h=2.9
Reemplazando estas condiciones de borde en la ecuación anterior se tiene:
2
1 9.2C 
2
O
2
9.2C
2
L
L
K4
R
16 
2
O
2
2
9.2LC
K
LR
9.2 
Efectuando las operaciones se tiene que:
K
LR
CO 
Reemplazando los valores de C0 y C1 y resolviendo el sistema resulta un
espaciamiento de L = 69.18 m.
EJEMPLO 6.8
Considerando la Figura 6.16, hallar una expresión para las cabezas
piezométricas, en cualquier punto, suponiendo que el flujo es bidimensional.
Solución:
La ecuación para un flujo permanente en el plano xy es:
172
0
y
h
x
h
2
22
2
22






FIGURA 6.16 Flujo permanente bidimensional en un acuífero
confinado.
La expresión matemática para las condiciones de borde es la siguiente:
0
y
h



en y = 0 y en y = yL
h = hO en x = 0
h = h1 en x = xL
Se puede resolver h(x,y), usando la técnica de separación de variables. Si se
considera que la solución es un producto de la forma siguiente:
)y(Y)x(X)y,x(h 
La ecuación de Laplace puede escribirse entonces como:
0
dy
Yd
X
dx
Xd
Y 2
2
2
2

173
Dividiendo por XY:
2
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1

Se tiene que:
Fi(x) = -Fd(y)
Fi(x) = constante
Fd(y) = constante.
Por lo tanto:
G
dx
Xd
X
1
2
2

y
G
dy
Yd
Y
1
2
2

La constante G puede ser positiva, negativa o cero. Todos los tres casos son
solución del producto, pero sólo G=0, permite una solución con significado
físico inmediato. Se tiene entonces que:
0
x
X
X
1
2
2


 y
0
y
Y
Y
1
2
2



Las anteriores son ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son:
BAxX  y DCyY 
El producto h(x, y) se transforma en:
)DCy()BAx()y,x(h 
Las condiciones de borde enunciadas anteriormente, permiten evaluar los
174
coeficientes A, B, C y D. Derivando con respecto a y la ecuación anterior:
C)BAx(
y
h



Reemplazando la condición de borde


h
y
 0 4, implica que C=0 y el producto
queda:
FExD)BAx()y,x(h 
Invocando las condiciones de borde restantes se tiene que F hO y
E
h h
xL

0 1
5. La solución es entonces :
L
1OO
x
x
)hh(h)y,x(h 
Esta solución es idéntica a la encontrada en el ejemplo 6.1, en el que
inicialmente se supuso flujo unidimensional.
EJEMPLO 6.9
Se tiene una galería de 200 m de longitud en un acuífero libre con una
permeabilidad de 60 m/d, tal como muestra la figura.
175
Si H = 7 m, h1 = 2, y L = 400 m, calcular:
a. El caudal drenado por la galería.
b. La ecuación de la superficie freática.
Solución:
El caudal por unidad de longitud de galería, fluyendo por un lado de ésta es:
x
h
hkAVq



Integrando
1
2
C
2
hk
xq 
Cuando x=0, h=h1, de donde
2
hk
C
2
1
1

Se obtiene entonces:
 2
1
2
hh
x2
k
q 
(A)
Si x=L, h=H
 2
1
2
hH
L2
k
q 
(B)
176
De la ecuaciones (A) y (B) se obtiene la ecuación del nivel freático:
 2
1
22
1 hH
L
x
hh 
Reemplazando los valores se obtiene:
 2
1
2
hH
L
lk
lq2Q 
 22
27
4002
20060
Q 



Q = 1350 m³/d
x1125.04h 
177
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1. La Figura presenta una sección de acuífero entre 2 ríos, separados 3000
m. La permeabilidad es k=20 m/d, ho=30 m y hL=20 m. Si la
infiltración efectiva es de 500 mm/año, determinar los caudales que
fluyen hacia las dos corrientes y la forma de la superficie freática.
6.2 Una capa de arcilla de 50 m de espesor se encuentra encima de un
acuífero confinado formado por arenas. Un piezómetro perforado en el
techo del acuífero tiene una cabeza piezométrica de 7 m sobre la
superficie del terreno. El peso específico de la arcilla saturada es de 2.4
ton/m3
. Asumir que el nivel freático está en la superficie del terreno.
a)Cuál es el valor de la presión total de la presión efectiva y de la
presión de poro en el fondo de la capa de arcilla. b)Si se hace una zanja
de 6 m de profundidad en la arcilla, cuáles son las presiones totales,
efectiva y de poro en el fondo de la capa de arcilla debajo de la zanja.
Asumir que la zanja está llena de agua. c)Cuál es la profundidad de la
zanja que puede causar una falla en el fondo.
6.3. Dos ríos separados 3000 m están conectados por un acuífero libre con
178
una permeabilidad de 20 m/d. El nivel del agua en el río de la derecha
es + 25 m y en el río de la izquierda + 35 medidos respecto a un fondo
horizontal con una cota de - 20 m. En ambos ríos, la profundidad del
agua es de 5 m aproximadamente. Se requiere calcular :
a. El caudal hacia cada río
b. La elevación del nivel freático en el punto medio del valle que une los
ríos.
c. La localización de la máxima altura del nivel freático.
d. El caudal drenado por una galería horizontal localizada a 1000 m del
río izquierdo. La elevación de la galería es + 15 m.
Capítulo 7
REDES DE FLUJO
172
173
La Ecuación de Laplace es una de las más importantes de la física matemática.
Para muchos problemas prácticos de la ingeniería es muy útil obtener su
solución gráfica.
En aguas subterráneas son particularmente interesantes los cálculos de las
redes de flujo del escurrimiento. Este capitulo se dedicara al estudio de los
fundamentos teóricos de la ecuación de Laplace y a mostrar algunos ejemplos
de su manejo práctico en aguas subterráneas.
Si consideramos un flujo laminar y permanente a través de un medio poroso,
homogéneo e isotrópico, el fluido se moverá según lo descrito por la ley de
Darcy:
y
h
KV
x
h
KV yx





 (7.1)
La ecuación de continuidad para la masa, a su vez, produce que:
h0
y
V
x
V 2yx






(7.2)
supuesta una permeabilidad invariable. Por lo tanto h(x,y) es una solución de
la ecuación de Laplace. La permeabilidad intrínseca, ya mencionada, permite
escribir entonces:
y
)gh(K
V
x
)gh(K
V O
y
O
x








174
gh
K
gh
K
V OO




 (7.3)
con 2
0gh 1 como ecuación del escurrimiento. Nótese de inmediato que
gh opera como un "potencial de velocidades" para este flujo, como si se
tratase de un flujo "potencial" puro. Pero la viscosidad es insoslayable en
este flujo, y disipa "carga" de energía del fluido, y por ello el flujo darcyano
se considera apenas "seudopotencial" y la función:
0,cteg 2
 (7.4)
Es el potencial generalizado para estos flujos. Particularmente importante es
el flujo de un flujo bidimensional, con h(x,y), pero nada impide aplicar las
mismas nociones a los escurrimientos darcyanos tridimensionales. En este
capítulo se restringirá el estudio al caso de movimientos planos.
Las curvas   constante2, o lo que es lo mismo, gh = constante, se conocen
como líneas equipotenciales. A lo largo de ellas d  0 3, es decir:
0dy
y
dx
x
d 





 (7.5)
y resulta para una pendiente la expresión:
ialequipotenclaenpendiente
V
V
y
x
dx
dy
y
x








(7.6)
Las cargas hidráulicas gh son las mismas en todos los puntos de la
equipotencial. No debe esperarse pues ningún flujo a lo largo de ellas, ningún
gradiente movería el flujo. El flujo debe ser normal a las equipotenciales.
Si consideramos la pendiente de una línea de corriente (paralela por definición
a la velocidad), resulta:
175
0dyVdxV
V
V
dx
dy
xy
y
x
 (7.7)
Existe otra función, que se construye siempre, que existe en todo tipo de
flujos, muy útil para describir las líneas de corriente. Es la función de
corriente de Lagrange, ( , )x y . Si consideramos la ecuación 7.7, puede
preguntarse si no podrá sintetizarse en una forma diferencial total, dígase
d  0 4 en la línea de corriente. Esto sería:
0dy
y
dx
x
d 






(7.8)
e igualando con la ecuación 7.7, resultaría que si 5 existe, debería ser tal
que:
x
V
y
V yx





 (7.9)
Pero debe garantizarse la existencia de 6. Considérese la forma diferencial:
x
N
y
M





(7.10)
Será cierto que la forma Vydx -Vxdy es exacta? Si lo es, existe 7. Y con M
= Vy, N = -Vx, resulta la condición:
0
y
V
x
V
bieno
x
V
y
V yxxy











(7.11)
Ahora bien, esta condición la satisfacen siempre los líquidos, es la ley de
conservación de su masa. Y queda visto que la función de corriente 8 existe
siempre, en cualquier flujo bidimensional, permanente ó no. La ecuación de
la línea de corriente es =0 y su pendiente es:
176
x
y
V
V
dx
dy


(7.12)
Y es claro que la equipotencial y la línea de corriente se cortan ortogonales en
cada punto:
1
V
V
V
V
dx
dy
dx
dy
y
x
x
y


(7.13)
Las ecuaciones que sintetizan lo anterior se conocen como ecuaciones de
Cauchy - Riemann. Si se igualan las expresiones para las velocidades según 
y :
yx
:Vx






(7.14)
xy
:Vy






Ecuaciones son de la mayor utilidad, y en los escurrimientos darcyanos sirven
de base para construir la red de flujo en forma gráfica. Nótese que  es
también una función de Laplace (si en 7.14 se deriva la primera ecuación con
respecto a y, la segunda con respecto a x, y se restan, resulta de inmediato
 2
0 9).
En un problema específico, en el que haya unas condiciones de frontera fijas,
la solución de la ecuación de Laplace para  y , con las condiciones de
frontera existentes en el flujo produce una descripción completa del campo de
flujo. La red de flujo representa la descripción en forma gráfica: está
constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en , por líneas de
corriente separadas igualmente en . Todas las intersecciones de la red son
ortogonales. Se va a aprender a construirlas en diversos flujos darcyanos.
177
7.1. PROPIEDADES DE LAS REDES DE FLUJO.
Puesto que las líneas de corriente se trazan igualmente espaciadas en , el
caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de
ancho. La cantidad 10 tiene las unidades de un caudal unitario, y 11
se considera entonces la representación del caudal que fluye entre las dos
líneas. El espacio entre ellas se llama canal de flujo o canal de corriente,
Figura 7.1.
Ni las equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las
líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.
FIGURA 7.1 Canal de flujo entre dos líneas de corriente.
El método de las redes de flujo utiliza esos postulados para resolver el
problema de un modo sencillo y gráfico. Se trata entonces de definir en cada
caso las condiciones de frontera específicas del problema y de trazar,
cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así
una verdadera imagen gráfica del problema.
Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las
condiciones de frontera y ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la
solución única del problema. Esta, si el dibujo está hecho con cuidado, es lo
suficientemente buena para los fines ingenieriles.
Según Harr (1962) el trazado de una red de flujo incluye los siguientes pasos:
- Dibujar los límites del dominio.
178
- Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente. La distancia a través de
líneas de corriente adyacentes se incrementa en la dirección de la línea
del mayor grado de curvatura (línea menos curva).
- Trazar tentativamente equipotenciales, formando ángulos rectos.
- Ajustar.
- Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los
cuadrados se obtienen también curvas suaves, formando una nueva
red.
7.2. CÁLCULO DEL CAUDAL
Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera
que la h sea la misma y que el q entre dos líneas de flujo sea el mismo,
Figura 7.2.
FIGURA 7.2 Caudal y gradiente en un canal.
Se tiene que:
b
h
kaq


(7.15)
Si:
179
nf = # canales de la red
nc = # caídas de potencial
Entonces:
cf n
h
hy
n
q
q  (7.16)
Donde:
q: caudal unitario total
h: carga total
Reemplazando 7.9 en 7.8:
Kh
b
a
n
n
q
n
h
aK
n
q
c
f
cf
 (7.17)
Si q, k, nf y nc son constantes a/b = cte. O sea que la relación entre el ancho y
el largo de todos los rectángulos curvilíneos debe ser la misma. Esta
condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (q y
h iguales). Por lo tanto, el único requisito para satisfacer estas dos
condiciones es que a/b = cte (cualquiera). Si esta constante es igual a 1 el
problema se simplifica bastante, los rectángulos se transforman en cuadrados
curvilíneos (mucho más fáciles de verificar en cuanto a la corrección de su
dibujo).
Si se acepta que la red es cuadrada, puede escribirse:
Kh
n
n
q
c
f

(7.18)
180
n
n
f
c
12, el "factor de forma" de la red.
7.3. TIPOS DE REDES DE FLUJO
Las redes de flujo pueden ser de varios tipos, dependiendo de la configuración
y el número de zonas de suelo o roca a través de las cuales el drenaje ocurre.
Una primera división puede ser la siguiente:
1) El flujo es confinado dentro de límites de saturación conocidos y el
nivel freático es conocido también.
2) El flujo es no confinado: el nivel freático no es conocido.
Una segunda división puede ser hecha si hay permeabilidad simple o si hay
dos o más permeabilidades. Esta clasificación da cuatro posibles condiciones
de flujo:
- Flujo confinado en secciones con una permeabilidad K.
- Flujo confinado en secciones con dos ó más permeabilidades K1 y K2.
- Flujo no confinado con una permeabilidad K1.
- Flujo no confinado con 2 ó más permeabilidades K1 y K2.
1) Flujo confinado. Como ejemplos de flujo confinado la Figura 7.3,
presenta el flujo bajo una tablestaca y una presa de hormigón. En la
tablestaca se tienen los siguientes límites del dominio:
Línea AB = máxima equipotencial
Línea CD = mínima equipotencial
Línea BEC = la línea de flujo más corta
Línea FG = la línea de flujo más larga
Bajo la presa, los límites son los siguientes:
Línea AB = máxima equipotencial.
Línea IJ = mínima equipotencial.
Línea BEFGHI = línea de flujo mas corta.
Línea KL = línea de flujo mas larga.
181
2) Flujo no confinado. Sistemas con el nivel freático desconocido, como
es el caso que se presenta en una presa de tierra, Figura 7.4. Los
límites del dominio son los siguientes:
Línea AB = máxima equipotencial
Línea AC = línea de corriente. La posición del nivel freático es
desconocida, pero puede esperarse razonablemente que esté en algún
lugar de la zona rayada BED.
FIGURA 7.3 Redes de flujo confinadas. a) Red de flujo bajo una
tablestaca. b) Red de flujo bajo una presa.
182
FIGURA 7.4 Red de flujo no confinada.
Antes de empezar a construir una red de flujo con nivel freático desconocido,
la cabeza total h, debe ser dividida en un número conveniente de partes iguales
 h (caídas de potencial). En la Figura 7.5, h= h/5.
FIGURA 7.5 Red de flujo a través de una presa.
Las condiciones que establecen la posición de la línea freática en la Figura 7.5
son:
- Caídas de potencial = 5
- Las líneas equipotenciales deben interceptar el nivel freático en el
punto correcto.
183
En la Figura 7.5 pueden existir diferentes posiciones de la línea de saturación.
La posición más correcta sólo puede determinarse a través de un proceso
iterativo, el cual se explica a continuación.
Se escoge una línea de saturación aproximada y se dibujan las equipotenciales
correspondientes, tratando de hacer con éstas todas las intersecciones en
ángulo recto, Figura 7.5. Si la relación a/b es uno, en toda la red, se garantiza
que el caudal es constante en los canales de flujo. Entre cada par de
equipotenciales se miden las relaciones a/b y se suman. El total se coloca en
la parte inferior de la red. En la Figura 7.5 ese valor es 1.3, para los cuadrados
comprendidos entre las equipotenciales 1-1 y 2-2. Como puede verse esos
valores no son iguales y es necesario entonces, ajustar la red, reubicando la
posición de la línea de saturación. En este caso particular, la parte inferior de
la línea de saturación debe colocarse más arriba.
3 ) Redes de flujo en medios anisotrópicos. Suponiendo que se tienen dos
estratos de espesores iguales con permeabilidades k1 y k2, siendo k1 >
k2, el ancho de los canales en el estrato 1 deberá reducirse,
proporcionalmente al valor de la permeabilidad, para conservar
constantes los caudales. El flujo se comporta en forma similar a los
rayos de luz cuando pasan de un medio a otro, refractándose. Sin
embargo, la ley que gobierna esta refracción, sigue una relación de
tangentes y no de senos, como ocurre con los rayos luminosos.
Considérese la Figura 7.6:
2
2
2
1
1
1
dl
dh
ck
dl
dh
ak  (7.19)
En ambos medios las equipotenciales sucesivas están separadas una misma
cantidad d g h    13, lo que implica que h dh dh 1 2 14.
Por geometría:
b
dl
sen;cosba
b
a
cos 1
111 
b
dl
sen;cosbc
b
c
cos 2
222 
184
FIGURA 7.6 Flujo en un medio anisotrópico.
Reemplazando en 7.19:
bsen
bcosk
cosb
cosk
2
22
1
11





(7.20)
2
1
2
1
tan
tan
k
k



La ecuación 7.21 es la ley de las tangentes, que gobierna la refracción del agua
subterránea en la frontera de un medio heterogéneo. Conociendo k1, k2 y 1,
puede resolverse la ecuación 7.21 para 2.
Lo anterior quiere decir que en el estrato más permeable se tendrán
185
rectángulos (menor sección para el mismo caudal) alargados en la dirección de
flujo y en el estrato menos permeable se tendrán cuadrados. Podría usarse el
siguiente criterio práctico:
12
1
2
kk
k
k
c
d

Si en la zona con permeabilidad k1 las figuras dibujadas son cuadrados, en la
zona con permeabilidad k2, deben dibujarse rectángulos elongados con una
relación longitud/ancho c/d.
7.4. FUERZAS DE FILTRACIÓN
El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos
por fricción. Considérese en la Figura 7.7 un volumen de arena confinado, en
el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.
FIGURA 7.7 Fuerzas de filtración.
La fuerza resultante en el volumen de arena es:
F = P1 - P2
Donde:
P1 =  h1 A y P2 =  h2 A
186
A es el área transversal de la muestra.
Substituyendo:
F = (h1 - h2) A =  h  A
Si se considera un volumen unitario: 1 = Al A = 1/l
Reemplazando:
iF
l
hF 

