El resumen analiza la convergencia de dos series. La primera serie es absolutamente convergente. La segunda serie converge utilizando el criterio de la integral para mostrar que la función asociada es negativa para valores mayores que 2. Luego, calcula el valor de una serie geométrica infinita utilizando propiedades de series geométricas y funciones logarítmicas. Finalmente, determina que el radio de convergencia de una serie de potencias es la unidad.

1. Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Facultad de Matem´ticas
a
Primer Semestre 2009
SOLUCION INTERROGACION II
MAT 220E ∗ CALCULO II
(1) Analice la convergencia, condicional o absoluta, de las siguientes series
∞
3 + 4 sen(k + 1)
(a)
k=1
2k + k
3 + 4 sen(k + 1)
Soluci´n Sea ak =
o .
2k + k
Tenemos que
3 + 4 | sen(k + 1) | 7 7
| ak | ≤ ≤ k ≤ k.
2k + k 2 +k 2
Como la serie
∞ k
1
7
k=1
2
es convergente, tenemos que
∞
| ak |
k=1
converge, es decir la serie dada es absolutamente convergente.
∞
8 arctan(n)
(b) .
n=2
1 + n2
Soluci´n Utilizaremos el criterio de la integral.
o
arctan(x)
Consideremos la funci´n f (x) =
o , con x ∈ [2, ∞).
1 + x2
Tenemos que
1 − 2x arctan(x)
f (x) = .
(1 + x2 )2
Luego f (x) < 0 si y solamente si 1 − 2x arctan(x) < 0.
Como la funci´n g(x) = arctan(x) es creciente, para x > 2 se tiene que
o
arctan(x) > arctan(2) > 1.
De esta forma x arctan(x) > x y as´
ı
1 − 2x arctan(x) < 1 − 2x < 0.

2. 1
Ahora, integrando por partes
u u
arctan(x) arctan2 (x) 1
dx = = arctan2 (u) − arctan2 (2)
2 1 + x2 2 2 2
Finalmente
u
arctan(x) 1 1 π2
lim 2
dx = lim arctan2 (u) − arctan2 (2) = − arctan2 (2) .
u→∞ 2 1+x u→∞ 2 2 4
As´ la serie dada converge.
ı,
(2) Utilizando series geom´tricas, calcule
e
∞
(n + 1)2 3n−1
.
n=1
n 22n−1
Soluci´n
o
∞ ∞ n
(n + 1)2 3n−1 2 1 3
2n−1
= n+2+
n=1
n2 3 n=1
n 4
∞ n ∞ n ∞ n
2 3 3 1 3
= n +2 +
3 n=1
4 n=1
4 n=1
n 4
Considere la serie geom´trica
e
∞
1
xn = , |x| < 1
n=0
1−x
Derivando
∞ ∞
n−1 1 1
nx = ⇔ nxn =
n=0
(1 − x)2 n=1
(1 − x)2
∞ n
3 3
haciendo x = se tiene n = 12
4 n=1
4
∞ n
3
La segunda suma es inmediata, =3
n=1
4
∞
1
Para la tercera suma, considere xn−1 = , |x| < 1.
n=1
1−x
∞
xn
integrando tenemos que = − ln (1 − x),
n=1
n

3. 2
∞ n
3 1 3 1
para x = se tiene = − ln .
4 n=1
n 4 4
Finalmente
∞
(n + 1)2 3n−1 2 1 2 1
2n−1
= 12 + 6 − ln( ) = 12 − ln( )
n=1
n2 3 4 3 4
(3) Considere la serie de potencias
∞
xn
√ √ .
n=1
(n + 1) n + n n + 1
(a) Determine su radio de convergencia.
1
Soluci´n De inmediato, r =
o
l
√ √ 1
√
an+1 (n + 1) n + n n + 1 n n
donde l = lim = √ √ · 1
n→∞ an (n + 2) n + 1 + (n + 1) n + 2 √
n n
1 1
1+ n
+ 1+ n
l = lim =1
n→∞ 2 1 1 2
1+ n
1+ n
+ 1+ n
1+ n
luego r = 1
∞
1
(b) Calcule √ √ .
n=1
(n + 1) n + n n + 1
Soluci´n Calculamos Sn
o √ √
n n
1 (k + 1) k − k k + 1
Sn = √ √ =
k=1
(k + 1) k + k k + 1 k=1 (k + 1)2 k − k 2 (k + 1)
n √ √ n √ √
(k + 1) k − k k + 1 k k+1
Sn = = −
k=1
(k + 1)k k=1
k k+1
√
n+1
Sn = 1 − , as´ resulta que lim Sn = 1 por lo tanto
ı
n+1 n→∞
∞
1
√ √ =1
n=1
(n + 1) n + n n + 1
1
(4) Sea f (x) = √ con |x| < 1.
1 − x2
(a) Determine el desarrollo en series de potencias de f (x) en torno a a = 0.

4. 3
Soluci´n Tenemos que
o
1 1
f (x) = √ = (1 − x2 )− 2 .
1 − x2
Utilizando desarrollo binomial, para | x | < 1
∞ 1
−2
f (x) = (−x2 )k
k=0
k
donde
−12 =1
0
y
1 1 1 1
1 − − −1 − − 2 ··· − − k + 1
− 2 2 2 2
2 =
k k!
1 3 5 2k − 1
(−1)k ···
2 2 2 2
=
k!
(−1)k 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)
=
2k k!
Luego
∞ 1 ∞
−2 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 2k
f (x) = (−x2 )k = 1 + x
k=0
k k=1
2k k!
∞
1 · 3 · · · (2n − 1)
(b) Calcule . Soluci´n Por el item anterior, tenemos que, para
o
n=1
2n n!(2n + 1)
| x | < 1, vale
∞
1 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 2k
√ =1+ x .
1−x 2
k=1
2k k!
Integrando, tenemos que
∞
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 2k+1
arcsen(x) = x + x .
k=1
2k k!(2k + 1)
Es decir
∞
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 2k+1
x = arcsen(x) − x.
k=1
2k k!(2k + 1)

5. 4
π
Adem´s lim (arcsen(x) − x) =
a − 1.
x→1 2
Finalmente ∞
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) π
k k!(2k + 1)
= − 1.
k=1
2 2