Estructuras Discretas Proposiciones

1. ESTRUCTURAS
DISCRESTAS
Nombre: Jonathan Gómez
C.I 18.301.262
Escuela: Ing. Mecánica

2. PROPOSICIONES
Una proposición es una expresión
idiomática susceptible a adquirir un
valor de verdad, es decir una idea de
la cual tiene sentido decir que es
verdadera o falsa.

3. Los Conectivos u Operadores
Lógicos
Son símbolos o conectivos que nos permiten construir
otras propensiones; o simplemente unir dos o más
proposiciones, a partir de proposiciones dadas.
Conectiva
Expresión en el
lenguaje natural
Ejemplo
Símbolo en
este artículo
Símbolos
alternativos
Negación no No está lloviendo.
Conjunción y
Está lloviendo y
está nublado.
Disyunción o
Está lloviendo o
está soleado.
Condicional
material
si... entonces
Si está soleado,
entonces es de día.
Incondicional si y sólo si
Está nublado si y
sólo si hay nubes
visibles.
Negación conjunta ni... ni
Ni está soleado ni
está nublado.
Disyunción
excluyente
o bien... o bien
O bien está soleado,
o bien está nublado.

4. Conectivos lógicos: La negación
 Tabla de verdad de los conectivos lógicos
Negación Conjunción

5. Bicondicional
Disyunción Condicional

6. Identificar las distintas formas
proposicionales
Tipos:
 La proposición (yo voy al parque) es un
tipo de proposición atómica ya que no
figura ningún operador.
 La proposición(Pq)Ʌ(Pvq) es un tipo de
proposición molecular ya que esta compuesta
por varias proposiciones.

7. Conocer las leyes del Álgebra
proposicional
 Leyes Idempotentes:
pÚ p º p
pÙ p º p 2.
 Leyes Asociativas:
(P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
(P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
 Leyes Conmutativas:
P Ú q º q Ú p
P Ù q º q Ù p 4.
 Leyes Distributivas:
P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r) 5

8.  Leyes de Identidad:
P Ú F º P
P Ù F º F
P Ú V º V
P Ù V º P
 Leyes de Complementación:
P Ú ~ P º V (tercio excluido)
P Ù ~ P º F (contradicción)
~ ~ P º P (doble negación)
~ V º F, ~ F º V 7.
 Leyes De Morgan:
~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q

9. Aplicación en la Matemática e
Ingeniería
 Una demostración matemática es un
razonamiento realizado con una lógica válida que
progresa a partir de ideas que se dan por ciertas
(llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se
esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad
de la tesis formulada
 Las técnicas de demostración más importantes son:
La demostración directa, la demostración indirecta, la
demostración por contraposición y la demostración por
reducción al absurdo.

10. a) Los métodos de demostración directa e
indirecta:
Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces
B” es verdadera, lo primero que tienes que hacer es
reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo
general, todo lo que está entre las palabras “si” y
“entonces” constituye la proposición A, y todo lo que
está después de “entonces”, la B.
Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es
cierto, o sea, la hipótesis, es A y todo lo que tienes que
probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.

11. Consideremos el siguiente ejemplo:
Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e
hipotenusa z tiene de área , entonces es isósceles.
x
y z
z y
x
En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo
rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área ” y B
“ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”.

12. b) El método de demostración por reducción
al absurdo:
La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento
lógico muy empleado en demostración matemáticas. Consiste en
demostrar que una proposición matemática es verdadera probando
que si no lo fuera conduciría a una contradicción.
Supóngase que se desea demostrar una proposición P. El
procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la
falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica.
Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera.
Por ejemplo considérese la proposición "no existe un numero racional
mínimo mayor que cero". En una reducción al absurdo se
comenzaría por asumir lo contrario: existe un número racional
mínimo mayor que cero: r0.

13. c) La demostración por contraposición:
Si tenemos que demostrar que una proposición p
implica una proposición q (es decir, si se da p, se
tiene que dar q), a veces es más sencillo
demostrar que si no se da q, entonces no puede
cumplirse p. Esto se conoce como demostración
por contrarrecíproco o contraposición. Nótese
que "p implica q" y "no q implica no p" son
proposiciones equivalentes.

14. Un ejemplo sencillo:
"Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí, la
proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la
proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo
número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que
demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor
que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q
-> no p).
Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede
escribir como n = 2 k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de
número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es
igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es
mayor que 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que
tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único
número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los
números primos mayores que 2 son impares.

15. Red de circuitos lógicos
proposicional
Los circuitos lógicos los podemos identificar con una
forma proposicional. Es decir, dada una forma
proposicional, podemos asociarle un circuito; o
dado un circuito podemos asociarle la forma
proposicional correspondiente. Además, usando las
leyes del álgebra proposicional podemos simplificar
los circuitos en otros más sencillos, pero que
cumplen la misma función que el original.

16. Ejemplo
 Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a cada
una de las siguientes expresiones:
p Ù (q Ú r)
(p Ù q) Ú [( p Ù r) Ú ~ s)]
t Ù [q Ú (s Ù p)]
p Ù (q Ú r)

17. (p Ù q)Ú [( p Ù r) Ú ~ s)
t Ù [q Ú (s Ù p)