Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Incluye la demostración de las identidades fundamentales de seno y coseno para la suma de ángulos, así como algunas propiedades importantes de las funciones trigonométricas. Finalmente, propone una serie de problemas para aplicar los conceptos explicados.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas de Arcos
Compuestos”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen
Demostración:
A partir del gráfico:
Se observa:
Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)
En el OQR  QR = ORSen = Sen.Cos;
(OR = Cos)
En el MSR  SM = RMCos = Cos.Sen;
(RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado
También observamos:
Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)
En el OQR  OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)
En el MSR  SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)
Reemplazamos:
Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)
Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente
manera:
Sabemos que:
Tg(+) =
 
 
sen sen sen
sen sen
 
 
   
   




cos
cos cos
cos cos
Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)
Tg(+) =
sen sen
sen sen
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  

  
  
     
     

cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos
Simplificando obtendremos:
Tg(+) =
sen sen
sen sen
Tg Tg
Tg Tg








 
 
cos cos
cos
.
cos
.




1 1
* Tg(+) =
Tg
Tg Tg
 
 
+ Tg
1 . (Demostrado)
Tomaremos en cuenta para las demás razones
trigonométricas que:
 
 
 
 
 
 
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
 
 
 
 
 
 
 

 

 

1
1
1

1 S
R
P Q A X
Y
M
B
Semana Nª 8
0

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos:
Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las identidades para la
diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.
* Sen( - ) = sen(+(-))
 Sen(+(-)) =
   sen sen
sen
   
 
cos cos
cos
  

     
    sen sen sen     cos cos
Demostrado
* Cos(-) = Cos(+(-))
 Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)
Cos - Sen
    cos cos cos     sen sen
(Demostrado)
* Tg(-) =


TgTg
TgTg
.1 

De igual manera tomar en cuenta que:
 
 
 
 
 
 
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
 
 
 
 
 
 
 

 

 

1
1
1
Algunas Propiedades de Importancia
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
c) Si:  +  +  = 180°  Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg
d) Si:  +  +  = 90°  Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
f) Si: +  +  =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
g)
1
2
.
22
.
22
.
2

C
tg
B
tg
C
tg
A
tg
B
tg
A
tg
h)
2
.
2
.
2222
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg 
i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg(  - )
j)
yx
yxsen
tgyTgx
cos.cos
)( 

k)
SenySenx
yxsen
CtgyCtgx
.
)( 

l)
SenyCosx
yxCos
Ctgytgx
.
)( 

m) )(... 22
 xSenbaCosxbsenxa
Donde:
22
ba
b
Sen


22
ba
a
Cos


n) Si: Rxxbsenxaxf  ;cos..)(
Se cumple: 2222
)( baxfba 
PROBLEMAS DE CLASE
1. Si 𝐴𝐵 = 2√3 𝑦 𝐶𝐷 = 7, calcule BD.
A)3 B) √3 C) 4 D) 6 E) 7
2. Si se cumple
2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑦
3𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
calcule el valor de 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑐𝑠𝑐(𝑥 – 𝑦).
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
3. Calcule el valor de

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜃)
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝜃)
] (𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝜃)
A) 1/2 B) 2/3 C) 1 D) 2 E) 3
4. Si A y B pertenecen al primer cuadrante,
simplifique la siguiente expresión.
√1+𝑡𝑎𝑛2 𝐴+𝑡𝑎𝑛2 𝐵+𝑡𝑎𝑛2 𝐴𝑡𝑎𝑛2 𝐵
1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵
A) 𝑠𝑒𝑐(𝐴 – 𝐵) B) 𝑐𝑜𝑠(𝐴 – 𝐵) C) 𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)
D) 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵) E) 𝑠𝑒𝑐(𝐴 + 𝐵)
5. Calcule el valor de
√2
4
𝑡𝑎𝑛
5𝜋
12
− 𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
A)
√2
4
B)
√2
2
C) √2 D)
3√2
8
E)
3√2
4
6. Si 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 3𝑡𝑎𝑛3𝑥, calcule
tanxtan2x.
A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3
7. Si √2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45º) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥, calcule
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3
𝑥.
A) – 2 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
8. En el gráfico, calcule AB si 𝐶𝐷 = 4, 𝐷𝐸 =
6 𝑦 𝐵𝐸 = 2.
A) 2 B)2√3 C)2√6 4√6 E)6√6
9. Según el gráfico, 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 = 2 𝑦 𝐵𝐷 =
𝐸𝐶 = 3. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝜃.
A)
3
19
B)
25
19
C)
15
19
D)
19
25
E)
19
15
10. Si 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑡𝑎𝑛(𝑥 – 𝑦) = 𝑏,
calcule (
1+𝑎𝑏
𝑎−𝑏
) 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦).
A) – 1 B) ½ C) – 2 D) 1 E) 2
11. Si 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 32º) = 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 30º,
calcule (
13
5√3+6
)𝑡𝑎𝑛(2𝑥 + 𝑦 − 13)
A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 4
12. Si 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) =
√3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 , calcule
(1+𝑡𝑎𝑛𝑥)(1−𝑡𝑎𝑛𝑦)
𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦
A)
√3
3
B)
√3
2
C) 1 D) √3 E) 2√3
13. En el gráfico se cumple que 𝐴𝐵 =
3 𝑦 𝐵𝐶 = 2. Calcule el área de la región
triangular ACD.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E)
39
2
14. En el gráfico se cumple que
𝑀𝐶
3
=
𝐶𝐵
4
=
𝐴𝐵
8
y 𝑀𝐶 = 𝑀𝐷. Calcule tanx.
A) 11/7 B) 15/7 C) 17/7 D)
22
7
E) 24/7
15. En el gráfico, se cumple que
𝐴𝑀 = 3, 𝑀𝑁 = 2 𝑦 𝐵𝑁 = 1. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝑥.

