1. El documento presenta fórmulas y propiedades de identidades trigonométricas de ángulos dobles y ángulos mitad. Incluye ejemplos de problemas propuestos para aplicar estas identidades.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DOBLES y ÁNGULOS MITAD’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS DOBLES
Sen2x = 2SenxCosx
Cos2x = Cos2
x − Sen2
x
Tan2x =
2Tanx
1 − Tan2x
También:
Cos2x = 1 − 2Sen2
x
Cos2x = 2Cos2
x − 1
Fórmulas de degradación:
2Sen2
x = 1 − Cos2x
2Cos2
x = 1 + Cos2x
8Sen4
x = 3 − 4Cos2x + Cos4x
8Cos4
x = 3 + 4Cos2x + Cos4x
Propiedades:
I.
Cotx + Tanx = 2Csc2x
Cotx − Tanx = 2Cot2x
Sec2
x + Csc2
x = 4Csc2
2x
II.
(Senx + Cosx)2
= 1 + Sen2x
(Senx − Cosx)2
= 1 − Sen2x
III.
Tan2xTanx = Sex2x − 1
Tan2x
Tanx
= Sec2x + 1
Triángulo del ángulo doble
1+Tan2x
1-Tan2x
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan2x
Cos2x =
1 − Tan2
x
1 + Tan2x
ÁNGULOS MITAD
Sen
x
2
= ±√
1−Cosx
2
Cos
x
2
= ±√
1+Cosx
2
Tan
x
2
= ±√
1−Cosx
1+Cosx
Donde el signo (±) dependerá del
cuadrante donde se ubique el ángulo
𝑥
2
.
Tan
x
2
= Cscx − Cotx
Cot
x
2
= Cscx + Cotx
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. De la condición 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 1 = 0,
calcule cos2x.
Semana Nº 9

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
A) – 1 B) –
1
2
C)
1
2
D)
√3
2
E) 1
2. Si se cumple
1−2𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃
=
1
2
, calcule 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃.
A) –
3
8
B) –
1
4
C) –
1
2
D)
1
2
E)
3
8
3. En la figura los triángulos ABP, PBQ y QBC
tienen la misma área. Si 𝐴𝐻 = √2 + √2 ,
calcule PQ.
A)
2
3
(√2 + 1)
B)
2
3
(√2 − 1)
C)
1
3
(√2 + 1)
D)
1
3
(√2 − 1)
E)
2
3
(√2 + 2)
4. Si se cumple que
2 = 𝐴 {(2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
− 1)
2
− 𝑠𝑒𝑛2
𝑥} , 𝐴 = √
8√2
1 + √2
calcule 𝑡𝑎𝑛2
2𝑥
A) 3 − √2 B) 3 − 2√2 C) 3 + √2
D) 3 + 2√2 E)√2 + 1
5. Dada la siguiente identidad
trigonométrica.
𝑐𝑜𝑠23𝑥
2
− 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥− 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
= 𝐴𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
+ 𝐵,
calcule AB.
A) – 6 B) – 4 C) – 2 D) 2 E) 4
6. 𝑆𝑖 𝜋 < 2𝑥 < 2𝜋 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑎, calcule
el valor de
3𝑡𝑎𝑛𝑥−2𝑠𝑒𝑐2
𝑥+1
2𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥−𝑠𝑒𝑐𝑥
A) 1– 𝑎2
B) 𝑎2
− 1 C) √𝑎2 − 1
D)−√1 − 𝑎 E) √1 − 𝑎
7. Si ; 𝑥 ∈ 〈0;
𝜋
2
〉 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑥 = (
𝑎
𝑏
)
1
2
encuentre
el equivalente de (
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑠𝑐𝑥
) √1 +
𝑎
𝑏
A)
𝑎
2𝑎+𝑏
B)
2𝑎
2𝑎+𝑏
C)
𝑎
𝑎+2𝑏
D)
𝑎
2𝑏−𝑎
E)
2𝑎
2𝑏−𝑎
8. Determine el equivalente de
2( 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑐2𝑥)
𝑐𝑜𝑡2𝑥
+ 𝑠𝑒𝑐2
2𝑥 − 𝑡𝑔2
2𝑥
A) (
1−𝑡𝑎𝑛𝑥
1+𝑡𝑎𝑛𝑥
)
2
B) (
1−𝑡𝑎𝑛𝑥
1+𝑡𝑎𝑛𝑥
) C) 1 – 2𝑡𝑎𝑛𝑥
D) 1 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 E) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1
9. Reduzca 𝑡𝑎𝑛2º + 2𝑠𝑒𝑛2
2º𝑐𝑜𝑡4º
A) sen1º B) sen2º C) sen4º D) tan1º E) tan2º
10. Sea la ecuación 𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝑛𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
+ 𝑝 = 0
¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre
m, n y p, el valor de tan
𝑥
4
es único?
A) 𝑚2
+ 𝑛2
= 𝑝2
B) 𝑚2
+ 𝑝2
= 𝑛2
C) 𝑛2
+ 𝑝2
= 𝑚2
D) √𝑚2 + 𝑛2 = 2𝑛
E) √𝑚2 + 𝑛2 = 2𝑝
11. Si 𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
− 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 0 , calcule cos2x.
A) – 1 B) –
1
2
C) 0 D)
1
2
E) 1
12. Calcule el valor de 𝑡𝑎𝑛2𝐴 + 𝑡𝑎𝑛2𝐵 – 1,
si 𝑡𝑎𝑛𝐴 – 𝑡𝑎𝑛𝐵 = 1 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝐴 = – 2 + 4𝑠𝑒𝑛2
𝐴
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
13. Si 2𝑐𝑜𝑡𝑥 – 1 = 0,
calcule el valor de
2(cos
𝑥
2
+𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
)−𝑠𝑒𝑐
𝑥
2
2𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
−𝑠𝑒𝑐
𝑥
2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
14. De la condición
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 – 5 = 0,
calcule el valor de sen2x.
A) – 1 B) –
1
2
C) 0 D)
1
2
E) 1
15. De acuerdo con el gráfico, calcule
𝑐𝑜𝑠𝜃.
A)
336
625

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
B)
336
725
C)
336
825
D)
336
225
E)
336
725
16. Calcula:
 )155sen35sen)(55tg35(tanE
)155cos35(cos 
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) ½
17. Si la expresión:
)xcossenx(senxf 
es idéntica a la expresión:
)btgxa(x2sen 
Calcular: a - b
A) 0 B) 1 C) 1/2
D) -1 E) 2
18. Si
2
;

 y se cumple que:
1
cos22sen
sen22sen
2
2



calcular 
A)
6
5
B)
3
2
C)
4
3
D)
10
7
E)
8
5
19. De la figura calcular tg.
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 1/5
E) 1/6
20. Si la expresión:
x2cosx2sen1
x2cosx2sen1


idéntica a: “nctgx”. ¿Qué valor asume
”n”?
A) 1/2 B) -1 C) -1/2
D) 1 E) 2
21. Si IIICx;04xtg9 2

Calcular:
x2cos3x2sen2W 
A) 2/3 B) -2/3 C) 1
D) -3/2 E) 3
22. Calcular ctg2, si 3
4
tg 







A) 3/4 B) 4/3 C) –3/4
D) –4/3 E) 1
23. Si IIICx reducir:
xcosx2sen1 
A) senx B) -cosx C) cosx
D) -senx E) 1
24. Reducir la expresión:






sencos
sencos
sencos
sencos
R
A) tg B) 2tg C) tg2
D) 2tg2 E) 4tg2
25. Si:
n
sen
cos1



; m
sen
cos1



Calcula:
2
csc
2
sec

A) mn B) m+n C) n-m
D) m-n E) n/m

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
26. Si:
'3082tg'3022tgB
'3067tg'3037tg'307tgA


Calcula: A.B
A) 3817 B) 3817 C) 3813
D) 3813 E) 3178 
27. Si:
01cos2  y
2
3
;


Calcular:
2
tg

A) 3 B) 3 C)
3
3
D)
3
3
 E) -1
28. Si:
24
7
tg  , además
2
3


Calcular:
2
sen

A)
10
27
B)
10
27
 C)
10
2
D)
10
2
 E)
5
5
29. Si se cumple:
ycosk1
k1
k1
xcosk1





Obtener:
2
y
ctg
2
x
tg 22
en términos
de k.
A)
k1
k1


B)
k1
k1


C)
1k
1k


D)
1k
1k


E) k
30. Si 

2
y 2cos  + 1 = 0
Calcula : sen
2

A)
2
3
 B)
2
3
C) 1/2
D) -1/2 E) 1
31. Dado: Sen4x + Cos2x = n . hallar en
términos de “n”:
E= Sen4x(1+Sen2x)+Cos4x(1+Cos2x)
A)5n-2 B) 5n-3 C) 5n+1
D) 5n-1 E) 3+5n
32. Hallar los valores de a, b y c
respectivamente. Si la igualdad se
verifica para todos los valores de “x”:
x4coscx2cosbaxsen5,0xcos 24

A)
8
1
;
2
1
;
8
5 
B)
8
1
;
4
1
;
8
5 
C)
8
1
;
2
1
;
8
5 
D)
8
1
;
2
1
;
8
3
E)
8
1
;
2
1
;
8
3 
33. Si: 5,0xcossenx 
Calcular: cos4x
A)
9
8
B)
9
8
C)
8
7
D)
8
1
E)
8
7
34. Si:
3sen + 4 cos = 2    

;
2
Calcular: Cot
2

A)
6
213
B)
4
213 
C) 






 

4
213
D) 






 

2
213
E)
3
213 