Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.

1. ´
ANALISIS FUNCIONAL
Teoria de la aproximaci´n
o
Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo.
Helmuth, Villavicencio Fern´ndez
a
1

2. 1 Aproximaci´n uniforme
o
Definici´n 1.1 (Conjunto alternante) Sea x ∈ C[a, b] e y ∈ Y , donde Y
o
es un subespacio del espacio real C[a, b]. Un conjunto de puntos t0 , t1 , . . . , tk en
[a, b] donde t0 < t1 < . . . < tk , es llamado conjunto alternante para x − y si
x(tj ) − y(tj ) tiene los valores alternados consecutivos + x − y y − x − y en
puntos tj
Nosotros vemos que estos k+1 puntos en la definici´n son puntos extremales de
o
x − y y los valores en estos puntos son alternados positivos y negativos.
La importancia de los conjuntos alternantes es mostrada en alg´n grado por el
u
siguiente lema, en el c´al la existencia de un conjunto alternante suficientemente
u
grande para x − y implica que y es la mejor aproximaci´n a x. Actualmente,
o
esta condici´n es tambi´n necesaria para y por ser la mejor aproximaci´n a x.
o e o
Pero desde que nosotros no necesitamos este hecho, no probamos esto.
Lema 1.1 (Mejor aproximaci´n) Sea Y un subespacio del espacio real C[a, b]
o
satisfaciendo la condici´n de Haar.Dado x ∈ C[a, b] sea y ∈ Y tal que existe un
o
conjunto alternante para x − y de n + 1 puntos, donde dimY = n entonces y es
la mejor aproximaci´n uniforme a x en Y .
o
prueba
Sabemos que existe una unica mejor aproximaci´n a x en Y .Si ´sta no es y,
´ o e
ser´ alg´n otro y0 ∈ Y y entonces x − y > x − y0 esta inecuaci´n implica
ıa u o
que en aquellos n + 1 puntos extremales la funci´n:
o
y0 − y = (x − y) − (x − y0 )
tiene el mismo signo que x − y, para mostrar esto veamos los casos.
Si x − y 0
⇒ x − y = x − y > x − y0 (x − y0 ) ⇒ y0 − y 0
o si x − y < 0
⇒ −(x − y) = x − y > x − y0 −(x − y0 ) ⇒ y0 − y < 0.
Esto muestra que y0 − y es alternadamente positivo y negativo en estos n + 1
puntos, luego deber´ tener almenos n ceros en [a, b].Pero esto es imposible a
ıa
menos de que y0 − y = 0, desde que y0 − y ∈ Y e Y satisface la condici´n de
o
Haar.Luego y debe ser la mejor aproximaci´n a x
o
Como aplicaci´n de este lema veamos un muy importante y cl´sico problema de
o a
la aproximaci´n de x ∈ C[−1, 1] definida por:
o
x(t) = tn donde n ∈ N (f ijo)
En Y = Span{y0 , y1 , . . . , yn−1 }, donde yj (t) = tj ; j = 0, 1, . . . , n − 1.
Obviamente, nosotros queremos aproximaci´n en [−1, 1] por un polinomio real
o
de grado menor que n.Tal polinomio es de la forma:
y(t) = αn−1 tn−1 + αn−2 tn−2 + . . . + α0
de ah´ para z = x − y tenemos:
ı
z(t) = tn − (αn−1 tn−1 + αn−2 tn−2 + . . . + α0 ) . . . ( )
2

3. y nosotros queremos encontrar un y tal que z pueda hacerse lo mas peque˜o n
posible, notar que z = x − y es la distancia de x a y.De la ultima f´rmula
´ o
z es un polinomio de grado n con coeficiente principal 1.
De aqu´ nuestro problema original es equivalente al siguiente:Encontrar un poli-
ı
nomio z entre todos los polinomios de grado n y con coeficiente principal 1, que
tenga la menor norma, en este caso la del m´ximo, en [−1, 1].
a
El primero en resolver este problema fue Chebyshev; su soluci´n conduce a
o
una clase interesante de polinomios que tambi´n se presentan en otras cues-
e
tiones.Primero daremos una breve noticia sobre esos polinomios y luego volver-
emos al problema del m´ ınimo indicado.
2 Polinomios de Chebyshev
Sea x + iy un n´mero complejo de m´dulo 1.En virtud del desarrollo de newton
u o
tenemos
n
n
(x + iy)n = xn−k (iy)k ; n 1.
k
k=0
Hagamos en esta f´rmula x = cosθ, y = sinθ y consideremos la parte real de
o
cada miembro.Puesto que
(x + iy)n = (cosθ + isinθ)n = einθ = cos(nθ) + isin(nθ)
identificando estas dos partes reales tenemos:
n n
cos(nθ) = xn − xn−2 y 2 + xn−4 y 4 − + . . .
2 4
Ya que y 2 = sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − x2 , el segundo miembro es un polinomio
en x de grado n.Ese polinomio es el polinomio de Chebyshev de primera especie
y se designa por Tn (x).
Definici´n 2.1 El Polinomio de Chebyshev Tn (x) se define para todo x real
o
por medio de la ecuaci´n:
o
n/2
n
Tn (x) = xn−2k (x2 − 1)k
2k
k=0
Ahora probemos un seria de observaciones para estos polinomios.
Observaci´n 2.1 Si −1
o x 1 entonces tenemos
Tn (x) = cos(n arccos x)
Prueba Si θ = arccosx entonces x = cosxθ y Tn (x) = cos(nθ)
3

4. Observaci´n 2.2 Los polinomios de Chebyshev satisfacen la f´rmula de recur-
o o
rencia
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) para n 1
Siendo T0 (x) = 1 y T1 (x) = x
Prueba
Supongamos primero que x ∈ [−1, 1] y hacemos x = cosθ luego en la identidad
cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2cosnθ cos θ
esto demuentra que
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) para x ∈ [−1, 1]
Pero ya que ambos miembros son polinomios, esta relaci´n debe ser v´lida para
o a
todo x
La observaci´n que sigue demuestra que Tn (x) tiene exactamente n ceros de
o
primer orden situados todos en el intervalo [−1, 1].
Observaci´n 2.3 Si n
o 1 el polinomio Tn (x) tiene n ceros, luego tiene una
representaci´n
o
n−1
Tn (x) = 2n−1 (x − cos((2k + 1)π/2n))
k=0
Prueba
Usaremos la f´rmula Tn (x) = cosnθ.Puesto que cosnθ = 0 s´lo si nθ es un
o o
m´ltiplo impar de π/2, tenemos Tn (x) = 0 para x en [−1, 1] unicamente si
u ´
narcosx = (2k + 1)π/2 para un cierto entero k.Por tanto, los ceros de Tn en el
intervalo [−1, 1] se encuentran entre los n´meros
u
xk = cos(2k + 1)π/2, k = 0, +1, −1, . . .
4

5. Los valores k = 0, 1, . . . , n − 1 dan n ceros distintos x0 , x1 , . . . , xn−1 situados
todos en el intervalo abierto (−1, 1).Puesto que un polinomio de grado n no
puede tener m´s de n ceros, ´sos deben ser todos los ceros de Tn .Los restantes
a e
xk de son repeticiones de esos n
Teorema 2.1 En el intervalo [−1, 1] los valores extremos de Tn (x) son +1 y
-1 alcanzados alternativamente en los n + 1 puntos
tk = cos(kπ/n), para k = 0, 1, . . . , n
Prueba
Seg´n el teorema de Rolle, el m´ximo y el m´
u a ınimo relativos de Tn deben pre-
sentarse entre dos ceros consecutivos; existen n − 1 puntos de tal naturaleza en
el abierto (−1, 1).
En la f´rmula Tn (t) = cos(n arccos t) vemos que los valores extremos +1,-
o
1 son alcanzados alternadamente en los n + 1 puntos t0 , t1 , . . . , tn dados por
tk = cos(kπ/n), parak = 0, 1 . . . , n
veamos la famosa propiedad de m´ ınimo de los polinomios de Chebyshev.
Teorema 2.2 Los polinomios definidos por:
Tn (t) = 1/2n−1 Tn (t) = 1/2n−1 cos(n arccos t), n 1
Estos polinomios tienen la norma del m´ximo m´s peque˜a posible en el inter-
a a n
valo [−1, 1], entre todos lo polinomios reales pn (x) = xn + . . . en [−1, 1] con
grado n y coeficiente principal 1, es decir:
pn Tn
Adem´s la igualdad es v´lida si pn = Tn .
a a
Prueba
En el intervalo [−1, 1] el polinomio Tn toma sus valores extremos 1/2n−1 , −1/2n−1
alternadamente en los n + 1 puntos distintos tk de la ecuaci´n ( ).
o
n−1
Por consiguiente, Tn = 1/2 .
Supongamos
pn < 1/2n−1
consideremos la diferencia
r(x) = Tn (x) − pn (x)
En los puntos tk tenemos
r(tk ) = (−1)k /2n−1 − pn (tk ) = (−1)k [1/2n−1 − (−1)k pn (tk )]
De lo supuesto el factor entre corchetes es positivo.Por consiguiente r(tk ) tiene
signos alternados en los n + 1 puntos t0 , t1 , . . . , tn .Luego r tiene por lo menos
n ceros distintos.Pero como r es un polinomio de grado menor o igual a n − 1,
esto significa que es id´nticamente nula, lo que nos lleva a una contradicci´n
e o
5