 (7.21)
La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la
posición del centro de gravedad del elemento analizado.
Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada
así:
Si kh es la permeabilidad horizontal y kv la permeabilidad vertical y las
distancias horizontales son multiplicadas por
k
k
v
h
15, la sección así obtenida
es denominada sección transformada. Si kh > kv, la sección transformada
será más pequeña en su dimensión horizontal, tal como se indica en la Figura
7.8.
187
a) b)
FIGURA 7.8 Concepto de la sección transformada. a) Sección original.
b) Sección transformada.
Se dibuja la red de flujo para una sección transformada y luego se reconstruye
la sección natural, antes de que la magnitud y dirección de la fuerza puedan
ser determinadas.
Las fuerzas de filtración pueden combinarse con el peso del suelo, para
mejorar la estabilidad o empeorarla, dependiendo de la dirección en que
actúen y su relación con la forma geométrica de la sección. Consideremos los
elementos a y b en la figura la Figura 7.9.
Si W es la fuerza debida al propio peso, las fuerzas de filtración se oponen a
las de gravedad, en el elemento b, neutralizando parte del peso del suelo,
reduciendo por tanto el esfuerzo efectivo y la resistencia al corte; el elemento
b no estará en equilibrio y habrá inestabilidad. Esto puede prevenirse
construyendo un filtro.
188
FIGURA 7.9 Fuerzas en elementos de una red de flujo.
EJEMPLO 7.1.
Calcular el caudal que está pasando por debajo de la presa de la Figura 7.10, si
K = 10 m/d y la longitud es de 100 m.
FIGURA 7.10 Presa sobre una formación impermeable.
189
Solución:
Una posible representación de la red de flujo, es la que se muestra en la Figura
7.11. Se puede observar que la caída total de potencial es 9 m - 1.5 m o sea
7.5 m y se tienen en total 13 caídas de potencial , 6 canales de flujo, lo que
implica que:
FIGURA 7.11 Red de flujo bajo una presa.
c
f
n
n
LhKQ 
13
6100)5.19(10
Q


s
m
5.3461Q
3

190
EJERCICIOS PROPUESTOS
7.1. Las cotas piezométricas son medidas simultáneamente en trece pozos
que penetran un acuífero confinado de espesor b=50 m, k= 20 m/día y
n=0.27.
Pozo 1 2 3 4 5 6 7
x (m) 860 3300 1400 600 2200 4400 1600
y (m) 200 700 1020 1300 1400 1300 1800
h (m) 34.6 35.1 32.8 32.1 31.5 34.5 33.3
Pozo 8 9 10 11 12 13
x (m) 640 3620 2700 800 1740 3900
y (m) 2360 2000 2580 3100 3220 3260
h (m) 34.4 34.3 35.2 35.2 37.3 36.3
a) Dibujar la red de flujo (h= 1.0 m).
b) Determinar el caudal en los puntos A(1000,400) y B(1600,1100).
c) Determinar el caudal entre los pozos 10 y 9.
d) Cuál es el tiempo promedio de viaje para una partícula entre los pozos 12
y el pozo 5.
7.2. En tres pozos de observación, se midieron las siguientes cabezas
piezométricas:
Pozo A B C
Coordenada x (m) 0 300 0
Coordenada y (m) 0 0 200
Altura piezométrica (m) 10 11.5 8.4
Asumir que los pozos penetran un acuífero confinado, homogéneo,
isotrópico y de espesor constante igual a 20 m, n= 0.2 y k=15 m/día.
Determinar:
191
a) Gradiente hidráulico (magnitud y dirección).
b) Descarga total en el acuífero por unidad de ancho.
c) Velocidad del agua en el punto P(100,100).
7.3. La figura adjunta muestra el esquema de un acuífero que conecta una
laguna con un río. Este acuífero es de material arenoso (K=10-2
cm/s) y
se encuentra limitado inferiormente por una base impermeable.
Superiormente existe un relleno arcilloso (K/10000) cuyos extremos
están más elevados y actúan de barrera hidráulica. Según lo anterior, y
con los niveles habituales en la laguna y en el río (inicialmente H1 = 10
m y H2 =2m), no es posible la circulación de agua en superficie y la
descarga de la laguna hacia el río se produce únicamente de forma
subterránea. En el fondo de la laguna existe una acumulación de arena
gruesa de alta permeabilidad (100K).
a). Dibujar la red de flujo para el acuífero representado en la figura,
indicando las líneas equipotenciales y las líneas de corriente, y explicar
qué significa que los elementos de la malla cambien de tamaño según
qué zona se considere. A partir de la red de flujo, obtener y representar
gráficamente la variación de nivel piezométrico con la distancia
horizontal, y estudiar si esta variación de niveles es lineal.
b).Discutir la necesidad o no de modificar la red de flujo obtenida si los
niveles de la laguna y del río varían. Obtener la relación entre el caudal
192
infiltrado y la diferencia de nivel. Explicar el método a seguir para obtener
mayor precisión en los cálculos y cómo se verían afectados el caudal y los
niveles al mejorar la red de flujo.
c) En la hipótesis de que el espesor del acuífero disminuyese linealmente
entre la laguna y el río, se considerasen como puntos de cálculo los situados
en la bisectriz de la zona de acuífero y el nivel piezométrico fuera constante
tanto en los puntos de la sección de entrada como en los de la de salida,
determinar la expresión analítica que proporciona el caudal y niveles en el
acuífero. Comparar el resultado que se obtiene con esta relación con el
procedente de la red de flujo.
d) Indicar dónde tiene lugar la situación más desfavorable con respecto al
sifonamiento y la condición que debe cumplirse para que no se produzca.
Determinar los niveles posibles entre la laguna y el río que no haya
sifonamiento y discutir si el sifonamiento depende de la diferencia de
niveles (H1-H2) o del valor absoluto de los mismos.
Capítulo 8
HIDRÁULICA DE POZOS
192
193
8.1. GENERALIDADES
Cronológicamente, la hidráulica de pozos es uno de los temas más antiguos de
la hidráulica subterránea, ya que los trabajos de Dupuit fueron publicados en
1863, solamente 7 años después de la famosa memoria de Darcy. Sin
embargo los problemas que presentan las captaciones son mas difíciles de lo
que podría creerse a primera vista e importantes contribuciones a la teoría se
han desarrollado recientemente.
En este capítulo se introducirán en primer lugar algunos conceptos
fundamentales necesarios para desarrollar los modelos matemáticos que
permiten describir el flujo de agua hacia las captaciones, y luego se estudiará
el funcionamiento de los pozos en flujo permanente y en flujo transitorio para
cada uno de los tipos de acuíferos que existen.
8.1.1. Tipos de captaciones. Las captaciones de agua subterránea son todas
aquellas instalaciones que permitan poner a disposición del usuario el agua
contenida en los acuíferos. Los diferentes tipos de captaciones pueden
clasificarse así:
a) Pozos. Perforación vertical, generalmente en forma cilíndrica y de
diámetro mucho menor que la profundidad. El agua penetra a lo largo de las
paredes creando un flujo de tipo radial. Serán el objeto de estudio de este
capítulo.
b) Drenes y galerías. Perforaciones o instalaciones horizontales de
sección mas o menos circular, con una longitud mayor que el
diámetro. Se crea a lo largo un flujo paralelo y horizontal.
194
c) Zanjas. Excavaciones rectilíneas en trinchera, generalmente de poca
profundidad, poco usadas como captaciones y con funcionamiento
similar a los drenes y galerías.
d) Pozos de drenes radiales. Consisten en pozos revestidos de los que
salen drenes horizontales en varias direcciones. El conjunto actúa
como un pozo de gran diámetro.
Los pozos son el tipo de captación mas utilizado. Cuando se perfora un pozo
este puede atravesar todo el espesor del acuífero y en ese caso se dice que es
un pozo completo. Cuando la zona filtrante del pozo sólo alcanza una parte
de ese espesor se denomina pozo incompleto.
Los pozos más eficientes son los completos y siempre, para efectos del estudio
de este capítulo, se supondrá que se trata de uno de este tipo.
Este capítulo estará dedicado al estudio de la hidráulica de los pozos, es decir
a la aplicación de las leyes de la hidráulica subterránea, ya discutidas
anteriormente, en ellos.
Los primeros resultados teóricos fueron presentados por J. DUPUIT desde
1.863 en lo que concierne al régimen de flujo permanente. Sin embargo, el
caso del flujo transitorio sólo fue resuelto en este siglo, en particular con los
trabajos de THEIS (1935) y los posteriores aportes de JACOB. En la segunda
mitad de este siglo los trabajos de HANTUSCH son particularmente
importantes.
8.1.2. Principales conceptos básicos.
a) Flujo hacia el pozo. Al perforar un pozo el nivel del agua dentro de él
coincidirá con el nivel de la superficie freática, si se trata de un pozo en
acuífero libre, o con el nivel de la superficie piezométrica si el acuífero es
cautivo, Figura 8.1.
Cuando se inicia un bombeo en el pozo, el efecto inicial es el de producir
un descenso en el nivel del agua en él, ocasionándose de esta manera un
gradiente hidráulico entre dicho nivel en el pozo y los puntos adyacentes
del mismo acuífero. La aparición de este gradiente hace que el agua fluya
195
hacia la captación. Si el pozo es de forma cilíndrica, como la superficie de
filtración del agua es toda la superficie lateral del mismo, el flujo del agua
se produce desde todos los puntos del acuífero y en dirección del centro del
pozo, estableciéndose de esta forma lo que denominamos flujo radial,
Figura 8.2.
En otras palabras, las líneas de flujo están orientadas hacia el centro del
pozo. Si esto es así, entonces las isopiezas serán curvas concéntricas al
pozo.
FIGURA 8.1 Nivel del agua en pozos en acuífero libre y en acuífero
confinado.
b) Abatimiento (s). Si el bombeo se continúa después de un determinado
tiempo t se observa que el nivel del agua en el pozo empieza a descender,
lo mismo que los niveles piezométricos en las inmediaciones del pozo. La
superficie piezométrica toma la forma de un cono invertido cuyo eje de
simetría es el eje del pozo y que se denomina cono de depresión. Las
curvas de intersección de dicho cono con planos horizontales son curvas
isopiezas y la curva de intersección con un plano vertical que pase por el
centro del pozo se llama curva de abatimiento, Figura 8.3.
196
FIGURA 8.2 Flujo radial hacia un pozo.
FIGURA 8.3 Parámetros característicos de un pozo.
Al nivel piezométrico se le denomina también nivel estático y a la curva de
abatimiento, nivel dinámico. Los factores que determinan dicho
abatimiento son el tiempo de bombeo, el caudal de bombeo, las
características hidrogeológicas del acuífero y la distancia al eje del pozo.
c) Radio de acción de un pozo (R). Ya se ha anotado que al principio del
bombeo el nivel del agua en el pozo empieza a descender debido a que el
197
agua que se extrae es proveniente del almacenamiento del acuífero en las
zonas cercanas al pozo. Mientras el nivel del pozo está descendiendo se
dice que el pozo está trabajando en régimen no permanente o transitorio.
El descenso puede suspenderse a causa, por ejemplo, de una recarga
exterior (río, lluvia o masa de agua almacenada), caso en el cual se
establece un régimen permanente cuya característica es la de que el caudal
aportado por la fuente de recarga es igual al caudal bombeado. También
puede suceder que el nivel no se estabilice como en acuíferos
completamente cautivos o en acuíferos libres sin recarga exterior y en este
caso el régimen será siempre transitorio.
Pero en la práctica, sucede muy a menudo que para acuíferos de gran
extensión, y debido a que la velocidad de descenso del agua en el pozo
disminuye poco a poco a causa de la mayor superficie del cono de
depresión, llega un momento en el cual la velocidad de descenso del nivel
en el pozo es tan lenta, que se puede considerar prácticamente constante.
En este caso se puede decir que se ha establecido un régimen casi
permanente. La distancia entre el eje del pozo y el punto en el cual los
abatimientos son cero o cercanos a cero se llama radio de influencia del
pozo (R).
d) Eficiencia de un pozo. Se denomina eficiencia de un pozo la relación
entre el descenso teórico y el descenso real medido en el pozo.
e) Capacidad específica. La capacidad específica o caudal específico de un
pozo se define como la relación entre el caudal bombeado Q y el
abatimiento en el pozo Sp.
pS
Q
q  (8.1)
Sus unidades son por lo tanto m3
/día/m ó lt/s/m.
El caudal específico varía con el abatimiento, pero tiende a estabilizarse a
medida que este lo hace. Pueden construirse curvas que relacionan el caudal
198
bombeado con el abatimiento y el caudal específico con el mismo
abatimiento. Dichas curvas son denominadas curvas características del pozo.
Tanto el caudal específico como las curvas características dan una idea del
rendimiento o eficiencia de un pozo.
8.1.3. Efectos de la anisotropía y heterogeneidad de los acuíferos reales.
Si el flujo es perfectamente horizontal (caso de un pozo completo o de una
zanja totalmente penetrante en un acuífero cautivo) la anisotropía por
estratificación no tiene importancia, pero cuando la velocidad del agua tiene
una componente vertical, como sucede en las proximidades de pozos o zanjas
incompletas o en el caso de acuíferos libres, el efecto de la anisotropía aparece
haciendo disminuir o aumentar esa componente vertical. Para obtener el
mismo caudal se precisan descensos mayores o bien con el mismo descenso se
obtienen caudales menores.
Así, un pozo incompleto en un acuífero con una permeabilidad vertical mucho
menor que la horizontal, se comporta como si estuviera en un acuífero cuya
transmisividad fuera la que correspondiera a la porción de acuífero enfrentado
con la zona filtrante:
 KT en vez de bKT  .
Donde:
: longitud de la zona filtrante.
b: espesor del acuífero.
Un caso especial de heterogeneidad y anisotropía es el de las rocas permeables
por fisuración. Si la fisuración es densa, vertical y orientada al azar, el
material se comporta como un medio aproximadamente homogéneo e
isotrópico. Sin embargo es muy frecuente que las fisuras tengan orientaciones
preferentes o que la fisuración sea poco densa o que las grietas no sean
verticales, en cuyos casos o combinación de ellos, el medio se comportará
como anisótropo y/o heterogéneo.
8.2. POZOS EN RÉGIMEN PERMANENTE
199
Un flujo permanente, en un dominio determinado, resulta cuando en todos los
elementos del dominio las entradas son iguales a las salidas. En un sentido
estricto, el régimen permanente rara vez ocurre en el campo. Sin embargo,
considerando este tipo de régimen, es posible muchas veces obtener una gran
cantidad de información útil para el tratamiento de problemas de tipo práctico.
En todos los casos, todos los análisis de flujo son aproximados, sean ellos
basados en desarrollos analíticos, sofisticados modelos de simulación o
informaciones de campo o de laboratorio, debido a las limitaciones que se
tienen respecto a la determinación de parámetros geológicos e
hidrogeológicos. La aplicación práctica del análisis de flujo permanente en el
campo depende de las herramientas matemáticas y de la interpretación física
de los problemas que tenga el hidrogeólogo.
Cuando se estudia la hidráulica de un pozo se trata de establecer la relación
existente entre las características geométricas del cono de depresión (Radio de
influencia, abatimiento y perfil de curva de abatimiento) el caudal bombeado
Q y el tiempo de bombeo t.
Existen tres factores principales que afectan el cono de depresión:
 El tiempo de bombeo: a medida que aumenta el abatimiento s, se ha
probado que:
 s =f(log t).
 La transmisividad T, coeficiente de almacenamiento S, y la porosidad
eficaz ne, que son factores ligados a las características del medio.
 El régimen de flujo.
En este apartado se estudiará el caso del flujo permanente para distintos tipos
de acuíferos: acuífero confinado, acuífero libre y acuífero semi-confinado. Se
supondrán, salvo que se indique lo contrario, las siguientes hipótesis de base:
 El acuífero es homogéneo e isotrópico y el agua tiene densidad y
viscosidad constantes.
 El espesor del acuífero es constante y la base es horizontal.
 El flujo es radial y horizontal.
 Es válida la ley de Darcy.
 El coeficiente de almacenamiento, S, es constante en el espacio y en el
200
tiempo.
 El agua liberada del almacenamiento aparece simultáneamente y
proporcionalmente a la disminución del nivel piezométrico.
 Si no se indica lo contrario, se supondrá que el acuífero es de extensión
infinita.
 El pozo es completo.
 El caudal de bombeo es constante.
Estas hipótesis son bastante restrictivas pero en la práctica son admisibles
pequeñas desviaciones, que no invalidan las formulaciones a las que se llegue.
8.2.1. Pozo en acuífero confinado. La ecuación de continuidad para flujo
permanente,  2
0h 1, puede transformarse en coordenadas cilíndricas, de
acuerdo a los cambios de variable dados por la Figura 8.4, así:
0
z
hh
r
1
r
h
r
rr
1
2
2
2
2
2
















(8.2)
Si se aplica la hipótesis de que el flujo es plano, es decir que la velocidad en
todos los puntos de una misma vertical es constante, se tendrá entonces que


2
2
0
h
z
 y por lo tanto la ecuación 8.2 queda:
0
h
r
1
r
h
r
rr
1
2
2
2













(8.3)
En este caso el problema queda reducido a dos dimensiones y la anterior
ecuación representa  2
0h 2 en coordenadas polares. Suponiendo
igualmente que el flujo es radial, o sea que es independiente del ángulo , en
otras palabras que h es constante a lo largo del perímetro de cualquier círculo
concéntrico con el pozo, se tiene entonces que


2
2
0
h
 y la ecuación queda:
0
r
h
r
rr
1










(8.4)
201
FIGURA 8.4 Transformación de coordenadas cartesianas en cilíndricas.
Integrando la ecuación 8.4:
brlnah
r
a
r
h
a
r
h
r 





(8.5)
La Figura 8.5 muestra las condiciones de borde para este caso.
Para r = R y h = ho :
bRlnah0  (8.6)
Por otra parte, si r0 es el radio del pozo, se tiene que para r = r0, el caudal que
pasa a través del cilindro de altura b y radio r, debe ser igual a Q.
202
FIGURA 8.5 Pozo en un acuífero confinado.
De esta condición se tiene que:
0rr
0
r
h
brK2Q









 , como Kb = T:
0rr
0
r
h
rT2Q










T2
Q
r
h
r









pero :
a
r
h
r 


para cualquier r lo que implica que:
T2
Q
a


(8.7)
Reemplazando 8.7 en 8.5 y en 8.6:
brln
T2
Q
h 


203
bRln
T2
Q
h0 


Restando se obtiene:
r
R
ln
T2
Q
shh0

 (8.8)
Si bien es cierto que esta fórmula ha sido establecida para el caso de un pozo
en el centro de una isla circular, también puede aplicarse para pozo en acuífero
confinado que se extienda infinitamente, en el que, cuando el cono de
depresión alcanza una superficie suficientemente extensa, el régimen
establecido se considera casi permanente, tal como se dijo antes.
De esta manera, si se conoce la altura piezométrica h1 en un punto cualquiera
r=r1 se tendrá que:
brln
T2
Q
h 11 

 (8.9)
Restando de la 8.7 la 8.9:
r
r
ln
T2
Q
hh 1
1

 (8.10)
Esta se conoce como ecuación de THIEM, 1906, y permite determinar la
forma de la superficie piezométrica conociendo su posición en un punto.
Si se analiza la ecuación (8.9) se observa que si r crece indefinidamente h
también lo hace. Pero en la realidad no sucede así, sino que h está limitado.
Es esta la razón por la cual dicha ecuación solo es válida a distancias no muy
grandes del pozo, siendo el límite r=R. En otras palabras, la ecuación de
THIEM representa la superficie piezométrica para un intervalo de valores de r
menores que R y no muy lejanos del centro del pozo.
204
El radio de influencia R depende de las características del acuífero y en
realidad es ligeramente creciente con el tiempo transcurrido desde el comienzo
del bombeo. Para efectos prácticos, cuando se tienen tiempos de bombeo
largos, su valor es constante. Para acuíferos confinados su valor oscila entre
200 y 10000 m. Los errores en su determinación no inciden sensiblemente en
el valor del abatimiento, ya que está afectado del signo logarítmico, así ln 200
= 5.3 y ln 10000 = 9.2, lo que significa que para un valor de r cincuenta veces
mayor, el logaritmo sólo se multiplicó por 1.7. En acuíferos libres los valores
de R son inferiores y suelen oscilar entre 10 y 500 m.
EJEMPLO 8.1
En un acuífero confinado con T=1000 m2
/día, el radio de influencia puede
considerarse que vale 1000 m. Si se extraen 50 m3
/h en un pozo que tiene 50
cm de diámetro, calcular el abatimiento en el pozo mismo y en pozos de
observación situados a 10, 100 y 500 m de distancia. Resolver el mismo
problema si el radio de influencia es 2000 m.(Tomado de Llamas-Custodio,
1976))
Solución:
Para calcular los abatimientos en el pozo se utiliza la ecuación 8.8, que
expresada en función de logaritmos decimales es:
r
R
ln
T
Q
366.0s 
Los resultados de los cálculos para las distintas distancias, se muestran en la
siguiente Tabla. Puede observarse que para puntos próximos al pozo la
diferencia es moderada, siendo en cambio mayor para puntos muy alejados del
pozo. Para el pozo mismo el error es muy pequeño.
La influencia del radio del pozo en la producción no es significativa, como
puede observarse en el ejemplo 8.2, ya que el valor de rp aparece dentro del
logaritmo.
205
r (m) Abatimiento m s 1000/s2000 % Diferencia
R=2000 R=1000
0.25 1.71 1.58 1.08 8
10 1.01 0.88 1.15 15
100 0.57 0.44 1.30 30
500 0.26 0.13 2.00 100
Si se considera la fórmula de Thiem aplicada al pozo de bombeo, se tiene:
 p
p
p rRln
T2
Q
r
R
ln
T2
Q
s 




