1. El documento presenta las principales identidades trigonométricas, dividiéndolas en cuatro grupos: identidades reciprocas, por división, pitagóricas y auxiliares. 2. Se definen las identidades trigonométricas como igualdades que relacionan funciones trigonométricas y son válidas para cualquier valor de la variable. 3. Se explican diversos ejemplos para ilustrar cada tipo de identidad trigonométrica.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas”
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se
verifican para todo admisible, clasificándose de la
siguiente manera:
1.-IDENTIDADES RECIPROCAS
 Sen  . Cosec  = 1   R - n
 Cos  . Sec  = 1 R–(2n+1)
 Tan  . Cotan = 1   R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION
 Tan  = Sen  / Cos  R–(2n+1)/2
 Cotan  = Cos  / Sen  R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
 Sen2
 + Cos2
 = 1 R
 1 + Tan2
 = Sec2
 R–(2n+1)/2
 1 + Ctg2
 = Csc2
 R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1  senx  cosx)2
=2 (1  senx)(1  cosx)
Si: asenx +bcosx = C
22
bac 
Entonces:
c
b
x
c
a
senx  cos
 Si:
n
tgxxntgxx
1
secsec 
 Si:
m
ctgxxmctgxx
1
csccsc 

x
senx
senx
x
senx
x
x
senx
cos
1
1
cos
;
cos1
cos1






 (senx  cosx)2
= 1  2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
 Sen 2
2x + cos 2
2x = 1
 1+ tg 2
x/2 = sec 2
x/2
 Sen 5x . csc 5x = 1

x
xsen
xtg
10cos
10
10 
PROBLEMAS DE CLASE
1. Al simplificar la expresión :
1 +
1
−1 +
1
1 −
1
1 +
𝑆𝑒𝑛2 𝑎
1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑎
Se obtiene:
A)𝑆𝑒𝑛2
𝑎 B) 𝐶𝑜𝑠2
𝑎 C) 𝑇𝑔2
𝑎
D) 𝑆𝑒𝑐2
𝑎 E) 𝐶𝑠𝑐2
𝑎
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2. Se sabe que: 𝛼𝜖 〈2𝜋;
5𝜋
2
〉, se reduce:
𝑊 =
√1+𝑆𝑒𝑛𝛼−√1−𝑆𝑒𝑛𝛼
√1−𝑆𝑒𝑛𝛼+√1+𝑆𝑒𝑛𝛼
A) 𝑇𝑔
𝛼
2
B) 𝐶𝑡𝑔
𝛼
2
C) 𝑇𝑔𝛼 D) 𝐶𝑡𝑔𝛼 E) -1
3. Hallar el valor de:
𝑡𝑔2𝐴 + 𝑇𝑔2𝐵 − 𝑇𝑔 (
5𝜋
4
)
Sabiendo que:
Semana Nº 7

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
{
𝑇𝑔𝐴 − 𝑇𝑔𝐵 = 1
𝑆𝑒𝑛2𝐴 = −2 + 4𝑆𝑒𝑛2
𝐴
A) -2 B) 0 C) 1 D) -1 E) 2
4. Dadas las condiciones:
{
𝑆𝑒𝑛𝛼 + 𝑇𝑔𝛼 + 𝑆𝑒𝑐𝛼 = √3 − 1
𝐶𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑡𝑔𝛼 + 𝐶𝑠𝑐𝛼 = √6 − 1
A) 1 B) √2 C) √3 D) 2 E) √5
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
5. Si: 𝑇𝑔8
𝜃 + 𝐶𝑡𝑔8
𝜃 = 47 ,
Hallar P = 𝑇𝑔 𝜃 − 𝐶𝑡𝑔 𝜃
A) 1 B) 0 C) 3 D) -2 E) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
6. Al eliminar 𝛼 partiendo de:
{
𝑇𝑔𝛼 + 𝐶𝑡𝑔𝛼 = 𝑥
𝑆𝑒𝑐𝛼 + 𝐶𝑠𝑐𝛼 = 𝑦
, se obtiene
A) 𝑦2
= 𝑥2
+ 2 B) 𝑦2
= 𝑥2
− 2𝑥
C) 𝑦2
= 𝑥2
+ 2𝑥 D) 𝑦2
+ 2𝑥 = 𝑥2
+ 2
E) 𝑦2
= 2𝑥 − 𝑥2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
7. Simplificar : 𝐸 =
𝑆𝑒𝑛𝑥
1−𝐶𝑜𝑠𝑥
− 𝐶𝑡𝑔𝑥
A) Senx B) Cosx C) Secx D) 1 E) Cscx
8. Al transformar
𝐸 = √ 𝑆𝑒𝑐𝑥 + 1 + √𝑆𝑒𝑐𝑥 − 1 , donde
𝑥𝜖 〈0;
𝜋
2
〉 , se obtiene una expresión
equivalente de la forma √
𝑎𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑏+𝑐.𝑆𝑒𝑛𝑥
.
Hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
9. ¿Qué expresión debe colocarse en lugar de
M para que la igualdad sea una identidad?
2
𝑀
=
𝐶𝑜𝑠𝑥
1+𝑆𝑒𝑛𝑥
+
𝐶𝑜𝑠𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
A) Cosx B) Senx C) Senx.Cosx
D) Cscx E) Secx
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
10. Si
n
m 2 y 2  CtgTg , entonces
el valor de
 mm
CtgTgM  es igual a:
a) (-2) n
b) 2 c) 2n
d) 4 e) 16
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
11. Reducir:
     xCtgxCosxSenxTgM 2222
1111 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
12. Al simplificar : Y = Ctg 4
.Csc 2
– Ctg 2
.Csc 2
 + Csc 2
– 1, se obtiene:
A) 2
Csc B) 8
Ctg C) 6
Csc
D) 8
Csc E) 6
Ctg
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
13. Para que se cumpla la desigualdad
(𝑇𝑔 𝑥 + 𝐶𝑡𝑔𝑥) > 𝑎 , 𝑎 𝜖𝑅 𝑦 𝑥 𝜖 𝐼 𝐶 ,
El mayor valor de “a” es:
A) 4 B) 1 C)
2
2 D) 2 E) infinito
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
14. Si Secx + Tgx = n ,
Calcular M = Cscx + Ctgx
A)
1
1



n
n
M B)
1
12



n
n
M
C)
1
1
2



n
n
M D)
5
2

n
M E)
1
32



n
n
M
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2012 - II
15. Al simplificar
M = (Cscx-Ctgx).





 

 Senx
Cosx
Cosx
Senx 31
1
,
se obtiene:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 - III
16. Al reducir:












CosSen
CosSen
Sen
33
22
, se obtiene:
a) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
17. Al eliminar  , de :







SecySenCsc
CscxCosSec
.
. , se obtiene:
A) B)
C)
D) E)
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
18. Sabiendo que 𝐂𝐨𝐬𝐧𝐱 = 𝐧𝐂𝐨𝐬𝐱 , halle:
𝐌 = 𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐧𝐱 +
𝐒𝐞𝐧 𝟐
𝐧𝐱 − 𝐂𝐨𝐬 𝟐
𝐧𝐱
𝟏 − 𝐧 𝟐 𝐂𝐨𝐬 𝟐 𝐱
a)3 b)2 c) 1 d) Sen2
nx e) Cos2
nx
19. Calcular el valor de:
∫ =
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟏𝟎°
+
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟐𝟎°
+
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟑𝟎°
+
⋯
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟖𝟎°
a) 2 b) 4 c) -1 d) 1 e) 3
20. Eliminar "x" de:
A) B)
C)
D) E)
21. Dada la ecuación: 𝐦𝐱 𝟐
− 𝐱 + 𝐦 𝟓
− 𝐦 = 𝟎
Calcular el valor de ‘‘m’’ para que las raices
sean secante y tangente de un mismo arco.
a) ±2 b) ±4 c) ±1 d) ±1/2 e) ±1/4
22. Sabiendo que:
,
Calcular
a) b) c) d) -2 e) -1
3º EXAMEN SUMATIVO 2011 III
23. Al simplificar la expresión:
;
se obtiene
a) 1 b)2 c) 3 d) 2tg e) 3ctg
2º EXAMEN SUMATIVO 2010-III
24. Si:
ba
bSenCosa
11
1
. 44

