Este documento describe el uso de ecuaciones diferenciales para modelar matemáticamente el crecimiento en el número de usuarios que acceden al Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) y al portal de la Universidad Técnica Particular de Loja (UTPL) sobre varios períodos. Los datos recolectados se utilizaron para determinar soluciones particulares de modelos de crecimiento exponencial que predicen el número de usuarios en períodos futuros. El software Mathematica apoyó la representación gráfica de los modelos.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
“INCREMENTO DEL ACCESO DE LOS ESTUDIANTES DE LA UTPL AL EVA Y
LOS USUARIOS QUE INGRESAN AL PORTAL”
ESCUELA:
Sistemas Informáticos y Computación
INTEGRANTES:
Johanna Caraguay
Nora Estrada
Mariuxi Maza
Jackeline Palacios
ASIGNATURA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE:
Ing. Germania Rodríguez
2010 – 2011
Loja-Ecuador

2. TEMA:
Incremento del acceso de los estudiantes de la UTPL al EVA y los usuarios que
ingresan al Portal
INTRUDUCCIÓN:
En el contexto educativo, la información transaccional representa el punto de
partida para la virtualización. Siendo el EVA (Entorno Virtual de Aprendizaje), la
herramienta de interacción que permite recrear la experiencia de aprendizaje
basándose en la web, lo cual facilita un acceso rápido a la información educativa,
de maestro a alumno y viceversa.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Aplicar los conocimientos adquiridos en la materia de ED, desarrollando un
diseño de modelado matemático con los datos de la continuidad de uso del
EVA.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Entender la utilidad de las ecuaciones diferenciales.
Analizar los datos que nos proporciona el modelo matemático.
Interpretar los resultados obtenidos para establecer conclusiones precisas.
Determinar el número de ingresos al EVA y al portal.
Establecer una descripción del crecimiento del número de ingresos en el
EVA y los ingresos al portal.
Diferenciar mediante la grafica cual es el modelo que mayor crecimiento
tiene.

3. DESCRIPCIÓN
Las ED (Ecuaciones Diferenciales) son una herramienta importante en diversos
campos, especialmente los referentes a las ingenierías; ya que permiten el
modelado de fenómenos de la naturaleza o problemas reales; obteniendo
soluciones que ayudan a comprender su comportamiento. Esta es la razón por la
cual también en nuestra carrera su función no es indiferente.
El entorno Virtual de Aprendizaje registra los datos estadísticos con respecto a la
frecuencia de uso del mismo; con sus respectivos recursos facilitando la
interacción estudiante profesor. Por tal motivo hemos seleccionado este tema ya
que consideramos importante lo antes mencionado, mostrando la accesibilidad del
mismo por parte de los alumnos de la UTPL, este brindará reportes que podrían
tomarse en cuenta para una observación del manejo de recursos del EVA.

4. DESARROLLO
1. SUPOSICIONES:
RECOLECCION DE LOS DATOS
Con la finalidad de conocer como se lleva a cabo la frecuencia de uso de la
utilización del EVA se obtendrá los datos correspondientes a cinco periodos
consecutivos que nos permitan calcular la variación de los mismos en ese tiempo.
Los datos acerca del acceso de los usuarios al EVA nos brindo en Ing. Rodrigo
López en la unidad de Virtualización, mientras que lo referente al acceso del los
usuarios a l portal nos proporcione la Ing. Germania Rodríguez en la Unidad de
Desarrollo de Software.
USUARIOS DEL EVA
MODALIDAD CLASICA
PERIODO INGRESO
Abr/2008 – Ago/2008 3061
Oct/2008 – Feb/2009 4383
Abr/2009 – Ago/2009 3974
Oct/2009 – Feb/2010 4512
Abr/2010 – Ago/2010 3766
MODALIDAD ABIERTA
PERIODO INGRESO
Abr/2008 – Ago/2008 17449
Oct/2008 – Feb/2009 18562
Abr/2009 – Ago/2009 18559
Oct/2009 – Feb/2010 21102
Abr/2010 – Ago/2010 23465
USUARIOS DEL PORTAL
PERIODOS INGRESO
Abril 2008 – Agosto 2008 207129
Octubre 2008 – Febrero 2009 289710
Abril 2009 – Agosto 2009 318738
Octubre 2009 – Febrero 2010 432229
Abril 2010 – Agosto 2010 502800

5. FORMULACIÓN MATEMÁTICA
PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Para realizar el modelado matemático se van a tomar las variables que
mencionaremos a continuación.
Vamos a definir las variables que forman parte del problema:
P: Población de los estudiantes matriculados, que varía con el tiempo.
t: tiempo medido en años.
k: constante de proporcionalidad.
Sea P (t) la cantidad de estudiantes en un instante cualquiera, entonces la rapidez con que
la población cambia es proporcional a la cantidad de estudiantes presentes en dicho
instante. Por definición el crecimiento de la población en un instante cualquiera se calcula
mediante la siguiente expresión:
kp
dt
dp
Esta expresión define la función que describe la variación de la población con respecto al
tiempo, donde la condición inicial es para:
0)0(
0
PP
t
Separamos variables
kdt
P
dP
Integrando
kdt
P
dP
=== cu
u
du
ln cudu
Se obtiene
cktP ||ln === multiplicamos por e para eliminar ln
Despejamos P
ceP kt

6. SOLUCIONES
DESARROLLO DE LA ECUACIÓN
USUARIOS DEL EVA
MODALIDAD CLÁSICA
Determinamos la Solución Particular
Una vez definidas las variables y los valores obtenidos, procedemos a remplazar las variables
con los valores para obtener el resultado deseado.
kp
dt
dp
Revisando la ecuación, nos damos cuenta que no tenemos menos el de la constante k,
entonces procedemos primero a calcular el valor de k:
En donde:
El año 2008 se hace coincidir con t=0
El año 2010 se hace coincidir con t=2.5
MODALIDADA CLASICA
P (0)=3061
P (5)=3766
082908708.0
3061
3766
ln
5.2
1
5.2
3061
3766
ln
3061
3766
30613766
3061
5.2
5.2
0
k
k
k
e
e
eP
ePP
k
k
kt
kt
Entonces
t
eP 082908708.0
3061

7. Por lo tanto se remplaza t por 4
5.3017586014.0
3061eP
Entonces en el próximo ciclo habrá
255.35.3P Usuarios
Es decir en el próximo ciclo habrá 3.255 usuarios aproximadamente
MODALIDAD ABIERTA
P (0)=17449
P (5)=23465
118491043.0
17449
23465
ln
5.2
1
5.2
17449
23465
ln
17449
23465
1744923465
17449
5.2
5.2
0
k
k
k
e
e
eP
ePP
k
k
kt
kt
Entonces
t
eP 118491043.0
17449
Por lo tanto se remplaza t por 3.5
5.3118491043.0
17449eP
Entonces en el próximo ciclo habrá
417.265.3P Usuarios
Es decir en el próximo ciclo habrá 417.26 usuarios aproximadamente

8. USUARIOS DEL PORTAL
P (0)=207129
P (5)=502800
354740275.0
502800
207129
ln
5.2
1
5.2
502800
207129
ln
502800
207129
207129502800
207129
5.2
5.2
0
k
k
k
e
e
P
ePP
k
k
kt
kt
Entonces
t
eP 354740275.0
207129
Por lo tanto se remplaza t por 3.5
5.3354740275.0
207129eP
Entonces en el próximo ciclo habrá
845,595.3P Usuarios
Es decir en el próximo ciclo habrá 3.255 usuarios aproximadamente
2. COMPROBACIÓN DEL MODELO
AUTOMATIZAR EL MODELO
Para la automatización del modelado matemático se parte de la solución específica
determinada anteriormente para cada uno de los casos.
La herramienta que utilizamos es el programa llamado Mathematica 7 for
Student, la cual nos sirve para la representación gráfica matemática de los datos.

9. USUARIOS DEL EVA
MODALIDAD CLASICA
Representación Gráfica
MODALIDAD ABIERTA
Representación Gráfica

10. USUARIOS PORTAL
Representación Gráfica

11. CONCLUSIONES
 El modelado matemático es de gran utilidad, pues entre todas sus
aplicaciones en las ecuaciones diferenciales además permiten conocer
aproximaciones de resultados en los podrían incluirse algunos proyectos
tanto laborales, empresariales como también educativos.
 La interpretación del crecimiento de accesos al EVA se determino a partir
de los periodos anteriores donde se tasas de crecimiento y también se
ajustaron al modelo de crecimiento poblacional en las ecuaciones
diferenciales.
 La determinación de una ecuación que describe la variación poblacional; da
apertura a la predicción de datos en un tiempo determinado. De aquí su
utilidad de acuerdo a las condiciones, causas y efectos que lo requieran.
 Herramienta que en el presente proyecto ha servido de gran utilidad es el
software Mathematica 7 for Student, pues ha facilitado el desarrollo gráfico
de los modelos respectivos al crecimiento poblacional.
BIBLIOGRAFÍA

12.  http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional
 FENOMENOS FÍSICOS, MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES
DIFERENCIALES, Tomado el 22 de Noviembre del 2009. Disponible en:
http://rmf.fciencias.unam.mx/pdf/rmf/34/1/34_1_098.pdf
 http://www.google.com.ec/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCAQFjAB
&url=http%3A%2F%2Fwww.monografias.com%2Ftrabajos11%2Fecudife
%2Fecudife.shtml&rct=j&q=FORMULA%20ECUACION%20DIFERENCIAL&
ei=_CDsTOuUCsGL4QaVl53BAQ&usg=AFQjCNF2LfA1U_-
BvAyryN5if0W8F_mmdg&cad=rja
 http://www.google.com.ec/url?sa=t&source=web&cd=10&ved=0CFwQFjAJ
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qid%3D20100515002433AAy7nhr&rct=j&q=FORMULA%20ECUACION%2
0DIFERENCIAL&ei=_CDsTOuUCsGL4QaVl53BAQ&usg=AFQjCNEIvj1LGpPA
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 ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Edición
8. Editor Cengage Learning Editores, 2006. pág. 167-171.