Como el radio del pozo está bajo el signo logarítmico y su valor es mucho
menor que el radio de influencia R, su variación afecta poco los resultados
de la fórmula. Puede demostrarse que para incrementar n veces el caudal
del pozo con el mismo abatimiento, es necesario incrementar el radio del
pozo hasta un valor de:
n 1n
p Rr 
Por ejemplo para duplicar el caudal, el radio del pozo necesita aumentarse
hasta un valor de: r Rp 3, lo que implica un aumento demasiado grande del
radio, con consecuencias en el valor de los costos.
EJEMPLO 8.2
En un acuífero en que el radio de influencia se estima en 1000 m se tiene un
pozo de 0.5 m de radio. Determinar el radio del pozo, para con el mismo
abatimiento obtener doble caudal.
Solución:
m4.2210005.0Radio 
206
Este resultado desde el punto de vista práctico es absurdo, lo que en
resumidas cuentas significa que no es razonable buscar un incremento del
caudal aumentando el radio del pozo.
8.2.2. Pozo en acuífero libre. En principio un acuífero libre sin recarga
puede asimilarse a un acuífero confinado siempre y cuando la superficie
libre del agua se mantenga aproximadamente horizontal, o sea que el
descenso producido por el bombeo sea muy pequeño en comparación con el
espesor saturado del acuífero. La diferencia fundamental estriba en el valor
mucho mas grande del coeficiente de almacenamiento en acuíferos libres.
Si el abatimiento producido es importante respecto al espesor del acuífero,
la transmisividad es variable en el espacio, siendo menor en los puntos
donde se tengan abatimientos mayores. Además el flujo ya no es radial pues
aparecen componentes verticales de la velocidad. El análisis riguroso de la
hidráulica de acuíferos libres es complicado, tal como se indicó en capítulos
anteriores. Una aproximación válida en la mayoría de los casos es la
aproximación de Dupuit-Forcheimer que consiste en admitir que en cada
momento:
 El flujo es perfectamente horizontal.
 El gradiente que origina el movimiento del agua viene definido, por la
pendiente de la superficie freática y vale dH/dx, siendo x la dimensión
horizontal y H el espesor saturado.
 La velocidad es constante a lo largo de una misma vertical o sea que las
superficies equipotenciales son verticales.
Estas aproximaciones aunque aparentemente burdas, son bastante aceptables
en la realidad, dado que en general en los acuíferos las dimensiones
horizontales son mucho mayores que las verticales.
De la Figura 8.6 se tiene:
207
FIGURA 8.6 Pozo en acuífero libre.
dr
dH
KHr2Q 
que es una ecuación diferencial cuya solución es:
Arln
K
Q
H2



Las condiciones de borde son:
r = R  H = H0 y se tiene entonces:
ARln
K
Q
H2
o 


Restando las dos ecuaciones anteriores se llega a:
r
R
ln
K
Q
HH 22
o


(8.11)
208
Conocida como fórmula de Dupuit.
Se tiene que :
sHHHHs oo 
Factorizando y reemplazando este valor en la ecuación 8.11 se llega a:
r
R
ln
KH2
Q
H2
s
1s
r
R
ln
K
Q
H2
s
1sH2
ooo
o
















El término s
s
Ho
1
2






 es llamado "Corrección de Jacob", 1969. Si s es
mucho menor que 2H0 la ecuación anterior se reduce a:
r
R
ln
T2
Q
r
R
ln
KH2
Q
s
oo 



que es de nuevo la fórmula de Thiem en la que T0 es la transmisividad
inicial.
Si en la ecuación 8.11, r=rp, H=Hp, se tiene:
p
22
r
R
ln
K
Q
HH po

 (8.12)
La ecuación 8.12 permite calcular el abatimiento teórico del pozo,
suponiendo que no existen pérdidas en el mismo. Sin embargo en las
cercanías del pozo existen componentes verticales de la velocidad, lo que
hace que la ecuación de Dupuit no reproduzca exactamente la posición del
nivel fréatico en el pozo mismo, Figura 8.6.
La posición real del nivel fréatico es menor que la hallada por la ecuación de
Dupuit, apareciendo entonces una superficie de goteo H´4. Se han propuesto
multitud de fórmulas para el cálculo de esta superficie, con éxito variable. En
209
general se trata de fórmulas empíricas o semiempíricas. Las mas conocidas
son las siguientes:
- Fórmula de Ehrenberger.
 
p
2
po
H
HH
5.0'H


- Fórmula de Boulton.
o
po
HK2
Q
cHH'H


1.0
H
r
si75.3c
o
p

25.0
H
r
si50.3c
o
p

- Fórmula de Hall.




















p
4.2
p
p
p
r
r
ln02.01
H
H
1
H
r
51
HH
'H
H: espesor saturado con r > 1.5Ho; H = Ho si r = R.
EJEMPLO 8.3
Calcular los abatimientos en un pozo de rp =0.25 m a distancias de 10 y 100
210
m, si Q = 80 m3
/h, H0 = 10 m y T0 = 500 m2
/día. Suponer R = 200 m.
Aplicar las fórmulas de Thiem y la de descenso corregido de Jacob.
Solución:
a) Fórmula de Thiem, 1906:
r
R
log
T
Q
366.0s
o

m08.4
25.0
200
log
500
2480366.0
s 


b) Corrección de Jacob, 1969:
p
22
r
R
ln
K
Q
HH po


72.528.410s28.4
25.0
200
ln
10
500
2480
100H
2
1
p 















Suponiendo como correcta la corrección de Jacob, (la que más se aproxima
a los resultados reales) se tiene, la siguiente comparación para los distintos
radios.
r Thiem Corregida % diferencia
0.25 4.08 5.72 29
10 1.82 2.03 10
100 0.42 0.43 2
Puede observarse en el cuadro anterior que la diferencia se hace menor a
medida que la distancia al pozo es mayor.
211
La superficie de goteo, (para el mismo problema), si se considera Hp = 4.28
m, es:
- Ehrenberger:
  m82.3
28.4
28.410
5.0'H
2



- Boulton:
m43.3
10502
2480
75.328.410'H 



Puede tomarse para efectos prácticos, un valor promedio de los resultados
anteriores, 3.62 m.
8.2.2.1. Relación entre abatimiento, caudal y radio del pozo. Para
diseño del pozo, es importante conocer cual es el abatimiento óptimo que
puede esperarse en él, en un acuífero libre.
La expresión corregida de Jacob en términos de logaritmos decimales es:









o
2
p
p
p
H2
s
s
r
R
log366.0
T
Q
(8.13)
El máximo abatimiento se obtiene cuando s=H0 lo mismo que el máximo
caudal. Reemplazando este valor de abatimiento en la 8.13, se obtiene:
o
max
p
H
Q2
r
R
log366.0
T
 (8.14)
Si se reemplaza la 8.14 en 8.13:
212
0
Q2
Q
H
s
H2
s
H2
s
s
H
Q
2Q
max
2
2
o
2
p
o
max
o
p
o
pp









 (8.15)
La Tabla 8.1 muestra relaciones entre sp/H0 y los correspondientes valores
de Q/Qmax obtenidos de la ecuación 8.15.
TABLA 8.1 Relaciones entre sp/Ho y Q/Qmax.
sp/H0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Q/Qmax 0.19 0.36 0.51 0.64 0.75 0.84 0.91 0.96 0.99 1.0
Observando la ecuación 8.13 se ve que (Q/sp) es máximo, si sp es mínimo.
Reemplazando esta condición en la ecuación 8.13, se obtiene
p
maxp
r
R
log366.0
T
s
Q









(8.16)
Despejando esta ecuación en la 8.13:
















o
p
maxpp H2
s
1
s
Q
s
Q
(8.17)
El máximo caudal y el mínimo abatimiento se obtienen cuando
d
ds
Q
Q
sp p





 5 sea máximo. De la 8.15 y la 8.16 se obtiene :
































o
p
maxpo
2
p
o
max
p H2
s
1
s
Q
H2
s
s
H
Q
2
s
Q
Q p
213
Derivando e igualando a cero:
04
H
s
8
H
s
3
o
p
2
o
p






(8.18)
La solución de esta ecuación es
s
H
p
o

2
3
, la cual significa que el abatimiento
óptimo es un 67% del espesor saturado inicial, lo que implica que la zona de
admisión de agua al pozo (rejilla) debe colocarse en el tercio inferior del
acuífero.
8.2.3. Pozo en acuífero libre con recarga. Sea un acuífero libre recargado
uniformemente, dicha recarga puede ser la lluvia o excedentes del riego. Se
supone que en cualquier punto el acuífero se recarga uniformemente al ritmo
de W m3
/m2
/año, o sea W m/año. Las hipótesis son las mismas que en el
apartado anterior y además se considera que el pozo está en el centro de una
isla circular de radio R, de modo que a esa distancia el potencial es
constante.
Por un cilindro de radio r concéntrico con el pozo, pasa un caudal (Figura
8.7):
dr
dH
HKr2Qr  (8.19)
y entre dos cilindros de radio r y r+dr se recarga un caudal de:
Wdrr2dQr  (8.20)
.
214
FIGURA 8.7 Pozo en un acuífero libre con recarga.
Integrando esta última ecuación :
cteA;ArW2Q 2
r 
Para r = rp , Qr = Q = caudal del pozo, por lo que:
QrWQAArWQ 22
pp  (8.21)
ya que la cantidad de agua caída directamente en el pozo es muy pequeña.
Así pues:
 WrQQ 2
r agua extraída - agua caída en el círculo de radio r, tal como
era de esperar.
Igualando esta expresión a la ecuación 8.19:
WrQ
dr
dH
HKr2 2

(8.22)
215
Aplicando las condiciones de borde H=H0 para r=R:
 2222
rR
K2
W
r
R
ln
K
Q
HHo 

 (8.23)
Para s<<Ho se cumple que:
 22
oo
rR
H4
W
r
R
ln
T2
Q
s 


Cuando W=0, o sea que no hay recarga:
r
R
ln
K
Q
HH 22
o


que es la fórmula de Dupuit. Cuando no hay bombeo Q=0 y:
  sHsirR
T4
W
s o
22

La ecuación 8.22 puede obtenerse también utilizando el principio de
superposición, que se verá mas adelante.
8.2.4. Pozo en acuífero semiconfinado. Para este caso se establecen las
siguientes hipótesis específicas (además de las ya consideradas en
forma general):
a) La recarga se establece a partir de otro acuífero situado encima del
que se estudia y el nivel piezométrico en ambos es el mismo.
b) El acuífero que recarga mantiene su nivel piezométrico constante.
c) La recarga es proporcional a la conductividad hidráulica K'/b' del
216
acuitardo confinante y a la diferencia de niveles en los dos acuíferos.
d) La recarga es lo suficientemente pequeña como para suponer que las
líneas de corriente, prácticamente verticales en el acuitardo, se
vuelven horizontales al centro del acuífero. Ello equivale a suponer
que la recarga no perturba el régimen de flujo radial horizontal
producido en el pozo, o sea que K/K' es muy grande (por ejemplo
500).
Si se consideran dos cilindros de radio r y r+dr concéntricos con el pozo,
Figura 8.8, entre ellos se produce una recarga:
'K
'b
hh
drr2dQ o
r

 (8.24)
FIGURA 8.8 Pozo en un acuífero semiconfinado.
El caudal que cruza la superficie del cilindro de radio r es según la ley de
Darcy:
dr
dh
Tr2Qr 
y el incremento de caudal:
217
dr
dh
T2
dr
hd
Tr2dQ 2
2
r  (8.25)
Como el flujo es permanente 8.24 = 8.23:
0'K
'b
hh
Tr2
dr
dh
T2
dr
hd
Tr2 o
2
2



o sea:
  0hh
T
'b/'K
dr
dh
r
1
dr
hd
o2
2
 (8.26)
Haciendo los siguientes cambios de variable:
B
r
T
'b/'K
rx 
B = factor de goteo =
,
,
b
K
T
s =h0 - h
Se obtiene:
0s
dx
ds
x
1
dx
sd
2
2
 (8.27)
Que es una ecuación modificada de Bessel de orden cero. La solución
conduce a:
)B/r(K)B/r(
)B/r(K
T2
Q
s
1
o

 (8.28)
218
Donde K0 y K1 son funciones modificadas de Bessel. Esta ecuación es
válida si rp <<B, tal como sucede en la mayoría de los casos.
En general
r
B
K r B1 1( / )  y por lo tanto:
)B/r(K
T2
Q
s o

 (8.29)
La anterior es llamada fórmula de De Glee o de Jacob-Hantush. Es válida si
b/B  0.7.
La función K0 (r/B) está tabulada, ver Figura 8.9.
FIGURA 8.9 Función de pozo en acuífero semiconfinado.
En las proximidades del pozo r/B es pequeño y cuando r/B < 0.1, puede
admitirse que
r
B123.1
ln
T2
Q
s


219
Para efectos prácticos, la anterior fórmula es válida para r/B < 0.33, con un
error menor del 1%. Esta fórmula es idéntica a la fórmula de Thiem, con
R = 1.123 B.
8.3. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO
Las hipótesis de base para el estudio de este problema son prácticamente las
mismas que fueron establecidas para el flujo permanente, o sea:
- Acuífero homogéneo e isotrópico.
- La Ley de Darcy es válida.
- La densidad y viscosidad del agua no varían.
- El flujo es radial y horizontal.
- El acuífero es de extensión infinita, de espesor uniforme y de base
horizontal.
- El pozo es completo y el caudal de bombeo es constante. Además
para este caso se considera que:
- El coeficiente de almacenamiento no varía ni en el espacio ni con el
tiempo.
- El radio del pozo es pequeño y el volumen de almacenamiento en el
pozo mismo no incide sobre el caudal de bombeo.
- El agua bombeada proviene completamente del agua almacenada en
el acuífero, esto significa que no hay recarga lateral alguna.
8.3.1. Pozo en acuífero confinado. Si no hay recarga, la ecuación de
continuidad queda reducida a:
T
h
T
S
r
h
r
rr
1












Esta ecuación debe ser resuelta para las siguientes condiciones:
1) h=h0 para r=> 4 siendo h0 el nivel piezométrico inicial.
220
2) lim r T
h
r
Q
r

0
2 


6 que significa que el caudal bombeado es igual al
caudal que entra en el pozo.
3) h=h0 para cualquier tiempo anterior al inicio del bombeo.
La solución de esta ecuación diferencial conduce a:
)u(W
T4
Q
shho

 (8.30)
llamada fórmula de Theis (1935), siendo:




u
2x
tT4
Sr
uydx
x
e
)u(W
En donde:
s: abatimiento en metros, en un punto cualquiera.
Q: caudal bombeado en m3
/día.
T: transmisividad del acuífero en m3
/día/m.
r: distancia del punto donde se mide al pozo en metros.
S: coeficiente de almacenamiento.
t: tiempo de bombeo en días.
La función W(u) se conoce con el nombre de función de pozo en acuífero
cautivo y es un parámetro adimensional. La relación gráfica entre W(u) y u
es mostrada por la Figura 8.10. De igual manera dicha función está tabulada
para diferentes valores de u. La Tabla 8.2 presenta algunos valores.
Esta fórmula es válida para cualquier valor de rp si t
r S
T
p
 30
2
7.
TABLA 8.2. Valores de W(u) vs u.
221
u W(u) u W(u)
10-15 34.0 10-7
15.5
10-14
31.6 10-6
13.2
10-13
29.3 10-5
10.9
10-12
27.0 10-4
8.6
10-11
24.7 10-3
6.33
10-10
22.4 10-2
4.04
10-9
20.1 10-1
1.82
10-8
17.8 1 0.22
8.3.1.1. Aproximación logarítmica de Jacob. La función
W u
e
x
dx
x
u
( ) 

 se puede desarrollar como una serie de potencias de u y se
puede expresar de la manera siguiente:
...
!4.4
u
!3.3
u
!2.2
u
u
u
562.0
ln)u(W
432

o lo que es lo mismo:
...
!4.4
u
!3.3
u
!2.2
u
uuln5772.0)u(W
432

222
FIGURA 8.10 Función de pozo.
Con u
r S
T t

2
4
8. Para valores pequeños de u (u  0.01) Jacob demostró que
puede tomarse como suficiente aproximación de W(u) los dos primeros
términos de la serie, o sea que:
u
562.0
ln
uln5772.0)u(W


u será pequeño por ejemplo, cuando el tiempo de bombeo es grande y en
este caso la ecuación de Theis quedará, reemplazando el valor de u:
Sr
tT25.2
ln
T4
Q
s 2


(8.31)
o utilizando logaritmos decimales:
223
Sr
tT25.2
log
T
Q183.0
s 2
 (8.32)
Haciendo s = 0, r = R (radio de influencia del pozo) y reemplazando en la
ecuación 8.31:
1
Sr
tT25.2
0
Sr
tT25.2
ln 22

S
tT
25.2r2

S
tT
5.1RRr 
Como se ve este radio de influencia es independiente del caudal y depende
de las características del acuífero (T y S) y del tiempo de bombeo (t).
Reescribiendo la ecuación de JACOB y asumiendo que R
T t
S
 2 25. 1 se
tiene:
r
R
ln
T2
Q
s


Expresión análoga a la ecuación de THIEM ya deducida para el caso del
flujo permanente.
8.3.2. Pozo en acuífero libre. Si los descensos no son grandes comparados
con el espesor saturado del acuífero, pueden aplicarse las fórmulas de
THEIS y JACOB deducidas para un acuífero cautivo, pero teniendo en
cuenta lo siguiente:
- Como en este caso la transmisividad varía con el espesor saturado
(variación en el espacio) y con el tiempo por ser un régimen
transitorio, el valor que se toma para T en las ecuaciones antes dichas
224
es el inicial, o sea T0 = K H0, es decir que para descensos pequeños
se considera constante.
- En segundo lugar, tal como ya se anotó, el coeficiente de
almacenamiento para acuíferos libres es numéricamente igual a la
porosidad eficaz ne.
- En tercer lugar el tiempo de bombeo debe ser grande.
Para piezométros ranurados en todo el espesor del acuífero, se cumple:








tHK4
Sr
W
K2
Q
HH
o
2
22
o (8.33)
Válida para:
o
2
o
p
HK
Sr
30ty5.0
H
H p

Si el tiempo de bombeo es largo y u < 0.03:
Sr
tHK25.2
ln
K2
Q
HH 2
o22
o

 (8.34)
Válida si
K t
SHo
 5.
Si 0.05 < Kt/SHo < 5, el abatimiento en el pozo se calcula mediante la
ecuación de HANTUSH, 1964:











p
o
o
po
r
H
ln
HK2
Q
HH (8.35)
225
En donde  es un parámetro que toma los siguientes valores:
Kt/Sho 5.0 1.0 0.2 0.05
 1.288 0.512 0.087 -0.043
La fórmula de acuíferos confinados, puede aplicarse a acuíferos libres, si los
descensos son pequeños, haciendo: s
H H
H
o
o