  ,
 445  ,talque 00  bya ,
Calcular Sec
a)
a
ba 

b)
b
ba 

c)
b
a
d)
b
ba  e)
a
ba 
25. Si:
tgx
t
x
q
senx
p

cos
, determinar la relación
queelimina el arco “x”
a)   22222
qptpq  b)   22222
tpqpt 
c)   22222
tqqpp  d)   22222
pqtpq 
e)   22222
tqqpp 
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: tgxq
x
p
m .
cos
 ;
x
q
tgxpn
cos
. 
Determinar la relación que elimina el arco
de “x”
a) m–n = p–q b) m+n = p+ q
c) m2
+n2
= p2
+ q2
d) m2
– n2
= p2
–q2
e) m3
– n2
= p2
– q3
14 24 2
 yxxy 14 34 3
 xyyx
xyyxxy  4 24 2
xyyxxy  4 24 2
14 34 3
 yxxy
Senx Cosx Tgx
a b c
 
2 2 2 2 2a (a b ) b c  2 2 2 2 2b (a c ) a c 
2 2 2 2 2c (a b ) a b 
2 2 2 2 2a (b c ) b c 
2 2 2 2 2b (b c ) a c 
)(21 222
bCscbctgaCsc 
tga
tgb
Y 
2 1 3
1
1
2
2 2222










Ctgtg
Ctgtg
Ctgtg
Ctgtg
E

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
2. Si la siguiente expresión es una identidad:
k
k
x
senx
xsenx
x



 cos1
cos.
cos1
Calcular el valor de “k”
a) senx b) cosx c) tgx
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
3. Si: aTgxSecx  ; bCtgxx csc
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
A)   11.4 22
 baba b)   11.2 22
 baba
C)   22. 22
 baba d)   11.2 22
 baba
E)   11.4 22
 baba
4. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
 xxkxtgxtgF 2424
secsec3 
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
5. Si se cumple:
Calcular:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
6. Si:
Calcular el valor de:
A) ½ B) 1 C) 3/2 D) 2/3 E) 5/4
7. Determinar a-1
en la siguiente identidad
a
xxctgxsen
 222
cos
111
A) xctg 2
B) xtg2
C) xSen 2
D) xCos 2
E) xSec 2
8. Dada la expresion:
(𝐦 − 𝟓)𝐱 𝟐
− 𝟒𝐦𝐱 + 𝐦 − 𝟐 = 𝟎
Calcular el valor de ‘‘m’’ para que las raices
sean seno y coseno de un mismo arco.
A) 7/15 B)13/15 C) 15/13
D) 15/7 E) 39/5
9. Si: 𝐓𝐚𝐧𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟑
𝐱 = 𝟏
Calcular: 𝐄 = 𝐂𝐨𝐭𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟑
𝐱
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10. Calcular el mínimo valor:
𝐖 = 𝐒𝐞𝐜 𝟐
𝐱 + 𝐂𝐬𝐜 𝟐
𝐱 + 𝟐𝐒𝐞𝐜𝐱𝐂𝐬𝐜𝒙
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 8
11. el equivalente de:
𝐌 = (𝟏 + 𝟐𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱)(𝟏 + 𝟐𝐒𝐞𝐜 𝟐
𝐱𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱) es:
a) Sec6
x − Tan6
x b) Sec6
x + Tan6
x
c) Sec8
x − Tan8
x d) Sec8
x + Tan8
x
e) Sec10
x − Tan10
x
12. Siendo 𝐂𝐬𝐜𝐱 − 𝐂𝐨𝐭𝐱 =
−𝟏𝟎
𝟑
,
Calcule: Cotx
A) 91/30 B) 91/90 C) 91/60 D) 91/40 E) 91/50
13. Simplificar la expresión:
𝐄 = 𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐱(𝐂𝐨𝐭 𝟒
𝐱 + 𝟑𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐱 + 𝟑) + 𝟏
a) Sec6
x b) Cos6
x c) Tan6
x
d) Cot6
x e) Csc6
x
14. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad
sea una identidad.
xxsen
senx
xsen
senx
xsen kk
42
cos26
1
1
1
1






A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E) 10
15. Al eliminar x en el sistema de ecuaciones:
obtienese
tgxnxtg
mxx
,
.1
cscsec
2





a) nmn 222
 b) nmn 322

c) nmn 222
 d) nmn 233

e) nmn 222

3º EXAMEN SUMATIVO 2009-III
23Senx Cos x 2 
2 2K Csc x Sen x 
2 3Tg x Ctg x 1 
6 4 2E Tg x(Tg x 2Tg x 1)  

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo