1. El documento presenta una introducción a la teoría de números, incluyendo principios como el buen orden, inducción y palomar. Explica ejemplos de cómo aplicar estos principios para resolver problemas aritméticos. También incluye ejercicios propuestos para practicar estos conceptos.

1. Academia Sabatina Jóvenes Talentos
Encuentro #1
Curso: Teoría de Números.
Grupo: Tercer nivel.
Fecha: 28 de marzo del 2015.
Instructores: Rolando Vega y René Martínez.
Introducción:
1La Teoría de Números o Aritmética es la rama de la matemática que
estudia todo lo relacionado con los números, en particular los enteros, así como
diversos problemas derivados de su estudio. El hecho de que estos números se
estudien desde los primeros años de la enseñanza escolar podría hacer pensar
que se trata de un tema elemental y sin misterios. Pero no es así, por el contrario,
la Aritmética encierra algunos de los problemas más difíciles de la matemática,
algunos de los cuales permanecen o han permanecido sin resolver durante siglos.
En la teoría de números avanzada se utilizan toda clase de herramientas
matemáticas, como por ejemplo la teoría de funciones de variable compleja. Sin
embargo, aun limitándonos a las nociones más básicas y elementales, es posible
generar una gama inagotable de problemas de todos los grados de dificultad
posibles. Esta es la razón por la cual la Teoría de Números es uno de los temas
infaltables y favoritos en todas las olimpiadas matemáticas.
Principio de buena ordenación:
2Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elemento mínimo, es
decir, dado 𝑆 ⊆ ℕ no vacío, existe un elemento m en 𝑆 talque 𝑚 ≤ 𝑛 para toda 𝑛 ∈
𝑆.
Propiedades:
(1) Todos los números naturales son mayores o iguales que 1. Es decir, 𝑚𝑖𝑛ℕ = 1.
(2) Dados 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, se tiene que 𝑚 > 𝑛 si y solo si existe 𝑝 ∈ ℕ tal que 𝑚 = 𝑛 + 𝑝,
lo que abreviamos poniendo 〈〈𝑚 − 𝑛 ∈ ℕ〉〉.
1. a) ¿Qué es la teoría de números? b) ¿Cuál es la razón por la cual la teoría de
números es una de las materias favoritas en las olimpiadas de matemáticas?
2. Explique el principio del buen orden.

2. (3) Dados 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, no puede verificarse 𝑛 < 𝑚 < 𝑛 + 1. En palabras, entre dos
números naturales consecutivos no hay ningún número natural.
– Ejemplos:
a) Probar que no puede haber un número entero entre 0 y 1.
Solución: Asumimos lo contrario, que si existe un conjunto ℘ no
vacío de números enteros en el intervalo]0; 1[. Siendo un conjunto de
enteros positivos, este contiene un elemento menor, digamos m. Ahora
según lo anterior se tendría que 0 < 𝑚2
< 𝑚 < 1, pero claramente 𝑚2
∈ ℘
luego m no sería el mínimo lo que es una contradicción y por tanto ℘ = ∅
b) Determinar si ℚ+
= {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 > 0} está bien ordenado.
Solución: Pues bien, ℚ+
no está bien ordenado; En efecto, si lo
estuviese entonces existiría 𝑞 ∈ ℚ+
talque q es el mínimo de ℚ+
, pero 0 <
𝑞
2
< 𝑞 y
𝑞
2
∈ ℚ+
, luego q no sería el mínimo y de la contradicción se sigue
que ℚ+
no está bien ordenado.
Principio de inducción:
3Para cada número natural n sea 𝑃𝑛 una proposición que puede ser cierta o
falsa, de tal manera que:
 𝑃1 es cierta y
 Para cada 𝑛 ∈ ℕ, suponiendo que 𝑃𝑛 también es cierta (hipótesis de
inducción)
 A partir de la hipótesis de inducción, se puede demostrar que 𝑃𝑛+1 es cierta.
Entonces se cumple que: 𝑃𝑛 es cierta para todo 𝑛 ∈ ℕ.
– Ejemplo:
4Demostrar que, para cualquier numero natural n, 22𝑛
+ 15𝑛 − 1 es divisible por 9.
Solución: Para cada número natural n, tomamos
𝑃𝑛 ∷ 22𝑛
+ 15𝑛 − 1 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 9
3. Explique el principio de inducción.
4. Identifique la hipótesis de inducción

3. Para n=1: 22
+ 15 − 1 = 18 = 9 ∙ 2 (𝑃𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎)
Dado un numero natural n arbitrario, supongamos cierta la propiedad para n, de
modo que exista un 𝑘 ∈ ℕ tal que 22𝑛
+ 15𝑛 − 1 = 9𝑘.
Pasando a n+1: 22(𝑛+)
+ 15(𝑛 + 1) − 1 = 4 ∙ 22𝑛
+ 15𝑛 + 14 = 4(9𝑘 − 15𝑛 + 1) + 15𝑛 +
14 = 9(4𝑘 − 5𝑛 + 2)
Es decir 𝑃𝑛+1 también es cierta, lo que nos permite concluir que 𝑃𝑛 es verdadero
para todo 𝑛 ∈ ℕ.
Principio de inducción fuerte:
5A veces, la ayuda que proporciona suponer cierta 𝑃𝑛 para demostrar
𝑃𝑛+1 ; es insuficiente y se necesita modificar el principio de inducción para usar
como hipótesis de inducción que son ciertas todas las proposiciones 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 , y
deducir de ellas 𝑃𝑛+1 , a partir de estas. Este resultado se denomina principio de
inducción fuerte.
– Ejemplo:
6Probar que para todo número natural 𝑛 ≥ 2existe un número primo P que divide a
n.
Solución: Con el principio de inducción utilizado hasta ahora, un intento razonable
sería tomar
𝑃𝑛 ∷ ∀ 𝑛 ≥ 2, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑃 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑛.
Trivialmente, 𝑃2 es cierta. Pero si para una n es cierta 𝑃𝑛 , ¿Debería ser cierta
𝑃𝑛+1 ? ¿De qué sirve que n+1 sea divisible por un primo P, si eso no implica que P
divida a n+1, ni que ningún número primo ligado con P divida a n+1?
Sin embargo, pasemos al principio de inducción fuerte: ahora, partimos de una n
talque no solo es cierta 𝑃𝑛 , sino también 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑦 𝑃𝑘 para cualquier 𝑘 ≤ 𝑛.
Entonces:
-Si n+1 es primo, basta tomar 𝑝 = 𝑛 + 1 para ver que 𝑃𝑛+1 es cierta;
-Y si n+1 no es primo, tendrá un divisor positivo k distinto de 1 y de n+1; pero los
divisores de un numero son menores o iguales que dicho numero; así pues, 𝑘 <
𝑛 + 1.
5. Explique el principio de inducción fuerte. ………6.
6. ¿Explique porque era insuficiente utilizar el principio débil de inducción?

4. En consecuencia, 𝑃𝑘 es cierta, por nuestra hipótesis de inducción. Y como 𝑘 ≠ 1,
esto significa que k admite un divisor primo P, que a su vez será divisor de n+1;
por tanto 𝑃𝑛+1 es igualmente cierta en este caso. Concluimos que 𝑃𝑛 es cierta
para todo 𝑛 ≥ 2.
Principio de palomar:
7El principio de palomar establece, que si n+1 palomas vuelan a n palomares,
habrá un palomar que deberá contener exactamente 2 palomas. Este principio
aparentemente trivial, pero en realidad es muy poderoso y utilizado.
– Ejemplo:
Sea A un subconjunto de 20 enteros tomados de la progresión aritmética
1,4,…,100. Pruebe que siempre hay almenos 2 elementos distintos en A cuya
suma es 104.
Solución: Podemos determinar fácilmente que esta progresión contiene 34
elementos, los cuales dividiéndolo en los 19 siguientes grupos {1}, {52}, {4,100},
{7,97},…, {49,55}. Ahora bien, como necesitamos tomar 20 enteros que serán
tomados de los 19 subconjuntos de arriba y dado a que deben ser distintos, por el
principio de palomar habrá al menos 2 elementos que pertenecen al mismo grupo
cuya suma es 104. Esto termina la prueba.
– Ejercicios:
 Pruebe que √2 es irracional.
 Encuentre todas las soluciones enteras de 𝑎3
+ 2𝑏3
= 4𝑐3
.
 Sea S un entero positivo, pruebe que en el intervalo [s, 2s], siempre existe
una potencia de 2.
 Pruebe que si n es un numero natural, entonces 1.2 + 2.5 … + 𝑛(3𝑛 − 1) =
𝑛2
(𝑛 + 1)
 Hank coloco una clave de cuatro dígitos a su maleta. Escribió la lista: 7032,
5413, 2730, 4985, 4071, 6325, 9417, 6319, 2694, con la condición de que
en cada uno y solo un digito que ocupa la misma posición del número clave.
¿Cuál es la clave de la maleta de Hank? (Hint: Principio de casillas).
 Si 𝑛 ≥ 5, entonces 2 𝑛
> 5𝑛.
 Demostrar que para todo número natural n, se cumple que 19 divide a:
22 𝑛
+ 32 𝑛
+ 52 𝑛
.
7. Explique el principio del palomar.

5. ¿Lograste comprender lo que aprendiste?
Razona y contesta:
1. ¿Si tienes 400 personas en una habitación, habrá alguna que
cumpla año el mismo día que otra?
2. En una fila de fichas de Domino un jugador deja caer la primera ficha
de manera que este derriba la segunda y a su vez está la tercera y
así sucesivamente hasta derribar la última ficha. ¿Qué principio se
aplica en este procedimiento?
3. Al levantarme cierta mañana, pude presenciar un espectacular
amanecer. Deseé que todas las mañanas fueran como esa. Desde
entonces, siempre me he despertado temprano para ver la salida del
sol, y he observado como cada nuevo amanecer sigue al anterior.
¿De esta experiencia que podemos concluir?
4. “Todo numero natural es igual a su sucesor”. ¿Verdadero o falso?
 Bibliografía
[1] José Heber Nieto Said, teoría de Números y Problemas de Olimpiadas Matemáticas,
Maracaibo, Venezuela: Departamento de Matemática Facultad de Ciencias, Universidad
de Zulia.
[2] David A. Santos, Number theory for Mathematical Contests, Barcelona, Octubre de
2007.
[3] Francisco José González Gutiérrez, Apuntes de Matemática Discreta, Universidad de
Cádiz: Departamento de Matemática, Octubre de 2004.