Ingreso2013

I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de Matemática
CURSO INTRODUCTORIO 2013
PROFESORADO DE MATEMÁTICA

1

I.S.F.D “Insp. Prof. Albino G. Sánchez Barros”

MÓDULOS:

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
GEOMETRÍA

PROFESORES:

MÓNICA ABALLAY
ALEJANDRO NIETO


Vida Intelectual
"El genio es fruto de una larga paciencia, pero una paciencia organizada, inteligente. No hay
necesidad de facultades extraordinarias para realizar una obra; un término medio calificado es
suficiente; la demás es provisto por la energía y sus sabias aplicaciones. Y así vemos el caso de
un obrero probo, ahorrador y fiel al trabajo: este triunfa. En tanto, un genio enfatuado fracasa.
Lo que digo sobre esto, vale para todos; empero la aplico especialmente a quienes disponen
solamente de una parte de su vida, la menor, para dedicarse a las trabajos de la inteligencia.
Estos, más que otros, deben ser consagrados.
Lo que más vale es la voluntad; una voluntad ardiente y profunda, una voluntad dispuesta a 2
triunfar, a ser alguien; a llegar a algo; ser ya por deseo, ese alguien calificado por su ideal. Todo
lo demás tiene arreglo.
Libros existen en todas partes.
Los grandes seres están siempre presentes y desde su pasado animan al pensador entusiasta.
Cuando se experimentan sentimientos tales, no importa dónde se está y de que se dispone.
Uno está marcado con el sello; es un elegido por el Espíritu; no hay más que perseverar y
confiar en la vida tal cual Dios la organiza."

Jacques Maritain
Del libro “Introducción a la Filosofía”
Ed: Club de Lectores – Bs As 1999 .


ARITMÉTICA Y ALGEBRA

REVISIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS OPERACIONES
1. Introducción

Aún en las etapas más primitivas de la evolución humana se encuentra en el Hombre el

sentido del número. Esta capacidad le permite a él reconocer lo que ha cambiado en
un conjunto de elementos, por ejemplo, si se ha extraído o añadido algún objeto. 3

¿Cómo pudo un hombre, hace 5000 años, saber que en su rebaño no faltaba ninguna
de sus 41 ovejas, si ni siquiera sabía contar hasta 10?

Una simple solución es la siguiente: llevaba consigo tantas piedritas como ovejas, y al
terminar la jornada guardaba por cada oveja una piedrita en su bolsa; si sobraba
alguna sabía que debía buscar una oveja. Establecía una correspondencia biunívoca
entre dos conjuntos de objetos.

Mucho tiempo después, los romanos usaron también piedritas para hacer sus
cálculos; la palabra “cálculo” significa etimológicamente piedra, y de ahí el origen de la
palabra calcular. La actividad de contar y la necesidad de simplificar la tarea de hacer
cálculos, implicó la necesidad de utilizar símbolos escritos para representar lo que se
había contado. Fue así que surgieron los distintos sistemas de numeración. A través de
la historia se han usado distintos sistemas, y en cada uno de ellos cada número se
representa como una combinación de símbolos. En algunos casos los símbolos
representan cantidades y una combinación de símbolos representa la suma de estas
cantidades; estos sistemas emplean una descomposición aditiva.

En otros casos, como el sistema decimal actual, importa la ubicación del símbolo en la
representación del número. Por ejemplo, 21 significa veintiuno, mientras que 12
significa doce. Estos sistemas se llaman posicionales. Algunas culturas usaron una base
de 20 símbolos, otros de 60, pero el sistema de numeración que ha predominado y es
el que actualmente usamos tiene base 10, y por eso se llama decimal. Eso significa que
podemos escribir números arbitrariamente grandes con tan sólo diez símbolos: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Así es como el número 10 ha dejado sus marcas en nuestra forma de
contar y en las palabras para nombrar los números. Así por ejemplo “dieciséis” está
compuesto por las palabras “diez” y “seis”, “treinta” hace alusión a “tres” veces 10.

La característica fundamental de este sistema de numeración está centrada entonces
en la posición que el número ocupa:

Así el número 111, cada una de las cifras –que son iguales- tiene un valor absoluto que
es el mismo y un valor relativo a la posición que ocupa:


1 1 1
Representa

1 unidad
Representa
Representa
1 centena que
1 decena, es
equivale a 10
decir 10
decenas y a 100
unidades
unidades

4
Los números que se usan para contar se llaman números naturales: 1, 2, 3,.... Fueron
los primeros números que aparecieron en la historia de las matemáticas. Luego se
agregó el 0 como una forma de representar lo que no hay, los números negativos para
poder resolver todas las restas, las fracciones para resolver todas las divisiones,
también los números irracionales y los imaginarios. De esta manera quedaron
deﬁnidos los distintos conjuntos numéricos: los naturales, los enteros, los racionales,
los reales y los complejos.

Haremos, en este curso, un recorrido por los distintos conjuntos, justiﬁcando
brevemente la necesidad de construirlos.

2. Números naturales

2.1. Nociones básicas

Los números naturales son, tal como los conocemos, 1, 2, 3, 4, 5,. . . infinitos.

Llamamos N al conjunto de los números naturales, es decir:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Estos números se usan a diario para contar. Matemáticamente, contar significa decir

cuántos elementos tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d} tiene 4

elementos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto vacío? Como el conjunto vacío no
posee ningún elemento, necesitamos un símbolo nuevo que represente la cantidad de
elementos de este conjunto. Este símbolo es el 0. Llamamos N al conjunto de los
números naturales con el cero, o sea:

N 0 = N  {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}


2.2. Propiedades

 Es un conjunto infinito, totalmente ordenado por la relación de menor o igual

( ≤ ).

 Tiene primer elemento, el número 1.

 No tiene último elemento, es un conjunto infinito.

 Todo número natural tiene un siguiente.
5
 Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural y
entre dos naturales no consecutivos hay un conjunto finito de números
naturales, por eso es un conjunto discreto.

2.3. Operaciones

El conjunto de los números naturales tiene dos operaciones importantes: la suma y el
producto. Ambas son operaciones asociativas y conmutativas. El 1 es el neutro para el
producto, y la suma no tiene elemento neutro en N, pero sí en N₀: el 0. La suma
repetida de un mismo número se llama multiplicación, o también usaremos el término
producto. Así, sumar 5 veces 8 es multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo
que sumar 8 veces 5. Esto es:

8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 . 8 y además

8 + 8 + 8 + 8+ 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

5 veces 8 veces

Por lo tanto, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones:
suma y multiplicación. Estas operaciones son cerradas, es decir, la suma y la
multiplicación entre dos números naturales es otro número natural. Además las
operaciones cumplen con las siguientes propiedades:

 Conmutatividad: esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de
una suma o de los factores en una multiplicación no altera el resultado. Por
ejemplo:

5 + 6 = 6 + 5 = 11 ; 2.3=3.2=6

 Asociatividad: esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos
en una suma o en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:

2+(3+4)=(2+3)+4=9

2 . ( 3 . 4 ) = ( 2 .3) .4 = 24


 Distributividad: de la multiplicación respecto de la suma: la multiplicación
distribuye respecto de la suma.

 En forma general, las dos operaciones: suma y producto están relacionadas
por la siguiente propiedad:

Para toda terna de números naturales a, b, c, vale que

a · (b + c)= a · b + a · c propiedad distributiva del producto respecto de la suma

(a + b) · c = a · c + b · c
6
Por ejemplo:

(2+1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3 3 . (2+1) = 3 . 2 + 3 . 1

3 . 3 = 6 + 3

9 = 9

Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se
conviene en representar la multiplicación iterada de factores iguales, como una
potencia: 8 . 8 . 8 . 8 = 8⁴

En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el número de
veces que se multiplica a la base por sí misma. Notemos por ejemplo que:

5² . 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶ puesto que

(5 .5) (5 . 5 . 5 . 5) = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5

2 veces 4 veces 6 veces

La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base,

y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Veamos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el cuadrado de la suma
de dos números naturales:

(a + b) 2 = (a + b) · (a + b)

= (a + b) · a + (a + b) · b

=a·a+b·a+a·b+b·b

= a² + a b + a b + b²

= a² + 2 a b + b²


Esto también puede verse geométricamente como muestra el dibujo de la figura 1:

7

Ejercicio: Encontrar una fórmula para (a + b)³

Divisibilidad

Sean a y b números naturales. Se dice que a es divisible en b si el resto de a ÷ b es
cero.

Ejemplos

48 es divisible en 8, el cociente (resultado) de la división es 6 y el resto es cero.
Decimos entonces que 8 es divisor de 48. ¿Qué otros divisores tiene 48?

48 se puede dividir por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48

Entonces un número es b es divisor de otro a, si y sólo si el resto de la división es cero.

Un número tiene una cantidad finita de divisores.

 Todo número se puede dividir por sí mismo y por uno. Pero sí un número sólo
se puede dividir por sí mismo y por uno, entonces es un número primo.

 Si un número además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es por
otros divisores; entonces es número compuesto.

 1 es divisor de todos los números.

 El número 1 no es primo, ni compuesto.

Ejemplos

12 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

28 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.

5 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 5.


7 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 7.

2 es el menor de los números primos.

Tabla de números primos

Para obtener los primeros n números primos de los números naturales se puede
utilizar la criba de Eratóstenes, la cual consiste en hacer una tabla con los números del
1 hasta n.

El procedimiento es señalar con un paréntesis los números que sean primos y tachar
8
los que no lo sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre paréntesis el 2, a
continuación se tachan los múltiplos de 2, posteriormente se busca el primer número
no tachado, en este caso (3), se pone entre paréntesis y se tachan todos sus múltiplos.
El procedimiento se sigue hasta tener marcados todos los números.

Por tanto, los números primos entre 1 y 100 son:

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Múltiplos

El múltiplo de un número es el que lo contiene un número exacto de veces o son los
resultados de la tabla de multiplicar de un número.

Ejemplos

36 es múltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces, también 36 está en la lista de
resultados de la tabla de multiplicar del 9.

240 es múltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces.

Los múltiplos de un número k se obtienen al multiplicar k por los números naturales:
k.n siendo n cualquier número natural.


Ejemplos

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … , porque 3(1) = 3, 3(2) = 6, 3(3) = 9, 3(4)
= 12, 3(5) = 15, 3(6) = 18, ...

Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10,

5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25

 A diferencia de los divisores, los múltiplos de un número son infinitos.

 0 es múltiplo de todos los números. 9

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad en 2: Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los
números divisibles por 2 se llaman pares.

Divisibilidad en 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo
de 3.

Ejemplos

51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es múltiplo de 3.

Divisibilidad en 4: Un número es divisible por 4, si sus últimos 2 dígitos son 0 o un
múltiplo de 4.

Ejemplos

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0.

628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4.

Divisibilidad en 5: Un número entero es divisible por 5, si su último dígito es 0 o 5.

Ejemplo

5 215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente.

Divisibilidad en 6: Un número entero es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la
vez.

Ejemplos

24 es divisible por 2 porque termina en número par y es divisible por 3 porque la suma
de sus cifras da 6, por lo tanto es también divisible por 6.


216 es divisible por 2, ya que termina en 6, y es divisible por 3, porque la suma de sus
dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible por 6.

Divisibilidad por 7: Un número es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último
dígito por 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la
diferencia es 0 o un múltiplo de 7.

Ejemplos

315 es divisible por 7, ya que 5 × 2 = 10 y 31 − 10 = 21 y 21 es múltiplo de 7.
10
147 es divisible por 7, porque 7 × 2 = 14 y 14 − 14 = 0.

Divisibilidad en 8: Un número es divisible por 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la
derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.

Ejemplos

6 000 es divisible por 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0.

3 160 es divisible por 8, porque los 3 últimos dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Divisibilidad en 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es un múltiplo
de 9.

Ejemplos

1 233 es divisible por 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 9.

6 786 es divisible por 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es múltiplo de 9.

Divisibilidad en 10: Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0.

Ejemplos

360 es divisible por 10, porque su último dígito es 0.

2 500 es divisible por 10, ya que termina en 0.

Divisibilidad en 11: Un número es divisible por 11, si el valor absoluto de la diferencia
entre la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar
es 0 o múltiplo de 11.

Ejemplos

1 364 es divisible por 11, ya que (3 + 4) – (1 + 6) = 7 – 7 = 0

82 918 es divisible por 11, porque (8 + 9 + 8 ) – ( 1 + 2 ) = 25 – 3 = 22 y 22 es múltiplo
de 11


Descomposición de un número en sus factores primos

La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como
producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número por el menor
divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir por el menor
divisor primo posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento
también se conoce como factorización de un número compuesto.

Por ejemplo:

11

Máximo común divisor (MCD)

Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números.

Ejemplo 1

Los divisores de 18 y 24 son:

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6

Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6.

Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus
factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los
números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de
“primos relativos”.


Ejemplo 2

12

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más
números.

Ejemplo 1

Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …

Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, …

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12

Para calcular el mcm de varios números se descomponen simultáneamente en factores
primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el
factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.


Ejemplo 2 13

Problemas


3. Números Enteros

Quedó planteado ya que los números naturales sirven para contar y ordenar. Sin
embargo, hay situaciones que para ser descriptas correctamente requieren de otro
tipo de números. Los números enteros negativos se usan en diversos contextos, por
ejemplo, para expresar o calcular: S

 En geografía, profundidades o diferencias de altura:

o la capa más superficial de la estructura de la Tierra, llamada corteza
terrestre, llega hasta los -30 km en el fondo oceánico; 14

o la diferencia de altura que hay desde la cima del o Aconcagua, que se
halla a 6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna
del Carbón, en la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105
metros bajo el nivel del mar. (Figura 2)

figura 2

 Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de
agosto, con una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de
7°C.

 En contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos
haberes o activos poseídos.

 Fechas en la antigüedad, años antes de Cristo: Platón, el más importante
filósofo de la antigüedad, fue alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles;
nació en Grecia en el año 427 a.C. y murió en el año 347 a.C.; por lo tanto, vivió
80 años.

