El documento trata sobre el origen y evolución de los números a lo largo de la historia. Explica que los primeros sistemas de numeración surgieron hace más de 400.000 años utilizando los dedos, y que culturas como los egipcios, mayas, aztecas y romanos desarrollaron después sus propios sistemas. Finalmente, los griegos adoptaron el uso de letras para representar números, lo que llevó al desarrollo de las matemáticas modernas.

1. El origen de los números.
El origen de los números es una historia muy antigua. No se sabe bien con certeza hace
cuánto tiempo los humanos comenzaron a usarlos, pero se cree que la utilización de los
números como tal se remonta a hace más de 400.000 mil años, siempre con el uso de los
dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos. En el cultivo de la tierra
y en los negocios con animales, empezó un sistema de conteos de los números, ya sea con
marcas hecha en un tronco, nudos, piedras entre otras alternativas.
Los Números son ideas de cantidad que se encuentran en nuestra mente, es la forma como
representamos o escribimos una idea de cantidad. Nuestro sistema de numeración es
decimal. Recibe este nombre por que emplea diez símbolos. Es un sistema de numeración
que no está basado en la yuxtaposición, sino que es posicional. Para comprenderlo basta con
que pensemos que, si utilizaremos la yuxtaposición, el número 714 valdría;
Han existido muchas formas de representar los números por los pueblos, incluso estos
números han ido modificándose, bien por influencias de otros pueblos o bien por el paso de
los años, no olvidemos que muchas culturas duraron cientos y miles de años. Merece la pena
recordar como veían los números distintos pueblos.
Los egipcios: Los egipcios tenían un sistema jeroglífico en base 10 para los números. Tenían
un símbolo diferente para la unidad, la decena, un centenar, un millar, para diez millares, cien
millares y un millón. Los aztecas: En México, se desarrolló la civilización azteca, estos crearon
un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman
Codex. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una
representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base
vigesimal (20). Los mayas: Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base
auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres y cuatro puntos servían para 2, 3,
y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar
6, 7, 8 y 9. Para el 10 usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20 con
cuatro rayas. Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad,
considerados cada uno un solo signo, estos signos constituyen las cifras de un sistema de
base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20…
según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se
escribe de arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Los romanos: El sistema de números romanos carece del cero, por lo que se convierte en
un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de
numeración, ha caído en desuso y solo se usa con fines decorativos (relojes, estatuas,
monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes, las reinas,
etc.). Gracias a estos números naturales surgieron posteriormente las principales
operaciones; suma, resta, multiplicación y división. No podemos negar que esto es de suma
importancia, pues lo cierto es que sin este tipo de operaciones hubiera sido imposible que las
matemáticas se desarrollaran dando lugar a operaciones muchísimo más complejas,
operaciones que hoy por hoy son esenciales para áreas tan importantes como puedan ser la
medicina, informática o arquitectura, entre muchas otras. Podemos decir así, que los números
fueron un paso importante para la evolución del hombre.
Los griegos: Hacia el 500 a.C., los griegos utilizaban ya, como números, las letras de su
alfabeto. Se denominaba sistema cacofónico o ático. De este modo, la letra a = 1. Este
sistema carente de ceros se empleó durante mil años. Los judíos primero y los árabes más
tarde lo adaptaron a sus propios alfabetos. Ya por aquel tiempo, al no existir todavía las
calculadoras, las cuentas se hacían con en el ábaco, un aparato manual consistente en varias

2. hileras de pequeñas piedras móviles ensartadas, de donde derivó el término “cálculo”, del
latín calculus = piedrecita.
Los números son muy importantes en todo lo que nos rodea, gracias a las civilizaciones y a
las necesidades de estos los números surgieron y los conocemos como son en la actualidad.
Cabe destacar que cada una de las civilizaciones tuvieron un gran aporte para la numeración
como hoy la conocemos.

3. Propiedades de los números naturales.
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto
conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El
conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos
números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que,
siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a ≤ b. Esta
relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a + c=b.
a) Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural.
A + B = C.
Por ejemplo: 5 + 4 = 9
b) Existencia del elemento neutro: Un numero natural tal que al ser sumado o multiplicado a
otro número natural da ese mismo número. El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros
porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a
Por ejemplo: 8 + 0 = 8
c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.
A + B = B + A.
A x B = B x A.
Por ejemplo: 5 · 8 = 40, 8 · 5 = 40
d) Propiedad asociativa: Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que: (a · b) ·
c = a · (b · c)
Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30, 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es
decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2).

4. Propiedades de los números enteros.
Orden numérico: Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número,
o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación
primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)
Número mayor: Que supera en cantidad a otro.
Por ejemplo: 5 > 2, 10 > 8
Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.
Por ejemplo: 4 < 9, 2 < 5
El número siguiente a otro: es el número considerado más una unidad.
Por ejemplo: 6 = 5 + 1.
El número anterior a otro: es el número considerado menos una unidad.
Por ejemplo: 4 = 5 -1
Recta numérica: es la que está dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre
una división y la siguiente es siempre la unidad.
La diferencia entre un número natural y un entero es que un número entero abarca tanto
números positivos, como números negativos.
Mientras que el natural es cualquiera de los números que se utilizan para contar los elementos
de un conjunto y solo abarcan números positivos.

5. Propiedades e los números racionales.
es aquel que se puede expresar de la forma a/b, de tal manera que a y b sean números
enteros, pero b (el denominador) tiene que ser distinto de 0.
Propiedad interna. - según la cual, al sumar dos números racionales, el resultado siempre
será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión
si el caso lo necesitara.
a/b + c/d = e/f
Propiedad asociativa. - se dice que, si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el
resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
(a/b + c/d) –e/f = a/b + (c/d−e/f)
Propiedad conmutativa. - donde en la operación, si el orden del sumando varía, el resultado
no cambia, de esta manera:
a/b + c/d = c/d + a/b
Elemento neutro. - el elemento neutro, es una cifra nula la cual, si es sumada a cualquier
número racional, la respuesta será el mismo número racional.
a/b + 0 = a/b
Inverso aditivo o elemento opuesto. - es la propiedad de números racionales según la cual,
existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que, al sumarlos, se
obtiene como resultado el cero.
a/b – a/b = 0
Diferencia entre número enteros y números racionales:
Los números enteros se representa por uno o varios dígitos que van del 0 al 9, además el
número posee un signo que en caso de ser positivo se omite.
mientras que los números racionales se representan por un par de enteros, uno de los cuales
es numerador y otro (no puede ser cero) que se llama denominador. También se pueden
utilizar un número infinito de pares para representar el mismo racional. El hecho de que un
número racional acepte muchas representaciones como par de enteros, es una de las
diferencias sustanciales entre los enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a
dificultades en la comprensión y el trabajo con este tipo de números.

6. Propiedades de los números irracionales.
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras
decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Por ejemplo:
√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc.
π (pi) = 3.141592 ...
e (número de Euler) = 2,718281828459…
ϕ (razón de oro) = 1,618033988749…
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad
conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado.
Por ejemplo: π + ϕ = ϕ + π; así como en la multiplicación, π × ϕ = ϕ × π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como
resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación.
Por ejemplo: (ϕ + π) + e= ϕ + (π + e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ × π)
× e = ϕ × (π × e).
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es
decir que para cada número tiene su negativo que lo anula.
Por ejemplo: π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado
1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
Por ejemplo: (3 + 2) π = 3π + 2π = 5π.

7. Propiedades de los números reales.
El conjunto de los números reales, representados por la letra R, pertenece en matemáticas a
la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. • Un
número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado, están los números
reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas
para hacerlo.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568)
o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales
(que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero)
y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números
enteros con denominador diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo
de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).
Más concretamente nos encontramos con el hecho de que los números reales se clasifican
en números racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos
categorías: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los
fraccionarios, que se subdividen en fracción propia y en fracción impropia. Todo ello sin
olvidar que dentro de los citados naturales también hay tres
variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.
asociadas suma: (a+b)+c = a+(b+c)
conmutativa suma: a+b=b+a.
conmutativa multiplicación: a*b= b*a. ...
distributiva a (b + c) = ab + ac.
elemento neutro aditivo: a + 0 = a.
elemento neutro multiplicativo: a * 1 = a.
elemento inverso aditivo: a+(-a) = a.
elemento inverso multiplicativo: a * a – 1 = 1 o (a * 1/a 1)

