En este trabajo se buscó en las diferentes bases de datos ejemplos que sustentara la importancia que tiene las matemáticas en la practica de la Agrimensura. Esto con el objetivo de motivar a los estudiantes a dominar los temas fundamentales de la materia.

1. Importancia de las
Matemáticas en la
Agrimensura

2. ¿Que es la Agrimensura?,
¿Que hacen los agrimensores?,
¿Con que instrumentos trabajan?, etc.
Ya que a pesar de ser una profesión tan
importante, imprescindible y milenaria, muchas
personas (la gran mayoría), no saben de qué se
trata o peor aún la confunden con Agronomía,
una carrera totalmente diferente!
A modo general

3. Nunca se preguntaron:
 como "cuadran" tan bien las estructuras ,
 como se alinean tan perfectamente los postes de
electricidad
 como se mide el caudal de un rio
 como se construye un edificio de 50 pisos sin que
este se desvíe de la vertical
 como un misil teledirigido puede viajar 1000 km y
dar en un blanco de 5 m de diámetro,
 como se hacen los mapas, autopistas, aeropuertos,
represas, caminos, etc, etc.
SIMPLE, son todos hechos que están
plenamente ligados la AGRIMENSURA,
como ciencia y los AGRIMENSORES
como actores principales.
En fin, sin mas rodeos

4.  El arte de hacer mediciones de las posiciones
relativas de las características naturales y
artificiales en la superficie de la Tierra, y la
presentación de esta información, ya sea
gráficamente o numéricamente.
Agrimensura

5.  La agrimensura fue considerada antiguamente la rama de
la topografía destinada a la delimitación de superficies, la
medición de áreas y la rectificación de límites.
 En la actualidad la comunidad científica internacional
reconoce que es una disciplina autónoma, con estatuto
propio y lenguaje específico que estudia los objetos
territoriales a toda escala, focalizándose en la fijación de
toda clase de límites
 De este modo produce documentos cartográficos e
infraestructura virtual para establecer planos, cartas y
mapas, dando publicidad a los límites de la propiedad o
gubernamentales.
 Con el fin de cumplir su objetivo, la agrimensura se nutre
de la topografía, geometría, ingeniería, trigonometría,
matemáticas, física, arquitectura, historia, computación y
tecnología satelital.
Agrimensura

6.  Agrimensura en el antiguo Egipto
Origen

7.  La agrimensura ha sido un elemento esencial en el
desarrollo del entorno humano, desde el comienzo de
la historia registrada (en el 5000 a. C.); es un requisito
en la planificación y ejecución de casi toda forma de
la construcción.
 A lo largo de la evolución de esta disciplina los
agrimensores se han servido de diversos instrumentos
específicos de su actividad. Entre ellos se destacó
durante siglos la escuadra de agrimensor, que
permitía establecer las dimensiones de diferentes
ángulos en varias direcciones.
 Sus aplicaciones, actuales, más conocidas son en el
área de transporte, edificación y construcción,
cartografía, y la definición de los límites legales de la
propiedad de terrenos.
Origen

8.  Las técnicas de la agrimensura se han
aplicado a lo largo de gran parte de nuestra
historia escrita.
 En el antiguo Egipto, cuando el Nilo
inundaba sus riberas y las granjas que se
encontraban sobre las mismas, se estableció
límites por simple geometría. La casi perfecta
cuadratura y orientación norte-sur de la Gran
Pirámide de Giza,
Origen
Construida en el 2700 a. C., confirma que los egipcios
dominaban la agrimensura.

9.  Históricamente, se midieron distancias de
múltiples formas; como unir los puntos con
cadenas de una longitud conocida, por
ejemplo, la cadena de Gunter o cintas de
acero. Con el fin de medir las distancias
horizontales.
 Los ángulos horizontales se midieron
utilizando una brújula, que proporcionan una
inclinación magnética que se podía medir.
Este tipo de instrumento posteriormente se
mejoró, (véase teodolito).
Técnicas

10.  El método más simple para medir alturas es
con un altímetro
(básicamente un barómetro); utilizando la
presión del aire como indicador de alturas.
Pero para la agrimensura se necesitaba mejorar
la precisión. Con este fin se han desarrollado
una multitud de variantes, tales como los
niveles exactos.
Técnicas

11.  A finales de los 1990s se utilizaban como
herramientas básicas, en la agrimensura
sobre el terreno, la cinta métrica para
medir las distancias más cortas o
diferencias de cotas;
 Un teodolito, fijado en un trípode, para
medir ángulos (horizontales y verticales),
en combinación con la triangulación.
 Un instrumento más moderno es la
estación total, que es un teodolito
electrónico con un dispositivo de medición
de distancia.
Técnicas

12.  Con el método de triangulación, lo primero
que se tiene que conocer es la distancia
horizontal al objeto.
 Entonces, la altura de un objeto puede ser
obtenida mediante la medición del ángulo
entre la horizontal y la línea que une un
punto a una distancia conocida y la parte
superior del objeto.
Técnicas

14. 1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol
pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
S
s
O
A’
A
B’
B
)
alidad
proporcion
de
razón
(
k
'
AA
'
BB
'
OA
'
OB


H
h
S
s


15. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
C
sen
C
B
B
A
C
B
B
A
BC
AB ˆ
"
"
"
'
'
'



C
g
B
A
C
A
B
A
C
A
AB
AC ˆ
cot
"
"
"
'
'
'



C
ec
B
A
C
B
B
A
C
B
AB
BC ˆ
cos
"
"
"
'
'
'



C
C
B
C
A
C
B
C
A
BC
AC ˆ
cos
"
"
'
'



C
tg
C
A
B
A
C
A
B
A
AC
AB ˆ
"
"
"
'
'
'



C
C
A
C
B
C
A
C
B
AC
BC ˆ
sec
"
"
'
'



Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
C
A”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :

16. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuesto
cateto
Ĉ
sen 

a
b
hipotenusa
adyacente
cateto
Ĉ
cos 

c
a
opuesto
cateto
hipotenusa
Ĉ
ec
cos 

b
a
adyacente
cateto
hipotenusa
Ĉ
sec 

b
c
adyacente
cateto
opuesto
cateto
Ĉ
tg 

c
b
opuesto
cateto
adyacente
cateto
Ĉ
g
cot 

Ĉ
cos
1
Ĉ
sec 
Ĉ
sen
1
Ĉ
ec
cos 
Ĉ
tg
1
Ĉ
g
cot 
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C

17. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
α
A
B
C
b
a
c
2
2
2
a
c
b 

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b


Expresándolo de otra forma:
1
a
c
a
b
2
2














    1
cos
sen
2
2




O lo que es lo mismo:
1
cos
sen 2
2




1
cos
sen 2
2




Que normalmente expresaremos
de la forma:

19. “ Cuando creíamos que
teníamos todas las respuestas,
de pronto, cambiaron todas las
preguntas ”
Mario Benedetti

20. Agrimensura como carrera
• Los principios básicos de la agrimensura han cambiado poco a lo largo de los
siglos, pero los instrumentos utilizados por los agrimensores han
evolucionado enormemente.
• La ingeniería, en especial la ingeniería civil, depende en gran medida de los
agrimensores. Siempre hay caminos, diques, muros de contención, puentes o
zonas residenciales para construir, donde los agrimensores están
involucrados.
• Determinan los límites de la propiedad privada y los límites de las distintas
de las divisiones políticas.
• También ofrecen asesoramiento y datos para los sistemas de información
geográfica (SIG), bases de datos informatizadas que contienen información
sobre las características y límites del terreno.
Los agrimensores deberán poseer un conocimiento minucioso de álgebra,
cálculo básico, geometría y trigonometría.
• También deben conocer las leyes que regulan los catastros, la propiedad y los
contratos.
• Además, deben ser capaces de utilizar los delicados instrumentos con
exactitud y precisión.

21. Instrumentos comunes

22. Problema practico
Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla,
digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar,
ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

23. • Replantear el instrumento en el punto A ("teodolito")
• Marque la dirección ("azimut") a la que apunta el
telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el
árbol y luego hacia el poste B,
• Mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la
diferencia entre los números que ha leído de la placa
de azimut.
• Replantear el instrumento en el punto A
("teodolito")y mida de la misma forma el ángulo B .
La longitud c de la base y los dos ángulos A y B son
todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC,
suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la
misma forma y mismo tamaño, en un sitio más
conveniente.
• La trigonometría (de trigón = triángulo) en un
principio fue el arte de calcular la información
perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente
información para definir un triángulo, la
trigonometría le permite calcular el resto de las
dimensiones y de ángulos.

24. Por qué triángulos???
Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura
rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro
polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas
radiando desde un ángulo hacia los otros.
VÉRTICES GEODÉSICOS

25. Para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada
ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de
latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen
sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un
adolescente).
Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá
(de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la
trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base
de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta
forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra la tierra al completo
con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una
red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con
estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que
se pueden basar los mapas o los planos.
Por que para topografía ???

27. • Las matemáticas son la base de análisis de la agrimensura y
la ingeniería.
• En este mundo cambiante, aquellos que entiendan y puedan
utilizar matemáticas, tendrán oportunidades y opciones
significativamente mejores para enfrentar su futuro. Las
matemáticas abren puertas hacia futuros productivos en el
campo de la ingeniería y la agrimensura. La falta de
conocimiento en matemáticas, mantiene esas puertas
cerradas (todos necesitamos las matemáticas).
En Síntesis

28. Grandes matemáticos
 En Julio de 2002 Aznar declaraba: "Primero, Bush coloca los pies
encima de la mesa, se vuelve hacia mí y me dice: yo corro 4 Km en 6
minutos y 45 segundos. Entonces, yo levanto mis pies, los pongo también
encima de la mesa, me giro y le contesto: pues yo hago 10 Km en 5
minutos y 20 segundos".
 Evidentemente se trataba de una fanfarronada, tanto política
como aritmética.
 Una rápida cuenta nos permite calcular que la velocidad de Bush
debía ser por tanto de 35.5 Km/h, esto es más o menos lo mismo
que correr 100 metros en 10 segundos, ¡¡pero manteniendo esa
velocidad los 4 Km!!. La velocidad y potencia de Bush nos dejan
impresionados, pero cuando calculamos la velocidad de la carrera
de Aznar, obtenemos 112.5 Km/h, ¡increíble! corre a la velocidad
límite de un leopardo, el animal terrestre más veloz del mundo.

29. PREGUNTAS ????