3.1. Construcción de los números enteros

Para continuar el estudio de los números, consideremos N 0 el conjunto de los
números naturales y el cero, y pensemos en la siguiente situación. En el capítulo
anterior, estudiamos operaciones de números naturales y vimos que dos números


naturales se pueden sumar y se obtiene como resultado otro número natural; también
se pueden multiplicar y el resultado es un número natural. Por ejemplo, 3+6 = 9 ∈ N y
3·6 = 18 ∈ N. Además, si quisiéramos restar uno de otro, por ejemplo, hacer 6 - 3
también se puede dentro del conjunto N, es decir 6 - 3 = 3 ∈ N. Una situación cotidiana
que refleja esta situación matemática es la siguiente: si Luis tiene 6 pesos, Marcos le
puede pedir prestados 3 pesos y a Luis todavía le quedan 3. En cambio, si Luis tuviera
sólo 3 pesos, Marcos no debería esperar que le preste 6 porque no tiene más de 3.

Es decir, ¿qué ocurre si queremos efectuar la operación de resta en el otro sentido, o
sea, 3 - 6? ¿A 3 se le puede restar 5? Veremos enseguida que, en realidad, sí se puede 15
efectuar esta operación, pero el resultado ya no es un número natural.

Recordemos que la operación suma dentro de N₀ tiene al cero como elemento neutro
porque a + 0 = a y 0 + a = a para todo número natural a. Pero ningún número natural
tiene un inverso dentro de N₀, respecto de la suma. La pregunta es qué tipo de
números deberíamos agregarle a N₀ para que todo elemento tenga inverso respecto
de la operación suma. Es decir, si Paula tuviera 3 remeras, Lorena podría pedirle las 3
remeras (por lo menos para probárselas) y en este caso, Paula no se quedaría con
ninguna. Es decir, 3 - 3 = 0, o, mejor dicho, 3 + (-3) = 0 que no es un natural pero sí
pertenece a N₀.

En otras palabras, agreguémosle a N₀ todos los “opuestos” de sus elementos, es decir,
el -1, el -2, etcétera. Llamaremos al nuevo conjunto que construimos de esta forma
conjunto de los números enteros y lo denotamos con la letra Z.

3.2. Propiedades

 Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relación de ≤ (menor o
igual).

 No tiene primero ni último elemento.

 Todo número entero tiene un antecesor y un siguiente.

 Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo
tanto es un conjunto discreto.

Propiedad del número 0

 Elemento Neutro para la Suma: si lo sumamos con cualquier número se obtiene
el mismo número. Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4

 Multiplicación por Cero: la multiplicación por cero siempre da como resultado
cero.


Por ejemplo: 6 . 0 = 0 , (−3) . 0 = 0

 Potencia Cero: Se conviene deﬁnir la potencia de un número no nulo con
exponente cero, igual a 1. Por ejemplo: 7: = 1 y (−5): = 1

Propiedad del número 1

 Elemento Neutro para la Multiplicación: si se lo multiplica por cualquier
número se

Obtiene el mismo número; por ejemplo: 4 . 1 = 4 , (−9) .1 = −9 y 0 .1 = 0
16

3.3. Representación de los números enteros en la recta numérica

Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se
eligen dos puntos distintos, uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento
unidad. Transportando este segmento hacia un lado de la recta se representan todos
los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros negativos. Claramente, existen
muchos puntos de la recta que no se corresponden con ningún entero.

3.4. Valor absoluto de un número

Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en
la recta numérica. El valor absoluto de un número a se representa como a .

Ejemplos: Determina el valor absoluto de – 3

Se representa − 3 en la recta numérica:

De cero a − 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto
de − 3 es igual a 3 y se representa como:  3 = 3

Para encontrar el valor absoluto de 8:


En la recta numérica la distancia entre el origen y 8 es de 8 unidades, por consiguiente,
8 8

3.5. Operaciones con números enteros y propiedades. 17

Suma

En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o
adición. La suma o adición de números enteros se efectúa sólo si los signos de los
números son iguales.

3 + 9 = 12 y − 3 – 9= -12

Si los números tienen el mismo signo (−), se suman sus valores absolutos y el signo del
resultado es el mismo que el de los sumandos (−).

− 3 – 9 = − 12

Esta operación que genera, por lo general, dificultades para resolverla se puede
interpretar a través de ejemplos prácticos o través de gráficos:

Ejemplo 1:

Supongamos que Luciano tiene cuenta en el kiosco de la escuela. El día lunes compró
un sandwich y le anotaron 3 pesos; el día martes compró una gaseosa y un sandwich y
le anotaron 9 pesos. La anotación en el cuaderno es la siguiente:

Luciano debe:

Día lunes: $ 3

Día martes: $ 9

La cuenta es:

-3

-9

-12


Veámoslo en la recta:

Partiendo de C, avanzamos 3 unidades a la izquierda y llegamos a A, luego avanzamos
9 unidades más a la izquierda y llegamos a B. 18

Suma y resta con signos de agrupación

Los signos de agrupación son ( ) paréntesis, [ ] cochetes , { } llaves

Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación,
primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente
procedimiento:

Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que
encierra conserva su signo.

Analicemos los siguientes ejemplos:

¿Cuál es el resultado de (− 8) + (− 3)?

Puesto que ambos signos de agrupación están precedidos por signos positivos,
entonces se suprimen y se realiza la operación para obtener el resultado:

(− 8) + (− 3) = − 8 − 3 = −11

Efectúa (+ 6) + (− 8)

Al estar precedidos por signos positivos, ambos enteros conservan su signo y se
obtiene como resultado:

(+ 6) + (− 8) = 6 − 8 = − 2

Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, entonces el entero que
encierra cambia su signo:

Por ejemplo: Para resolver − (14) − (− 10)

Como a los signos de agrupación le anteceden signos negativos, entonces se deben
cambiar los signos de los enteros y realizar la operación que resulta.


− (14) − (−10) = −14 + 10 = − 4

El resultado de la operación es − 4

¿Cuál es el resultado de (− 6) + (− 3) − (−11)?

Se aplican los procedimientos correspondientes a cada signo de agrupación y se
procede a efectuar la operación con enteros:

(− 6) + (− 3) − (−11) = − 6 − 3 + 11 = − 9 + 11 = 2

Para resolver (6 − 8) + (5 − 2) 19

Una forma de realizar la operación es efectuar las operaciones que encierran cada uno
de los signos de agrupación:

(6 − 8) + (5 − 2) = (− 2) + (3) = 1

Para resolver (8 − 3) − (− 4 + 6) + (2 − 7 − 3) + 5=

=8−3+4−6+2−7−3+5

=8+4+2+5−3−6−7–3 ó = (8 + 4 + 2 + 5 ) – (3 + 6 + 7 + 3 )

= 19 – 19 = (19 ) – ( 19)

= 0 = 19 – 19 = 0

¿Cuál es el resultado de *(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+?

Se efectúan las operaciones contenidas en los paréntesis:

*(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+ =

= [ (− 2) − (− 5) + + *4 − (1)+

Se eliminan los paréntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes:

= *− 2 + 5+ + *4 − 1+

= [3] + [3]

=3+3

=6


Resta

Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el
minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia.

a Minuendo

− b Sustraendo

c Diferencia

Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor 20
valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:

9–7=2

¿Cuál es el resultado de 3 − 4?

Se realiza la operación 4 − 3 = 1, y al resultado se le antepone el signo negativo, debido
a que el número de mayor valor absoluto es negativo, por tanto:

3 − 4 = −1

La multiplicación

Leyes de los signos

1. El producto de dos números con signos iguales da como resultado un número
positivo.

Ejemplo: (8) (5) = 40 ; (− 3) (− 7) = 21

2. El producto de dos números con signos diferentes da como resultado un número
negativo.

Ejemplo: (− 6) (4) = − 24 ; (9)(− 3) = − 27

En general, la aplicación simbólica de las leyes de los signos anteriores es:

(+) (+) = + (−) (−) = +

(−) (+) = − (+) (−) = −

Efectúa (− 3)(− 4)(− 6)

Solución

Se realiza el producto de (− 3)(− 4) y el resultado, 12, se multiplica por − 6, entonces:

(− 3)(− 4)(− 6) = (12)(− 6) = − 72


Finalmente, el resultado de la multiplicación es − 72

¿Cuál es el resultado de (3) (− 5) (− 2) (4)?

Solución

Se multiplican 3 por − 5 y − 2 por 4, los resultados se vuelven a multiplicar para
obtener el resultado final de la operación.

= (3) (− 5) (− 2) (4)

= (−15) (− 8) = 120 21

Por tanto, el producto es 120.

Multiplicación con signos de agrupación

Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres
respectivamente son: paréntesis, corchetes y llaves.

Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay
que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o
signo que los anteceden.

Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan.

Efectúa 3 (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) =

aplicamos propiedad distributiva y suprimimos paréntesis

3. (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = = 12 − 6 − 5 + 20 − 8 − 9

Se agrupan y suman los números con el mismo signo, los resultados se restan:

= 12 + 20 − 6 − 5 − 8 − 9

= 32 − 28

=4

¿Cuál es el resultado de 6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2)-?

En este caso, primero se suprimen los paréntesis y los números se multiplican por los
números que les anteceden:

6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2) } =

= 6 – 4 ,2 − 20 + 15 + 9 − 6-

Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por −4,


= 6 − 8 + 80 − 60 − 36 + 24

Por último, se realiza la operación al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos
se restan:

= 6 + 80 + 24 − 8 − 60 – 36 ó = (6 + 80 + 24 ) – (8 + 60 + 36 )

= 110 – 104 = 110 - 104

=6 = 6

División 22

Partes de la división

a b
r p
Divisor
dividendo
b≠0

resto cociente

Si a y b son números enteros, la división de a por b, siendo b un número entero
diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r tales que:

p . b + r = a para todo a > b y b < r.

Ejemplo

En la división de 25 en 4, el cociente es 6 y el resto, 1 ya que:

25 = 4 .6 + 1

Ejemplo

En la división de 36 en 9, el cociente es 4 y el resto es 0, ya que:

36 = 9 . 4 + 0

Cuando en una división el resto es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta.

La división entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los
números enteros. Ahora bien, si bien el cociente entre 25 y 4 es 6, no es cierto que 4
por 6 sea igual a 25. Así como con los naturales no podemos resolver el problema de
hallar el número que sumado a 5 de como resultado 3, en el conjunto de los enteros


no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea
igual a 25.

Para encontrar la solución a esta operación necesitamos trascender el conjunto de los
números enteros, es decir ampliarlo y esa ampliación va a dar por resultado la
aparición del Conjunto de los números racionales en el que no sólo 25 dividido en 4 es
posible resolver sino cualquier división en la que:

 El dividendo no es múltiplo del divisor

 El dividendo es menor que el divisor 23

casos éstos que no tienen solución en el conjunto de los números enteros Z.

Por ejemplo: 25 : 4 ó 3 : 7

En el conjunto de los números racionales:

25 3
25 4 = = 6,25 y 3:7= = 0,428571
4 7

4. Números Racionales

Este conjunto numérico resulta de las sucesivas ampliaciones que se vienen
produciendo desde los naturales a los enteros y de los enteros a los
racionales, para que la división sea siempre posible.

Un número racional es aquel que puede ser expresado como una fracción.

Cabe entonces la pregunta:

¿ 2 es un número racional? ¿ y -3? ¿y 0?

Veamos:

Si cada uno de estos números tiene la posibilidad de escribirse como
fracción, entonces son números racionales:

4 6 10 6 9 12 0 0 0
2=    ... ; -3=       ... ; 0=    ...
2 3 5 2 3 4 2 3 4

Un número natural como 2, tiene la posibilidad de ser escrito como una
fracción.

Un número entero como -3, también tiene la posibilidad de ser escrito
como una fracción. Además el 0 es otro número entero que puede


escribirse como una fracción. Por lo tanto, será que los números naturales y
los enteros son también racionales?

a
 Si a y b son dos números naturales cualesquiera, entonces es un
b
racional.

a
 Si a y b son dos números enteros cualesquiera, entonces es un
b
número racional.
24
0
 Si n es cualquier número entero, entonces es un número
n
racional.

Naturales: N

Cero: 0 Enteros: Z

Negativos: Z  Racionales: Q

Fraccionarios

4.1. Propiedades

 Es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤.

 No tiene primer ni último elemento.

 Entre dos números racionales existen infinitos racionales, esto determina que
Q sea un conjunto denso. Como consecuencia, ningún racional tiene antecesor,
ni sucesor.


GEOMETRÍA

Fundamentos para su enseñanza1
La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano: Nuestro lenguaje verbal
diario paseé muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva,
ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos
comunicamos con otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la
terminología geométrica es esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos
permite comunicamos y entendemos con mayor preedición acerca de observaciones
25
sobre el mundo en que vivimos.

La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo,
está relacionada con problemas de medida que a diario nos ocupan, corno diseñar un
cantero o una pieza cerámica, o un folleto, cubrir una superficie ó calcular el volumen
de un cuerpo; con leer mapas y planos, o. con dibujar o construir un techo con
determinada inclinación.

La geometría se usa en todas las ramas de la matemática: Ella se 'comporta como un
tema unificante (crea vínculos entre distintas áreas) de la matemática curricular ya que
es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos y
estadísticos. Los docentes usamos frecuentemente ejemplos y modelos geométricos
para ayudar a que los estudiantes comprendan y razonen sobre conceptos
matemáticos no geométricos.

Son ejemplos o modelos geométricos usados en la enseñanza:

 La recta numérica para números y operaciones
 Las figuras y formas ·geométricas que se usan para desarrollar el significado de
conceptos relativos a números fraccionarios
 Los arreglos rectangulares para estudiar propiedades de los números naturales,
o la multiplicación entre ellos.
 Las ideas de curvas, figuras y cuerpos relacionadas directamente con los
conceptos longitud, superficie y volumen.
 Las coordenadas en un plano y la idea de representar puntos a través de pares
Ordenados de números reales para relacionar el algebra con la geometría.
 Los gráficos dé barra, círculos, lineales, etc. que permiten la descripción de
datos numéricos utilizando elementos geométricos.
 El geoplano para representar fracciones o recorridos

La geometría es un medio para desarrollar la percepción espacial y la visualización. Sin
considerar la necesidad de una buena percepción espacial en ocupaciones especificas
todos necesitamos la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus
1
Extraído del Cuaderno para el curso de ingreso Geometría- Profesorado de Matemática- Albino S. Barros. Año 2011


relaciones, o de la capacidad de" leer representaciones bidimensionales de objetos
tridimensionales. "

La geometría como modelo de disciplina organizada lógicamente: Ideas acerca de la
lógica y la deducción en geometría no necesitan' esperar para ser enseñada hasta los
niveles superiores de la escolaridad.

La geometría ayuda a estimular, ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de
resolución de problemas. Da oportunidades" para observar, comparar, "medir,
conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar
26
al alumno a aprender como descubrir relaciones por ellos mismos y tornarse mejores
solucionadores de problemas.

OBJETIVOS
 Introducir a los alumnos ingresantes al profesorado de Matemática en el uso
del lenguaje geométrico adecuado y descubran otros nuevos.
 Lograr un conocimiento básico de las formas geométricas y las relaciones
espaciales, indispensables para el desenvolvimiento en la vida cotidiana y en el
aula.
 Lograr que los alumnos se familiaricen y manipulen los elementos de la
geometría y su correcto uso. (regla, escuadra, compás, transportador, como así
también utilizar tecnologías que colaboren a mejorar el , aprendizaje
geométrico)
 Comprender y adecuar estrategias para la resolución de problemas
geométricos
 Trabajar cooperativarnente asumiendo responsabilidades, respetando las
normas acordadas, valorando la tenacidad y el esfuerzo necesario en' el que
hacer geométrico para el desarrollo personal y social.

Introducción
La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en
desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y
demostraciones; este desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La
propia geometría desarrolló sus propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy
de una única geometría. Cada vez que las herramientas teóricas se demostraban
insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos problemas prácticos
motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.2

2
"Las Geometrías"- Autores varios: Juan Pablo Pinasco, Pablo Amster, Nicolás Saintier, Inés Saltiva – Ed: INET - Ciudad Autónoma
de Buenos Aires. Argentina. 2009


Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se
ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se
preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas
y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la
geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con
cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Geometría demostrativa primitiva
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros
geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los 27
campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de
geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue
refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras
colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes
arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones
lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron
considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en
el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos
útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados
por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia
más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de
puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos
axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier
triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de
un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados"
(conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que
se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales,
fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los
elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro
de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.


Símbolos Matemáticos
Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguaje coloquial para expresarse en forma
concisa, abreviada e universal. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y
otras veces de diversos símbolos universales. El porqué de este lenguaje único de las
matemáticas podría ser para darle un carácter universal, es decir, darle entendimiento en
cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable.

28

Conceptos básicos
Cada vez que en matemática se inicia el desarrollo de una teoría se debe fijar, como
punto de partida, los conceptos primitivos, que se aceptan sin definir y ciertas
propiedades que se aceptan sin demostrar, llamadas axiomas. A partir de ellos, se
definen nuevos conceptos (definiciones) y se demuestran nuevas propiedades
(teoremas).

El lenguaje que usa el matemático para desarrollar su teoría es la lógica, en
consecuencia, en una teoría matemática intervienen los siguientes elementos:

 Conceptos o Términos primitivos (elementos sin definir)
 Axiomas (propiedades sin demostrar)
 Definiciones
 Teoremas (propiedades demostradas)
 Lenguaje lógico

Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos
conceptos básicos:


GEOMETRIA EUCLIDEANA3

El mérito principal de los Elementos de Euclides es haber llevado a cabo este
procedimiento, eligiendo unos pocos axiomas, como base para desarrollar la
geometría. El sistema axiomático de la geometría euclídea se divide en dos grupos de
afirmaciones: unas son de carácter más general, y las otras se refieren específicamente
a los objetos geométricos. Suele llamarse nociones comunes a los del primer grupo, y
postulados a los del segundo.

Comencemos por las nociones comunes:
29
1. Cosas iguales a una misma, son iguales entre sí.
2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales.
3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales.
4. Cosas coincidentes son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
Esta lista de afirmaciones nos permite comparar “cosas”: pueden ser números, figuras,
etc. El término iguales hay que tomarlo en un sentido muy general, porque tendrá
distintos significados según el contexto. Euclides utiliza indistintamente iguales,
congruentes, o equivalentes, si bien hoy día, se utiliza cada uno de estos términos en
determinados contextos. Por ejemplo, hablamos por un lado de igualdad de números,
y por otro de congruencia de ángulos o de segmentos. No debemos olvidar que esta
es una convención arbitraria que no constituye una cuestión clave o fundamental de la
matemática.

Los postulados son los siguientes:
1. Por dos puntos puede trazarse una recta.
2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente.
3. Dado un centro y un radio puede trazarse un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes a uno dado.
5. Si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos
interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas
deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente.

GEOMETRÍA. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades, las formas
y las dimensiones de fi guras y cuerpos geométricos.

3
Juan Pablo Pinasco – “Las geometrías”- INET -República Argentina.2009


Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, para evitar confusiones al dar una
definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un
lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece de dimensión.

Línea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma: podemos agregar una
línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”.

30
Recta ⃡

Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden
se le llama semirrecta.

Semirrecta

Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes.

Segmento ̅̅̅̅

Curva. Es aquella línea que no tiene partes rectas.

Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, líneas y superficies.

Cuerpo sólido. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y
altura.

El Plano y El Espacio. El plano al igual que El Espacio geométrico, es un plano es el ente ideal
que sólo posee dos dimensiones en el caso del plano, y el caso del espacio tres (lago, ancho y
profundidad) . Contienen infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos


fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descripto en relación a
otros elementos geométricos similares. Se suele
describir apoyándose en los postulados característicos,
que determinan las relaciones entre los entes
geométricos fundamentales. Cuando se habla de un
plano, se está haciendo referencia a la superficie
geométrica que no posee volumen (es decir, que es
sólo bidimensional) y que posee un número infinito de
rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.
31

Semiplano. Cuando a un plano cualquiera se define una recta el mismo se divide en dos
semiplanos opuestos.

Sp [r,A) se lee “Semiplano de borde r que contiene a A” B
Sp [r,B) se lee “Semiplano de borde r que contiene a B” A
Cuando se verifica que la recta r no pertenece al
semiplano o sea que r Sp (r,A), se definen dos
semiplanos abiertos opuestos. α r

Semiespacio. De manera analógica un plano que está incluido en un espacio geométrico,
divide a éste en dos semiespacios opuestos.

En la siguiente gráfica podemos de encortar
dos semiespacios a los que definimos como:

Se [α,J) se lee: “Semiespacio de borde α que
contiene a J

Se [α,L) se lee: “Semiespacio de borde α que
contiene a L

Axiomas importantes
Lee atentamente los siguientes axiomas y
trata de identificarlos en las gráficas:4

4
Graficas realizadas en GeoGebra.


i. Tres puntos determinan un plano.
ii. Una recta y un punto no pertenecientes a la misma
caracterizan un mismo plano.
iii. Por un punto cualquiera perteneciente a un plano, y
por él pueden pasar infinitas rectas.
iv. Una recta, determinada por dos puntos distintos de
un plano, está incluida en dicho plano.
v. Dados dos puntos que determinan un segmento, por
el cual, pueden pasar infinitos planos.
vi. Dos planos que se cortan forman una única recta.
32

Rectas Paralelas
Son rectas paralelas aquellas que están separadas por
una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se
tocan nunca.

La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son
paralelas entre sí.

Perpendiculares
Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un
punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto
(ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares
cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes
iguales, formándo ángulos de 90º.

La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma
forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la
perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º.

Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto
pequeño, con un punto dentro.

Ángulos
Sean tres puntos (E, F, y G) no alineados
pertenecientes a un mismo plano, se pueden
considerar los semiplanos Sp [̅̅̅̅ ,G) y Sp [̅̅̅̅ ,F).
Podemos definir “ángulo”̂ como la intersección
de estos semiplanos.
̂ =Sp [̅̅̅̅ ,G)  Sp [̅̅̅̅ ,F)
̂ Se lee: ángulo convexo GEF


Elementos de los ángulos:
Vértice: Punto en común que tienen sus lados.
Lados: Cada una de las semirrectas que lo forman.
Amplitud: Es la apertura de sus lados y se mide en grados

Tambien se puede tener la siguientes notaciones
α ó ̂ (se lee ángulo α)
33
A ó ̂ (se lee ángulo en el vértice A)

Clasificación de los ángulos según su amplitud

Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas
opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su
amplitud es la mitad de un ángulo completo, es
decir, de 180º.

Ángulo Recto, es uno cualquiera
de los ángulos en que la
bisectriz divide al llano. Su
amplitud o abertura es de 90º.

Agudo, es todo ángulo cuya amplitud
sea menor que la del recto, es decir, es
como máximo de 90º.

Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del
ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está
comprendida entre 90º y 180º.


Nulo, es aquel que carece de amplitud y sus semirectas componentes son coincidentes
y forman 0°. El ángulo nulo es congruente con el ángulo Giro que tiene una amplitud
de 360°.

Complementarios, son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto (90°).

a + b = 90°
34
Suplementarios, son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°).

a + b = 180°

Conjugados, son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°)

a +b = 360°

Ángulos determinados por una recta incidente a otras dos incluidas en un plano
t
b α1 α2
Sea la recta a⊂α, b⊂α y t incidente
α4 α3 a ay a b en dos puntos distinto A y
B, respectivamente. En ese plano se
a β1 β2 forman los ángulos α1, α2, α3, α4,
β4 β3 β1, β2, β3 y β4. La recta t suele
llamase transversal o secante.
α
Los ángulos contenidos en un mismo
semiplano de borde t se llaman colaterales.

Ángulos colaterales son:α1, α4, β1 y β4
También en otro semiplano son colaterales: α2, α3, β2 y β3
Ángulos internos: α3, α4, β1 y β2
Ángulos externos: α1, α2, β3 y β4

Podemos clasificar ciertos pares de ángulos:
- Dos ángulos colaterales, uno interno y otro externo, no adyacentes se llaman
correspondientes. Son pares de ángulos correspondientes:


α1 y β1 - α4 y β4 - α3 y β3 - α4 y β4
- Dos ángulos colaterales e internos se llaman conjugados internos. Son pares de
ángulos conjugados internos:
α4 y β1 - α3 y β2
- Dos ángulos colaterales y externos se llaman conjugados externos. Son pares
de ángulos conjugados externos:
α1 y β4 - α2 y β3
- Dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos
internos. Son pares de ángulos alternos internos:
α3 y β1 - α4 y β2 35

- Analógicamente dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se
llaman conjugados externos. Son pares de ángulos alternos internos:
α2 y β4 - α1 y β3
Medida de ángulos - sistemas de medición de ángulos
Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la
sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los
matemáticos el radian.
Sexagesimal. Aproximadamente en el año 1000 a.c los babilonios extienden a los círculos celestes la
división del día en 360 partes, y a cada una de estas partes les llaman grado sexagesimal. La cuarta parte
le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º.
Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60
partes iguales y cada una de estas partes la denominan minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo
subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo nota por 1''.
Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.
Centesimal. La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo
completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se
notan por 100g y le llama gradian.

A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota
por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s.

Radianes. Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco
coincide con el radio.

1 rad= 57° 17' 44.8''

360º = 2 rad
Los grados y los radianes son dos
diferentes sistemas para medir
ángulos. Un ángulo de 360°
equivale a 2π radianes; un ángulo
de 180° equivale a π radianes
(recordemos que el número
π ≈ 3,14159265359…)
Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°


La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Técnica para trazar rectas paralelas y perpendiculares
En los siguientes dibujos se explica cómo trazar paralelas y perpendiculares con la ayuda de la
escuadra y del cartabón. Observemos, como muestran los dibujos, que el cartabón no se
mueve durante todo el proceso.
36
1. Primero se trazan varias líneas paralelas (en este
caso, horizontales). Para ello solo se mueve la escuadra
sobre el borde del cartabón, que permanece fijo.

Varias líneas Varias líneas

2. Luego se gira la escuadra, como muestra el
dibujo, y se apoya de nuevo sobre el borde del
cartabón, que permanece fijo.

Giro de la escuadra Giro de la escuadra
3. Por último se trazan las rectas perpendiculares a las
anteriores (en este caso, las verticales). El cartabón sigue
fijo durante todo el trazado.

Trazado de perpendiculares Trazado de perpendiculares

Mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento̅̅̅̅es la recta que pasa por el punto
medio del segmento M y es perpendicular al él dividiendo en dos segmentos iguales ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Pasos para trazar una mediatriz
1. Trazamos el segmento ̅̅̅̅̅.
2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio
mayor que la mitad del segmento ̅̅̅̅̅.
3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la
primera.
4. La recta que pasa por la intersección de las
circunferencias (puntos C y D) es la mediatriz del segmento
̅̅̅̅̅

Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del
ángulo lo divide en dos partes iguales.

Pasos para trazar una bisectriz
1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una
circunferencia de cualquier amplitud encontrando los puntos A y B.
2. Desde los puntos de corte A y B de la circunferencia con los
lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio que
se cortan formando el punto C.


3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto C de corte de las circunferencias es la
bisectriz.

Polígonos.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos;
por lo tanto, es una figura con varios ángulos.

Un polígono es la región interior de una línea
poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos
son: los lados, los vértices y las diagonales. A la
línea que lo rodea se la llama contorno del 37
polígono.
Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o
convexos, fijándonos en sus ángulos.

Polígonos regulares y polígonos irregulares
Polígonos Regulares. Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales. Una característica
particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia. Por
ejemplo, un triángulo es un polígono regular de 3
lados. Si te fijas en el dibujo, podrás ver que todos
sus vértices tocan a la circunferencia, sin embargo,
en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus
puntos tocan a la circunferencia, lo que nos muestra
que es un polígono irregular.

Polígono Irregular. A su vez, decimos entonces que
un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus
puntos tocan la circunferencia.

Clasificación de polígonos regulares según el número de lados
Según su número de lados los polígonos reciben los siguientes nombres:

Triángulo: 3 lados.
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
Undecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados

Elementos de un polígono
En un polígono podemos distinguir:
 Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman
el polígono.
 Vértice, V: el punto de unión de dos lados
consecutivos.


 Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
 Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
 Ángulo interior y ángulo exterior.

En un polígono regular podemos distinguir, además:
 Centro, O: el punto equidistante de
todos los vértices y lados.
 Apotema, Ap: segmento que une ROMBO TRAPECIO
b
el centro del polígono con el centro
d2 h
de un lado; es perpendicular a d1
dicho lado. B

d1 . d2 .
CUADRADO A= A =( B 2 b ) . h
Cálculo de áreas de polígonos sencillos 2 TRIANGULO 38
En la siguiente figura presentamos en forma
h
general el cómo se debe calcular el área de +
L B
algunas figuras sencillas. 2 B.h
A= L A=
2
También hay figuras como el Romboide y el
RECTANGULO
trapesoide que se calculan sus areas como el A = b.h
A= π.r2
CIRCULO h
Rombo y el trapecio respectivamenete.
r
b
ROMBOIDE TRAPESOIDE 5L . Ap
A = b.h
b A= 2
d2 h
d1
PENTAGONO PARALELOGRAMO

B h
Ap
Para calcular el área de los POLÍGONOS b
L
REGULARES de n lados se los puede
descomponer en triángulos congruentes y
adyacentes de vértice o y apotema Ap.

Área del polígono =n .área AOB

̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Área AOB = por lo que̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

Entonces el Área AOB = y deducimos que el

Área polígono = y como el perímetro de un
polígono es P = n . L

Nos queda: Área polígono =


Triángulos
Se llama triángulos a toda figura convexa cuya intersección de tres semiplanos
definidos por tres puntos A, B, y C no alineados pertenecientes a un mismo plano.

Se llama triángulo ABC a: ABC = Sp [̅̅̅̅,C)  Sp [̅̅̅̅ ,B)  Sp [̅̅̅̅ ,A)

Los puntos A, B y C del triángulo se llaman
vértice y los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son los
lados de los mismos. Los ángulos interiores
son ̂ ̂ ̂ . 39

El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento
̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Clasificación de los triángulos

Como ya se sabe, un triángulo tiene tres lados y tres
ángulos. Se obtienen diferentes tipos de triángulos
dependiendo del valor de sus ángulos y sus lados.


Teorema de Pitágoras
Este es quizás uno de los teoremas matemáticos que más demostraciones
presenta a lo largo de toda la historia. Este teorema solo funciona para los
triángulos rectángulos.
H sa Cateto
nu Pitágoras llama HIPOTENUSA al lado opuesto al ángulo interior recto, o sea el
po
te b
Hi lado más largo de un triángulo rectángulo, a los otros dos lados les llama
Cateto CATETOS.
a
Enunciado: “En todo triángulo
rectángulo la medida de la hipotenusa al
cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de 40
los catetos.”

Demostración: El ángulo ̂ es común a los triángulos BMA y BAC, donde vemos que
̂ ̂ por ser ambos rectos. Además el ángulo ̂
es común a los triángulos AMC y BAC, y vemos que
̂ ̂ por ser ambos rectos. Luego demostramos que
BAC AMC.

Sea el triángulos rectángulo BAC y la altura ̅̅̅̅̅ se concluye
por propiedad que

En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y en particular tenemos
pares de triángulos semejantes y los triángulosque por lo que
deducimos: y por propiedad fundamental de las proporciones
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

obtenemos: ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ si sumamos miembro a miembro obtenemos:

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Si sacamos factor común ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

Pero como ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ nos queda

demostramos que

Otra demostración: El área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es
igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos.


Trigonometría

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos
de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar
los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la
construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para
avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos
celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El
estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo
Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de
“cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la
actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía.
Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse 41
en una rama independiente que hace parte de la matemática.

El término Trigonometría proviene de las palabras griegas: Trígono y Metrón, que quieren decir:
Triángulo y Medida respectivamente. Sin embargo el estudio de la Trigonometría no solamente está
limitado a la medición de los triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha
ido enriqueciendo progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis
Matemático, en la Física y en varias ramas de la Ingeniería.

Trigonometría circular

La circunferencia trigonométrica tiene como
elementos y fundamentos principales al sistema
de ejes cartesianos, una circunferencia Cr(O,1)
(centro O origen y de radio 1) y un punto móvil
P(x,y) , de coordenadas x en el eje de las abscisas
e y en el eje de las ordenadas, que gira por sobre
el contorno de la circunferencia en sentido anti-
horario .

Los ejes son rectas reales perpendiculares que
tienen como cero coincidentes en el punto O
(origen).Dichos ejes separan al plano cartesiano
en cuatro cuadrantes como muestra la figura. El
primer cuadrante tiene los valores de las
ordenadas y de las abscisas positivas. En cambio en el segundo cuadrante tiene las ordenadas
negativas y abscisas positivas. En el tercer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de
las abscisas negativas. Por último en el cuarto cuadrante tiene las ordenadas positivas y las
abscisas negativas.

El segmento ̅̅̅̅ define el radio vector cuyo módulo siempre es igual a en la
circunferencia trigonométrica. Además el radio vector define un ángulo α que depende de su
valor de la posición del punto móvil P.

A su vez cada posición que tome el punto P y sus coordenadas definirá un triángulo
rectángulo único para cada posición.


El triángulo rectángulo OPX está compuesto por la hipotenusa
̅̅̅̅ = ρ que es el radio vector, y por los catetos ̅̅̅̅ = Y y ̅̅̅̅ = X.
Con los valores las medidas de los lados ρ, X e Y podemos formar
las siguientes razones:

Estas 6 razones determinan 6 valores que están vinculados con el
valor que toma el ángulo α. O sea que el ángulo α es una variable independiente, el valor de
ρ=1 es constante y los valores e X e Y son variables dependientes del valor que toma α. En
consecuencia podemos afirmar que estas razones son funciones del ángulo , y se las 42
denomina funciones trigonométricas, que son las siguientes:
Seno α = o sea Sen α = al ser ρ=1 queda Sen α= Y

Coseno α = o sea Cos α = al ser ρ=1 queda Cos α= Y

Tangente α = o sea Tg α =

Cotangente α = o sea Cotg α =

Secante α = o sea Sec α =

Cosecante α = o sea Sec α =

Resolución trigonométrica de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es hallar el valor de sus
lados, sus ángulos y de su área. Es necesario conocer dos
datos, uno de ellos sí o sí tiene que ser un lado, el otro
dato puede ser un ángulo u otro lado. Además se sabe que
al ser un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son
correspondientes. La resolución de triángulos: resolver un
triángulo consiste en averiguar la longitud de sus tres lados
y la amplitud de sus ángulos. Para resolver el triángulo
rectángulo hay que averiguar los elementos que faltan
partiendo de dos datos conocidos. Es por eso que se nos
presentan 4 casos:

1er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un Cateto
Datos Incógnitas
Hya b;α;β;

Calculo de b Calculo de
=
Despejando √ Remplazando b nos queda
√
Calculo de α Calculo de β =
Cos α = Sen α =
despejando α = ( ) despejando β = ( )


2do caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo
Datos Incógnitas
Hyα a;b;β;

Calculo de β Calculo de
=
Despejando
Remplazando a y b nos queda
Calculo de a Calculo de b =
Sen α = Cos α =
=
Despejando a = Despejando b = Cos
43

3er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo sus Catetos
Datos Incógnitas
ayb H;α;β;
Calculo de α
Calculo de b Tg α =
Despejando α = ( )
Despejando √

Calculo de β Calculo de
Tg β =
=
Despejando β = ( )

4to caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo
Datos Incógnitas
ayα H;b;β;

Calculo de β
Calculo de
Despejando
=
Calculo de H Calculo de b Remplazando b nos queda
Sen α = Tg α =
=
Despejando H= Despejando b =
=


Geometría en el Espacio

44

5


45


46


47


48


49


50


51


52


53


A modo de resumen el siguiente cuadro:

54


ACTIVIDADES

La presente sección del dossier de este curso de ingreso al profesorado de matemática está orientada a
la realización de actividades prácticas y de entrenamiento a la disciplina.

Verás en su desarrollo ejercitación, problemas, y situaciones que se resuelven con conceptos
matemáticos presentes en este módulo, los cuales intentan integrar las tres áreas desarrolladas,
Aritmética, Algebra y Geometría

Ejercicios de entrenamientos
55
A. 1. ¿Qué diferencia de altura hay desde la cima del Aconcagua, que se halla a
6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna del Carbón, en
la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105 metros bajo el nivel
del mar?
2. ¿Qué amplitud térmica hubo el 16 de agosto de 2.008 en Ushuaia? (Figura 2)

3. Si tenemos $1.500 en el banco, no podemos emitir un cheque por $1.750,
salvo que el banco nos preste la diferencia, en cuyo caso generaríamos una
deuda. Para informarnos de esta situación, el banco nos mandaría una carta
donde explicaría que, en este caso, el saldo de nuestra cuenta sería de $1.500
- $1.750 = -$250, es decir que le deberíamos $250 al banco.
4. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació aproximadamente en el año 582
a.C. y vivió 75 años; ¿en qué año murió?


B. Ejercicios con Enteros: Resuelve las siguientes operaciones:

56

C. Calcula:

1. (32)(− 5)
2. (− 5)(− 3)(− 7)
3. (− 14)(− 23)
4. (3)(− 2)(− 5)
5. (6)(− 1)(− 3)
6. (− 9)(− 8)(− 3)( - 4)
7. (− 2)(− 3)(− 4)(− 5)(− 6)

D. Realiza las siguientes operaciones:


E. Ejercicios con Racionales: Realiza los siguientes cálculos

2)

4) 5)
57

6)

7) 8)

9) 10)

11) 13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

F. Escribe algebraicamente los siguientes enunciados.
a) El doble de un número.
b) La mitad de un número.
c) El opuesto de un número.
d) El inverso de un número.
e) La suma de dos número.
f ) La suma de un número y el opuesto de otro.
g) La suma de un número y su inverso.
h) El producto de tres número.
i) El producto de los inversos de tres número.


j) El inverso del producto de tres número.
k) La suma de los cuadrados de dos número.
l) El cuadrado de la suma de dos número.
m) La diferencia entre el cubo de un número y su cuadrado.
n) La diferencia entre el triplo de un número y su doble.
ñ) El valor absoluto del cubo de un número.
o) El cubo del valor absoluto de un número.

G. Escribe un enunciado que se traduzca en la expresión algebraica dada:

58

H. Escribe una expresión algebraica que represente a los siguientes enunciados:
 El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado de uno, más el cuadrado del otro
más el doble producto de ambos.
 El valor absoluto de un número es igual al valor absoluto de su opuesto.
 La diferencia entre los cuadrados de dos números es igual al producto entre la diferencia y la
suma de los mismos.
 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
 En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros
dos.
 El triple de un número más el doble de otro es igual a 17.
 La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es π.

I. Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación

J. Simpliﬁca las siguientes expresiones:

K. Introducir factores dentro del radical:


L. Racionalizar las siguientes expresiones

59

M. Realiza las siguientes operaciones:

N. Racionaliza los siguientes denominadores


O. Determina el valor de los ángulos que se muestran en las siguientes figuras

60

P. Si l1//l2, obtén los valores de x y de y en la siguiente figura:


Q. Calcula el perímetro y la superﬁcie de las siguientes ﬁguras

61

9. Rectángulo de 10 y 15 m.
10. Paralelogramo de base (x – 1) m y altura (x – 2) m.
11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm.
12. Trapecio de bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm.
13. Círculo de radio 30 cm.
14. Círculo de diámetro 18 cm.
R. Encuentra el área de la zona sombreada si AC √ cm y
ABCD es un cuadrado.

S. Determina el área lateral, total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos:
1. Prisma rectangular de dimensiones 2, 3 y 5 cm.
2. Prisma cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado y 6 cm de altura.
3. Prisma cuadrangular si el lado de la base es 1 cm y su altura 4 cm.
4. Prisma de base un hexágono regular de lado 2.5 cm y altura 6.5 cm.
5. Paralelepípedo de dimensiones √ , 4 y 2 √ cm.
6. Cubo de lado 2 cm.
2
7. Prisma cuadrangular si el área de la base es 12 cm y la altura es 8 cm.
8. Prisma cuya base es un octágono regular de lado 10 cm y apotema (5 + 5 √ ) cm si su
altura es de 5 cm.


9. Pirámide regular cuya base cuadrangular de lado tiene 3 cm si su altura mide 4 cm
10. Pirámide regular cuya base es un hexágono regular de lado 2 cm si su altura es 5 cm.
11. Pirámide regular cuya base es un octágono regular de lado 4 cm, apotema 4.8 cm y altura
de 6.4 cm
12. Cilindro circular recto de radio 3 cm y altura 5 cm.
13. Cilindro circular recto de diámetro 8 cm y altura 4 cm.
14. Cono circular recto de radio 7 cm, altura 9 cm y generatriz √ cm.
15. Cono circular recto de radio 2 cm y altura 8 cm.

T. Resolver los siguientes problemas
I. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m
62
de alto junto a una laguna, se encuentra un observador
que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco
situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del
peñasco se encuentra el barco?

II. Un niño tiene un barrilete, el cual hace volar
sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La
cuerda se tensa formando un ángulo de 45° con
respecto a la horizontal. Obtén la altura del barrilete
con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de
cuerda.

III. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien
es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se
muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde
el helicóptero hasta donde se encuentra el
delincuente es de 25° y el ángulo de depresión hasta
donde se encuentra el patrullero es de 65°, y su
distancia a éste es de 25 metros, La distancia entre el
helicóptero y el delincuente. La distancia entre el
patrullero y el delincuente. La altura del helicóptero.

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