2 2
2
y T KHo . Además la
reducción del espesor saturado hace aconsejable tomar un coeficiente de
almacenamiento ficticio S*, definido como: S
H
H s
no
o
e* 

.
8.3.3. Pozo en acuífero semi-confinado. La ecuación de continuidad para
un acuífero semi-confinado en régimen transitorio será:
t
h
T
S
K
F
h2



)hh(
T
'b/'K
K
F
o 
HANTUSH resolvió esta ecuación y encontró que:
)B/r,u(W
T4
Q
s


B: factor de goteo (8.36)
'b/'K
T
B 
Esta ecuación es válida para:
226















2
p
2
pp
B
r10
1
T
Sr
30ty1.0
B
r
La función W (u,r/B ) está tabulada y además existen gráficos de 1/u vs
W(u,r/B), figura 8.11. Dicha función recibe el nombre de función de pozo
semiconfinado.
FIGURA 8.11 Curvas tipo para acuífero semiconfinado (Walton,1962 )
8.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Dado que las leyes del flujo subterráneo en captaciones son soluciones de la
ecuación de Laplace y esta es una ecuación diferencial lineal de segundo
orden, una combinación lineal de sus soluciones es también una solución.
Aprovechando esta propiedad de la ecuación de continuidad, se pueden
resolver infinidad de problemas prácticos que se presentan en hidrogeología
de una manera analítica. Lo anterior implica que para calcular el abatimiento
227
en un punto de un campo de pozos, éste será la suma se los descensos
provocados individualmente por cada uno de los pozos de bombeo.
Así para un acuífero confinado o libre con abatimientos pequeños, se
cumplirá que el abatimiento total será:
a) Régimen permanente:



n
1i
i
iT
r
R
lnQ
T2
1
s (8.37)
b) Régimen transitorio:
Se tiene la ecuación de Theis:



n
1i iiT )u(WQ
T4
1
s (8.38)
Siendo u
r S
T t
i
i
i

2
4
.
Para un acuífero semiconfinado puede escribirse:
a) Régimen permanente:



n
1i ioiT )B/r(KQ
T2
1
s (8.39)
b) Régimen transitorio:



n
1i iiiT )B/r,u(WQ
T4
1
s
(8.40)
EJEMPLO 8.4
Capitulos 6 9
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  • 1. Capítulo 6 ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL AGUA SUBTERRÁNEA
  • 2. 132
  • 3. 133 Las ecuaciones diferenciales para el flujo en medios porosos se desarrollan combinando la ley de Darcy con los principios del balance de masas. El balance de masas involucra consideraciones de entrada y salida de flujos y cambios en el almacenamiento. Las leyes básicas que gobiernan el flujo fueron deducidas en el capítulo anterior. En general se tiene que h = h(x,y,z); la ley de Darcy implica la determinación de las tres componentes de la velocidad, además del valor de K es decir que se tienen tres ecuaciones y cuatro incógnitas (si el medio no es isotrópico K es un tensor, y se tienen otras tres incógnitas Kxx, Kyy y Kzz), por lo que es preciso, para resolver el sistema, introducir una nueva ecuación que es la ecuación de continuidad o de balance de masas. El objetivo que se persigue en este capitulo es el desarrollo de las ecuaciones de conservación de masa, para un dominio tridimensional y para diferentes tipos de acuíferos. La distribución de h en un dominio específico se obtiene resolviendo las ecuaciones con las apropiadas condiciones de borde y de frontera. 6.1. ESFUERZOS EFECTIVOS EN UN MEDIO POROSO. El concepto de esfuerzo efectivo o esfuerzo intergranular fué introducido por Terzaghi (1925). Esencialmente, este concepto asume que en un medio poroso granular, la presión del agua que rodea casi completamente cada grano, produce en éstos, esfuerzos de igual magnitud, sin contribuir a la deformación del esqueleto sólido, la cual se produce solamente por las fuerzas de contacto,
  • 4. 134 que se transmiten de grano a grano a través de los puntos de contacto. El esfuerzo intergranular se obtiene substrayendo la presión de poro del esfuerzo total en el material sólido. Tan importante como la noción de esfuerzo efectivo es la deformación observada de materiales granulares, como resultado de cambios en los esfuerzos, es mucho mayor que la que puede ser explicada por la compresión del material mismo. Esto sugiere que la deformación es producida principalmente por el reacomodo de la matriz, con deslizamientos y desplazamientos localizados. Las investigaciones de laboratorio demuestran también que, durante la deformación, los granos se deslizan y desplazan. Esto significa que el proceso de deformación es gobernado por lo que sucede en puntos de contacto localizados, donde esfuerzos normales y de corte concentrados, son transmitidos de grano a grano, sin ser afectados por cambios en la presión de poro. Por lo tanto un cambio en las presiones de poro, con iguales cambios en los esfuerzos totales, no produce deformación y podrían no producir cambios en los esfuerzos efectivos. Terzaghi llamó esfuerzos efectivos, a aquellos que son transmitidos directamente de grano a grano. Ellos tienen efecto solo en la fase sólida, contrariamente a la presión del líquido intersticial llamada presión neutra o de poro. Los esfuerzos totales aplicados al complejo sólido - líquido se descomponen entonces en esfuerzos efectivos y presiones neutras en un material solamente sometido a compresiones así: p (6.1) Donde: : esfuerzo total  : esfuerzo efectivo.
  • 5. 135 p: presión neutra o de poro. 6.1.1. Teoría de la consolidación. Cuando se sobrecargan ciertos terrenos poco permeables y saturados de agua, inicialmente puede advertirse solo una pequeña compresión, sin embargo al final de un tiempo largo la subsidencia puede ser considerable. Este fenómeno se denomina consolidación. Terzaghi mostró que la consolidación se explica por el escurrimiento lento del agua intersticial contenida en el suelo, tal como se muestra en la analogía de los pistones, Figura 6.1 Si el recipiente está vacío, la sobrecarga es soportada totalmente por los resortes, que se contraen, siendo esto instantáneo y elástico. Pero si el recipiente está lleno de agua y los orificios entre los pistones son muy pequeños, la contracción de los pistones no será inmediata: la sobrecarga se traducirá inicialmente por un aumento de la presión del agua, que se escapará poco a poco del sistema y dejará a los resortes la tarea de soportar la sobrecarga, comprimiéndose. La matriz sólida del suelo representa en la analogía el papel de los resortes; los orificios entre los pistones representan los poros o vacíos. FIGURA 6.1 Analogía de los pistones. La teoría de la consolidación supone que: 1) El escurrimiento intersticial sigue la ley de Darcy.
  • 6. 136 2) La permeabilidad del terreno no varía en el curso de la consolidación (esto sólo es una aproximación a la realidad). 3) El agua y los elementos sólidos son incompresibles, una compresión corresponde entonces a una disminución de la porosidad. 4) La compresibilidad del suelo es "elástica", es decir que existe una relación lineal entre el esfuerzo de compresión efectivo y la disminución de volumen del suelo. El mecanismo de la consolidación supone que una sobrecarga exterior aplicada al suelo es soportada en parte por la fase sólida (aumento del esfuerzo efectivo) y en parte por el agua intersticial (aumento de la presión). Por efecto de este aumento de presión, hay un escurrimiento transitorio, hay un aumento progresivo del esfuerzo efectivo y por lo tanto hay subsidencia. 6.2. CAMBIOS EN EL ALMACENAMIENTO En un medio saturado, la masa de agua presente en un volumen unitario de medio poroso, puede expresarse como n. Cuando hay flujo, la presión p, en el agua, varía con el tiempo. Si el esfuerzo total permanece constante, los esfuerzos efectivos varían con el tiempo. El cambio en la masa de fluido por unidad de volumen está dado por:   t n t n t n         (6.2) La ecuación general de estado para un fluido es  =  (p, c, T) la cual muestra que la densidad del fluido , depende de la presión p, de la concentración de varios componentes c, y de la temperatura absoluta T. En condiciones isotérmicas y si el fluido es homogéneo o con una sola componente, la ecuación de estado se reduce a  = (p). Esto significa que:
  • 7. 137 dp p d    (6.3) El coeficiente de compresibilidad  a concentración y temperatura constantes está definido por: p 1     (6.4) Se definirán a continuación cada uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación 6.2.: t n   y t n    1) t n   De la ecuación general de estado de un fluido para condiciones de igual presión e igual concentración y de la ecuación 6.4, se tiene: t p n t p p n t n           (6.5) 2) t n    Con el fin de relacionar el segundo término del lado derecho de la ecuación 6.2, con el cambio de la presión, y de acuerdo a Jacob (1940), se asume que no hay desplazamientos horizontales en el terreno. Todas las deformaciones, fuerzas y esfuerzos resultantes actúan solamente en la dirección vertical. Si se asume que el esfuerzo total  no cambia, entonces, de la ecuación 6.1: dpd  (6.6)
  • 8. 138 Lo que significa que cualquier incremento de presión, va acompañado por una disminución igual del esfuerzo efectivo. Si se acepta la definición de porosidad n, como Vv/Vt, (Vv volumen de vacíos) en cualquier punto de la muestra, el volumen total, Vt , es igual a: swt VVV    ts Vn1V  (6.7) Donde : Vw: Volumen de agua. Vs: Volumen de sólido Se puede asumir que el volumen Vt, se deforma como resultado de los cambios en los esfuerzos efectivos, y el volumen Vs permanece constante, lo que concuerda con la afirmación de que los granos son incompresibles. En las ecuaciones 6.6 y 6.7, se obtiene: 0 Vs      0Vn1 t    (6.8) Lo que implica:   0 n Vn1 V t t         p n n1 1n n1 1V V 1 t t           (6.9) En este punto de la deducción, se asume que se trata de volúmenes relativamente pequeños, de tal manera que el suelo pueda tratarse como un material elástico, con un coeficiente de compresibilidad, , definido por:
  • 9. 139    t t V V 1 (6.10) Pero se sabe que n= n(p), lo que implica: p n t p t n        (6.11) Combinando 6.9, 6.10 y 6.11: t p )n1( t n       (6.12) Sumando las ecuaciones 6.5 y 6.12, se obtiene finalmente:   t p )n1(n t )n(       (6.13) Considérese la vecindad de un punto en el acuífero, donde la presión se reduce por medio de bombeo. El resultado es un incremento de los esfuerzos compresivos intergranulares transmitidos por el esqueleto sólido del acuífero. Esto, a su vez, causa la compactación del acuífero reduciendo su porosidad. Al mismo tiempo, como resultado de la reducción de la presión, el agua se expandirá. Los dos efectos conjuntamente, la ligera expansión del agua y la pequeña reducción en porosidad, causan que una cierta cantidad de agua sea liberada del acuífero. Si se asumen que tanto el agua como la matriz sólida son perfectamente elásticas, este proceso es reversible. En la realidad, sin embargo, los cambios en la matriz granular son irreversibles. El estudio de estas deformaciones irreversibles escapa al contenido de estas notas.
  • 10. 140 6.3. ECUACIÓN DE BALANCE DE MASAS Considérese un volumen de control, como el de la Figura 6.2. La altura piezométrica en un punto cualquiera va a variar con el tiempo. Puede entonces establecerse la siguiente ecuación: Masa de fluido que entra = masa que sale + cambio en la masa almacenada con el tiempo. FIGURA 6.2 Conservación de la masa en un volumen de control. Se va a considerar que el medio es isotrópico, o sea que K = cte y que las variaciones espaciales de la densidad son muy pequeñas. Masa que entra por unidad de tiempo: dydx)Vz(dzdx)Vy(dzdy)Vx(  Masa que sale por unidad de tiempo: dydx)dz z Vz Vz(dzdx)dy y Vy Vy(dzdy)dx x Vx Vx(         
  • 11. 141 Haciendo la diferencia se tiene, que la variación de la masa con el tiempo de masa (ecuación 6.13) es : M z Vz y Vy x Vx z Vz y Vy x Vx                              (6.14) Si se considera un medio en el que la variación espacial de la densidad  sea despreciable, el segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior desaparece. De la ley de Darcy se tiene: 2 2 x x x h K x V x h KV          2 2 y y y h K y V y h KV          6.15) 2 2 z z z h K z V z h KV          Aplicando la ley de Darcy y con 6.13, 6.14 y 6.15, se obtiene:   t p )n1(nhK 2    (6.16) Pero: constante p Zh                     t p t p1 t Z t h Como la topografía no varía con el tiempo (en la escala de tiempo considerada
  • 12. 142 que es de años y días) se tiene entonces: 0 t Z    y 0 t p 2     Lo anterior implica que: t h t p      (6.17) y evaluando 6.17 en 6.16:   t h g)n1(nhK 2    (6.18)   t h g)n1(nhK 2    El término n n  ( )1 1es llamado coeficiente de almacenamiento específico Ss, que tiene unidades de [1/L] y es la cantidad de agua almacenada que se libera por unidad de volumen del acuífero cuando el gradiente hidráulico disminuye una unidad. Sus componentes pueden interpretarse así:  g n( )1 2es el agua almacenada, liberada por unidad de volumen, debido a la compresión del esqueleto intergranular cuando el potencial disminuye una unidad.  g n 3es el agua almacenada liberada por unidad de volumen, debido a la descompresión del agua, cuando el nivel piezométrico desciende una unidad.  es generalmente del orden de 1/25  (Bear, 1987), por esta razón Ss, puede escribirse, como:   gnSS  (6.19) La ecuación 6.18 queda entonces como:
  • 13. 143 t h K S h S2    (6.20) Multiplicando arriba y abajo el miembro derecho de la ecuación por el espesor del acuífero, b, se tiene: t h bK bS h S2    donde (6.21) TbK  SbSS  S es llamado coeficiente de almacenamiento y es uno de los parámetros que caracterizan un acuífero, junto con la transmisividad T. La transmisividad T, se define como la tasa de flujo por unidad de ancho a través de todo el espesor del acuífero y para un gradiente hidráulico unitario. Este concepto es válido sólo en modelos bidimensionales. Debe tenerse en cuenta que el espesor del acuífero no es necesariamente constante. La ecuación general de flujo para un medio homogéneo e isotrópico queda entonces: t h T S h2    (6.22) Esta ecuación es llamada también ecuación de difusión o ecuación de Boussinesq. Si el flujo es permanente, la ecuación anterior se reduce a la bien conocida ecuación de Laplace: 0h2  (6.23)
  • 14. 144 Podemos entonces definir el coeficiente de almacenamiento S, para un acuífero confinado como el volumen de agua Vw, que sale de un acuífero, por unidad de área horizontal, A, y por una caída unitaria del gradiente, Figura 6.3. S es un parámetro adimensional. FIGURA 6.3 Coeficiente de almacenamiento para a) acuíferos confinados, b) acuíferos libres. De la discusión anterior se concluye que la salida del agua, se debe tanto a su comportamiento elástico como al de la matriz rocosa. También se puede definir un coeficiente de almacenamiento para un acuífero libre. Si se considera el área horizontal A de un acuífero libre, Figura 6.3b, el volumen de agua almacenada está limitado por el nivel freático. Si como resultado de un bombeo, sale más agua de la que está entrando al acuífero, el
  • 15. 145 nivel freático descenderá. Puede definirse entonces el coeficiente de almacenamiento de un acuífero libre de la misma manera que para uno confinado, excepto que la caída h es la del nivel freático. A pesar de la similitud de las dos definiciones, el almacenamiento en cada tipo de acuífero obedece a razones diferentes. En un acuífero confinado el coeficiente de almacenamiento es el resultado de la compresibilidad tanto del agua como de la matriz rocosa. En un acuífero libre, el agua es drenada principalmente de los poros, debido a la posición inicial y final del nivel freático. El coeficiente de almacenamiento en un acuífero libre es llamado, frecuentemente, rendimiento específico Sy, y expresa la producción de un acuífero por unidad de área y por unidad de caída del nivel freático. Se debe tener el cuidado de no identificar el rendimiento específico con la porosidad en un acuífero libre. Cuando el agua se drena de los intersticios o poros, el drenaje nunca es completo, pues como se dijo en capítulos anteriores, una cierta cantidad es retenida en el suelo por las fuerzas capilares, superiores a las de la gravedad. El agua que queda en el acuífero después del drenaje es llamada, como ya se dijo, agua de retención, Sr, lo que implica que: n=SS ry  (6.24) Por esta razón, Sy, es llamada algunas veces porosidad efectiva. Valores típicos de S en un acuífero confinado son del orden de 10-4 - 10-6 , de los cuales aproximadamente el 40% corresponde a la expansión del agua y el 60% a la compresión del medio poroso. En un acuífero libre (arenas) Ss, puede ser del orden de 0.1 cm-1 y Sy puede ser el 20%-30% de este valor. 6.4 LA SUBSIDENCIA
  • 16. 146 La subsidencia o reducción de la cota de la superficie del terreno debido a compactación de capas compresibles puede ser causada por la explotación excesiva de acuíferos. Al reducirse los niveles piezométricos, se incrementan los esfuerzos efectivos y causan el movimiento de la superficie de la tierra hacia abajo. Es mucho más común en acuíferos aluviales con estratos de limos y arcillas intercalados con gravas y arenas. Las gravas y arenas son relativamente incompresibles por lo cual, el incremento de los esfuerzos efectivos no causa compactación apreciable en los acuíferos constituidos solamente por estos materiales. La subsidencia asociada a la explotación de aguas subterráneas está ligada a tres mecanismos principales: compactación de acuíferos, disolución y posterior colapso de rocas solubles en agua (limolitas, evaporitas, calcitas) y desecamiento de suelos orgánicos. Puede dañar edificios, puentes, acueductos y alcantarillados, canales y reducir la capacidad de almacenamiento de los acuíferos. Algunos de los casos más conocidos son los de Ciudad de Méjico , donde en algunos sitios se han presentado subsidencias de 8 m, iniciadas desde 1938. En Tokio y Osaka se han presentado subsidencias de 3-4 m y en el Valle de San Joaquín, en California, se han tenido tasas de subsidencia de 1 m cada 3 años en el período 1935-1970. El principal parámetro en la subsidencia es la es la variación de la presión efectiva o intergranular. Dos aproximaciones se usan para calcular la subsidencia. Una está basada en la teoría de la elasticidad y otra en la teoría logarítmica. Con la teoría de la elasticidad se asume que la subsidencia sobre el espesor, Su/Z, varía linealmente con el incremento de esfuerzos, 1i2i  así: E Z S _ u 1i2i    (6.25) Donde:
  • 17. 147 Z espesor del acuífero E: módulo de elasticidad σ : esfuerzo efectivo. Su: subsidencia Los módulos de elasticidad E para varios materiales son: Material E, Kg/cm2 Gravas y arenas densas 2000-10000 Arenas densas 500-2000 Arenas sueltas 100-200 Arcillas y limos densos 50-100 Arcillas sueltas 10-50 Turbas 1-5 Terzaghi y Peck (1948) encontraron cuando se dibujaba la relación de vacíos e vs σ , se obtenía una curva donde la pendiente  de la sección recta de la curva se puede expresar como: 1i2i 21 log_log e_e tan   (6.26) Tan  es llamado el índice de compresión del material, Cc. La ecuación anterior se puede escribir entonces, como: 1i 2i c21 logCe_e    (6.27) Se puede demostrar que:
  • 18. 148 1i 2i 1 c u log 1e C ZS     (6.28) Cc es un parámetro adimensional con valores que varía, para arcillas, con el límite líquido, Lq, entre 0.1-1 de acuerdo a la siguiente ecuación (Skempton 1944, citado por Bower,1978): %)10_L(007.0C qc  (6.29) Si: 1e C C 1 c u   (6.30) Cu, llamado coeficiente de compresión, la ecuación 6.28 queda: 12 1i uu logZCS    (6.31) Cu tiene los siguientes valores( Bower, 1978): Material Cu Arena 0.005-0.05 Limo 0.05-0.1 Arcilla 0.1-0.3 Turba 0.2-0.8 Según Lohman (1961) la subsidencia puede ser calculada como: )nb S (pb    (6.32)
  • 19. 149 Donde: b: subsidencia en m p: reducción en la presión en N/m2 : peso específico del agua. EJERCICIO 6.1 En una ciudad bajo la cual hay un acuífero confinado de 50 m de espesor, se ha producido en los últimos años una subsidencia de 0.5 m, causada por descensos en los niveles piezométricos de 10 m. Si =5x10-10 Pascal-1 , y la porosidad del acuífero, n, es del 20% calcular el coeficiente de almacenamiento S. El coeficiente de compresibilidad , se define (ecuación 6.10) como:    t t V V 1 Sabemos también que dpd  hgdp  reemplazando: g 101 10g50 5.0 3       De la ecuación 6.19:   gnSS  reemplazando:
  • 20. 150   2.0g101S 3 S El segundo término de ésta ecuación, es despreciable frente al primero, y se tiene entonces: 50101SbS 3 S   S = 0.05 EJERCICIO 6.2 Considérese un acuífero formado por una capa de arena de 60 m de espesor, sobre una capa de 25 m de arcilla, tal como muestra la figura. El nivel freático está a 10 m de profundidad de la superficie del terreno, la porosidad de la arena es 35%, la humedad de la arena por encima del nivel freático es de 0.08, el peso específico de la arena es s=25.5 kN/m3 y el peso específico del agua es 9.81 kN/m3 . Si el nivel freático se abate 40 m calcular la subsidencia si el módulo de elasticidad de la arena es 105 kN/m2 . (Tomado de Delleur, 1999) Solución: Es necesario encontrara el incremento en los esfuerzos efectivos producidos
  • 21. 151 por la caída del nivel freático. Se encontraran primero los esfuerzos efectivos para la posición inicial del nivel freático así: El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena , para la posición inicial del nivel freático es: CORREGIR  = (1-0.35)25.5 + 0.08*9.81 +50(1-0.35)25.5 +0.35*9.81= 1174 kPa La presión hidrostática en el fondo de la capa de arena es: P = 9.81*50=490.5 kPa El esfuerzo efectivo será entonces:  = 1174 –490.5 =683.5 kPa El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena cuando el nivel freático se abate 40 m es:  = 50(1-0.35)25.5+0.08*9.81 + 10  (1-0.35)25.5 + 0.35*9.81 = 1068.1 kPa la presión hidrostática es. P= 9.81*10 0 =98.1 kPa El esfuerzo efectivo será entonces:  = 1068.1-98.1=970 kPa. El incremento en el esfuerzo efectivo será entonces:  = 970-683.5 = 286.5 kPa La caída del nivel freático produce una variación lineal del esfuerzo efectivo
  • 22. 152 de 0 kPa a 10 m de profundidad a 286.5 kPa a 50 m de profundidad. El incremento promedio del esfuerzo efectivo es:  = (0 +286.5)/2 =143.25 kPa y la subsidencia para la profundidad de 10 a 50 m es: Su1= 40*143.25/105 = 0.0573 m La subsidencia en el estrato de 50 a 60 m es: Su2= 10*286.5/105 = 0.0287 m EJERCICIO 6.3 En una zona existe un acuífero confinado con un espesor promedio de 30 m, que se extiende superficialmente 800 km². La superficie piezométrica fluctúa anualmente de 19 a 9 m sobre el techo del acuífero. Asumiendo un coeficiente de almacenamiento de 8x10-4 , calcular el volumen de agua almacenada anualmente. Por definición se tiene AH V S OH2   donde V: volumen almacenado H: variación en los niveles piezométricos A: área Despejando
  • 23. 153 AHSV OH2  64 OH 1080010108V 2   35 OH m1064V 2  6.5. CONDICIONES DE BORDE USUALES PARA LA SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO SUBTERRÁNEO Las ecuaciones básicas presentadas en la sección anterior son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden y primer grado; las ecuaciones son solamente las expresiones para un balance de masas y no suministran ninguna información para un caso específico de flujo, ni aun sobre la forma del dominio en que éste ocurre. Cada ecuación tiene un número infinito de soluciones, cada una de las cuales corresponde a un caso particular de flujo en un medio poroso. Para obtener de esta multitud de posibles soluciones una solución particular de un problema específico, es necesario tener una información adicional no contenida en las ecuaciones. Esta información, que junto con las ecuaciones diferenciales parciales, define el modelo para un problema particular, incluye especificaciones sobre las condiciones iniciales y las condiciones de frontera. Las primeras describen la distribución de los valores de la variable considerada en algún tiempo inicial, frecuentemente t=0, en todos los puntos del dominio considerado. Por ejemplo: h = h(x, y, z, t=0) = f(x, y, z) Donde f(x, y, z) es una variable conocida. Las condiciones de frontera expresan la manera como el dominio considerado interactúa con el entorno. En otras palabras expresan las condiciones de caudales y cabezas piezométricas conocidas que el dominio externo, impone