8. Propiedades de los números imaginarios.
todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad
imaginaria, con la propiedad, puesto entonces: que es un número real. Cada número complejo
puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario,
de esta forma: Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria. Del
mismo modo, partiendo de: la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por
resultado un número imaginario, así, por ejemplo: Estos números extienden el conjunto de
los números reales al conjunto de los números complejos. Por otro lado, no podemos asumir
que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder
ser ordenados de acuerdo a su valor.5 Es decir, es justo decir que, y que. Esta regla no aplica
a los números imaginarios, debido a una simple demostración: Recordemos que, en los
números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son
mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo, es justo decir que, por
lo tanto, entonces tenemos que, y obviamente.
Por otro lado, supóngase que, entonces tenemos que, lo cual evidentemente es falso. Y de
igual manera, hagamos la errónea suposición de que, pero si multiplicamos por nos queda
que. Por lo tanto, tenemos que. Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente
falso. Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los
números imaginarios es completamente falsa. (se repite el patrón de la zona azul) (se repite
el patrón de la zona azul)
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa: Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:
(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)
Ejemplo:
(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i
(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i
Asociativa: Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:
[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]
Ejemplo:
(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i
(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i
Elemento neutro: El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que
(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i
Elemento simétrico: El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a -
b.i):
(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0.

9. Los fractales.
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho
que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De
hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que
siempre lo veremos de la misma forma.
El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en
1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como, por
ejemplo, en el romanescu
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los
ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último
se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres
triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.
Propiedades/características.
Las principales propiedades que caracterizan a los fractales son la auto semejanza, la
complejidad infinita y su dimensión.
Auto semejanza
La auto semejanza es cuando una porción, de una figura o de un contorno, puede ser vista
como una réplica del todo, en una escala menor.
Complejidad infinita
Se refiere al hecho de que el proceso de formación de una figura es recursivo. Esto significa
que, cuando se ejecuta un determinado procedimiento, en el trascurso de la misma se
encuentra como su procedimiento el propio procedimiento anteriormente ejecutado.
Vale destacar que, en el caso de la construcción iterativa de un fractal matemáticamente
definido, se dispone de un número infinito de procedimientos a ser ejecutados, generándose
así una estructura infinitamente compleja.
Dimensión
La dimensión de un fractal, a diferencia de lo que ocurre en la Geometría Euclidiana, no es
necesariamente un valor entero. En esta rama de la matemática, un punto posee dimensión
cero, una línea posee dimensión uno, una superficie dimensión dos y un volumen dimensión
tres. En el caso de la dimensión fractal, esta es una cantidad fraccionaria, representando el
grado de ocupación de la estructura en el espacio que la contiene.
Ejemplos
Los primeros fractales estudiados fueron el conjunto de Cantor, copos de nieve de Koch y el
triángulo de Sierpinski.

10. Los fractales pueden obtenerse geométricamente o aleatoriamente a través de procesos
recursivos, los cuales pueden presentar características encontradas en diferentes tipos de
formas de la naturaleza.
Los fractales están presentes en varios lugares. Existen muchos objetos naturales que son
considerados fractales naturales debido a su comportamiento o estructura, pero estos son
tipos de fractales finitos, lo que los distingue de los fractales de tipo matemático creado por
interacciones recursivas. Como ejemplo de estos son las nubes y los árboles.
Los fractales dieron origen a la geometría de la naturaleza, es una rama matemática que se
aplica en diferentes áreas (meteorología, economía, neurociencia, cine, entre otras). Su
estudio nos ayuda a describir fenómenos naturales como, los sismos, el desarrollo de los
árboles, la forma de las raíces, las nubes, movimientos de la bolsa, etc.
Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, repetidos una y
otra vez, el concepto de longitud no está claramente definido. Por más que queramos medir
una línea fractal siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la sensibilidad de los
instrumentos que utilicemos, por precisos que sean (y a medida que aumenta la sensibilidad
del instrumento aumenta la longitud de la línea). Así, como la longitud de la línea fractal
depende de la longitud de instrumento con que la midamos, no nos sirve la noción tradicional
de longitud. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal.