Tema nº 1

Matemáticas II – 400-1923 Elizardo Velásquez
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1. REVISIÓN DE LOS NÚMEROS: NATURALES,
ENTEROS Y RACIONALES
REVISIÓN DE LAS OPERACIONES EN LOS NÚMEROS
NATURALES.
Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre tanto de
contar como de ordenar una cierta cantidad de objetos. Los números naturales
son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
 ,5,4,3,2,1,0N
Propiedades de los Números Naturales (Axiomas de Peano).
Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas
fundamentales:
1) El 0 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales
es no vacío.
2) Si n es un número natural, entonces 1n también es un número natural,
llamado el sucesor de n .
3) 0 no es sucesor de ningún número natural. El 0 es el primer elemento del
conjunto .N
4) Si hay dos números naturales m y n tales que sus sucesores son iguales,
entonces m y n son números naturales iguales.
5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 0 y a
los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los
números naturales.
Operaciones con los números naturales.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números
naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones
internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N , pues la
diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z
de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro,
cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N , pues el cociente de dos
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo
no es múltiplo del divisor, siendo éste distinto de 0). Por eso se crea el conjunto
Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por
otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los
números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.
Propiedades de la adición y la multiplicación en los Números Naturales. En la
adición y la multiplicación en N se verifican las siguientes propiedades para
cualesquiera que sean los naturales: cba ,, .
PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN
Clausurativa: Nba Nba
Conmutativa: abba  abba 
Asociativa:     cbacba      cbacba 
Elemento neutro: aaa  00 aaa  11
Elemento inverso No Existe No Existe
Elemento
absorbente
No Existe 000  aa
Distributiva
(Multiplicación
respecto a la suma)
     cabacba 
Algunas definiciones básicas en los Naturales.
Múltiplos de un número natural. Los múltiplos de un número natural a son
los números naturales que resultan de multiplicar a ese número por el conjunto
de los números naturales. Esto es,
   ,2,,0 aaNaaM 

2
Divisores de un número natural. Se dice que un número natural no nulo a es
divisor del número natural b (o bien, que a divide a b , o a es un factor de b )
si b es múltiplo de a . Es decir, cabNcba  / .
Números pares. Un número natural p es un número par si es divisible por 2.
Esto es, si p es par, entonces .,2 Nnnp 
Números impares. Un número natural 'p es un número impar si no es divisible
por 2. Esto es, si 'p es impar, entonces .,12' Nnnp 
Números primos. Un número natural p mayor que uno es un número primo si
sus únicos factores son 1 y .p Todo número natural mayor que uno se factoriza
de manera única como producto de números primos elevados a ciertas potencias.
Máximo común divisor. El máximo común divisor (MCD) de dos o más números
naturales es el mayor de sus divisores comunes, y es el producto de los factores
primos comunes de esos números, elevados a las menores potencias.
Mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más
números naturales es el menor de sus múltiplos comunes, y es el producto de los
factores primos comunes y no comunes de esos números, elevados a las mayores
potencias.
ENTEROS.
Aparecen simetrizando al conjunto de los números naturales. El conjunto de los
números enteros se denota con la letra Z , que proviene de la palabra alemana
Zahl, que significa “número”.
  ,4,32,1,0,1,2,3,4, Z
Operaciones con los números enteros.
Entre los números enteros están definidas las operaciones internas de adición y
de multiplicación. Asimismo, en Z también está definida la sustracción como
una operación interna, puesto que la resta de dos números enteros es un número
entero.
Propiedades de la adición y la multiplicación en los Números Enteros. En la
adición y la multiplicación en Z se verifican las siguientes propiedades para
cualesquiera que sean los enteros: cba ,, .
Clausurativa: Z ba Zba
Conmutativa: abba  abba 
Asociativa:     cbacba      cbacba 
Elemento neutro: aaa  00 aaa  11
Elemento inverso   0 aa No Existe
Elemento
absorbente
No Existe 000  aa
Distributiva
(Multiplicación
respecto a la suma)
     cabacba 
RACIONALES.
El conjunto de los racionales se denota por la letra Q , que proviene de la inicial
de la palabra QUOTIENT, que significa "cociente" en varios idiomas
anglosajones. Este conjunto de números, que incluye a los números enteros y
éstos a su vez contienen a los naturales, se define de la forma siguiente:






 0,,,/ bba
b
a
xx ZQ
Operaciones con los números racionales.
Propiedades de la adición y la multiplicación en los Números Racionales. En la
adición y la multiplicación en Q se verifican las siguientes propiedades para

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cualesquiera que sean los racionales: zyx ,, , definidos mediante las relaciones
siguientes:
0,,;,,,,,;,,  fdbZfedcbafezdcybax
Clausurativa: Q yx Q yx
Conmutativa: xyyx  xyyx 
Asociativa:    zyxzyx     zyxzyx 
Elemento neutro: xxx  00 xxx  11
Elemento inverso   0 xx 0,1
1






 x
x
x
Elemento absorbente No Existe 000  xx
Distributiva
(Multiplicación
respecto a la suma)
  zxyxzyx 
DENSIDAD EN LOS NÚMEROS RACIONALES.
Es ampliamente conocido que, dado cualquier par de números racionales
diferentes, siempre es posible intercalar entre ellos un número racional. Ahora
bien, una manera de hacerlo es mediante la determinación del promedio o media
aritmética, que se define así: dados dos números racionales x y y, su promedio o
media aritmética es el número racional:
2
yx
z


Geométricamente, se interpreta el promedio entre dos números racionales x y y
como el punto medio del segmento cuyos extremos representan esos números.
De lo anteriormente expuesto, se observa que si entre dos números racionales x
y y hay un tercer número z , entonces entre x y z habrá un cuarto número
  2zxw  , y así sucesivamente. Por lo tanto, se concluye que:
Entre dos números racionales distintos cualesquiera, hay un número infinito de
números racionales.
La propiedad anterior es conocida con el nombre de densidad de los números
racionales. Tal propiedad, nos llevaría a pensar que, al “visualizar” el conjunto
Q, representando cada uno de sus elementos por un punto sobre una recta,
parecería que llenaría todos los puntos de dicha recta formando un “todo
continuo”. Sin embargo, la realidad es que Q no forma ese “todo continuo”,
puesto que existen otros números, llamados números irracionales, que no se
pueden expresar como cociente de dos números enteros.
ECUACIONES DEPRIMER GRADO EN UNA VARIABLE EN Q.
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones matemáticas en una o más
variables. Una ecuación de primer grado en una variable en Q es una ecuación
en la que aparece una variable elevada al exponente uno y los términos
independientes de la ecuación y los coeficientes de la variable son números
racionales. La forma en la que aparece escrita una ecuación de primer grado en
una variable en Q, luego de ser transformada convenientemente, es la siguiente:
,0 bax donde a y b son números racionales y .0a
Resolver una ecuación de primer grado en una variable consiste en hallar el valor
de la variable que hace cierta la igualdad. Para ello se aplican las propiedades de
las igualdades, que a continuación se describen.
Propiedades de las igualdades. En las igualdades se verifican las siguientes
propiedades, para cualesquiera Rzyx ,, :
Idéntica o Reflexiva xx 
Simetría: Si yx  , entonces xy 
Transitividad: Si yx  y zy  , entonces zx 
Aditividad: Si yx  , entonces zyzx 
Multiplicatividad: Si yx  , entonces yzxz  .

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Sustitución
Si yx  , entonces y puede sustituir a
x en cualquier expresión
APLICACIONES.
En todos los campos que tienen que ver con números, la destreza para resolver
un conjunto de ecuaciones dadas, no es toda la habilidad matemática que
requiere una persona. Es necesario, además, que sea capaz de expresar en
términos matemáticos los problemas de la vida cotidiana.
Debido a la ilimitada variedad de problemas aplicados, es difícil establecer
reglas específicas para encontrar soluciones. Sin embargo, es posible desarrollar
una estrategia general para resolver dichos problemas. En este sentido, George
Polya desarrolló un método de cuatro pasos, que de forma resumida se presenta a
continuación:
1) Comprender el problema.
○ Leer cuidadosamente el enunciado del problema, visualizarlo como un
todo y aplicar las capacidades de comprensión lectora.
○ Determinar y anotar los datos importantes, la(s) incógnita(s) y la(s)
condición(es), estableciendo las relaciones que puedan existir.
○ En esta fase, para tener un mejor panorama de la situación, puede
elaborar un gráfico del problema planteado (Modelización Matemática).
2) Concebir un plan.
○ Elaborar un camino de solución al problema. Si se pudo hacer un dibujo,
hay que identificar lo que se desea encontrar en él.
○ Hacer uso de experiencias en la solución de problemas parecidos.
○ Al final de esta fase se deberá tener un plan de resolución del problema
con fundamento lógico.
3) Ejecución del plan.
○ El plan elaborado en la fase anterior deberá ser ejecutado y así
determinar el resultado respectivo. Efectúe en detalle todas las
operaciones algebraicas o geométricas factibles.
○ Si el plan funciona, resolverá el problema. De lo contrario, se comienza
nuevamente con el paso 2 (Buscar otra alternativa de resolución).
4) Examinar la solución obtenida.
○ En esta fase se evalúa el proceso de resolución mediante el control de
verificación del resultado o del razonamiento (Fundamento lógico).
○ Intente obtener el resultado anterior de un modo distinto. Llegar a un
mismo resultado, por medio de dos pruebas diferentes, permite tener un
convencimiento mayor de la calidad de la respuesta,
Algunas definiciones básicas para resolver problemas.
Proporcionalidad directa. Se dice que dos cantidades x y y varían en forma
directamente proporcional (o que y depende linealmente de x ) si existe una
constante k tal que .xky  Por ejemplo, si x y y son directamente
proporcionales, al duplicarse una, se duplica la otra.
Proporcionalidad inversa. Se dice que x y y varían en forma inversamente
proporcional si existe una constante k tal que .xky  Por ejemplo, si x y y
son inversamente proporcionales, al duplicarse una, la otra se reduce a la mitad.
Estado. La totalidad de las propiedades individuales conocidas de un sistema en
un momento dado y con respecto a un determinado marco de referencia.
Cambio de estado. Es cuando se produce una variación de una o de varias o de
todas las propiedades del sistema. El cambio de estado se determina resolviendo
la diferencia: estado final menos estado inicial. En el cambio de estado es
importante respetar el orden de los términos, el significado de los cambios y la
interpretación de su signo.
Razón de cambio (media, instantánea). Es la variación de una cantidad que
depende de otra, por lo que se hace necesario describir y cuantificar estos
cambios a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas. En la vida diaria se
determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural,
económico, social,… Por ejemplo: cambio de posición con respecto al tiempo
(velocidad), cambio de velocidad respecto al tiempo (aceleración),
Velocidad promedio de un móvil. La velocidad promedio de un móvil que ha
realizado un cambio de posición x , en un intervalo de tiempo t es,
if
if
tt
xx
t
x
v






Donde ix y fx son las posiciones inicial y final, respectivamente; y it y ft son
los tiempos medidos al inicio y al final del movimiento respectivo.
Media aritmética.

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Ejercicios 1:
1. Calcula el interés simple que produce medio millón de
bolívares fuertes al 6% anual durante 3 años.
2. Juan y Andrés reciben el pago de su quincena. Juan gasta la tercera parte y
Andrés la mitad de su sueldo quincenal. ¿Es posible que Juan gaste más
que Andrés? ¿Por qué?
3. En una clase hay 40 estudiantes, de los cuales 53 son niñas. ¿Cuántos
niños hay en la clase?
4. En una tienda se sube el precio de un tipo de pantalón de 400 a 500
bolívares fuertes. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio?
5. Se van a repartir 240 000 bolívares entre seis personas. ¿Qué fracción del
total corresponde a 5 personas? ¿Cuántos bolívares corresponden a estas
cinco personas?
6. Para hacer una torta de chocolate para 9 personas se necesitan 6 huevos.
Para 15 personas se precisan 10 huevos.¿Cuántos huevos se necesitan para
hacer una torta para 24 personas?
7. Se va a colocar un rodapié en una habitación rectangular. Las dimensiones
de la habitación son 3,90 metros de largo y 2,65 metros de ancho. ¿Cuántos
metros de rodapié se requieren?
8. El promedio de cinco números es 15. Si se considera un sexto número, el
promedio de esos seis números es 12. ¿Cuál es ese sexto número?
9. Un ciclista debía recorrer 60 kilómetros en 3 horas. Llegó a la mitad del
camino y observó que su velocidad media fue de 2 kilómetros por hora,
inferior a lo que debió llevar. ¿Cuál fue la velocidad media durante el
tiempo que le restó si llegó a la hora fijada?
10. Un tren circula siempre a la misma velocidad. Tarda 6 minutos en recorrer
9 kilómetros y 10 minutos para recorrer 15 kilómetros. ¿Cuál es la
distancia recorrida en 16 minutos?
11. Se lanza una pelota a una altura de 12 metros, y supóngase que al rebotar
alcanza una altura igual a los 53 de la altura de caída. ¿A qué altura se
elevará la pelota al tercer rebote?
12. Un maestro carpintero, trabajando sólo, se comprometió a terminar en 25
días unos muebles ajustado al trabajo en 500.000 bolívares; pero los
últimos 5 días tuvo que emplear un ayudante para poder entregar en el
plazo convenido, por tal motivo ganó el maestro 2.000 bolívares menos
diariamente. ¿Cuánto ganó el maestro y cuánto el ayudante por cada día de
trabajo?
13. Dos individuos salieron a pasear, y partieron a la vez del punto de
bifurcación de dos paseos A y B, de longitudes 74 metros y 90 metros,
respectivamente. Uno de los individuos eligió el paseo A, andando 1 metro
por segundo, y el otro recorrió el B a razón de 1,5 metros por segundo.
Acordaron estos individuos no dejar el paseo hasta volverse a encontrar en
el punto de partida. Calcular el tiempo que estuvieron andando y la
distancia recorrida por cada uno, cuando cumplieron lo acordado.
14. Un tanque tiene dos grifos. Uno lo llena en tres horas y el otro en 5 horas.
Se deja abierto el primero durante 34 hora; después el segundo durante
43 de hora, y en seguida se dejan abierto los dos. ¿En cuánto tiempo se
acabará de llenar el tanque?
15. En 12 litros de vino se han echado 5 litros de agua. Si luego llenamos una
botella de 3/4 con esa mezcla, ¿qué cantidad de vino y qué cantidad de
agua habrá en la botella?
16. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años
más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las
edades respectivas.
17. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó
8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los
precios respectivos.
18. El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el duplo
del número. Hallar el número.
19. Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 45° al mayor.
Hallar los ángulos.
20. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada
problema que resuelva el muchacho recibirá 12 bolívares y por cada
problema que no resuelva perderá 5 bolívares. Después de trabajar en los
16 problemas el muchacho recibe 73 bolívares. ¿Cuántos problemas
resolvió y cuántos no resolvió?
21. El cociente de las edades de los padres de Luis y Antonio son equivalentes
a la fracción 54 . La edad de Luis es 31 de la de su padre y la de Antonio
52 de la del suyo. ¿Quién es mayor, Luis o Antonio?

6
22. Un comerciante adquirió 500 camisas por un total de 45000 bolívares más
el 3% de esa cantidad por gastos de envío. Vendió cada una a Bs 175.
¿Cuál fue su porcentaje de ganancia?
23. ¿Cuál será la menor longitud que debe tener un listón de madera para que
se pueda dividir en trozos de 8 cm, 9 cm y 15 cmde longitud sin que sobre
ni falte nada?
24. ¿Cuál es el menor número no divisible por 4, 6, 9, 11 y 12, que al dividirlo
por éstos se obtienen restos iguales?
25. Hallar dos números tales que su MCD sea 36 y su mcm 5148.
26. Probar que baóbasisóloysiba  22
.
27. Hallar dos números cuyo producto sea 7.007 y su MCD 7.
28. La suma de tres números impares consecutivos es 657. ¿Cuáles son esos
números?
29. El producto de dos números es 1815. Aumentando el multiplicador en 7
unidades, el producto es 2.200. Hallar los números.
30. Al dividir 1.866 y 1.479 por un cierto número, se tiene por restos, 33 y 22,
respectivamente. ¿Cuál de es el mayor divisor que cumple con esa
condición?
31. Se tienen tres pedazos de tubo cuyas longitudes son, respectivamente, 210
cm, 195 cm y 420 cm. Si se quiere dividir en trozos iguales, ¿cuál es la
mayor longitud que debe tomarse?
32. Estamos haciendo un experimento en clase de física. Tomamos la
temperatura de un líquido y observamos que es de 16 grados Celsius bajo
cero. A continuación, calentamos el líquido 5 grados. ¿Cuál es la
temperatura final del líquido?
33. Juan debe 80 bolívares en la pastelería, de una torta que compró para su
madre; por otro lado, tiene ahorrada en su alcancía la suma de 120
bolívares. ¿Cuál será la situación económica total de Juan una vez que
salde su deuda?
34. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y
alimentación de la familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15
meses ha ahorrado 3.000.000,00 de bolívares. ¿Cuál es su sueldo mensual?
35. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si cada dimensión se
aumenta en 1 m, la superficie se aumenta en 22 m2. Hallas las dimensiones
del rectángulo.
36. La siguiente recta representa una carretera, en la que una ciudad se ha
señalado con el kilómetro 0.
Un coche después de moverse 10 kilómetros hacia la izquierda se quedó en
el kilómetro 6 a la izquierda de la ciudad. ¿Cuál era la posición del coche
antes de realizar este movimiento?
37. Un ascensor realizó dos movimientos seguidos, de forma que cuando se
paró, había bajado 4 pisos con respecto a su posición antes de moverse. Si
su primer movimiento fue subir 7 pisos, ¿cuál fue su segundo movimiento?
38. Un chico volaba con un “ala-delta” a 11 metros sobre el nivel del mar y un
buzo nadaba a 4 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la posición del buzo
con respecto al chico que practicaba “ala-delta”?
39. Una persona nació en el año 123 antes de Cristo y murió en el año 56 antes
de Cristo. ¿Cuántos años vivió?
40. En una parada de autobús se subieron 6 personas y se bajaron 15 personas.
¿Cuál fue el cambio del número de personas que viajaban en el autobús
después de esta parada?
41. Fernando es un panadero que está muy cansado de su mala racha
económica. Normalmente hace negocios con la empresa Ricopan y con la
empresa Pantosta. Esta tarde está haciendo recuento de su situación. Al
hacer cuentas llegó a la conclusión de que debe en total 23.000 bolívares.
Si a Ricopan debe 6.000 bolívares, ¿cuánto dinero debe a Pantosta?
42. Tenía cierta suma de dinero. Gasté $20 y presté los 2/3 de lo que me
quedaba. Si ahora tengo $10, ¿cuánto tenía al principio?
43. Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuántos años la edad del
hijo será los 4/9 de la del padre?
44. A puede hacer una obra en 3 días y B en 6 días. ¿En cuánto tiempo pueden
hacer la obra los dos trabajando juntos?
45. Juan está esperando el autobús en el kilómetro 7 a la izquierda de una
ciudad y su compañera Silvia está esperando el mismo autobús 6
kilómetros a la izquierda de Juan. ¿En qué kilómetro se encuentra Silvia
esperando el autobús?

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