  • 24. 154 al que se está considerando. Diferentes condiciones de borde producen diferentes soluciones, de ahí la importancia de fijarlas correctamente. También es claro que su contenido expresa una realidad física tal como la entiende la persona que está construyendo el modelo, aunque tales condiciones formen parte de un modelo teórico - matemático. Dichas condiciones son, desde el punto de vista matemático, de tres tipos a) Condición de Dirichlet que fija el valor de la variable h: h = cte. b) Condición de Neumann que fija el valor de la primera derivada de la variable h:   h n impuesta en un contorno. c) Condición de Fourier que fija los valores de h y   h n : h h n     impuestos. Se añadirá una cuarta condición que es la condición de superficie libre o de goteo, que es una condición de frontera doble. Más adelante se estudiará el problema de las condiciones iniciales. Esas mismas condiciones, desde un punto de vista hidrogeológico significan lo siguiente: a) Condiciones de potencial impuesto que corresponden a la condición de Dirichlet, o sea h = cte. Es el caso que se presenta cuando el acuífero está en contacto con una masa libre de agua tal como un río o el mar, Figura 6.4. En esta situación la carga potencial es constante en todos los puntos de la superficie de contacto entre el acuífero y el río o entre el acuífero y el mar, y está definida por la altura del agua en el río o en el mar. En estas masas de agua las pérdidas de carga son prácticamente despreciables pues si bien es cierto que la carga pueda tener ciertas variaciones con el tiempo,
  • 25. 155 dichas variaciones no dependen del funcionamiento del acuífero sino de condiciones externas a él como lo son las precipitaciones, por ejemplo. La condición se expresa por lo tanto como h = cte. b) Condiciones de flujo impuesto. Son equivalentes a la condición de Neumann, ya que si se impone un valor a   h n , (el gradiente en la dirección n), se tiene a partir de la Ley de Darcy: V K h n N     y como   h n cte , entonces Vn = cte y por consiguiente el caudal o flujo es también constante. FIGURA 6.4 Condición de potencial impuesto. (en el contorno A del acuífero el potencial es constante). Pueden presentarse los siguientes casos: - Condiciones de flujo nulo:   h n  0 Este tipo de condiciones se encuentran por ejemplo cuando el acuífero está limitado por una superficie impermeable, Figura 6.5. - Flujo impuesto diferente de cero, es decir   h n  0 . Es el caso, por
  • 26. 156 ejemplo, de la explotación de un pozo con un caudal dado o un afloramiento en una zona donde la tasa de infiltración es inferior a la tasa de "adsorción" de la napa, Figura 6.6. c) Condiciones de Fourier. Supóngase un río que drena o alimenta un acuífero, Figura 6.7, que tiene un fondo colmatado por un material poco permeable. La diferencia de carga h = h(río) - h(napa), expresada como hr - h, crea el gradiente necesario, para que haya un flujo por unidad de superficie de contacto río - acuífero. Según la ley de Darcy: 'e hh 'K 'e h 'Kq r     FIGURA 6.5 Condición de flujo nulo.
  • 27. 157 FIGURA 6.6 Condiciones de flujo no nulo. FIGURA 6.7 Condiciones de Fourier. También según la ley de Darcy, el caudal por unidad de superficie es: q K h n     , con n normal a la superficie de contacto. Por conservación de flujo a través de la interfase AB, se puede escribir:
  • 28. 158 rh 'e 'K h 'e 'K n h K     La cual es, por definición, una condición de Fourier. d) Condiciones de flujo a superficie libre. Dos condiciones definen una superficie libre: - La presión sobre todo punto M de la superficie libre es la presión atmosférica. Se puede escribir entonces: h = z. - Además la superficie libre es una superficie a flujo impuesto, que puede ser nulo si el acuífero no es alimentado por su superficie, o sea   h n  0 , y si la napa es recargada por su superficie, entonces   h n a . Esta "alimentación" puede ser también negativa, como en el caso en que haya evaporación. Ver Figura 6.8. FIGURA 6.8 Condición de superficie libre. Aparece aquí entonces una doble determinación. El problema principal reside en el hecho de que la posición de la superficie libre no es conocida, sino que
  • 29. 159 por el contrario debe ser determinada y a su vez dicha superficie constituye una condición de borde del flujo. Se trata entonces de una superficie que cumpla simultáneamente las dos ecuaciones: h = z y   h n cte . Lo que se hace en la práctica es determinar la posición de la superficie por aproximaciones sucesivas. Primero se supone la posición de la superficie, limitando así el dominio de integración, luego se fija la carga para dicho dominio h = z y se verifica que el caudal calculado K h n   , sea correcto. Si dicho flujo no es correcto, se varía la posición de la superficie libre. Hay condiciones de límites con flujo a superficie libre, por ejemplo en los acuíferos libres en los cuales la superficie piezométrica es la misma superficie freática. También en el caso del flujo a través de una presa de tierra, la línea de saturación constituye un límite de flujo a superficie libre. En muchos casos la superficie libre es cortada por una superficie que está en contacto con la atmósfera, y aparece lo que se denomina una línea de emergencia del fluído, dejando de existir una continuidad entre la superficie libre y el plano de agua hacia abajo. Dicha superficie de contacto entre la superficie libre y la atmósfera es llamada superficie de goteo. Como ejemplos de superficies de goteo se pueden precisar los mostrados en la Figura 6.9: flujo a través de una presa de tierra, flujo hacia un pozo, contacto de un acuífero con una masa libre de agua. En la figura el sector AB es la superficie de goteo. En este caso entonces las condiciones de borde en la superficie de goteo se expresan por la ecuación: h = z (6.33)
  • 30. 160 FIGURA 6.9 Superficies de goteo. Aquí también se presenta el problema de determinar la extensión de la superficie de goteo, lo cual se hace también por aproximaciones sucesivas, como en el caso de la posición de la superficie libre. En ciertos casos, cuando se supone que el dominio de integración es infinito, es posible abstraerse de las condiciones de frontera. Esto es muy utilizado cuando se están buscando soluciones analíticas a la ecuación de difusión. Los métodos numéricos se adaptan mejor cuando se tienen condiciones de frontera conocidas. Para los problemas de flujo transitorio es necesario definir las condiciones iniciales del problema o sea el valor de h en todo el dominio, cuando t=0. EJEMPLO 6.4 Encontrar el caudal que fluye debajo de una presa que descansa sobre una fundación permeable, Figura 6.10.
  • 31. 161 FIGURA 6.10 Flujo debajo de una presa. Solución: Considerando el acuífero confinado y el flujo permanente se tiene: 0h2  Si se considera además, que el flujo es unidimensional : 0 x h 2 2    Integrando esta última ecuación se tiene: 21 CxCh 
  • 32. 162 Las condiciones de borde son: Para x = 0, h=H1 y para x=B, h=H2. Esto implica que: C2 = H1 y C1=(H2 - H1)/B La cabeza piezométrica en cualquier punto debajo de la presa será entonces: 1 12 Hx B HH h    y el caudal total, si L es la longitud de la presa, será: VAQ  eLA  B HH K dx dh KV 21    21 HH B LeK Q  EJEMPLO 6.5 Dos tanques cilíndricos están conectados por un tubo de 3 cm de diámetro lleno de arena cuya permeabilidad es 9.1x10-4 cm/s. La profundidad en el mayor de los tanques es de 40 cm y en el pequeño 10 cm, cuando t=0 (ver Figura 6.11). Las áreas transversales de los tanques son de 1000 cm2 y 250 cm2 respectivamente. Cuanto tiempo tardará en descender 5 cm la profundidad en el tanque grande?
  • 33. 163 FIGURA 6.11 Flujo a través de dos tanques Solución: Considerando que existe una relación lineal entre las carga h1 del primer tanque y los gradientes hidráulicos (variando en el tiempo), se tiene: 15.0 200 30 i40h1  025.0 200 5 i35h1   15.0i 025.015.0 3540 40h1     40 34h i 1   El volumen de agua que entra al tubo de arena por unidad de tiempo es: A dh dt 1 1 1, siendo A1 el área transversal del cilindro mayor. Este volumen es
  • 34. 164 igual al que está circulando por el tubo de arena, que puede expresarse por la ley de Darcy como KA it 2, siendo At el área del tubo de arena. O sea que:         40 34h KA dt dhA 1 t 11    t 0 35 40 1 1 t 1 dt 34h dh KA A 40 El tubo de arena tiene un diámetro de 3 cm, lo que implica que At=7.07 cm2 ; si se reemplazan valores y se integra la ecuación anterior se tiene t=128 días 6.6. MODIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN EL CASO DEL FLUJO EN UN ACUÍFERO LIBRE CON BASE EN LAS HIPÓTESIS DE DUPUIT La solución de la ecuación 2 h = 0 para flujo permanente es difícil en acuíferos libres pues como ya se anotó la posición de la superficie libre no es conocida y por lo tanto los límites de integración no están generalmente bien determinados. Por otra parte, las condiciones de borde sobre dicha superficie libre se expresan en forma cuadrática, en términos de las derivadas de la carga hidráulica h. Las hipótesis de Dupuit (1863) son probablemente la herramienta mas poderosa para tratar escurrimientos en acuíferos libres. Dupuit basó sus hipótesis en la observación de que frecuentemente se encuentran pendientes de 1/1000 - 1/100 en los niveles freáticos de los acuíferos libres. Si se considera flujo permanente en el plano bidimensional XZ, Figura 6.12 (sin recarga), el nivel fréatico es una línea de corriente. En cualquier punto P, a lo largo de esa línea, la descarga específica, en una dirección tangente al nivel fréatico, está dada por la ley de Darcy:
  • 35. 165      senK ds dZK ds dhK q 1 s (6.33) FIGURA 6.12. Hipótesis de Dupuit. Lo anterior es válido porque a lo largo de la línea freática p=0 y h=Z. Como  es muy pequeño, Dupuit sugirió reemplazar sen  por tan  = dh/dx. Asumir que  es pequeño, equivale a decir que las equipotenciales son verticales y que el flujo, por lo tanto, es esencialmente horizontal. La hipótesis de Dupuit permite calcular la descarga teniendo en cuenta que h=h(x,y) así: x h Kqx    (6.34) y h Kqy    La ventaja de la hipótesis de Dupuit es que h = h(x,y,z) ha sido reemplazada por h = h(x,y), y esto significa que z no aparece como variable independiente.
  • 36. 166 En general h varía con el tiempo así que h = h (x,y,t). Las hipótesis simplificativas de Dupuit, permitieron a Forcheimer la deducción de una ecuación que sustituye a la 6.23. Considérese un prisma de acuífero cuya base es horizontal coincidiendo con la base misma del acuífero y la parte superior es la superficie libre, Figura 6.13. Un punto cualquiera sobre la superficie h (x,y) representa a la vez la altura de la superficie libre por encima del plano de referencia y el potencial hidráulico en cada punto de la vertical, trazada desde un punto dado de la superficie libre. El caudal a través del área elemental hy, en la dirección x es: yh x h KQx     (6.35) FIGURA 6.13 Continuidad en un acuífero libre. El caudal a través del área elemental x+x es:
  • 37. 167                 yh x h K x xyh x h KQ xx (6.36) En el supuesto de que K sea constante, la diferencia entre el caudal de entrada y salida es:                      x h 2 1 x Kyx x h h x Kyx 2 (6.37) De una forma similar, la diferencia de caudales en la dirección y vale:            y h 2 1 y Kyx 2 (6.38) De acuerdo al principio de continuidad, la diferencia entre el caudal que entra y el que sale tiene que ser igual a la variación del volumen de agua contenida en el prisma. Esta variación es nula si en el interior del prisma no existen manantiales ni sumideros; por tanto: 0 y h x h 2 K yx 2 22 2 22             (6.39) 0h22  En el caso que haya recarga a través de la superficie libre, esta ecuación se puede modificar sin ninguna dificultad. Si se expresa como R el valor de la recarga por unidad de superficie (dimensiones L/T), la recarga que experimenta el prisma de la Figura 6.13 es R xy y por efecto de la conservación de masas se tiene:
  • 38. 168 0yxR y h x h 2 K yx 2 22 2 22             (6.40) Es decir que: 0 K R 2h22  (6.41) es la ecuación de Poisson para h2 EJEMPLO 6.6 Calcular el flujo por debajo de una presa permeable que descansa sobre una fundación impermeable, Figura 6.14. Solución: La ecuación 6.34, suponiendo un flujo unidimensional sin recarga, se reduce a: 0 dx hd 2 22  Integrándola: BAxh2  Las condiciones de borde son: para x = 0 , h = H0 para x = L , h = H1
  • 39. 169 FIGURA 6.14 Flujo a través de una presa. O sea que B = Ho2 y L HH A 2 0 2 1   3. El caudal a través de cualquier sección vertical se puede expresar como: dx dh hKQ  Pero h dh/dx es igual a A/2, lo que implica que:  2 0 2 1 HH L2 K Q  EJEMPLO 6.7 Una capa horizontal impermeable de 5 m existe bajo la superficie del terreno, en un suelo en una región húmeda, donde la precipitación excede la evapotranspiración en 28 cm. Un sistema de drenaje subterráneo está compuesto de drenes paralelos igualmente espaciados, requeridos para
  • 40. 170 mantener la elevación máxima de nivel freático a una profundidad de un metro bajo la superficie del terreno (Figura 6.15). Si los drenes se colocan 2.1 m bajo la superficie del terreno y K= 1.4x10-4 cm/s, se pregunta cual sería el espaciamiento de los drenes, asumiendo que no hay escorrentía superficial directa. FIGURA 6.15 Colocación de los drenes. Solución: Se trata de un acuífero libre, o sea que se pueden utilizar las hipótesis de Dupuit y se tiene: K R 2h22     K R 2 x h 2 22    O 2 Cx K R 2 x h 1O 22 CxCx K R h  Si se toma como nivel de referencia la base impermeable y como origen de
  • 41. 171 coordenadas un punto que es la intersección de una perpendicular al nivel de referencia por el centro del dren y este, las condiciones de borde son: para x=0, h=2.9 para x=L/2, h=4 para x=l, h=2.9 Reemplazando estas condiciones de borde en la ecuación anterior se tiene: 2 1 9.2C  2 O 2 9.2C 2 L L K4 R 16  2 O 2 2 9.2LC K LR 9.2  Efectuando las operaciones se tiene que: K LR CO  Reemplazando los valores de C0 y C1 y resolviendo el sistema resulta un espaciamiento de L = 69.18 m. EJEMPLO 6.8 Considerando la Figura 6.16, hallar una expresión para las cabezas piezométricas, en cualquier punto, suponiendo que el flujo es bidimensional. Solución: La ecuación para un flujo permanente en el plano xy es:
  • 42. 172 0 y h x h 2 22 2 22       FIGURA 6.16 Flujo permanente bidimensional en un acuífero confinado. La expresión matemática para las condiciones de borde es la siguiente: 0 y h    en y = 0 y en y = yL h = hO en x = 0 h = h1 en x = xL Se puede resolver h(x,y), usando la técnica de separación de variables. Si se considera que la solución es un producto de la forma siguiente: )y(Y)x(X)y,x(h  La ecuación de Laplace puede escribirse entonces como: 0 dy Yd X dx Xd Y 2 2 2 2 
  • 43. 173 Dividiendo por XY: 2 2 2 2 dy Yd Y 1 dx Xd X 1  Se tiene que: Fi(x) = -Fd(y) Fi(x) = constante Fd(y) = constante. Por lo tanto: G dx Xd X 1 2 2  y G dy Yd Y 1 2 2  La constante G puede ser positiva, negativa o cero. Todos los tres casos son solución del producto, pero sólo G=0, permite una solución con significado físico inmediato. Se tiene entonces que: 0 x X X 1 2 2    y 0 y Y Y 1 2 2    Las anteriores son ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son: BAxX  y DCyY  El producto h(x, y) se transforma en: )DCy()BAx()y,x(h  Las condiciones de borde enunciadas anteriormente, permiten evaluar los
  • 44. 174 coeficientes A, B, C y D. Derivando con respecto a y la ecuación anterior: C)BAx( y h    Reemplazando la condición de borde   h y  0 4, implica que C=0 y el producto queda: FExD)BAx()y,x(h  Invocando las condiciones de borde restantes se tiene que F hO y E h h xL  0 1 5. La solución es entonces : L 1OO x x )hh(h)y,x(h  Esta solución es idéntica a la encontrada en el ejemplo 6.1, en el que inicialmente se supuso flujo unidimensional. EJEMPLO 6.9 Se tiene una galería de 200 m de longitud en un acuífero libre con una permeabilidad de 60 m/d, tal como muestra la figura.
  • 45. 175 Si H = 7 m, h1 = 2, y L = 400 m, calcular: a. El caudal drenado por la galería. b. La ecuación de la superficie freática. Solución: El caudal por unidad de longitud de galería, fluyendo por un lado de ésta es: x h hkAVq    Integrando 1 2 C 2 hk xq  Cuando x=0, h=h1, de donde 2 hk C 2 1 1  Se obtiene entonces:  2 1 2 hh x2 k q  (A) Si x=L, h=H  2 1 2 hH L2 k q  (B)
  • 46. 176 De la ecuaciones (A) y (B) se obtiene la ecuación del nivel freático:  2 1 22 1 hH L x hh  Reemplazando los valores se obtiene:  2 1 2 hH L lk lq2Q   22 27 4002 20060 Q     Q = 1350 m³/d x1125.04h 
  • 47. 177 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1. La Figura presenta una sección de acuífero entre 2 ríos, separados 3000 m. La permeabilidad es k=20 m/d, ho=30 m y hL=20 m. Si la infiltración efectiva es de 500 mm/año, determinar los caudales que fluyen hacia las dos corrientes y la forma de la superficie freática. 6.2 Una capa de arcilla de 50 m de espesor se encuentra encima de un acuífero confinado formado por arenas. Un piezómetro perforado en el techo del acuífero tiene una cabeza piezométrica de 7 m sobre la superficie del terreno. El peso específico de la arcilla saturada es de 2.4 ton/m3 . Asumir que el nivel freático está en la superficie del terreno. a)Cuál es el valor de la presión total de la presión efectiva y de la presión de poro en el fondo de la capa de arcilla. b)Si se hace una zanja de 6 m de profundidad en la arcilla, cuáles son las presiones totales, efectiva y de poro en el fondo de la capa de arcilla debajo de la zanja. Asumir que la zanja está llena de agua. c)Cuál es la profundidad de la zanja que puede causar una falla en el fondo. 6.3. Dos ríos separados 3000 m están conectados por un acuífero libre con
  • 48. 178 una permeabilidad de 20 m/d. El nivel del agua en el río de la derecha es + 25 m y en el río de la izquierda + 35 medidos respecto a un fondo horizontal con una cota de - 20 m. En ambos ríos, la profundidad del agua es de 5 m aproximadamente. Se requiere calcular : a. El caudal hacia cada río b. La elevación del nivel freático en el punto medio del valle que une los ríos. c. La localización de la máxima altura del nivel freático. d. El caudal drenado por una galería horizontal localizada a 1000 m del río izquierdo. La elevación de la galería es + 15 m.
  • 50. 172
  • 51. 173 La Ecuación de Laplace es una de las más importantes de la física matemática. Para muchos problemas prácticos de la ingeniería es muy útil obtener su solución gráfica. En aguas subterráneas son particularmente interesantes los cálculos de las redes de flujo del escurrimiento. Este capitulo se dedicara al estudio de los fundamentos teóricos de la ecuación de Laplace y a mostrar algunos ejemplos de su manejo práctico en aguas subterráneas. Si consideramos un flujo laminar y permanente a través de un medio poroso, homogéneo e isotrópico, el fluido se moverá según lo descrito por la ley de Darcy: y h KV x h KV yx       (7.1) La ecuación de continuidad para la masa, a su vez, produce que: h0 y V x V 2yx       (7.2) supuesta una permeabilidad invariable. Por lo tanto h(x,y) es una solución de la ecuación de Laplace. La permeabilidad intrínseca, ya mencionada, permite escribir entonces: y )gh(K V x )gh(K V O y O x        
  • 52. 174 gh K gh K V OO      (7.3) con 2 0gh 1 como ecuación del escurrimiento. Nótese de inmediato que gh opera como un "potencial de velocidades" para este flujo, como si se tratase de un flujo "potencial" puro. Pero la viscosidad es insoslayable en este flujo, y disipa "carga" de energía del fluido, y por ello el flujo darcyano se considera apenas "seudopotencial" y la función: 0,cteg 2  (7.4) Es el potencial generalizado para estos flujos. Particularmente importante es el flujo de un flujo bidimensional, con h(x,y), pero nada impide aplicar las mismas nociones a los escurrimientos darcyanos tridimensionales. En este capítulo se restringirá el estudio al caso de movimientos planos. Las curvas   constante2, o lo que es lo mismo, gh = constante, se conocen como líneas equipotenciales. A lo largo de ellas d  0 3, es decir: 0dy y dx x d        (7.5) y resulta para una pendiente la expresión: ialequipotenclaenpendiente V V y x dx dy y x         (7.6) Las cargas hidráulicas gh son las mismas en todos los puntos de la equipotencial. No debe esperarse pues ningún flujo a lo largo de ellas, ningún gradiente movería el flujo. El flujo debe ser normal a las equipotenciales. Si consideramos la pendiente de una línea de corriente (paralela por definición a la velocidad), resulta:
  • 53. 175 0dyVdxV V V dx dy xy y x  (7.7) Existe otra función, que se construye siempre, que existe en todo tipo de flujos, muy útil para describir las líneas de corriente. Es la función de corriente de Lagrange, ( , )x y . Si consideramos la ecuación 7.7, puede preguntarse si no podrá sintetizarse en una forma diferencial total, dígase d  0 4 en la línea de corriente. Esto sería: 0dy y dx x d        (7.8) e igualando con la ecuación 7.7, resultaría que si 5 existe, debería ser tal que: x V y V yx       (7.9) Pero debe garantizarse la existencia de 6. Considérese la forma diferencial: x N y M      (7.10) Será cierto que la forma Vydx -Vxdy es exacta? Si lo es, existe 7. Y con M = Vy, N = -Vx, resulta la condición: 0 y V x V bieno x V y V yxxy            (7.11) Ahora bien, esta condición la satisfacen siempre los líquidos, es la ley de conservación de su masa. Y queda visto que la función de corriente 8 existe siempre, en cualquier flujo bidimensional, permanente ó no. La ecuación de la línea de corriente es =0 y su pendiente es:
  • 54. 176 x y V V dx dy   (7.12) Y es claro que la equipotencial y la línea de corriente se cortan ortogonales en cada punto: 1 V V V V dx dy dx dy y x x y   (7.13) Las ecuaciones que sintetizan lo anterior se conocen como ecuaciones de Cauchy - Riemann. Si se igualan las expresiones para las velocidades según  y : yx :Vx       (7.14) xy :Vy       Ecuaciones son de la mayor utilidad, y en los escurrimientos darcyanos sirven de base para construir la red de flujo en forma gráfica. Nótese que  es también una función de Laplace (si en 7.14 se deriva la primera ecuación con respecto a y, la segunda con respecto a x, y se restan, resulta de inmediato  2 0 9). En un problema específico, en el que haya unas condiciones de frontera fijas, la solución de la ecuación de Laplace para  y , con las condiciones de frontera existentes en el flujo produce una descripción completa del campo de flujo. La red de flujo representa la descripción en forma gráfica: está constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en , por líneas de corriente separadas igualmente en . Todas las intersecciones de la red son ortogonales. Se va a aprender a construirlas en diversos flujos darcyanos.
  • 55. 177 7.1. PROPIEDADES DE LAS REDES DE FLUJO. Puesto que las líneas de corriente se trazan igualmente espaciadas en , el caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho. La cantidad 10 tiene las unidades de un caudal unitario, y 11 se considera entonces la representación del caudal que fluye entre las dos líneas. El espacio entre ellas se llama canal de flujo o canal de corriente, Figura 7.1. Ni las equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido. FIGURA 7.1 Canal de flujo entre dos líneas de corriente. El método de las redes de flujo utiliza esos postulados para resolver el problema de un modo sencillo y gráfico. Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema. Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las condiciones de frontera y ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema. Esta, si el dibujo está hecho con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieriles. Según Harr (1962) el trazado de una red de flujo incluye los siguientes pasos: - Dibujar los límites del dominio.
