Este documento explica el método de inducción matemática, el cual consiste en dos pasos: 1) Demostrar que una propiedad es cierta para el número 1. 2) Suponer que la propiedad es cierta para un número n y demostrar que también es cierta para n+1. Esto demuestra que la propiedad es cierta para todos los números naturales. El documento también discute el historial de la inducción matemática y cómo se usa para probar teoremas en matemáticas.
Este documento introduce los números naturales y sus propiedades fundamentales. Comienza definiendo los números naturales como el conjunto N que satisface los axiomas de Peano, incluyendo el principio de inducción. Luego describe las propiedades básicas de la suma y el producto de números naturales, así como el orden definido en N. Finalmente, explica cómo usar el principio de inducción para demostrar propiedades de los números naturales y cómo definir sucesiones de forma recursiva haciendo referencia a términos anteriores.
Este documento presenta una introducción al concepto de inducción matemática. Explica que la inducción matemática es un método de demostración utilizado para probar que ciertas propiedades son verdaderas para todos los números naturales. Describe los dos pasos clave de la inducción matemática: 1) establecer que la propiedad es verdadera para el número natural 1 (la base), y 2) demostrar que si la propiedad es verdadera para un número natural n, también lo es para n+1 (el paso inductivo). Además, incluye ejemplos de
1. Se describe los números naturales, enteros, racionales y reales, incluyendo sus propiedades bajo las operaciones de suma y multiplicación. 2. Se introduce el principio de inducción para los números naturales y una variante más débil para los enteros. 3. Se explica que los números reales forman un cuerpo completo que permite representar cantidades como la raíz cuadrada de 2, que no tienen representación en los racionales.
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
El documento describe tres tipos de conjuntos: conjuntos finitos, numerables e innnumerables. Explica que un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos o es vacío, e infinito de lo contrario. Un conjunto es numerable si sus elementos pueden enumerarse en una correspondencia uno a uno con los números naturales. Los conjuntos subconjuntos de un conjunto numerable y uniones de conjuntos numerables también son numerables. No todos los conjuntos infinitos son numerables.
Este documento trata sobre los números naturales y sistemas de numeración. Introduce los números naturales y los axiomas de Peano para definirlos formalmente. Explica conceptos como la recursividad, operaciones binarias como la suma y la multiplicación, y diferentes sistemas de numeración históricos y actuales como el sistema decimal.
El documento define el número irracional e de varias formas. Primero, e se define como el número para el cual el límite de (eh - 1)/h cuando h tiende a cero es igual a 1. Luego, se demuestra que e puede calcularse como el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito. Finalmente, e también se define como la suma desde k=0 hasta n de xk/k!, cuando n tiende a infinito.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica de predicados, incluyendo: (1) el razonamiento lógico y las reglas de deducción, (2) la noción de lenguaje lógico, (3) ejemplos de deducción formal, y (4) las principales reglas de deducción como la especificación, generalización e igualdad. El documento ilustra estos conceptos a través de varios ejemplos formales.
Este documento introduce los números naturales y sus propiedades fundamentales. Comienza definiendo los números naturales como el conjunto N que satisface los axiomas de Peano, incluyendo el principio de inducción. Luego describe las propiedades básicas de la suma y el producto de números naturales, así como el orden definido en N. Finalmente, explica cómo usar el principio de inducción para demostrar propiedades de los números naturales y cómo definir sucesiones de forma recursiva haciendo referencia a términos anteriores.
Este documento presenta una introducción al concepto de inducción matemática. Explica que la inducción matemática es un método de demostración utilizado para probar que ciertas propiedades son verdaderas para todos los números naturales. Describe los dos pasos clave de la inducción matemática: 1) establecer que la propiedad es verdadera para el número natural 1 (la base), y 2) demostrar que si la propiedad es verdadera para un número natural n, también lo es para n+1 (el paso inductivo). Además, incluye ejemplos de
1. Se describe los números naturales, enteros, racionales y reales, incluyendo sus propiedades bajo las operaciones de suma y multiplicación. 2. Se introduce el principio de inducción para los números naturales y una variante más débil para los enteros. 3. Se explica que los números reales forman un cuerpo completo que permite representar cantidades como la raíz cuadrada de 2, que no tienen representación en los racionales.
