Este documento explica los conceptos de demostración matemática, razonamiento válido y diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta y por reducción al absurdo. Define una demostración matemática como establecer la verdad de una proposición a partir de otras proposiciones verdaderas usando reglas lógicas. Explica cómo analizar la validez de un razonamiento y provee ejemplos para ilustrar los diferentes métodos de demostración.
El documento explica los conceptos fundamentales de una demostración matemática, incluyendo las reglas de inferencia y los diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta, por contradicción y por casos disyuntivos. Además, provee un ejemplo detallado de una demostración directa para ilustrar los pasos involucrados.
El documento explica los diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, demostración indirecta por contraposición y reducción al absurdo. También describe las estructuras básicas de una demostración matemática y provee ejemplos para ilustrar cada método.
1) El documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostraciones directas, indirectas por contraposición y reducción al absurdo. 2) Se provee un ejemplo de cada método utilizando teoremas sencillos como "la suma de dos números pares es par". 3) También se define el silogismo como un tipo de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión que comparten términos.
El documento explica los diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, demostración indirecta por contraposición y demostración por reducción al absurdo. Describe cada método con ejemplos para ilustrar cómo se usan las reglas lógicas y definiciones matemáticas previamente establecidas para establecer la verdad de un teorema.
Este documento explica la regla de inferencia lógica conocida como modus ponendo ponens. En pocas oraciones:
1) El modus ponendo ponens permite inferir una conclusión a partir de dos premisas, siendo la primera una condicional con la forma "si P entonces Q" y la segunda afirmando el antecedente P. 2) Se proveen ejemplos simbólicos y no simbólicos de aplicación de esta regla. 3) El documento instruye sobre el uso correcto de esta regla lógica para derivar conclusiones válidas
Este documento trata sobre lógica proposicional, teoremas y demostraciones. Introduce conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica las tablas de verdad de los conectivos lógicos y y, o, no, implica y bicondicional. También cubre definiciones, equivalencia lógica y las leyes de Morgan.
El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, operaciones veritativas, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Las operaciones veritativas incluyen la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, y condicional. También presenta el método abreviado para calcular tabl
El documento resume los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo estas operaciones afectan el valor de verdad de las proposiciones y provee ejemplos para ilustrar cada concepto. También cubre tópicos como tautologías, contradicciones, leyes del álgebra proposicional y su aplicación a circuitos lógicos.
El documento explica los conceptos fundamentales de una demostración matemática, incluyendo las reglas de inferencia y los diferentes métodos de demostración como la demostración directa, indirecta, por contradicción y por casos disyuntivos. Además, provee un ejemplo detallado de una demostración directa para ilustrar los pasos involucrados.
El documento explica los diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, demostración indirecta por contraposición y reducción al absurdo. También describe las estructuras básicas de una demostración matemática y provee ejemplos para ilustrar cada método.
1) El documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostraciones directas, indirectas por contraposición y reducción al absurdo. 2) Se provee un ejemplo de cada método utilizando teoremas sencillos como "la suma de dos números pares es par". 3) También se define el silogismo como un tipo de razonamiento deductivo con dos premisas y una conclusión que comparten términos.
El documento explica los diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, demostración indirecta por contraposición y demostración por reducción al absurdo. Describe cada método con ejemplos para ilustrar cómo se usan las reglas lógicas y definiciones matemáticas previamente establecidas para establecer la verdad de un teorema.
Este documento explica la regla de inferencia lógica conocida como modus ponendo ponens. En pocas oraciones:
1) El modus ponendo ponens permite inferir una conclusión a partir de dos premisas, siendo la primera una condicional con la forma "si P entonces Q" y la segunda afirmando el antecedente P. 2) Se proveen ejemplos simbólicos y no simbólicos de aplicación de esta regla. 3) El documento instruye sobre el uso correcto de esta regla lógica para derivar conclusiones válidas
Este documento trata sobre lógica proposicional, teoremas y demostraciones. Introduce conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica las tablas de verdad de los conectivos lógicos y y, o, no, implica y bicondicional. También cubre definiciones, equivalencia lógica y las leyes de Morgan.
El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, operaciones veritativas, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Las operaciones veritativas incluyen la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, y condicional. También presenta el método abreviado para calcular tabl
El documento resume los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo estas operaciones afectan el valor de verdad de las proposiciones y provee ejemplos para ilustrar cada concepto. También cubre tópicos como tautologías, contradicciones, leyes del álgebra proposicional y su aplicación a circuitos lógicos.
El documento resume los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo estas operaciones afectan el valor de verdad de las proposiciones y provee ejemplos para ilustrar cada concepto. También cubre temas como tablas de verdad, tautologías, contradicciones y leyes del álgebra proposicional.
Este documento presenta las principales leyes del álgebra proposicional, incluyendo leyes de idempotencia, identidad, conmutativas, asociativas, distributivas, doble negación, tercer excluido, contradicción y De Morgan. También define la condicional como una abreviatura de la disyunción y explica cómo usar tablas de verdad para demostrar las leyes y evaluar proposiciones. El deber consiste en elaborar tablas de verdad para verificar si ciertas proposiciones son tautologías.
Este documento define conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, funciones proposicionales, operaciones lógicas como negación, conjunción, disyunción e implicación. Explica que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso, y que las funciones proposicionales son enunciados con variables. Luego describe las tablas de verdad de las operaciones lógicas binarias y cómo estas permiten determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Este documento presenta una lista de 16 términos relacionados con la lógica y el razonamiento, como formalizar, equivalencia, reglas, demostración, principio, etc. Luego explica conceptos como el cálculo proposicional, las tautologías, las reglas de inferencia como Modus Ponens y Modus Tollens, y las leyes de implicación y equivalencia como la ley de Morgan y la doble negación. Finalmente, describe los métodos deductivo y demostrativo para probar la validez de un razonamiento lógico utilizando estas
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo reglas de inferencia lógica como modus ponens, adición, simplificación y silogismos. Explica cómo usar estas reglas para determinar si un argumento es válido, y provee ejemplos de su aplicación.
La validez de todo razonamiento puede corroborarse mediante tablas
de verdad. Sin embargo este metodo puede ser tedioso y muy largo.
Hay otro camino. En estas hojas hablamos de ello.
Este documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, funciones proposicionales, operaciones lógicas como negación, conjunción, disyunción e implicación, y clasificación de proposiciones en tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce cuantificadores universales y existenciales para generar proposiciones generales a partir de funciones proposicionales.
Este documento describe varios esquemas de inferencia lógica como el modus ponens, modus tollens, doble negación, adjunción, simplificación, silogismo hipotético y disyuntivo. Explica cómo representar proposiciones con letras para simplificar las inferencias y define términos como proposiciones atómicas y moleculares.
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra proposicional. En el primer ejercicio, se simplifica la fórmula proposicional "(p q) (q p)] p" aplicando leyes como la equivalencia del condicional y la doble negación hasta llegar a la conclusión de que la fórmula es equivalente a "p". En el segundo ejercicio, se simplifica el esquema "(p q)
El documento presenta una introducción a la lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposiciones, valores de verdad, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica conceptos como proposiciones atómicas y moleculares, operaciones lógicas, leyes de la lógica proposicional y razonamientos válidos e inválidos. El documento provee los fundamentos teóricos básicos de la lógica proposicional requeridos para comprender este campo de la lógica formal.
El documento define las proposiciones como enunciados que solo pueden ser verdaderos o falsos. Explica que las proposiciones se denotan con letras minúsculas y tienen un valor lógico de 1 para verdadero y 0 para falso. Luego describe los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y condicional, y sus tablas de verdad. Finalmente, introduce conceptos como tautologías, contradicciones, equivalencia e implicación lógica y
La inducción matemática es un método de razonamiento que permite demostrar que una proposición es cierta para cualquier número natural n. Se demuestra primero que la proposición es cierta para n=0, luego se demuestra que si es cierta para n también lo es para n+1, concluyendo así que es cierta para todo número natural n. Como ejemplo, se demuestra mediante inducción que para todo n, el número 6n acaba en 6.
El documento explica el método abreviado para determinar la validez de una inferencia. El método implica 1) suponer que la conclusión es falsa, 2) suponer que todas las premisas son verdaderas, 3) determinar los valores de verdad de las variables a partir de la conclusión falsa, y 4) verificar si alguna variable toma más de un valor de verdad al aplicar los valores a las premisas. Si una variable toma más de un valor, la inferencia es válida; de lo contrario, no es válida. El documento provee ejemplos para
El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.
Este documento trata algunos temas sobre el calculo proposicional como:
-Tablas de verdad
-Tautologia y contradiccion
-Equivalencia logica
-Algebra de proposiciones
-Leyes del algebra de Proposiciones
-Razonamiento
-Validez de un razonamiento
-Demostracion matematica
-Elementos de la demostracion matematica
-Demostracion por contradiccion
-Funciones de la demostracion matematica
El documento describe las reglas y leyes lógicas de la lógica de predicados de primer orden. Presenta una lista de más de 20 reglas lógicas que describen formas válidas de razonamiento deductivo con conectivas, cuantificadores y otros símbolos lógicos. También presenta más de 10 leyes lógicas, que son enunciados siempre verdaderos independientemente de su sustitución. Las reglas y leyes forman la base de la lógica clásica de predicados.
Este documento describe varios métodos de demostración matemática como la demostración directa, indirecta por contrapositiva o reducción al absurdo, inducción matemática y por contraejemplo. Explica cada método con ejemplos y define términos como axioma, teorema, lema y corolario.
Este documento presenta información sobre estructuras lógicas discretas. Explica conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, leyes del álgebra proposicional y su aplicación en matemáticas e ingeniería. También describe métodos de demostración como directa, indirecta, por reducción al absurdo y por contraposición y cómo representar expresiones lógicas mediante circuitos.
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y deducir nuevas pro
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y formas proposicional
El documento resume los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica cómo estas operaciones afectan el valor de verdad de las proposiciones y provee ejemplos para ilustrar cada concepto. También cubre temas como tablas de verdad, tautologías, contradicciones y leyes del álgebra proposicional.
Este documento presenta las principales leyes del álgebra proposicional, incluyendo leyes de idempotencia, identidad, conmutativas, asociativas, distributivas, doble negación, tercer excluido, contradicción y De Morgan. También define la condicional como una abreviatura de la disyunción y explica cómo usar tablas de verdad para demostrar las leyes y evaluar proposiciones. El deber consiste en elaborar tablas de verdad para verificar si ciertas proposiciones son tautologías.
Este documento define conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, funciones proposicionales, operaciones lógicas como negación, conjunción, disyunción e implicación. Explica que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso, y que las funciones proposicionales son enunciados con variables. Luego describe las tablas de verdad de las operaciones lógicas binarias y cómo estas permiten determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Este documento presenta una lista de 16 términos relacionados con la lógica y el razonamiento, como formalizar, equivalencia, reglas, demostración, principio, etc. Luego explica conceptos como el cálculo proposicional, las tautologías, las reglas de inferencia como Modus Ponens y Modus Tollens, y las leyes de implicación y equivalencia como la ley de Morgan y la doble negación. Finalmente, describe los métodos deductivo y demostrativo para probar la validez de un razonamiento lógico utilizando estas
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo reglas de inferencia lógica como modus ponens, adición, simplificación y silogismos. Explica cómo usar estas reglas para determinar si un argumento es válido, y provee ejemplos de su aplicación.
La validez de todo razonamiento puede corroborarse mediante tablas
de verdad. Sin embargo este metodo puede ser tedioso y muy largo.
Hay otro camino. En estas hojas hablamos de ello.
Este documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, funciones proposicionales, operaciones lógicas como negación, conjunción, disyunción e implicación, y clasificación de proposiciones en tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce cuantificadores universales y existenciales para generar proposiciones generales a partir de funciones proposicionales.
Este documento describe varios esquemas de inferencia lógica como el modus ponens, modus tollens, doble negación, adjunción, simplificación, silogismo hipotético y disyuntivo. Explica cómo representar proposiciones con letras para simplificar las inferencias y define términos como proposiciones atómicas y moleculares.
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra proposicional. En el primer ejercicio, se simplifica la fórmula proposicional "(p q) (q p)] p" aplicando leyes como la equivalencia del condicional y la doble negación hasta llegar a la conclusión de que la fórmula es equivalente a "p". En el segundo ejercicio, se simplifica el esquema "(p q)
El documento presenta una introducción a la lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposiciones, valores de verdad, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica conceptos como proposiciones atómicas y moleculares, operaciones lógicas, leyes de la lógica proposicional y razonamientos válidos e inválidos. El documento provee los fundamentos teóricos básicos de la lógica proposicional requeridos para comprender este campo de la lógica formal.
El documento define las proposiciones como enunciados que solo pueden ser verdaderos o falsos. Explica que las proposiciones se denotan con letras minúsculas y tienen un valor lógico de 1 para verdadero y 0 para falso. Luego describe los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y condicional, y sus tablas de verdad. Finalmente, introduce conceptos como tautologías, contradicciones, equivalencia e implicación lógica y
La inducción matemática es un método de razonamiento que permite demostrar que una proposición es cierta para cualquier número natural n. Se demuestra primero que la proposición es cierta para n=0, luego se demuestra que si es cierta para n también lo es para n+1, concluyendo así que es cierta para todo número natural n. Como ejemplo, se demuestra mediante inducción que para todo n, el número 6n acaba en 6.
El documento explica el método abreviado para determinar la validez de una inferencia. El método implica 1) suponer que la conclusión es falsa, 2) suponer que todas las premisas son verdaderas, 3) determinar los valores de verdad de las variables a partir de la conclusión falsa, y 4) verificar si alguna variable toma más de un valor de verdad al aplicar los valores a las premisas. Si una variable toma más de un valor, la inferencia es válida; de lo contrario, no es válida. El documento provee ejemplos para
El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.
Este documento trata algunos temas sobre el calculo proposicional como:
-Tablas de verdad
-Tautologia y contradiccion
-Equivalencia logica
-Algebra de proposiciones
-Leyes del algebra de Proposiciones
-Razonamiento
-Validez de un razonamiento
-Demostracion matematica
-Elementos de la demostracion matematica
-Demostracion por contradiccion
-Funciones de la demostracion matematica
El documento describe las reglas y leyes lógicas de la lógica de predicados de primer orden. Presenta una lista de más de 20 reglas lógicas que describen formas válidas de razonamiento deductivo con conectivas, cuantificadores y otros símbolos lógicos. También presenta más de 10 leyes lógicas, que son enunciados siempre verdaderos independientemente de su sustitución. Las reglas y leyes forman la base de la lógica clásica de predicados.
Este documento describe varios métodos de demostración matemática como la demostración directa, indirecta por contrapositiva o reducción al absurdo, inducción matemática y por contraejemplo. Explica cada método con ejemplos y define términos como axioma, teorema, lema y corolario.
Este documento presenta información sobre estructuras lógicas discretas. Explica conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, leyes del álgebra proposicional y su aplicación en matemáticas e ingeniería. También describe métodos de demostración como directa, indirecta, por reducción al absurdo y por contraposición y cómo representar expresiones lógicas mediante circuitos.
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y deducir nuevas pro
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y formas proposicional
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo: 1) la definición de proposiciones y su valor de verdad, 2) los conectivos lógicos y sus tablas de verdad, 3) las formas proposicionales, 4) las tablas de verdad para evaluar proposiciones compuestas, 5) las leyes y equivalencias lógicas, y 6) los métodos de demostración y su representación en forma proposicional. Finalmente, se discute la correspondencia entre circuitos ló
Este documento describe las proposiciones, operaciones lógicas y tablas de verdad. Define proposiciones como enunciados que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambos. Explica los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. También describe tablas de verdad y su uso para determinar el valor lógico de proposiciones compuestas. Finalmente, discute circuitos lógicos y su correspondencia con expresiones proposicionales.
Este documento define las proposiciones y operadores lógicos, y describe cómo se pueden usar para construir razonamientos válidos. Explica que una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, pero no ambos. Luego introduce los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, y cómo se pueden usar para unir proposiciones. Finalmente, discute métodos de demostración lógica como la demostración directa e indirecta, e inferencias
El documento describe los operadores lógicos y cómo se usan para unir proposiciones. Explica los conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", etc. y provee ejemplos de cómo se usan. También distingue entre proposiciones atómicas y moleculares, y describe tablas de verdad y cómo determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Mostraremos en estas notas algunas de las llamadas \leyes logicas"
usuales, por el camino largo y aburrido, mediante tablas de verdad. Hay
tambien una breve discusion sobre tautologas y absurdos, y denimos
equivalencia de proposiciones.
El documento describe cuatro métodos de demostración matemática: método directo, reducción al absurdo, contraposición e inducción matemática. Explica los pasos involucrados en cada método y provee ejemplos para ilustrarlos.
Este documento introduce conceptos básicos de lógica simbólica. Explica que una proposición es un pensamiento lógico que puede ser verdadero o falso. Las proposiciones se representan con letras mayúsculas y tienen un valor de verdad. También define fórmulas proposicionales como representaciones simbólicas de razonamientos lógicos que pueden unirse con conectivos lógicos como conjunción, disyunción, implicación lógica y bi-condicional para determinar si la conclusión es
Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones, enunciados abiertos, proposiciones simples y compuestas, conectivos lógicos, tablas de verdad, tautologías, contradicciones y contingencias. Explica los diferentes tipos de proposiciones y conectivos lógicos como conjunción, disyunción, negación e implicación. También presenta equivalencias notables entre proposiciones lógicas y jerarquía de los conectivos lógicos.
El documento describe las proposiciones lógicas y los conectivos lógicos que se usan para unir proposiciones simples en proposiciones compuestas. Explica los conectivos de conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional. También presenta las leyes del álgebra proposicional como la ley de doble negación, las leyes conmutativa, asociativa, de Morgan y distributiva. Por último, describe diferentes tipos de demostraciones como la demostración directa y por contrareciproco.
Este documento introduce conceptos clave de la lógica proposicional como la equivalencia lógica, las tablas de verdad, las tautologías y las contradicciones. Explica cómo usar tablas de verdad para determinar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes y para identificar tautologías y contradicciones. Proporciona ejemplos detallados de la construcción de tablas de verdad y la aplicación de leyes lógicas como la doble negación y las leyes de DeMorgan.
El documento resume definiciones matemáticas como axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis y teorema. También describe métodos de demostración matemática como principio de inducción matemática y demostración directa. Incluye ejemplos de cada concepto y método de demostración.
1) El documento presenta conceptos básicos de lógica como valores de verdad, proposiciones simples y compuestas, conectores lógicos y tablas de verdad. 2) Explica los diferentes conectores lógicos como conjunción, disyunción, implicación, bicondicional y negación. 3) Señala que las tablas de verdad permiten determinar si una proposición compuesta es tautología, contradicción o contingente.
Este documento presenta conceptos básicos sobre proposiciones, operaciones lógicas y tablas de verdad. Define proposiciones como enunciados que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambos. Introduce los conectivos lógicos de negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y condicional. Explica cómo construir tablas de verdad y razonamientos lógicos. Finalmente, discute circuitos lógicos y su relación con expresiones proposicionales.
Universidad fermin toro esctructura discretaIvan Bernal
1) El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, operaciones veritativas, conectivos lógicos, tablas de verdad y leyes del álgebra proposicional.
2) Explica los conectivos lógicos de negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional a través de definiciones y tablas de verdad.
3) Describe cómo construir tablas de verdad para determinar el valor de verdad
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática como el método deductivo, el método directo, el método inductivo y el método de reducción al absurdo. Explica que el método deductivo parte de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos, mientras que el método directo demuestra proposiciones condicionales verificando que si se cumple la premisa también se cumple la conclusión. El método inductivo y de reducción al absurdo también se usan para probar teoremas matemáticos
Este documento presenta un trabajo de lógica matemática que incluye conceptos como preposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica métodos de demostración lógica como tautologías, equivalencias y contradicciones. Finalmente, resume leyes notables de la lógica como la doble negación y las leyes distributivas.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas, y que se pueden componer usando conectores lógicos como "y", "o", "no", "implica", y "equivalente". Luego define las tablas de verdad de cada conector lógico y presenta equivalencias lógicas importantes entre expresiones. Finalmente, muestra cómo simplificar expresiones lógicas complejas usando reglas como las leyes de De Morgan y la absor
1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE
IBARRA
Datos Informativos
Carrera:Arquitectura.
Nivel: Primero.
Nombre: Alex Javier Álvarez Rea.
Materia: Lógica Matemática.
Tema:demostraciones y silogismo.
Fecha: 05/10/2010.
Demostración matemática.
Una demostración matemática consiste en que a partir de una
proposición verdadera R y empleando las tautologías
anteriores, se demuestra que una proposición S es verdadera.
La demostración de un teorema consiste en mostrar una
argumentación convincente de que el teorema en
consecuencia lógica de la hipótesis y teoremas ya
demostrados.
Pero, ¿ qué significa que un teorema es consecuencia lógica
de las hipótesis y teoremas ya demostrados?. Como veremos a
continuación, son precisamente las tautologías las que
2. determinan esto; es decir, las tautologías determinan las
reglas de inferencia que se emplean para deducir un teorema
a partir de proposiciones conocidas.
El proceso de inferir una proposición t de las proposiciones
s1,s2,....,sn se llama razonamiento y la podemos representar de la
siguiente manera:
s1
s2
s3
.
.
.
sn
____
t
Con esto se quiere decir que, como las proposiciones s1,s2,...,sn
son verdaderas, por lo tanto, que lo representamos
simbólicamente , t es verdadera. A las proposiciones
s1,s2,...,sn se les llama premisas del razonamiento y t conclusión.
Se dice que tal razonamiento es válido si, y solamente sí, la
proposición (s1 ^ s2 ^ ... ^ sn) - - > t es una tautología.
Para ver claro esto, consideremos el siguiente razonamiento:
p: Luis se levanta a las siete.
p --> p1: Si Luis se levanta a las siete va a clase.
p1 --> q: Si Luis va a clase, entonces se graduará.
______________________________________________
q: Luis se graduará
3. La tabla de verdad de este razonamiento es la siguiente:
p p1 q p -->
p1
p1 -->
q
p ^ (p --> p1) ^ (p1
--> q)
p ^ (p --> p1) ^ (p1 -->
q) --> q
V V V V V V V
V V F V F F V
V F V F V F V
V F F F V F V
F V V V V F V
F V F V F F V
F F V V V F V
F F F V V F V
De la tabla anterior nos indica que el razonamiento es válido
porque la proposición formada por la conjunción de las
premisas implica la conclusión, en otras palabras, la
proposición [p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q)] --> q es una tautología.
El razonamiento anterior lo podemos ver de una forma
general, es decir: p
p --> p1
p1 --> p2
.
.
pn --> q
________
q
4. Al demostrar un teorema de la forma «si p entonces q» (p -->
q), comúnmente se empieza suponiendo que p es dado;
después se construye una cadena de proposiciones de la
forma p --> p1, p1 --> p2,...,pn --> q, cada una de las cuales es una
hipótesis dada de antemano o un teorema ya demostrado. Tan
pronto se llega en esta cadena a la proposición pn --> q, de ello
se concluye q. Este razonamiento es válido, pero ¿ cómo se
demuestra el teorema, es decir, como se establece la verdad
de la implicación p --> q ?. Para ver esto recuerda que en la
sección de condicional o implicación, vimos que precisamente
que una implicación p --> q es falsa solamente cuando p es
verdadera y q es falsa; entonces todo lo que necesitamos para
mostrar que p --> q es verdadera es el caso en que p sea
verdadera, y q necesariamente deberá ser verdadera. Esto es
precisamente lo que el razonamiento anterior determina,
porque siendo un razonamiento válido la proposición formada
por la conjunción de las premisas implica la conclusión.
[p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ...(pn --> q)] --> q
es una tautología. Y resulta que, como en la
demostración de un teorema de la forma p --> q, cada
una de las proposiciones p, p --> p1, p1 --> p2, ... , pn --> q
es verdadera, puesto que es una hipótesis dada o un
teorema demostrado. Así, si p es verdadera, p ^ (p --> p1)
^ (p1 --> p2) ^ ... ^ (pn --> q) es verdadera, porque es una
conjunción de proposiciones verdaderas. Pero eso
también quiere decir que q debe ser verdadera para
que la proposición [p ^ (p --> p1) ^ ... ^ (pn --> q)] --> q sea
verdadera.
Un razonamiento del tipo anterior se puede emplear para
demostrar un teorema de la forma «si p entoces q» (p --> q).
Se supone la hipótesis p, y después se construye una "cadena"
de proposiciones conocidas (hipótesis o definiciones dadas
5. anteriormente, o teoremas demostrados y aplicaciones de
éstos) que nos conducen de p hasta q, y de lo cual podemos
concluir q.
Veamos ahora un ejemplo de una demostración matemática
muy sencilla, pero nos ayudará a entender cada paso de lo ya
expuesto hasta el momento.
Teorema: «Si a y b son números pares, entonces a + b es un
número par.»
En otras palabras: «La suma de dos número pares, el
resultado es un número par.» (p --> q)
La estructura de la demostración es la siguiente:
Supongamos que a y b son números
pares. p
Entonces, sabemos por definición de número par
que 2 | a y 2 | b (un número par es divisible siempre por
2). p --> p1
Esto significa que a = 2 * m y b = 2 * n para dos enteros m y n,
según la definición de lo que significa un número entero
divide
a
otro.
p1 --> p2
Pero, si a = 2 * m y b = 2 * n, entonces a + b = 2 * m + 2 * n
= 2(m + n), por la propiedad
distributiva. p2 --> p3
Como a + b = 2(m + n) y m + n es un número entero,
(la suma de dos números enteros, es entero), entonces
2 | (a +
6. b).
p3 --> p4
Si a + b es divisible por 2, esto quiere decir que es par,
según la definición de número
par. p4 --> q
______
Por lo tanto, a + b es un número
par. q
Como te puedes dar cuenta, la estructura de la
demostración, viene dada por una serie de pasos de p hasta q,
pasos de los cuales son teoremas, definiciones..etc.
Un análisis de la demostración muestra que el razonamiento
es válido. Establece el teorema, porque cada una de sus
proposiciones p --> p1, p1 --> p2, p2 --> p3, p3 --> p4 y p4 --> q es un
resultado que ha sido enunciado o demostrado
anteriormente.
So el teorema que se va a demostrar no es de la forma p --> q,
si no una proposición q, entonces se remplaza p en el
argumento anterior por una proposición apropiada p1 que se
conoce y despues se construye una cadena de proposiciones
que van de p1 a q:
p1
p1 --> p2
p2 --> p3
...........
7. q
Este razonamientoestablece la verdad de p1 --> q
Ahora veamos los métodos mas usados para la demostración
matemática:
1. Demostración directa o por implicación.
Lo estudiado anteriormente describe el método de
demostración directa. Es decir, si la proposición p es
verdadera y la implicación (p --> q) es verdadera,
entonces q es verdadera.
2. Demostación indirecta.
El primer tipo de demostración indirecta se llama
demostración por contraposición. Como su nombre lo indica,
consiste en que para demostrar un teorema de la forma «si p
entonces q», demuestra su contrarrecíproco (~q) --> (~p). En
este caso se construye una cadena de proposiciones que
conducen de (~q) a (~p), en vez de p a q. Esta implicación es
verdadera puesto que es fácil verificar que : (~q) --> (~p) es
equivalente a p --> q.
Veamos un ejemplo para ilustrar este método de
demostración:
Teorema. Sean a, b y c números enteros positivos. Si
a + c < b + c, entonces a < b.
Demostración. A continuación se va a demostrar el
contrarrecíproco o contrapositiva, es decir,
si a b, entonces a + c b + c.
Supongamos que a b, entonces por propiedad tricotómica,
a = b ó b < a. En el primer caso, si sumamos c a ambos lados de
la igualdad se tendría que a + c = b + c, y en el segundo caso si
sumamos de nuevo c a ambos lados de la desigualdad se
tendría que, b + c < a + c; observamos que para cualquiera de
8. los dos casos se cumple que a + c b + c.
Por tanto, si a b, entonces a + c b + c.
Veamos otro ejemplo:
Teorema. si x y y son enteros positivos y xy un número impar,
entonces x y y son impares.
Demostración. Supongamos que x y y no son impares,
entonces, uno de ellos, digamos x, es un número par, es decir,
x = 2z. Por tanto, xy = 2yz, que es un número par, que es lo que
queriamos demostrar.
De esta demostración al escribirla en forma explícita, se tiene
lo siguiente:
Dado: xy número impar p
Demostrar: x y y son impares q (p --> q)
Supongamos: x y y no son impares ~q
Entonces: xy es par ~p (~q --> ~p)
Observación:
Las siguientes tautologías muestran que en el método
indirecto de demostración se puede hacer uso de la hipótesis
original y la negación de q, es decir, ~q. La tercera muestra
que la doble hipótesis p y ~q puede conducir a una
contradicción de la forma r ^ ~r, que es la demostración por
contradicción o reducción al absurdo.
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~p)]
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~q)]
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)]
9. El segundo método de demostración indirecta de un teorema
t consiste en establecer la verdad de t, estableciendo la
falsedad de su negación de la siguiente manera: se muestra
que la negación de t, ~t, lleva a una contradicción de la forma
r ^ ~r. Este método se llama demostración por contradicción
o por reducción al absurdo.
Si se muestra que ~t implica tal contradicción, es decir, si se
establece la verdad de la proposición (~t) --> (r ^ ~r) para
alguna proposición r, entonces en virtud de que r ^ ~r es
falsa, se concluye que ~t también es falsa (porque los únicos
casos en que la implicación es verdadera son V --> V, F --> V, F
--> F),y por tanto, t es verdadera. El siguiente ejemplo ilustrará
este método:
Teorema. Si S es el conjunto de todos los números primos,
entonces S es un conjunto infinito. ( p --> q ).
Demostración.
Supongamos que no; es decir, que S, es el conjunto de todos
los números primos y que S no es infinito. ( p ^ ~q ), que es la
negación de (p --> q).
Entonces S es un conjunto finito, digamos S = {p1,p2,...,pk}.
Como S es finito, el producto p1,p2,....pk de todos los primos
en S se puede hacer, y además formar el número b = (p1.p2....pk)
+ 1.
Entonces existe un número primo p' tal que
p' divide a b. (r)
Como p' es primo y S contiene todos los números
primos, se debe tener que p'E S. Sin embargo, ningún
primo en S divide a b; por tanto,
p' no divide a b. (~r)
Así hemos llegado a una contradicción (r ^ ~r). Puesto
que la hipótesis de que el conjunto S no es infinito
conduce a la contradicción.
10. (p ^ ~q) --> (r ^ ~r)
que es falsa. Por tanto, si S es el conjunto de los
números primos, entonces S es un conjuntoinfinito.
Nota
Cualquier proposición t es equivalente a la proposición (~t) -->
(r ^ ~r), independientemente de lo que pueda ser r. Porque si
t es V, ~t es F, y como r ^ ~r es F, (~t) --> (r ^ ~r) es V; y si t es
falsa, ~t es V, y así (~t) --> (r ^ ~r) es F; entonces t y (~t) --> (r ^
~r) tiene los mismos valores de verdad y, por tanto son
equivalentes. Esto quiere decir que para probar un teorema t
por reducción al absurdo se establece la verdad de la
proposición (~t) --> (r ^ ~r), para alguna proposición r, y como
son equivalentes, queda demostrado el teorema t.
Todo número natural primo mayor que 2 es un número impar.
Demostración.
Este teorema lo podemos expresar en forma de
cuantificadores, es decir
s: x E N, p(x) --> q(x)
donde p(x) es la frase abierta «x es un número primo
mayor que 2» y q(x) la frase abierta «x es un número
impar». Observamos que su negación es:
(~s): x E N, p(x) ^ ~q(x)
Supongamos que existe un número natural x que es
primo y mayor que 2, y que no es impar. (~s).
Vamos a ver que esta hipótesis conduce a una
contradicción: Como x no es impar, x debe de ser par, y,
por tanto, 2 | x. ( r ). Pero como x es primo, sus únicos
divisores son 1 y x; y como x es mayor que dos, 2 no es
un divisor; es decir;
2 x ( ~r ).
Esto nos condujo a la contradicción ~s --> r ^ ~r y por
tanto, es falsa. Por lo que concluimos que:
Todo número natural primo mayor que 2 es un número
11. impar.
Los dos ejemplos anteriores muestran que para demostrar
que una proposición p es verdadera en una teoría T, se
construye una teoría T', obtenida uniendo a T el axioma «~p».
Se halla en T' una proposición contradictoria. Si en una teoría
una proposición es contradictoria, entonces toda proposición
de la teoría es contradictoria, ~p es contradictoria. Por la ley
del tercio excluído la teoría no se acepta y, por tanto, p es
verdadera en T.
Demostración por disyunción de casos
Si las implicaciones p --> q y ~p --> q son verdaderas, entonces
q es verdadera por la tautología
[(p --> q) ^ (~p --> q)] --> q
En efecto, p v ~p es verdadera por la ley del tercio
excluído, y por la tautología [(p v q) ^ (p --> r) ^ (q --> r)]
--> r; q es verdadera.
Veamos un ejemplo para ilustrar este método:
Teorema. Si x es un número racional y y es un número
irracional, entonces x + y es irracional. (p --> q).
Demostración.
La proposición es de la forma (p ^ q) --> r, siendo p: x es
racional; q: y es irracional; r: x + y es irracional.
Vamos hacer la demostración por contradicción, supongamos
que ~[(p ^ q) --> r] o bien, (p ^ q) ^ ~r. Es decir, suponemos
que x es racional; y es irracional y x + y no es racional, es
decir, y es racional.
Como x y x + y son racionales, tienen la forma x = a/b y x + y =
c/d (a,b,c y d números enteros, por definición de número
racional).
12. Entonces (x + y) - x = c/d - a/b = (cb - da)/db. Como cb - da y db
son números enteros, se deduce de la definición de números
racionales que, (x + y) - x es un número racional.
Pero (x + y) - x = y, lógicamente, y es racional. Es decir, ~q: es
falso que y sea irracional. Así pues hemos encontrado la
contradicción q ^ ~q. Por consiguiente, hemos demostrado
que (p ^ q) --> r es verdadero.
Demostración por contraejemplo
Para demostrar la negación de una implicación se debe dar un
contraejemplo, es decir, un ejemplo en el cual p y ~q son
simultáneamente verdaderas.
Sea p: «n es un entero divisible por 6 y por 4»
Sea q: «n es divisible por 24»
¿Es verdad que p --> q? No, porque, por ejemplo: 12 hace que
p y ~q sean simultáneamente verdaderas, pues 12 es divisible
por 6 y 4, pero no por 24. Entonces p q.
Demostración por recurrencia o inducción El razonamiento
por recurrencia para demostrar que, cualquiera que sea el
entero natural n, una proposición en la cual intervenga n es
verdadera. Para eso es suficiente establecer que la
afirmación es verdadera para el entero 1 y que si es verdadera
para n, entonces es verdera para el siguiente de n (n + 1)
Simbólicamente, la proposición de inducción es la siguiente:
p(1) ^ k[p(k) --> p(k + 1)] --> np(n)
Si se puede demostrar que el antecedente p(1) ^ k[p(k) -->
p(k + 1)] es verdadera, entonces se deduce que np(n) es
verdadera.
Hay dos pasos en la demostración por inducción:
13. 1. Paso fundamental: Probar que p(1) es verdadera.
2. Paso inductivo: Probar que k[p(k) --> p(k + 1)].
Veamos el siguiente ejemplo:
Mostrar que n, 2n
<= 2n + 1
Demostración:
1. Paso fundamental: Probar que p(1) es verdadera:
21
<= 21 + 1
donde, 21
= 2 y 21 + 1
= 4; por tanto:
21
<= 21 + 1
2. Paso inductivo: Probar que k[p(k) --> p(k + 1)].
Supongamos que p(k) es verdadera: 2k
<= 2k + 1
.(hipótesis)
Demostrar: p(k + 1): 2k + 1
<= 2k + 2
.
A nuestra hipótesis la podemos multiplicar 2 en ambos
lados, es decir
2k
.2 <= 2k + 1
.2, o bien,2k + 1
<= 2k + 2
, es decir;
p(k + 1) es verdadera.
14. Silogismo
El silogismo es una forma de razonamiento deductivo que
consta de dos proposiciones como premisas y otra como
conclusión, siendo la última una inferencia necesariamente
deductiva de las otras dos. Fue formulado por primera vez
por Aristóteles, en su obra lógica recopilada como El
Organon, de sus libros conocidos como Primeros Analíticos,
(en griego Proto Analytika, en latín –idioma en el que se
reconoció la obra en Europa Occidental-, Analytica Priora).
Aristóteles consideraba la lógica como lógica de relación de
términos. Los términos se unen o separan en los juicios. Los
juicios aristotélicos son considerados desde el punto de vista
de unión o separación de dos términos, un sujeto y un
predicado. Hoy se hablaría de proposiciones.
La diferencia entre juicio y proposición es importante. La
proposición afirma un hecho como un todo, que es o no es,
como contenido lógico del conocimiento. El juicio, en cambio,
atribuye un predicado a un sujeto lógico del conocimiento.
Esto tiene su importancia en el concepto mismo del contenido
de uno y otra, especialmente en los casos de negación, como
se ve en la problemática de la lógica silogística.
Mantenemos aquí la denominación de juicio por ser lo más
acorde con lo tradicional, teniendo en cuenta que este tipo
de lógica, como tal, está en claro desuso, sustituida por la
lógica simbólica en la que esta lógica es interpretada como
lógica de clases. Ver cálculo lógico.
La relación entre los términos de un juicio, al ser comparado
con un tercero que hace de "término medio", hace posible la
aparición de las posibles conclusiones. Así pues, el silogismo
consta de dos juicios, premisa mayor y premisa menor, en los
15. que se comparan tres términos, de cuya comparación se
obtiene un nuevo juicio como conclusión.
La lógica trata de establecer las leyes que garantizan que, de
la verdad de los juicios comparados (premisas), se pueda
obtener con garantía de verdad un nuevo juicio verdadero
(conclusión).
ami_310@hotmail.com