  • 56. 178 - Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente. La distancia a través de líneas de corriente adyacentes se incrementa en la dirección de la línea del mayor grado de curvatura (línea menos curva). - Trazar tentativamente equipotenciales, formando ángulos rectos. - Ajustar. - Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los cuadrados se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red. 7.2. CÁLCULO DEL CAUDAL Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la h sea la misma y que el q entre dos líneas de flujo sea el mismo, Figura 7.2. FIGURA 7.2 Caudal y gradiente en un canal. Se tiene que: b h kaq   (7.15) Si:
  • 57. 179 nf = # canales de la red nc = # caídas de potencial Entonces: cf n h hy n q q  (7.16) Donde: q: caudal unitario total h: carga total Reemplazando 7.9 en 7.8: Kh b a n n q n h aK n q c f cf  (7.17) Si q, k, nf y nc son constantes a/b = cte. O sea que la relación entre el ancho y el largo de todos los rectángulos curvilíneos debe ser la misma. Esta condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (q y h iguales). Por lo tanto, el único requisito para satisfacer estas dos condiciones es que a/b = cte (cualquiera). Si esta constante es igual a 1 el problema se simplifica bastante, los rectángulos se transforman en cuadrados curvilíneos (mucho más fáciles de verificar en cuanto a la corrección de su dibujo). Si se acepta que la red es cuadrada, puede escribirse: Kh n n q c f  (7.18)
  • 58. 180 n n f c 12, el "factor de forma" de la red. 7.3. TIPOS DE REDES DE FLUJO Las redes de flujo pueden ser de varios tipos, dependiendo de la configuración y el número de zonas de suelo o roca a través de las cuales el drenaje ocurre. Una primera división puede ser la siguiente: 1) El flujo es confinado dentro de límites de saturación conocidos y el nivel freático es conocido también. 2) El flujo es no confinado: el nivel freático no es conocido. Una segunda división puede ser hecha si hay permeabilidad simple o si hay dos o más permeabilidades. Esta clasificación da cuatro posibles condiciones de flujo: - Flujo confinado en secciones con una permeabilidad K. - Flujo confinado en secciones con dos ó más permeabilidades K1 y K2. - Flujo no confinado con una permeabilidad K1. - Flujo no confinado con 2 ó más permeabilidades K1 y K2. 1) Flujo confinado. Como ejemplos de flujo confinado la Figura 7.3, presenta el flujo bajo una tablestaca y una presa de hormigón. En la tablestaca se tienen los siguientes límites del dominio: Línea AB = máxima equipotencial Línea CD = mínima equipotencial Línea BEC = la línea de flujo más corta Línea FG = la línea de flujo más larga Bajo la presa, los límites son los siguientes: Línea AB = máxima equipotencial. Línea IJ = mínima equipotencial. Línea BEFGHI = línea de flujo mas corta. Línea KL = línea de flujo mas larga.
  • 59. 181 2) Flujo no confinado. Sistemas con el nivel freático desconocido, como es el caso que se presenta en una presa de tierra, Figura 7.4. Los límites del dominio son los siguientes: Línea AB = máxima equipotencial Línea AC = línea de corriente. La posición del nivel freático es desconocida, pero puede esperarse razonablemente que esté en algún lugar de la zona rayada BED. FIGURA 7.3 Redes de flujo confinadas. a) Red de flujo bajo una tablestaca. b) Red de flujo bajo una presa.
  • 60. 182 FIGURA 7.4 Red de flujo no confinada. Antes de empezar a construir una red de flujo con nivel freático desconocido, la cabeza total h, debe ser dividida en un número conveniente de partes iguales  h (caídas de potencial). En la Figura 7.5, h= h/5. FIGURA 7.5 Red de flujo a través de una presa. Las condiciones que establecen la posición de la línea freática en la Figura 7.5 son: - Caídas de potencial = 5 - Las líneas equipotenciales deben interceptar el nivel freático en el punto correcto.
  • 61. 183 En la Figura 7.5 pueden existir diferentes posiciones de la línea de saturación. La posición más correcta sólo puede determinarse a través de un proceso iterativo, el cual se explica a continuación. Se escoge una línea de saturación aproximada y se dibujan las equipotenciales correspondientes, tratando de hacer con éstas todas las intersecciones en ángulo recto, Figura 7.5. Si la relación a/b es uno, en toda la red, se garantiza que el caudal es constante en los canales de flujo. Entre cada par de equipotenciales se miden las relaciones a/b y se suman. El total se coloca en la parte inferior de la red. En la Figura 7.5 ese valor es 1.3, para los cuadrados comprendidos entre las equipotenciales 1-1 y 2-2. Como puede verse esos valores no son iguales y es necesario entonces, ajustar la red, reubicando la posición de la línea de saturación. En este caso particular, la parte inferior de la línea de saturación debe colocarse más arriba. 3 ) Redes de flujo en medios anisotrópicos. Suponiendo que se tienen dos estratos de espesores iguales con permeabilidades k1 y k2, siendo k1 > k2, el ancho de los canales en el estrato 1 deberá reducirse, proporcionalmente al valor de la permeabilidad, para conservar constantes los caudales. El flujo se comporta en forma similar a los rayos de luz cuando pasan de un medio a otro, refractándose. Sin embargo, la ley que gobierna esta refracción, sigue una relación de tangentes y no de senos, como ocurre con los rayos luminosos. Considérese la Figura 7.6: 2 2 2 1 1 1 dl dh ck dl dh ak  (7.19) En ambos medios las equipotenciales sucesivas están separadas una misma cantidad d g h    13, lo que implica que h dh dh 1 2 14. Por geometría: b dl sen;cosba b a cos 1 111  b dl sen;cosbc b c cos 2 222 
  • 62. 184 FIGURA 7.6 Flujo en un medio anisotrópico. Reemplazando en 7.19: bsen bcosk cosb cosk 2 22 1 11      (7.20) 2 1 2 1 tan tan k k    La ecuación 7.21 es la ley de las tangentes, que gobierna la refracción del agua subterránea en la frontera de un medio heterogéneo. Conociendo k1, k2 y 1, puede resolverse la ecuación 7.21 para 2. Lo anterior quiere decir que en el estrato más permeable se tendrán
  • 63. 185 rectángulos (menor sección para el mismo caudal) alargados en la dirección de flujo y en el estrato menos permeable se tendrán cuadrados. Podría usarse el siguiente criterio práctico: 12 1 2 kk k k c d  Si en la zona con permeabilidad k1 las figuras dibujadas son cuadrados, en la zona con permeabilidad k2, deben dibujarse rectángulos elongados con una relación longitud/ancho c/d. 7.4. FUERZAS DE FILTRACIÓN El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese en la Figura 7.7 un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena. FIGURA 7.7 Fuerzas de filtración. La fuerza resultante en el volumen de arena es: F = P1 - P2 Donde: P1 =  h1 A y P2 =  h2 A
  • 64. 186 A es el área transversal de la muestra. Substituyendo: F = (h1 - h2) A =  h  A Si se considera un volumen unitario: 1 = Al A = 1/l Reemplazando: iF l hF    (7.21) La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado. Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada así: Si kh es la permeabilidad horizontal y kv la permeabilidad vertical y las distancias horizontales son multiplicadas por k k v h 15, la sección así obtenida es denominada sección transformada. Si kh > kv, la sección transformada será más pequeña en su dimensión horizontal, tal como se indica en la Figura 7.8.
  • 65. 187 a) b) FIGURA 7.8 Concepto de la sección transformada. a) Sección original. b) Sección transformada. Se dibuja la red de flujo para una sección transformada y luego se reconstruye la sección natural, antes de que la magnitud y dirección de la fuerza puedan ser determinadas. Las fuerzas de filtración pueden combinarse con el peso del suelo, para mejorar la estabilidad o empeorarla, dependiendo de la dirección en que actúen y su relación con la forma geométrica de la sección. Consideremos los elementos a y b en la figura la Figura 7.9. Si W es la fuerza debida al propio peso, las fuerzas de filtración se oponen a las de gravedad, en el elemento b, neutralizando parte del peso del suelo, reduciendo por tanto el esfuerzo efectivo y la resistencia al corte; el elemento b no estará en equilibrio y habrá inestabilidad. Esto puede prevenirse construyendo un filtro.
  • 66. 188 FIGURA 7.9 Fuerzas en elementos de una red de flujo. EJEMPLO 7.1. Calcular el caudal que está pasando por debajo de la presa de la Figura 7.10, si K = 10 m/d y la longitud es de 100 m. FIGURA 7.10 Presa sobre una formación impermeable.
  • 67. 189 Solución: Una posible representación de la red de flujo, es la que se muestra en la Figura 7.11. Se puede observar que la caída total de potencial es 9 m - 1.5 m o sea 7.5 m y se tienen en total 13 caídas de potencial , 6 canales de flujo, lo que implica que: FIGURA 7.11 Red de flujo bajo una presa. c f n n LhKQ  13 6100)5.19(10 Q   s m 5.3461Q 3 
  • 68. 190 EJERCICIOS PROPUESTOS 7.1. Las cotas piezométricas son medidas simultáneamente en trece pozos que penetran un acuífero confinado de espesor b=50 m, k= 20 m/día y n=0.27. Pozo 1 2 3 4 5 6 7 x (m) 860 3300 1400 600 2200 4400 1600 y (m) 200 700 1020 1300 1400 1300 1800 h (m) 34.6 35.1 32.8 32.1 31.5 34.5 33.3 Pozo 8 9 10 11 12 13 x (m) 640 3620 2700 800 1740 3900 y (m) 2360 2000 2580 3100 3220 3260 h (m) 34.4 34.3 35.2 35.2 37.3 36.3 a) Dibujar la red de flujo (h= 1.0 m). b) Determinar el caudal en los puntos A(1000,400) y B(1600,1100). c) Determinar el caudal entre los pozos 10 y 9. d) Cuál es el tiempo promedio de viaje para una partícula entre los pozos 12 y el pozo 5. 7.2. En tres pozos de observación, se midieron las siguientes cabezas piezométricas: Pozo A B C Coordenada x (m) 0 300 0 Coordenada y (m) 0 0 200 Altura piezométrica (m) 10 11.5 8.4 Asumir que los pozos penetran un acuífero confinado, homogéneo, isotrópico y de espesor constante igual a 20 m, n= 0.2 y k=15 m/día. Determinar:
  • 69. 191 a) Gradiente hidráulico (magnitud y dirección). b) Descarga total en el acuífero por unidad de ancho. c) Velocidad del agua en el punto P(100,100). 7.3. La figura adjunta muestra el esquema de un acuífero que conecta una laguna con un río. Este acuífero es de material arenoso (K=10-2 cm/s) y se encuentra limitado inferiormente por una base impermeable. Superiormente existe un relleno arcilloso (K/10000) cuyos extremos están más elevados y actúan de barrera hidráulica. Según lo anterior, y con los niveles habituales en la laguna y en el río (inicialmente H1 = 10 m y H2 =2m), no es posible la circulación de agua en superficie y la descarga de la laguna hacia el río se produce únicamente de forma subterránea. En el fondo de la laguna existe una acumulación de arena gruesa de alta permeabilidad (100K). a). Dibujar la red de flujo para el acuífero representado en la figura, indicando las líneas equipotenciales y las líneas de corriente, y explicar qué significa que los elementos de la malla cambien de tamaño según qué zona se considere. A partir de la red de flujo, obtener y representar gráficamente la variación de nivel piezométrico con la distancia horizontal, y estudiar si esta variación de niveles es lineal. b).Discutir la necesidad o no de modificar la red de flujo obtenida si los niveles de la laguna y del río varían. Obtener la relación entre el caudal
  • 70. 192 infiltrado y la diferencia de nivel. Explicar el método a seguir para obtener mayor precisión en los cálculos y cómo se verían afectados el caudal y los niveles al mejorar la red de flujo. c) En la hipótesis de que el espesor del acuífero disminuyese linealmente entre la laguna y el río, se considerasen como puntos de cálculo los situados en la bisectriz de la zona de acuífero y el nivel piezométrico fuera constante tanto en los puntos de la sección de entrada como en los de la de salida, determinar la expresión analítica que proporciona el caudal y niveles en el acuífero. Comparar el resultado que se obtiene con esta relación con el procedente de la red de flujo. d) Indicar dónde tiene lugar la situación más desfavorable con respecto al sifonamiento y la condición que debe cumplirse para que no se produzca. Determinar los niveles posibles entre la laguna y el río que no haya sifonamiento y discutir si el sifonamiento depende de la diferencia de niveles (H1-H2) o del valor absoluto de los mismos.
  • 72. 192
  • 73. 193 8.1. GENERALIDADES Cronológicamente, la hidráulica de pozos es uno de los temas más antiguos de la hidráulica subterránea, ya que los trabajos de Dupuit fueron publicados en 1863, solamente 7 años después de la famosa memoria de Darcy. Sin embargo los problemas que presentan las captaciones son mas difíciles de lo que podría creerse a primera vista e importantes contribuciones a la teoría se han desarrollado recientemente. En este capítulo se introducirán en primer lugar algunos conceptos fundamentales necesarios para desarrollar los modelos matemáticos que permiten describir el flujo de agua hacia las captaciones, y luego se estudiará el funcionamiento de los pozos en flujo permanente y en flujo transitorio para cada uno de los tipos de acuíferos que existen. 8.1.1. Tipos de captaciones. Las captaciones de agua subterránea son todas aquellas instalaciones que permitan poner a disposición del usuario el agua contenida en los acuíferos. Los diferentes tipos de captaciones pueden clasificarse así: a) Pozos. Perforación vertical, generalmente en forma cilíndrica y de diámetro mucho menor que la profundidad. El agua penetra a lo largo de las paredes creando un flujo de tipo radial. Serán el objeto de estudio de este capítulo. b) Drenes y galerías. Perforaciones o instalaciones horizontales de sección mas o menos circular, con una longitud mayor que el diámetro. Se crea a lo largo un flujo paralelo y horizontal.
  • 74. 194 c) Zanjas. Excavaciones rectilíneas en trinchera, generalmente de poca profundidad, poco usadas como captaciones y con funcionamiento similar a los drenes y galerías. d) Pozos de drenes radiales. Consisten en pozos revestidos de los que salen drenes horizontales en varias direcciones. El conjunto actúa como un pozo de gran diámetro. Los pozos son el tipo de captación mas utilizado. Cuando se perfora un pozo este puede atravesar todo el espesor del acuífero y en ese caso se dice que es un pozo completo. Cuando la zona filtrante del pozo sólo alcanza una parte de ese espesor se denomina pozo incompleto. Los pozos más eficientes son los completos y siempre, para efectos del estudio de este capítulo, se supondrá que se trata de uno de este tipo. Este capítulo estará dedicado al estudio de la hidráulica de los pozos, es decir a la aplicación de las leyes de la hidráulica subterránea, ya discutidas anteriormente, en ellos. Los primeros resultados teóricos fueron presentados por J. DUPUIT desde 1.863 en lo que concierne al régimen de flujo permanente. Sin embargo, el caso del flujo transitorio sólo fue resuelto en este siglo, en particular con los trabajos de THEIS (1935) y los posteriores aportes de JACOB. En la segunda mitad de este siglo los trabajos de HANTUSCH son particularmente importantes. 8.1.2. Principales conceptos básicos. a) Flujo hacia el pozo. Al perforar un pozo el nivel del agua dentro de él coincidirá con el nivel de la superficie freática, si se trata de un pozo en acuífero libre, o con el nivel de la superficie piezométrica si el acuífero es cautivo, Figura 8.1. Cuando se inicia un bombeo en el pozo, el efecto inicial es el de producir un descenso en el nivel del agua en él, ocasionándose de esta manera un gradiente hidráulico entre dicho nivel en el pozo y los puntos adyacentes del mismo acuífero. La aparición de este gradiente hace que el agua fluya
  • 75. 195 hacia la captación. Si el pozo es de forma cilíndrica, como la superficie de filtración del agua es toda la superficie lateral del mismo, el flujo del agua se produce desde todos los puntos del acuífero y en dirección del centro del pozo, estableciéndose de esta forma lo que denominamos flujo radial, Figura 8.2. En otras palabras, las líneas de flujo están orientadas hacia el centro del pozo. Si esto es así, entonces las isopiezas serán curvas concéntricas al pozo. FIGURA 8.1 Nivel del agua en pozos en acuífero libre y en acuífero confinado. b) Abatimiento (s). Si el bombeo se continúa después de un determinado tiempo t se observa que el nivel del agua en el pozo empieza a descender, lo mismo que los niveles piezométricos en las inmediaciones del pozo. La superficie piezométrica toma la forma de un cono invertido cuyo eje de simetría es el eje del pozo y que se denomina cono de depresión. Las curvas de intersección de dicho cono con planos horizontales son curvas isopiezas y la curva de intersección con un plano vertical que pase por el centro del pozo se llama curva de abatimiento, Figura 8.3.
  • 76. 196 FIGURA 8.2 Flujo radial hacia un pozo. FIGURA 8.3 Parámetros característicos de un pozo. Al nivel piezométrico se le denomina también nivel estático y a la curva de abatimiento, nivel dinámico. Los factores que determinan dicho abatimiento son el tiempo de bombeo, el caudal de bombeo, las características hidrogeológicas del acuífero y la distancia al eje del pozo. c) Radio de acción de un pozo (R). Ya se ha anotado que al principio del bombeo el nivel del agua en el pozo empieza a descender debido a que el
  • 77. 197 agua que se extrae es proveniente del almacenamiento del acuífero en las zonas cercanas al pozo. Mientras el nivel del pozo está descendiendo se dice que el pozo está trabajando en régimen no permanente o transitorio. El descenso puede suspenderse a causa, por ejemplo, de una recarga exterior (río, lluvia o masa de agua almacenada), caso en el cual se establece un régimen permanente cuya característica es la de que el caudal aportado por la fuente de recarga es igual al caudal bombeado. También puede suceder que el nivel no se estabilice como en acuíferos completamente cautivos o en acuíferos libres sin recarga exterior y en este caso el régimen será siempre transitorio. Pero en la práctica, sucede muy a menudo que para acuíferos de gran extensión, y debido a que la velocidad de descenso del agua en el pozo disminuye poco a poco a causa de la mayor superficie del cono de depresión, llega un momento en el cual la velocidad de descenso del nivel en el pozo es tan lenta, que se puede considerar prácticamente constante. En este caso se puede decir que se ha establecido un régimen casi permanente. La distancia entre el eje del pozo y el punto en el cual los abatimientos son cero o cercanos a cero se llama radio de influencia del pozo (R). d) Eficiencia de un pozo. Se denomina eficiencia de un pozo la relación entre el descenso teórico y el descenso real medido en el pozo. e) Capacidad específica. La capacidad específica o caudal específico de un pozo se define como la relación entre el caudal bombeado Q y el abatimiento en el pozo Sp. pS Q q  (8.1) Sus unidades son por lo tanto m3 /día/m ó lt/s/m. El caudal específico varía con el abatimiento, pero tiende a estabilizarse a medida que este lo hace. Pueden construirse curvas que relacionan el caudal
  • 78. 198 bombeado con el abatimiento y el caudal específico con el mismo abatimiento. Dichas curvas son denominadas curvas características del pozo. Tanto el caudal específico como las curvas características dan una idea del rendimiento o eficiencia de un pozo. 8.1.3. Efectos de la anisotropía y heterogeneidad de los acuíferos reales. Si el flujo es perfectamente horizontal (caso de un pozo completo o de una zanja totalmente penetrante en un acuífero cautivo) la anisotropía por estratificación no tiene importancia, pero cuando la velocidad del agua tiene una componente vertical, como sucede en las proximidades de pozos o zanjas incompletas o en el caso de acuíferos libres, el efecto de la anisotropía aparece haciendo disminuir o aumentar esa componente vertical. Para obtener el mismo caudal se precisan descensos mayores o bien con el mismo descenso se obtienen caudales menores. Así, un pozo incompleto en un acuífero con una permeabilidad vertical mucho menor que la horizontal, se comporta como si estuviera en un acuífero cuya transmisividad fuera la que correspondiera a la porción de acuífero enfrentado con la zona filtrante:  KT en vez de bKT  . Donde: : longitud de la zona filtrante. b: espesor del acuífero. Un caso especial de heterogeneidad y anisotropía es el de las rocas permeables por fisuración. Si la fisuración es densa, vertical y orientada al azar, el material se comporta como un medio aproximadamente homogéneo e isotrópico. Sin embargo es muy frecuente que las fisuras tengan orientaciones preferentes o que la fisuración sea poco densa o que las grietas no sean verticales, en cuyos casos o combinación de ellos, el medio se comportará como anisótropo y/o heterogéneo. 8.2. POZOS EN RÉGIMEN PERMANENTE
  • 79. 199 Un flujo permanente, en un dominio determinado, resulta cuando en todos los elementos del dominio las entradas son iguales a las salidas. En un sentido estricto, el régimen permanente rara vez ocurre en el campo. Sin embargo, considerando este tipo de régimen, es posible muchas veces obtener una gran cantidad de información útil para el tratamiento de problemas de tipo práctico. En todos los casos, todos los análisis de flujo son aproximados, sean ellos basados en desarrollos analíticos, sofisticados modelos de simulación o informaciones de campo o de laboratorio, debido a las limitaciones que se tienen respecto a la determinación de parámetros geológicos e hidrogeológicos. La aplicación práctica del análisis de flujo permanente en el campo depende de las herramientas matemáticas y de la interpretación física de los problemas que tenga el hidrogeólogo. Cuando se estudia la hidráulica de un pozo se trata de establecer la relación existente entre las características geométricas del cono de depresión (Radio de influencia, abatimiento y perfil de curva de abatimiento) el caudal bombeado Q y el tiempo de bombeo t. Existen tres factores principales que afectan el cono de depresión:  El tiempo de bombeo: a medida que aumenta el abatimiento s, se ha probado que:  s =f(log t).  La transmisividad T, coeficiente de almacenamiento S, y la porosidad eficaz ne, que son factores ligados a las características del medio.  El régimen de flujo. En este apartado se estudiará el caso del flujo permanente para distintos tipos de acuíferos: acuífero confinado, acuífero libre y acuífero semi-confinado. Se supondrán, salvo que se indique lo contrario, las siguientes hipótesis de base:  El acuífero es homogéneo e isotrópico y el agua tiene densidad y viscosidad constantes.  El espesor del acuífero es constante y la base es horizontal.  El flujo es radial y horizontal.  Es válida la ley de Darcy.  El coeficiente de almacenamiento, S, es constante en el espacio y en el
