Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales y demuestra algunas de ellas. En primer lugar, define las identidades trigonométricas primarias, inversas, por cociente y producto. Luego introduce las identidades pitagóricas derivadas del teorema de Pitágoras. Finalmente, demuestra 10 identidades trigonométricas mediante pasos algebraicos.

1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
Una identidad trigonométrica es una igualdad problemática condicional que se
verifica para cualquier valor de los ángulos que la forman.
Identidades trigonométricas primarias.
1
1. Sen x =
cosc x
1
2. Cos x =
sec x
3. Tan x =
1
cot x
Identidades trigonométricas inversas.
1. cosc x =
sen x
1
2. Cot x =
3. sec x =
1
tan x
1
cos x
Equivalencias por cociente.
1. Tan x =
2. Cot x =
3. Sen x =
4. Cos x =
5. Sen x =
sen x
cos x
cos x
sen x
cos x
cot x
sen x
tan x
tan x
sec x
sec x
6. Sec2 x = cos x
tan x
7. Tan2 x =
cot x
cot x
8. Cosc x =
cos x
9. Cot 2 x =
10. Cos x =
cot x
tan x
cot x
cosc x
11. Cos2 x =
12. Sec x =
cos x
sec x
cosc x
cot x
13. Cosc x =
tan x
sec x
14. Tan x =
cosc x
15. Sen2 x =
16. Sec x =
sec x
sen x
cosc x
cosc x
cot x
17. Cosc2 x =
18. Sec x =
cosc x
sen x
tan x
sen x

2. Equivalencias por productos.
1. Tan x. cos x = sen x
7. Cosc x. cos x = cot x
2. Cot x. sen x = cos x
8. Cot2 x. tan x = cot x
3. Sen x. sec x = tan x
9. Cos x. cosc x = cot x
4. Sec2 x. cos x = sec x
10. Cos2 x. sec x = cos x
5. Tan2 x. cot x = tan x
11. Cosc2 x. sen x = cosc x
6. Sec x. cot x = cosc x
12. Cosc x. tan x = sec x
Toda función multiplicada por su inversa es igual a uno.
Cualquier función dividida por su inversa es igual al cuadrado de dicha función.
Identidades pitagóricas.
Son aquellas identidades trigonométricas que se obtienen mediante la
aplicación del teorema de Pitágoras.
En el triangulo ABC, a2+b2=c2
B
c
a
C
x
A
b
Además si hacemos referencia en el triangulo anterior se cumple que:
Sen x =
Cos x =
Tan x =
a
c
b
c
a
b
Cosc x =
Sec x =
cot x =
c
a
c
b
b
a

3. Elevando al cuadrado las funciones anteriores tenemos:
Sen2 x =
Cos2 x =
Tan2 x =
a2
Cosc2 x =
c2
b2
Sec2 x =
c2
a2
Cot2 x =
b2
c2
a2
c2
b2
b2
a2
Tomamos ahora el teorema de Pitágoras a2+b2 =c2 y se divide por c2.
a2
1.
c2
+
b2
c2
=
c2
c2
como se observa en los cuadrados de las funciones
Sen2 x =
Sen2 x + cos2 x = 1
a2
c2
, cos2 x =
b2
c2
y
c2
c2
= 1 por lo que:
Se repite el procedimiento pero dividiendo ahora por b2
a2
2.
b2
+
b2
c2
b
b2
=
2
por lo que:
Tan2 x + 1= sec2
Por último se divide por a2
a2
b2 c2
+ 2= 2
a2 a
a
por lo que
1+cot2 x = cosc2 x
En resumen las identidades trigonométricas pitagóricas primarias son
1.
2.
3.
Sen2 x + cos2 x = 1
Tan2 x + 1= sec2
1+cot2 x = cosc2 x
De las identidades anteriores se derivan:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Cos2 x = 1- sen2 x
Sen2 x = 1- cos2 x
Tan2 x = sec2 x – 1
Sec2 – tan2 x = 1
Cot2 x = cosc 2 x – 1
Cosc2 x – cot2 x = 1

4. Las identidades anteriores se pueden escribirse también de la forma:
1. Cos x = 1 − sen2 x
2. Sen x= 1 − cos 2 x
3. Tan x = sec 2 x − 1
4.
sec 2 x − tan2 x = 1
5. Cot x = cosc 2 x − 1
6.
cosc 2 x − cot 2 x =1
Demostración de identidades trigonométricas.
1. Pruebe que:
Sen x. Tan x =
sen x+tan x
cot x+cosc x
Solución:
Se sustituye tan x por
Sen x. Tan x =
Sen x
Sen x+
cos x
cos x
+ cosc x
sen x
Sen x. Tan x =
cos x
y cot x por
sen x
cos x
sen x .cos x +sen x
cos x
cos x +1
sen x
Sen x. Tan x =
sen x
sen x (cos x +1)
cos x
cos x +1
sen x
Sen x. Tan x =
Sen x. Tan x =
Sen x. Tan x =
sen x(cos x+1)
cos x
se n 2 x(cos x+1)
cos x(cos x+1)
se n 2 x
÷
cos x+1
sen x
se realiza el producto cruzado
simplificando nos queda
se n 2 x
cos x
se expresa sen2 x como Sen x . Sen x
cos x
Sen x. Tan x = sen x.
se realiza la suma de quebrados
sen x
cos x
Sen x .Tan x = Sen x .Tan x
Se sustituye
L.Q.Q.D.
sen x
cos x
por tan x

5. 2.
Pruebe que:
tan k−cot k
tan k−cot k
= Cot k . Tan k
Solución:
Sustituimos tan k por
sen
cos
sen
cos
k cos k
–
k sen k
k cos k
–
k sen k
sen k
y cot k por
cos k
cos k
sen k
= Cot k . Tan k
Se realiza la suma de quebrados en el numerador y en el denominador
sen k .sen k –cos
cos k . sen
sen k .sen k –cos
cos k . sen
k .co s k
k
k .co s k
k
= Cot k . Tan k
Simplificamos cancelando los numeradores de las dos fracciones.
cos k .sen k
sen k .cos k
= Cot k . Tan k
Se escribe como
cos k
sen k
.
sen k
cos k
Se sustituye
= Cot k . Tan k
cos k
sen k
por cot k y
sen k
cos k
por tan k
Cot k . Tan k = Cot k . Tan k
L.Q.Q.D.
3. Demuestre que 1+sen k = cos k .
1+sen k
1−sen k
Solución:
Racionalizamos multiplicando por
1+sen k = cos k .
1+sen k
1−sen k
.
1 + sen k
1+sen k
1+sen k
(1+sen k)(1+sen k)= (1+sen k)2 y (1- sen k)(1+sen k)= 1- sen2k

6. Se sustituyen estos resultados y la expresión toma la forma
1+sen k
1+sen k = cos k .
1+sen k = cos k .
1−sen 2 k
1+sen k
cos 2 k
1+sen k
1+sen k = cos k .
1+sen k =
2
cos k
cos k (1+sen k)
cos k
1+sen k = 1+sen k
L.Q.Q.D.
4. Pruebe que sec2 k = 1+Tan2 k
Solución:
Sec2 k = 1+
Sec2 k =
Sec2 k =
sen 2 𝑘
cos 2 k
cos 2 𝑘+sen 2 𝑘
cos 2 k
1
cos 2 k
Sec2 k = sec2 k
L.Q.Q.D.
5. Demuestre que cosc2 k = 1+cot2 k
Cosc2 k = 1+
Cosc2 k =
Cosc2 k =
cos 2 k
sen 2 k
sen 2 k+cos 2 k
sen 2 k
1
sen 2 k
Cosc2 k = Cosc2 k
L.Q.Q.D.

7. 6. Demuestre que sec k + Tan k =
cos k
1−sen k
Solución:
1
cos k
+
sen k
cos k
cos k
=
1−sen k
cos k+cos k .sen k
cos 2
k
cos k (1+sen k)
1−sen 2
k
=
1−sen k
1+sen k (1−sen k)
1−sen k
=
1−sen k
cos k
cos k (1+sen k)
cos k
cos k
=
=
cos k
1−sen k
cos k
L.Q.S.Q.D.
1−sen k
Otra forma.
Sec k + Tan k =
Sec k + Tan k =
Sec k + Tan k =
Sec k + Tan k =
Sec k + Tan k =
Sec k + Tan k =
cos k
1−sen k
x
1+sen k
1+sen k
cos k+cos k.sen k
1−sen 2 k
cos k+cos k.sen k
cos 2 k
cos k
cos 2
k
+
cos k.sen k
cos k
cos k.cos k
1
cos k
+
cos 2 k
+
cos k.sen k
sen k
cos k
cos k.cos k
pero
Sec k + Tan k = Sec k + Tang k
1
cos k
= sec k y
L.Q.S.Q.D.
sen k
cos k
= tan k

8. 7. Pruebe que
Sec k- cos k = Tan k . Sen k
Solución:
Sec k- cos k =
Sec k- cos k =
Sec k- cos k =
sen k
sen 2 k
cos k
1−cos 2 k
cos k
1
Sec k- cos k =
Sec k- cos k =
Sen k
cos k
cos k
1
cos k
–
–
cos 2 k
cos k
cos k.cos k
cos k
Sec k – cos k = sec k – cos k
L.Q.S.Q.D.
8. Demuestre que:
Cos k =
Solución:
Cos k =
Cos k =
Cos k =
cosc k
tan k+cot k
cosc k
sen k cos k
+
cos k sen k
cosc k
sen 2 k +cos 2 k
cos k .sen k
cosc k
1
1
cos k .sen k
cos k.sen k
Cos k = Cosc k ÷
Cos k =
Cos k =
1
cos k
x
=
1
cos k
1
sen k
cosc k
sec k.cosc k
1
sec k
Cos k = Cos k
pero
L.Q.S.Q.D.
1
cos k
= cos k
x
1
sen k

9. 9. Demuestre que:
Cos k =
cosc k−sen k
cot k
Solución:
Cos k =
1
−sen k
sen k
cos k
sen k
Cos k =
1−sen 2 𝑘
sen k
cos k
sen k
Cos k =
Cos k =
Cos k =
cos 2 k
sen k
÷
se sustituye cosc k por
1
sen k
y cot k por
cos k
sen k
cos 2 𝑘.sen 𝑘
sen k.cos k
cos k.cos k
cos k
Cos k = Cos k
L.Q.S.Q.D
Otra forma de probar esta identidad es:
Cos k =
Cos k =
Cos k =
Cos k=
Cos k=
Cosc k −
1
Cosc k
Cot k
Cosc 2 k −1
Cosc k
Cot k
Cot 2 k
Cosc k
Cot k
=
pero Cosc2 k-1= Cot2 k por lo que:
Cot 2 k
Cosc k
Cot 2 k
Cosc k.Cot k
=
÷ Cot k
Cot k
Cosc k
=
Cos k
Sen k
Cos k .Sen k
Sen k
Cos k = Cos k
L.Q.S.Q.D
÷
1
Sen k
cos k
sen k

10. 10. Pruebe que:
1+cos k
= Cosc k .Tan k
1−cos k
1+cos k
1+cos k
.
1−cos k
(1+cos k)2
1+cos k
sen k
1
sen k
= Cosc k .Tan k
= Cosc k .Tan k
Tan k−cos k
Tan x por
Sen k
–Se n k
Cos k
se n 3 k
=
Sen k
1+Cos k
Sen k .Se n 2 k
Cos k
÷
Sen k .Se n 2 k (Cos k)
=
(1−Cosk )
1−Co s 2 k .Cos k
Sec k
1+Cos k
=
1+Cos k
1+Cos k
Sec k
1+Cos k
1−Cos k (1+Cos k) Cos k
1
𝐶𝑜𝑠 𝑘
1+Cos k
Sec k
(1−Cosk )
(1+Cos k) Cos k
Sec k
Sec k
=
1
=
1
Sen k (1−Cosk )
Luego:
Cos k
Sec k
Sen k (1−Cosk )
Y Como
y
1+Cos k
=
Se n 2 k (Cos k)
Sen k
L.Q.Q.D
Sen k −Cos k .Sen k
Cos k
Sen k .Se n 2 k
(1−Cosk )
1
Sec k
=
se n 3 k
2
Cosc x por
Cos k .Tan k = Cosc k .Tan k
11.
ya que
1 − cos k= sen2 k y
luego sustituimos
= Cosc k .Tan k
sen k sen k
, lo que
simplificado es igual a:
1+cos k
cos k
.
1−co s 2 k
= Cosc k .Tan k
1−co s 2 k
se n 2 k
= Cosc k .Tan k
1+cos k
(1+cos k)2
1+cos k
Para probar esta
identidad se racionaliza
multiplicando la fracción
original por el conjugado
del denominador lo que
da como resultado
=
=
Sec k
1+Cos k
Sec k
1+Cos k
Aquí
1
(1+Co s k) Cos k
= Sec k, tendremos que: Sec k .
Sec k
1+Cos k
=
Sec k
1+Cos k
=
1
1
Cos k 1+Cos k
1
1+𝐶𝑜𝑠 𝑘
L.Q.Q.D
.
=
𝑆𝑒𝑐 𝑘
1+𝐶𝑜𝑠 𝑘

11. 12. Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x
Cos2 x = (1−Cos2 x) Cos2 x + Cos4 x
Cos2 x = Cos2 x −Cos4 x + Cos4 x
Cos2 x = Cos2 x
Otra forma
Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + Cos4 x
Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (Cos2 x)2
Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x + (1−Sen2 x)2
Cos2 x = Sen2 x.Cos2 x +1−2Sen2 x+Sen4
Cos2 x = Sen2 x (1−Sen2 x)+1−2Sen2 x+Sen4
Cos2 x = Sen2 x −Sen4 x+1−2Sen2 x+Sen4
Cos2 x = 1−Sen2 x
Cos2 x = Cos2 x
13.
1
Cos k
−
Cos k
1+Sen k
1+Sen k−Co s 2 k
Cos k (1+Sen k)
= Tang k
= Tang k
1+Sen k−(1−Se n 2 k)
Cos k (1+Sen k)
1+Sen k−1+Se n 2 k
Cos k (1+Sen k)
1+Sen k−1+Se n 2 k
Cos k (1+Sen k)
Sen k+Se n 2 k
Cos k (1+Sen k)
Sen k (1+Sen k)
Cos k (1+Sen k)
Sen k
Cos k
= Tang k
= Tang k
= Tang k
= Tang k
= Tang k
= Tang k pero
Sen k
Cos k
= Tang k por lo que:
Tang k = Tang k
14.
Se n 2 k+Co s 2 k
Tang k
+ Cot k =2 Cot k
1
+ Cot k =2 Cot k
Tang k
1
+ Cot k = 2 Cot k
Tan k
2
Tan k
=2 Cot k y como
pero
2
Tan k
Luego:
2 Cot k =2 Cot k
L.Q.Q.D
1
Tan k
= 2÷
+ Cot k =
Sen k
Cos k
=
1+1
Tan k
2 Cos k
Sen k
=
2
Tan k
= 2 Cot k