6. Ahora en nuestro ejemplo, notemos que en (*) el coeficiente principal no es
1, como se desea, pero podemos usar Tn .
As´ la aproximaci´n por un polinomio real de grado menor que n para x(t) = tn
ı o
en Y = Span{y0 , y1 , . . . , yn−1 } con yi como ( ) es y definida por:
y(t) = x(t) − 1/2n−1 Tn (t), n 1 . . . (1)
notar que en (1) el grado de y no excede n − 1 como deseabamos.
Aunque el teorema hace referencia al intervalo [−1, 1] y a un polinomio con
primer coeficiente 1, puede tambi´n utilizarse para deducir un resultado an´logo
e a
para un intervalo [a, b] y un polinomio cualquiera.
Teorema 2.3 Sea qn (x) = cn xn +. . . un polinomio de grado n 1.consideremos
la norma del m´ximo, emtomces tenemos la desigualdad
a
|qn | |cn |(b − a)n /22n−1
Prueba
Consideremos la transformaci´n
o
t = (2x − a − b)/(b − a)
Esta aplica el intervalo a x b en forma uno a uno sobre el intervalo
−1 t 1.Puesto que
x = (b − a)t/2 + (b + a)/2
tenemos
xn = (b − a)n tn /2n + . . .
luego
qn (x) = cn (b − a)n /2n pn (t)
en donde pn (t) es un polinomio en t de grado n con primer coeficiente 1.Apli-
cando el teorema a pn obtenemos lo deseado
Esto generaliza (1).
3 Aproximaci´n en Espacios de Hilbert
o
Para cualquier x en un espacio de Hilbert H e Y ⊆ H subespacio cerrado de H
existe unica mejor aproximaci´n a x fuera de Y .
´ o
En efecto se conoce
H =Y ⊕X
para cada x
x=y+z
donde z = x − y ⊥ y de aqu´ x − y, y = 0.
ı
Si dimY = n podemos determinar y (la aprox)en t´rminos de la base y1 , y2 , . . . , yn
e
para Y .Luego tendremos unica representaci´n
´ o
y = α1 y1 + . . . + αn yn
6

7. como x − y ⊥ Y tendr´
ıamos
yi , x − y = yi , x − αk yk = 0
esto es
yi , x − α1 yi , y1 − . . . − αn yi , yn = 0
donde j = 0, . . . , n.Este sistema lineal no homog´neo de n ecuaciones y coefi-
e
cientes α1 , . . . , αn .Luego el determinante de los coeficientes es
y1 , y1 y1 , y2 ... y1 , yn
y2 , y1 y2 , y2 ... y2 , yn
G(y1 , y2 , . . . , yn ) = . . .
.
. .
. .
.
yn , y1 yn , y2 ... yn , yn
como la existencia de y es unica, luego el sistema tiene unica soluci´n.De aqu´
´ ´ o ı
G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0,
El determinante G(y1 , y2 , . . . , yn ) se denomina Determinante de Gram para
y1 , . . . , yn .
Teorema 3.1 Sean y1 , . . . , yn elementos de un espacio de hilberth H ´stos for-
e
man un conjunto LI ⇔ G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0
Prueba
Veamos el caso cuando G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0, el otro es conocido. supongamos
sean LD luego alguno seria combinaci´n lineal del resto y al reemplazarlo en
o
el determinante desarrollando por columnas tendr´ ıamos que las columnas se
repiten luego G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0 contradicci´n .
o
Es interesante la relaci´n que se puede obtener con la mejor aproximaci´n.
o o
Sea z = x − y tenemos una expresi´n para esto en funci´n a gramianos.
o o
Teorema 3.2 Si dimY = n, donde Y escomo antes y0 , . . . , yn es base de Y ,
entonces
z 2 = G(x, y1 , y2 , . . . , yn )/G(y1 , y2 , . . . , yn )
Aqu´ por definici´n
ı o
x, x x, y1 ... x, yn
y1 , x y1 , y1 ... y1 , yn
G(x, y1 , y2 , . . . , yn ) = . . .
.
. .
. .
.
yn , x yn , y1 ... yn , yn
Prueba
Sabemos que y, z = 0, donde z = x − y as´ se obtiene
ı
2
z = z, z =, z + y, z = x, x − y = x, x − x, αk yk
Esto se puede escribir como
2
− z + x, x − yi , x − α1 x, y1 − . . . − αn x, yn = 0
7

8. Usando tambien lo optenido antes.
yi , x − α1 yi , y1 − . . . − αn yi , yn = 0
Los sistemas mostrados juntos hacen un nuevo sistema homog´neo de n + 1e
variables con inc´gnitas 1, α1 , . . . αn , el sistema total tiene soluci´n no trivial,
o o
luego su el determinante de los coeficientes es nulo.
x, x − z 2 x, y1 ... x, yn
y1 , x + 0 y1 , y1 ... y1 , yn
. . . =0
.
. .
. .
.
yn , x + 0 yn , y1 ... yn , yn
desarrollando como suma de determinantes tendr´
ıamos
G(x, y1 , y2 , . . . , yn ) − z 2 G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0
y por ser un conjunto linealmente independiente se tiene que
G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 0
Si la base fuese ortonormal se tendr´ G(y1 , y2 , . . . , yn ) = 1, pues los productos
ıa
fuera de la diagonal son ceros y en la diagonal unos, obteni´ndose e
n
2 2
z = x − | xk , yk |
k=1
Veamos ahora algunas propiedades de los gramianos.
Observaci´n 3.1 Se verifica que G(y1 , y2 , . . . , yn ) 0 concluyendo asi que si
o
el conjunto el LI entonces su gramiano es mayor a cero.
Prueba
Veamos por inducci´n.
o
Para n = 1 obvio.Supongamos se verifique para n = k y consideremos yk+1 = x
como
G(x, y1 , y2 , . . . , yk )/G(y1 , y2 , . . . , yk ) = z 2 0
Observaci´n 3.2 Sea M = y1 , . . . , yn LI en un Hilberth.Muestre que para
o
cualquier subconjunto yk , . . . , yn donde (k < m < n)
G(yk , yk+1 , . . . , yn )/G(yk+1 , yk+2 , . . . , yn ) G(yk , yk+1 , . . . , ym )/G(yk+1 , yk+2 , . . . , ym )
En particular
G(ym , ym+1 , . . . , yn )/G(ym+1 , ym+2 , . . . , yn ) G(ym )
Prueba
Basta notar que si (k < m < n)
d(yk , yk+1 , yk+2 , . . . , yn ) d(yk , yk+1 , yk+2 , . . . , ym ) d(yk , ym )
8

9. Observaci´n 3.3 En lo anterior mostrar que
o
G(y1 , y2 , . . . , yn ) G(y1 , y2 , . . . , ym )G(ym+1 , ym+2 , . . . , yn )
Prueba
Es suficiente aplicar lo anterior luego multiplicar miembro a miembro
G(y1 , y2 , . . . , yn )/G(y2 , y3 , . . . , yn ) G(y1 , y2 , . . . , ym )/G(y2 , y3 , . . . , ym )
G(y2 , y3 , . . . , yn )/G(y3 , y4 , . . . , yn ) G(y2 , y3 , . . . , ym )/G(y3 , y4 , . . . , ym )
.
. .
.
. .
G(ym , ym+1 , . . . , yn )/G(ym+1 , ym+2 , . . . , yn ) G(ym )
Concluimos con una desigualdad muy famosa
Observaci´n 3.4 (Hadamard’s)
o
G(y1 , y2 , . . . , yn ) y1 , y1 . . . yn , yn
Prueba
Para ver esto aplicamos lo anterior repetidamente
G(y1 , y2 , . . . , yn ) G(y1 )G(y2 , y3 , . . . , yn )
G(y2 , y3 , . . . , yn ) G(y2 )G(y3 , y4 , . . . , yn )
.
.
.
G(yn−1 , yn ) G(yn−1 )G(yn )
Luego solo multiplicamos miembro a miembro, cada factor es no nulo desde que
son LI
La versi´n real de este enunciado es:
o
Si A = (αjk ) se cumple
n
(detA)2 a1 . . . an donde aj = |αjk |2
k=1
La prueba de esto es una simple aplicaci´n de la ultima observaci´n anterior,
o ´ o
para obtener los productos internos basta considerar cada fila de A como un
vector y recordar que
detA = detAt
as´ en detA2 se tendr´ la forma requerida.
ı a
9