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
El documento describe tres tipos de conjuntos: conjuntos finitos, numerables e innnumerables. Explica que un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos o es vacío, e infinito de lo contrario. Un conjunto es numerable si sus elementos pueden enumerarse en una correspondencia uno a uno con los números naturales. Los conjuntos subconjuntos de un conjunto numerable y uniones de conjuntos numerables también son numerables. No todos los conjuntos infinitos son numerables.
Este documento trata sobre los números naturales y sistemas de numeración. Introduce los números naturales y los axiomas de Peano para definirlos formalmente. Explica conceptos como la recursividad, operaciones binarias como la suma y la multiplicación, y diferentes sistemas de numeración históricos y actuales como el sistema decimal.
El documento define el número irracional e de varias formas. Primero, e se define como el número para el cual el límite de (eh - 1)/h cuando h tiende a cero es igual a 1. Luego, se demuestra que e puede calcularse como el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito. Finalmente, e también se define como la suma desde k=0 hasta n de xk/k!, cuando n tiende a infinito.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica de predicados, incluyendo: (1) el razonamiento lógico y las reglas de deducción, (2) la noción de lenguaje lógico, (3) ejemplos de deducción formal, y (4) las principales reglas de deducción como la especificación, generalización e igualdad. El documento ilustra estos conceptos a través de varios ejemplos formales.
El documento describe la lógica de predicados, que extiende la lógica proposicional para incluir cuantificadores y funciones proposicionales. Se define un lenguaje de primer orden y se especifican las reglas para formar fórmulas bien formadas. Finalmente, se describen las reglas de inferencia como generalizaciones de las reglas proposicionales.
Este documento discute las sucesiones monótonas y acotadas. Primero, demuestra que toda sucesión monótona y acotada es convergente y puede calcularse su límite como el supremo o ínfimo de la sucesión, dependiendo de si es creciente o decreciente. Luego, presenta el Teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada admite una sucesión parcial convergente. Finalmente, introduce las sucesiones de Cauchy y demuestra que son convergentes, dando un criter
El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Define formalmente un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una indeterminada. Explica que los polinomios forman un anillo y que pueden evaluarse sustituyendo valores por la indeterminada. Finalmente, describe cómo se realizan las operaciones de suma y resta de polinomios agregando o restando los términos de igual potencia.
Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.
1) El documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostraciones directas, indirectas por contraposición y reducción al absurdo. 2) Se provee un ejemplo de cada método utilizando teoremas sencillos como "la suma de dos números pares es par". 3) También se define el silogismo como un tipo de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión que comparten términos.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
1. El documento describe diferentes sistemas numéricos como números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2. Explica cómo convertir números racionales expresados como decimales finitos o periódicos a fracciones.
3. Demuestra que √2 es irracional mostrando que no puede expresarse como fracción de enteros.
El documento explica los pasos para construir tablas de verdad lógicas. Primero define qué es una fórmula bien formada y los valores de verdad de los operadores lógicos. Luego, explica cómo hallar el espacio lógico de una fórmula contando sus variables. Finalmente, detalla las reglas para construir la tabla aplicando sucesivamente los valores de verdad de cada operador desde el interior de la fórmula hacia fuera.
Este documento presenta una introducción a varios algoritmos de ordenamiento comunes como el método de la burbuja, inserción, selección, intercalación y ordenamiento rápido. Explica brevemente cómo funciona cada algoritmo y analiza su complejidad computacional, encontrando que el método de la burbuja y selección son O(n2) mientras que la intercalación y ordenamiento rápido son O(n log n) en promedio.
El documento trata sobre las series de Taylor. Explica que Brook Taylor fue un matemático británico que descubrió la famosa fórmula conocida como fórmula de Taylor. La fórmula de Taylor permite aproximar una función mediante un polinomio y ha sido una herramienta útil en análisis matemático. Finalmente, se discuten algunos resultados teóricos importantes relacionados con la convergencia de los polinomios de Taylor y sus aplicaciones.
El documento presenta diferentes métodos para probar la validez de argumentos, incluyendo leyes de inferencia como modus ponens, modus tollens y silogismo hipotético. Explica cada método a través de su definición lógica, ejemplos y tablas de verdad. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos métodos y determinar si diferentes argumentos son válidos o no.
Este documento trata sobre lógica proposicional, teoremas y demostraciones. Introduce conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica las tablas de verdad de los conectivos lógicos y y, o, no, implica y bicondicional. También cubre definiciones, equivalencia lógica y las leyes de Morgan.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo reglas de inferencia lógica como modus ponens, adición, simplificación y silogismos. Explica cómo usar estas reglas para determinar si un argumento es válido, y provee ejemplos de su aplicación.
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
Este documento presenta una introducción a la lógica formal. Explica que la lógica formal proporciona sistemas formales para deducir conclusiones válidas a partir de axiomas. Resume brevemente la historia de la lógica, desde Aristóteles hasta desarrollos modernos como lógicas especializadas. Introduce conceptos clave como fórmulas proposicionales, tablas de verdad, interpretaciones, tautologías, consecuencias lógicas y satisfacibilidad.
El documento define los límites infinitos y límites en el infinito de funciones. Explica que un límite infinito ocurre cuando una función puede tomar valores arbitrariamente grandes o pequeños al acercarse a un punto. También define límites cuando la variable independiente tiende al infinito, e introduce conceptos como indeterminaciones y funciones que tienden al infinito.
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento explica los conceptos de demostración matemática, razonamiento válido y diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta y por reducción al absurdo. Define una demostración matemática como establecer la verdad de una proposición a partir de otras proposiciones verdaderas usando reglas lógicas. Explica cómo analizar la validez de un razonamiento y provee ejemplos para ilustrar los diferentes métodos de demostración.
Este documento explica el principio de inducción matemática y cómo se puede aplicar para probar proposiciones sobre números enteros y estructuras definidas recursivamente. Explica que la inducción consta de dos pasos: 1) demostrar que la proposición es cierta para el primer caso, y 2) demostrar que si es cierta para un número n, también lo es para n+1. Luego detalla formas más generales de inducción, inducciones estructurales y mutuas.
El documento describe diferentes métodos de demostración matemática como el deductivo, inductivo y reducción al absurdo. El método deductivo parte de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos. El método inductivo demuestra propiedades para números naturales mediante un paso básico, inductivo y conclusión. El método de reducción al absurdo supone que una proposición es falsa y muestra que esto lleva a una contradicción, por lo que la proposición debe ser cierta.
El documento describe la lógica de predicados, que extiende la lógica proposicional para incluir cuantificadores y funciones proposicionales. Se define un lenguaje de primer orden y se especifican las reglas para formar fórmulas bien formadas. Finalmente, se describen las reglas de inferencia como generalizaciones de las reglas proposicionales.
Este documento discute las sucesiones monótonas y acotadas. Primero, demuestra que toda sucesión monótona y acotada es convergente y puede calcularse su límite como el supremo o ínfimo de la sucesión, dependiendo de si es creciente o decreciente. Luego, presenta el Teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada admite una sucesión parcial convergente. Finalmente, introduce las sucesiones de Cauchy y demuestra que son convergentes, dando un criter
El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Define formalmente un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una indeterminada. Explica que los polinomios forman un anillo y que pueden evaluarse sustituyendo valores por la indeterminada. Finalmente, describe cómo se realizan las operaciones de suma y resta de polinomios agregando o restando los términos de igual potencia.
Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.
1) El documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostraciones directas, indirectas por contraposición y reducción al absurdo. 2) Se provee un ejemplo de cada método utilizando teoremas sencillos como "la suma de dos números pares es par". 3) También se define el silogismo como un tipo de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión que comparten términos.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
1. El documento describe diferentes sistemas numéricos como números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2. Explica cómo convertir números racionales expresados como decimales finitos o periódicos a fracciones.
3. Demuestra que √2 es irracional mostrando que no puede expresarse como fracción de enteros.
El documento explica los pasos para construir tablas de verdad lógicas. Primero define qué es una fórmula bien formada y los valores de verdad de los operadores lógicos. Luego, explica cómo hallar el espacio lógico de una fórmula contando sus variables. Finalmente, detalla las reglas para construir la tabla aplicando sucesivamente los valores de verdad de cada operador desde el interior de la fórmula hacia fuera.
Este documento presenta una introducción a varios algoritmos de ordenamiento comunes como el método de la burbuja, inserción, selección, intercalación y ordenamiento rápido. Explica brevemente cómo funciona cada algoritmo y analiza su complejidad computacional, encontrando que el método de la burbuja y selección son O(n2) mientras que la intercalación y ordenamiento rápido son O(n log n) en promedio.
El documento trata sobre las series de Taylor. Explica que Brook Taylor fue un matemático británico que descubrió la famosa fórmula conocida como fórmula de Taylor. La fórmula de Taylor permite aproximar una función mediante un polinomio y ha sido una herramienta útil en análisis matemático. Finalmente, se discuten algunos resultados teóricos importantes relacionados con la convergencia de los polinomios de Taylor y sus aplicaciones.
El documento presenta diferentes métodos para probar la validez de argumentos, incluyendo leyes de inferencia como modus ponens, modus tollens y silogismo hipotético. Explica cada método a través de su definición lógica, ejemplos y tablas de verdad. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos métodos y determinar si diferentes argumentos son válidos o no.
Este documento trata sobre lógica proposicional, teoremas y demostraciones. Introduce conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica las tablas de verdad de los conectivos lógicos y y, o, no, implica y bicondicional. También cubre definiciones, equivalencia lógica y las leyes de Morgan.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo reglas de inferencia lógica como modus ponens, adición, simplificación y silogismos. Explica cómo usar estas reglas para determinar si un argumento es válido, y provee ejemplos de su aplicación.
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
Este documento presenta una introducción a la lógica formal. Explica que la lógica formal proporciona sistemas formales para deducir conclusiones válidas a partir de axiomas. Resume brevemente la historia de la lógica, desde Aristóteles hasta desarrollos modernos como lógicas especializadas. Introduce conceptos clave como fórmulas proposicionales, tablas de verdad, interpretaciones, tautologías, consecuencias lógicas y satisfacibilidad.
El documento define los límites infinitos y límites en el infinito de funciones. Explica que un límite infinito ocurre cuando una función puede tomar valores arbitrariamente grandes o pequeños al acercarse a un punto. También define límites cuando la variable independiente tiende al infinito, e introduce conceptos como indeterminaciones y funciones que tienden al infinito.
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento explica los conceptos de demostración matemática, razonamiento válido y diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta y por reducción al absurdo. Define una demostración matemática como establecer la verdad de una proposición a partir de otras proposiciones verdaderas usando reglas lógicas. Explica cómo analizar la validez de un razonamiento y provee ejemplos para ilustrar los diferentes métodos de demostración.
Este documento explica el principio de inducción matemática y cómo se puede aplicar para probar proposiciones sobre números enteros y estructuras definidas recursivamente. Explica que la inducción consta de dos pasos: 1) demostrar que la proposición es cierta para el primer caso, y 2) demostrar que si es cierta para un número n, también lo es para n+1. Luego detalla formas más generales de inducción, inducciones estructurales y mutuas.
El documento describe diferentes métodos de demostración matemática como el deductivo, inductivo y reducción al absurdo. El método deductivo parte de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos. El método inductivo demuestra propiedades para números naturales mediante un paso básico, inductivo y conclusión. El método de reducción al absurdo supone que una proposición es falsa y muestra que esto lleva a una contradicción, por lo que la proposición debe ser cierta.
Este documento trata sobre los números naturales. Explica que los números naturales fueron descubiertos en Mesopotamia alrededor del año 4000 a.C. y que Richard Dedekind colocó al conjunto de los números naturales sobre una base sólida en el siglo XIX. También describe que los números naturales se usan para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada y para especificar el tamaño de un conjunto finito.
Este documento define y explica los números naturales de varias maneras: 1) como los números usados para contar objetos, 2) formalmente como conjuntos inductivos definidos axiomáticamente, y 3) históricamente desde su origen en la antigua Mesopotamia hasta definiciones modernas. También describe operaciones básicas como suma, multiplicación y resta, así como propiedades de los números naturales.
Este documento define los números naturales y describe su historia, propiedades y construcciones formales. Explica que los números naturales se usan para contar objetos y pueden definirse con o sin incluir el cero. También describe las propiedades de la suma y multiplicación de números naturales y cómo se han construido formalmente los naturales usando los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática como el método deductivo, el método directo, el método inductivo y el método de reducción al absurdo. Explica que el método deductivo parte de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos, mientras que el método directo demuestra proposiciones condicionales verificando que si se cumple la premisa también se cumple la conclusión. El método inductivo y de reducción al absurdo también se usan para probar teoremas matemáticos
Este documento proporciona información sobre los números naturales. Brevemente:
1) Los números naturales son los números usados para contar objetos y pueden incluir o no incluir el cero.
2) Históricamente, los primeros sistemas de numeración surgieron en Mesopotamia hace unos 4,000 años y luego se adoptaron en Grecia y Roma.
3) Hoy en día, los números naturales se definen formalmente en teoría de conjuntos como conjuntos inductivos, lo que garantiza su existencia y propiedades como la inducción matemática.
La inducción matemática es un método de razonamiento que permite demostrar que una proposición es cierta para cualquier número natural n. Se demuestra primero que la proposición es cierta para n=0, luego se demuestra que si es cierta para n también lo es para n+1, concluyendo así que es cierta para todo número natural n. Como ejemplo, se demuestra mediante inducción que para todo n, el número 6n acaba en 6.
Usamos la clásica prueba de que
p
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica)
y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.
Este documento presenta información sobre estructuras lógicas discretas. Explica conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, leyes del álgebra proposicional y su aplicación en matemáticas e ingeniería. También describe métodos de demostración como directa, indirecta, por reducción al absurdo y por contraposición y cómo representar expresiones lógicas mediante circuitos.
Este documento describe varias formalizaciones de los números naturales, incluyendo las axiomatizaciones de Peano, Lawvere y Peirce. La axiomatización más conocida es la de Peano de 1889, que presentó los primeros símbolos para pertenencia, existencia, contenencia e igualdad, y cinco axiomas fundamentales sobre los números naturales y sucesión. Lawvere luego tradujo los axiomas de Peano al lenguaje categórico. La axiomatización de Peirce también define un conjunto de números y una relación de orden, y establece ax
1. El documento presenta una introducción a la teoría de números, incluyendo principios como el buen orden, inducción y palomar. Explica ejemplos de cómo aplicar estos principios para resolver problemas aritméticos. También incluye ejercicios propuestos para practicar estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos sobre los números naturales. Define el conjunto de los números naturales N como {1, 2, 3, ...} y explica las operaciones de suma y multiplicación en este conjunto. Luego, introduce el principio de inducción matemática como una herramienta para probar propiedades sobre los números naturales. Finalmente, presenta los axiomas de Peano, que definen formalmente los números naturales en términos de la noción de sucesor de un número.
El documento describe dos métodos para calcular potencias de matrices: la inducción matemática y el binomio de Newton. La inducción matemática implica demostrar que la fórmula es cierta para n=1 y luego asumir que es cierta para n para demostrar que también es cierta para n+1. El binomio de Newton se deduce desarrollando las potencias de un binomio para obtener la fórmula general que permite elevar una matriz a cualquier exponente natural descomponiéndola en sumas de matrices.
El documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo métodos deductivos, inductivos y reducción al absurdo. Explica que el método deductivo parte de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos. El método inductivo se usa para demostrar propiedades verdaderas para números naturales infinitos mediante pasos básicos, inductivos y de conclusión. El método de reducción al absurdo supone que una proposición es falsa y muestra que esto lleva a una contradicción, por lo que la
Este documento describe varios métodos de demostración matemática, incluyendo métodos deductivos, directos, inductivos y reducción al absurdo. Explica cada método con ejemplos y pasos a seguir para aplicarlos correctamente en demostraciones matemáticas formales.
El documento explica el concepto de inducción matemática a través de tres ejemplos. Primero, define la inducción como un proceso que permite generalizar de casos particulares a una ley general. Luego, demuestra por inducción que la suma de los primeros n números naturales es igual a la mitad del producto del último número por su siguiente. Finalmente, demuestra que la suma de los primeros n números impares es igual al cuadrado del último número impar considerado.
El documento explica los conceptos fundamentales de una demostración matemática, incluyendo las reglas de inferencia y los diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta, por contradicción y por casos disyuntivos. Además, provee un ejemplo detallado de una demostración directa para ilustrar los pasos involucrados.
El documento explica los diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, demostración indirecta por contraposición y reducción al absurdo. También describe las estructuras básicas de una demostración matemática y provee ejemplos para ilustrar cada método.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
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conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. Introducción a la informática 1
Inducción matemática
Mathematical induction
Manuela López Cardona
Ingeniería de sistemas, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia
Correo-e: manulc1199@gmail.com
Resumen— La inducción matemática es un método de
demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se
trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...)
cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos: Primero, se
demuestra que el 1 cumple la propiedad A continuación, se supone
que la propiedad es verdadera para un cierto número n
(arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.
Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para
todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas
de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha
(el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer
la siguiente(sies cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso).
La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y
si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo,
entonces todos los números lo cumplen.
Palabras clave— demostración, inducción, Matemáticas,
propiedades,
Abstract— Mathematical induction is a method of demonstration
that is usually very useful in problems in which it is tried to prove
that all natural numbers (1, 2, 3 ...) fulfill a certain property: it
consists of two steps: First, Proves that the 1 holds the property
Then the property is assumed to be true for a certain number n
(arbitrary) and is shown for the next number, n + 1.
If this is achieved, this demonstrates the property we wanted for
all natural numbers, similar to domino rows when they fall: we
have shown that the first chip (1st) falls (first step), and that if a
chip falls Tab should also drop the next (if true for n, should be
for n + 1, second step). The idea of induction is very clear: if a
number fulfills something, and if when one number fulfills it the
next one has to fulfill it, then all the numbers fulfill it.
Keywords - demonstration, induction, mathematics, properties,
I. INTRODUCCIÓN
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite
demostrar proposiciones que dependen de una variable n, que
toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la
inducción matemática consiste en elsiguiente razonamiento: El
número entero a, tiene la propiedad P, El hecho de que
cualquier número entero n, también tenga la propiedad P,
implica que n+1 también la tiene. Entonces todos los números
enteros a partir de a, tienen la propiedad P
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una
infinidad de proposiciones o una proposición que depende de
un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente
en el conjunto de los números naturales N
II. CONTENIDO
A. Historia
En el Parmenides, de Platón del 370 a.C, quizá se puede
identificar un temprano ejemplo de una explicación implícita
de prueba inductiva. La más antigua huella de la inducción
matemática se puede encontrar en la demostración de Euclides
en el s. iii a. C. sobre la infinitud de los números primos y en la
de Bhaskara I usando su «método cíclico».
Una técnica reversa, contando regresivamente en lugar de
ascendentemente,se puede encontrar en la paradoja sorites,en
donde se argumenta que si1 000 000 de granos de arena forman
un montón y removiendo un grano del montón a la vez, este
sigue siendo un montón, entonces,hasta un solo grano (incluso
ningún grano de arena) formaría un montón.
Una demostración implícita de la inducción matemática para
secuencias aritméticas fue introducida porAl-Karaji en su obra
Al-Fakhri escrita alrededor de 1000 d. C., usado para probar el
teorema del binomio y las propiedades del triángulo de Pascal.
Ninguno de estos antiguos matemáticos explicitó la hipótesis
inductiva. Otro caso similar fue el de Francesco Maurlico en su
Arithmeticorom libri duo (1575), que usó la técnica para probar
que la suma de los n primeros enteros impares es igual a n al
cuadrado.
La primera formulación explícita sobre el principio de
inducción fue establecida por el filósofo y matemático Blaise
Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).2 Otro
francés, Fermat, hace amplio uso de un principio relacionado
para una demostración indirecta del descenso infinito. La
2. Introducción a la informática2
hipótesis inductiva fue también empleada por el suizo Jakob
Bernoulli y a partir de entonces fue más conocida.
El tratamiento de carácter riguroso y sistemático llega solo en
el siglo xix con George Boole, Augustus De Morgan, Charles
Sanders Peirce, Giuseppe Peano y Richard Dedekind.
B. Demostraciones por inducción.
Llamemos P_n, a la proposición, donde n, es el rango.
Base: Se demuestra que P_1, es cierta, esto es el primer valor
que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
Paso inductivo: Se demuestra que, si P_n es cierta, esto es,
como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1} lo es también, y
esto sin condición sobre el entero natural n, (relación de
inducción. Indicado como n => n+1.
Luego, demostrado esto,concluimos por inducción, que Pn, es
cierto para todo natural
La inducción puede empezar por otro término que no sea P_1,
digamos por P_n_0. Entonces P_n será válido a partir del
número n_0 es decir, para todo natural n > n_0
C. La propiedad del buen orden.
La validez de la inducción matemática está basada en el
principio de buena ordenación de los conjuntos de números
enteros no negativos.
Todo conjunto de enteros no negativos tiene un elemento
mínimo.
A menudo se utiliza esta propiedad directamente en las
demostraciones. 3
Sabemos que el Principio de Inducción (PI) es equivalente al
Principio del Buen Orden (BO). Así, toda proposición que
puede ser demostrada con PI puede ser demostrada con BO y
viceversa. Sin embargo, puede serque la demostración con BO
sea más elaborada que una demostración con inducción;
o viceversa. Es la práctica la que nos ayudara a identificar que
demostración es más adecuada.
D. Los conjuntos inductivos
En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el
Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-
G-Q) se establece el Axioma de Infinitud
“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de
clases tales que contener un elemento implica contener a su
elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, como no vacía.
Los números naturales pueden serintroducidos con un conjunto
N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se
introduce el concepto de número ordinal y se prueba que
cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932)
introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema
consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de
Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que
permiten, pues,estructurar algébricamente el conjunto N. Así,
puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica
las siguientes condiciones axiomáticas:
1) Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y
designaremos por 0.
2) Existe una aplicación llamada aplicación siguiente que
aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado
sucesor o siguiente de n.
3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.
4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor,o sea,
la aplicación Siguiente es inyectiva.
5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que
contenga al cero, y que el sucesorde cualquier elemento de N’
está en N’, coincide con N. (Axioma de la Inducción
Completa).
E. Los números naturales
Para cada número natural n, existe un sucesor s(n)
Para demostrar que todos los elementos del dominio tienen una
propiedad P, se demuestra que el 0 (cero) tiene la propiedad P
y después se demuestra que si n tiene la propiedad P, entonces
s(n) también tiene la propiedad P.
Esto permite concluir que P es cierta para todos los elementos
de un dominio
F. Los axiomas del penao
• Introducidos por Giuseppe Peano en 1889
• Describen la forma de trabajar con los números naturales
Axioma 1: El 0 (cero) es un número natural
Axioma 2: Si n es un número natural, entonces también lo es
s(n)
Axioma 3: Para todo n, s(n) ≠ 0
Axioma 4: Si s(n) = s(m) entonces n = m
Axioma 5: ∀ m (m + 0 = m)
Axioma 6: ∀ m ∀ n (m + s(n) = s(m+n))
Axioma 7: ∀ n(n X 0 = 0)
Axioma 8: ∀ m∀ n(m X s(n) = mXn + m)
G. Web grafía
3. Introducción a la informática 3
https://es.slideshare.net/temi60/induccion-matematica
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3
%A1tica#Historia
http://ende.cc/agujero/juegos/induccion.html
http://induccionmatematica.galeon.com/
http://www.itnuevolaredo.edu.mx/takeyas/apuntes/Matematic
as%20para%20Computacion/Apuntes/Induccion%20matemati
ca.pdf
III. CONCLUSIONES
El principio de Inducción Matemática es un método que se
utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y
probar que son verdaderas.
Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales
en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su
incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan
en el contenido del presente trabajo de investigación.