  • 80. 200 tiempo.  El agua liberada del almacenamiento aparece simultáneamente y proporcionalmente a la disminución del nivel piezométrico.  Si no se indica lo contrario, se supondrá que el acuífero es de extensión infinita.  El pozo es completo.  El caudal de bombeo es constante. Estas hipótesis son bastante restrictivas pero en la práctica son admisibles pequeñas desviaciones, que no invalidan las formulaciones a las que se llegue. 8.2.1. Pozo en acuífero confinado. La ecuación de continuidad para flujo permanente,  2 0h 1, puede transformarse en coordenadas cilíndricas, de acuerdo a los cambios de variable dados por la Figura 8.4, así: 0 z hh r 1 r h r rr 1 2 2 2 2 2                 (8.2) Si se aplica la hipótesis de que el flujo es plano, es decir que la velocidad en todos los puntos de una misma vertical es constante, se tendrá entonces que   2 2 0 h z  y por lo tanto la ecuación 8.2 queda: 0 h r 1 r h r rr 1 2 2 2              (8.3) En este caso el problema queda reducido a dos dimensiones y la anterior ecuación representa  2 0h 2 en coordenadas polares. Suponiendo igualmente que el flujo es radial, o sea que es independiente del ángulo , en otras palabras que h es constante a lo largo del perímetro de cualquier círculo concéntrico con el pozo, se tiene entonces que   2 2 0 h  y la ecuación queda: 0 r h r rr 1           (8.4)
  • 81. 201 FIGURA 8.4 Transformación de coordenadas cartesianas en cilíndricas. Integrando la ecuación 8.4: brlnah r a r h a r h r       (8.5) La Figura 8.5 muestra las condiciones de borde para este caso. Para r = R y h = ho : bRlnah0  (8.6) Por otra parte, si r0 es el radio del pozo, se tiene que para r = r0, el caudal que pasa a través del cilindro de altura b y radio r, debe ser igual a Q.
  • 82. 202 FIGURA 8.5 Pozo en un acuífero confinado. De esta condición se tiene que: 0rr 0 r h brK2Q           , como Kb = T: 0rr 0 r h rT2Q           T2 Q r h r          pero : a r h r    para cualquier r lo que implica que: T2 Q a   (8.7) Reemplazando 8.7 en 8.5 y en 8.6: brln T2 Q h   
  • 83. 203 bRln T2 Q h0    Restando se obtiene: r R ln T2 Q shh0   (8.8) Si bien es cierto que esta fórmula ha sido establecida para el caso de un pozo en el centro de una isla circular, también puede aplicarse para pozo en acuífero confinado que se extienda infinitamente, en el que, cuando el cono de depresión alcanza una superficie suficientemente extensa, el régimen establecido se considera casi permanente, tal como se dijo antes. De esta manera, si se conoce la altura piezométrica h1 en un punto cualquiera r=r1 se tendrá que: brln T2 Q h 11    (8.9) Restando de la 8.7 la 8.9: r r ln T2 Q hh 1 1   (8.10) Esta se conoce como ecuación de THIEM, 1906, y permite determinar la forma de la superficie piezométrica conociendo su posición en un punto. Si se analiza la ecuación (8.9) se observa que si r crece indefinidamente h también lo hace. Pero en la realidad no sucede así, sino que h está limitado. Es esta la razón por la cual dicha ecuación solo es válida a distancias no muy grandes del pozo, siendo el límite r=R. En otras palabras, la ecuación de THIEM representa la superficie piezométrica para un intervalo de valores de r menores que R y no muy lejanos del centro del pozo.
  • 84. 204 El radio de influencia R depende de las características del acuífero y en realidad es ligeramente creciente con el tiempo transcurrido desde el comienzo del bombeo. Para efectos prácticos, cuando se tienen tiempos de bombeo largos, su valor es constante. Para acuíferos confinados su valor oscila entre 200 y 10000 m. Los errores en su determinación no inciden sensiblemente en el valor del abatimiento, ya que está afectado del signo logarítmico, así ln 200 = 5.3 y ln 10000 = 9.2, lo que significa que para un valor de r cincuenta veces mayor, el logaritmo sólo se multiplicó por 1.7. En acuíferos libres los valores de R son inferiores y suelen oscilar entre 10 y 500 m. EJEMPLO 8.1 En un acuífero confinado con T=1000 m2 /día, el radio de influencia puede considerarse que vale 1000 m. Si se extraen 50 m3 /h en un pozo que tiene 50 cm de diámetro, calcular el abatimiento en el pozo mismo y en pozos de observación situados a 10, 100 y 500 m de distancia. Resolver el mismo problema si el radio de influencia es 2000 m.(Tomado de Llamas-Custodio, 1976)) Solución: Para calcular los abatimientos en el pozo se utiliza la ecuación 8.8, que expresada en función de logaritmos decimales es: r R ln T Q 366.0s  Los resultados de los cálculos para las distintas distancias, se muestran en la siguiente Tabla. Puede observarse que para puntos próximos al pozo la diferencia es moderada, siendo en cambio mayor para puntos muy alejados del pozo. Para el pozo mismo el error es muy pequeño. La influencia del radio del pozo en la producción no es significativa, como puede observarse en el ejemplo 8.2, ya que el valor de rp aparece dentro del logaritmo.
  • 85. 205 r (m) Abatimiento m s 1000/s2000 % Diferencia R=2000 R=1000 0.25 1.71 1.58 1.08 8 10 1.01 0.88 1.15 15 100 0.57 0.44 1.30 30 500 0.26 0.13 2.00 100 Si se considera la fórmula de Thiem aplicada al pozo de bombeo, se tiene:  p p p rRln T2 Q r R ln T2 Q s      Como el radio del pozo está bajo el signo logarítmico y su valor es mucho menor que el radio de influencia R, su variación afecta poco los resultados de la fórmula. Puede demostrarse que para incrementar n veces el caudal del pozo con el mismo abatimiento, es necesario incrementar el radio del pozo hasta un valor de: n 1n p Rr  Por ejemplo para duplicar el caudal, el radio del pozo necesita aumentarse hasta un valor de: r Rp 3, lo que implica un aumento demasiado grande del radio, con consecuencias en el valor de los costos. EJEMPLO 8.2 En un acuífero en que el radio de influencia se estima en 1000 m se tiene un pozo de 0.5 m de radio. Determinar el radio del pozo, para con el mismo abatimiento obtener doble caudal. Solución: m4.2210005.0Radio 
  • 86. 206 Este resultado desde el punto de vista práctico es absurdo, lo que en resumidas cuentas significa que no es razonable buscar un incremento del caudal aumentando el radio del pozo. 8.2.2. Pozo en acuífero libre. En principio un acuífero libre sin recarga puede asimilarse a un acuífero confinado siempre y cuando la superficie libre del agua se mantenga aproximadamente horizontal, o sea que el descenso producido por el bombeo sea muy pequeño en comparación con el espesor saturado del acuífero. La diferencia fundamental estriba en el valor mucho mas grande del coeficiente de almacenamiento en acuíferos libres. Si el abatimiento producido es importante respecto al espesor del acuífero, la transmisividad es variable en el espacio, siendo menor en los puntos donde se tengan abatimientos mayores. Además el flujo ya no es radial pues aparecen componentes verticales de la velocidad. El análisis riguroso de la hidráulica de acuíferos libres es complicado, tal como se indicó en capítulos anteriores. Una aproximación válida en la mayoría de los casos es la aproximación de Dupuit-Forcheimer que consiste en admitir que en cada momento:  El flujo es perfectamente horizontal.  El gradiente que origina el movimiento del agua viene definido, por la pendiente de la superficie freática y vale dH/dx, siendo x la dimensión horizontal y H el espesor saturado.  La velocidad es constante a lo largo de una misma vertical o sea que las superficies equipotenciales son verticales. Estas aproximaciones aunque aparentemente burdas, son bastante aceptables en la realidad, dado que en general en los acuíferos las dimensiones horizontales son mucho mayores que las verticales. De la Figura 8.6 se tiene:
  • 87. 207 FIGURA 8.6 Pozo en acuífero libre. dr dH KHr2Q  que es una ecuación diferencial cuya solución es: Arln K Q H2    Las condiciones de borde son: r = R  H = H0 y se tiene entonces: ARln K Q H2 o    Restando las dos ecuaciones anteriores se llega a: r R ln K Q HH 22 o   (8.11)
  • 88. 208 Conocida como fórmula de Dupuit. Se tiene que : sHHHHs oo  Factorizando y reemplazando este valor en la ecuación 8.11 se llega a: r R ln KH2 Q H2 s 1s r R ln K Q H2 s 1sH2 ooo o                 El término s s Ho 1 2        es llamado "Corrección de Jacob", 1969. Si s es mucho menor que 2H0 la ecuación anterior se reduce a: r R ln T2 Q r R ln KH2 Q s oo     que es de nuevo la fórmula de Thiem en la que T0 es la transmisividad inicial. Si en la ecuación 8.11, r=rp, H=Hp, se tiene: p 22 r R ln K Q HH po   (8.12) La ecuación 8.12 permite calcular el abatimiento teórico del pozo, suponiendo que no existen pérdidas en el mismo. Sin embargo en las cercanías del pozo existen componentes verticales de la velocidad, lo que hace que la ecuación de Dupuit no reproduzca exactamente la posición del nivel fréatico en el pozo mismo, Figura 8.6. La posición real del nivel fréatico es menor que la hallada por la ecuación de Dupuit, apareciendo entonces una superficie de goteo H´4. Se han propuesto multitud de fórmulas para el cálculo de esta superficie, con éxito variable. En
  • 89. 209 general se trata de fórmulas empíricas o semiempíricas. Las mas conocidas son las siguientes: - Fórmula de Ehrenberger.   p 2 po H HH 5.0'H   - Fórmula de Boulton. o po HK2 Q cHH'H   1.0 H r si75.3c o p  25.0 H r si50.3c o p  - Fórmula de Hall.                     p 4.2 p p p r r ln02.01 H H 1 H r 51 HH 'H H: espesor saturado con r > 1.5Ho; H = Ho si r = R. EJEMPLO 8.3 Calcular los abatimientos en un pozo de rp =0.25 m a distancias de 10 y 100
  • 90. 210 m, si Q = 80 m3 /h, H0 = 10 m y T0 = 500 m2 /día. Suponer R = 200 m. Aplicar las fórmulas de Thiem y la de descenso corregido de Jacob. Solución: a) Fórmula de Thiem, 1906: r R log T Q 366.0s o  m08.4 25.0 200 log 500 2480366.0 s    b) Corrección de Jacob, 1969: p 22 r R ln K Q HH po   72.528.410s28.4 25.0 200 ln 10 500 2480 100H 2 1 p                 Suponiendo como correcta la corrección de Jacob, (la que más se aproxima a los resultados reales) se tiene, la siguiente comparación para los distintos radios. r Thiem Corregida % diferencia 0.25 4.08 5.72 29 10 1.82 2.03 10 100 0.42 0.43 2 Puede observarse en el cuadro anterior que la diferencia se hace menor a medida que la distancia al pozo es mayor.
  • 91. 211 La superficie de goteo, (para el mismo problema), si se considera Hp = 4.28 m, es: - Ehrenberger:   m82.3 28.4 28.410 5.0'H 2    - Boulton: m43.3 10502 2480 75.328.410'H     Puede tomarse para efectos prácticos, un valor promedio de los resultados anteriores, 3.62 m. 8.2.2.1. Relación entre abatimiento, caudal y radio del pozo. Para diseño del pozo, es importante conocer cual es el abatimiento óptimo que puede esperarse en él, en un acuífero libre. La expresión corregida de Jacob en términos de logaritmos decimales es:          o 2 p p p H2 s s r R log366.0 T Q (8.13) El máximo abatimiento se obtiene cuando s=H0 lo mismo que el máximo caudal. Reemplazando este valor de abatimiento en la 8.13, se obtiene: o max p H Q2 r R log366.0 T  (8.14) Si se reemplaza la 8.14 en 8.13:
  • 92. 212 0 Q2 Q H s H2 s H2 s s H Q 2Q max 2 2 o 2 p o max o p o pp           (8.15) La Tabla 8.1 muestra relaciones entre sp/H0 y los correspondientes valores de Q/Qmax obtenidos de la ecuación 8.15. TABLA 8.1 Relaciones entre sp/Ho y Q/Qmax. sp/H0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Q/Qmax 0.19 0.36 0.51 0.64 0.75 0.84 0.91 0.96 0.99 1.0 Observando la ecuación 8.13 se ve que (Q/sp) es máximo, si sp es mínimo. Reemplazando esta condición en la ecuación 8.13, se obtiene p maxp r R log366.0 T s Q          (8.16) Despejando esta ecuación en la 8.13:                 o p maxpp H2 s 1 s Q s Q (8.17) El máximo caudal y el mínimo abatimiento se obtienen cuando d ds Q Q sp p       5 sea máximo. De la 8.15 y la 8.16 se obtiene :                                 o p maxpo 2 p o max p H2 s 1 s Q H2 s s H Q 2 s Q Q p
  • 93. 213 Derivando e igualando a cero: 04 H s 8 H s 3 o p 2 o p       (8.18) La solución de esta ecuación es s H p o  2 3 , la cual significa que el abatimiento óptimo es un 67% del espesor saturado inicial, lo que implica que la zona de admisión de agua al pozo (rejilla) debe colocarse en el tercio inferior del acuífero. 8.2.3. Pozo en acuífero libre con recarga. Sea un acuífero libre recargado uniformemente, dicha recarga puede ser la lluvia o excedentes del riego. Se supone que en cualquier punto el acuífero se recarga uniformemente al ritmo de W m3 /m2 /año, o sea W m/año. Las hipótesis son las mismas que en el apartado anterior y además se considera que el pozo está en el centro de una isla circular de radio R, de modo que a esa distancia el potencial es constante. Por un cilindro de radio r concéntrico con el pozo, pasa un caudal (Figura 8.7): dr dH HKr2Qr  (8.19) y entre dos cilindros de radio r y r+dr se recarga un caudal de: Wdrr2dQr  (8.20) .
  • 94. 214 FIGURA 8.7 Pozo en un acuífero libre con recarga. Integrando esta última ecuación : cteA;ArW2Q 2 r  Para r = rp , Qr = Q = caudal del pozo, por lo que: QrWQAArWQ 22 pp  (8.21) ya que la cantidad de agua caída directamente en el pozo es muy pequeña. Así pues:  WrQQ 2 r agua extraída - agua caída en el círculo de radio r, tal como era de esperar. Igualando esta expresión a la ecuación 8.19: WrQ dr dH HKr2 2  (8.22)
  • 95. 215 Aplicando las condiciones de borde H=H0 para r=R:  2222 rR K2 W r R ln K Q HHo    (8.23) Para s<<Ho se cumple que:  22 oo rR H4 W r R ln T2 Q s    Cuando W=0, o sea que no hay recarga: r R ln K Q HH 22 o   que es la fórmula de Dupuit. Cuando no hay bombeo Q=0 y:   sHsirR T4 W s o 22  La ecuación 8.22 puede obtenerse también utilizando el principio de superposición, que se verá mas adelante. 8.2.4. Pozo en acuífero semiconfinado. Para este caso se establecen las siguientes hipótesis específicas (además de las ya consideradas en forma general): a) La recarga se establece a partir de otro acuífero situado encima del que se estudia y el nivel piezométrico en ambos es el mismo. b) El acuífero que recarga mantiene su nivel piezométrico constante. c) La recarga es proporcional a la conductividad hidráulica K'/b' del
  • 96. 216 acuitardo confinante y a la diferencia de niveles en los dos acuíferos. d) La recarga es lo suficientemente pequeña como para suponer que las líneas de corriente, prácticamente verticales en el acuitardo, se vuelven horizontales al centro del acuífero. Ello equivale a suponer que la recarga no perturba el régimen de flujo radial horizontal producido en el pozo, o sea que K/K' es muy grande (por ejemplo 500). Si se consideran dos cilindros de radio r y r+dr concéntricos con el pozo, Figura 8.8, entre ellos se produce una recarga: 'K 'b hh drr2dQ o r   (8.24) FIGURA 8.8 Pozo en un acuífero semiconfinado. El caudal que cruza la superficie del cilindro de radio r es según la ley de Darcy: dr dh Tr2Qr  y el incremento de caudal:
  • 97. 217 dr dh T2 dr hd Tr2dQ 2 2 r  (8.25) Como el flujo es permanente 8.24 = 8.23: 0'K 'b hh Tr2 dr dh T2 dr hd Tr2 o 2 2    o sea:   0hh T 'b/'K dr dh r 1 dr hd o2 2  (8.26) Haciendo los siguientes cambios de variable: B r T 'b/'K rx  B = factor de goteo = , , b K T s =h0 - h Se obtiene: 0s dx ds x 1 dx sd 2 2  (8.27) Que es una ecuación modificada de Bessel de orden cero. La solución conduce a: )B/r(K)B/r( )B/r(K T2 Q s 1 o   (8.28)
  • 98. 218 Donde K0 y K1 son funciones modificadas de Bessel. Esta ecuación es válida si rp <<B, tal como sucede en la mayoría de los casos. En general r B K r B1 1( / )  y por lo tanto: )B/r(K T2 Q s o   (8.29) La anterior es llamada fórmula de De Glee o de Jacob-Hantush. Es válida si b/B  0.7. La función K0 (r/B) está tabulada, ver Figura 8.9. FIGURA 8.9 Función de pozo en acuífero semiconfinado. En las proximidades del pozo r/B es pequeño y cuando r/B < 0.1, puede admitirse que r B123.1 ln T2 Q s  
  • 99. 219 Para efectos prácticos, la anterior fórmula es válida para r/B < 0.33, con un error menor del 1%. Esta fórmula es idéntica a la fórmula de Thiem, con R = 1.123 B. 8.3. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO Las hipótesis de base para el estudio de este problema son prácticamente las mismas que fueron establecidas para el flujo permanente, o sea: - Acuífero homogéneo e isotrópico. - La Ley de Darcy es válida. - La densidad y viscosidad del agua no varían. - El flujo es radial y horizontal. - El acuífero es de extensión infinita, de espesor uniforme y de base horizontal. - El pozo es completo y el caudal de bombeo es constante. Además para este caso se considera que: - El coeficiente de almacenamiento no varía ni en el espacio ni con el tiempo. - El radio del pozo es pequeño y el volumen de almacenamiento en el pozo mismo no incide sobre el caudal de bombeo. - El agua bombeada proviene completamente del agua almacenada en el acuífero, esto significa que no hay recarga lateral alguna. 8.3.1. Pozo en acuífero confinado. Si no hay recarga, la ecuación de continuidad queda reducida a: T h T S r h r rr 1             Esta ecuación debe ser resuelta para las siguientes condiciones: 1) h=h0 para r=> 4 siendo h0 el nivel piezométrico inicial.
  • 100. 220 2) lim r T h r Q r  0 2    6 que significa que el caudal bombeado es igual al caudal que entra en el pozo. 3) h=h0 para cualquier tiempo anterior al inicio del bombeo. La solución de esta ecuación diferencial conduce a: )u(W T4 Q shho   (8.30) llamada fórmula de Theis (1935), siendo:     u 2x tT4 Sr uydx x e )u(W En donde: s: abatimiento en metros, en un punto cualquiera. Q: caudal bombeado en m3 /día. T: transmisividad del acuífero en m3 /día/m. r: distancia del punto donde se mide al pozo en metros. S: coeficiente de almacenamiento. t: tiempo de bombeo en días. La función W(u) se conoce con el nombre de función de pozo en acuífero cautivo y es un parámetro adimensional. La relación gráfica entre W(u) y u es mostrada por la Figura 8.10. De igual manera dicha función está tabulada para diferentes valores de u. La Tabla 8.2 presenta algunos valores. Esta fórmula es válida para cualquier valor de rp si t r S T p  30 2 7. TABLA 8.2. Valores de W(u) vs u.
  • 101. 221 u W(u) u W(u) 10-15 34.0 10-7 15.5 10-14 31.6 10-6 13.2 10-13 29.3 10-5 10.9 10-12 27.0 10-4 8.6 10-11 24.7 10-3 6.33 10-10 22.4 10-2 4.04 10-9 20.1 10-1 1.82 10-8 17.8 1 0.22 8.3.1.1. Aproximación logarítmica de Jacob. La función W u e x dx x u ( )    se puede desarrollar como una serie de potencias de u y se puede expresar de la manera siguiente: ... !4.4 u !3.3 u !2.2 u u u 562.0 ln)u(W 432  o lo que es lo mismo: ... !4.4 u !3.3 u !2.2 u uuln5772.0)u(W 432 
  • 102. 222 FIGURA 8.10 Función de pozo. Con u r S T t  2 4 8. Para valores pequeños de u (u  0.01) Jacob demostró que puede tomarse como suficiente aproximación de W(u) los dos primeros términos de la serie, o sea que: u 562.0 ln uln5772.0)u(W   u será pequeño por ejemplo, cuando el tiempo de bombeo es grande y en este caso la ecuación de Theis quedará, reemplazando el valor de u: Sr tT25.2 ln T4 Q s 2   (8.31) o utilizando logaritmos decimales:
  • 103. 223 Sr tT25.2 log T Q183.0 s 2  (8.32) Haciendo s = 0, r = R (radio de influencia del pozo) y reemplazando en la ecuación 8.31: 1 Sr tT25.2 0 Sr tT25.2 ln 22  S tT 25.2r2  S tT 5.1RRr  Como se ve este radio de influencia es independiente del caudal y depende de las características del acuífero (T y S) y del tiempo de bombeo (t). Reescribiendo la ecuación de JACOB y asumiendo que R T t S  2 25. 1 se tiene: r R ln T2 Q s   Expresión análoga a la ecuación de THIEM ya deducida para el caso del flujo permanente. 8.3.2. Pozo en acuífero libre. Si los descensos no son grandes comparados con el espesor saturado del acuífero, pueden aplicarse las fórmulas de THEIS y JACOB deducidas para un acuífero cautivo, pero teniendo en cuenta lo siguiente: - Como en este caso la transmisividad varía con el espesor saturado (variación en el espacio) y con el tiempo por ser un régimen transitorio, el valor que se toma para T en las ecuaciones antes dichas
  • 104. 224 es el inicial, o sea T0 = K H0, es decir que para descensos pequeños se considera constante. - En segundo lugar, tal como ya se anotó, el coeficiente de almacenamiento para acuíferos libres es numéricamente igual a la porosidad eficaz ne. - En tercer lugar el tiempo de bombeo debe ser grande. Para piezométros ranurados en todo el espesor del acuífero, se cumple:         tHK4 Sr W K2 Q HH o 2 22 o (8.33) Válida para: o 2 o p HK Sr 30ty5.0 H H p  Si el tiempo de bombeo es largo y u < 0.03: Sr tHK25.2 ln K2 Q HH 2 o22 o   (8.34) Válida si K t SHo  5. Si 0.05 < Kt/SHo < 5, el abatimiento en el pozo se calcula mediante la ecuación de HANTUSH, 1964:            p o o po r H ln HK2 Q HH (8.35)
  • 105. 225 En donde  es un parámetro que toma los siguientes valores: Kt/Sho 5.0 1.0 0.2 0.05  1.288 0.512 0.087 -0.043 La fórmula de acuíferos confinados, puede aplicarse a acuíferos libres, si los descensos son pequeños, haciendo: s H H H o o  2 2 2 y T KHo . Además la reducción del espesor saturado hace aconsejable tomar un coeficiente de almacenamiento ficticio S*, definido como: S H H s no o e*   . 8.3.3. Pozo en acuífero semi-confinado. La ecuación de continuidad para un acuífero semi-confinado en régimen transitorio será: t h T S K F h2    )hh( T 'b/'K K F o  HANTUSH resolvió esta ecuación y encontró que: )B/r,u(W T4 Q s   B: factor de goteo (8.36) 'b/'K T B  Esta ecuación es válida para:
  • 106. 226                2 p 2 pp B r10 1 T Sr 30ty1.0 B r La función W (u,r/B ) está tabulada y además existen gráficos de 1/u vs W(u,r/B), figura 8.11. Dicha función recibe el nombre de función de pozo semiconfinado. FIGURA 8.11 Curvas tipo para acuífero semiconfinado (Walton,1962 ) 8.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Dado que las leyes del flujo subterráneo en captaciones son soluciones de la ecuación de Laplace y esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, una combinación lineal de sus soluciones es también una solución. Aprovechando esta propiedad de la ecuación de continuidad, se pueden resolver infinidad de problemas prácticos que se presentan en hidrogeología de una manera analítica. Lo anterior implica que para calcular el abatimiento
  • 107. 227 en un punto de un campo de pozos, éste será la suma se los descensos provocados individualmente por cada uno de los pozos de bombeo. Así para un acuífero confinado o libre con abatimientos pequeños, se cumplirá que el abatimiento total será: a) Régimen permanente:    n 1i i iT r R lnQ T2 1 s (8.37) b) Régimen transitorio: Se tiene la ecuación de Theis:    n 1i iiT )u(WQ T4 1 s (8.38) Siendo u r S T t i i i  2 4 . Para un acuífero semiconfinado puede escribirse: a) Régimen permanente:    n 1i ioiT )B/r(KQ T2 1 s (8.39) b) Régimen transitorio:    n 1i iiiT )B/r,u(WQ T4 1 s (8.40) EJEMPLO 8.4