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
A) ¼ B) ½ C) 2/3 D) 3/4 5/6
16. Si 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2𝑡) =
4
5
;
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
𝑥
5
;
𝜋
2
< 𝑦 + 2𝑡 < 𝜋
exprese x en términos de 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑡.
A) 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 B) 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 – 4𝑠𝑒𝑛2𝑡
C) 𝑐𝑜𝑠2𝑡 – 𝑠𝑒𝑛2𝑡 D) 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 – 3𝑐𝑜𝑠2𝑡
E) 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 – 4𝑐𝑜𝑠2𝑡
17. Si
𝑐𝑜𝑠(𝑥 – 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧 – 45º) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 45º),
calcule 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡𝑦𝑐𝑜𝑡𝑧.
A) – 1 B) – 1/2 C) 1 D) 2 E) 4
18.Calcule el valor de
√3𝑐𝑜𝑠70º
𝑐𝑜𝑠25º−𝑠𝑒𝑛25º
A)
√6
6
B)
√6
4
C)
√6
3
D)
√6
2
E)
√3
2
19.Si 𝑥 + 𝑦 =
𝜋
6
, calcule el valor de
𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝑦)
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
+
𝑡𝑎𝑛( 𝑥+𝑦)
𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡𝑦
A)
√3
2
B)
√3
3
C)−
√3
2
D) 1 E) √3
20.Simplifique.
(𝑠𝑒𝑛20º – 𝑡𝑎𝑛60º𝑐𝑜𝑠20º)𝑠𝑒𝑐50º
A) – 2 B) – 1 C) ½ D) 1 E) √2
21.Calcule el máximo valor de
1−4𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 1 B)
√2
2
C) √2 D) 2 E) 2√2
22.Obtenga el equivalente de
𝑠𝑒𝑛(30º+𝛼 )𝑠𝑒𝑛(30º−𝛼 )+𝑠𝑒𝑛230º
𝑠𝑒𝑛(45º−𝛼 )
A) 𝑠𝑒𝑛(45º – 𝛼) B) 𝑠𝑒𝑛(45º + 𝛼)
C) 𝑠𝑒𝑛(30º + 𝛼) D) 𝑠𝑒𝑛(30º – 𝛼)
E) 𝑠𝑒𝑛(60º – 𝛼)
23.Si 𝑠𝑒𝑛3𝑥 =
2√5
5
, donde 3x es un ángulo
agudo, calcule
𝑡𝑎𝑛4𝑥 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 – 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥𝑡𝑎𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3𝑥.
A) 3/2 B) 5/2 C) 7/2 D) 9/2 E) 5
24.Calcule el valor de
(√3+1)𝑡𝑎𝑛
𝜋
12
+1
𝑡𝑎𝑛
𝜋
24
+𝑡𝑎𝑛
𝜋
24
𝑡𝑎𝑛
5𝜋
24
+𝑡𝑎𝑛
5𝜋
24
A)√3 − 1 B) √3 C) √3 + 1 D)2√3 E) 4
25.Si 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 =
𝜋
4
, calcule el valor de
𝑡𝑎𝑛2𝛼+𝑡𝑎𝑛2𝛽
𝑐𝑜𝑡2𝜃
+
1
𝑐𝑜𝑡2𝛼𝑐𝑜𝑡2𝛽
A) 1/4 B) 1/2 C) ¾ D) 1 E) 2
26.Reduzca
√3
3
𝑐𝑜𝑡10º𝑐𝑜𝑡20º−𝑡𝑎𝑛70º
1+√3𝑐𝑜𝑡10º
A)√3𝑐𝑜𝑡10º B) 𝑐𝑜𝑡10º C) √3𝑡𝑎𝑛10º D)
√3
3
E) √3
27.En un triángulo ABC se cumple que
6𝑡𝑎𝑛𝐴 = 3𝑡𝑎𝑛𝐵 = 2𝑡𝑎𝑛𝐶.
Calcule 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 2𝑡𝑎𝑛𝐵 + 3𝑡𝑎𝑛𝐶.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
28.Si √6(𝑐𝑜𝑠8º − 𝑠𝑒𝑛8º) + √2(𝑐𝑜𝑠8º +
𝑠𝑒𝑛8º) = 4𝑠𝑒𝑛𝑥 . además, 𝑥 ∈ 〈
𝜋
2
; 𝜋〉 ,
calcule 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 23º) + √2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 22º).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
29.Reduzca la expresión
√3𝑐𝑜𝑠10º + 3𝑠𝑒𝑛10º + 2𝑐𝑜𝑠40º
A) 2cos20º B) cos40º C) 2cos50º
D) cos50º E) 4cos20º
30.Encuentre el equivalente de
𝑠𝑒𝑛40º
𝑐𝑜𝑠30º 𝑐𝑜𝑠10º
−
1
𝑐𝑜𝑠10º
A) tan20º – tan30º B) tan30º – tan40º
C) tan40º – tan30º D) tan30º – tan20º
E) tan30º – tan10º
31.En un triángulo ABC, recto en C, Calcule
(1 + tan
𝐴
2
) (1 + tan
𝐵
2
) (1 + tan
𝐶
2
)
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
32.Simplifique la expresión.
𝑠𝑒𝑛2
𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2(𝐴 + 𝐵) − 𝑠𝑒𝑛2
𝐵
𝑐𝑜𝑠2 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2(𝐴 + 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠2 𝐵
A) 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵 B) 𝑡𝑎𝑛𝐵𝑐𝑜𝑡 𝐴 C) – 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵
D) – 𝑡𝑎𝑛𝐵𝑐𝑜𝑡 𝐴 E) 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo